La "Torcia" : Un ulteriore tentativo di modellazione semplificata dell'interazione torcia-girante

POSIZIONE DEL PROBLEMA, RICHIAMO DEGLI STUDI PRECEDENTI P eceden i ice che dello sc i en e sulla mo- dellazione ma ema ica del enomeno della ‘ o cia’ allo sca ico delle u bine id auliche ipo FRANCIS unzionan i a ca ico pa ziale si e ano concen a i dapp ima sulla s u u a del lusso nella pa e in- iziale (‘cono’) del di uso e (1988-1989), poi sul meccanismo di ecci azione del ‘d a ube su ge’ che si e i ica in condizioni di o cia ca i a a (1997) ed in p esenza di ‘gomi o’nel di uso e. In- ine il con ibu o più ecen e (2001) app esen ò un p imo en a i o di modella e in modo assai sempli- ica o la complessa in e azione a il mo o nella pa e iniziale del di uso e ed il mo o all’usci a da- lla gi an e. In a i è uo di dubbio che in p esenza di una o cia eccen ica il mo o nello spazio in e no all’usci a della gi an e (e nella gi an e s essa) iene dis o o, pe dendo la simme ia adiale che esis e a pieno ca ico, o meglio in condizioni di ‘ze o swi l’. Tu i ques i s udi e ano mo i a i dall’oppo u- ni à di s iluppa e modelli ‘globali’, i quali cioè, senza in eg a e le equazioni del mo o (NAVIER- STOKES) in una complessa geome ia idimen- sionale e empo-dipenden e, endesse o a collega e a lo o i pa ame i mac oscopici del enomeno ai ini da una pa e di giunge e ad una più sin e ica iden i icazione dei pa ame i isici signi ica i i, da- ll’al a dello s iluppo e en uale di modelli dinami- ci ‘a blocchi’ dell’in e o impian o, des ina i ad in- daga ne le condizioni di s abili à complessi a e nei quali compa isse o, anco a una ol a, solo pa ame- i globali, come è senza dubbio oppo uno se non necessa io pe e i a e g a i complicazioni. Il p esen e con ibu o mi a a ip ende e, su ba- si più accu a e e isicamen e plausibili, il p oblema già a on a o nella memo ia del 2001, e cioè a mo- della e la s u u a cinema ica del campo di mo o nello spazio in e no all’usci a della gi an e (sezioni di passaggio a la gi an e ed il di uso e) in p esen- za di una ‘ o cia’eccen ica. 27 INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003 Riassun o: Men e abbondano gli s udi sia eo ici che spe imen ali sulla cinema ica e dinamica della o cia nel di uso e a alle della gi an e, sono piu os o sca si i con ibu i sull’in e azione a la o cia ed il campo di mo o all’in e no della gi an e, malg ado sia ce o che ale campo di mo o iene dis o o dalla p esenza della o cia, pe dendo l’uni o mi à ci con e enziale che è ca a e is ica del egime a pieno ca ico (cioè in condizioni di ci colazione nulla –‘ze o swi l’- all’usci a dalla gi an e). Il p esen e s udio si p opone di a on a e il di icile p oblema ad un li ello di modellazione ma e- ma ica sempli ica a, cos uendo pe appe successi e un campo di mo o a po enziale che soddis i alle p esumibili condizioni cinema iche in p esenza della o cia. L’ipo esi che consen e di elabo a- e un modello di ques o ipo consis e nell’amme e e che nella gi an e, so o condizioni di ca ico pa ziale, la po a a non si iduca in misu a uguale pe u i i canali in e pala i, ma un ce o nume o di canali enda a conse a e una po a a p ossima a quella della condizione di pieno ca ico, men e nei canali es an i si ins au ano condizioni di po a a o emen e ido a (o p ossime allo s allo). Im- ponendo che ale con igu azione uo i s abilmen e con la s essa eloci à angola e di p ecessione da cui è anima o il ilamen o o icoso della o cia si iesce a chiude e ma ema icamen e il p oblema. Il modello in ques ione pe me e di a e p e isioni che po ebbe o esse e e i ica e da oppo une indagini spe imen ali. Palab as cla e: Tu bina F ancis, Ca ico pa ziale, To cia, In e azione o cia-gi an e, Modellazione ma ema ica, Mo o a po enziale, Vo ici à concen a a. Michele Fanelli. Ex-di ec o de CRIS-ENEL Spa. Consul o . Via L.B. Albe , 5. 20149 Milán, I alia. E-mail: [email p o ec ed] A ículo ecibido el 5 de sep iemb e de 2002, ecibido en o ma e isada el 20 de no iemb e de 2002 y acep ado pa a su publicación el 9 de ene o de 2003. Pueden se emi idas discusiones sob e el a ículo has a seis meses después de la publicación del mismo siguiendo lo indicado en las “Ins uccio- nes pa a au o es”. En el caso de se acep adas, és as se án publicadas conjun amen e con la espues a de los au o es. LA “TORCIA”: UN ULTERIORE TENTATIVO DI MODELLAZIONE SEMPLIFICATA DELL’INTERAZIONE TORCIA-GIRANTE Michele Fanelli Anco a una ol a, come già negli s udi del 1989 e del 2001, ci si i à la gamen e a modelli di mo o ‘quasi o unque’ a po enziale, nella spe anza che ques i possano abbas anza edelmen e app ossi- ma e una con igu azione ‘media’ del campo di mo- o, da cui siano s a e il a e le componen i u bolen- e e le pe u bazioni a moniche ad al a equenza (quali ad esempio quelle lega e al passaggio delle pa- le mobili della gi an e da an i alle pale isse del dis- ibu o e)1. Ques i modelli, nel lo o dichia a o ca a e e di en a i o eu is icamen e i ol o a p opo e schemi sempli ica i ma plausibili della complessa s u u a del campo di mo o indaga o, hanno al esì l’ambi- zione di cos i ui e una possibile guida conce uale alla piani icazione ed e e uazione di ilie i spe i- men ali; ques i ul imi, come semp e, sono in de ini- i a l’unico elemen o p oban e pe acce a e, espin- ge e o modi ica e i modelli ma ema ici che l’in ui- zione isica e l’applicazione di leggi ondamen ali possono sugge i e al ice ca o e. Linee ondamen ali del nuo o modello: la dis o sione del campo di mo o nello spazio in e no alla sezione di usci a dalla gi an e Nel con ibu o FANELLI, 2001 sussis e ano almeno due mo i i di sca so ealismo nella modella- zione del campo di mo o in ques ione: ai ini della de e minazione delle eloci à adiale e angenziale della o cia il lusso in usci a dai a i canali in e pa- la i e a implici amen e suppos o esse e uni o me nel senso ci con e enziale (la po a a essendo, cioè, i- do a in ugual misu a in u i i canali) e l’asso bi- men o della po a a da pa e del di uso e e a app e- sen a o da un unico pozzo concen a o posiziona o sull’asse ( a l’al o ques ’ul ima schema izzazione del modello compo e ebbe, a igo e, l’ins abili à de- lla posizione adiale della o cia). A dispe o di ques e de icienze, il modello in ques ione pe mise di in a ede e alcune ca a e is i- che in e essan i, a cui la p obabile endenza ad una dis ibuzione non uni o me della po a a ido a a i di e si canali in e pala i, di modo che si po esse ipo- izza e che il mo o ce casse di conse a e la piena po a a (e quindi l’usci a adiale) in alcuni dei canali, a spese di una si uazione di po a a o emen e ido - a, con p obabile s allo del lusso, nei es an i canali. Lo sc i en e decise pe an o di ce ca e di s i- luppa e un modello che, ispecchiando la endenza appena desc i a, endesse a imuo e e i di e i ac- cenna i p eceden emen e. Nel nuo o modello pe an o il pozzo concen- a o sull’asse iene impiazza o da una dis ibuzio- ne con inua, ma non adialmen e simme ica, di pozzi su u a l’a ea cen ale in e na alla sezione di usci a dalla gi an e, e a le condizioni impos e al mo o i è quella che su una pa e dei canali si ea- lizzi app ossima i amen e la piena po a a (usci a p essoché adiale). Al o c i e io guida nello s iluppo del nuo o modello è s a a –come del es o nei con ibu i p e- ceden i- la ice ca della massima semplici à. Fo mulazione ma ema ica del nuo o modello Come accenna o, all’in e no della sezione di usci a dalla gi an e (assimila o ad uno spazio cilin- d ico di aggio R) si ipo izza, nel piano gene ico pe pendicola e all’asse di o azione, l’esis enza di una dis ibuzione con inua, non uni o me e non azi- mu almen e simme ica2, di pozzi che nel lo o com- plesso asso bono la po a a ido a n.Q0, con n<1 e Q0 = po a a di ‘ze o swi l’pe uni à di al ezza della sezione di usci a dalla gi an e. La dis ibuzione con inua di ‘pozzi’ipo izza a all’in e no della sezione di usci a dalla gi an e (ci- lind o di al ezza he di aggio R) si è assun a come da a, in coo dina e pola i ρ , ϑ con cen o sull’as- se di o azione, dall’esp essione 28 Michele Fanelli INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003 1Il p esen e s udio a inge anche alle conside azioni ed al modello s iluppa i dallo sc i en e nella memo ia ‘La luidodinamica delle u bo- macchine: il dualismo i o azionali à-ci colazione’ p esen a a al con egno di Ba eno dell’Associazione Id o ecnica I aliana (FANELLI 1993). Si enga con o che la p esenza di una o cia, cioè di una o ici à concen a a, lascia suppo e di pe sé che i sia sca sa p esenza di o ici à dis ibui a, ossia di u bolenza; dunque la p e esa di app ossima e ques o campo di mo o con un po enziale non appa e a p io i assu da, (1) (2) do e 0 ≤ρ ≤R; il co isponden e po enziale del mo o nel piano anzide o, ale che , ale so o ques e ipo- esi: e le co isponden i eloci à adiale e angen- ziale: [nelle (3) e (4) si è omesso il pedice pozzi al sim- bolo del po enziale Φ]. Aques o campo di eloci à occo e aggiunge- e quelli causa i dalla o cia, di ci colazione (con m dell’o dine dell’uni à) la cui posizio- ne è pe o a incogni a, e dalla ci colazione ‘scom- pensa a’ lungo quella pa e della sezione di usci a dalla gi an e in cui la po a a dei canali in e pala i è o emen e ido a e quindi il lusso in usci a non è adiale. Le linee ad ugual alo e del po enziale (2) so- no a igu a e in FIG. 1 pe la pa e a simme ia a- diale ed in FIG. 2 pe la pa e emisimme ica is- pe o al diame o o izzon ale: Le equipo enziali di FIG. 1 co ispondono alla si uazione di ‘ze o swi l’, ossia n=1, in cui l’usci a dalla gi an e è adiale e la o cia è assen e; in ques a si uazione non i sono al i con ibu i al po enziale nello spazio in e no alla sezione di usci- a dalla gi an e, come isul a dalle eqq. (2), (6), (9) ponendo n=1. Nella seconda componen e del campo ( . FIG.2) la eloci à adiale si annulla pe nella pa e in e na a ale aggio la eloci à ha componen e p e alen e e so l’al o della igu a, men e ha componen e p e alen e e so il basso nelle pa i es e ne e icine all’asse y, cosicché nella pa e al a si ende a co egge e il de ici di po a a nei canali in e pala i, nella pa e bassa ad agg a a - lo (s allo pa ziale). 29 LA “TORCIA”: UN ULTERIORE TENTATIVO DI MODELLAZIONE SEMPLIFICATA DELL’INTERAZIONE TORCIA-GIRANTE INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003 2La dis ibuzione non simme ica isul an e si è assun a la più semplice possibile, cioè con dis ibuzione linea e ispe o alla coo dina a y=ρsinϑ , . (1); l’in ensi à è ale da ipo a e la po a a p o enien e dai canali in e pala i si ua i all’azimu ϑ = π/ 2 al alo e di ‘ze o swi l’. (3) (4) (5) Figu a 1. Equipo enziali del p imo addendo a II° memb o di (2) (componen e a simme ia adiale di Φpozzi ). Figu a 2. Equipo enziali del secondo addendo a ii° memb o dell’ eq. (2) [componen e emisimme ica del po enziale Φpozzi a meno del a o e (1-n)]. Figu a 3. Equipo enziali di Φpozzi , eq. (2), pe n =0.75 (campo asimme ico a pa e il con ibu o della o cia e della ci co- lazione ‘scompensa a’) , . (3); In FIG. 3 sono isualizza e le equipo enziali del campo isul an e dalla so apposizione del po- enziale di FIG. 1 con quello di FIG. 2. In oduciamo o a il con ibu o della ci cola- zione ‘scompensa a’, che ende a ip is ina e il a- lo e di ci colazione ‘no male’a o no alle pale della me à supe io e della igu a e a diminui la ul e io - men e nella pa e in e io e (s allo pa ziale). A ale scopo in oduciamo un anello di o ici dis ibui i, lega i alle pale, di ci colazione an io a ia nella pa - e supe io e ed o a ia nella pa e in e io e, di in en- si à p opo zionale ad y= ρ. sin ϑe di in ensi à a- le da ipo a e la ci colazione a o no alla pala che si o a all’azimu ϑ = π / 2 al alo e co ispon- den e alla condizione di ‘ze o swi l’. Dopo in oduzione di ques a ul e io e co ezio- ne (ma anco a senza il con ibu o della ‘ o cia’eccen- ica) il po enziale del mo o assume l’esp essione: e le co isponden i equipo enziali, pe il caso pa icola e n = 0.75 ed m = 1 , sono app esen a e in FIG. 4: Res a o a da inse i e il con ibu o della o cia eccen ica, . (5), ma p ima è necessa io de e mi- na ne la posizione ( ,α) all’in e no del ce chio di aggio R. Ciò si consegui à, analogamen e a quan- o a o negli s udi p eceden i ( . FANELLI, 2001), imponendo le due condizioni seguen i nel pun o: (la o cia o bi a su un pe co so ci cola e s abile) eloci à an- gola e di p e- cessione, causa a dalla o cia, della dis ibuzione di o ici ‘scompensa i’ ( . sop a) lega i alle pa- le (il sis ema di so gen i e o ici gene a o e del campo di mo o segue la o cia nel suo mo o di p ecessione nel empo). Ques e due condizioni, da impo e u ilizzando il po enziale (6) pe esplici a e l’esp essione di V e Vϑnelle (7), (8)3, assicu ano, nei limi i delle a ie app ossimazioni in odo e, che il campo di mo o si ‘au o ip oduca’con con inui à nel empo, uo ando con la eloci à di p ecessione ω T[che isul e à de- e mina a in base alla (8)]. Le linee cos i uen i i luoghi geome ici lungo cui è soddis a a la (7) pe m= 1 ed n= 0.8, 0.7, 0.6 sono app esen a e in FIG. 5. Si no i che all’in- e no di ognuna delle cu e è V > 0 , men e all’es- e no si ha V < 0 , il che assicu a che la posizione della o cia sulla cu a è s abile. La (8) si esp ime in ia app ossima a come se- gue: e in FIG. 6 sono ipo a e le cu e lungo cui so- no soddis a e an o la (7) quan o la (8*) pe m = 1, n= 0.75 . Pe quan o osse a o sop a, dei due pun- i di in e sezione delle cu e in ques ione quello coinciden e con l’o igine degli assi è ins abile, quindi solo l’al o è da p ende e in conside azione. Dall’esame delle FIGG. 5 e 6 si conclude che l’eccen ici à della o cia c esce al diminui e di n; 30 Michele Fanelli INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003 (6) (7) Figu a 4. Equipo enziali del campo dis o o, a meno della o cia eccen ica, pe n = 0.75 ed m = 1, . (6) Figu a 5. Linee lungo cui V = (∂ΦS.T.)/∂ρ= 0, . eq. (6), pe m =1 ed n =0.6, 0.7, 0.8 pa endo ispe i amen e dalla cu a piu’ es e na. (8) (8*) inol e la eloci à di p ecessione isul e ebbe (pe m = 1) pa i a ωT= (1- n). ω0, do e ω0è la eloci- à angola e della gi an e. Ques i isul a i non sono in con as o con le isul anze spe imen ali. Con l’in oduzione del po enziale polid omo della o cia, assimila a ad un ilamen o o icoso e icale, il po enziale o ale all’in e no dello spazio cilind ico di aggio R assume in ine l’esp essione: Le equipo enziali di ques o campo sono ap- p esen a e in FIG. 7 pe m= 1, n= 0.75. Esse isul- ano dalla combinazione delle equipo enziali di FIG. 4 con quelle do u e alla sola o cia ( ascio di e e uscen i dal cen o della o cia, che è il pun o indi idua o in FIG. 6). In e p e azione isica; in e p e azione geome ica app ossima a Si è così cos ui o un campo di mo o che is- pecchia app ossima i amen e le ca a e is iche des- ide a e. So ge na u almen e la domanda come si possa acco da e ques o campo, che p esen a un in- pu di po a a dis ibui a lungo la on ie a cilind i- ca (componen e adiale), col campo a simme ia elicoidale ( . FANELLI, 1989) che è a o a app e- sen a e app ossima i amen e il mo o nella pa e in- iziale (‘cono’) del di uso e, a p e alen e compo- nen e assiale, in cui la on ie a cilind ica è in ece impe meabile. Poiché en ambi i campi, nella nos a schema- izzazione, sono app esen a i da un po enziale, la ia di usci a più immedia a consis e nell’ipo izza e che in un b e e a o ( z1 ≤z ≤z2, con z2-z1< h ) de- lla pa e più bassa dello spazio cilind ico di al ezza h qui conside a o si abbia una ansizione g aduale (ad es. con legge linea e in z) a i due po enziali: [ . (9) pe ΦTOT e FANELLI, 1989 pe ΦCONO]. Ciò co isponde isicamen e ad una ansizione del mo o da un asse o p e alen emen e adiale nella pa - e al a dell’usci a dalla gi an e ad un asse o p e alen- emen e assiale nella pa e bassa, cosa pe e amen e coe en e con l’e e i a s u u a del lusso medio. Con ques ’ul ima schema izzazione il p oble- ma di app esen a e sin e icamen e sia l’in e azione o cia-gi an e, sia la ansizione al mo o in p esenza di o cia nella pa e iniziale del di uso e a ebbe o- a o una soluzione app ossima a di p imo en a i o. 31 LA “TORCIA”: UN ULTERIORE TENTATIVO DI MODELLAZIONE SEMPLIFICATA DELL’INTERAZIONE TORCIA-GIRANTE INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003 Figu a 6. Localizzazione della o cia pe m = 1, n = 0.75: la cu a elli ica piu’ piccola e’ il luogo dei pun i do e V = 0 , la cu a elli - ica piu’ g ande e’ il luogo dei pun i do e la eloci a’ di p eces- sione della o cia uguaglia la eloci a’ angola e media dei o ici lega i alle pale della gi an e. la o cia si si ua pe an o all’in e se- zione delle due cu e (escludendo l’o igine degli assi). (9) Figu a 7. Equipo enziali (in osso) del campo o ale [ . (9) ] pe m = 1, n = 0.75 ; in ne o le equipo enziali della sola o cia4il e - so di ci colazione e’ an io a io. 3 Cioè a p escinde e dal con ibu o della o cia s essa, che come no o non in luisce sulla endenza al mo imen o del ilamen o o icoso. 4 Il pun o di localizzazione della o cia è quello di FIG. 6. (10) pe z1 ≤z ≤z2 Ap oposi o del po enziale ΦTOT , . (9), la sua app esen azione g a ica in FIG. 7 sugge isce un’in e essan e in e p e azione geome ica, ce a- men e non alida in gene ale (cioè pe qualunque alo e di n, . ol e) ma u a ia assai sugges i a dal pun o di is a isico. Si osse a che le equipo enziali di FIG. 7 so- no so p enden emen e icine, pe la ga pa e del lo- o accia o, ad a chi di e ol en i di ce chio ( . FIG. 8); inol e la dis anza a due equipo enziali succes- si e, pu non isul ando cos an e, non p esen a a- iazioni eccessi e sull’a ea del ce chio di aggio R. Sulla base di ques e osse azioni, si può esse e in- do i ad esamina e quali sa ebbe o le ca a e is iche di un ipo e ico mo o a po enziale in cui le equipo- enziali osse o a chi di e ol en i di ce chio (gene- a e da un unico ce chio di aggio τ assai mino e di Re cen a o p esso l’asse della o cia ) uni o me- men e dis anzia i a lo o; il che compo a che il campo di eloci à es e no al ce chio gene a o e consis e ebbe di e o i eloci à di modulo uni o - me V τ ed a en i di ezioni u e angen i al ce chio gene a o e. Ques o modello e à indica o nel se- gui o, pe b e i à, con la locuzione ‘modello ad e ol en i’; occo e p ecisa e che, men e es e na- men e al ce chio di base delle e ol en i le equipo- enziali segui ebbe o le p ede e e ol en i equispa- zia e, all’in e no del ce chio s esso, di aggio τ , si ipo izza, nel caso la o cia non sia ca i a a, un mo- imen o o a o io igido (quindi non a po enziale e con o ici à dis ibui a uni o me), a o, a pa e le dimensioni, a app esen a e la o cia, la cui eloci- à pe i e ica sia cong uen e con la eloci à uni o - me del campo es e no desc i o (in e mini di equi- po enziali) dalle e ol en i equispazia e. E’ acile ede e che in un campo così de ini o esis e, all’es e no del ce chio di aggio τ , un sis- ema di pozzi dis ibui i di in ensi à: do e α τ ( con α ≥0 ) è la dis anza del pun- o in cui si alu a la densi à dei pozzi dis ibui i dal pun o di angenza della di ezione di V τ al ce chio di aggio τ ; ed è al esì acile e i ica e che l’in eg a- le della densi à (11) es eso all’a ea comp esa a il ce chio di aggio τ ed il ce chio di aggio Rugua- glia la po a a en an e a a e so la ci con e enza di ques ’ul imo ce chio. Quindi assegnando un’oppo una spazia u a alle e ol en i (ed una oppo una posizione al cen- o del ce chio di aggio τ ) è possibile app ossima- e una dis ibuzione non uni o me di po a e di en- a a lungo la on ie a cilind ica, così come deside- a o; inol e assegnando un oppo uno alo e al aggio τ si può a sì che la ci colazione del mo o igido di o azione in e no al ce chio di aggio τ uguagli quella della o cia, . (5), ossia In de ini i a si può cos ui e in ques o modo un modello al e na i o a quello is o nei pa ag a i p eceden i, ma non oppo di e so da esso, che o - e il an aggio di una più sin e ica de inizione ge- ome ica; si ede inol e acilmen e che le compo- nen i o izzon ali di ale mo o, essendo di modulo cos an e su u a l’a ea del campo di mo o ( anne il ce chio di aggio τ ), soddis e ebbe o al p incipio della minima ene gia cine ica, che si sa esse e is- pe a o in gene ale nella luidodinamica5. Il a o che il campo qui p opos o si a icini ad un mode- llo che soddis a ale p incipio suppo a, a pa e e de- llo sc i en e, la plausibili à isica della soluzione app ossima a cos ui a nei pa ag a i p eceden i. 32 Michele Fanelli INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003 (11) Figu a 8. Con on o a una delle equipo enziali di ig. 7 (in osso) ed una e ol en e del ce chio di cen o b (in blu) – il cen o eo i- co della o cia coincide col pun o A (12) 5 In eal à, pe soddis a e igo osamen e a ale p incipio occo e ebbe include e nella alu azione dell’ene gia cine ica locale anche la componen e , il che po e ebbe a do e modi ica e lo schema ‘ad e ol en i’ onde e i a e in eg ali di e gen i ( Vz → ∞ pe α → 0). e icale della eloci à, Al o an aggio del modello in ques ione con- sis e nell’assegna e una sezione ini a (anziché pun i o me) alla o cia. E’ e iden e pe al o che il ‘modello ad e ol- en i’non po ebbe esse e acce abile che in un is- e o in e allo di alo i di n; bas i osse a e che pe n → 1 (e cen o del ce chio di aggio τ coinci- den e col cen o del ce chio di aggio R) secondo a- le modello le eloci à ende ebbe o sì ad assume e di ezione adiale, ma con modulo uni o me anziché p opo zionale alla dis anza ρ dal cen o del ce chio di aggio R, come de e in ece e i ica si in al caso. Più in gene ale, un esame compa a o delle p op ie à geome iche dell’e ol en e e della cu a gene ica o ma a dalle in e sezioni ΦTOT = cos an e a cam- po della sola o cia e campo de ini o dal po enziale ΦS.T. mos a che le due en i à geome iche possono esse e simili solo se la componen e linea e in ρ sin ϑ del secondo campo è di en i à non ascu abile is- pe o alla componen e a simme ia cen ale. D’al a pa e, se si ade isce al conce o che il mo o enda ad accos a si al ‘modello ad e ol en i’, pu ché ques o sia compa ibile coi incoli cinema i- ci e dinamici, pe soddis a e al p incipio della mi- nima ene gia cine ica, l’osse azione p eceden e po ebbe ‘spiega e’ quali a i amen e pe ché la o - cia eccen ica si mani es i s abilmen e solo in un is e o in e allo di alo i di n: pe al i alo i, lo schema ad e ol en i isul ando incompa ibile coi incoli, e ebbe o p e e i e al e con igu azioni ci- nema iche. Commen i, oppo uni à di nuo e ice che Il modello qui p opos o, anco ché ce amen e di p ima g ossolana app ossimazione, p esen a il an aggio di o ni e ‘p edizioni’ che do ebbe o esse e acilmen e e i icabili (o alsi icabili) spe i- men almen e: così ad esempio l’eccen ici à della o cia in unzione di ne la sua posizione ispe o ai canali in e pala i in egime di s allo pa ziale ( l’is- pezione delle FIGG. 5 e 6 mos a che la o cia do- ebbe p ecede e i canali s alla i di un angolo com- p eso a ci ca 135° e ci ca 180°6) po ebbe o esse- e susce ibili di e i ica spe imen ale. Inol e il modello p esen a o consen i ebbe di s ima e la dipendenza della spin a adiale ( o an e con la eloci à angola e di p ecessione della o cia) e del endimen o7dal pa ame o n, e di con on a- e ali p e isioni, anco a una ol a, con le isul an- ze spe imen ali. E’ e iden e che mol e delle assunzioni a e nel cos ui e il modello in ques ione sono c i icabi- li e po ebbe o esse e susce ibili di a inamen i in successi e elabo azioni; così pe esempio sono dis- cu ibili an o l’ipo esi che pe ϑ = π/2 si ip is ini- no esa amen e, nel co isponden e canale in e pa- la e, la po a a e la ci colazione della condizione di ‘ze o swi l’, quan o l’ipo esi che la dis ibuzione di pozzi en o l’a ea ci cola e sede del mo o sia linea- e in y anziché segui e una legge più gene ale. Somma io e conclusioni Si è cos ui o pe appe successi e ( . FIGG. 1, 2, 3, 4, 7) un modello ma ema ico app ossima o delle dis o sioni nel campo di mo o all’usci a della gi an e di una u bina F ancis a ca ico pa ziale, ba- sa o sull’ipo esi che la cinema ica in ques ione pos- sa esse e mediamen e app esen a a da un mo o a po enziale e che men e alcuni dei canali in e pala- i endano a man ene e la po a a e la ci colazione di ‘ze o swi l’(usci a adiale o p essoché ale), al i canali in e pala i si o ino in condizioni di s allo pa ziale. So o ali assunzioni si sono ica a e an o le esp essioni app ossima e del po enziale quan o le condizioni pe l’esis enza di una ‘ o cia’in posi- zione eccen ica, s abile adialmen e ed anima a da un mo o di p ecessione egola e. Le conclusioni de- llo s udio, pa zialmen e s iluppa e nume icamen e, appaiono susce ibili di e i ica spe imen ale. Sulla base del modello p esen a o si sono s iluppa e con- side azioni aggiun i e a anzando l’ipo esi che il mo o così modella o app ossimi le condizioni di ‘minima ene gia cine ica’all’usci a dalla gi an e, il che, se con e ma o, con e i ebbe c edibili à al mo- dello s esso (pe ul e io i conside azioni sul mode- llo ‘ad e ol en i’del § 4 . APPENDICE). Si i iene che le basi del p esen e s udio pos- sano o i e u ili spun i pe app o ondi e la com- p ensione del complesso campo di mo o esis en e all’in e no della sezione di usci a dalla gi an e in condizioni di ca ico pa ziale; non i è dubbio pe al- o che siano necessa i a ale scopo al i s udi e so- p a u o e i iche spe imen ali. 33 LA “TORCIA”: UN ULTERIORE TENTATIVO DI MODELLAZIONE SEMPLIFICATA DELL’INTERAZIONE TORCIA-GIRANTE INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003 6Ques a conclusione con as a con quella di FANELLI, 2001, da cui isul e ebbe che l’angolo in ques ione sia comp eso a ci ca 35° e ci ca 40°; la FIG. 7, pe al o, po ebbe sugge i e un di e so alo e, dell’o dine di 90° ci ca. 7Il modello p esen a o in ques a memo ia appa e in g ado di spiega e meglio, in con on o all’ipo esi della dis ibuzione uni o me in u i i canali in- e pala i della po a a ido a, il man enimen o di endimen i su icien emen e al i pe n<1 che si osse a nelle u bine F ancis. LISTA DEI SIMBOLI USATI appo o a la po a a ido a e la po a a di ‘ze o swi l’ po a a di ‘ze o swi l’pe uni à di al ezza dello spazio cilind ico a alle dell’usci a dalla gi an e al ezza dello spazio cilind ico a alle de- ll’usci a dalla gi an e aggio dello spazio cilind ico a alle de- ll’usci a dalla gi an e coo dina e pola i nel piano gene ico no - male all’asse coo dina e ca esiane nel piano gene ico no male all’asse coo dina a ca esiana pa allela all’asse in ensi à pe uni à di supe icie dei ‘poz- zi’dis ibui i nel piano gene ico ope a o e di Laplace appo o a ci colazione della o cia e Q0 po enziale gene a o dalla dis ibuzione dei ‘pozzi’( . sop a) po enziale senza il con ibu o della o cia po enziale o ale po enziale nel ‘cono’del di uso e eloci à adiale eloci à angenziale eloci à assiale dis anza della o cia dall’asse azimu della o cia eloci à angola e di p ecessione della o cia eloci à angola e della gi an e aggio del ce chio gene a o e delle equi- po enziali nel modello ‘ad e ol en i’ densi à dei ‘pozzi’dis ibui i nel modello ad e ol en i eloci à angenziale alla o cia nel mode- llo ad e ol en i senza a iazione ciclica coo dina e pola i cen a e sulla o cia angolo a il aggio angen e alla sezione d. o cia e il aggio e o e dall’asse de ini o nel es o (APPENDICE) a o e di a iazione sinusoidale delle e- loci à angenziali a o no alla o cia RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Angelico, G. e Fanelli, M. (1997)– On he Exci a ion Mecha- nism o Pa Load D a Tube Su ge in F ancis Tu bi- nes, 8 h In e na ional Mee ing o he IAHR W. G. on he beha iou o hyd aulic machine y unde s eady os- cilla o y condi ions, Cha ou, 18-19 Sep . 1997 Doe le , P. (1982)– Vo ex ope exci ed oscilla ions in he d a ube o F ancis u bines wo king a pa ial load ( hesis, in Ge man), 1982 Fanelli, M. (1989)– The o ex ope in he d a ube o F an- cis u bines ope a ing a pa ial load: a p oposal o a ma hema ical model, appo o in e no ENEL/CRIS, 1988; pubblica o sul Jou nal o Hyd aulic Resea ch, 1989 Fanelli, M. (1993) – La luidodinamica nelle u bomacchine: il dualismo i o azionali à-ci colazione, Associazione Id o ecnica I aliana, Cong esso Nazionale Macchine e Appa ecchia u e Id auliche, Ba eno 25-28 Maggio 1993 (pagg. 209-250) Fanelli, M. (1996) –Some p esen ends in hyd aulic machi- ne y esea ch, In i ed Lec u e a he XVIII IAHR Symposium on Hyd aulic Machine y and Ca i a ion, Valencia, 1996 Fanelli, M. 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(1940)– Powe Swings in Hyd oelec ic Po- we Plan s, T ansac ions ASME, Vol. 62, 1940 APPENDICE Il modello ‘ad e ol en i’: s iluppi ma ema ici e conside azioni c i iche Che lo schema ad e ol en i equispazia e, così come succin amen e p esen a o sop a, sia eccessi- amen e sempli ica o si ica a a l’al o dal a o 34 Michele Fanelli INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003 n Q0 h R ρ , , ϑ J x , y z q ∇ — 2 2 m Φ F pozzi Φ F S.T. Φ F TOT Φ F cono V V ϑ J Vz α a ω w ω w 0 τ q τ V τ ρ τ , , ϑ J τ ϕ j = = 2 2 . . π p − - ϑ J τ γ g ϑ J 0 0 β b che in esso la eloci à angenziale isul e ebbe nulla, e quindi non si a ebbe il mo o p ecessiona io della o cia. Il modello do ebbe quindi quan o meno esse e co e o in oducendo una a iazione ciclica in ϑ dell’in e allo a due equipo enziali consecu i e ( . anche FIG. 7). Nel modello così come enuncia o sop a si a ebbe o le elazioni seguen i: in coo dina e pola i ρτ , ϑτ cen a e sul cen o della o cia (si è pos o a bi a iamen e Φ S.T.= 0 pe ρτ = τ , ossia sul con o no della sezione della o - cia; il po enziale in ques ione sa ebbe adialmen e simme ico ispe o al cen o della o cia); do e ϕ = 2.( π - ϑτ )e ϑτ = 0 sulla congiungen e il cen o della egione cilind ica sede del campo con il cen o della o cia; è qui l’eccen ici à della o cia. Manca, a chiude e o malmen e il modello ma ema ico, una elazione analoga alla (8*), da o che non è possibile, come ci a o all’inizio di ques a APPENDICE, esp ime e una eloci à di p ecessio- ne della o cia; in a i il po enziale (A.1), essendo a simme ia adiale ispe o al cen o della o cia, non gene a eloci à angenziali della o cia s essa. Se si olesse s iluppa e il modello in odu- cendo una a iazione ciclica della dis anza a equi- po enziali successi e [ . eq. V = V0. (1+ β .cos ϑ 0) qui so o], si po ebbe o usa e le elazioni seguen i: a) elazioni geome iche - equazione pola e dell’equipo enziale gene i- ca, con polo nel cen o della o cia: ( ϑ 0 azimu dell’ equipo enziale gene ica all’in e sezione con la se- zione della o cia di aggio τ; l’o igine degli azi- mu è sulla congiungen e il cen o del ce chio di aggio Rcon il cen o della o cia) -in e sezione dell’equipo enziale col ce chio di aggio R: azimu ϕ : - aggio e o e dal cen o o cia: ; eliminando ϕ a le due ul ime elazioni si ica a α ( ϑ 0)sul ce chio di aggio R; sos i uendo nella penul ima elazione si o iene ϕ ( ϑ 0); in oducendo ques ’ul ima nell’ul ima equazione sc i a si o iene ρ τ( ϑ 0) -angolo γ a il aggio angen e alla sezione o cia e il aggio e o e dal cen o del ce chio di aggio Rda o da: do e α = α ( ϑ 0), . sop a ; si ica a γ = γ( ϑ 0) b) elazioni cinema iche: -ci colazione o cia: 35 LA “TORCIA”: UN ULTERIORE TENTATIVO DI MODELLAZIONE SEMPLIFICATA DELL’INTERAZIONE TORCIA-GIRANTE INGENIERÍA DEL AGUA · VOL. 10 · Nº 1 MARZO 2003 8 La (A.1) si ica a in eg ando la 9 La (A.3) si ica a in eg ando la do e (A.1)8 (A.2) ; (A.3)9 , (V0, τ incogni e)