P oblemas de Elec omagne ismo
Jaime E. Villa e
Faculdade de Engenha ia
da Uni e sidade do Po o, Po ugal
Ma c¸o de 2005
P oblemas de Elec omagne ismo 2
1 Ca ga e campo el´
ec ico
1. Quando uma lˆ
amina de ace a o, elec izada po icc¸˜
ao, se ap oxima a 1 cm de pequenos
pedac¸os de papel sob e uma mesa, es es ascendem colando-se ao ace a o. Cada pedac¸o de
papel ´
e ap oximadamen e um quad ado com 0,5 cm de lado, co ados de uma olha de papel
de 80 g/m2. Fac¸a uma es ima i a da o dem de g andeza da ca ga do ace a o, admi indo que
uma ca ga idˆ
en ica e de sinal opos o ´
e induzida em cada pedac¸o de papel.
2. Duas ca gas q1eq2 ˆ
em a ca ga o al q1+q2=10 µC. Quando es ˜
ao a uma dis ˆ
ancia de 3 m,
o m´
odulo da o c¸a exe cida po uma das ca gas sob e a ou a ´
e igual a 24 mN. Calcule q1eq2,
se:(a) Ambas o em posi i as. (b) Uma o posi i a e a ou a o nega i a.
3. O campo el´
ec ico na a mos e a e es e ´
e da o dem dos 150 N/C e ´
e di igido pa a o cen o da
Te a. Calcule a elac¸˜
ao en e o peso de um elec ˜
aoeom´
odulo da o c¸a el´
ec ica opos a exe -
cida pelo campo el´
ec ico da a mos e a (a massa do elec ˜
ao ´
e 9,11·10−31 kg, e a acele ac¸˜
ao
da g a idade, em Po ugal, ´
e 9,80 m/s2).
4. T ˆ
es ca gas pon uais es ˜
ao ligadas po dois ios isolan es de 2,65 cm cada um ( e igu a).
Calcule a ens˜
ao em cada io.
3,2 nC 5,1 nC 7,4 nC
5. Um sis ema de ˆ
es ca gas pon uais es ´
a em equil´
ıb io (a o c¸a elec os ´
a ica sob e cada ca ga
´
e ze o). Sabendo que duas das ca gas s˜
ao qe 2q, sepa adas po uma dis ˆ
ancia d, calcule o
alo e a posic¸˜
ao da e cei a ca ga.
6. Calcule a o c¸a el´
ec ica que ac ua sob e cada uma das ca gas ep esen adas na igu a e o
campo el´
ec ico no pon o P.
1cm 1cm
−5 nC 9nC
7nC
1cm
√3 cm
P
7. Um n´
ucleo de h´
elio ( amb´
em chamado pa ´
ıcula al a)´
e o mado po dois p o ˜
oes e dois
neu ˜
oes. A o c¸a elec os ´
a ica en e os p o ˜
oes ´
e epulsi a e mui o o e, pois a dis ˆ
ancia
en e eles ´
e mui o pequena (ap oximadamen e 10−15 m). A es abilidade do n´
ucleo ´
e de ida
`
a exis ˆ
encia de uma ou a o c¸a en e p o ˜
oes e neu ˜
oes, chamada o c¸a o e. Pa a e uma
ideia da o dem de g andeza da o c¸a o e, calcule a o c¸a elec os ´
a ica en e os dois p o ˜
oes
no n´
ucleo de h´
elio.
P oblemas de Elec omagne ismo 3
8. Na igu a ep esen am-se algumas linhas de campo el´
ec ico de um sis ema de duas pa ´
ıculas
com ca ga. O pon o P encon a-se a 4 cm da ca ga q1e a 3 cm da ca ga q2. (a) Qual ´
e o sinal
das ca gas? (b) Qual ´
e a elac¸˜
ao (q1/q2) en e elas? (c) Comple e o desenho das linhas de
campo. (d) Se q2=−4,5 nC, calcule a o c¸a en e as duas ca gas.
P
9. (a) Se uma bola de sab˜
ao o ca egada elec icamen e, o seu diˆ
ame o ai aumen a , diminui
ou pe manece igual? (b) Se coloca mos a bola de sab˜
ao num campo el´
ec ico uni o me, o
que acon ece com a sua o ma?
Respos as
1. 0,5 nC
2. (a) 6 µC, e 4 µC (b) 12 µC, e −2µC
3. A o c¸a elec os ´
a ica ´
e 2,7·1012 ezes maio que o peso
4. A ens˜
ao no io do lado esque do ´
e 285 µN e no io do lado di ei o 560 µN.
5. A e cei a ca ga ´
e−0,343q, e encon a-se en e as ou as duas ca gas, a uma dis ˆ
ancia 0,414d
da ca ga q
6. Com o igem na ca ga q1=−5 nC, eixo dos xna di ecc¸˜
ao de q2=9 nC, e eixo dos yna
di ecc¸˜
ao de q3=7 nC, as o c¸as e o campo s˜
ao
~
F1= (1,35~
i+3,15~
j)mN, ~
F2= (−0,12~
i−0,71~
j)mN,
~
F3= (−1,23~
i−2,44~
j)mN, ~
EP= (−0,545~
i−0,135~
j)N/µC
7. 230,4 N
8. (a) Nega i o (b)q1/q2=16/9 (d) 66 µN
9. (a) Aumen a, de ido `
a epuls˜
ao elec os ´
a ica en e as ca gas na supe ´
ıcie. (b) O campo
induz ca gas posi i as e nega i as na bola; as o c¸as sob e essas ca gas de o mam a bola,
o nando-a num elips´
oide com o eixo maio na di ecc¸˜
ao do campo.
P oblemas de Elec omagne ismo 4
2 Condu o es e isolado es. Lei de Gauss
1. Uma moeda de cob e em massa igual a 3 g. Admi indo que exis a um elec ˜
ao li e po
cada ´
a omo, calcule o n´
ume o de elec ˜
oes li es na moeda (a massa a ´
omica do cob e ´
e 63,5
unidades, e o n´
ume o de A ogad o ´
e igual a 6,02·1023).
2. Duas es e as me ´
alicas idˆ
en icas, com aio 6 mm e massa 7,3 g, encon am-se pendu adas do
mesmo pon o, po meio de dois ios de 9 cm de comp imen o. As es e as es ˜
ao subme sas em
´
oleo e ˆ
em ca gas el´
ec icas iguais, que azem com que os dois ios o mem um ˆ
angulo de 40◦
en e si. Sabendo que a cons an e diel´
ec ica do ´
oleo ´
e 2,2 e a sua massa ol´
umica ´
e 0,9 g/cm3,
calcule o alo das ca gas.
40°
3. Uma ca ga pon ual q=2µC encon a-se na o igem. Uma supe ´
ıcie es ´
e ica de 3 m de aio
em cen o no eixo dos xx, em x=5 m. (a) Desenhe as linhas de campo da ca ga qe a es e a.
Alguma linha de campo a a essa a es e a? (b) Con ando as linhas que en am como posi i as
e as linhas que saem nega i as, qual ´
e o nume o o al de linhas que a a essam a es e a? (c)
Calcule o luxo el´
ec ico a a ´
es da es e a.
4. Uma ca ga pon ual de 5 nC encon a-se a 6 cm de um io ec il´
ıneo mui o comp ido, com ca ga
linea cons an e e igual a 7 nC/cm. Calcule a o c¸a elec os ´
a ica sob e o io.
5. Uma pa ´
ıcula pon ual com massa igual a 25 g e ca ga de 50 nC encon a-se pendu ada de um
io de 7 cm que es ´
a colado a um plano e ical. O plano e ical em uma ca ga supe icial
cons an e σ=17 nC/cm2e pode se conside ado in ini o. Calcule o ˆ
angulo θque o io az
com o plano e ical.
θ
σ
7 cm
6. Uma es e a de aio R em uma ca ga el´
ec ica Qdis ibuida uni o memen e den o do seu
olume. Usando a lei de Gauss, calcule o m´
odulo do campo el´
ec ico num pon o a uma
dis ˆ
ancia do cen o da es e a. Conside e os dois casos, ≥Re <R.
P oblemas de Elec omagne ismo 5
Respos as
1. 2,84·1022
2. 146 nC
3. (a) Algumas linhas a a essam a es e a. (b) 0. (c) 0
4. 1,05 mN
5. 62,97◦
6. Se ≥R,E=kQ
2. Se <R,E=kQ
R3

P oblemas de Elec omagne ismo 6
3 Po encial e equil´
ıb io elec os ´
a ico
1. Quando um elec ˜
ao ´
e acele ado, a pa i do epouso, a a ´
es de uma di e enc¸a de po encial de
220 V, ica com uma ene gia cin´
e ica de 220 eV. Calcule a elocidade inal do elec ˜
ao.
2. Num ubo de aios X os elec ˜
oes s˜
ao acele ados po meio de um campo el´
ec ico. Os elec ˜
oes
s˜
ao libe ados do epouso, deslocam-se no ´
acuo a a ´
es de uma egi˜
ao onde exis e uma
di e enc¸a de po encial de 4 kV, e chocam com um al o emi indo adiac¸˜
ao X. (a) Calcule a
ene gia e a elocidade com que chocam os elec ˜
oes no al o. (b) Se a a iac¸˜
ao de po encial se
es ende po uma dis ˆ
ancia de 8 dm, calcule o campo el´
ec ico m´
edio.
3. O po encial el´
ec ico a uma ce a dis ˆ
ancia de uma ca ga pon ual ´
e 600 V (a bi ando po encial
nulo no in ini o) e o campo el´
ec ico ´
e 200 N/C. Calcule a dis ˆ
ancia e o alo da ca ga.
4. Desenhe as linhas de campo el´
ec ico e as supe ´
ıcies equipo enciais nas p oximidades e nos
pon os a as ados do condu o ep esen ado na igu a, admi indo que es e em uma ca ga q.
5. Duas supe ´
ıcies condu o as es ´
e icas e concˆ
en icas ˆ
em aios de 5 cm e 7 cm. A supe ´
ıcie
meno em uma ca ga o al de 3 nC e a ca ga o al na supe ´
ıcie maio ´
e de −2 nC. Qual ´
e a
di e enc¸a de po encial en e as duas supe ´
ıcies?
6. A igu a ep esen a as linhas de campo elec os ´
a ico de duas pa ´
ıculas ca egadas e sepa adas
po uma dis ˆ
ancia de 7 cm. (a) Calcule a dis ˆ
ancia do pon o P `
as pa ´
ıculas. (b) Sabendo que
a ca ga da pa ´
ıcula no lado di ei o ´
e de −8 nC, calcule o po encial no pon o P (a bi e V=0
no in ini o).
P
P oblemas de Elec omagne ismo 7
7. Nos ˆ
es desenhos que se seguem, ep esen am-se as supe ´
ıcies equipo enciais de ˆ
es sis emas
de duas ca gas pon uais q1eq2. Em odos os casos q1=3 nC, e a dis ˆ
ancia en e as duas ca gas
´
e 6 cm. Nos desenhos (a)e(b) a dis ˆ
ancia en e o pon o P e a ca ga q1´
e igual a 2 cm. Calcule
q2nos ˆ
es casos.
(a)
P
(b)
P
(c)
8. A igu a mos a as supe ´
ıcies equipo enciais de uma ca ga pon ual no in e io de um campo
el´
ec ico uni o me ~
Eex . A g andes dis ˆ
ancias da ca ga pon ual as supe ´
ıcies s˜
ao planos pa a-
lelos dis anciados 8 cm. (a) Calcule o m´
odulo e a di ecc¸˜
ao do campo ex e no ~
Eex . (b) Diga se
a ca ga pon ual ´
e posi i a ou nega i a. Jus i ique. (c) Qual ´
e a di ecc¸˜
ao da o c¸a sob e a ca ga
pon ual? (d) Sabendo que a dis ˆ
ancia en e a ca ga pon ual e o pon o P ´
e 9 cm, calcule o alo
da ca ga pon ual.
P
15V
30V
45V
60V
75V
90V
8cm
Respos as
1. 8,80·106m/s
2. (a)E=6,4·10−16 J, =37,5 Mm/s (b) 5 kV/m
3. 3 m, 200 nC
5. 154,3 V
6. (a) 4,2 cm e 2,8 cm (b)−2858,56 V
7. (a) 12 nC (b)−48 nC (c)−3 nC
8. (a) 187,5 V/m, pa a baixo (b) nega i a (c) pa a cima (d)−0,169 nC
P oblemas de Elec omagne ismo 8
4 Capacidade. Fo c¸a elec omo iz. Co en e
1. Calcule o aio que de e ´
a e uma es e a condu o a com uma capacidade de um a ad.
2. (a) Qual ´
e a ca ga supe icial m´
axima (σmax) que pode exis i na supe ´
ıcie de um condu o
isolado, odeado po a , sem se p oduzi uma desca ga el´
ec ica? (b) Qual ´
e o aio m´
ınimo
( min) de uma es e a me ´
alica pa a que possa es a ao po encial de 106V sem se desca ega ?
(c) Calcule o po encial m´
aximo que pode alcanc¸a uma es e a me ´
alica de aio 1 cm.
3. Uma ba e ia de au om´
o el em uma ca ga de 50 Ah. Calcule a massa o al de ´
acido sul ´
u ico
que eage no elec ´
oli o, e a massa de sul a o de chumbo acumulado nos el´
ec odos, ap´
os a
ba e ia desca ega , icando com 70 % da ca ga m´
axima.
4. Uma ba e ia de au om´
o el em esc i o o alo 250 Ah, que co esponde `
a ca ga dispon´
ı el
quando a ba e ia es ´
a ca egada a 100%. (a) Depois de algum uso, a ba e ia desca ega-se
a ´
e 60%. A que ca ga co esponde es e alo no sis ema in e nacional de unidades? (b) Pa a
eca eg´
a-la, a ba e ia oi ligada a um ca egado de 12 V. Inicialmen e a co en e no ca egado
oi 7 A, e ao im de 6 ho as diminuiu a ´
e 3 A. Admi indo que a co en e diminuiu linea men e,
com que pe cen agem da sua ca ga m´
axima ica a ba e ia no im das 6 ho as?
5. Um disco de 18 cm de aio oda a 33 o ac¸˜
oes po minu o num gi a-discos. A supe ´
ıcie do
disco em uma ca ga supe icial cons an e igual a 0,82 nC/cm2. Calcule a co en e el´
ec ica
associada `
a o ac¸˜
ao do disco.
6. Uma calculado a pode unciona com um adap ado que o nece 40 mA, a 3 V, ou com duas
pilhas AA cada uma com 1,5 V e uma capacidade de 8 A h. Admi indo que a calculado a
u iliza a mesma po ˆ
encia quando unciona a pilhas ou com o adap ado , po quan o empo
pode ´
a unciona an es de se p eciso muda as pilhas?
7. Numa casa, o us´
ı el do og˜
ao el´
ec ico na caixa de us´
ı eis ´
e de 30 A. Qual se ´
a a po ˆ
encia
m´
axima que pode ´
a e o og˜
ao? (admi a 230 V pa a a ede el´
ec ica casei a).
8. A co en e num cabo a ia de aco do com a elac¸˜
ao I=20+3 2, onde Imede-se em ampe e e
em segundos. (a) Que ca ga anspo a o cabo desde =0 a ´
e =10 s? (b) Qual ´
e o alo da
co en e cons an e que anspo a a mesma quan idade de ca ga no mesmo in e alo de empo?
Respos as
1. 8,99·109m (ap oximadamen e 1400 ezes o aio da Te a!)
2. (a) 2,6 nC/cm2(b) 1/3 m (c) 30 kV
3. 54,9 g de ´
acido sul ´
u ico e 169,7 g de sul a o de chumbo
4. (a) 5,4·105C (b) 72 %
5. 0,459 µA
6. 200 ho as
7. 6,9 kW
8. (a) 1200 C. (b) 120 A
P oblemas de Elec omagne ismo 9
5 Resis ˆ
encia
1. A empe a u a num dado momen o ´
e 12◦C. Quan o de e aumen a a empe a u a pa a que a
esis ˆ
encia de um io de cob e aumen e 10 %?
2. Um io condu o de 1 m de comp imen o em uma esis ˆ
encia de 0,3 Ω. O io ´
e es icado a ´
e o
seu comp imen o se 2 m. Qual ´
e a no a esis ˆ
encia?
3. A di e enc¸a de po encial en e os e minais de uma ba e ia ´
e 3 V quando a ba e ia ´
e pe co ida
po uma co en e de 4 A, no sen ido do e minal nega i o pa a o posi i o. Quando a co en e ´
e
de 2 A, no sen ido opos o, a di e enc¸a de po encial aumen a a ´
e 12 V. (a) Calcule a esis ˆ
encia
in e na da ba e ia. (b) Qual ´
e a em da ba e ia?
4. A esis ˆ
encia de uma lˆ
ampada incandescen e de 60 W e 230 V, `
a empe a u a ambien e de
20◦C, ´
eR=65 Ω. No en an o, as especi icac¸˜
oes do ab ican e (60 W e 230 V) conduzem a
um alo mui o mais ele ado da esis ˆ
encia. Jus i ique, calculando a empe a u a do ilamen o
de ungs ´
enio quando a lˆ
ampada se encon a acesa.
5. Um io condu o de cob e de 1,29 mm de diˆ
ame o e isolamen o de bo acha pode supo a ,
com segu anc¸a, uma co en e m´
axima de 6 A. (a) Qual ´
e a di e enc¸a de po encial que pode se
aplicada a 40 m des e io? (b) Calcule o campo el´
ec ico no io a a essado po uma co en e
de 6 A. (c) Calcule a po ˆ
encia dissipada no io quando conduz uma co en e de 6 A.
6. Um io de n´
ıquel-c omo de 1,8 mm de diˆ
ame o ai se usado pa a cons ui uma caldei a
de ´
agua que p oduza 8 g de apo de ´
agua po segundo. A on e de alimen ac¸˜
ao a se usada
o nece ens˜
ao con ´
ınua de 220 V. Calcule o comp imen o que de e e o io. (O calo de
e apo ac¸˜
ao da ´
agua ´
e de 2257,2 J/g.)
7. Pa a uma dada ba e ia, com em εe esis ˆ
encia in e na , qual ´
e o alo da esis ˆ
encia ex e na
Rque de e se ligada aos e minais pa a que a po ˆ
encia dissipada em calo na esis ˆ
encia R
seja m´
axima? Esboce o g ´
a ico da po ˆ
encia dissipada em unc¸˜
ao de R.
Respos as
1. 24,8◦C
2. 1,2 Ω
3. (a) 1,5Ω(b)9V
4. 2812◦C
5. (a) 3,12 V. (b)E=7,8·10−2V/m. (c) 18,7 W
6. 6,6 m
7. R=
P oblemas de Elec omagne ismo 16
9 Induc¸˜
ao elec omagn´
e ica
1. Indique o sen ido da co en e induzida no ci cui o da di ei a, quando a esis ˆ
encia no ci cui o
da esque da ´
e, subi amen e: (a) Aumen ada. (b) Reduzida.
R1
R2
ε
2. Um ´
ıman desloca-se a elocidade cons an e sob e o eixo de uma espi a, como mos a a igu a.
S N
(a) Fac¸a um esquema quali a i o do luxo magn´
e ico Φa a ´
es da espi a em unc¸˜
ao do empo
. Indique o ins an e 1em que o ´
ıman es ´
a a meio da a essia da espi a. (b) Desenhe o g ´
a ico
da co en e Ina espi a em unc¸˜
ao do empo.
3. Uma ba a me ´
alica de comp imen o l=9 cm desloca-se com elocidade uni o me =18
cm/s, den o de um campo magn´
e ico uni o me B=3,5 G, pe pendicula `
a ba a ( e igu a).
Calcule a di e enc¸a de po encial Va−Vb.
B
a
b
4. Um a i˜
ao Boeing 747 em um comp imen o o al de 60 m en e as pon as das asas. O a i˜
ao
oa a 800 km/h e a uma al i ude cons an e, em di ecc¸˜
ao sul-no e, numa egi˜
ao onde o campo
magn´
e ico da Te a ´
e 0,5 G, o mando um ˆ
angulo de 60◦com a e ical. Calcule a di e enc¸a
de po encial induzida en e as pon as da asas.
5. Uma espi a quad ada de cob e, com 4 cm de lado, encon a-se sob e a supe ´
ıcie ho izon al de
uma mesa. Um elec o´
ıman es ´
a colocado em cima da mesa, com o seu p´
olo no e um pouco
acima e `
a esque da da espi a, de manei a que o campo de induc¸˜
ao magn´
e ica ´
e ap oximada-
men e uni o me e apon a pa a baixo a a ´
es da espi a, o mando um ˆ
angulo de 30◦com a
e ical. Calcule a em m´
edia induzida na espi a `
a medida que o campo de induc¸˜
ao magn´
e ica
a ia desde ze o a ´
e ao seu alo inal de 0,5 T, num in e alo de empo igual a 200 ms. Qual
se ´
a a di ecc¸˜
ao da co en e induzida?

P oblemas de Elec omagne ismo 17
6. Na igu a, uma ba a condu o a de comp imen o de massa m, desliza sob e dois ilhos
me ´
alicos e icais, den o de um campo magn´
e ico B, uni o me. A esis ˆ
encia dos ilhos
e da ba a s˜
ao desp ez´
a eis em elac¸˜
ao a R. A ba a man ´
em semp e o con ac o com os ilhos
mas o a i o com eles, assim como o a i o com o a , s˜
ao amb´
em desp ez´
ı eis. Quando a ba a
comec¸a a cai li emen e, o seu mo imen o ´
e inicialmen e acele ado, mas a inge logo uma
elocidade cons an e . Calcule a elocidade limi e .
R
d
Isolan e
B
7. No in e io do c´
ı culo a acejado na igu a, exis e um campo de induc¸˜
ao magn´
e ica apon ando
pa a den o do papel e com m´
odulo igual a 0,6e− /15 (unidades SI, = empo). Calcule o
m´
odulo, di ecc¸˜
ao e sen ido do campo el´
ec ico induzido den o do anel condu o de aio =
9cm.
Respos as
1. (a) An i-ho ´
a io. (b) Ho ´
a io
3. 5.67·10−6V
4. 0,33 V
5. 3,5 mV
6. =mgR
B2d2
7. Ei=0,0018e− /15, na di ecc¸˜
ao angen e ao anel e no sen ido ho ´
a io.
P oblemas de Elec omagne ismo 18
10 Ci cui os de co en e al e nada
1. A esis ˆ
encia de uma bobina ´
e 150Ωe a sua indu ˆ
ancia ´
e 1,4 H. A bobina ´
e ligada `
a ens˜
ao da
ede el´
ec ica, com ampli ude 311 V e equˆ
encia de 50 Hz. Calcule a co en e na bobina em
qualque ins an e .
2. A ens˜
ao e a co en e num ci cui o s˜
ao V( ) = 170sin(377 +3) (V)eI( ) = 10sin(377 +
3,2) (A). Desenhe os aso es co esponden es no plano complexo e calcule a impedˆ
ancia do
ci cui o.
3. Usando a de inic¸˜
ao do a ad e do hen y no sis ema in e nacional de unidades, demons e que
as impedˆ
ancias de um condensado (ZC) e de um indu o (ZL) ˆ
em unidades de esis ˆ
encia.
4. Pa a cada um dos ˆ
es ci cui os ep esen ados, calculeaimpedˆ
anciaequi alen een eospon os
indicados com um pequeno c´
ı culo, pa a uma ens˜
ao de en ada com equˆ
encia =2 kHz
300
300
300
2mH
2mH
2mH
1F
1F
1F
(a) (b) (c)
5. Um ci cui o LC ´
e o mado po um condensado de 5 µF em s´
e ie com um indu o de 2 H.
Inicialmen e, a ca ga no condensado ´
e ze o e n˜
ao exis e co en e no ci cui o; em =0 o
ci cui o ´
e ligado a uma em con ´
ınua de 60 V. Encon e as unc¸˜
oes que de inem a co en e e a
ca ga no condensado em unc¸˜
ao do empo, e esboce os espec i os g ´
a icos.
6. Os dois ci cui os da igu a, alimen ados po uma ens˜
ao de en ada Vecom equˆ
encia angula
ω, s˜
ao chamados il o passa-baixo (a) e il o passa-al o (b). De e mine a elac¸˜
ao en e a
ens˜
ao de sa´
ıda e a ens˜
ao de en ada Vs/Vepa a os dois casos. Explique po que ´
e que os
ci cui os s˜
ao chamados il o passa-baixo e il o passa-al o.
R
C
VeVs
C
R
VeVs
(a) (b)
7. No ci cui o LCR da igu a, calcule: (a)Om´
odulo e a ase da impedˆ
ancia. (b) A equˆ
encia de
essonˆ
ancia. (c) A po ˆ
encia m´
edia dissipada.
25F
1,4H
150
220V
50Hz
P oblemas de Elec omagne ismo 19
Respos as
1. I( ) = 0,669sin(314,16 −1,2421)A.
2. |Z|=17 Ω,ϕ=−11,46◦,Z= (16,66−i3,38)Ω.
4. (a)(2,039+i25,50)Ω. (b)(20,44−i75,87)Ω. (c)(9,566−i52,72)Ω
5. I=94,9sin(316,2 )mA, Q=300−300cos(316,2 )µC ( em segundos)
6. (a)Vs
Ve=1
p1+(ωRC)2(b)Vs
Ve=ωRC
p1+(ωRC)2
O ci cui o (a) il a as ens˜
oes com equˆ
encias al as e o ci cui o (b) il a as ens˜
oes com
equˆ
encias baixas.
7. (a)|Z|=587 Ω,ϕ=75,2◦. (b) 26,9 Hz. (c) 22,6 W
P oblemas de Elec omagne ismo 20
11 Ondas elec omagn´
e icas
1. Conside e uma onda elec omagn´
e ica plana, pola izada linea men e na di ecc¸˜
ao do eixo dos
x, que se p opaga na di ecc¸˜
ao posi i a do eixo dos y. A sua equˆ
encia ´
e de 12 MHz e a sua
ampli ude ´
eEo=0,008 V/m; (a) calcule o pe ´
ıodo e o comp imen o de onda (b) esc e a uma
exp ess˜
ao pa a E( )e pa a B( ).
2. Uma onda ha m´
onica plana, pola izada, com λ=3 m, p opaga-se na di ecc¸˜
ao do e so ~
j.
Esc e a as equac¸˜
oes dos campos el´
ec ico e magn´
e ico, conside ando que: (a) O e so de
pola izac¸˜
ao ´
e~ep= (~
i+~
k)/√2. (b)~ep= (~
i+√3~
k)/2. (c) A onda em pola izac¸˜
ao ci cula
nega i a.
3. Conside e uma onda elec omagn´
e ica plana, pola izada linea men e na di ecc¸˜
ao do eixo dos
x, que se p opaga na di ecc¸˜
ao posi i a do eixo dos y. A sua equˆ
encia ´
e de 12 MHz e a sua
ampli ude ´
eE0=0,008 V/m. (a) Calcule o pe ´
ıodo e o comp imen o de onda. (b) Esc e a as
unc¸˜
oes de onda dos campos EeB.
4. A igu a seguin e ep esen a o campo elec omagn´
e ico de uma onda plana de 420 MHz, no
ins an e =0. As linhas de campo e icais ep esen am o campo el´
ec ico e as linhas pe pen-
dicula es `
a olha de papel s˜
ao as linhas de induc¸˜
ao magn´
e ica. Calcule a dis ˆ
ancia de esc e a
o ec o de induc¸˜
ao magn´
e ica em unc¸˜
ao do empo e da coo denada x.
x
y
d
5. Uma onda elec omagn´
e ica plana p opaga-se no sen ido nega i o do eixo dos y. Num dado
ins an e =0 o campo el´
ec ico ´
e~
E=E0sin(2,25·107y)~
k, onde y´
e medido em me os.
(a) Calcule o comp imen o de onda. (b) Calcule a equˆ
encia. (c) Diga qual ´
e o ec o de
pola izac¸˜
ao.
6. Uma lˆ
amina me ´
alica mui o ex ensa encon a-se sob e o plano xy. A lˆ
amina ´
e ligada a uma
on e a i´
a el que p oduz um campo el´
ec ico uni o me no plano xy, mas a i´
a el no empo
segundo a equac¸˜
ao: ~
E=E0sin(ω )~
i,
onde E0eωs˜
ao cons an es. O campo el´
ec ico na lˆ
amina o igina uma onda elec omagn´
e ica
plana. Esc e a as unc¸˜
oes que ep esen am os campos el´
ec ico e de induc¸˜
ao magn´
e ica da
di a onda, em unc¸˜
ao do empo e da posic¸˜
ao.
P oblemas de Elec omagne ismo 21
Respos as
1. (a) e (b)~
E=E0sin[2π·108( −y/c)]~eε. (c)~
E=E0sin2π·108( −y/c+ϕ0)~
i+cos2π·
108( −y/c+ϕ0)~
k.
Nos 3 casos By=0, Bx=Ez/ceBz=−Ex/c
2. (a)T=83,33 ns, λ=25 m.
(b)~
E=0,008cos(0,2513y−75,40·106 +ϕ0)~
i
~
B=−2,67·10−11 cos(0,2513y−75,40·106 +ϕ0)~
k(unidades SI)
3. (a)P=8,33·10−8s, λ=25 m.
(b)E=0,008cos(0,2513y−75,40·106 +δ)~
i,B=−2,67·10−11 cos(0,2513y−75,40·
106 +δ)~
k
4. d=35,7cm,~
B=−B0cos2π(4,2·108 +1,40x)~
k( em segundos e xem me os)
5. (a) 279 nm. (b) 1,074·1015 Hz. (c) O e so ~
k
6. ~
E=(E0sin(ω −kz)~
i,z>0
E0sin(ω +kz)~
i,z<0.
~
B=




E0
csin(ω −kz)~
j,z>0
−E0
csin(ω +kz)~
j,z<0.