Problemas de Electromagnetismo

P oblemas de Elec omagne ismo Jaime E. Villa e Faculdade de Engenha ia da Uni e sidade do Po o, Po ugal Ma c¸o de 2005 P oblemas de Elec omagne ismo 2 1 Ca ga e campo el´ ec ico 1. Quando uma lˆ amina de ace a o, elec izada po icc¸˜ ao, se ap oxima a 1 cm de pequenos pedac¸os de papel sob e uma mesa, es es ascendem colando-se ao ace a o. Cada pedac¸o de papel ´ e ap oximadamen e um quad ado com 0,5 cm de lado, co ados de uma olha de papel de 80 g/m2. Fac¸a uma es ima i a da o dem de g andeza da ca ga do ace a o, admi indo que uma ca ga idˆ en ica e de sinal opos o ´ e induzida em cada pedac¸o de papel. 2. Duas ca gas q1eq2 ˆ em a ca ga o al q1+q2=10 µC. Quando es ˜ ao a uma dis ˆ ancia de 3 m, o m´ odulo da o c¸a exe cida po uma das ca gas sob e a ou a ´ e igual a 24 mN. Calcule q1eq2, se:(a) Ambas o em posi i as. (b) Uma o posi i a e a ou a o nega i a. 3. O campo el´ ec ico na a mos e a e es e ´ e da o dem dos 150 N/C e ´ e di igido pa a o cen o da Te a. Calcule a elac¸˜ ao en e o peso de um elec ˜ aoeom´ odulo da o c¸a el´ ec ica opos a exe - cida pelo campo el´ ec ico da a mos e a (a massa do elec ˜ ao ´ e 9,11·10−31 kg, e a acele ac¸˜ ao da g a idade, em Po ugal, ´ e 9,80 m/s2). 4. T ˆ es ca gas pon uais es ˜ ao ligadas po dois ios isolan es de 2,65 cm cada um ( e igu a). Calcule a ens˜ ao em cada io. 3,2 nC 5,1 nC 7,4 nC 5. Um sis ema de ˆ es ca gas pon uais es ´ a em equil´ ıb io (a o c¸a elec os ´ a ica sob e cada ca ga ´ e ze o). Sabendo que duas das ca gas s˜ ao qe 2q, sepa adas po uma dis ˆ ancia d, calcule o alo e a posic¸˜ ao da e cei a ca ga. 6. Calcule a o c¸a el´ ec ica que ac ua sob e cada uma das ca gas ep esen adas na igu a e o campo el´ ec ico no pon o P. 1cm 1cm −5 nC 9nC 7nC 1cm √3 cm P 7. Um n´ ucleo de h´ elio ( amb´ em chamado pa ´ ıcula al a)´ e o mado po dois p o ˜ oes e dois neu ˜ oes. A o c¸a elec os ´ a ica en e os p o ˜ oes ´ e epulsi a e mui o o e, pois a dis ˆ ancia en e eles ´ e mui o pequena (ap oximadamen e 10−15 m). A es abilidade do n´ ucleo ´ e de ida ` a exis ˆ encia de uma ou a o c¸a en e p o ˜ oes e neu ˜ oes, chamada o c¸a o e. Pa a e uma ideia da o dem de g andeza da o c¸a o e, calcule a o c¸a elec os ´ a ica en e os dois p o ˜ oes no n´ ucleo de h´ elio. P oblemas de Elec omagne ismo 3 8. Na igu a ep esen am-se algumas linhas de campo el´ ec ico de um sis ema de duas pa ´ ıculas com ca ga. O pon o P encon a-se a 4 cm da ca ga q1e a 3 cm da ca ga q2. (a) Qual ´ e o sinal das ca gas? (b) Qual ´ e a elac¸˜ ao (q1/q2) en e elas? (c) Comple e o desenho das linhas de campo. (d) Se q2=−4,5 nC, calcule a o c¸a en e as duas ca gas. P 9. (a) Se uma bola de sab˜ ao o ca egada elec icamen e, o seu diˆ ame o ai aumen a , diminui ou pe manece igual? (b) Se coloca mos a bola de sab˜ ao num campo el´ ec ico uni o me, o que acon ece com a sua o ma? Respos as 1. 0,5 nC 2. (a) 6 µC, e 4 µC (b) 12 µC, e −2µC 3. A o c¸a elec os ´ a ica ´ e 2,7·1012 ezes maio que o peso 4. A ens˜ ao no io do lado esque do ´ e 285 µN e no io do lado di ei o 560 µN. 5. A e cei a ca ga ´ e−0,343q, e encon a-se en e as ou as duas ca gas, a uma dis ˆ ancia 0,414d da ca ga q 6. Com o igem na ca ga q1=−5 nC, eixo dos xna di ecc¸˜ ao de q2=9 nC, e eixo dos yna di ecc¸˜ ao de q3=7 nC, as o c¸as e o campo s˜ ao ~ F1= (1,35~ i+3,15~ j)mN, ~ F2= (−0,12~ i−0,71~ j)mN, ~ F3= (−1,23~ i−2,44~ j)mN, ~ EP= (−0,545~ i−0,135~ j)N/µC 7. 230,4 N 8. (a) Nega i o (b)q1/q2=16/9 (d) 66 µN 9. (a) Aumen a, de ido ` a epuls˜ ao elec os ´ a ica en e as ca gas na supe ´ ıcie. (b) O campo induz ca gas posi i as e nega i as na bola; as o c¸as sob e essas ca gas de o mam a bola, o nando-a num elips´ oide com o eixo maio na di ecc¸˜ ao do campo. P oblemas de Elec omagne ismo 4 2 Condu o es e isolado es. Lei de Gauss 1. Uma moeda de cob e em massa igual a 3 g. Admi indo que exis a um elec ˜ ao li e po cada ´ a omo, calcule o n´ ume o de elec ˜ oes li es na moeda (a massa a ´ omica do cob e ´ e 63,5 unidades, e o n´ ume o de A ogad o ´ e igual a 6,02·1023). 2. Duas es e as me ´ alicas idˆ en icas, com aio 6 mm e massa 7,3 g, encon am-se pendu adas do mesmo pon o, po meio de dois ios de 9 cm de comp imen o. As es e as es ˜ ao subme sas em ´ oleo e ˆ em ca gas el´ ec icas iguais, que azem com que os dois ios o mem um ˆ angulo de 40◦ en e si. Sabendo que a cons an e diel´ ec ica do ´ oleo ´ e 2,2 e a sua massa ol´ umica ´ e 0,9 g/cm3, calcule o alo das ca gas. 40° 3. Uma ca ga pon ual q=2µC encon a-se na o igem. Uma supe ´ ıcie es ´ e ica de 3 m de aio em cen o no eixo dos xx, em x=5 m. (a) Desenhe as linhas de campo da ca ga qe a es e a. Alguma linha de campo a a essa a es e a? (b) Con ando as linhas que en am como posi i as e as linhas que saem nega i as, qual ´ e o nume o o al de linhas que a a essam a es e a? (c) Calcule o luxo el´ ec ico a a ´ es da es e a. 4. Uma ca ga pon ual de 5 nC encon a-se a 6 cm de um io ec il´ ıneo mui o comp ido, com ca ga linea cons an e e igual a 7 nC/cm. Calcule a o c¸a elec os ´ a ica sob e o io. 5. Uma pa ´ ıcula pon ual com massa igual a 25 g e ca ga de 50 nC encon a-se pendu ada de um io de 7 cm que es ´ a colado a um plano e ical. O plano e ical em uma ca ga supe icial cons an e σ=17 nC/cm2e pode se conside ado in ini o. Calcule o ˆ angulo θque o io az com o plano e ical. θ σ 7 cm 6. Uma es e a de aio R em uma ca ga el´ ec ica Qdis ibuida uni o memen e den o do seu olume. Usando a lei de Gauss, calcule o m´ odulo do campo el´ ec ico num pon o a uma dis ˆ ancia do cen o da es e a. Conside e os dois casos, ≥Re <R. P oblemas de Elec omagne ismo 5 Respos as 1. 2,84·1022 2. 146 nC 3. (a) Algumas linhas a a essam a es e a. (b) 0. (c) 0 4. 1,05 mN 5. 62,97◦ 6. Se ≥R,E=kQ 2. Se <R,E=kQ R3 P oblemas de Elec omagne ismo 6 3 Po encial e equil´ ıb io elec os ´ a ico 1. Quando um elec ˜ ao ´ e acele ado, a pa i do epouso, a a ´ es de uma di e enc¸a de po encial de 220 V, ica com uma ene gia cin´ e ica de 220 eV. Calcule a elocidade inal do elec ˜ ao. 2. Num ubo de aios X os elec ˜ oes s˜ ao acele ados po meio de um campo el´ ec ico. Os elec ˜ oes s˜ ao libe ados do epouso, deslocam-se no ´ acuo a a ´ es de uma egi˜ ao onde exis e uma di e enc¸a de po encial de 4 kV, e chocam com um al o emi indo adiac¸˜ ao X. (a) Calcule a ene gia e a elocidade com que chocam os elec ˜ oes no al o. (b) Se a a iac¸˜ ao de po encial se es ende po uma dis ˆ ancia de 8 dm, calcule o campo el´ ec ico m´ edio. 3. O po encial el´ ec ico a uma ce a dis ˆ ancia de uma ca ga pon ual ´ e 600 V (a bi ando po encial nulo no in ini o) e o campo el´ ec ico ´ e 200 N/C. Calcule a dis ˆ ancia e o alo da ca ga. 4. Desenhe as linhas de campo el´ ec ico e as supe ´ ıcies equipo enciais nas p oximidades e nos pon os a as ados do condu o ep esen ado na igu a, admi indo que es e em uma ca ga q. 5. Duas supe ´ ıcies condu o as es ´ e icas e concˆ en icas ˆ em aios de 5 cm e 7 cm. A supe ´ ıcie meno em uma ca ga o al de 3 nC e a ca ga o al na supe ´ ıcie maio ´ e de −2 nC. Qual ´ e a di e enc¸a de po encial en e as duas supe ´ ıcies? 6. A igu a ep esen a as linhas de campo elec os ´ a ico de duas pa ´ ıculas ca egadas e sepa adas po uma dis ˆ ancia de 7 cm. (a) Calcule a dis ˆ ancia do pon o P ` as pa ´ ıculas. (b) Sabendo que a ca ga da pa ´ ıcula no lado di ei o ´ e de −8 nC, calcule o po encial no pon o P (a bi e V=0 no in ini o). P P oblemas de Elec omagne ismo 7 7. Nos ˆ es desenhos que se seguem, ep esen am-se as supe ´ ıcies equipo enciais de ˆ es sis emas de duas ca gas pon uais q1eq2. Em odos os casos q1=3 nC, e a dis ˆ ancia en e as duas ca gas ´ e 6 cm. Nos desenhos (a)e(b) a dis ˆ ancia en e o pon o P e a ca ga q1´ e igual a 2 cm. Calcule q2nos ˆ es casos. (a) P (b) P (c) 8. A igu a mos a as supe ´ ıcies equipo enciais de uma ca ga pon ual no in e io de um campo el´ ec ico uni o me ~ Eex . A g andes dis ˆ ancias da ca ga pon ual as supe ´ ıcies s˜ ao planos pa a- lelos dis anciados 8 cm. (a) Calcule o m´ odulo e a di ecc¸˜ ao do campo ex e no ~ Eex . (b) Diga se a ca ga pon ual ´ e posi i a ou nega i a. Jus i ique. (c) Qual ´ e a di ecc¸˜ ao da o c¸a sob e a ca ga pon ual? (d) Sabendo que a dis ˆ ancia en e a ca ga pon ual e o pon o P ´ e 9 cm, calcule o alo da ca ga pon ual. P 15V 30V 45V 60V 75V 90V 8cm Respos as 1. 8,80·106m/s 2. (a)E=6,4·10−16 J, =37,5 Mm/s (b) 5 kV/m 3. 3 m, 200 nC 5. 154,3 V 6. (a) 4,2 cm e 2,8 cm (b)−2858,56 V 7. (a) 12 nC (b)−48 nC (c)−3 nC 8. (a) 187,5 V/m, pa a baixo (b) nega i a (c) pa a cima (d)−0,169 nC P oblemas de Elec omagne ismo 8 4 Capacidade. Fo c¸a elec omo iz. Co en e 1. Calcule o aio que de e ´ a e uma es e a condu o a com uma capacidade de um a ad. 2. (a) Qual ´ e a ca ga supe icial m´ axima (σmax) que pode exis i na supe ´ ıcie de um condu o isolado, odeado po a , sem se p oduzi uma desca ga el´ ec ica? (b) Qual ´ e o aio m´ ınimo ( min) de uma es e a me ´ alica pa a que possa es a ao po encial de 106V sem se desca ega ? (c) Calcule o po encial m´ aximo que pode alcanc¸a uma es e a me ´ alica de aio 1 cm. 3. Uma ba e ia de au om´ o el em uma ca ga de 50 Ah. Calcule a massa o al de ´ acido sul ´ u ico que eage no elec ´ oli o, e a massa de sul a o de chumbo acumulado nos el´ ec odos, ap´ os a ba e ia desca ega , icando com 70 % da ca ga m´ axima. 4. Uma ba e ia de au om´ o el em esc i o o alo 250 Ah, que co esponde ` a ca ga dispon´ ı el quando a ba e ia es ´ a ca egada a 100%. (a) Depois de algum uso, a ba e ia desca ega-se a ´ e 60%. A que ca ga co esponde es e alo no sis ema in e nacional de unidades? (b) Pa a eca eg´ a-la, a ba e ia oi ligada a um ca egado de 12 V. Inicialmen e a co en e no ca egado oi 7 A, e ao im de 6 ho as diminuiu a ´ e 3 A. Admi indo que a co en e diminuiu linea men e, com que pe cen agem da sua ca ga m´ axima ica a ba e ia no im das 6 ho as? 5. Um disco de 18 cm de aio oda a 33 o ac¸˜ oes po minu o num gi a-discos. A supe ´ ıcie do disco em uma ca ga supe icial cons an e igual a 0,82 nC/cm2. Calcule a co en e el´ ec ica associada ` a o ac¸˜ ao do disco. 6. Uma calculado a pode unciona com um adap ado que o nece 40 mA, a 3 V, ou com duas pilhas AA cada uma com 1,5 V e uma capacidade de 8 A h. Admi indo que a calculado a u iliza a mesma po ˆ encia quando unciona a pilhas ou com o adap ado , po quan o empo pode ´ a unciona an es de se p eciso muda as pilhas? 7. Numa casa, o us´ ı el do og˜ ao el´ ec ico na caixa de us´ ı eis ´ e de 30 A. Qual se ´ a a po ˆ encia m´ axima que pode ´ a e o og˜ ao? (admi a 230 V pa a a ede el´ ec ica casei a). 8. A co en e num cabo a ia de aco do com a elac¸˜ ao I=20+3 2, onde Imede-se em ampe e e em segundos. (a) Que ca ga anspo a o cabo desde =0 a ´ e =10 s? (b) Qual ´ e o alo da co en e cons an e que anspo a a mesma quan idade de ca ga no mesmo in e alo de empo? Respos as 1. 8,99·109m (ap oximadamen e 1400 ezes o aio da Te a!) 2. (a) 2,6 nC/cm2(b) 1/3 m (c) 30 kV 3. 54,9 g de ´ acido sul ´ u ico e 169,7 g de sul a o de chumbo 4. (a) 5,4·105C (b) 72 % 5. 0,459 µA 6. 200 ho as 7. 6,9 kW 8. (a) 1200 C. (b) 120 A P oblemas de Elec omagne ismo 9 5 Resis ˆ encia 1. A empe a u a num dado momen o ´ e 12◦C. Quan o de e aumen a a empe a u a pa a que a esis ˆ encia de um io de cob e aumen e 10 %? 2. Um io condu o de 1 m de comp imen o em uma esis ˆ encia de 0,3 Ω. O io ´ e es icado a ´ e o seu comp imen o se 2 m. Qual ´ e a no a esis ˆ encia? 3. A di e enc¸a de po encial en e os e minais de uma ba e ia ´ e 3 V quando a ba e ia ´ e pe co ida po uma co en e de 4 A, no sen ido do e minal nega i o pa a o posi i o. Quando a co en e ´ e de 2 A, no sen ido opos o, a di e enc¸a de po encial aumen a a ´ e 12 V. (a) Calcule a esis ˆ encia in e na da ba e ia. (b) Qual ´ e a em da ba e ia? 4. A esis ˆ encia de uma lˆ ampada incandescen e de 60 W e 230 V, ` a empe a u a ambien e de 20◦C, ´ eR=65 Ω. No en an o, as especi icac¸˜ oes do ab ican e (60 W e 230 V) conduzem a um alo mui o mais ele ado da esis ˆ encia. Jus i ique, calculando a empe a u a do ilamen o de ungs ´ enio quando a lˆ ampada se encon a acesa. 5. Um io condu o de cob e de 1,29 mm de diˆ ame o e isolamen o de bo acha pode supo a , com segu anc¸a, uma co en e m´ axima de 6 A. (a) Qual ´ e a di e enc¸a de po encial que pode se aplicada a 40 m des e io? (b) Calcule o campo el´ ec ico no io a a essado po uma co en e de 6 A. (c) Calcule a po ˆ encia dissipada no io quando conduz uma co en e de 6 A. 6. Um io de n´ ıquel-c omo de 1,8 mm de diˆ ame o ai se usado pa a cons ui uma caldei a de ´ agua que p oduza 8 g de apo de ´ agua po segundo. A on e de alimen ac¸˜ ao a se usada o nece ens˜ ao con ´ ınua de 220 V. Calcule o comp imen o que de e e o io. (O calo de e apo ac¸˜ ao da ´ agua ´ e de 2257,2 J/g.) 7. Pa a uma dada ba e ia, com em εe esis ˆ encia in e na , qual ´ e o alo da esis ˆ encia ex e na Rque de e se ligada aos e minais pa a que a po ˆ encia dissipada em calo na esis ˆ encia R seja m´ axima? Esboce o g ´ a ico da po ˆ encia dissipada em unc¸˜ ao de R. Respos as 1. 24,8◦C 2. 1,2 Ω 3. (a) 1,5Ω(b)9V 4. 2812◦C 5. (a) 3,12 V. (b)E=7,8·10−2V/m. (c) 18,7 W 6. 6,6 m 7. R= P oblemas de Elec omagne ismo 16 9 Induc¸˜ ao elec omagn´ e ica 1. Indique o sen ido da co en e induzida no ci cui o da di ei a, quando a esis ˆ encia no ci cui o da esque da ´ e, subi amen e: (a) Aumen ada. (b) Reduzida. R1 R2 ε 2. Um ´ ıman desloca-se a elocidade cons an e sob e o eixo de uma espi a, como mos a a igu a. S N (a) Fac¸a um esquema quali a i o do luxo magn´ e ico Φa a ´ es da espi a em unc¸˜ ao do empo . Indique o ins an e 1em que o ´ ıman es ´ a a meio da a essia da espi a. (b) Desenhe o g ´ a ico da co en e Ina espi a em unc¸˜ ao do empo. 3. Uma ba a me ´ alica de comp imen o l=9 cm desloca-se com elocidade uni o me =18 cm/s, den o de um campo magn´ e ico uni o me B=3,5 G, pe pendicula ` a ba a ( e igu a). Calcule a di e enc¸a de po encial Va−Vb. B a b 4. Um a i˜ ao Boeing 747 em um comp imen o o al de 60 m en e as pon as das asas. O a i˜ ao oa a 800 km/h e a uma al i ude cons an e, em di ecc¸˜ ao sul-no e, numa egi˜ ao onde o campo magn´ e ico da Te a ´ e 0,5 G, o mando um ˆ angulo de 60◦com a e ical. Calcule a di e enc¸a de po encial induzida en e as pon as da asas. 5. Uma espi a quad ada de cob e, com 4 cm de lado, encon a-se sob e a supe ´ ıcie ho izon al de uma mesa. Um elec o´ ıman es ´ a colocado em cima da mesa, com o seu p´ olo no e um pouco acima e ` a esque da da espi a, de manei a que o campo de induc¸˜ ao magn´ e ica ´ e ap oximada- men e uni o me e apon a pa a baixo a a ´ es da espi a, o mando um ˆ angulo de 30◦com a e ical. Calcule a em m´ edia induzida na espi a ` a medida que o campo de induc¸˜ ao magn´ e ica a ia desde ze o a ´ e ao seu alo inal de 0,5 T, num in e alo de empo igual a 200 ms. Qual se ´ a a di ecc¸˜ ao da co en e induzida? P oblemas de Elec omagne ismo 17 6. Na igu a, uma ba a condu o a de comp imen o de massa m, desliza sob e dois ilhos me ´ alicos e icais, den o de um campo magn´ e ico B, uni o me. A esis ˆ encia dos ilhos e da ba a s˜ ao desp ez´ a eis em elac¸˜ ao a R. A ba a man ´ em semp e o con ac o com os ilhos mas o a i o com eles, assim como o a i o com o a , s˜ ao amb´ em desp ez´ ı eis. Quando a ba a comec¸a a cai li emen e, o seu mo imen o ´ e inicialmen e acele ado, mas a inge logo uma elocidade cons an e . Calcule a elocidade limi e . R d Isolan e B 7. No in e io do c´ ı culo a acejado na igu a, exis e um campo de induc¸˜ ao magn´ e ica apon ando pa a den o do papel e com m´ odulo igual a 0,6e− /15 (unidades SI, = empo). Calcule o m´ odulo, di ecc¸˜ ao e sen ido do campo el´ ec ico induzido den o do anel condu o de aio = 9cm. Respos as 1. (a) An i-ho ´ a io. (b) Ho ´ a io 3. 5.67·10−6V 4. 0,33 V 5. 3,5 mV 6. =mgR B2d2 7. Ei=0,0018e− /15, na di ecc¸˜ ao angen e ao anel e no sen ido ho ´ a io. P oblemas de Elec omagne ismo 18 10 Ci cui os de co en e al e nada 1. A esis ˆ encia de uma bobina ´ e 150Ωe a sua indu ˆ ancia ´ e 1,4 H. A bobina ´ e ligada ` a ens˜ ao da ede el´ ec ica, com ampli ude 311 V e equˆ encia de 50 Hz. Calcule a co en e na bobina em qualque ins an e . 2. A ens˜ ao e a co en e num ci cui o s˜ ao V( ) = 170sin(377 +3) (V)eI( ) = 10sin(377 + 3,2) (A). Desenhe os aso es co esponden es no plano complexo e calcule a impedˆ ancia do ci cui o. 3. Usando a de inic¸˜ ao do a ad e do hen y no sis ema in e nacional de unidades, demons e que as impedˆ ancias de um condensado (ZC) e de um indu o (ZL) ˆ em unidades de esis ˆ encia. 4. Pa a cada um dos ˆ es ci cui os ep esen ados, calculeaimpedˆ anciaequi alen een eospon os indicados com um pequeno c´ ı culo, pa a uma ens˜ ao de en ada com equˆ encia =2 kHz 300 300 300 2mH 2mH 2mH 1F 1F 1F (a) (b) (c) 5. Um ci cui o LC ´ e o mado po um condensado de 5 µF em s´ e ie com um indu o de 2 H. Inicialmen e, a ca ga no condensado ´ e ze o e n˜ ao exis e co en e no ci cui o; em =0 o ci cui o ´ e ligado a uma em con ´ ınua de 60 V. Encon e as unc¸˜ oes que de inem a co en e e a ca ga no condensado em unc¸˜ ao do empo, e esboce os espec i os g ´ a icos. 6. Os dois ci cui os da igu a, alimen ados po uma ens˜ ao de en ada Vecom equˆ encia angula ω, s˜ ao chamados il o passa-baixo (a) e il o passa-al o (b). De e mine a elac¸˜ ao en e a ens˜ ao de sa´ ıda e a ens˜ ao de en ada Vs/Vepa a os dois casos. Explique po que ´ e que os ci cui os s˜ ao chamados il o passa-baixo e il o passa-al o. R C VeVs C R VeVs (a) (b) 7. No ci cui o LCR da igu a, calcule: (a)Om´ odulo e a ase da impedˆ ancia. (b) A equˆ encia de essonˆ ancia. (c) A po ˆ encia m´ edia dissipada. 25F 1,4H 150 220V 50Hz P oblemas de Elec omagne ismo 19 Respos as 1. I( ) = 0,669sin(314,16 −1,2421)A. 2. |Z|=17 Ω,ϕ=−11,46◦,Z= (16,66−i3,38)Ω. 4. (a)(2,039+i25,50)Ω. (b)(20,44−i75,87)Ω. (c)(9,566−i52,72)Ω 5. I=94,9sin(316,2 )mA, Q=300−300cos(316,2 )µC ( em segundos) 6. (a)Vs Ve=1 p1+(ωRC)2(b)Vs Ve=ωRC p1+(ωRC)2 O ci cui o (a) il a as ens˜ oes com equˆ encias al as e o ci cui o (b) il a as ens˜ oes com equˆ encias baixas. 7. (a)|Z|=587 Ω,ϕ=75,2◦. (b) 26,9 Hz. (c) 22,6 W P oblemas de Elec omagne ismo 20 11 Ondas elec omagn´ e icas 1. Conside e uma onda elec omagn´ e ica plana, pola izada linea men e na di ecc¸˜ ao do eixo dos x, que se p opaga na di ecc¸˜ ao posi i a do eixo dos y. A sua equˆ encia ´ e de 12 MHz e a sua ampli ude ´ eEo=0,008 V/m; (a) calcule o pe ´ ıodo e o comp imen o de onda (b) esc e a uma exp ess˜ ao pa a E( )e pa a B( ). 2. Uma onda ha m´ onica plana, pola izada, com λ=3 m, p opaga-se na di ecc¸˜ ao do e so ~ j. Esc e a as equac¸˜ oes dos campos el´ ec ico e magn´ e ico, conside ando que: (a) O e so de pola izac¸˜ ao ´ e~ep= (~ i+~ k)/√2. (b)~ep= (~ i+√3~ k)/2. (c) A onda em pola izac¸˜ ao ci cula nega i a. 3. Conside e uma onda elec omagn´ e ica plana, pola izada linea men e na di ecc¸˜ ao do eixo dos x, que se p opaga na di ecc¸˜ ao posi i a do eixo dos y. A sua equˆ encia ´ e de 12 MHz e a sua ampli ude ´ eE0=0,008 V/m. (a) Calcule o pe ´ ıodo e o comp imen o de onda. (b) Esc e a as unc¸˜ oes de onda dos campos EeB. 4. A igu a seguin e ep esen a o campo elec omagn´ e ico de uma onda plana de 420 MHz, no ins an e =0. As linhas de campo e icais ep esen am o campo el´ ec ico e as linhas pe pen- dicula es ` a olha de papel s˜ ao as linhas de induc¸˜ ao magn´ e ica. Calcule a dis ˆ ancia de esc e a o ec o de induc¸˜ ao magn´ e ica em unc¸˜ ao do empo e da coo denada x. x y d 5. Uma onda elec omagn´ e ica plana p opaga-se no sen ido nega i o do eixo dos y. Num dado ins an e =0 o campo el´ ec ico ´ e~ E=E0sin(2,25·107y)~ k, onde y´ e medido em me os. (a) Calcule o comp imen o de onda. (b) Calcule a equˆ encia. (c) Diga qual ´ e o ec o de pola izac¸˜ ao. 6. Uma lˆ amina me ´ alica mui o ex ensa encon a-se sob e o plano xy. A lˆ amina ´ e ligada a uma on e a i´ a el que p oduz um campo el´ ec ico uni o me no plano xy, mas a i´ a el no empo segundo a equac¸˜ ao: ~ E=E0sin(ω )~ i, onde E0eωs˜ ao cons an es. O campo el´ ec ico na lˆ amina o igina uma onda elec omagn´ e ica plana. Esc e a as unc¸˜ oes que ep esen am os campos el´ ec ico e de induc¸˜ ao magn´ e ica da di a onda, em unc¸˜ ao do empo e da posic¸˜ ao. P oblemas de Elec omagne ismo 21 Respos as 1. (a) e (b)~ E=E0sin[2π·108( −y/c)]~eε. (c)~ E=E0sin2π·108( −y/c+ϕ0)~ i+cos2π· 108( −y/c+ϕ0)~ k. Nos 3 casos By=0, Bx=Ez/ceBz=−Ex/c 2. (a)T=83,33 ns, λ=25 m. (b)~ E=0,008cos(0,2513y−75,40·106 +ϕ0)~ i ~ B=−2,67·10−11 cos(0,2513y−75,40·106 +ϕ0)~ k(unidades SI) 3. (a)P=8,33·10−8s, λ=25 m. (b)E=0,008cos(0,2513y−75,40·106 +δ)~ i,B=−2,67·10−11 cos(0,2513y−75,40· 106 +δ)~ k 4. d=35,7cm,~ B=−B0cos2π(4,2·108 +1,40x)~ k( em segundos e xem me os) 5. (a) 279 nm. (b) 1,074·1015 Hz. (c) O e so ~ k 6. ~ E=(E0sin(ω −kz)~ i,z>0 E0sin(ω +kz)~ i,z<0. ~ B=     E0 csin(ω −kz)~ j,z>0 −E0 csin(ω +kz)~ j,z<0.