Depa amen o de Engenha ia Física
Sumá ios e Exames de Física 1, 2015
Jaime E. Villa e
Po o, julho de 2015
Copy igh © 2015, Jaime E. Villa e
E-mail: illa e@ e.up.p
Publicado sob a licença C ea i e Commons A ibuição-Pa ilha ( e são 3.0). Pa a ob e uma
cópia des a licença, isi e
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ou en ie uma ca a pa a C ea i e Commons, 559 Na han Abbo Way, S an o d, Cali o nia 94305,
USA.
Con eúdo
1 Sumá ios 1
1.1 Cinemá ica ...................................... 2
1.2 Cinemá ica e o ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Mo imen o cu ilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Mecânica e o ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Dinâmica dos co pos ígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 T abalho e ene gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.7 Sis emas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.8 Mecânica lag angiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.9 Sis emas linea es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.10 Sis emas não linea es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.11 Ciclos limi e e dinâmica populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2 Exames 73
2.1 Exame de época no mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.1.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.1.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2 Exame de época de ecu so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.2.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Bibliog a ia 85
i CONTEÚDO
Capí ulo 1
Sumá ios
Disciplina Física 1.
Cu so
Mes ado In eg ado em Engenha ia In o má ica e Compu ação. Segundo semes-
e do p imei o ano.
Ano académico 2014–2015, segundo semes e.
Regen e Jaime E. Villa e.
Docen es
Joana Ascenso, Ma ia Helena B aga, Vic o Hugo G anados Fe nandez e
Jaime E. Villa e.
Núme o de alunos 197.
Mé odo de a aliação Dis ibuída (dois es es, 40%) com exame inal (60%).

2Sumá ios
1.1 Cinemá ica 3
4Sumá ios
1.1 Cinemá ica 5
12 Sumá ios

1.3 Mo imen o cu ilíneo 13
14 Sumá ios
1.3 Mo imen o cu ilíneo 15
16 Sumá ios
1.3 Mo imen o cu ilíneo 17

18 Sumá ios
1.4 Mecânica e o ial 19
20 Sumá ios
1.4 Mecânica e o ial 21
28 Sumá ios

1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 29
30 Sumá ios
1.6 T abalho e ene gia 31
32 Sumá ios
1.6 T abalho e ene gia 33

34 Sumá ios
1.6 T abalho e ene gia 35
36 Sumá ios
1.6 T abalho e ene gia 37
44 Sumá ios

1.8 Mecânica lag angiana 45
46 Sumá ios
1.8 Mecânica lag angiana 47
48 Sumá ios
1.8 Mecânica lag angiana 49

50 Sumá ios
1.9 Sis emas linea es 51
52 Sumá ios
1.9 Sis emas linea es 53
60 Sumá ios

1.10 Sis emas não linea es 61
62 Sumá ios
1.10 Sis emas não linea es 63
64 Sumá ios
1.10 Sis emas não linea es 65

66 Sumá ios
1.11 Ciclos limi e e dinâmica populacional 67
68 Sumá ios
1.11 Ciclos limi e e dinâmica populacional 69
76 Exames
2.1.2 Resolução
P oblema 1
.
Mé odo 1
. Se
hA
e
hB
são as al u as dos dois cilind os, numa posição
inicial, quando a oldana oda um ângulo
θ
, no sen ido an i-ho á io, as al u as dos
cilind os são:
yA=hA−0.05θyB=hB+0.08θ
Assim sendo, o sis ema em um único g au de libe dade, que pode se o ângulo
θ
. As
exp essões pa a as elocidades e acele ações dos cilind os são en ão:
A=−0.05ω B=0.08ω
aA=−0.05αaB=0.08α
onde
ω=˙
θ
é a elocidade angula da oldana e
α=¨
θ
é a sua acele ação angula . A
exp essão pa a a ene gia ciné ica do sis ema é:
Ec=0.036
2(−0.05ω)2+0.024
2(0.08ω)2+4.43×10−7
2ω2=1.220215×10−4ω2
E a ene gia po encial g a í ica, igno ando e mos cons an es, é:
U=−0.036×9.8×0.05θ+0.024×9.8×0.08θ=1.176×10−3θ
Aplicando a equação de Lag ange, ob ém-se a acele ação angula :
d
d µ∂Ec
∂ω ¶−∂Ec
∂θ +∂U
∂θ =2.44043×10−4α−0+1.176×10−3=0=⇒ α=−4.8188
O sinal nega i o indica que a oldana acele a no sen ido ho á io. Como al, a acele ação
do bloco A é pa a cima e a do bloco B é pa a baixo, e os seus alo es absolu os são:
aA=0.05×4.8188 =0.2409 m ·s−2aB=0.08×4.8188 =0.3855 m·s−2

2.1 Exame de época no mal 77
TATB
TATB
PAPB
Fe
P
Mé odo 2
. A igu a ao lado mos a os diag amas de co po li e pa a a
oldana e pa a cada um dos cilind os. Admi indo que a acele ação
aA
do cilind o A é pa a cima, en ão a acele ação
aB
do cilind o B é pa a
baixo e a acele ação angula
α
da oldana é no sen ido ho á io. As ês
equações de mo imen o são:
TA−0.036×9.8 =0.036aA
0.024×9.8−TB=0.024aB
0.08TB−0.05TA=4.43 ×10−7α
jun o com as duas equações:
aA=0.05αaB=0.08α
em-se um sis ema de 5 equações linea es com 5 incógni as,
TA
,
TB
,
α
,
aA
e
aB
. A solução desse sis ema dá os mesmos alo es já encon ados
no mé odo 1 pa a
aA
e
aB
, com sinais posi i os, que indica que o
sen ido a bi ado pa a as acele ações oi o co e o.
P oblema 2
. Exis em á ias o mas possí eis de esol e es e p oblema; um mé odo
simples é o seguin e. T a a-se de um sis ema linea com ma iz:
·0−1
10+k k ¸
com aço, , e de e minan e, d;
=k d =k+10
A elação en e o aço e o de e minan e é
d= +
10. Num plano em que o eixo das
abcissas ep esen a o aço
e o eixo das o denadas ep esen a o de e minan e
d
, es a
elação é uma e a com decli e igual a 1, que co a o eixo das abcissas em 0=−10.
A cu a que delimi a a egião dos ocos da egião dos nós é a pa ábola
d= 2
/4, que
co a a e a d= +10 nos dois pon os onde:
2
2−2 −20 =0=⇒ =2±p44 =⇒ 1=2−2p11 ≈−4.633 2=2+2p11 ≈8.633
O g á ico seguin e mos a a e a e a pa ábola:
78 Exames
d
0 1 2
O pon o de equilíb io é pon o de sela, se o aço o meno que
0
, nó a a i o, se o aço
es i e en e
0
e
1
, oco a a i o, se o aço es i e en e
1
e 0, cen o se o aço o nulo,
oco epulsi o, se o aço es i e en e 0 e
2
ou nó epulsi o, se o aço o maio que
2
.
Tendo em con a que ké igual ao aço, o esul ado é en ão:
• Pon o de sela, se k<−10
• Nó a a i o, se −10 <k≤2−2p11
• Foco a a i o, se 2−2p11 <k<0
• Cen o, se k=0
• Foco epulsi o, se 0 <k<2+2p11
• Nó epulsi o, se k≥2+2p11
No e-se que quando
k=−
10, o pon o de equilíb io é não-hipe bólico, que não co es-
ponde a nenhuma das ca ego ias acima. Quando
k=
2
±
2
p11
, o pon o é nó imp óp io,
que já oi incluído nas ca ego ias acima.
Pe gun as
3. C
4. D
5. D
6. D
7. C
8. D
9. E
10. D
11. E
12. D
13. D
14. E
15. E
16. A
17. B
2.2 Exame de época de ecu so 79
2.2 Exame de época de ecu so
O exame ealizou-se no dia 14 de julho de 2015. Compa ece am 67 es udan es e a
no a média oi 9.3 alo es. A segui mos a-se o enunciado de uma das cinco e sões.
Nas ou as e sões mudam os alo es numé icos, a o dem das pe gun as e alguns
po meno es que não al e am signi ica i amen e as pe gun as.
MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORM´
ATICA E COMPUTAC¸ ˜
AO 2014/2015
EIC0010 — F´
ISICA I — 1oANO, 2oSEMESTRE 14 de julho de 2015
Nome:
Du a¸c˜ao 2 ho as. P o a com consul a de o mul´a io e uso de compu ado
. O o mul´a io pode ocupa
apenas uma olha A4 ( en e e e so) e o compu ado pode se usado unicamen e pa a ealiza c´alculos e n˜ao pa a
consul a apon amen os ou comunica com ou os! Use g= 9.8 m/s2.
1.
(4 pon os) Um homem com 72 kg empu a uma caixa de madei a com 8 kg sob e um ch˜ao ho izon al, exe cendo uma o ¸ca
ho izon al nela que a az desliza no ch˜ao. Sob e a caixa es ´a pousado um li o com 0.6 kg. O homem, a caixa e o li o
deslocam-se conjun amen e, com acele a¸c˜ao igual a 0.5 m/s
2
. De e mine o alo das o ¸cas de a i o en e o ch˜ao e a caixa,
en e a caixa e o li o e en e o ch˜ao e os p´es do homem, igno ando a esis ˆencia do a e sabendo que os coe icien es de
a i o es ´a ico (
µe
) e a i o cin´e ico (
µc
) s˜ao: en e o ch˜ao e a caixa,
µe
= 0
.
25 e
µc
= 0
.
2; en e a caixa e o li o,
µe
= 0
.
35
eµc= 0.28; en e o ch˜ao e os p´es do homem, µe= 0.4 e µc= 0.3.
2. (4 pon os) O sis ema dinˆamico:
˙x=y+x(x2+y2) ˙y=−x+y(x2+y2)
em um pon o de equil´ıb io na o igem. Use as subs i ui¸c˜oes
x
=
cos θ
,
y
=
sin θ
pa a ans o ma as equa¸c˜oes de
e olu¸c˜ao pa a coo denadas pola es. Encon e as exp ess˜oes pa a
˙
e
˙
θ
em un¸c˜ao de
e
θ
. Explique (con a gumen os
´alidos) que ipo de pon o de equil´ıb io ´e a o igem e quan os ciclos limi e exis em.
PERGUNTAS. Respos as ce as, 0.8 alo es, e adas, −0.2, em b anco, 0.
3.
No ins an e em que o bloco B desce com elocidade 18 cm/s,
com que elocidade se desloca o bloco A pa a cima?
A
B
(A) 36 cm/s
(B) 6 cm/s
(C) 54 cm/s
(D) 18 cm/s
(E) 9 cm/s
Respos a:
4.
A o ¸ca esul an e sob e um obje o de massa 2 kg ´e
~
F
= 7
ˆı
+ 5
ˆ
(SI). Se a elocidade do obje o em
= 0 o
3ˆı+ 4 ˆm/s, calcule a elocidade em = 6 s.
(A) 21.0ˆı+ 45.0 ˆ
(B) 24.0ˆı+ 19.0 ˆ
(C) 24.0ˆı+ 45.0 ˆ
(D) 45.0ˆı+ 94.0 ˆ
(E) 24.0ˆı+ 49.0 ˆ
Respos a:
5.
Um p imei o cilind o, com massa 30 g, ica em equil´ıb io
a uma al u a de 40 cm quando ´e pendu ado de uma mola
e ical. Subs i uindo o p imei o cilind o po ou o de
massa 31 g, es e ica em equil´ıb io a uma al u a de 34 cm.
De e mine o alo da cons an e el´as ica da mola.
(A) 17 mN/m
(B) 163 mN/m
(C) 82 mN/m
(D) 327 mN/m
(E) 33 mN/m
Respos a:
6.
A igu a mos a o g ´a ico da posi¸c˜ao de um pon o ao longo
da sua aje ´o ia em un¸c˜ao do empo. Se
a1
e
a6
ep e-
sen am a acele a¸c˜ao angencial nos dois ins an es
= 1 e
= 6, qual das a i ma¸c˜oes ´e co e a?
-1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8
s
(A) a1>0, a6>0
(B) a1<0, a6>0
(C) a1<0, a6<0
(D) a1= 0, a6= 0
(E) a1>0, a6<0
Respos a:
7.
A componen e angencial da o ¸ca esul an e sob e uma
pa ´ıcula de massa 2 (unidades SI) ´e dada pela exp ess˜ao
4
s
+7
, onde
s
´e a posi¸c˜ao na aje ´o ia e
o alo da elo-
cidade. Qual das ma izes na lis a ´e a ma iz do espe i o
sis ema dinˆamico linea ?
(A) 0 1
2 7/2
(B) 0 1
4 7
(C) 0 1
7/2 2
(D) 0 1
8 14
(E) 0 1
7 4
Respos a:
8.
A acele a¸c˜ao angencial de um obje o e i ica a exp ess˜ao
a
= 4
s2
(unidades SI), em que
s
´e a posi¸c˜ao na aje ´o ia.
Se o obje o pa e do epouso em
s
= 1 m, de e mine o
alo absolu o da sua elocidade em s= 2 m.
(A) 3.57 m/s
(B) 5.66 m/s
(C) 4.99 m/s
(D) 2.83 m/s
(E) 4.32 m/s
Respos a:
9.
Um pilo o de co idas de a i˜oes, com 100 kg, execu a um
loop e ical de 400 m de aio, com elocidade cons an e
em m´odulo. Sabendo que a o ¸ca e ical exe cida no pilo o
pela base do assen o do a i˜ao ´e igual a 2450 N, no pon o
mais baixo do loop, calcule a mesma o ¸ca no pon o mais
al o do loop.
(A) 2450 N
(B) 980 N
(C) 1470 N
(D) 245 N
(E) 490 N
Respos a:
10.
Numa m´aquina de A wood pendu am-se dois blocos A e
B nos ex emos de um io que passa po uma oldana; o
bloco A, mais pesado, desce com acele a¸c˜ao cons an e e o
bloco B, mais le e, sobe com o mesmo alo da acele a¸c˜ao.
Conside ando as o ¸cas seguin es:
1. Fo ¸ca de con ac o no eixo da oldana.
2. Peso do bloco A.
3. Peso do bloco B.
Quais dessas o ¸cas a uam sob e a oldana?
A B
(A) 1 e 2
(B) 1 e 3
(C) 1
(D) 1, 2 e 3
(E) 2 e 3
Respos a:
11.
Um sis ema dinˆamico com duas a i´a eis de es ado em
um ´unico pon o de equil´ıb io na o igem e um ciclo limi e.
Qual pode ´a se a ma iz jacobiana do sis ema na o igem?
(A) 1 1
2−1
(B) −1 1
−1 2 
(C) −1 1
1 1 
(D) 1−1
−2 1 
(E) 1 1
−1 2 
Respos a:
12.
O momen o de in´e cia de um cilind o de massa
m
, aio
R
e densidade cons an e, em ela¸c˜ao ao seu eixo, ´e
m R2/
2.
Quando esse cilind o oda sem de apa num plano in-
clinado de al u a
h
, pa indo do epouso, chega ao im
do plano com elocidade 2
g h
3
. Um segundo cilind o,
com o mesmo aio e massa mas densidade que depende
da dis ˆancia ao eixo, a inge uma elocidade
10 g h
7
no
mesmo plano inclinado, pa indo do epouso e odando
sem de apa . Qual ´e a exp ess˜ao do momen o de in´e cia
do segundo cilind o, em ela¸c˜ao ao seu eixo?
(A) 2
5m R2
(B) 3
5m R2
(C) 3
4m R2
(D) 2
3m R2
(E) 1
3m R2
Respos a:
13.
Qual das seguin es equa¸c˜oes pode a se uma das equa¸c˜oes
de e olu¸c˜ao num sis ema p edado p esa?
(A) ˙y=x+x y2
(B) ˙y= 2 y−5y2
(C) ˙y= 6 y−y2
(D) ˙y= 2 y2−3y
(E) ˙y=−5x y + 2 y
Respos a:
14. A equa¸c˜ao di e encial:
¨x−x2−3x−2=0
´e equi alen e a um sis ema dinˆamico com espa¸co de ase
(
x
,
˙x
). Qual dos pon os na lis a ´e um pon o de equil´ıb io
do sis ema?
(A) (1, 0)
(B) (0, 0)
(C) (−3, 0)
(D) (−1, 0)
(E) (3, 0)
Respos a:
15.
Lan¸ca-se um p oj´e il desde uma janela a 4.2 m de al u a,
com elocidade de 14 m/s, inclinada 30
◦
po cima da ho i-
zon al. Desp ezando a esis ˆencia do a , calcule a al u a
m´axima a ingida pelo p oj´e il.
(A) 14.2 m
(B) 5.5 m
(C) 6.7 m
(D) 11.7 m
(E) 9.2 m
Respos a:
16.
Calcule o alo da componen e angencial da acele a¸c˜ao
dum pon o, num ins an e em que o e o elocidade ´e
2ˆı+ 4 ˆe o e o acele a¸c˜ao ´e −5ˆı+ 8 ˆ(unidades SI).
(A) 22.0 m/s2
(B) 36.0 m/s2
(C) 9.39 m/s2
(D) 4.92 m/s2
(E) 8.05 m/s2
Respos a:
17.
Num sis ema que se desloca no eixo dos
x
, a o ¸ca esul-
an e ´e
x2
+
x−
2. Na lis a seguin e, qual dos alo es
co esponde `a posi¸c˜ao
x
dum pon o de equil´ıb io ins ´a el?
(A) -1
(B) 3
(C) -2
(D) 1
(E) 2
Respos a:

82 Exames
2.2.2 Resolução
P oblema 1. Exis em qua o pon os de con ac o en e co pos ígidos:
1. En e a base do li o e a ampa da caixa.
2. En e a base da caixa e o chão.
3. En e os pés do homem e o chão.
4.
En e as mãos do homem e a pa ede la e al di ei a da caixa (admi indo que es á a
se empu ada pa a a esque da).
Em 1 há eação no mal,
N1
, e ical, e o ça ho izon al,
F1
, de a i o es á ico po que o
li o não es á a desliza sob e a caixa. Em 2 há o ça de eação no mal,
N2
, e ical, e
o ça ho izon al,
F2
, de a i o ciné ico, po que a caixa desliza sob e o chão. Em 3 há
eação no mal,
N3
, e ical, e o ça ho izon al,
F3
, de a i o es á ico po que os pés do
homem não de apam sob e o chão (se de apassem, a caixa não acele a a). Em 4 há
apenas eação no mal,
N4
, po que o enunciado diz que a o ça que o homem exe ce na
caixa é ho izon al.
A igu a seguin e mos a os diag amas de co po li e do li o, da caixa e do homem.
Pl
F1
N1
Pc
F1
N1
F2
N2
N4
Ph
N4
N3
F3
A o ça de a i o es á ico
F1
de e a ua sob e o li o de di ei a pa a esque da, pa a que
o li o acele e pa a a esque da. O mesmo acon ece com a o ça de a i o es á ico
F3
a uando no homem. Essas duas o ças não podem ul apassa o alo máximo,
µeN
,
mas podem e qualque alo en e 0 e esse alo máximo. A o ça de a i o ciné ico
F2
é no sen ido opos o ao mo imen o da caixa e em módulo igual a
F2=µcN2=
0
.
2
N2
.
Os pesos do li o, da caixa e do homem são: Pl=5.88 N, Pc=78.4 N e Ph=705.6 N.
As duas equações de mo imen o de anslação do li o são (unidades SI):
N1=5.88
F1=mla=0.6×0.5 =0.3
As equações de mo imen o de anslação da caixa são:
N2=78.4+N1=84.28
N4−F1−F2=mca=⇒ N4=8×0.5+0.3+0.2×84.28 =21.156
2.2 Exame de época de ecu so 83
E as equações de mo imen o de anslação do homem são:
N3=705.6
F3−N4=mha=⇒ F3=72×0.5+21.156 =57.156
O alo máximo que pode e
F1
é 0
.
35
N1=
2
.
058 e o alo máximo possí el de
F3
é
0
.
4
N3=
282
.
24. Como os esul ados ob idos não ul apassam esses alo es máximos,
esses esul ados são álidos e a espos a é: a o ça de a i o en e a caixa e o li o é 0.3 N,
a o ça de a i o en e a caixa e o chão é 0
.
2
×
84
.
28
=
16
.
856 N e a o ça de a i o en e o
chão e os pés do homem é 57.156 N.
P oblema 2. As de i adas das exp essões x= cosθey= sinθsão:
˙
x=˙
cosθ− ˙
θsinθ
˙
y=˙
sinθ+ ˙
θcosθ
Subs i uindo nas equações de e olução, ob ém-se as equações de e olução em coo de-
nadas pola es:
˙
cosθ− ˙
θsinθ= sinθ+ 3cosθ
˙
sinθ+ ˙
θcosθ=− cosθ+ 3sinθ
que são duas equações linea es pa a
˙
e
˙
θ
. Aplicando qualque mé odo de esolução
de equações linea es, ob ém-se essas duas exp essões. Po exemplo, o mé odo de
eliminação; mul iplicando a p imei a equação po cosθe a segunda po sinθ,
˙
cos2θ− ˙
θsinθcosθ= sinθcosθ+ 3cos2θ
˙
sin2θ+ ˙
θsinθcosθ=− sinθcosθ+ 3sin2θ
e somando as duas equações ob êm-se a exp essão pa a ˙
˙
= 3
Mul iplicando a p imei a equação de e olução po sinθe a segunda po cosθ,
˙
sinθcosθ− ˙
θsin2θ= sin2θ+ 3sinθcosθ
˙
sinθcosθ+ ˙
θcos2θ=− cos2θ+ 3sinθcosθ
e sub aindo a p imei a equação da segunda ob êm-se a exp essão pa a ˙
θ
˙
θ=− =⇒ ˙
θ=−1 (se: 6=0)
Fo a da o igem,
é posi i a e, como al,
˙
= 3
é semp e posi i a. Ou seja, o es ado
do sis ema a as a-se semp e da o igem (
aumen a). Enquan o o es ado se a as a da
84 Exames
o igem, dá á ias ol as no sen ido nega i o (sen ido dos pon ei os do elógio), po que
˙
θ
é igual a
−
1. Isso implica que a o igem é um oco epulsi o e não exis e nenhum ciclo
limi e.
As exp essões pa a
˙
e
˙
θ
ambém podem se ob idas no Maxima com os seguin es
comandos:
(%i1) x: *cos(q)$
(%i2) y: *sin(q)$
(%i3) g ade ( , , )$
(%i4) g ade (q, ,w)$
(%i5) e1: di (x, ) = y+(x^2+y^2)*x;
(%o5)
cos(q) −sin(q) w =cos(q) ¡sin2(q) 2+cos2(q) 2¢+sin(q)
(%i6) e2: di (y, ) = -x+(x^2+y^2)*y;
(%o6)
cos(q) w +sin(q) =sin(q) ¡sin2(q) 2+cos2(q) 2¢−cos(q)
(%i7) igsimp(sol e([e1,e2],[ ,w]));
(%o7)
£ £ = 3,w=−1¤ ¤
Pe gun as
3. E
4. E
5. B
6. B
7. A
8. E
9. E
10. C
11. E
12. A
13. E
14. D
15. C
16. D
17. D
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