Sumários e Exames de Física 1, 2015

Depa amen o de Engenha ia Física Sumá ios e Exames de Física 1, 2015 Jaime E. Villa e Po o, julho de 2015 Copy igh © 2015, Jaime E. Villa e E-mail: illa e@ e.up.p Publicado sob a licença C ea i e Commons A ibuição-Pa ilha ( e são 3.0). Pa a ob e uma cópia des a licença, isi e h p://c ea i ecommons.o g/licenses/by-sa/3.0/ ou en ie uma ca a pa a C ea i e Commons, 559 Na han Abbo Way, S an o d, Cali o nia 94305, USA. Con eúdo 1 Sumá ios 1 1.1 Cinemá ica ...................................... 2 1.2 Cinemá ica e o ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Mo imen o cu ilíneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Mecânica e o ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Dinâmica dos co pos ígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6 T abalho e ene gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.7 Sis emas dinâmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.8 Mecânica lag angiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.9 Sis emas linea es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.10 Sis emas não linea es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 1.11 Ciclos limi e e dinâmica populacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2 Exames 73 2.1 Exame de época no mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.1.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.1.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.2 Exame de época de ecu so . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.2.1 Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.2.2 Resolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Bibliog a ia 85 i CONTEÚDO Capí ulo 1 Sumá ios Disciplina Física 1. Cu so Mes ado In eg ado em Engenha ia In o má ica e Compu ação. Segundo semes- e do p imei o ano. Ano académico 2014–2015, segundo semes e. Regen e Jaime E. Villa e. Docen es Joana Ascenso, Ma ia Helena B aga, Vic o Hugo G anados Fe nandez e Jaime E. Villa e. Núme o de alunos 197. Mé odo de a aliação Dis ibuída (dois es es, 40%) com exame inal (60%). 2Sumá ios 1.1 Cinemá ica 3 4Sumá ios 1.1 Cinemá ica 5 12 Sumá ios 1.3 Mo imen o cu ilíneo 13 14 Sumá ios 1.3 Mo imen o cu ilíneo 15 16 Sumá ios 1.3 Mo imen o cu ilíneo 17 18 Sumá ios 1.4 Mecânica e o ial 19 20 Sumá ios 1.4 Mecânica e o ial 21 28 Sumá ios 1.5 Dinâmica dos co pos ígidos 29 30 Sumá ios 1.6 T abalho e ene gia 31 32 Sumá ios 1.6 T abalho e ene gia 33 34 Sumá ios 1.6 T abalho e ene gia 35 36 Sumá ios 1.6 T abalho e ene gia 37 44 Sumá ios 1.8 Mecânica lag angiana 45 46 Sumá ios 1.8 Mecânica lag angiana 47 48 Sumá ios 1.8 Mecânica lag angiana 49 50 Sumá ios 1.9 Sis emas linea es 51 52 Sumá ios 1.9 Sis emas linea es 53 60 Sumá ios 1.10 Sis emas não linea es 61 62 Sumá ios 1.10 Sis emas não linea es 63 64 Sumá ios 1.10 Sis emas não linea es 65 66 Sumá ios 1.11 Ciclos limi e e dinâmica populacional 67 68 Sumá ios 1.11 Ciclos limi e e dinâmica populacional 69 76 Exames 2.1.2 Resolução P oblema 1 . Mé odo 1 . Se hA e hB são as al u as dos dois cilind os, numa posição inicial, quando a oldana oda um ângulo θ , no sen ido an i-ho á io, as al u as dos cilind os são: yA=hA−0.05θyB=hB+0.08θ Assim sendo, o sis ema em um único g au de libe dade, que pode se o ângulo θ . As exp essões pa a as elocidades e acele ações dos cilind os são en ão: A=−0.05ω B=0.08ω aA=−0.05αaB=0.08α onde ω=˙ θ é a elocidade angula da oldana e α=¨ θ é a sua acele ação angula . A exp essão pa a a ene gia ciné ica do sis ema é: Ec=0.036 2(−0.05ω)2+0.024 2(0.08ω)2+4.43×10−7 2ω2=1.220215×10−4ω2 E a ene gia po encial g a í ica, igno ando e mos cons an es, é: U=−0.036×9.8×0.05θ+0.024×9.8×0.08θ=1.176×10−3θ Aplicando a equação de Lag ange, ob ém-se a acele ação angula : d d µ∂Ec ∂ω ¶−∂Ec ∂θ +∂U ∂θ =2.44043×10−4α−0+1.176×10−3=0=⇒ α=−4.8188 O sinal nega i o indica que a oldana acele a no sen ido ho á io. Como al, a acele ação do bloco A é pa a cima e a do bloco B é pa a baixo, e os seus alo es absolu os são: aA=0.05×4.8188 =0.2409 m ·s−2aB=0.08×4.8188 =0.3855 m·s−2 2.1 Exame de época no mal 77 TATB TATB PAPB Fe P Mé odo 2 . A igu a ao lado mos a os diag amas de co po li e pa a a oldana e pa a cada um dos cilind os. Admi indo que a acele ação aA do cilind o A é pa a cima, en ão a acele ação aB do cilind o B é pa a baixo e a acele ação angula α da oldana é no sen ido ho á io. As ês equações de mo imen o são: TA−0.036×9.8 =0.036aA 0.024×9.8−TB=0.024aB 0.08TB−0.05TA=4.43 ×10−7α jun o com as duas equações: aA=0.05αaB=0.08α em-se um sis ema de 5 equações linea es com 5 incógni as, TA , TB , α , aA e aB . A solução desse sis ema dá os mesmos alo es já encon ados no mé odo 1 pa a aA e aB , com sinais posi i os, que indica que o sen ido a bi ado pa a as acele ações oi o co e o. P oblema 2 . Exis em á ias o mas possí eis de esol e es e p oblema; um mé odo simples é o seguin e. T a a-se de um sis ema linea com ma iz: ·0−1 10+k k ¸ com aço, , e de e minan e, d; =k d =k+10 A elação en e o aço e o de e minan e é d= + 10. Num plano em que o eixo das abcissas ep esen a o aço e o eixo das o denadas ep esen a o de e minan e d , es a elação é uma e a com decli e igual a 1, que co a o eixo das abcissas em 0=−10. A cu a que delimi a a egião dos ocos da egião dos nós é a pa ábola d= 2 /4, que co a a e a d= +10 nos dois pon os onde: 2 2−2 −20 =0=⇒ =2±p44 =⇒ 1=2−2p11 ≈−4.633 2=2+2p11 ≈8.633 O g á ico seguin e mos a a e a e a pa ábola: 78 Exames d 0 1 2 O pon o de equilíb io é pon o de sela, se o aço o meno que 0 , nó a a i o, se o aço es i e en e 0 e 1 , oco a a i o, se o aço es i e en e 1 e 0, cen o se o aço o nulo, oco epulsi o, se o aço es i e en e 0 e 2 ou nó epulsi o, se o aço o maio que 2 . Tendo em con a que ké igual ao aço, o esul ado é en ão: • Pon o de sela, se k<−10 • Nó a a i o, se −10 <k≤2−2p11 • Foco a a i o, se 2−2p11 <k<0 • Cen o, se k=0 • Foco epulsi o, se 0 <k<2+2p11 • Nó epulsi o, se k≥2+2p11 No e-se que quando k=− 10, o pon o de equilíb io é não-hipe bólico, que não co es- ponde a nenhuma das ca ego ias acima. Quando k= 2 ± 2 p11 , o pon o é nó imp óp io, que já oi incluído nas ca ego ias acima. Pe gun as 3. C 4. D 5. D 6. D 7. C 8. D 9. E 10. D 11. E 12. D 13. D 14. E 15. E 16. A 17. B 2.2 Exame de época de ecu so 79 2.2 Exame de época de ecu so O exame ealizou-se no dia 14 de julho de 2015. Compa ece am 67 es udan es e a no a média oi 9.3 alo es. A segui mos a-se o enunciado de uma das cinco e sões. Nas ou as e sões mudam os alo es numé icos, a o dem das pe gun as e alguns po meno es que não al e am signi ica i amen e as pe gun as. MESTRADO INTEGRADO EM ENG. INFORM´ ATICA E COMPUTAC¸ ˜ AO 2014/2015 EIC0010 — F´ ISICA I — 1oANO, 2oSEMESTRE 14 de julho de 2015 Nome: Du a¸c˜ao 2 ho as. P o a com consul a de o mul´a io e uso de compu ado . O o mul´a io pode ocupa apenas uma olha A4 ( en e e e so) e o compu ado pode se usado unicamen e pa a ealiza c´alculos e n˜ao pa a consul a apon amen os ou comunica com ou os! Use g= 9.8 m/s2. 1. (4 pon os) Um homem com 72 kg empu a uma caixa de madei a com 8 kg sob e um ch˜ao ho izon al, exe cendo uma o ¸ca ho izon al nela que a az desliza no ch˜ao. Sob e a caixa es ´a pousado um li o com 0.6 kg. O homem, a caixa e o li o deslocam-se conjun amen e, com acele a¸c˜ao igual a 0.5 m/s 2 . De e mine o alo das o ¸cas de a i o en e o ch˜ao e a caixa, en e a caixa e o li o e en e o ch˜ao e os p´es do homem, igno ando a esis ˆencia do a e sabendo que os coe icien es de a i o es ´a ico ( µe ) e a i o cin´e ico ( µc ) s˜ao: en e o ch˜ao e a caixa, µe = 0 . 25 e µc = 0 . 2; en e a caixa e o li o, µe = 0 . 35 eµc= 0.28; en e o ch˜ao e os p´es do homem, µe= 0.4 e µc= 0.3. 2. (4 pon os) O sis ema dinˆamico: ˙x=y+x(x2+y2) ˙y=−x+y(x2+y2) em um pon o de equil´ıb io na o igem. Use as subs i ui¸c˜oes x = cos θ , y = sin θ pa a ans o ma as equa¸c˜oes de e olu¸c˜ao pa a coo denadas pola es. Encon e as exp ess˜oes pa a ˙ e ˙ θ em un¸c˜ao de e θ . Explique (con a gumen os ´alidos) que ipo de pon o de equil´ıb io ´e a o igem e quan os ciclos limi e exis em. PERGUNTAS. Respos as ce as, 0.8 alo es, e adas, −0.2, em b anco, 0. 3. No ins an e em que o bloco B desce com elocidade 18 cm/s, com que elocidade se desloca o bloco A pa a cima? A B (A) 36 cm/s (B) 6 cm/s (C) 54 cm/s (D) 18 cm/s (E) 9 cm/s Respos a: 4. A o ¸ca esul an e sob e um obje o de massa 2 kg ´e ~ F = 7 ˆı + 5 ˆ (SI). Se a elocidade do obje o em = 0 o 3ˆı+ 4 ˆm/s, calcule a elocidade em = 6 s. (A) 21.0ˆı+ 45.0 ˆ (B) 24.0ˆı+ 19.0 ˆ (C) 24.0ˆı+ 45.0 ˆ (D) 45.0ˆı+ 94.0 ˆ (E) 24.0ˆı+ 49.0 ˆ Respos a: 5. Um p imei o cilind o, com massa 30 g, ica em equil´ıb io a uma al u a de 40 cm quando ´e pendu ado de uma mola e ical. Subs i uindo o p imei o cilind o po ou o de massa 31 g, es e ica em equil´ıb io a uma al u a de 34 cm. De e mine o alo da cons an e el´as ica da mola. (A) 17 mN/m (B) 163 mN/m (C) 82 mN/m (D) 327 mN/m (E) 33 mN/m Respos a: 6. A igu a mos a o g ´a ico da posi¸c˜ao de um pon o ao longo da sua aje ´o ia em un¸c˜ao do empo. Se a1 e a6 ep e- sen am a acele a¸c˜ao angencial nos dois ins an es = 1 e = 6, qual das a i ma¸c˜oes ´e co e a? -1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 6 7 8 s (A) a1>0, a6>0 (B) a1<0, a6>0 (C) a1<0, a6<0 (D) a1= 0, a6= 0 (E) a1>0, a6<0 Respos a: 7. A componen e angencial da o ¸ca esul an e sob e uma pa ´ıcula de massa 2 (unidades SI) ´e dada pela exp ess˜ao 4 s +7 , onde s ´e a posi¸c˜ao na aje ´o ia e o alo da elo- cidade. Qual das ma izes na lis a ´e a ma iz do espe i o sis ema dinˆamico linea ? (A) 0 1 2 7/2 (B) 0 1 4 7 (C) 0 1 7/2 2 (D) 0 1 8 14 (E) 0 1 7 4 Respos a: 8. A acele a¸c˜ao angencial de um obje o e i ica a exp ess˜ao a = 4 s2 (unidades SI), em que s ´e a posi¸c˜ao na aje ´o ia. Se o obje o pa e do epouso em s = 1 m, de e mine o alo absolu o da sua elocidade em s= 2 m. (A) 3.57 m/s (B) 5.66 m/s (C) 4.99 m/s (D) 2.83 m/s (E) 4.32 m/s Respos a: 9. Um pilo o de co idas de a i˜oes, com 100 kg, execu a um loop e ical de 400 m de aio, com elocidade cons an e em m´odulo. Sabendo que a o ¸ca e ical exe cida no pilo o pela base do assen o do a i˜ao ´e igual a 2450 N, no pon o mais baixo do loop, calcule a mesma o ¸ca no pon o mais al o do loop. (A) 2450 N (B) 980 N (C) 1470 N (D) 245 N (E) 490 N Respos a: 10. Numa m´aquina de A wood pendu am-se dois blocos A e B nos ex emos de um io que passa po uma oldana; o bloco A, mais pesado, desce com acele a¸c˜ao cons an e e o bloco B, mais le e, sobe com o mesmo alo da acele a¸c˜ao. Conside ando as o ¸cas seguin es: 1. Fo ¸ca de con ac o no eixo da oldana. 2. Peso do bloco A. 3. Peso do bloco B. Quais dessas o ¸cas a uam sob e a oldana? A B (A) 1 e 2 (B) 1 e 3 (C) 1 (D) 1, 2 e 3 (E) 2 e 3 Respos a: 11. Um sis ema dinˆamico com duas a i´a eis de es ado em um ´unico pon o de equil´ıb io na o igem e um ciclo limi e. Qual pode ´a se a ma iz jacobiana do sis ema na o igem? (A) 1 1 2−1 (B) −1 1 −1 2  (C) −1 1 1 1  (D) 1−1 −2 1  (E) 1 1 −1 2  Respos a: 12. O momen o de in´e cia de um cilind o de massa m , aio R e densidade cons an e, em ela¸c˜ao ao seu eixo, ´e m R2/ 2. Quando esse cilind o oda sem de apa num plano in- clinado de al u a h , pa indo do epouso, chega ao im do plano com elocidade 2 g h 3 . Um segundo cilind o, com o mesmo aio e massa mas densidade que depende da dis ˆancia ao eixo, a inge uma elocidade 10 g h 7 no mesmo plano inclinado, pa indo do epouso e odando sem de apa . Qual ´e a exp ess˜ao do momen o de in´e cia do segundo cilind o, em ela¸c˜ao ao seu eixo? (A) 2 5m R2 (B) 3 5m R2 (C) 3 4m R2 (D) 2 3m R2 (E) 1 3m R2 Respos a: 13. Qual das seguin es equa¸c˜oes pode a se uma das equa¸c˜oes de e olu¸c˜ao num sis ema p edado p esa? (A) ˙y=x+x y2 (B) ˙y= 2 y−5y2 (C) ˙y= 6 y−y2 (D) ˙y= 2 y2−3y (E) ˙y=−5x y + 2 y Respos a: 14. A equa¸c˜ao di e encial: ¨x−x2−3x−2=0 ´e equi alen e a um sis ema dinˆamico com espa¸co de ase ( x , ˙x ). Qual dos pon os na lis a ´e um pon o de equil´ıb io do sis ema? (A) (1, 0) (B) (0, 0) (C) (−3, 0) (D) (−1, 0) (E) (3, 0) Respos a: 15. Lan¸ca-se um p oj´e il desde uma janela a 4.2 m de al u a, com elocidade de 14 m/s, inclinada 30 ◦ po cima da ho i- zon al. Desp ezando a esis ˆencia do a , calcule a al u a m´axima a ingida pelo p oj´e il. (A) 14.2 m (B) 5.5 m (C) 6.7 m (D) 11.7 m (E) 9.2 m Respos a: 16. Calcule o alo da componen e angencial da acele a¸c˜ao dum pon o, num ins an e em que o e o elocidade ´e 2ˆı+ 4 ˆe o e o acele a¸c˜ao ´e −5ˆı+ 8 ˆ(unidades SI). (A) 22.0 m/s2 (B) 36.0 m/s2 (C) 9.39 m/s2 (D) 4.92 m/s2 (E) 8.05 m/s2 Respos a: 17. Num sis ema que se desloca no eixo dos x , a o ¸ca esul- an e ´e x2 + x− 2. Na lis a seguin e, qual dos alo es co esponde `a posi¸c˜ao x dum pon o de equil´ıb io ins ´a el? (A) -1 (B) 3 (C) -2 (D) 1 (E) 2 Respos a: 82 Exames 2.2.2 Resolução P oblema 1. Exis em qua o pon os de con ac o en e co pos ígidos: 1. En e a base do li o e a ampa da caixa. 2. En e a base da caixa e o chão. 3. En e os pés do homem e o chão. 4. En e as mãos do homem e a pa ede la e al di ei a da caixa (admi indo que es á a se empu ada pa a a esque da). Em 1 há eação no mal, N1 , e ical, e o ça ho izon al, F1 , de a i o es á ico po que o li o não es á a desliza sob e a caixa. Em 2 há o ça de eação no mal, N2 , e ical, e o ça ho izon al, F2 , de a i o ciné ico, po que a caixa desliza sob e o chão. Em 3 há eação no mal, N3 , e ical, e o ça ho izon al, F3 , de a i o es á ico po que os pés do homem não de apam sob e o chão (se de apassem, a caixa não acele a a). Em 4 há apenas eação no mal, N4 , po que o enunciado diz que a o ça que o homem exe ce na caixa é ho izon al. A igu a seguin e mos a os diag amas de co po li e do li o, da caixa e do homem. Pl F1 N1 Pc F1 N1 F2 N2 N4 Ph N4 N3 F3 A o ça de a i o es á ico F1 de e a ua sob e o li o de di ei a pa a esque da, pa a que o li o acele e pa a a esque da. O mesmo acon ece com a o ça de a i o es á ico F3 a uando no homem. Essas duas o ças não podem ul apassa o alo máximo, µeN , mas podem e qualque alo en e 0 e esse alo máximo. A o ça de a i o ciné ico F2 é no sen ido opos o ao mo imen o da caixa e em módulo igual a F2=µcN2= 0 . 2 N2 . Os pesos do li o, da caixa e do homem são: Pl=5.88 N, Pc=78.4 N e Ph=705.6 N. As duas equações de mo imen o de anslação do li o são (unidades SI): N1=5.88 F1=mla=0.6×0.5 =0.3 As equações de mo imen o de anslação da caixa são: N2=78.4+N1=84.28 N4−F1−F2=mca=⇒ N4=8×0.5+0.3+0.2×84.28 =21.156 2.2 Exame de época de ecu so 83 E as equações de mo imen o de anslação do homem são: N3=705.6 F3−N4=mha=⇒ F3=72×0.5+21.156 =57.156 O alo máximo que pode e F1 é 0 . 35 N1= 2 . 058 e o alo máximo possí el de F3 é 0 . 4 N3= 282 . 24. Como os esul ados ob idos não ul apassam esses alo es máximos, esses esul ados são álidos e a espos a é: a o ça de a i o en e a caixa e o li o é 0.3 N, a o ça de a i o en e a caixa e o chão é 0 . 2 × 84 . 28 = 16 . 856 N e a o ça de a i o en e o chão e os pés do homem é 57.156 N. P oblema 2. As de i adas das exp essões x= cosθey= sinθsão: ˙ x=˙ cosθ− ˙ θsinθ ˙ y=˙ sinθ+ ˙ θcosθ Subs i uindo nas equações de e olução, ob ém-se as equações de e olução em coo de- nadas pola es: ˙ cosθ− ˙ θsinθ= sinθ+ 3cosθ ˙ sinθ+ ˙ θcosθ=− cosθ+ 3sinθ que são duas equações linea es pa a ˙ e ˙ θ . Aplicando qualque mé odo de esolução de equações linea es, ob ém-se essas duas exp essões. Po exemplo, o mé odo de eliminação; mul iplicando a p imei a equação po cosθe a segunda po sinθ, ˙ cos2θ− ˙ θsinθcosθ= sinθcosθ+ 3cos2θ ˙ sin2θ+ ˙ θsinθcosθ=− sinθcosθ+ 3sin2θ e somando as duas equações ob êm-se a exp essão pa a ˙ ˙ = 3 Mul iplicando a p imei a equação de e olução po sinθe a segunda po cosθ, ˙ sinθcosθ− ˙ θsin2θ= sin2θ+ 3sinθcosθ ˙ sinθcosθ+ ˙ θcos2θ=− cos2θ+ 3sinθcosθ e sub aindo a p imei a equação da segunda ob êm-se a exp essão pa a ˙ θ ˙ θ=− =⇒ ˙ θ=−1 (se: 6=0) Fo a da o igem, é posi i a e, como al, ˙ = 3 é semp e posi i a. Ou seja, o es ado do sis ema a as a-se semp e da o igem ( aumen a). Enquan o o es ado se a as a da 84 Exames o igem, dá á ias ol as no sen ido nega i o (sen ido dos pon ei os do elógio), po que ˙ θ é igual a − 1. Isso implica que a o igem é um oco epulsi o e não exis e nenhum ciclo limi e. As exp essões pa a ˙ e ˙ θ ambém podem se ob idas no Maxima com os seguin es comandos: (%i1) x: *cos(q)$ (%i2) y: *sin(q)$ (%i3) g ade ( , , )$ (%i4) g ade (q, ,w)$ (%i5) e1: di (x, ) = y+(x^2+y^2)*x; (%o5) cos(q) −sin(q) w =cos(q) ¡sin2(q) 2+cos2(q) 2¢+sin(q) (%i6) e2: di (y, ) = -x+(x^2+y^2)*y; (%o6) cos(q) w +sin(q) =sin(q) ¡sin2(q) 2+cos2(q) 2¢−cos(q) (%i7) igsimp(sol e([e1,e2],[ ,w])); (%o7) £ £ = 3,w=−1¤ ¤ Pe gun as 3. E 4. E 5. B 6. B 7. A 8. E 9. E 10. C 11. E 12. A 13. E 14. D 15. C 16. D 17. D Bibliog a ia Acheson, D. (1997). F om calculus o chaos. Ox o d, UK: Ox o d Uni e si y P ess. Alonso, M., & Finn, E. J. (1999). Física. Reading, MA, USA: Addison-Wesley. An unes, F. (2012). Mecânica Aplicada. Uma Abo dagem P á ica. Lisboa, Po ugal: Lidel, edições écnicas, Lda. A nold, V. I. (1987). Mé odos Ma emá icos da Mecânica Clássica. Edi o a Mi : Mosco o, Rússia. Banks, B. W. (2000). Di e en ial Equa ions wi h G aphical and Nume ical Me hods. Uppe Saddle Ri e , NJ, USA: Pea son. 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