P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial
Jaime Villa e
Faculdade de Engenha ia da Uni e sidade do Po o
[email p o ec ed]
22 de Fe e ei o de 2001
( e s˜
ao 3, 2004-05-26)
Es a colec ˆ
anea de p oblemas ´
e usada nas aulas p ´
a icas das disciplinas de Mecˆ
anica Pu a e Apli-
cada (licencia u a em Engenha ia Qu´
ımica) e F´
ısica Expe imen al (licencia u a em Engenha ia In-
o m´
a ica). Em cada aula p ´
a ica s˜
ao esol idos alguns p oblemas do espec i o cap´
ı ulo; os es an es
p oblemas s˜
ao pa a abalho de casa. Nos li os indicados na bibliog a ia encon am-se cen enas de
p oblemas adicionais.
Es a publicac¸˜
ao pode ´
a se ep oduzida, gua dada ou ansmi ida po qualque meio, ´
op ico,
elec ´
onico ou de o oc´
opia, semp e e quando seja man ida in ac a es a capa e n˜
ao seja impos a nen-
huma p oibic¸˜
ao `
a sua dis ibuic¸˜
ao ou c´
opia.
P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial 2
1 Sis emas de o c¸as em duas dimens˜
oes
1-1 Calcule a esul an e das duas o c¸as que se
mos am na igu a; esc e a a esul an e em
no ac¸˜
ao ec o ial usando o sis ema de eixos
indicado, e calcule o seu m´
odulo e o ˆ
angulo
que az com a ho izon al. De e mine g a i-
camen e a que dis ˆ
ancia de A, na ba a AB,
ac ua a o c¸a esul an e.
300
200 400 200
600 N
800 N
A
B
60° 60°
Dis âncias em mm
x
y
1-2 A ens˜
ao nos dois lados do io ´
e igual a 300
N; mec¸a o ˆ
angulo que az o io com a ho -
izon al e de e mine o m´
odulo e di ecc¸˜
ao da
o c¸a esul an e Rexe cida pela ens˜
ao nos
dois lados do io, sob e a oldana.
T
T
1-3 No p oblema an e io , que ˆ
angulo de e ia
o ma com a ho izon al o io na pa e de
baixo da oldana, pa a que a esul an e das
o c¸as do io sob e a oldana i esse m´
odulo
de 500 N?
1-4 Sob e os dois pneus da en e de um au-
om´
o el com acc¸˜
ao on al ac ua uma
eacc¸˜
ao no mal o al de 6500 N, e uma o c¸a
de a i o. Sabe-se que a esul an e de es as
o c¸as az um ˆ
angulo de 15◦com a e ical.
Calcule a o c¸a-bin´
a io esul an e das o c¸as
nos pneus da en e, no cen o de g a idade
G (admi a que as o c¸as combinadas sob e
os dois pneus da en e podem se conside -
adas a ac ua em no mesmo plano do cen o
de g a idade, o mando um sis ema de o c¸as
em duas dimens˜
oes).
G
6500 N
80 cm
44 cm
1-5 No p oblema an e io , calcule o modulo que
de e ´
a e a eacc¸˜
ao no mal o al nos dois
pneus de ´
as, pa a que a esul an e das
eacc¸˜
oes no mais em odos os pneus passe
pelo cen o de g a idade G.
1-6 Calcule o momen o da o c¸a de 1,5 kN em
elac¸˜
ao ao pon o A.
150 mm
120 mm
30°
20°
1,5 kN
AB
1-7 Calcule o momen o MAda o c¸a de 600
N, em elac¸˜
ao ao pon o A. Pa a acili a o
c´
alculo, comece po subs i ui a o c¸a po um
sis ema o c¸a-bin´
a io equi alen e no pon o
B.
P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial 3
80 mm
30 mm
40°
30°
600 N
A
B
P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial 4
2 Sis emas de o c¸as em ˆ
es dimens˜
oes
2-1 As ens˜
oes nas co das AC e BC s˜
ao 95 N e
110 N espec i amen e. Calcule a o c¸a e-
sul an e que as duas co das exe cem sob e o
pon o C.
A
B
C
10 m
8 m
12 m
9 m
2-2 Calcule o bin´
a io esul an e das 6 o c¸as na
igu a.
x
y
z
17 cm 15 cm
15 cm
16 cm
20 N
20 N
18 N
18 N
24 N
24 N
2-3 O onco de uma ´
a o e ´
e man ido na sua
posic¸˜
ao e ical com ajuda de dois cabos que
se encon am ligados ao onco po meio de
um a o me ´
alico de 90 cm de diˆ
ame o, a 3,8
m de al u a. Sabendo que a ens˜
ao no cabo
mais comp ido ´
e 600 N, e no cabo mais cu o
´
e de 500 N, calcule o momen o, em elac¸˜
ao
ao pon o O, da o c¸a esul an e p oduzida pe-
los dois cabos sob e o onco.
xy
z
2 m
3,8 m
2,7 m O
2-4 No p oblema an e io esc e a em o ma ec-
o ial o sis ema o c¸a-bin´
a io equi alen e, da
o c¸a esul an e p oduzida pelos dois cabos,
no pon o O.
2-5 Subs i uia as duas o c¸as na igu a, po uma
´
unica o c¸a Fno pon o A e um bin´
a io M.
x y
z
20cm
18cm
15cm
30 kN
40 kN
A
P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial 5
3 Equil´
ıb io
3-1 T ˆ
es o c¸as ac uam nos ´
e ices de um
quad ado de lado d= 12,5cm. (a) Sabendo
que P= 350 N e F= 160 N, subs i uia
as ˆ
es o c¸as po uma ´
unica o c¸a ac uando
ao longo do lado AD. (b) Que o c¸a de e ´
a
se aplicada sob e o segmen o BC pa a que
o sis ema es eja em equil´
ıb io? (nos dois ca-
sos indique o m´
odulo, di ecc¸˜
ao e pon o de
aplicac¸˜
ao da o c¸a)
AD
B C
70°
d
d
F
-F
P
3-2 O ma elo na igu a apoia-se sob e um bloco
de madei a de 40 mm de espessu a, pa a a-
cili a a ex acc¸˜
ao do p ego. Sabendo que ´
e
necess´
a ia uma o c¸a de 200 N (pe pendicu-
la ao ma elo) pa a ex ai o p ego, calcule a
o c¸a sob e o p ego e a eacc¸˜
ao no pon o A.
Admi a que o peso do ma elo pode se de-
sp ezado e em A exis e su icien e a i o pa a
e i a que o ma elo esco egue.
200 N
200 mm
40 mm
40 mm
20°
A
3-3 A placa ec angula uni o me de 4 kg es ´
a
apoiada em duas dob adic¸as A e B e ´
e man-
ida na posic¸˜
ao ho izon al po meio do cabo,
o qual passa po um gancho, sem a i o de
o ma que a ens˜
ao nos dois lados do cabo ´
e
igual. Calcule a ens˜
ao no cabo e as eacc¸˜
oes
nas dob adic¸as. Admi a que a dob adic¸a em
Bn˜
ao supo a nenhuma o c¸a axial.
A
B
50 cm
40 cm
60 cm
45 cm
38 cm
3-4 Um ca inho de 750 g amas, com cen o de
g a idade no pon o G, es ´
a em equil´
ıb io so-
b e um plano inclinado po meio de um io
ho izon al ligado no pon o D. A escala do de-
senho e 1:10; calcule a ens˜
ao no io (mec¸a
no desenho as dis ˆ
ancias e ˆ
angulos que p e-
cisa ).
B
A
GCD
3-5 O sis ema que se mos a na igu a encon a-
se em equil´
ıb io es ´
a ico. Sabendo que a
ens˜
ao no cabo ´
eT= 90 N e o aio da
oldana ´
e 2 cm, calcule as eacc¸˜
oes nos
apoios B e C.

P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial 6
C
A
B
8 cm
4 cm
45°T
3-6 No sis ema da igu a, calcule as o c¸as de
con ac o nos pon os A e C.
300
200 400 200
600 N
800 N
A
B
C60° 60°
Dis âncias em mm
3-7 Desp ezando o a i o na oldana e o peso das
ba as, de e mine a ens˜
ao no cabo ABD e a
eacc¸˜
ao no apoio C.
B
A
C
D
120 N
100 mm 100 mm
250 mm
3-8 De e mine as o c¸as que os eixos A e B ex-
e cem sob e a pec¸a me ´
alica. Admi a que
n˜
ao exis e a i o em nenhum dos dois eixos
e, consequen emen e, as o c¸as exe cidas pe-
los eixos passam pelo cen o de cada eixo.
150 mm
120 mm
30°
20°
1,5 kN
AB
P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial 7
4 Fo c¸as dis ibu´
ıdas. Hid os ´
a ica
4-1 Uma iga de 115 kg es ´
a pousada em dois
apoios. Calcule as eacc¸˜
oes nos apoios.
30 cm 70 cm 30 cm
30 cm
10 cm
4-2 O pau uni o me de comp imen o L, com den-
sidade ρ1es ´
a apoiado no pon o C, no undo
de um anque com um l´
ıquido de densidade
ρ2e p o undidade h. Encon e o ˆ
angulo θ
em unc¸˜
ao de ρ2,ρ1,Leh, no caso em que
ρ1< ρ2eh < L.
L
C
líquido
h
θ
4-3 Um cubo de madei a, com 45 cm de a es a,
lu ua num anque onde exis e uma camada
de 15 cm de ´
oleo, po cima de ´
agua sal-
gada. Sabendo que as densidades do ´
oleo, da
madei a e da ´
agua s˜
ao espec i amen e 900,
800 e 1030 kg/m3, calcule a al u a hdo cubo
que sai po o a da supe ´
ıcie do ´
oleo.
água salgada
óleo
h
45 cm
4-4 Calcule a o c¸a esul an e (e o pon o de
aplicac¸˜
ao) da ´
agua sob e a pa ede inclinada
do lado di ei o do anque que em um com-
p imen o de 15 m na di ecc¸˜
ao pe pendicula
ao papel. A al u a h´
e de 3 m e a densidade
da ´
agua ´
e 1000 kg/m3(o desenho es ´
a ei o
a escala pa a pe mi i medi as dimens˜
oes da
pa ede inclinada).
água
h
4-5 Um cilind o oco, com 15 cm de aio e 55
cm de al u a, ligado po um cabo ino a uma
es e a de chumbo, lu ua em ´
agua pu a. As
pa edes do cilind o es ˜
ao cons u´
ıdas com
lˆ
amina de ac¸o de 47 kg po me o quad ado.
Calcule o massa que de e ´
a e a es e a de
chumbo pa a que o cilind o ique com 15 cm
po cima da supe ´
ıcie da ´
agua.
4-6 Calcule as eacc¸˜
oes sob e a iga no pon o A.
3 m 5 m
A
1500 N/m
P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial 8
5 Fo c¸as de a i o
5-1 Os dois blocos na igu a s˜
ao homog´
eneos e
encon am-se em equil´
ıb io es ´
a ico. O co-
e icien e de a i o es ´
a ico en e os blocos ´
e
igual a 0,45 e o a i o nos eixos das odas ´
e
desp ez´
a el. Calcule odas as o c¸as ex e nas
que ac uam sob e o bloco B, indicando cla a-
men e o seu pon o de aplicac¸˜
ao.
20 kg
100 kg
90 N
45 N A
B
60°
10 cm
10 cm
10 cm 20 cm 10 cm
5-2 Um homem de 68 kg, com cen o de g a i-
dade no pon o G, segu a um ba il de 40 kg.
Calcule a dis ˆ
ancia m´
axima x`
a qual pode ´
a
es a o homem sem esco ega , se o coe i-
cien e de a i o es ´
a ico en e os seus sapa os
e o ch˜
ao o 0,55.
G1 m
2 m
40 kg
x
5-3 Uma escada de 3,25 m epousa encos ada a
uma pa ede como se ep esen a. Supondo
que n˜
ao exis e a i o em B, de e mine o
meno alo do coe icien e de a i o es ´
a ico
em A pa a o qual o equil´
ıb io ´
e poss´
ı el.
(Admi a que o cen o de g a idade da escada
encon a-se a me ade do seu comp imen o.)
1,25 m
3 m
A
B
5-4 Com um pequeno empu ˜
ao inicial, os dois
cilind os comec¸am a desloca em-se como se
indica na igu a, com mo imen o uni o me.
Calcule o coe icien e de a i o cin´
e ico en e
a co da e o supo e cil´
ınd ico ixo.
200 g
40 g
5-5 O coe icien e de a i o es ´
a ico da supe ´
ıcie
do plano inclinado com o bloco e com a
co da ´
e igual a 0,35. Calcule o in e alo
de alo es poss´
ı eis da massa mdo cilind o,
que azem com que o sis ema pe manec¸a em
equil´
ıb io.
6 kg
20°
m
P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial 9
5-6 O coe icien e de a i o es ´
a ico en e a ba a
e ical e o cilind o B ´
e0,4. A mola em con-
s an e el´
as ica igual a 30 N/m e comp imen o
no mal de 1,5m. De e mine o in e alo de
alo es da massa do cilind o, pa a os quais o
equil´
ıb io ´
e poss´
ı el na posic¸˜
ao indicada na
igu a.
B
2 m
1,5 m
P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial 16
10 Cinem´
a ica dos co pos ´
ıgidos
10-1 A lˆ
amina ec angula oda com elocidade
angula ω= 3,5 ad/s; no ins an e ep e-
sen ado na igu a, a calha onde desliza o
eixo A da ba a es ´
a na posic¸˜
ao e ical, e a
ba a az um ˆ
angulo de 60◦com a ho izon-
al. Calcule a elocidade angula da ba a
nesse ins an e.
30 cm
60°
30 cm
A
ω
10-2 As duas odas es ˜
ao ligadas en e si e odam
sem de apa sob e as lˆ
aminas A e B. Num
de e minado ins an e, a lˆ
amina A desloca-se
pa a a di ei a, com elocidade de 10 m/s, e
a lˆ
amina B desloca-se pa a a esque da com
elocidade igual a 35 m/s. Calcule a eloci-
dade do cen o O nesse mesmo ins an e.
A
B
O
3 cm
6 cm
10-3 Em cada um dos ˆ
es sis emas nas igu as
que se seguem, a ba a AB oda no sen ido
an i-ho ´
a io, com elocidade angula con-
s an e de 4 adianos po segundo. Calcule
em cada caso as elocidades angula es e as
acele ac¸˜
oes angula es das ba as BC e CD.
30 cm 30 cm
30 cm
A
B
C
D
45 cm
30 cm
60 cm
AB
CD
30 cm
30 cm
40 cm
30 cm
A
B
C
D

P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial 17
11 Dinˆ
amica dos co pos ´
ıgidos
11-1 Um onco uni o me de 100 kg es ´
a pen-
du ado po meio de dois cabos do mesmo
comp imen o. O onco la ga-se a pa i do
epouso na posic¸˜
ao ep esen ada na igu a;
calcule a ens˜
ao e a acele ac¸˜
ao angula dos
cabos no p eciso ins an e em que o onco ´
e
la gado a pa i do epouso.
AB C
100 kg
2 m
2 m 2 m
1 m
60° 60°
11-2 A ba a AB com peso P´
e man ida em
equil´
ıb io a a ´
es de dois con apesos cada
um com peso 0,5P. Se o cabo em B o co -
ado, de e mine a acele ac¸˜
ao nesse ins an e
(a) do pon o A, (b) do pon o B. (Admi a que
o aio de gi ac¸˜
ao da ba a, em elac¸˜
ao a um
eixo pe pendicula no cen o de g a idade ´
e
k=L/√12.)
A B
L
11-3 Um au om´
o el com acc¸˜
ao on al acele a
uni o memen e desde o epouso a ingindo
uma elocidade de 100 km/h em 11 segun-
dos. Se o peso do au om´
o el o 9750 N,
calcule as eacc¸˜
oes no mais e a o c¸a de
a i o sob e cada pneu. ¿Qual se ´
a o alo
do coe icien e de a i o es ´
a ico m´
ınimo, en-
e os pneus e a es ada?
G
80 cm160 cm
44 cm
11-4 Um a m´
a io de 45 kg, mon ado sob e o-
das que o deixam anda li emen e sob e
o ch˜
ao, ´
e acele ado po uma o c¸a ex e na
de 310 N. (a) Calcule os alo es m´
aximo
e m´
ınimo que pode e a al u a ypa a o
a m´
a io acele a sem as odas pe de em
o con ac o com o ch˜
ao. (b) Calcule a
acele ac¸˜
ao do a m´
a io, quando yes i e en-
e os alo es m´
ınimo e m´
aximo calculados
na al´
ınea an e io .
68 cm
87 cm
310 N
G
y
11-5 A es e a de massa mes ´
a ligada ao ca inho
po meio de uma ba a com a mesma massa
me comp imen o l, que pode oscila li e-
men e. Quando o ca inho ´
e acele ado com
uma acele ac¸˜
ao cons an e a= 8,5 m/s2,
a ba a oda o mando um ˆ
angulo θcom a
e ical. Calcule o ˆ
angulo θ. Compa e o e-
sul ado com o esul ado do p oblema 8.3.
P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial 18
a
mθ
P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial 19
Bibliog a ia
1J. L. Me iam e L. G. K aige, Enginee ing Mechanics , olume I: S a ics e olume II: Dynamics ,
qua a edic¸˜
ao ( e s˜
ao SI), John Willey & Sons, 1998.
2F.P.Bee eE.R.Johns on, Mecˆ
anicaVec o ialpa aEngenhei os. Dois olumes:Es ´
a icaeDinˆ
amica,
McG aw-Hill, sex a edic¸˜
ao, 1998.
P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial 20
Respos as
1-1 R=−692,8i−1000 jN, dA= 527 mm.
1-2 R= 543,8N, pa a a esque da e 25◦po
baixo da ho izon al.
1-3 67,1◦
1-4 R= 6729 N, pa a a en e e a 15◦da e ical;
M= 5966 N·m
1-5 3250 N (´
e p eciso medi a dis ˆ
ancia en e os
pneus e o cen o de g a idade).
1-6 MA= 208,22 N·m
1-7 MA= 59,57 N·m
2-1 Num sis ema com xpa a a en e, ypa a a di-
ei ae zpa acima, R= 29,53 i−144,43 j+
115,46 k(N)
2-2 M= 6 i−4,76 j+ 2,86 k(N·m)
2-3 MO=−925,9i+ 1394,0j(N·m)
2-4 R= 305,7i+188,8j−979,3k(N), MO=
−925,9i+ 1394,0j(N·m)
2-5 F= 2 j+24 k(kN), MA=−300 i+5400 k
(N·m)
3-1 (a) 350 N, pa a a di ei a e 70◦po cima da
ho izon al, a 6,08 cm `
a esque da do pon o D
(b) 350 N, pa a a esque da e 70◦po baixo da
ho izon al, 10,63 cm `
a esque da do pon o C.
3-2 O p ego exe ce uma o c¸a de 1000 N, pa a
baixo. FA=−187,9i+ 931,6j(N)
3-3 T= 17,5N; num sis ema com xsob e
AB, ypa a a di ei a e zpa a cima, RA=
−6,07 i+ 10.56 j+ 17,76 k(N), RB=
13,93 j+ 3,94 k(N)
3-4 4,24 N
3-5 RB=−127,3i(N), RC= 280,9i+63,4j
(N)
3-6 RA= 692,8i+ 275 j(N), RC= 725 k(N)
3-7 T= 80N,RC= 80 i+ 40 j(N)
3-8 RA= 927 i+ 1128 j(N), RB=−2404 i−
1388 j(N)
4-1 342 N no apoio do lado esque do e 785 N no
apoio do lado di ei o
4-2 θ= sin−1h
L ρ2
ρ1
4-3 8,16 cm
4-4 R= 661,5i−330,75 j(kN), ac ua a um
me o de al u a.
4-5 2,73 kg
4-6 No pon o A ac ua uma o c¸a de 9,75 kN e
um bin´
a io de 38,25 kN·m em sen ido an i-
ho ´
a io
5-1 Nas odas ac uam o c¸as e icais, pa a cima,
com m´
odulos 565,5 N (na oda da esque da)
e 532,6 N. O peso ´
e igual a 980 N, e ac ua
no cen o do bloco. A eacc¸˜
ao no mal com
o bloco A ´
e 118,1 N, pa a baixo e 2,8 cm `
a
esque da do cen o. A o c¸a de a i o com
o bloco A ´
e de 45 N, pa a a di ei a e em al-
gum pon o da supe ´
ıcie do bloco; inalmen e
emos a o c¸a de 45 N indicada na igu a.
5-2 98,4cm
5-3 0,2083
5-4 0,1708
5-5 51,4g≤m≤6,17 kg
5-6 0,857 kg ≤m≤2,82 kg
6-1 = 0,x= 10 m, a=−12 m/s2, = 2,
x= 2 m, a= 12 m/s2.
6-2 =−8m/s, x= 64 m, 80 m.
6-3 (a)3s(b) 13 cm, −28 cm/s (c)32,5cm.
6-4 (a) 24 m3/s2(b)11,49 m/s.
6-5 (a) 25 s−2(b)11,18 m/s.
P oblemas de Mecˆ
anica Vec o ial 21
6-6 (a) 15 m/s (b)14,74 m/s (c)15,25 m/s.
6-7 (a) 75 mm (b) in ini o (c)11,51 s.
6-8 (b) =1
kp1−e−2k2gx
(c) < 1
k,lim
x−→∞
=1
k
6-9 (a)9,62 m/s, pa a cima (b)29,6m/s, pa a
baixo.
6-10 65,33 m
7-1 =−25,1i(m/s), a=−79,0j(m/s2)
7-2 (a) = 2 i−8j(m/s), a= 2 i+24 j(m/s2),
(b) = 3 i−2,37 j(m/s), a= 2 i+ 4,7j
(m/s2)
7-3 14,0m
7-4 (a)= 2bω[−sin(ω )e + cos(ω )eθ]
a=−4bω2[cos(ω )e + sin(ω )eθ]
(b)ρ=b;´
e um mo imen o ci cula uni-
o me.
7-5 ap oximadamen e 14 (m/s2)
7-6 0,143
7-7 =πA√4 + sin22π
a= 2π2A√4 + cos22π
8-1 (a)aA= 1,095 m/s2,aB= 0,981 m/s2
(b)aA=aB= 0,917 m/s2
8-2 1010 N
8-3 40,9◦
8-4 T= 3,92 N, a= 8,49 m/s2
8-5 10,41 m/s2
8-6 (150, 150, 1230)
8-7 aA=aB= 0,892 j(m/s2), aC=−2,675 j
(m/s2),
9-1 (a) 90 km/h (b) 111 km/h (c) 143 km/h
9-2 3l/5
9-3 47,0 m
9-4 11,74 m/s
9-5 24,7 kN/m2
9-6 9,09 m/s
10-1 3,5 ad/s
10-2 −20 i(m/s)
10-3 (a)ωBC =ωCD =−4 ad/s
αBC =−32 ad/s2,αCD = 0
(b)ωBC = 0,ωCD =−8/3 ad/s
αBC =−40/3 ad/s2,αCD =−80/9 ad/s2
(c)ωBC = 6,29 ad/s, ωCD = 8,00 ad/s
αBC =−18,87 ad/s2,αCD =−9,02
ad/s2
11-1 TA= 212,4M,TB= 637,2N, αA=αB=
2,45 ad/s2
11-2 (a)aA=−14,17 j(m/s2)
(b)aB=−1,09 j(m/s2)
11-3 Pneus da en e: Rn= 3020 N, Fa= 777,4
N
Pneus azei os: Rn= 1855 N, Fa= 477,5
N
o coe icien e de a i o es ´
a ico m´
ınimo ´
e
0,257
11-4 (a) Al u a m´
ınima 38,6 cm, m´
axima 135,4
cm
(b)a= 6,98 i(m/s2)
11-5 Ob em-se o mesmo esul ado do p oblema
8-3 (40,9◦), independen emen e do alo do
aio da es e a.