Problemas de Mecânica Vectorial

P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial Jaime Villa e Faculdade de Engenha ia da Uni e sidade do Po o [email p o ec ed] 22 de Fe e ei o de 2001 ( e s˜ ao 3, 2004-05-26) Es a colec ˆ anea de p oblemas ´ e usada nas aulas p ´ a icas das disciplinas de Mecˆ anica Pu a e Apli- cada (licencia u a em Engenha ia Qu´ ımica) e F´ ısica Expe imen al (licencia u a em Engenha ia In- o m´ a ica). Em cada aula p ´ a ica s˜ ao esol idos alguns p oblemas do espec i o cap´ ı ulo; os es an es p oblemas s˜ ao pa a abalho de casa. Nos li os indicados na bibliog a ia encon am-se cen enas de p oblemas adicionais. Es a publicac¸˜ ao pode ´ a se ep oduzida, gua dada ou ansmi ida po qualque meio, ´ op ico, elec ´ onico ou de o oc´ opia, semp e e quando seja man ida in ac a es a capa e n˜ ao seja impos a nen- huma p oibic¸˜ ao ` a sua dis ibuic¸˜ ao ou c´ opia. P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial 2 1 Sis emas de o c¸as em duas dimens˜ oes 1-1 Calcule a esul an e das duas o c¸as que se mos am na igu a; esc e a a esul an e em no ac¸˜ ao ec o ial usando o sis ema de eixos indicado, e calcule o seu m´ odulo e o ˆ angulo que az com a ho izon al. De e mine g a i- camen e a que dis ˆ ancia de A, na ba a AB, ac ua a o c¸a esul an e. 300 200 400 200 600 N 800 N A B 60° 60° Dis âncias em mm x y 1-2 A ens˜ ao nos dois lados do io ´ e igual a 300 N; mec¸a o ˆ angulo que az o io com a ho - izon al e de e mine o m´ odulo e di ecc¸˜ ao da o c¸a esul an e Rexe cida pela ens˜ ao nos dois lados do io, sob e a oldana. T T 1-3 No p oblema an e io , que ˆ angulo de e ia o ma com a ho izon al o io na pa e de baixo da oldana, pa a que a esul an e das o c¸as do io sob e a oldana i esse m´ odulo de 500 N? 1-4 Sob e os dois pneus da en e de um au- om´ o el com acc¸˜ ao on al ac ua uma eacc¸˜ ao no mal o al de 6500 N, e uma o c¸a de a i o. Sabe-se que a esul an e de es as o c¸as az um ˆ angulo de 15◦com a e ical. Calcule a o c¸a-bin´ a io esul an e das o c¸as nos pneus da en e, no cen o de g a idade G (admi a que as o c¸as combinadas sob e os dois pneus da en e podem se conside - adas a ac ua em no mesmo plano do cen o de g a idade, o mando um sis ema de o c¸as em duas dimens˜ oes). G 6500 N 80 cm 44 cm 1-5 No p oblema an e io , calcule o modulo que de e ´ a e a eacc¸˜ ao no mal o al nos dois pneus de ´ as, pa a que a esul an e das eacc¸˜ oes no mais em odos os pneus passe pelo cen o de g a idade G. 1-6 Calcule o momen o da o c¸a de 1,5 kN em elac¸˜ ao ao pon o A. 150 mm 120 mm 30° 20° 1,5 kN AB 1-7 Calcule o momen o MAda o c¸a de 600 N, em elac¸˜ ao ao pon o A. Pa a acili a o c´ alculo, comece po subs i ui a o c¸a po um sis ema o c¸a-bin´ a io equi alen e no pon o B. P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial 3 80 mm 30 mm 40° 30° 600 N A B P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial 4 2 Sis emas de o c¸as em ˆ es dimens˜ oes 2-1 As ens˜ oes nas co das AC e BC s˜ ao 95 N e 110 N espec i amen e. Calcule a o c¸a e- sul an e que as duas co das exe cem sob e o pon o C. A B C 10 m 8 m 12 m 9 m 2-2 Calcule o bin´ a io esul an e das 6 o c¸as na igu a. x y z 17 cm 15 cm 15 cm 16 cm 20 N 20 N 18 N 18 N 24 N 24 N 2-3 O onco de uma ´ a o e ´ e man ido na sua posic¸˜ ao e ical com ajuda de dois cabos que se encon am ligados ao onco po meio de um a o me ´ alico de 90 cm de diˆ ame o, a 3,8 m de al u a. Sabendo que a ens˜ ao no cabo mais comp ido ´ e 600 N, e no cabo mais cu o ´ e de 500 N, calcule o momen o, em elac¸˜ ao ao pon o O, da o c¸a esul an e p oduzida pe- los dois cabos sob e o onco. xy z 2 m 3,8 m 2,7 m O 2-4 No p oblema an e io esc e a em o ma ec- o ial o sis ema o c¸a-bin´ a io equi alen e, da o c¸a esul an e p oduzida pelos dois cabos, no pon o O. 2-5 Subs i uia as duas o c¸as na igu a, po uma ´ unica o c¸a Fno pon o A e um bin´ a io M. x y z 20cm 18cm 15cm 30 kN 40 kN A P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial 5 3 Equil´ ıb io 3-1 T ˆ es o c¸as ac uam nos ´ e ices de um quad ado de lado d= 12,5cm. (a) Sabendo que P= 350 N e F= 160 N, subs i uia as ˆ es o c¸as po uma ´ unica o c¸a ac uando ao longo do lado AD. (b) Que o c¸a de e ´ a se aplicada sob e o segmen o BC pa a que o sis ema es eja em equil´ ıb io? (nos dois ca- sos indique o m´ odulo, di ecc¸˜ ao e pon o de aplicac¸˜ ao da o c¸a) AD B C 70° d d F -F P 3-2 O ma elo na igu a apoia-se sob e um bloco de madei a de 40 mm de espessu a, pa a a- cili a a ex acc¸˜ ao do p ego. Sabendo que ´ e necess´ a ia uma o c¸a de 200 N (pe pendicu- la ao ma elo) pa a ex ai o p ego, calcule a o c¸a sob e o p ego e a eacc¸˜ ao no pon o A. Admi a que o peso do ma elo pode se de- sp ezado e em A exis e su icien e a i o pa a e i a que o ma elo esco egue. 200 N 200 mm 40 mm 40 mm 20° A 3-3 A placa ec angula uni o me de 4 kg es ´ a apoiada em duas dob adic¸as A e B e ´ e man- ida na posic¸˜ ao ho izon al po meio do cabo, o qual passa po um gancho, sem a i o de o ma que a ens˜ ao nos dois lados do cabo ´ e igual. Calcule a ens˜ ao no cabo e as eacc¸˜ oes nas dob adic¸as. Admi a que a dob adic¸a em Bn˜ ao supo a nenhuma o c¸a axial. A B 50 cm 40 cm 60 cm 45 cm 38 cm 3-4 Um ca inho de 750 g amas, com cen o de g a idade no pon o G, es ´ a em equil´ ıb io so- b e um plano inclinado po meio de um io ho izon al ligado no pon o D. A escala do de- senho e 1:10; calcule a ens˜ ao no io (mec¸a no desenho as dis ˆ ancias e ˆ angulos que p e- cisa ). B A GCD 3-5 O sis ema que se mos a na igu a encon a- se em equil´ ıb io es ´ a ico. Sabendo que a ens˜ ao no cabo ´ eT= 90 N e o aio da oldana ´ e 2 cm, calcule as eacc¸˜ oes nos apoios B e C. P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial 6 C A B 8 cm 4 cm 45°T 3-6 No sis ema da igu a, calcule as o c¸as de con ac o nos pon os A e C. 300 200 400 200 600 N 800 N A B C60° 60° Dis âncias em mm 3-7 Desp ezando o a i o na oldana e o peso das ba as, de e mine a ens˜ ao no cabo ABD e a eacc¸˜ ao no apoio C. B A C D 120 N 100 mm 100 mm 250 mm 3-8 De e mine as o c¸as que os eixos A e B ex- e cem sob e a pec¸a me ´ alica. Admi a que n˜ ao exis e a i o em nenhum dos dois eixos e, consequen emen e, as o c¸as exe cidas pe- los eixos passam pelo cen o de cada eixo. 150 mm 120 mm 30° 20° 1,5 kN AB P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial 7 4 Fo c¸as dis ibu´ ıdas. Hid os ´ a ica 4-1 Uma iga de 115 kg es ´ a pousada em dois apoios. Calcule as eacc¸˜ oes nos apoios. 30 cm 70 cm 30 cm 30 cm 10 cm 4-2 O pau uni o me de comp imen o L, com den- sidade ρ1es ´ a apoiado no pon o C, no undo de um anque com um l´ ıquido de densidade ρ2e p o undidade h. Encon e o ˆ angulo θ em unc¸˜ ao de ρ2,ρ1,Leh, no caso em que ρ1< ρ2eh < L. L C líquido h θ 4-3 Um cubo de madei a, com 45 cm de a es a, lu ua num anque onde exis e uma camada de 15 cm de ´ oleo, po cima de ´ agua sal- gada. Sabendo que as densidades do ´ oleo, da madei a e da ´ agua s˜ ao espec i amen e 900, 800 e 1030 kg/m3, calcule a al u a hdo cubo que sai po o a da supe ´ ıcie do ´ oleo. água salgada óleo h 45 cm 4-4 Calcule a o c¸a esul an e (e o pon o de aplicac¸˜ ao) da ´ agua sob e a pa ede inclinada do lado di ei o do anque que em um com- p imen o de 15 m na di ecc¸˜ ao pe pendicula ao papel. A al u a h´ e de 3 m e a densidade da ´ agua ´ e 1000 kg/m3(o desenho es ´ a ei o a escala pa a pe mi i medi as dimens˜ oes da pa ede inclinada). água h 4-5 Um cilind o oco, com 15 cm de aio e 55 cm de al u a, ligado po um cabo ino a uma es e a de chumbo, lu ua em ´ agua pu a. As pa edes do cilind o es ˜ ao cons u´ ıdas com lˆ amina de ac¸o de 47 kg po me o quad ado. Calcule o massa que de e ´ a e a es e a de chumbo pa a que o cilind o ique com 15 cm po cima da supe ´ ıcie da ´ agua. 4-6 Calcule as eacc¸˜ oes sob e a iga no pon o A. 3 m 5 m A 1500 N/m P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial 8 5 Fo c¸as de a i o 5-1 Os dois blocos na igu a s˜ ao homog´ eneos e encon am-se em equil´ ıb io es ´ a ico. O co- e icien e de a i o es ´ a ico en e os blocos ´ e igual a 0,45 e o a i o nos eixos das odas ´ e desp ez´ a el. Calcule odas as o c¸as ex e nas que ac uam sob e o bloco B, indicando cla a- men e o seu pon o de aplicac¸˜ ao. 20 kg 100 kg 90 N 45 N A B 60° 10 cm 10 cm 10 cm 20 cm 10 cm 5-2 Um homem de 68 kg, com cen o de g a i- dade no pon o G, segu a um ba il de 40 kg. Calcule a dis ˆ ancia m´ axima x` a qual pode ´ a es a o homem sem esco ega , se o coe i- cien e de a i o es ´ a ico en e os seus sapa os e o ch˜ ao o 0,55. G1 m 2 m 40 kg x 5-3 Uma escada de 3,25 m epousa encos ada a uma pa ede como se ep esen a. Supondo que n˜ ao exis e a i o em B, de e mine o meno alo do coe icien e de a i o es ´ a ico em A pa a o qual o equil´ ıb io ´ e poss´ ı el. (Admi a que o cen o de g a idade da escada encon a-se a me ade do seu comp imen o.) 1,25 m 3 m A B 5-4 Com um pequeno empu ˜ ao inicial, os dois cilind os comec¸am a desloca em-se como se indica na igu a, com mo imen o uni o me. Calcule o coe icien e de a i o cin´ e ico en e a co da e o supo e cil´ ınd ico ixo. 200 g 40 g 5-5 O coe icien e de a i o es ´ a ico da supe ´ ıcie do plano inclinado com o bloco e com a co da ´ e igual a 0,35. Calcule o in e alo de alo es poss´ ı eis da massa mdo cilind o, que azem com que o sis ema pe manec¸a em equil´ ıb io. 6 kg 20° m P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial 9 5-6 O coe icien e de a i o es ´ a ico en e a ba a e ical e o cilind o B ´ e0,4. A mola em con- s an e el´ as ica igual a 30 N/m e comp imen o no mal de 1,5m. De e mine o in e alo de alo es da massa do cilind o, pa a os quais o equil´ ıb io ´ e poss´ ı el na posic¸˜ ao indicada na igu a. B 2 m 1,5 m P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial 16 10 Cinem´ a ica dos co pos ´ ıgidos 10-1 A lˆ amina ec angula oda com elocidade angula ω= 3,5 ad/s; no ins an e ep e- sen ado na igu a, a calha onde desliza o eixo A da ba a es ´ a na posic¸˜ ao e ical, e a ba a az um ˆ angulo de 60◦com a ho izon- al. Calcule a elocidade angula da ba a nesse ins an e. 30 cm 60° 30 cm A ω 10-2 As duas odas es ˜ ao ligadas en e si e odam sem de apa sob e as lˆ aminas A e B. Num de e minado ins an e, a lˆ amina A desloca-se pa a a di ei a, com elocidade de 10 m/s, e a lˆ amina B desloca-se pa a a esque da com elocidade igual a 35 m/s. Calcule a eloci- dade do cen o O nesse mesmo ins an e. A B O 3 cm 6 cm 10-3 Em cada um dos ˆ es sis emas nas igu as que se seguem, a ba a AB oda no sen ido an i-ho ´ a io, com elocidade angula con- s an e de 4 adianos po segundo. Calcule em cada caso as elocidades angula es e as acele ac¸˜ oes angula es das ba as BC e CD. 30 cm 30 cm 30 cm A B C D 45 cm 30 cm 60 cm AB CD 30 cm 30 cm 40 cm 30 cm A B C D P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial 17 11 Dinˆ amica dos co pos ´ ıgidos 11-1 Um onco uni o me de 100 kg es ´ a pen- du ado po meio de dois cabos do mesmo comp imen o. O onco la ga-se a pa i do epouso na posic¸˜ ao ep esen ada na igu a; calcule a ens˜ ao e a acele ac¸˜ ao angula dos cabos no p eciso ins an e em que o onco ´ e la gado a pa i do epouso. AB C 100 kg 2 m 2 m 2 m 1 m 60° 60° 11-2 A ba a AB com peso P´ e man ida em equil´ ıb io a a ´ es de dois con apesos cada um com peso 0,5P. Se o cabo em B o co - ado, de e mine a acele ac¸˜ ao nesse ins an e (a) do pon o A, (b) do pon o B. (Admi a que o aio de gi ac¸˜ ao da ba a, em elac¸˜ ao a um eixo pe pendicula no cen o de g a idade ´ e k=L/√12.) A B L 11-3 Um au om´ o el com acc¸˜ ao on al acele a uni o memen e desde o epouso a ingindo uma elocidade de 100 km/h em 11 segun- dos. Se o peso do au om´ o el o 9750 N, calcule as eacc¸˜ oes no mais e a o c¸a de a i o sob e cada pneu. ¿Qual se ´ a o alo do coe icien e de a i o es ´ a ico m´ ınimo, en- e os pneus e a es ada? G 80 cm160 cm 44 cm 11-4 Um a m´ a io de 45 kg, mon ado sob e o- das que o deixam anda li emen e sob e o ch˜ ao, ´ e acele ado po uma o c¸a ex e na de 310 N. (a) Calcule os alo es m´ aximo e m´ ınimo que pode e a al u a ypa a o a m´ a io acele a sem as odas pe de em o con ac o com o ch˜ ao. (b) Calcule a acele ac¸˜ ao do a m´ a io, quando yes i e en- e os alo es m´ ınimo e m´ aximo calculados na al´ ınea an e io . 68 cm 87 cm 310 N G y 11-5 A es e a de massa mes ´ a ligada ao ca inho po meio de uma ba a com a mesma massa me comp imen o l, que pode oscila li e- men e. Quando o ca inho ´ e acele ado com uma acele ac¸˜ ao cons an e a= 8,5 m/s2, a ba a oda o mando um ˆ angulo θcom a e ical. Calcule o ˆ angulo θ. Compa e o e- sul ado com o esul ado do p oblema 8.3. P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial 18 a mθ P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial 19 Bibliog a ia 1J. L. Me iam e L. G. K aige, Enginee ing Mechanics , olume I: S a ics e olume II: Dynamics , qua a edic¸˜ ao ( e s˜ ao SI), John Willey & Sons, 1998. 2F.P.Bee eE.R.Johns on, Mecˆ anicaVec o ialpa aEngenhei os. Dois olumes:Es ´ a icaeDinˆ amica, McG aw-Hill, sex a edic¸˜ ao, 1998. P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial 20 Respos as 1-1 R=−692,8i−1000 jN, dA= 527 mm. 1-2 R= 543,8N, pa a a esque da e 25◦po baixo da ho izon al. 1-3 67,1◦ 1-4 R= 6729 N, pa a a en e e a 15◦da e ical; M= 5966 N·m 1-5 3250 N (´ e p eciso medi a dis ˆ ancia en e os pneus e o cen o de g a idade). 1-6 MA= 208,22 N·m 1-7 MA= 59,57 N·m 2-1 Num sis ema com xpa a a en e, ypa a a di- ei ae zpa acima, R= 29,53 i−144,43 j+ 115,46 k(N) 2-2 M= 6 i−4,76 j+ 2,86 k(N·m) 2-3 MO=−925,9i+ 1394,0j(N·m) 2-4 R= 305,7i+188,8j−979,3k(N), MO= −925,9i+ 1394,0j(N·m) 2-5 F= 2 j+24 k(kN), MA=−300 i+5400 k (N·m) 3-1 (a) 350 N, pa a a di ei a e 70◦po cima da ho izon al, a 6,08 cm ` a esque da do pon o D (b) 350 N, pa a a esque da e 70◦po baixo da ho izon al, 10,63 cm ` a esque da do pon o C. 3-2 O p ego exe ce uma o c¸a de 1000 N, pa a baixo. FA=−187,9i+ 931,6j(N) 3-3 T= 17,5N; num sis ema com xsob e AB, ypa a a di ei a e zpa a cima, RA= −6,07 i+ 10.56 j+ 17,76 k(N), RB= 13,93 j+ 3,94 k(N) 3-4 4,24 N 3-5 RB=−127,3i(N), RC= 280,9i+63,4j (N) 3-6 RA= 692,8i+ 275 j(N), RC= 725 k(N) 3-7 T= 80N,RC= 80 i+ 40 j(N) 3-8 RA= 927 i+ 1128 j(N), RB=−2404 i− 1388 j(N) 4-1 342 N no apoio do lado esque do e 785 N no apoio do lado di ei o 4-2 θ= sin−1h L ρ2 ρ1 4-3 8,16 cm 4-4 R= 661,5i−330,75 j(kN), ac ua a um me o de al u a. 4-5 2,73 kg 4-6 No pon o A ac ua uma o c¸a de 9,75 kN e um bin´ a io de 38,25 kN·m em sen ido an i- ho ´ a io 5-1 Nas odas ac uam o c¸as e icais, pa a cima, com m´ odulos 565,5 N (na oda da esque da) e 532,6 N. O peso ´ e igual a 980 N, e ac ua no cen o do bloco. A eacc¸˜ ao no mal com o bloco A ´ e 118,1 N, pa a baixo e 2,8 cm ` a esque da do cen o. A o c¸a de a i o com o bloco A ´ e de 45 N, pa a a di ei a e em al- gum pon o da supe ´ ıcie do bloco; inalmen e emos a o c¸a de 45 N indicada na igu a. 5-2 98,4cm 5-3 0,2083 5-4 0,1708 5-5 51,4g≤m≤6,17 kg 5-6 0,857 kg ≤m≤2,82 kg 6-1 = 0,x= 10 m, a=−12 m/s2, = 2, x= 2 m, a= 12 m/s2. 6-2 =−8m/s, x= 64 m, 80 m. 6-3 (a)3s(b) 13 cm, −28 cm/s (c)32,5cm. 6-4 (a) 24 m3/s2(b)11,49 m/s. 6-5 (a) 25 s−2(b)11,18 m/s. P oblemas de Mecˆ anica Vec o ial 21 6-6 (a) 15 m/s (b)14,74 m/s (c)15,25 m/s. 6-7 (a) 75 mm (b) in ini o (c)11,51 s. 6-8 (b) =1 kp1−e−2k2gx (c) < 1 k,lim x−→∞ =1 k 6-9 (a)9,62 m/s, pa a cima (b)29,6m/s, pa a baixo. 6-10 65,33 m 7-1 =−25,1i(m/s), a=−79,0j(m/s2) 7-2 (a) = 2 i−8j(m/s), a= 2 i+24 j(m/s2), (b) = 3 i−2,37 j(m/s), a= 2 i+ 4,7j (m/s2) 7-3 14,0m 7-4 (a)= 2bω[−sin(ω )e + cos(ω )eθ] a=−4bω2[cos(ω )e + sin(ω )eθ] (b)ρ=b;´ e um mo imen o ci cula uni- o me. 7-5 ap oximadamen e 14 (m/s2) 7-6 0,143 7-7 =πA√4 + sin22π a= 2π2A√4 + cos22π 8-1 (a)aA= 1,095 m/s2,aB= 0,981 m/s2 (b)aA=aB= 0,917 m/s2 8-2 1010 N 8-3 40,9◦ 8-4 T= 3,92 N, a= 8,49 m/s2 8-5 10,41 m/s2 8-6 (150, 150, 1230) 8-7 aA=aB= 0,892 j(m/s2), aC=−2,675 j (m/s2), 9-1 (a) 90 km/h (b) 111 km/h (c) 143 km/h 9-2 3l/5 9-3 47,0 m 9-4 11,74 m/s 9-5 24,7 kN/m2 9-6 9,09 m/s 10-1 3,5 ad/s 10-2 −20 i(m/s) 10-3 (a)ωBC =ωCD =−4 ad/s αBC =−32 ad/s2,αCD = 0 (b)ωBC = 0,ωCD =−8/3 ad/s αBC =−40/3 ad/s2,αCD =−80/9 ad/s2 (c)ωBC = 6,29 ad/s, ωCD = 8,00 ad/s αBC =−18,87 ad/s2,αCD =−9,02 ad/s2 11-1 TA= 212,4M,TB= 637,2N, αA=αB= 2,45 ad/s2 11-2 (a)aA=−14,17 j(m/s2) (b)aB=−1,09 j(m/s2) 11-3 Pneus da en e: Rn= 3020 N, Fa= 777,4 N Pneus azei os: Rn= 1855 N, Fa= 477,5 N o coe icien e de a i o es ´ a ico m´ ınimo ´ e 0,257 11-4 (a) Al u a m´ ınima 38,6 cm, m´ axima 135,4 cm (b)a= 6,98 i(m/s2) 11-5 Ob em-se o mesmo esul ado do p oblema 8-3 (40,9◦), independen emen e do alo do aio da es e a.