Equac¸ ˜
oes Di e enciais e Equac¸ ˜
oes de Di e enc¸as
Jaime E. Villa e
Faculdade de Engenha ia da
Uni e sidade do Po o
Dezemb o de 2001
´
Ul ima e is˜
ao: 26 de Ab il de 2011
Equac¸ ˜
oes Di e enciais e Equac¸ ˜
oes de Di e enc¸as
Copy igh c
2001, 2003, 2008 Jaime E. Villa e
E-mail: [email p o ec ed]
Ve s˜
ao: 26 de Ab il de 2011
Es e abalho es
´
a licenciado sob uma Licen
c¸
a C ea i e Commons A ibui
c¸˜
ao-Pa ilha nos e mos da mesma
Licenc¸a 2.5 Po ugal. Pa a e uma c´
opia des a licenc¸a, isi e
h p://c ea i ecommons.o g/licenses/by-sa/2.5/p /
ou en ie uma ca a pa a C ea i e Commons,
559 Na han Abbo Way, S an o d, Cali o nia 94305, USA.
Es e li o ´
e a ualizado equen emen e. A e s˜
ao mais ecen e e os ichei os on e encon am-se em:
h p:// illa e.o g/doc/eqdi e enciais/
Con e´
udo
Lis a de Figu as ii
Lis a de Tabelas ix
P e ´
acio xi
1 In oduc¸ ˜
ao 1
1.1 De inic¸ ˜
oes ....................................... 1
1.2 Equac¸ ˜
oes de p imei a o dem ............................ 2
1.3 Exis ˆ
encia e unicidade da soluc¸˜
ao ......................... 2
1.4 P oblemas ...................................... 3
2 Equac¸ ˜
oes di e enciais de p imei a o dem 7
2.1 Equac¸ ˜
oes de a i´
a eis sepa ´
a eis .......................... 7
2.2 Equac¸ ˜
oes linea es .................................. 8
2.3 Equac¸ ˜
oes exa as ................................... 9
2.4 Equac¸ ˜
oes homog´
eneas ............................... 10
2.5 Equac¸˜
ao de Be noulli ................................ 13
2.6 Equac¸˜
ao de Ricca i ................................. 13
2.7 P oblemas ...................................... 14
3 Aplicac¸˜
oes das equac¸ ˜
oes di e enciais de p imei a o dem 17
3.1 C escimen o demog ´
a ico .............................. 17
3.1.1 Modelo de Mal hus ............................. 17
3.1.2 Modelo log´
ıs ico .............................. 17
3.2 Decaimen o adioa i o ............................... 18
3.3 T aje ´
o ias o ogonais ................................ 19
3.4 P oblemas de aquecimen o e a e ecimen o ..................... 21
3.5 Cin´
e ica qu´
ımica ................................... 21
3.6 P oblemas ...................................... 22
4 Equac¸ ˜
oes linea es de o dem 2 e supe io 25
4.1 Exis ˆ
encia e unicidade da soluc¸˜
ao ......................... 25
4.2 Soluc¸˜
ao ge al das equac¸ ˜
oes linea es ........................ 25
4.3 Equac¸ ˜
oes linea es homog´
eneas ........................... 26
4.4 Independˆ
encia linea en e unc¸ ˜
oes ......................... 26
i CONTE ´
UDO
4.5 Soluc¸˜
ao ge al das equac¸ ˜
oes linea es homog´
eneas ................. 27
4.6 M´
e odo de d’Alembe ............................... 27
4.7 Equac¸ ˜
oes linea es homog´
eneas de coe icien es cons an es ............. 28
4.7.1 Ra´
ızes eais di e en es ........................... 28
4.7.2 Ra´
ızes eais iguais ............................. 29
4.7.3 Ra´
ızes complexas .............................. 29
4.8 Equac¸˜
ao de Eule .................................. 30
4.8.1 Ra´
ızes eais di e en es ........................... 30
4.8.2 Ra´
ızes eais iguais ............................. 30
4.8.3 Ra´
ızes complexas ............................... 31
4.9 P oblemas ....................................... 31
5 Equac¸ ˜
oes linea es n˜
ao homog´
eneas 33
5.1 M´
e odo dos coe icien es inde e minados ...................... 33
5.1.1 Func¸ ˜
oes exponenciais ........................... 33
5.1.2 Polin´
omios ................................. 34
5.1.3 Func¸ ˜
oes seno ou co-seno .......................... 34
5.1.4 Exclus˜
ao de soluc¸ ˜
oes da equac¸˜
ao homog´
enea ............... 35
5.1.5 P odu os de polin´
omios, exponenciais e seno ou co-seno ......... 35
5.2 P incipio de sob eposic¸˜
ao .............................. 36
5.3 M´
e odo de a iac¸˜
ao de pa ˆ
ame os ......................... 37
5.4 Equac¸ ˜
oes linea es de o dem supe io ........................ 39
5.5 P oblemas ...................................... 40
6 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es homog´
eneas 43
6.1 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as ............................... 43
6.2 Soluc¸ ˜
oes das equac¸ ˜
oes de di e enc¸as ........................ 43
6.3 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es .......................... 44
6.3.1 Independˆ
encia linea en e sucess˜
oes .................... 45
6.4 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es com coe icien es cons an es ........... 45
6.4.1 Ra´
ızes eais di e en es ........................... 45
6.4.2 Ra´
ızes eais epe idas ............................ 46
6.4.3 Ra´
ızes complexas .............................. 46
6.5 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as incomple as ........................ 47
6.6 Equac¸ ˜
oes edu ´
ı eis a equac¸ ˜
oes de coe icien es cons an es ............ 47
6.7 Resoluc¸˜
ao de equac¸ ˜
oes n˜
ao linea es usando a unc¸˜
ao Gama ............ 48
6.8 P oblemas ...................................... 50
7 M´
e odo das s´
e ies 53
7.1 S´
e ies de Po ˆ
encias ................................. 53
7.1.1 S´
e ie de Taylo ............................... 53
7.1.2 Algumas s´
e ies de McClau in impo an es ................. 54
7.2 M´
e odo das s´
e ies .................................. 54
7.2.1 Equac¸˜
ao de Ai y .............................. 55
7.3 M´
e odo de F obenius ................................ 57
7.3.1 Pon os singula es egula es ......................... 57
CONTE ´
UDO
7.4 Soluc¸˜
ao em s´
e ies em pon os singula es ...................... 60
7.5 P oblemas ...................................... 62
8 T ans o madas de Laplace 65
8.1 De inic¸˜
ao da ans o mada de Laplace ....................... 65
8.1.1 Condic¸ ˜
oes de exis ˆ
encia da ans o mada de Laplace ........... 65
8.2 P op iedades da ans o mada de Laplace ..................... 66
8.2.1 Linea idade ................................. 66
8.2.2 De i ada da T ans o mada ......................... 66
8.2.3 T ans o mada da De i ada ......................... 66
8.2.4 Deslocamen o em s............................. 66
8.3 T ans o madas de Func¸ ˜
oes Elemen a es ...................... 67
8.4 C´
alculo de ans o madas in e sas ......................... 68
8.5 Resoluc¸˜
ao de equac¸ ˜
oes di e enciais po meio da ans o mada de Laplace . . . . 68
8.6 Equac¸ ˜
oes di e enciais linea es com coe icien es a i´
a eis ............. 69
8.7 Equac¸ ˜
oes di e enciais linea es com en ada descon ´
ınua .............. 69
8.8 Deslocamen o no dom´
ınio do empo ........................ 70
8.9 Impulso uni ´
a io .................................... 71
8.10 Con oluc¸˜
ao ..................................... 75
8.11 Resoluc¸˜
ao de equac¸ ˜
oes in eg o-di e enciais .................... 77
8.12 P oblemas ...................................... 77
9 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es n˜
ao homog´
eneas 81
9.1 T ans o mada Z .................................... 81
9.2 P op iedades da ans o mada Z .......................... 82
9.2.1 Linea idade da ans o mada Z ....................... 82
9.2.2 De i ada da ans o mada Z ........................ 82
9.2.3 T ans o mada da sucess˜
ao deslocada .................... 83
9.2.4 T ans o madas das sucess˜
oes de senos e co-senos ............. 83
9.3 Resoluc¸˜
ao de equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es n˜
ao homog´
eneas .......... 85
9.4 P oblemas ...................................... 87
10 Sis emas de equac¸ ˜
oes di e enciais 89
10.1 De inic¸˜
ao ...................................... 89
10.2 Sis emas de equac¸ ˜
oes linea es ........................... 90
10.3 M´
e odo de eliminac¸˜
ao ................................. 91
10.4 M´
e odo ma icial .................................. 92
10.4.1 Ve o es e alo es p ´
op ios ......................... 93
10.4.2 Soluc¸ ˜
oes undamen ais ........................... 94
10.4.3 Valo es p ´
op ios complexos ........................ 96
10.5 Ve o es p ´
op ios gene alizados ........................... 97
10.6 Sis emas linea es n˜
ao homog´
eneos com coe icien es cons an es .......... 98
10.7 P oblemas ...................................... 100

i CONTE ´
UDO
11 Equac¸ ˜
oes de de i adas pa ciais 103
11.1 In oduc¸˜
ao ...................................... 103
11.1.1 Equac¸˜
ao de ans e ˆ
encia de calo ..................... 103
11.1.2 Equac¸˜
ao de onda .............................. 103
11.1.3 Equac¸˜
ao de Laplace ............................ 103
11.2 Resoluc¸˜
ao de equac¸ ˜
oes simples ........................... 104
11.3 M´
e odo da ans o mada de Laplace ........................ 104
11.4 T ans o madas de Fou ie .............................. 105
11.4.1 P odu o escala en e unc¸ ˜
oes ....................... 105
11.4.2 S´
e ie seno de Fou ie ............................ 105
11.4.3 S´
e ie co-seno de Fou ie .......................... 106
11.5 Resoluc¸˜
ao de EDPs usando ans o madas de Fou ie ............... 106
11.5.1 P op iedade ope acional .......................... 107
11.6 P oblemas ...................................... 110
Respos as aos p oblemas 111
Bibliog a ia 121
´
Indice 122
Lis a de Figu as
3.1 Decaimen o exponencial de uma subs ˆ
ancia adioa i a. .............. 19
3.2 Fam´
ılia de c´
ı culos com cen o na o igem e aje ´
o ias o ogonais. ........ 20
8.1 Fluxo de medicamen o, , pa a den o do sangue do pacien e. ........... 74
8.2 Decaimen o do medicamen o no sangue do pacien e. ............... 75
iii LISTA DE FIGURAS
Lis a de Tabelas
8.1 P op iedades da ans o mada de Laplace. ..................... 73
9.1 T ans o madas Z. .................................. 84
4In oduc¸ ˜
ao
2. 1
4d2y
dx22
−xdy
dx+y=1−x2y(x) = x2
3. ∂2u
∂x2+∂2u
∂y2=0u(x,y) = a c any
x
4. ∂2u
∂x2+∂2u
∂y2+∂2u
∂z2=0u(x,y,z) = 1
px2+y2+z2
Demons e que a elac¸˜
ao dada de ine uma soluc¸˜
ao impl´
ıci a da equac¸˜
ao di e encial.
5. yy0=e2xy2=e2x
6. y0=y2
xy −x2y=cey/x
Os p oblemas 7 ao 11 s
˜
ao um es e
`
a sua in ui
c¸˜
ao (a ¡¡in ui
c¸˜
ao¿¿ s
´
o se adqui e com alguma
expe i
ˆ
encia e, po isso,
´
e impo an e analisa es es p oblemas e as suas solu
c¸ ˜
oes). Em cada caso
en e adi inha uma solu
c¸˜
ao; a
c¸
a alguma en a i a e e i ique se
´
e ou n
˜
ao solu
c¸˜
ao. Diga se a
soluc¸˜
ao que descob iu ´
e ge al ou pa icula .
7. dy
dx=y(a unc¸˜
ao cuja de i ada ´
e igual a si p ´
op ia)
8. dy
dx=y2(de i ada igual ao quad ado da unc¸˜
ao)
9. dy
dx+y=1
10. dy
dx+y=ex
11. d2y
dx2=1 ( unc¸˜
ao cuja segunda de i ada ´
e igual a 1)
Ve i ique que a unc¸˜
ao dada ´
e soluc¸˜
ao do p oblema de alo inicial
12. y00+3y0+2y0=0, y(0) = 0y0(0) = 1y(x) = e−x−e−2x
13. y00+4y=0, y(0) = 1y0(0) = 0y(x) = cos2x
De e mine se o eo ema de Pica d implica a exis
ˆ
encia de uma solu
c¸˜
ao
´
unica dos seguin es p oblemas
de alo inicial, numa izinhanc¸a do alo inicial xdado.
14. y0−y=1y(0) = 3
15. y0=x3−y3y(0) = 0
16. y0=−x
yy(1) = 0

1.4 P oblemas 5
17.
O p oblema de alo inicial
y0=2√y
,
y(0) = 0
, em um n
´
ume o in ini o de solu
c¸ ˜
oes no
in e alo [0,∞).
(a) Demons e que y(x) = x2´
e uma soluc¸˜
ao.
(b)
Demons e que se (
c
o um pa
ˆ
ame o posi i o, a seguin e amilia de un
c¸ ˜
oes ( e
igu a) se ˜
ao amb´
em soluc¸ ˜
oes
y=0 0 ≤x<c
(x−c)2c≤x
Po que n˜
ao pode se cnega i o?
(c) In e p e e es es esul ados em elac¸˜
ao ao eo ema de Pica d.
x
y
1
-1
1 2
y = (x - c)2
6In oduc¸ ˜
ao
Cap´
ı ulo 2
Equac¸ ˜
oes di e enciais de p imei a
o dem
Exis em alguns ipos de equa
c¸ ˜
oes o din
´
a ias de p imei a o dem que podem se esol idas anali ica-
men e. Comecemos po es uda o caso mais simples das equa
c¸ ˜
oes di e enciais de
p imei a o dem
,
que s˜
ao as equac¸ ˜
oes da o ma
dy
dx= (x)(2.1)
Esse ipo de equa
c¸ ˜
oes esol em-se acilmen e, usando o eo ema undamen al do c
´
alculo
in eg al
y(x) = Z (x)dx+c(2.2)
em que c´
e uma cons an e a bi ´
a ia que se ´
a de e minada pela condic¸˜
ao inicial do p oblema.
2.1 Equac¸ ˜
oes de a i´
a eis sepa ´
a eis
Uma equac¸˜
ao ´
e designada de a i´
a eis sepa ´
a eis, se pode se esc i a na o ma
dy
dx= (x)
g(y)(2.3)
Pa a esol e es e ipo de equa
c¸˜
ao p imei o obse emos que a p imi i a da un
c¸˜
ao
g(y)
pode
se calculada da seguin e o ma
Zg(y)dy=Zg(y(x)) dy
dxdx(2.4)
A equac¸˜
ao di e encial pode se esc i a como
g(y)dy
dx= (x)(2.5)
e a p imi i a em o dem a
x
do lado esque do
´
e igual
`
a p imi i a em o dem a
y
de
g(y)
como
acabamos de e Zg(y)dy=Z (x)dx+c(2.6)
8Equac¸ ˜
oes di e enciais de p imei a o dem
As equac¸ ˜
oes do ipo
dy
dx= (ax +by +c)(2.7)
onde
a
e
b
s
˜
ao cons an es, n
˜
ao s
˜
ao equa
c¸ ˜
oes de a i
´
a eis sepa
´
a eis, mas podem se eduzidas a
elas po meio da seguin e subs i uic¸˜
ao
=ax +by +c=⇒d
dx=a+bdy
dx(2.8)
2.2 Equac¸ ˜
oes linea es
As equac¸ ˜
oes linea es s˜
ao as que podem se esc i as na o ma
dy
dx+p(x)y= (x)(2.9)
Pa a esol e es e ipo de equa
c¸˜
ao podemos en a ans o ma-la na o ma simples es udada na
se
c¸˜
ao 2. No caso pa icula em que a un
c¸˜
ao
p
o uma cons an e
a
, o lado esque do se
´
a semelhan e
`
a seguin e de i ada
dy
dx(yeax) = eax(y0+ay)(2.10)
consequen emen e, podemos mul iplica os dois lados da equa
c¸˜
ao di e encial po
exp(ax)
e ob e -
mos
dy
dx(yeax) = eax (x)(2.11)
yeax =Zeax (x)dx+c
No caso ge al em que
p
depende de
x
, usamos a p imi i a de
p(x)
em ez de
ax
e o
a o
in eg an e pelo qual de e emos mul iplica a equac¸˜
ao se ´
a
µ(x) = exp"Zp(x)dx#(2.12)
mul iplicando os dois lados da equac¸˜
ao di e encial po µob ´
em-se
d
dx(yµ(x)) = µ(x) (x)(2.13)
yµ =Zµ(x) (x)dx+c
Exemplo 2.1
Encon e a soluc¸ ˜
ao da equac¸ ˜
ao di e encial
dy
dx=y
y3−2xy(2) = 1
2.3 Equac¸ ˜
oes exa as 9
A equa
c¸˜
ao n
˜
ao
´
e de a i
´
a eis sepa
´
a eis, nem linea , mas se in e e mos a equa
c¸˜
ao ob e emos
dx
dy=y3−2x
y(2.14)
a qual ´
e uma equac¸˜
ao linea . Esc i a na o ma pad ˜
ao
dx
dy+2
yx=y2(2.15)
emos que o a o in eg an e ´
e
µ=expZ2
ydy=y2(2.16)
mul iplicando os dois lados da equac¸˜
ao po µob emos
d
dy(y2x) = y4(2.17)
=⇒y2x=y5
5+C(2.18)
Pa a calcula o alo da cons an e de in eg ac¸˜
ao, subs i u´
ımos a condic¸˜
ao inicial
2=1
5+C=⇒C=9
5(2.19)
e a soluc¸˜
ao (de o ma impl´
ıci a) ´
e
5y2x=y5+9(2.20)
2.3 Equac¸ ˜
oes exa as
Qualque equac¸˜
ao de p imei a o dem pode se esc i a em o ma di e encial:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2.21)
es a o ma ´
e semelhan e `
a exp ess˜
ao da di e encial de uma unc¸˜
ao de duas a i´
a eis
dF(x,y) = ∂F
∂xdx+∂F
∂ydy(2.22)
Es a equa
c¸˜
ao suge e-nos admi i que exis e uma un
c¸˜
ao
F(x,y)
cujas de i adas pa ciais s
˜
ao iguais
aM(x,y)eN(x,y). No en an o, a segunda de i ada pa cial de Fse ia
∂2F
∂x2y=∂M
∂y=∂N
∂x(2.23)
Assim, pa a que a conje u a da exis
ˆ
encia da un
c¸˜
ao
F(x,y)
seja consis en e,
´
e necess
´
a io que
as unc¸ ˜
oes MeN e i iquem a seguin e condic¸˜
ao
∂M
∂y=∂N
∂x(2.24)

10 Equac¸ ˜
oes di e enciais de p imei a o dem
nesse caso diz-se que a equac¸˜
ao ´
e uma equac¸ ˜
ao exa a e pode se esc i a como
dF(x,y) = 0 (2.25)
sendo a sua soluc¸˜
ao ge al
F(x,y) = c(2.26)
A un
c¸˜
ao
F
calcula-se encon ando a un
c¸˜
ao cujas de i adas pa ciais sejam iguais a
M(x,y)
e
N(x,y).
Exemplo 2.2
Resol a a seguin e equac¸ ˜
ao
dy
dx=9x2+y−1
4y−x(2.27)
A equac¸˜
ao pode se esc i a da seguin e o ma di e encial
(4y−x)dy−(9x2+y−1)dx=0 (2.28)
e e i ica-se que ´
e uma equac¸˜
ao exa a:
∂
∂x(4y−x) = −1=∂
∂y(−9x2−y+1)(2.29)
exis e uma unc¸˜
ao F(x,y) al que
dF
dy=4y−x=⇒F=2y2−xy + (x)(2.30)
dF
dx=−9x2−y+1=⇒F=−3x3−xy +x+g(y)(2.31)
compa ando os dois esul ados pa a F emos que
(x) = x−3x3(2.32)
g(y) = 2y2(2.33)
e a unc¸˜
ao F(x,y)´
e (pa a al´
em de uma cons an e que n˜
ao ´
e impo an e aqui)
F(x,y) = 2y2−3x3−xy +x(2.34)
a soluc¸˜
ao ge al da equac¸˜
ao di e encial ´
eFigual a uma cons an e
2y2−3x3−xy +x=c(2.35)
2.4 Equac¸ ˜
oes homog´
eneas
Uma equac¸˜
ao de p imei a o dem diz-se homog´
enea se i e a seguin e o ma ge al
dy
dx= y
x(2.36)
2.4 Equac¸ ˜
oes homog´
eneas 11
pa a esol e es e ipo de equac¸˜
ao usa-se a subs i uic¸˜
ao
=y
x=⇒dy
dx= +xd
dx(2.37)
a qual ans o ma a equa
c¸˜
ao numa equa
c¸˜
ao de a i
´
a eis sepa
´
a eis. Pa a econhece acilmen e se
uma un
c¸˜
ao acional
´
e da o ma
(y/x)
obse am-se os expoen es de cada e mo no nume ado
e denominado (soma do expoen e de
x
mais o expoen e de
y
) os quais de e
˜
ao se iguais. Po
exemplo das duas unc¸˜
oes seguin es a p imei a em a o ma (y/x)mas a segunda n˜
ao
xy2−x3
yx2
xy +y
2+x(2.38)
Exis em ou as equa
c¸ ˜
oes que podem se eduzidas a equa
c¸ ˜
oes homog
´
eneas. Um exemplo
´
ıpico
´
e a equac¸˜
ao
dy
dx= ax +by +c
px +qy + (2.39)
onde
a,bc,p,q
e
s
˜
ao cons an es dadas. Se as cons an es
c
e
ossem nulas, a equa
c¸˜
ao se ia
homog
´
enea; de inimos um no o sis ema de coo denadas
(u, )
pa a subs i ui
(x,y)
, de o ma a
ob e
ax +by +c=au +b (2.40)
px +qy + =pu +q (2.41)
ou de o ma equi alen e
a(x−u)+ b(y− ) = −c(2.42)
p(x−u)+ q(y− ) = − (2.43)
a soluc¸˜
ao des e sis ema de equac¸ ˜
oes linea es pode se ob ido po meio da eg a de C ame
x−u=−c b
− q 

a b
p q 
y− =
a−c
p− 

a b
p q 
(2.44)
como os lados di ei os das equa
c¸ ˜
oes 2.42 e2.43 s
˜
ao cons an es, amb
´
em emos que
dx=du
,
dy=d e a equac¸˜
ao di e encial ans o ma-se numa equac¸˜
ao homog´
enea
d
du= au +b
pu +q (2.45)
Exemplo 2.3
Resol a o p oblema de alo inicial
dy
dx=x+y−3
x−y−1y(3) = 1 (2.46)
12 Equac¸ ˜
oes di e enciais de p imei a o dem
Es a equa
c¸˜
ao pode se eduzida a uma equa
c¸˜
ao homog
´
enea, mudando as a i
´
a eis
(x,y)
pa a
(u, )de inidas po
x+y−3=u+
x−y−1=u− =⇒(x−u)+(y− ) = 3
(x−u)−(y− ) = 1(2.47)
usando a eg a de C ame emos
x−u=
3 1
1−1

1 1
1−1
=2 (2.48)
y− =
1 3
1 1 

1 1
1−1
=1 (2.49)
x=u+2=⇒dx=du(2.50)
y= +1=⇒dy=d (2.51)
com es as subs i uic¸ ˜
oes, a equac¸˜
ao di e encial o na-se uma equac¸˜
ao homog´
enea
d
du=u+
u− (2.52)
e pa a ans o m
´
a-la numa equa
c¸˜
ao de a i
´
a eis sepa
´
a eis, de inimos uma no a a i
´
a el dependen e
z
z=
u=⇒d
du=z+dz
du(2.53)
Subs i uindo na equac¸˜
ao di e encial emos
z+udz
du=1+z
1−z(2.54)
dz
du=1
u1+z
1−z−z=z2+1
u(1−z)
Es a ´
e uma equac¸˜
ao de a i´
a eis sepa ´
a eis que pode se in eg ada
Z1−z
z2+1dz=Zdu
u+c(2.55)
a c g(z)−1
2ln1+z2=lnu+c
Pa a calcula o alo da cons an e
c
, emos que a condi
c¸˜
ao inicial
y(3) = 1
implica
u=2
,
=0
ez=0
a c g0 −ln1
2=ln2 +c=⇒a c gz−1
2ln(1+z2) = lnu(2.56)
e, assim, a soluc¸˜
ao em unc¸˜
ao de xey´
e
a c gy−1
x−2−1
2ln"1+y−1
x−22#=ln(x−2)(2.57)
2.5 Equac¸ ˜
ao de Be noulli 13
2.5 Equac¸ ˜
ao de Be noulli
Um ipo de equa
c¸˜
ao di e encial que pode se eduzida a equa
c¸˜
ao linea ,
´
e a chamada
equac¸ ˜
ao de
Be noulli, de inida como
dy
dx+p(x)yn= (x)y(2.58)
onde n´
e um n´
ume o acional, di e en e de 0 e de 1. A subs i uic¸˜
ao
=y1−n=⇒ 0= (1−n)y−ny0(2.59)
ans o ma a equac¸˜
ao de Be noulli numa equac¸˜
ao linea .
2.6 Equac¸ ˜
ao de Ricca i
Ou a equac¸˜
ao edu ´
ı el a equac¸˜
ao linea ´
e a equac¸˜
ao de Ricca i:
dy
dx=a(x)+ b(x)y+c(x)y(2.60)
onde
a(x)
,
b(x)
e
c(x)
s
˜
ao
ˆ
es un
c¸ ˜
oes que dependem de
x
. Se conhece mos uma solu
c¸˜
ao pa icula
da equa
c¸˜
ao, po exemplo
y1
, a seguin e mudan
c¸
a de a i
´
a el ans o ma
´
a a equa
c¸˜
ao em equa
c¸˜
ao
linea
y=y1+1
=⇒dy
dx=dy1
dx−1
2
d
dx(2.61)
Exemplo 2.4
Encon e a soluc¸ ˜
ao ge al da seguin e equac¸˜
ao sabendo que y1(x)´
e soluc¸ ˜
ao pa icula
y0=exy2−y+e−xy1(x) = −e−xco x(2.62)
T a a-se de uma equac¸˜
ao de Ricca i e pa a a esol e usamos a seguin e subs i uic¸˜
ao
y=y1+1
=⇒y0=y0
1− 0
2(2.63)
´
e con enien e n
˜
ao subs i ui
y1
pela un
c¸˜
ao dada, j
´
a que o a o des a se solu
c¸˜
ao da equa
c¸˜
ao
simpli ica ´
a os esul ados. Subs i uindo na equac¸˜
ao de Ricca i ob emos
y0
1− 0
2=exy2
1+2y1
+1
2−y1−1
+e−x(2.64)
2y0
1−exy2
1+y1−e−x= 0+(2y1ex−1) +ex
como
y1´
e solu
c¸˜
ao, o e mo nos pa
ˆ
en esis no lado esque do
´
e ze o e ob
´
em-se a seguin e equa
c¸˜
ao
linea pa a (x)
0−(2co x+1) =−ex(2.65)
o a o in eg an e des a equac¸˜
ao linea ´
e
µ(x) = expZ(−1−2co x)dx=exp[−x−2ln(sinx)] = e−x
sin2x(2.66)
20 Aplicac¸ ˜
oes das equac¸ ˜
oes di e enciais de p imei a o dem
A de i ada
dy/dx
ep esen a em cada pon o o decli e da cu a que passa po esse pon o. O decli e
da cu a o ogonal se ´
a o in e so, com sinal ocado
dy
dx=
∂
∂y
∂
∂x
(3.15)
a soluc¸˜
ao ge al des a equac¸˜
ao ´
e a am´
ılia de aje ´
o ias o ogonais.
Exemplo 3.1
Encon e as aje ´
o ias o ogonais da am´
ılia de c´
ı culos com cen o na o igem.
A equac¸˜
ao dos c´
ı culos com cen o na o igem ´
e
x2+y2=c2(3.16)
onde o pa
ˆ
ame o
c
pode e qualque alo posi i o a equa
c¸˜
ao di e encial cuja solu
c¸˜
ao ge al
´
e essa
am´
ılia de c´
ı culos ob ´
em-se po de i ac¸˜
ao impl´
ıci a
2x+2yy0=0=⇒dy
dx=−dx
dy(3.17)
e a equac¸˜
ao di e encial das aje ´
o ias o ogonais ´
e
dy
dx=y
x(3.18)
A soluc¸˜
ao des a equac¸˜
ao de a i´
a eis sepa ´
a eis ´
e
y=ax (3.19)
que co esponde a uma am
´
ılia de e as que passam pela o igem; a cons an e de in eg a
c¸˜
ao
´
e decli e
das e as. A igu a 3.2 mos a a am´
ılia de cu as e as aje ´
o ias o ogonais .
x
y
Figu a 3.2: Fam´
ılia de c´
ı culos com cen o na o igem e aje ´
o ias o ogonais.

3.4 P oblemas de aquecimen o e a e ecimen o 21
3.4 P oblemas de aquecimen o e a e ecimen o
Ou a aplica
c¸˜
ao das equa
c¸ ˜
oes di e enciais de p imei a o dem s
˜
ao os p oblemas de aquecimen o
e a e ecimen o. En e dois co pos em con a o exis e ans e
ˆ
encia de calo po condu
c¸˜
ao, do
co po mais quen e pa a o mais io. Se a empe a u a do obje o em qualque ins an e
´
e
T( )
e a
empe a u a do meio ambien e
´
e
M( )
, o aumen o da empe a u a do obje o em qualque ins an e
se ´
a di e amen e p opo cional `
a di e enc¸a de empe a u a com o meio ambien e
dT
d =k(M−T)(3.20)
onde
k´
e uma cons an e de condu
c¸˜
ao
´
e mica. Es a equa
c¸˜
ao
´
e uma equa
c¸˜
ao linea que pode se
acilmen e esol ida uma ez conhecida a empe a u a do meio
M( )
. O caso mais simples
´
e quando
a empe a u a do meio ambien e ´
e cons an e; nesse caso a equac¸˜
ao ´
e de a i´
a eis sepa ´
a eis
ZdT
M−T=Zkd +C=⇒T=M+(T0−M)e−k (3.21)
onde
T0´
e a empe a u a inicial. A empe a u a do obje o ap oxima-se assimp o icamen e
`
a empe a-
u a do meio.
3.5 Cin´
e ica qu´
ımica
Conside emos uma ea
c¸˜
ao qu
´
ımica de p imei a o dem na qual um compos o A eage dando o igem
a ou os dois compos os B e C
A−→B+C (3.22)
Cada mol
´
ecula do compos o A em uma de e minada p obabilidade de eagi po unidade de
empo. Assim, o n
´
ume o de mol
´
eculas que eagem po unidade de empo
´
e di e amen e p opo -
cional ao n
´
ume o de mol
´
eculas exis en es, e a elocidade da ea
c¸˜
ao
´
e di e amen e p opo cional
`
a
concen a
c¸˜
ao [A] do compos o A (admi indo um olume cons an e). A medida que o compos o
eage, a sua concen a
c¸˜
ao diminui e a elocidade de ea
c¸˜
ao amb
´
em; em qualque ins an e a axa de
diminuic¸˜
ao de [A] ´
e di e amen e p opo cional a [A]
d[A]
d =−k[A](3.23)
Es e ipo de ea
c¸˜
ao designa-se de ea
c¸˜
ao de
p imei a o dem
. A equa
c¸˜
ao an e io
´
e a mesma
equa
c¸˜
ao ob ida pa a o decaimen o adioa i o, j
´
a que o mecanismo das ea
c¸ ˜
oes de p imei a o dem e
do decaimen o adioa i o s˜
ao an´
alogos, a n´
ı el a ´
omico e nuclea .
Conside emos ago a uma ea
c¸˜
ao na qual dois eagen es A e B combinam-se o mando um
compos o C
A+B−→C (3.24)
Cada mol
´
ecula de A em uma de e minada p obabilidade
c
de eagi com uma mol
´
ecula de B (po
unidade de empo); na p esen
c¸
a
NB
mol
´
eculas do compos o B, a p obabilidade de eagi que em
cada mol
´
ecula de A
´
e
cNB
.
1
Assim o n
´
ume o m
´
edio de ea
c¸ ˜
oes po unidade de empo
´
e
cNANB
,
1´
E cla o que uma mol
´
ecula e
´
a maio p obabilidade de eagi com as mol
´
eculas izinhas do que com ou as mol
´
eculas
a as adas, mas amos admi i que c´
e a p obabilidade m´
edia e pe manece cons an e
22 Aplicac¸ ˜
oes das equac¸ ˜
oes di e enciais de p imei a o dem
sendo
NA
e
NB
o n
´
ume o de mol
´
eculas de A e B exis en es nesse ins an e; es e se
´
a amb
´
em o
aumen o do nume o de mol´
eculas do compos o C, NC, po unidade de empo:
dNC
d =cNANB(3.25)
Em unc¸˜
ao das concen ac¸ ˜
oes dos compos os A, B e C, a equac¸˜
ao di e encial ob ida ´
e
dx
d =k(a−x)(b−x)(3.26)
onde
x´
e a concen a
c¸˜
ao do compos o C e
a
e
b
as concen a
c¸ ˜
oes iniciais de A e de B. Es e ipo de
eac¸ ˜
oes s˜
ao de segunda o dem.
Exemplo 3.2 (P oblema de e apo ac¸˜
ao)
Uma es e a de na aleno em um aio inicial de
1 cm
e depois de
ˆ
es meses obse a-se que o aio
diminuiu a ´
e0,5 cm. Calcule quan o empo a da ´
a a es e a em e apo a -se comple amen e.
O olume da es e a s
´
olida que se e apo a em cada ins an e
´
e di e amen e p opo cional
`
a
´
a ea
da supe ´
ıcie
dV
d =−kA (3.27)
onde
V=4π 3/3´
e o olume da es e a, e
A=4π 2
a
´
a ea da sua supe
´
ıcie. Subs i uindo na
equac¸˜
ao di e encial, ob emos uma equac¸˜
ao simples pa a o aio da es e a
d
d =−k(3.28)
a sua soluc¸˜
ao mos a que o aio diminui linea men e e unc¸˜
ao do empo:
= 0−k (3.29)
consequen emen e, se o aio diminuiu a me ade em
ˆ
es meses, a da
´
a ou os
ˆ
es meses a em
chega a se ze o. 
3.6 P oblemas
1.
A an
´
alise qu
´
ımica de uma iga de pinho e i ada da umba dum a a
´
o Egipcio mos ou que o
con e
´
udo de ca bono 14
´
e 55% do exis en e num pinhei o i o. Sabendo que a meia- ida do
ca bono 14 ´
e 5580 ±45 anos, calcule a idade da umba.
2.
Segundo o Fac book da C.I.A., os dados demog
´
a icos pa a Po ugal em Julho de 1993 o am
os seguin es: popula
c¸˜
ao
=10 486 140
habi an es, axa anual de na alidade
=11,59
po mil,
axa anual de mo alidade
=9,77
po mil e axa anual de mig a
c¸˜
ao
=1,8
po mil. Admi indo
que as
ˆ
es axas pe manecem cons an es en e 1993 e 1997, a
c¸
a uma es ima i a da popula
c¸˜
ao
de Po ugal em Julho de 1997.
3.
No p oblema an e io admi a que as axas de na alidade e mig a
c¸˜
ao sejam cons an es a
´
e ao
ano 2000, enquan o a axa de mo alidade
´
e di e amen e p opo cional
`
a popula
c¸˜
ao (modelo
log
´
ıs ico). Calcule qual se ia nes e modelo a popula
c¸˜
ao em Julho do ano 2000 (a cons an e de
p opo cionalidade da axa de mo alidade calcula-se ´
acilmen e a pa i dos dados iniciais).
3.6 P oblemas 23
4.
A in ensidade luminosa num lago ou no ma diminui exponencialmen e em un
c¸˜
ao da p o un-
didade, como esul ado da abso
c¸˜
ao da luz po pa e da
´
agua. Se
7,6
me os de
´
agua abso em
15% da in ensidade da luz inciden e na supe
´
ıcie, a que p o undidade se ia a luz do meio dia
˜
ao in ensa como a luz da lua cheia sob e a Te a? (a luz da lua cheia sob e a Te a
´
e
300 000
ezes mais aca que a luz do sol a meio dia).
5.
Numa ea
c¸˜
ao qu
´
ımica de segunda o dem dois eagen es A e B combinam-se o mando um
compos o C (
A+B−→C
). Cada mol
´
ecula de A em uma p obabilidade de eagi com B
(po unidade de empo) di e amen e p opo cional ao n
´
ume o de mol
´
eculas de B exis en es:
p obabilidade
=cNB
, em que
c´
e uma cons an e e
NB
o n
´
ume o de mol
´
eculas de B. Assim
o n
´
ume o m
´
edio de ea
c¸ ˜
oes po unidade de empo
´
e
cNANB
, sendo
NA
e
NB
o n
´
ume o de
mol´
eculas de A e B exis en es nesse ins an e.
(a)
Demons e que em qualque ins an e a concen a
c¸˜
ao
x
do compos o C (em moles po
unidade de olume) e i ica a seguin e equac¸˜
ao
dx
d =k(a−x)(b−x)
onde
a
e
b
s
˜
ao as concen a
c¸ ˜
oes iniciais de A e B, no ins an e
=0
quando a concen a-
c¸˜
ao de C ´
e ze o, e k´
e uma cons an e (admi a o olume cons an e).
(b) Encon e a soluc¸˜
ao da equac¸˜
ao an e io pa a a cons an e ke a concen ac¸˜
ao x.
(c)
Quando a concen a
c¸˜
ao de um dos eagen es
´
e mui o maio , po exemplo
ab
, o e mo
a−x
pe manece p
´
a icamen e cons an e e mui o pe o do alo inicial
a
. Resol a a
equac¸˜
ao di e encial com a di a ap oximac¸˜
ao.
(d)
Resol a a equa
c¸˜
ao di e encial da al
´
ınea ano caso pa icula de concen a
c¸ ˜
oes iguais
pa a os dois eagen es (a=b).
6. Encon e as aje ´
o ias o ogonais da amilia de elipses 4x2+y2=c.
7.
A cons an e de empo (in e sa da cons an e de ans e
ˆ
encia
´
e mica
k
) de um p
´
edio
´
e
1/k=1
dia. N
˜
ao exis em sis emas de aquecimen o ou a condicionado den o do p
´
edio. A
empe a u a ex e io oscila em o ma senoidal en e o m
´
ınimo de
5◦
C
`
as 2 ho as e o m
´
aximo
de 25 ◦C`
as 14 ho as.
(a)
Encon e a equa
c¸˜
ao di e encial pa a a empe a u a den o do p
´
edio. (suges
˜
ao: use o
empo
em dias, com o igem num dia qualque
`
as 8 ho as quando a empe a u a ex e na
em o alo m´
edio)
(b) Encon e a soluc¸˜
ao de es ado es acion´
a io ( alo es ele ados de ).
(c) Quais se ˜
ao as empe a u as m´
axima e m´
ınima den o do p ´
edio?
24 Aplicac¸ ˜
oes das equac¸ ˜
oes di e enciais de p imei a o dem
Cap´
ı ulo 4
Equac¸ ˜
oes linea es de o dem 2 e supe io
Uma equac¸˜
ao di e encial linea de o dem n em a o ma ge al
a0(x)y(n)+a1(x)y(n−1)+...+an−1(x)y0+an(x)y=g(x)(4.1)
onde
a0´
e di e en e de ze o (se n
˜
ao osse, e
´
ıamos uma equa
c¸˜
ao de o dem
n−1
). Po simplicidade
es uda emos a equa
c¸˜
ao de o dem 2, mais os esul ados ob idos se
˜
ao acilmen e gene alizados ao
caso de o dem
n
. Di idindo os dois lados da equa
c¸˜
ao linea de segunda o dem po
a0
, ob
´
em-se a
o ma pad ˜
ao
y00+p(x)y0+q(x)y= (x)(4.2)
4.1 Exis ˆ
encia e unicidade da soluc¸ ˜
ao
Teo ema 2
Se as un
c¸ ˜
oes
p(x)
,
q(x)
e
(x)
s
˜
ao con
´
ınuas num in e alo
(a,b)
, exis e uma
´
unica solu
c¸ ˜
ao da
equac¸ ˜
ao linea
y00+p(x)y0+q(x)y= (x)(4.3)
no in e alo (a,b), que e i ica as condic¸ ˜
oes iniciais
y(c) = A y0(c) = B(4.4)
pa a quaisque n´
ume os A, B e c (c den o do in e alo (a,b)).
Em con as e com o eo ema de Pica d pa a equa
c¸ ˜
oes de p imei a o dem, o in e alo onde se
e i icam as condi
c¸ ˜
oes de exis
ˆ
encia e unicidade
´
e exa amen e o mesmo in e alo onde a solu
c¸˜
ao
´
e
´
alida; po an o, nes e caso as condi
c¸ ˜
oes do eo ema de exis
ˆ
encia e unicidade s
˜
ao condi
c¸ ˜
oes
su icien es e necess´
a ias.
No caso ge al de o dem
n
, as condi
c¸ ˜
oes iniciais se
˜
ao o alo da un
c¸˜
ao e das p imei as
n−1
de i adas num pon o
c
, e as condi
c¸ ˜
oes de exis
ˆ
encia e unicidade se
˜
ao a con inuidade das
n+1
unc¸ ˜
oes que apa ecem na o ma pad ˜
ao da equac¸˜
ao.
4.2 Soluc¸ ˜
ao ge al das equac¸ ˜
oes linea es
Dadas duas solu
c¸ ˜
oes pa icula es da equa
c¸˜
ao linea , a di e en
c¸
a en e elas
´
e solu
c¸˜
ao da equa
c¸˜
ao
homog´
enea associada
y00+p(x)y0+q(x)y=0 (4.5)

26 Equac¸ ˜
oes linea es de o dem 2 e supe io
De manei a ec
´
ıp oca, qualque soma de uma solu
c¸˜
ao da equa
c¸˜
ao linea mais uma solu
c¸˜
ao da
equa
c¸˜
ao homog
´
enea associada,
´
e amb
´
em solu
c¸˜
ao da equa
c¸˜
ao linea . Assim a solu
c¸˜
ao ge al pode
se ob ida a pa i de uma
´
unica solu
c¸˜
ao pa icula ,
yp
, da equa
c¸˜
ao mais a solu
c¸˜
ao ge al da equa
c¸˜
ao
homog´
enea associada, yh
yg=yp+yh(4.6)
Pa a esol e uma equa
c¸˜
ao linea come
c¸
amos po esol e a equa
c¸˜
ao linea homog
´
enea associ-
ada e depois encon amos uma soluc¸˜
ao pa icula yp.
4.3 Equac¸ ˜
oes linea es homog´
eneas
A o ma ge al da equac¸˜
ao linea homog´
enea de segunda o dem ´
e
y00+p(x)y0+q(x)y=0 (4.7)
dadas duas soluc¸ ˜
oes pa icula es y1ey2, qualque combinac¸˜
ao linea das duas soluc¸ ˜
oes
c1y+c2y(4.8)
´
e amb
´
em solu
c¸˜
ao. Consequen emen e as solu
c¸ ˜
oes da equa
c¸˜
ao o mam um espa
c¸
o e o ial. Pa a
de e mina a solu
c¸˜
ao ge al bas a
´
a com de e mina uma
base
do espa
c¸
o e o ial, ou seja um
conjun o com o n
´
ume o m
´
aximo poss
´
ı el de solu
c¸ ˜
oes pa icula es linea men e independen es. A
con inuac¸˜
ao e emos como de e mina se duas soluc¸˜
oes s˜
ao linea men e independen es.
4.4 Independˆ
encia linea en e unc¸ ˜
oes
Diz-se que duas un
c¸ ˜
oes
(x)
e
g(x)
s
˜
ao linea men e dependen es se exis em duas cons an es
C1
e
C2(pelo menos uma de elas di e en e de ze o) al que
C1 +C2g=0 (4.9)
pa a qualque alo de x. A de i ada da exp ess˜
ao an e io ´
e
C1 0+C2g0=0 (4.10)
Pa a cada alo de
x
, as duas
´
ul imas equa
c¸ ˜
oes s
˜
ao um sis ema linea . O de e minan e do sis ema
´
e
W[ ,g] = 
g
0g0
(4.11)
e designa-se
W onskiano
das un
c¸ ˜
oes
e
g
. Se o W onskiano o di e en e de ze o num in e alo,
as duas cons an es se
˜
ao nulas e as un
c¸ ˜
oes linea men e independen es no in e alo. Realmen e
amb
´
em exis em casos em que as un
c¸ ˜
oes s
˜
ao linea men e independen es e o W onskiano
´
e nulo
em alguns pon os isolados, mas esses casos n
˜
ao apa ecem no es udo das solu
c¸ ˜
oes das equa
c¸ ˜
oes
linea es, como e emos na seguin e sec¸˜
ao.
4.5 Soluc¸ ˜
ao ge al das equac¸ ˜
oes linea es homog´
eneas 27
4.5 Soluc¸ ˜
ao ge al das equac¸ ˜
oes linea es homog´
eneas
Teo ema 3
Se y1e y2s˜
ao duas soluc¸ ˜
oes pa icula es da equac¸ ˜
ao linea homog´
enea
y00+p(x)y0+q(x)y=0 (4.12)
num in e alo
(a,b)
, e se num pon o
x0
den o do in e alo o W onskiano das duas solu
c¸ ˜
oes
´
e
di e en e de ze o, en
˜
ao o W onskiano se
´
a di e en e de ze o em qualque ou o pon o no in e alo
(a,b)e as soluc¸ ˜
oes se ˜
ao linea men e independen es no in e alo.
Uma combina
c¸˜
ao linea das duas solu
c¸ ˜
oes
´
e amb
´
em solu
c¸˜
ao; as condi
c¸ ˜
oes iniciais pa a essa
soluc¸˜
ao se ˜
ao
C1y1(c)+C2y2(c) = A(4.13)
C1y0
1(c)+C2y0
2(c) = B(4.14)
pa a quaisque alo es iniciais
A
e
B
exis e semp e solu
c¸˜
ao
´
unica
C1
e
C2
, j
´
a que o de e minan e
des e sis ema linea
´
e exa amen e o W onskiano das duas solu
c¸ ˜
oes, o qual
´
e di e en e de ze o.
Qualque soluc¸˜
ao pa icula pode se ob ida a pa i de uma combinac¸˜
ao linea das duas soluc¸ ˜
oes
yg=C1y1+C2y2(4.15)
sendo es a a soluc¸˜
ao ge al.
4.6 M´
e odo de d’Alembe
O m
´
e odo de d’Alembe pe mi e ans o ma uma equa
c¸˜
ao di e encial linea de o dem
n
numa
ou a equa
c¸˜
ao linea de o dem
n−1
, a pa i de uma solu
c¸˜
ao pa icula conhecida. No caso das
equa
c¸ ˜
oes linea es homog
´
eneas de segunda o dem, es e m
´
e odo pe mi e calcula a solu
c¸˜
ao ge al a
pa i de uma soluc¸˜
ao pa icula . Se y1´
e soluc¸˜
ao pa icula da equac¸˜
ao linea homog´
enea
y00+p(x)y0+q(x)y=0 (4.16)
a subs i uic¸˜
ao
y= y1(4.17)
conduz a uma equac¸˜
ao de p imei a o dem pa a a unc¸˜
ao 0
d 0
dx=2y0
1
y1
0+p 0(4.18)
conside ando como a i
´
a el independen e a un
c¸˜
ao
0
, es a
´
e uma equa
c¸˜
ao linea de p imei a o dem,
que pode se esol ida usando o m
´
e odo in oduzido no Cap
´
ı ulo 2pa a ob e
0
. A p imi i a de
0
d´
a a unc¸˜
ao , que mul iplicada po y1conduz `
a soluc¸˜
ao ge al da equac¸˜
ao 4.16.
Exemplo 4.1
Sabendo que y1´
e soluc¸ ˜
ao da equac¸ ˜
ao di e encial dada, encon e a soluc¸ ˜
ao ge al
(x2+1)y00−2xy0+2y=0y1(x) = x(4.19)
28 Equac¸ ˜
oes linea es de o dem 2 e supe io
A soluc¸˜
ao ge al encon a-se usando o m´
e odo de D’Alembe
y= y1(4.20)
(x2+1)( y00
1+2 0y0
1+ 00y1)−2x( y0
1+ 0y1)+ 2 y1=0
(x2+1)(2 0y0
1+ 00y1)−2x 0y1=0
x(x2+1) 00+2 0=0
Es a
´
ul ima equa
c¸˜
ao pode se conside ada uma equa
c¸˜
ao de p imei a o dem em que a a i
´
a el
dependen e ´
e 0. Sepa ando as a i´
a eis e in eg ando ob ´
em-se
Zd 0
0=−2Zdx
x(x2+1)+C
0=C1
x2−1
+C2x
=C1x−1
x+C2
y=C1(x−1)+C2x
4.7 Equac¸ ˜
oes linea es homog´
eneas de coe icien es cons an es
A equac¸˜
ao
y00+by0+cy =0 (4.21)
onde
b
e
c
s
˜
ao duas cons an es,
´
e uma equa
c¸˜
ao linea homog
´
enea de coe icien es cons an es. A
solu
c¸˜
ao des e ipo de equa
c¸˜
ao se
´
a uma un
c¸˜
ao que seja linea men e dependen e das sua p imei a
e segunda de i adas, j
´
a que a equa
c¸˜
ao 4.21 com
b
e
c
n
˜
ao nulos indica que as
ˆ
es un
c¸ ˜
oes s
˜
ao
linea men e dependen es. Uma un
c¸˜
ao cuja de i ada n
˜
ao
´
e linea men e independen e de si
´
e a
unc¸˜
ao exponencial; consequen emen e espe amos que exis a alguma soluc¸˜
ao pa icula da o ma
y=e x (4.22)
onde ´
e uma cons an e. Pa a que essa unc¸˜
ao seja soluc¸˜
ao se ´
a p eciso que
y00+by0+cy = 2e x +b e x +ce x =0 (4.23)
como a exponencial nunca ´
e igual a ze o
2+b +c=0 (4.24)
Es e polin
´
omio designa-se
polin´
omio ca a e ´
ıs ico
. As duas a
´
ızes podem se eais ou com-
plexas e e emos 3 casos:
4.7.1 Ra´
ızes eais di e en es
Po cada uma das duas a
´
ızes ob emos uma solu
c¸˜
ao pa icula .
´
E
´
acil demons a que o W onskiano
das duas soluc¸ ˜
oes co esponden es ´
e n˜
ao nulo e po an o a soluc¸˜
ao ge al se ´
a
yg=C1e 1x+C2e 2x(4.25)
4.7 Equac¸ ˜
oes linea es homog´
eneas de coe icien es cons an es 29
4.7.2 Ra´
ızes eais iguais
Se os coe icien es do polin´
omio ca a e ´
ıs ico e i ica em a elac¸˜
ao
b2−4c=0 (4.26)
exis e uma ´
unica aiz eal =−b/2. A ´
unica soluc¸˜
ao exponencial ´
e
y1=e x (4.27)
mul iplicada po qualque cons an e a bi
´
a ia. Pa a encon a a solu
c¸˜
ao ge al usa-se o m
´
e odo de
d’Alembe
y= y1 00 = (−2 −b) 0(4.28)
como a aiz da equa
c¸˜
ao ca a e
´
ıs ica
´
e
=−b/2
, ob emos uma equa
c¸˜
ao simples que pe mi e
calcula 0
00 =0=⇒ =C1+C2x(4.29)
A soluc¸˜
ao ge al ´
e
yg= (C1+C2x)e x (4.30)
4.7.3 Ra´
ızes complexas
Nes e caso uma das a
´
ızes
´
e
=a+ib
(
a
e
b
eais) e a ou a
´
e o complexo conjugado. A solu
c¸˜
ao
ob ida ´
e uma unc¸˜
ao complexa
z=e(α+iβ)x=eαxeiβxeαxcos(βx)+ isin(βx)(4.31)
´
E
´
acil mos a que se
y´
e solu
c¸˜
ao, as suas pa es eal e imagin
´
a ia amb
´
em o s
˜
ao. Temos assim
duas solu
c¸ ˜
oes eais (pa e eal e imagin
´
a ia de
z
) que s
˜
ao linea men e independen es e a solu
c¸˜
ao
ge al se ´
a
yg=C1eαxcos(βx)+C2eαxsin(βx)(4.32)
Exemplo 4.2
Encon e a soluc¸ ˜
ao ge al de
y00+2y0+8y=0 (4.33)
O polin´
omio ca a e ´
ıs ico ´
e
2+2 +8=0 (4.34)
Com duas a´
ızes complexas
1=−1+i√7 2=−1−i√7 (4.35)
A soluc¸˜
ao ge al ´
e
y=e−xC1sin(√7x)+C2cos(√7x)(4.36)
36 Equac¸ ˜
oes linea es n˜
ao homog´
eneas
Exemplo 5.1
Encon e a soluc¸ ˜
ao do seguin e p oblema de alo es iniciais
y00+4y0+4y=cos(2x)y(π) = 0y0(π) = 1 (5.27)
O polin´
omio ca a e ´
ıs ico ´
e
2+4 +4= ( +2)2=0 (5.28)
exis e uma ´
unica aiz, epe ida, de manei a que a soluc¸˜
ao ge al da equac¸˜
ao homog´
enea ´
e
yh=C1e−2x+C2xe−2x(5.29)
uma soluc¸˜
ao pa icula da equac¸˜
ao n˜
ao homog´
enea e ´
a a o ma
yp=Acos(2x)+ Bsin(2x)(5.30)
de i ando e subs i uindo na equa
c¸˜
ao di e encial,
´
e poss
´
ı el calcula os coe icien es inde e minados
AeB
−8Asin(2x)+ 8Bcos(2x) = cos(2x)(5.31)
O que implica A=0 e B=1/8. A soluc¸˜
ao ge al ´
e
y= (C1+C2x)e−2x+1
8sin(2x)(5.32)
a sua de i ada ´
e
y0= (−2C1+C2−2C2x)e−2x+1
4cos(2x)(5.33)
As condic¸ ˜
oes iniciais dadas s˜
ao
y(π) = (C1+πC2)e−2π=0 (5.34)
y0(π) = (−2C1+C2−2πC2)e−2π+1
4=1 (5.35)
mul iplicando as duas equac¸ ˜
oes po exp(2π), ob ´
em-se o seguin e sis ema de equac¸˜
oes linea es
1π
−2 1 −2πC1
C2=0
3
4e2π(5.36)
e a soluc¸˜
ao do p oblema de alo inicial ´
e
y=3
4(x−π)e2(π−x)+1
8sin(2x)(5.37)
5.2 P incipio de sob eposic¸ ˜
ao
As solu
c¸ ˜
oes de uma equa
c¸˜
ao di e encial n
˜
ao homog
´
enea n
˜
ao cons i uem um sub-espa
c¸
o e o ial,
pois uma combina
c¸˜
ao linea de duas solu
c¸ ˜
oes n
˜
ao
´
e necessa iamen e solu
c¸˜
ao da equa
c¸˜
ao. No
en an o exis e uma p op iedade de linea idade impo an e, chamada p incipio de sob eposi
c¸˜
ao.
Conside emos, po exemplo, a equac¸˜
ao de segunda o dem
y00+p(x)y0+q(x)y= (x)(5.38)

5.3 M´
e odo de a iac¸ ˜
ao de pa ˆ
ame os 37
com uma soluc¸˜
ao y1, e a equac¸˜
ao
y00+p(x)y0+q(x)y=g(x)(5.39)
com ou a soluc¸˜
ao y2.´
E ´
acil con e i que pa a quaisque cons an es AeB
Ay1+By2(5.40)
´
E soluc¸˜
ao da equac¸˜
ao
y00+p(x)y0+q(x)y=A (x)+ Bg(x)(5.41)
Pa a ap ecia a u ilidade des e p incipio na esolu
c¸˜
ao de equa
c¸ ˜
oes di e enciais conside emos o
seguin e exemplo
y00+y0+2y=5x+3ex(5.42)
a unc¸˜
ao y=x+A´
e soluc¸˜
ao de:
y00+y0+2y=1+2(x+A) = 2x+A+1 (5.43)
po an o, y=x−1´
e soluc¸˜
ao da equac¸˜
ao com lado di ei o igual a 2x. Pa a a exponencial emos
y=ex=⇒y00+y0+2y=4ex(5.44)
o lado di ei o da equac¸˜
ao inicial ´
e
5(2x)
2+3(4ex)
4(5.45)
e aplicando o p inc´
ıpio de sob eposic¸˜
ao uma soluc¸˜
ao se ´
a
5
2(x−1)+ 3
4ex(5.46)
5.3 M´
e odo de a iac¸˜
ao de pa ˆ
ame os
Es e m
´
e odo
´
e
´
alido pa a qualque equa
c¸˜
ao linea , e n
˜
ao apenas pa a equa
c¸ ˜
oes com coe icien es
cons an es. No en an o
´
e p eciso p imei o conhece a solu
c¸˜
ao ge al da equa
c¸˜
ao homog
´
enea
co esponden e. Conside emos uma equac¸˜
ao linea ge al de segunda o dem
y00+p(x)y0+q(x)y= (x)(5.47)
Se a soluc¸˜
ao da equac¸˜
ao homog´
enea o
y=C1y1+C2y2(5.48)
admi imos que a soluc¸˜
ao ge al da equac¸˜
ao ´
e
y=u1y1+u2y2(5.49)
onde
u1
e
u2
s
˜
ao duas un
c¸ ˜
oes.
´
E de salien a que qualque un
c¸˜
ao pode se esc i a na o ma an e io
e incluso as un
c¸ ˜
oes
u
n
˜
ao s
˜
ao
´
unicas embo a sejam di
´
ıceis de calcula ; no en an o o m
´
e odo de
a ia
c¸˜
ao de pa
ˆ
ame os conduz a um sis ema linea que pode se esol ido acilmen e. Como emos
38 Equac¸ ˜
oes linea es n˜
ao homog´
eneas
alguma libe dade na de ini
c¸˜
ao das un
c¸ ˜
oes
u
, p ocu amos duas un
c¸ ˜
oes que e i iquem a seguin e
equac¸˜
ao
u0
1y1+u0
2y2=0 (5.50)
a segunda condi
c¸˜
ao pa a de e mina as duas un
c¸ ˜
oes desconhecidas ob
ˆ
em-se po subs i ui
c¸˜
ao na
equac¸˜
ao di e encial
y0=u1y0
1+u2y0
2(5.51)
y00 =u0
1y0
1+u0
2y0
2+u1y00
1+u2y00
2(5.52)
y00+py0+qy =u0
1y0
1+u0
2y0
2+u1(y00
1+py0
1+qy1)+ u2(y00
2+py0
2+qy2)(5.53)
os e mos den o dos pa
ˆ
en esis s
˜
ao nulos, j
´
a que an o
y1
como
y2
s
˜
ao solu
c¸ ˜
oes da equa
c¸˜
ao
homog´
enea. Ob emos assim
u0
1y0
1+u0
2y0
2= (5.54)
es a equa
c¸˜
ao jun o com a equa
c¸˜
ao 5.50, cons i ui um sis ema linea de duas equa
c¸ ˜
oes que pe mi em
calcula as unc¸ ˜
oes u0
1eu0
2
y1y2
y0
1y0
2 u0
1
u0
2=0
(5.55)
O de e minan e do sis ema
´
e o W onskiano das duas solu
c¸ ˜
oes da equa
c¸˜
ao homog
´
enea, o qual
´
e
di e en e de ze o e po an o exis e solu
c¸˜
ao
´
unica pa a as de i adas das un
c¸ ˜
oes
u
. Po p imi i a
c¸˜
ao
ob ˆ
em-se logo as unc¸ ˜
oes ue a soluc¸˜
ao da equac¸˜
ao n˜
ao homog´
enea.
Exemplo 5.2
De e mine a soluc¸ ˜
ao ge al da equac¸ ˜
ao
x2y00−2xy0+2y=x3sinx(5.56)
A equac¸˜
ao dada ´
e uma equac¸˜
ao de Cauchy-Eule ; a equac¸˜
ao ca a e ´
ıs ica ´
e
( −1)−2 +2= ( −1)( −2) = 0 (5.57)
e consequen emen e a soluc¸˜
ao ge al da equac¸˜
ao homog´
enea associada ´
e
yh=C1x+C2x2(5.58)
admi imos que a soluc¸˜
ao ge al da equac¸˜
ao n˜
ao homog´
enea ´
e
y=u1x+u2x2(5.59)
e seguindo o m´
e odo de a iac¸˜
ao de pa ˆ
ame os ob emos
xu0
1+x2u0
2=0 (5.60)
u0
1+2xu0
2=xsinx(5.61)
o de e minan e do sis ema de equac¸ ˜
oes ´
e
2x2−x2=x2(5.62)
5.4 Equac¸ ˜
oes linea es de o dem supe io 39
e a soluc¸˜
ao ´
e
u0
1=1
x2
0x2
xsinx2x
=−xsinx(5.63)
u0
2=1
x2
x0
1xsinx
=sinx(5.64)
e as p imi i as s˜
ao
u1=xcosx−sinx+C1(5.65)
u2=−cosx+C2(5.66)
A soluc¸˜
ao ge al da equac¸˜
ao ´
e
y=C1x+C2x2−xsinx(5.67)
5.4 Equac¸ ˜
oes linea es de o dem supe io
Os m´
e odos que emos is o gene alizam-se acilmen e a qualque equac¸˜
ao linea de o dem n:
a0(x)y(n)+a1(x)y(n−1)+...+an−1(x)y0+an(x)y= (x)(5.68)
A soluc¸˜
ao ge al da equac¸˜
ao homog´
enea co esponden e ´
e
yh=C1y1+C2y2+...+Cnyn(5.69)
onde as un
c¸ ˜
oes
yi
s
˜
ao solu
c¸ ˜
oes linea men e independen es. Se
yp
o uma solu
c¸˜
ao pa icula da
equac¸˜
ao n˜
ao homog´
enea, a soluc¸˜
ao ge al da equac¸˜
ao n˜
ao homog´
enea se ´
a
y=yp+yh(5.70)
Pa a encon a uma solu
c¸˜
ao pa icula em alguns casos pode-se usa o m
´
e odo de coe icien es
inde e minados, igual que no caso
n=2
. O m
´
e odo de a ia
c¸˜
ao de pa
ˆ
ame os consis e em admi i
uma o ma especial pa a a soluc¸˜
ao ge al:
y=u1y1+u2y2+...+unyn(5.71)
o qual conduz a um sis ema linea de equa
c¸ ˜
oes com de e minan e igual ao W onskiano das
n
un
c¸ ˜
oes
yi
e lado di ei o igual a
n−1
ze os e
/a0
. A solu
c¸˜
ao do sis ema s
˜
ao as de i adas das
unc¸ ˜
oes ue po p imi i ac¸˜
ao de cada uma delas chega-se `
a soluc¸˜
ao ge al.
Dadas ncondic¸ ˜
oes iniciais
y(x0) = y0y0(x0) = y0
0...y(n−1)(x0) = y(n−1)
0(5.72)
Exis e um ´
unico conjun o de cons an es Cque de e minam a soluc¸˜
ao ´
unica do p oblema.
Exemplo 5.3
Encon e a soluc¸ ˜
ao ge al de
x3y000−3x2y00+6xy0−6y=5x(5.73)
40 Equac¸ ˜
oes linea es n˜
ao homog´
eneas
´
E uma equac¸˜
ao de Eule e, po an o, em soluc¸ ˜
oes pa icula es da o ma
y=x (5.74)
po subs i uic¸˜
ao na equac¸˜
ao di e encial homog´
enea ob ´
em-se o polin´
omio ca a e ´
ıs ico
( −1)( −2)−3 ( −1)+6 −6=0 (5.75)
( −1) ( −2)−3 +6=0 (5.76)
( −1)( −2)( −3) = 0 (5.77)
exis em
ˆ
es a
´
ızes eais di e en es,
=1
,
=2
e
=3
, a solu
c¸˜
ao ge al da equa
c¸˜
ao homog
´
enea se
´
a
yh=C1x+C2x2+C3x3(5.78)
usando o m
´
e odo de a ia
c¸˜
ao de pa
ˆ
ame os, admi imos que a solu
c¸˜
ao da equa
c¸˜
ao n
˜
ao homog
´
enea
´
e
y=u1x+u2x2+u3x3(5.79)
Pa a de e mina as
ˆ
es un
c¸ ˜
oes
u
, se
˜
ao p ecisas al
´
em da equa
c¸˜
ao di e encial, mais duas condi
c¸ ˜
oes
a bi ´
a ias:
xu0
1+x2u0
2+x3u0
3=0 (5.80)
u0
1+2xu0
2+3x2u0
3=0 (5.81)
com es as condic¸ ˜
oes as de i adas de ys˜
ao
y0=u1+2xu2+3x2u3(5.82)
y00 =2u2+6xu3(5.83)
y000 =2u0
2+6xu0
3+6u3(5.84)
e depois de subs i ui na equac¸˜
ao di e encial e simpli ica , chegamos `
a equac¸˜
ao
2u0
2+6xu0
3=5
x2(5.85)
as ˆ
es condic¸ ˜
oes pa a de e mina as unc¸ ˜
oes upodem se esc i as na o ma ma icial


x x2x3
1 2x3x2
0 2 6x


0
1
0
2
0
3

=

0
0
5/x2
(5.86)
As de i adas das
ˆ
es un
c¸ ˜
oes
ui
ob
ˆ
em-se a a
´
es da eg a de C ame e as suas p imi i as pe mi em
encon a a soluc¸˜
ao ge al. 
5.5 P oblemas
Encon e a soluc¸˜
ao ge al das seguin es equac¸˜
oes pelo m´
e odo de coe icien es inde e minados
1. y00+y0−2y=3−6x
5.5 P oblemas 41
2. y00−y=xsinx
3. y00−4y0+4y=xe2x
Encon e a soluc¸˜
ao ge al das seguin es equac¸˜
oes pelo m´
e odo de a iac¸˜
ao de pa ˆ
ame os
4. y00+y0=e−x
5. y00+4y= g(2x)
6. x2y00+xy0−4y=x2+x4
Sabendo que
y1(x)
e
y2(x)
s
˜
ao solu
c¸ ˜
oes linea men e independen es da equa
c¸˜
ao homog
´
enea co es-
ponden e, encon e uma soluc¸˜
ao pa icula da equac¸˜
ao n˜
ao homog´
enea
7. (1−x)y00+xy0−y=2(x−1)2e−xy1=x,y2=ex
8. y00+y0
x+1−1
4x2y=1
√xy1=sinx
√x,y2=cosx
√x

42 Equac¸ ˜
oes linea es n˜
ao homog´
eneas
Cap´
ı ulo 6
Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es
homog´
eneas
6.1 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as
Uma equa
c¸˜
ao de di e en
c¸
as, ou
´
o mula de eco
ˆ
encia,
´
e uma ela
c¸˜
ao en e os e mos de uma
sucess˜
ao. Usa emos a seguin e no ac¸˜
ao pa a sucess˜
oes:
{yn}={y0,y1,y2,y3,...}(6.1)
Um exemplo de equac¸˜
ao de di e enc¸as ´
e a seguin e
(n+2)yn+1−3yn=n2+2 (6.2)
a equa
c¸˜
ao an e io implica que pa a cada alo de n en e ze o e in ini o o e mo de o dem
n+1
na
sucess
˜
ao, mul iplicado po
n+2
e menos 3 ezes o e mo de o dem
n
,
´
e igual a
n2+2
. Podemos
amb´
em conside a a y(n+1)como a sucess˜
ao ob ida eliminando y0na sucess˜
ao inicial:
{yn+1}={y1,y2,y3,y4,...}(6.3)
e assim, a equa
c¸˜
ao de di e en
c¸
as
´
e uma ela
c¸˜
ao en e os e mos de duas sucess
˜
oes. A ope a
c¸˜
ao
de elimina
c¸˜
ao do e mo inicial na sucess
˜
ao joga um papel semelhan e ao da de i ada no caso de
equa
c¸ ˜
oes di e enciais e, po isso, a equa
c¸˜
ao an e io
´
e chamada uma
equac¸ ˜
ao linea de p imei a
o dem, n˜
ao homog´
enea em analogia com as equac¸ ˜
oes di e enciais.
A o ma ge al das equac¸ ˜
oes de di e enc¸as, linea es de segunda o dem ´
e
anyn+2+bnyn+1+cnyn= n(6.4)
em que an,bn,cne ns˜
ao sucess˜
oes conhecidas.
6.2 Soluc¸ ˜
oes das equac¸ ˜
oes de di e enc¸as
Reg essemos ao exemplo dado na sec¸˜
ao an e io :
(n+2)yn+1−3yn=n2+2 (6.5)
44 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es homog´
eneas
Dado o alo inicial da sucess
˜
ao, po exemplo
y0=0
,
´
e
´
acil comple a a sequ
ˆ
encia a pa i da
equac¸˜
ao de di e enc¸as:
2y1−3y0=2=⇒y1=1 (6.6)
3y2−3y1=3=⇒y2=2 (6.7)
4y3−3y2=6=⇒y3=3 (6.8)
Como e emos mais
`
a en e, exis em amb
´
em algumas
´
ecnicas que pe mi em de e mina a o ma
do e mo ge al de o dem
n
sem e que calcula odos os
n
e mos an e io es. No exemplo an e io a
soluc¸˜
ao ob ida a pa i de y0=0 oi
yn=n(6.9)
mas a soluc¸˜
ao ge al ´
e
yn=n+y0
3n
(n+1)!(6.10)
como podemos con e i po subs i uic¸˜
ao na equac¸˜
ao de di e enc¸as:
(n+2)yn+1−3yn= (n+2)(n+1)−y0
3n+1
(n+1)!−3n−y0
3n+1
(n+1)!=n2+2 (6.11)
A equa
c¸˜
ao de di e en
c¸
as pode se esc i a em
´
a ias o mas equi alen es, po exemplo, se subs i ui -
mos npo n−1 ob emos
(n+1)yn−3yn−1= (n−1)2+2 (6.12)
No malmen e esc e e emos as equac¸ ˜
oes de o ma a que o e mo de o dem mais baixa na equac¸˜
ao
seja yn.
6.3 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es
J
´
a in oduzimos numa se
c¸˜
ao an e io a o ma ge al das equa
c¸ ˜
oes linea es de segunda o dem. A
equac¸˜
ao linea de e cei a o dem ´
e
anyn+3+bnyn+2+cnyn+1+dnyn= n(6.13)
e assim sucessi amen e, pa a qualque o dem supe io .
´
E cla o que pa a pode ob e a solu
c¸˜
ao
´
unica
de uma equa
c¸˜
ao de e cei a o dem se
´
a necess
´
a io conhece
ˆ
es cons an es, po exemplo
y0
,
y1
e
y2
.
Dadas duas solu
c¸ ˜
oes quaisque de uma equa
c¸˜
ao linea , a di e en
c¸
a en e elas
´
e amb
´
em solu
c¸˜
ao
da equa
c¸˜
ao homog
´
enea co esponden e. Po isso con
´
em come
c¸
a mos po es uda as equa
c¸ ˜
oes
linea es homog´
eneas. A o ma gene al, no caso da segunda o dem ´
e
anyn+2+bnyn+1+cnyn=0 (6.14)
Se duas sucess
˜
oes
{xn}
e
{zn}
s
˜
ao solu
c¸ ˜
oes da equa
c¸˜
ao an e io , qualque combina
c¸˜
ao linea
delas amb
´
em se
´
a solu
c¸˜
ao. Assim, as solu
c¸ ˜
oes de uma equa
c¸˜
ao linea homog
´
enea de inem um
sub-espa
c¸
o e o ial. Como em qualque espa
c¸
o e o ial,
´
e poss
´
ı el de ini a independ
ˆ
encia linea
en e e o es. Pa a pode e i ica quaisque
n
condi
c¸ ˜
oes iniciais associadas a uma equa
c¸˜
ao de
o dem n, se ˜
ao necess´
a ias nsoluc¸ ˜
oes linea men e independen es.
6.4 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es com coe icien es cons an es 45
6.3.1 Independˆ
encia linea en e sucess˜
oes
Diz-se que duas sucess˜
oes {xn}e{zn}s˜
ao linea men e independen es se a condic¸˜
ao
Axn+Bzn=0 pa a qualque n(6.15)
implica que as cons an es A e B sejam ambas nulas. O de e minan e (Caso a iano)
Cn=
xnzn
xn+1zn+1
(6.16)
se ´
a nulo pa a qualque nse as duas sucess˜
oes o em linea men e dependen es.
Pode-se mos a amb
´
em (n
˜
ao o amos aze c
´
a) que o Caso a iano de duas solu
c¸ ˜
oes de uma
equa
c¸˜
ao de di e en
c¸
as linea homog
´
enea n
˜
ao
´
e nulo pa a nenhum alo de
n
, se as solu
c¸ ˜
oes s
˜
ao
linea men e independen es. Assim, bas a mos a que o Caso a iano n
˜
ao
´
e nulo pa a algum alo de
n, pa a mos a que duas soluc¸ ˜
oes s˜
ao linea men e independen es.
Com
n
solu
c¸ ˜
oes pa icula es linea men e independen es, pode-se ob e a solu
c¸˜
ao
´
unica de uma
equa
c¸˜
ao de o dem
n
com quaisque condi
c¸ ˜
oes iniciais. A solu
c¸˜
ao ge al
´
e uma combina
c¸˜
ao linea
das nsoluc¸ ˜
oes pa icula es.
6.4 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es com coe icien es cons an es
As equa
c¸ ˜
oes de di e en
c¸
as linea es, homog
´
eneas e com coe icien es cons an es, esol em-se em
o ma an
´
aloga
`
as equa
c¸ ˜
oes di e enciais da mesma denomina
c¸˜
ao. Conside emos o caso de segunda
o dem
ayn+2+byn+1+cyn=0 (6.17)
onde a,becs˜
ao cons an es. Exis em soluc¸ ˜
oes pa icula es da o ma
yn= n(6.18)
como podemos con e i po subs i uic¸˜
ao na equac¸˜
ao de di e enc¸as
a n+2+b n+1+c n=0 (6.19)
no caso
=0
ob iamen e emos a solu
c¸˜
ao i ial
{0,0,0,...}
. Se
n
˜
ao o nula, di idimos a
equac¸˜
ao an e io po ne ob emos o polin´
omio ca a e ´
ıs ico:
a 2+b +c=0 (6.20)
cada aiz desse polin´
omio conduz a uma soluc¸˜
ao pa icula . As duas a´
ızes da equac¸˜
ao quad ´
a ica
s˜
ao
p=−b+√b2−4ac
2aq=−b−√b2−4ac
2a(6.21)
Exis em ˆ
es casos con o me a na u eza das a´
ızes:
6.4.1 Ra´
ızes eais di e en es
. A soluc¸˜
ao ge al ´
e a combinac¸˜
ao linea das duas soluc¸ ˜
oes ob idas a pa i das duas a´
ızes
yn=Apn+Bqn(6.22)
52 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es homog´
eneas

Cap´
ı ulo 7
M´
e odo das s´
e ies
7.1 S´
e ies de Po ˆ
encias
Uma s´
e ie de po ˆ
encias ´
e uma s´
e ie que depende de um pa ˆ
ame o x, da seguin e o ma:
S(x) =
∞
∑
n=0
an(x−x0)n(7.1)
o n
´
ume o
x0
, a sequ
ˆ
encia
an
e o pa
ˆ
ame o
x
podem se em ge al n
´
ume os complexos. A con-
e gˆ
encia da s´
e ie de po ˆ
encias depende da dis ˆ
ancia en e xex0no plano complexo:
|x−x0|(7.2)
Se a dis
ˆ
ancia o su icien emen e ap oximada a ze o, a s
´
e ie con e ge (
a0´
e o alo da s
´
e ie quando
x=x0
); quan o maio o a dis
ˆ
ancia mais len a se
´
a a con e g
ˆ
encia, a
´
e que a pa i de uma ce a
dis
ˆ
ancia a s
´
e ie di e ge. O alo m
´
aximo da dis
ˆ
ancia pa a o qual a s
´
e ie con e ge,
´
e o chamado
aio de con e gˆ
encia (R) e calcula-se a pa i de:
lim
n→∞
an+1Rn+1
anRn=1⇒R=lim
n→∞
an
an+1
(7.3)
7.1.1 S´
e ie de Taylo
Uma un
c¸˜
ao anal
´
ı ica num pon o
x0´
e uma un
c¸˜
ao cujas de i adas de qualque o dem exis em nesse
pon o. Nesse caso a unc¸˜
ao pode se ep esen ada po uma s´
e ie de po ˆ
encias con e gen e em x0:
(x) =
∞
∑
n=0
an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+ a2(x−x0)2+··· (7.4)
as de i adas de
calculam-se de i ando o e mo den o da s
´
e ie, po exemplo, as duas p imei as
de i adas s˜
ao:
0(x) =
∞
∑
n=0
nan(x−x0)n−1=a1+2a2(x−x0)+3a3(x−x0)2+··· (7.5)
00(x) =
∞
∑
n=0
n(n−1)an(x−x0)n−2=2a2+6a3(x−x0)+12a4(x−x0)2+··· (7.6)
54 M´
e odo das s´
e ies
Se subs i ui mos x=x0nas s´
e ies pa a , 0e 00 emos que:
a0= (x0)a1= 0(x0)2a2= 00(x0)(7.7)
em ge al,
n!an= (n)(x0)(7.8)
e a s´
e ie de Taylo de esc e e-se:
(x) =
∞
∑
n=0
(n)(x0)
n!(x−x0)n(7.9)
No caso pa icula
x0=0
ob
´
em-se a chamada
s´
e ie de McClau in
. O aio de con e g
ˆ
encia da
s´
e ie ´
e igual `
a dis ˆ
ancia en e x0e o pon o singula de mais p ´
oximo.
7.1.2 Algumas s´
e ies de McClau in impo an es
1. S´
e ie geom´
e ica
1
1−x=
∞
∑
n=0
xn=1+x+x2+x3+··· (7.10)
2. Func¸˜
ao exponencial
ex=
∞
∑
n=0
xn
n!(7.11)
3. Func¸ ˜
oes igonom´
e icas
sin x=
∞
∑
n=0
(−1)n
(2n+1)!x2n+1(7.12)
cos x=
∞
∑
n=0
(−1)n
(2n)!x2n(7.13)
7.2 M´
e odo das s´
e ies
Conside emos a equac¸˜
ao di e encial linea , homog´
enea de segunda o dem
P(x)y00+Q(x)y0+R(x)y=0 (7.14)
em que
P
,
Q
e
R
s
˜
ao polin
´
omios. Mui os p oblemas de engenha ia conduzem a equa
c¸ ˜
oes dessa
o ma. A pa i do eo ema de exis
ˆ
encia e unicidade pa a equa
c¸ ˜
oes linea es, emos que os pon os
singula es s
˜
ao as a
´
ızes do polin
´
omio
P(x)
. Se o pon o
x=0
n
˜
ao o aiz de
P(x)
, a solu
c¸˜
ao da
equa
c¸˜
ao di e encial se
´
a uma un
c¸˜
ao anal
´
ı ica em
x=0
e, po an o, exis i
´
aas
´
e ie de McClau in
pa a a soluc¸˜
ao y(x):
y(x) =
∞
∑
n=0
anxn(7.15)
A ob en
c¸˜
ao da solu
c¸˜
ao
´
e equi alen e
`
a ob en
c¸˜
ao da sequ
ˆ
encia
an
. A equa
c¸˜
ao de di e en
c¸
as que
de ine a sequ
ˆ
encia
an´
e ob ida po subs i ui
c¸˜
ao da s
´
e ie de McClau in (e das suas de i adas) na
equac¸˜
ao di e encial.
Na seguin e sec¸˜
ao e emos um exemplo de aplicac¸˜
ao des e m´
e odo.
7.2 M´
e odo das s´
e ies 55
7.2.1 Equac¸˜
ao de Ai y
Um exemplo de uma equa
c¸˜
ao linea mui o simples que n
˜
ao pode se esol ida pelos m
´
e odos dos
cap´
ı ulos an e io es e que pode se esol ida pelo m´
e odo das s´
e ies, ´
e a equac¸˜
ao de Ai y:
y00 =xy (7.16)
O polin
´
omio
P´
e nes e caso igual a 1, de manei a que a solu
c¸˜
ao se
´
a anal
´
ı ica em
x=0
e pode
´
a se
esc i a como uma s´
e ie de McClau in:
y(x) =
∞
∑
n=0
anxn(7.17)
A segunda de i ada ´
e:
y00(x) =
∞
∑
n=0
n(n−1)anxn−2(7.18)
e subs i uindo na equac¸˜
ao di e encial
∞
∑
n=0
n(n−1)anxn−2−
∞
∑
n=0
anxn+1=0 (7.19)
pa a ag upa as duas s
´
e ies numa
´
unica s
´
e ie de po
ˆ
encias, esc e emos a p imei a s
´
e ie numa o ma
equi alen e: podemos inc emen a em 3 unidades o
´
ındice
n
, den o da s
´
e ie, se sub ai mos 3 aos
limi es do soma ´
o io; a s´
e ie esul an e se ´
a idˆ
en ica `
a s´
e ie inicial
∞
∑
n=−3
(n+3)(n+2)an+3xn+1−
∞
∑
n=0
anxn+1=0 (7.20)
Na p imei a s
´
e ie os dois p imei os e mos (
n=−3
e
n=−2
) s
˜
ao nulos e o e cei o e mo (
n=−1
)
pode se esc i o explici amen e; a s
´
e ie esul an e come
c¸
a desde
n=0
, podendo se ag upada
`
a
segunda s´
e ie:
2a2+
∞
∑
n=−3
[(n+3)(n+2)an+3−an]xn+1=0 (7.21)
no lado esque do da equa
c¸˜
ao emos uma s
´
e ie de po
ˆ
encias em que o coe icien e de o dem ze o
´
e
2a2
e os coe icien es de o dem supe io a ze o s
˜
ao o e mo den o dos pa
ˆ
en esis quad ados, com
n=0,1,2,...
Pa a que a s
´
e ie de po
ˆ
encias seja nula em qualque pon o
x
,
´
e necess
´
a io que odos
os coe icien es sejam nulos:
2a2=0 (7.22)
(n+3)(n+2)an+3−an=0(n=0,1,2,...)(7.23)
Temos ans o mado o p oblema num p oblema de equa
c¸ ˜
oes de di e en
c¸
as. A equa
c¸˜
ao de di e en
c¸
as
ob ida
´
e uma equa
c¸˜
ao incomple a, de e cei a o dem e a sua solu
c¸˜
ao consis e em
ˆ
es sucess
˜
oes
independen es pa a os coe icien es de o dem m
´
ul iplo de 3, m
´
ul iplo de 3 mais 1, e m
´
ul iplo de 3
mais 2. Como
a2=0
, os coe icien es de o dem m
´
ul iplo de 3 mais 2 s
˜
ao odos nulos. Pa a ob e
as ou as duas sequ
ˆ
encias podemos usa o m
´
e odo es udado no cap
´
ı ulo an e io : pa a
n=3m
,
de inindo um=a3mob emos:
9(m+1)(m+2/3)um+1−um=0 (7.24)
56 M´
e odo das s´
e ies
em e mos de a o iais e unc¸ ˜
oes gama emos:
(m+1)(m+2/3) = (m+1)!Γ(m+5/3)
m!Γ(m+2/3)(7.25)
Usando a subs i uic¸˜
ao:
xm=m!Γ(m+2/3)um(7.26)
a Equac¸˜
ao 7.24 ans o ma-se numa equac¸˜
ao de coe icien es cons an es:
9xm+1−xm=0 (7.27)
A soluc¸˜
ao pode ago a se ob ida acilmen e:
xm=x0
(−9)m(7.28)
a3m=um=(−1)mΓ(2/3)
m!Γ(m+2/3)9ma0(7.29)
Pa a calcula a sequ
ˆ
encia co esponden e a
n=3m+1
, p ocedemos em o ma semelhan e. Em
un
c¸˜
ao de
m=a3m+1
,a
´
o mula de eco
ˆ
encia (Equa
c¸˜
ao 7.23)
´
e uma equa
c¸˜
ao de p imei a o dem:
9(m+1)(m+4/3) m+1− m=0 (7.30)
e com a subs i uic¸˜
ao
zm=m!Γ(m+4/3) m(7.31)
a equac¸˜
ao ans o ma-se numa equac¸˜
ao de coe icien es cons an es:
9zm+1−zm=0 (7.32)
com soluc¸˜
ao:
zm=z0
(−9)m(7.33)
a3m+1= m=(−1)mΓ(4/3)a1
m!Γ(m+4/3)9m(7.34)
Finalmen e, subs i uiamos
an
na s
´
e ie de McClau in pa a ob e a solu
c¸˜
ao da equa
c¸˜
ao di e encial:
y(x) = a0
∞
∑
m=0
(−1)mΓ(2/3)
m!Γ(m+2/3)9mx3m+a1x
∞
∑
m=0
(−1)mΓ(4/3)
m!Γ(m+4/3)9mx3m(7.35)
onde
a0
e
a1
s
˜
ao duas cons an es a bi
´
a ias (condi
c¸ ˜
oes iniciais pa a
y
e
y0
em
x=0
). Em alguns
casos as s
´
e ies ob idas podem se iden i icadas como a s
´
e ie de McClau in de alguma un
c¸˜
ao
conhecida. Nes e exemplo as s
´
e ies n
˜
ao co espondem a nenhuma un
c¸˜
ao conhecida, e cons i uem
duas unc¸ ˜
oes especiais designadas unc¸ ˜
oes de Ai y.
7.3 M´
e odo de F obenius 57
7.3 M´
e odo de F obenius
Quando o pon o
x=0´
e um pon o singula da equa
c¸˜
ao di e encial, a solu
c¸˜
ao
y
n
˜
ao
´
e anal
´
ı ica em
x=0
e n
˜
ao pode se esc i a na o ma de uma s
´
e ie de McClau in. No en an o, em alguns casos
exis e uma cons an e al que y/x ´
e uma unc¸˜
ao anal´
ı ica:
y(x) = x (x) ( anal´
ı ica em x=0)(7.36)
eas
´
e ie de McClau in de
sim exis e. Pa a sabe em que casos isso acon ece
´
e p eciso iden i ica
a que ipo de singula idade co esponde x=0.
7.3.1 Pon os singula es egula es
Os pon os singula es da equac¸˜
ao di e encial
P(x)y00+Q(x)y0+R(x)y=0 (7.37)
s˜
ao os pon os x0onde
P(x0) = 0 (7.38)
Se os seguin es limi es exis em:
A=lim
x→x0
xQ(x)
P(x)B=lim
x→x0
x2R(x)
P(x)(7.39)
diz-se que o pon o x0´
e um pon o singula egula .
Se x=0 o um pon o singula egula , exis i ´
a pelo menos uma soluc¸˜
ao da o ma
y(x) = x (x) =
∞
∑
n=0
anxn+ (7.40)
A un
c¸˜
ao
(x)´
e anal
´
ı ica em
x=0
e podemos admi i , sem pe de nenhuma gene alidade, que
(0)
´
e di e en e de ze o (se
(0)
o nula, a o iza-se
x
, e ede inem-se
e
icando
(0)
di e en e de
ze o). Isso implica que a cons an e a0seja amb´
em di e en e ze o:
a0=lim
x→0
y
x = (0)6=0 (7.41)
As de i adas y0ey00 s˜
ao
y0=
∞
∑
n=0
(n+ )anxn+ −1(7.42)
y00 =
∞
∑
n=0
(n+ −1)anxn+ −2(7.43)
Pa a calcula o alo do ´
ındice p imei o obse amos que
lim
x→0x1− y0= a0(7.44)
lim
x→0x2− y00 = ( −1)a0(7.45)

58 M´
e odo das s´
e ies
a segui mul iplicamos a equac¸˜
ao di e encial po x2− e di idimos po P
x2− y00+xQ
Px1− y0+x2R
Px− y=0 (7.46)
No limi e x=0 e usando as cons an es AeBde inidas acima (Equac¸˜
ao 7.39) ob emos:
[ ( −1)+ A +B]a0=0 (7.47)
Como a0´
e di e en e de ze o, de e ´
a se soluc¸˜
ao da chamada equac¸ ˜
ao indicial:
( −1)+ A +B=0 (7.48)
Pa a cada aiz eal
da equa
c¸˜
ao indicial subs i uimos as s
´
e ies pa a
y
,
y0
e
y00
na equa
c¸˜
ao di e encial
e p ocedemos da mesma o ma que no m
´
e odo das s
´
e ies, pa a calcula os coe icien es
an
. Cada
aiz conduz a uma solu
c¸˜
ao; se as duas solu
c¸ ˜
oes o em di e en es, a solu
c¸˜
ao ge al se
´
a a combina
c¸˜
ao
linea das duas.
Exemplo 7.1
Encon e a soluc¸ ˜
ao da equac¸ ˜
ao:
4xy00 +2y0+y=0 (7.49)
O pon o
x=0´
e um pon o singula e, po an o, n
˜
ao pode se usado o m
´
e odo das s
´
e ies. Pa a
de e mina se x=0´
e pon o singula egula , calcul´
amos:
A=lim
x→0
2x
4x=1
2B=lim
x→0
x2
4x=0 (7.50)
Podemos assim usa o m´
e odo de F obenius e a equac¸˜
ao indicial ´
e:
2 ( −1)+ =0 (7.51)
com a´
ızes 1=0 e 2=1/2. Com a p imei a aiz ( 1=0) emos que:
y=
∞
∑
n=0
anxn(7.52)
y0=
∞
∑
n=0
nanxn−1(7.53)
y00 =
∞
∑
n=0
n(n−1)anxn−2(7.54)
Subs i uindo na equac¸˜
ao di e encial ob emos:
∞
∑
n=0
[4n(n−1)anxn−1+2nanxn−1+anxn] = 0 (7.55)
os dois p imei os soma ´
o ios podem se esc i os em unc¸˜
ao de xn:
∞
∑
n=0
[4n(n+1)an+1+2(n+1)an+1+an]xn=0 (7.56)
7.3 M´
e odo de F obenius 59
a ´
o mula de eco ˆ
encia pa a n=0,1,2,3,... ´
e:
(n+1)(4n+2)an+1+an=0 (7.57)
A sequˆ
encia ob ida ´
e (a bi ando a0=1)
an=1,−1/2,1/24,−1/720,... (7.58)
A solu
c¸˜
ao ge al pa ece se os in e sos dos a o iais dos n
´
ume os pa es, com sinais al e nados.
A solu
c¸˜
ao ge al pode se ob ida ans o mando a
´
o mula de eco
ˆ
encia numa equa
c¸˜
ao com
coe icien es cons an es:
(2n+2)(2n+1) = (2n+2)!
(2n)!(7.59)
un= (2n)!an⇒un+1+un=0 (7.60)
un= (−1)nu0⇒an=(−1)n
(2n)!a0(7.61)
com es a sequˆ
encia, a s´
e ie de po ˆ
encias da p imei a soluc¸˜
ao pa icula ´
e (com a0=1)
y1=
∞
∑
n=0
(−1)n
(2n)!xn=cos(x1/2)(7.62)
Usando a segunda aiz 2=1/2, a s´
e ie de po ˆ
encias da segunda soluc¸˜
ao ´
e:
y=
∞
∑
n=0
anxn+1/2(7.63)
y0=
∞
∑
n=0
(n+1/2)anxn−1/2(7.64)
y00 =
∞
∑
n=0
(n2−1/4)anxn−3/2(7.65)
Subs i uindo na equac¸˜
ao di e encial ob emos:
∞
∑
n=0
[(4n2−1)anxn−1/2+(2n+1)anxn−1/2+anxn+1/2] = 0 (7.66)
a soma dos e mos
n=0
das duas p imei as s
´
e ies
´
e igual a 0 e as
ˆ
es s
´
e ies podem se ag upadas:
∞
∑
n=0
[(4n2+8n+3)an+1+(2n+3)an+1+an]xn+1/2=0 (7.67)
a ´
o mula de eco ˆ
encia ´
e:
(2n+2)(2n+3)an+1+an=0 (7.68)
A soluc¸˜
ao ge al ob ´
em-se em o ma semelhan e ao caso an e io :
(2n+2)(2n+3) = (2n+3)!
(2n+1)!(7.69)
un= (2n+1)!an⇒un+1+un=0 (7.70)
60 M´
e odo das s´
e ies
un= (−1)nu0⇒an=(−1)n
(2n+1)!a0(7.71)
a s´
e ie de po ˆ
encias co esponden e ´
e (com a0=1)
y2=
∞
∑
n=0
(−1)n
(2n+1)!xn+1/2=sin(x1/2)(7.72)
A soluc¸˜
ao ge al ´
e uma combinac¸˜
ao linea das duas soluc¸ ˜
oes pa icula es y1ey2.
7.4 Soluc¸ ˜
ao em s´
e ies em pon os singula es
Em ge al, cada aiz da equa
c¸˜
ao indicial pode conduzi a uma solu
c¸˜
ao em s
´
e ies de po
ˆ
encias. No
en an o, em alguns casos
´
e poss
´
ı el encon a apenas uma solu
c¸˜
ao. O eo ema que se segue indica
como de e mina a soluc¸˜
ao ge al po meio de s´
e ies de po ˆ
encias.
Teo ema 5 (F obenius)
Se
1
e
2
s
˜
ao duas a
´
ızes da equa
c¸ ˜
ao indicial (em
x=0
) de uma equa
c¸ ˜
ao di e encial linea de
segunda o dem com pon o singula em
x=0
, exis em
ˆ
es casos, a depende dos alo es de
1
e
2
:
1.
Se
1− 2
o di e en e de ze o e di e en e de um n
´
ume o in ei o, cada aiz conduz a uma
soluc¸ ˜
ao di e en e.
2.
Se
1= 2
,
´
e poss
´
ı el ob e uma
´
unica solu
c¸ ˜
ao
y1
a pa i do m
´
e odo de F obenius. A segunda
soluc¸ ˜
ao e ´
a a o ma:
y2(x) =
∞
∑
n=0
bnxn+ 1+y1ln x(7.73)
onde a sucess˜
ao bnde e ´
a se ob ida po subs i uic¸ ˜
ao de y2na equac¸ ˜
ao di e encial.
3.
Se
1− 2
o um n
´
ume o in ei o, exis i
´
a uma solu
c¸ ˜
ao
y1
com a o ma usada no m
´
e odo de
F obenius. A segunda soluc¸ ˜
ao se ´
a:
y2(x) =
∞
∑
n=0
bnxn+ 1+cy1ln x(7.74)
onde
c´
e uma cons an e. Nos casos em que
c=0
, a segunda solu
c¸ ˜
ao em amb
´
em a o ma
do m
´
e odo de F obenius, o qual implica que aplicando o m
´
e odo de F obenius
´
e poss
´
ı el
encon a as duas solu
c¸ ˜
oes
y1
e
y2
linea men e independen es. Quando
c
n
˜
ao
´
e nula, o
m
´
e odo de F obenius pe mi e encon a apenas uma solu
c¸ ˜
ao e a segunda solu
c¸ ˜
ao de e
´
a se
encon ada po subs i uic¸˜
ao da o ma ge al de y2na equac¸ ˜
ao di e encial.
Com as duas solu
c¸ ˜
oes encon adas seguindo o m
´
e odo indicado pelo eo ema de F obenius, a
soluc¸˜
ao ge al se ´
a:
y(x) = C1y1(x)+C2y2(x)(7.75)
Em alguns casos as condi
c¸ ˜
oes on ei a exigem que
y
seja ini a na o igem o qual implica
C2=0
,
se
2<0
ou
2= 1
, j
´
a que nos dois casos a segunda solu
c¸˜
ao
´
e di e gen e na o igem. Se
1− 2´
e
um in ei o e o m
´
e odo de F obenius conduz a uma
´
unica solu
c¸˜
ao
y1
,
C2
se
´
a amb
´
em nula e n
˜
ao
se ´
a p eciso calcula y2.
7.4 Soluc¸ ˜
ao em s´
e ies em pon os singula es 61
Exemplo 7.2
Encon e a soluc¸ ˜
ao ge al da equac¸ ˜
ao:
xy00 +3y0−x2y=0 (7.76)
O pon o x=0´
e pon o singula . Os dois limi es:
A=lim
x→0
3x
x=3B=lim
x→0−x4
x=0 (7.77)
exis em e, po an o, x=0´
e pon o singula egula . A equac¸˜
ao indicial ´
e:
( −1)+ 3 = ( +2) = 0 (7.78)
com a
´
ızes
1=0
e
2=−2
. Como a di e en
c¸
a en e as a
´
ızes
´
e um n
´
ume o in ei o, p o a el-
men e o m
´
e odo de F obenius da
´
a apenas uma das duas solu
c¸ ˜
oes linea men e independen es. Se
exis i em duas solu
c¸ ˜
oes com a o ma usada no m
´
e odo de F obenius, es as apa ece
˜
ao na solu
c¸˜
ao
co esponden e `
a aiz meno =−2. Assim, comec¸amos po conside a o caso =−2:
y=
∞
∑
n=0
anxn−2(7.79)
y0=
∞
∑
n=0
(n−2)anxn−3(7.80)
y00 =
∞
∑
n=0
(n−2)(n−3)anxn−4(7.81)
Subs i uindo na equac¸˜
ao di e encial ob emos:
∞
∑
n=0
[(n−2)(n−3)anxn−3+3(n−2)anxn−3−anxn] = 0 (7.82)
−a1x−2+
∞
∑
n=0
[(n+3)(n+1)an+3−an]xn=0 (7.83)
consequen emen e, a1=0 e:
(n+3)(n+1)an+3−an=0(n=0,1,2,...)(7.84)
A solu
c¸˜
ao da
´
o mula de eco
ˆ
encia s
˜
ao
ˆ
es sucess
˜
oes independen es. A sucess
˜
ao co espon-
den e a n=3m+1´
e nula, j´
a que a1=0. Com n=3meum=a3mob emos a equac¸˜
ao:
9(m+1)(m+1/3)um+1−um=0 (7.85)
usando a o iais e unc¸ ˜
oes gama emos:
9(m+1)!Γ(m+1+1/3)um+1−m!Γ(m+1/3)um=0 (7.86)
se de ini mos:
m=m!Γ(m+1/3)um(7.87)
68 T ans o madas de Laplace
8.4 C´
alculo de ans o madas in e sas
Os esul ados da se
c¸˜
ao an e io podem amb
´
em se usados pa a calcula ans o madas in e sas.
Po exemplo, calculemos a ans o mada in e sa de:
G(s) = 2s3+4s2+10s+74
(s2+2)(s2−2s+10)(8.22)
usando expans˜
ao em ac¸ ˜
oes pa ciais, ob emos:
G(s) = 2
s+2+3
(s+2)2+1
(s−1)2+9(8.23)
pa a calcula a ans o mada in e sa de cada e mo, come
c¸
amos po calcula as ans o madas
in e sas das ˆ
es unc¸ ˜
oes:
1
s
1
s2
3
s2+9(8.24)
que s
˜
ao
1
,
e
sin(3 )
, espe i amen e. A segui usamos a p op iedade de deslocamen o em
s
pa a
calcula a ans o mada in e sa da unc¸˜
ao G
g( ) = 2e−2 +3 e−2 +e
3sin(3 )(8.25)
8.5 Resoluc¸ ˜
ao de equac¸ ˜
oes di e enciais po meio da ans o mada de
Laplace
Como imos numa se
c¸˜
ao an e io , as ans o madas de Laplace das de i adas de uma un
c¸˜
ao s
˜
ao
odas p opo cionais
`
a ans o mada da un
c¸˜
ao o iginal, mul iplicada po
sn
, onde
n´
e a o dem da
de i ada. Es a p op iedade pe mi e ans o ma uma equa
c¸˜
ao di e encial linea , com coe icien es
cons an es numa equac¸˜
ao alg´
eb ica. Po exemplo, conside emos a equac¸˜
ao:
3y00−12y0+12y=4e2xsin(2x)(8.26)
T ans o mando os dois lados da equac¸˜
ao e usando a p op iedade de linea idade, ob emos:
3L{y00}−12L{y0}+12L{y}=4L{e2xsin(2x)}(8.27)
cada um dos e mos pode se calculado usando as p op iedades da ans o mada de Laplace:
L{y}=Y(s)(8.28)
L{y0}=sY (s)−y(0)(8.29)
L{y00}=s2Y(s)−sy(0)−y0(0)(8.30)
L{e2xsin(2x)}=2
(s−2)2+4(8.31)
a ans o mada da equac¸˜
ao di e encial ´
e
3s2Y−3C1s−3C2−12sY +12C1+12Y=8
(s−2)2+4(8.32)

8.6 Equac¸ ˜
oes di e enciais linea es com coe icien es a i´
a eis 69
onde
A
e
B
s
˜
ao duas cons an es, iguais aos alo es iniciais de
y
e
y0
em
x=0
. Es a equa
c¸˜
ao
´
e uma
equac¸˜
ao alg´
eb ica que pode se acilmen e simpli icada, conduzindo `
a unc¸˜
ao Y:
Y=3C1s+3C2−3C1
3s2−12s+12 +8
[(s−2)2+4](3s2−12s+12)(8.33)
A solu
c¸˜
ao da EDO
´
e a ans o mada in e sa des a un
c¸˜
ao. Usando a expans
˜
ao em a
c¸ ˜
oes pa ciais:
Y=A
s−2+B
(s−2)2+2C
(s−2)2+4+D(s−2)
(s−2)2+4(8.34)
onde A,B,CeDs˜
ao cons an es que podem se calculadas compa ando as duas ´
ul imas equac¸ ˜
oes:
A=C1B=C2−2C1+2
3C=−1
3D=0 (8.35)
A ans o mada in e sa de cada uma das a
c¸ ˜
oes pa ciais
´
e acilmen e iden i icada, usando as
ans o madas calculadas em sec¸ ˜
oes an e io es. A espos a inal ´
e:
y(x) = [(1−2x)y(0)+xy0(0)+ 2x
3−1
3sin(2x)]e2x(8.36)
8.6 Equac¸ ˜
oes di e enciais linea es com coe icien es a i´
a eis
Quando os coe icien es de uma equa
c¸˜
ao di e encial linea s
˜
ao polin
´
omios, a ans o mada de
Laplace pode se calculada usando os seguin es esul ados:
L{ ny}= (−1)ndnY
dsn(8.37)
L{ ny0}= (−1)ndn
dsn[sY −y(0)] = (−1)ndn(sY )
dsn(8.38)
L{ ny00}= (−1)ndn
dsn[s2Y−sy(0)] (8.39)
A ans o mada da equa
c¸˜
ao di e encial se
´
a ou a equa
c¸˜
ao di e encial pa a a un
c¸˜
ao
Y
, de o dem
igual ao maio g au dos coe icien es da equa
c¸˜
ao o iginal. Em alguns casos a equa
c¸˜
ao di e encial
ob ida esul a se mais ´
acil de esol e do que a equac¸˜
ao o iginal.
A ans o mada de Laplace
Y
e as suas de i adas de e
˜
ao se un
c¸ ˜
oes assimp o icamen e
dec escen es; es a p op iedade das ans o madas de Laplace imp
˜
oe condi
c¸ ˜
oes on ei a pa a a
equac¸˜
ao di e encial ob ida.
8.7 Equac¸ ˜
oes di e enciais linea es com en ada descon ´
ınua
O lado di ei o de uma equa
c¸˜
ao linea n
˜
ao homog
´
enea pode se conside ado como a en ada num
sis ema linea que e i ica o p inc
´
ıpio de sob eposi
c¸˜
ao. Quando a en ada
´
e descon
´
ınua, a sa
´
ıda
´
e
con ´
ınua pois a soluc¸˜
ao de uma equac¸˜
ao di e encial ´
e uma unc¸˜
ao de i ´
a el.
O m
´
e odo da ans o mada de Laplace
´
e p incipalmen e
´
u il pa a esol e equa
c¸ ˜
oes di e enciais
com en ada descon
´
ınua, j
´
a que a ans o mada de uma un
c¸˜
ao pa cela men e con
´
ınua
´
e uma
unc¸˜
ao con ´
ınua.
70 T ans o madas de Laplace
Pa a ep esen a un
c¸ ˜
oes descon
´
ınuas
´
e con enien e de ini a un
c¸˜
ao
deg au uni ´
a io
( amb
´
em
conhecida po unc¸˜
ao de Hea iside):
u( −a) = (0 <a
1 ≥a(8.40)
Se a<b, a unc¸˜
ao:
u( −a)−u( −b)(8.41)
´
e igual a 1 no in e alo
a< <b
e ze o o a do in e alo. Assim, uma un
c¸˜
ao de inida em o ma
di e en e em di e en es in e alos, po exemplo,
( ) = ( 1( )a≤ <b
2( )c≤ <d(8.42)
pode se esc i a na o ma compa a:
( ) = [u( −a)−u( −b)] 1( )+[u( −c)−u( −d)] 2( )(8.43)
acili ando o c
´
alculo da sua ans o mada de Laplace, po meio da p op iedade que e emos na
sec¸˜
ao que se segue.
8.8 Deslocamen o no dom´
ınio do empo
A unc¸˜
ao:
u( −a) ( −a)(8.44)
onde
u( −a)´
e a un
c¸˜
ao deg au uni
´
a io, ep esen a
`
a un
c¸˜
ao
( )
deslocada uma dis
ˆ
ancia
a
no
eixo do empo
, sendo nula pa a
<a
. A sua ans o mada de Laplace calcula-se acilmen e, em
unc¸˜
ao da ans o mada de :
L{u( −a) ( −a)}=
∞
Z
a
( −a)e−s d
=
∞
Z
0
( )e−s( +a)d
=e−as
∞
Z
0
( )e−s d
E ob emos a p op iedade de deslocamen o em :
L{u( −a) ( −a)}=e−asF(s)(8.45)
Es a p op iedade
´
e
´
u il pa a calcula ans o madas de un
c¸ ˜
oes com descon inuidades. Uma ou a
o ma equi alen e ´
e a seguin e:
L{u( −a) ( )}=e−as L{ ( +a)}(8.46)
8.9 Impulso uni ´
a io 71
Exemplo 8.1
Resol a o p oblema de alo es iniciais:
y00+3y0+2y=( <1
− 1≤ (8.47)
y(0) = y0(0) = 0
Comec¸amos po esc e e o lado di ei o da equac¸˜
ao na o ma compa a:
y00+3y0+2y= [1−u( −1)] − u( −1) = −2 u( −1)(8.48)
A ans o mada de Laplace do lado esque do ´
e:
L{y00+3y0+2y}= (s2+3s+2)Y(s)(8.49)
Usando a p op iedade de deslocamen o em , a ans o mada do lado di ei o ´
e:
L{ −2 u( −1)}=1
s2−2e−sL{ +1}=1
s2−2e−s
s−2e−s
s2(8.50)
Igualando as ans o madas dos dois lados da equa
c¸˜
ao di e encial, podemos ob e acilmen e
Y
:
Y=1−2e−s
s2(s+1)(s+2)−2e−s
s(s+1)(s+2)(8.51)
Usando decomposic¸˜
ao em ac¸ ˜
oes pa ciais:
1
s(s+1)(s+2)=1
2s−1
s+1+1
2(s+2)(8.52)
1
s2(s+1)(s+2)=1
2s2−3
4s+1
s+1−1
4(s+2)(8.53)
ob emos:
Y=1
2s2−3
4s+1
s+1−1
4(s+2)+e−s 1
2s−1
s2−1
2(s+2)!(8.54)
e a ans o mada in e sa ´
e:
y( ) =
2−3
4+e− −1
4e−2 +u( −1) 1
2−( −1)−1
2e−2( −1)!(8.55)
8.9 Impulso uni ´
a io
Em
´
ısica uma
o c¸a impulsi a ´
e uma o
c¸
a
( )
que a ua du an e um pequeno in e alo de empo
∆ . O aumen o o al da quan idade de mo imen o, de ido `
a o c¸a ( ),´
e igual ao impulso:
I=
0+∆
Z
0
( )d (8.56)
72 T ans o madas de Laplace
Uma unc¸˜
ao de impulso uni ´
a io ´
e uma unc¸˜
ao ( )que p oduz um impulso igual a 1:
0+∆
Z
0
( )d =1 (8.57)
Um exemplo ´
e a unc¸˜
ao:
u( − 0)−u( − 0−∆ )
∆ (8.58)
cons an e no in e alo 0≤x< 0+∆ .
Conside emos uma sucess
˜
ao de impulsos uni
´
a ios
n
com in e alos
∆ n
dec escen es. Po
exemplo, as unc¸˜
oes
n=n[u( − 0)−u( − 0−1/n)] (8.59)
onde
u´
e a un
c¸˜
ao deg au uni
´
a io. Nes e exemplo cada un
c¸˜
ao
n´
e igual a
n
no in e alo de
en e
a
e
a+1/n
, e ze o o a dele. O in e alo de du a
c¸˜
ao do impulso
´
e
∆ n=1/n
e a un
c¸˜
ao
n´
e um
impulso uni
´
a io. A medida que
n
aumen a, o g
´
a ico da un
c¸˜
ao
n´
e cada ez mais al o, e den o de
um in e alo mais pequeno.
O limi e de uma sucess˜
ao de impulsos uni ´
a ios com in e alos dec escen es, ap oximando-se
pa a ze o, ´
e designado unc¸ ˜
ao del a de Di ac
δ( − 0) = lim
n→∞ n( )(8.60)
a unc¸˜
ao δ´
e nula em qualque pon o di e en e de 0, in ini a em 0mas o seu impulso ´
e igual a 1.
A un
c¸˜
ao del a de Di ac n
˜
ao
´
e ealmen e uma un
c¸˜
ao mas sim um
uncional
(limi e de un
c¸ ˜
oes),
e da
´
ı que o seu in eg al possa se di e en e de ze o enquan o que a un
c¸˜
ao
´
e nula em qualque pon o
di e en e de 0. Uma p op iedade impo an e da unc¸˜
ao del a de Di ac ´
e o eo ema que se segue.
Teo ema 6
Se ( )´
e uma unc¸ ˜
ao con ´
ınua em 0,
∞
Z
−∞
( )δ( − 0)d = ( 0)(8.61)
Pa a esol e equa
c¸ ˜
oes di e enciais onde apa e
c¸
am e mos impulsi os, se
´
a
´
u il conhece a
ans o mada de Laplace; pa a a calcula subs i ui emos a un
c¸˜
ao del a pelo limi e da sucess
˜
ao de
impulsos uni ´
a ios (8.59)
L{δ( − 0)}=lim
n→∞
L{n[u( − 0)−u( − 0−1/n)]}=lim
n→∞
n
she− 0s−e−( 0+1/n)si(8.62)
e, po an o,
L{δ( − 0)}=e− 0s(8.63)
As p op iedades da ans o mada de Laplace e as ans o madas das un
c¸ ˜
oes que emos calculado
nes e cap´
ı ulo encon am-se esumidas na abela 8.1.
8.9 Impulso uni ´
a io 73
Func¸ ˜
ao T. de Laplace
( )F(s)
pΓ(p+1)
sp+1
ea ( )F(s−a)
0( )sF(s)− (0)
Z
0
(u)du1
sF(s)
( )−dF
ds
( )
∞
Z
s
F( )d
u( −a) ( −a)e−asF(s)
δ( −a)e−as

aaF(as)
cos(b )s
s2+b2
sin(b )b
s2+b2
Tabela 8.1: P op iedades da ans o mada de Laplace.

74 T ans o madas de Laplace
Exemplo 8.2
A quan idade dum medicamen o no sangue de um pacien e, dec esce exponencialmen e:
y=y0e− /a(8.64)
onde
y´
e a quan idade, em g amas, do medicamen o no ins an e
,
y0´
e a quan idade inicial, e
a´
e a cons an e de decaimen o do medicamen o no sangue. O pacien e ecebe duas inje
c¸ ˜
oes do
medicamen o, com doses de
y1
e
y2
g amas, nos ins an es
1
e
2
(com
2> 1>0
). Calcule a
quan idade de medicamen o no sangue do pacien e, em un
c¸ ˜
ao do empo, admi indo que em
=0
n˜
ao exis ia nenhum medicamen o no sangue do pacien e.
A massa do medicamen o in oduzido em cada inje
c¸˜
ao
´
e
∆y= ∆
, onde
´
e uma un
c¸˜
ao que
depende do empo ( luxo de medicamen o que en a no sangue do pacien e, em g amas po unidade
de empo):
∆y
∆ = ( )(8.65)
y1
y2
1 2
Figu a 8.1: Fluxo de medicamen o, , pa a den o do sangue do pacien e.
Como o in e alo de empo que du a uma inje
c¸˜
ao
´
e mui o pequeno compa ado com o empo
en e inje
c¸ ˜
oes ( igu a 8.1) e com o empo de meia- ida do medicamen o, podemos admi i que
o luxo
( )´
e uma un
c¸˜
ao impulsi a de du a
c¸˜
ao quase nula, nomeadamen e uma soma de duas
unc¸ ˜
oes del a nos ins an es 1e 2:
( ) = y1δ( − 1)+y2δ( − 2)(8.66)
Enquan o o medicamen o no sangue aumen a de ido
`
as inje
c¸ ˜
oes, amb
´
em diminui con inu-
amen e, de ido
`
a cons an e de decaimen o do medicamen o. A diminui
c¸˜
ao do medicamen o no
ins an e ´
edy
d =−ay (8.67)
j
´
a que es a
´
e a equa
c¸˜
ao que de ine o decaimen o exponencial com cons an e de decaimen o
a
. A
axa de aumen o do medicamen o no sangue se
´
a igual ao aumen o de ido
`
as inje
c¸ ˜
oes, menos a
diminuic¸˜
ao de ida ao decaimen o do medicamen o no sangue
dy
d =y1δ( − 1)+y2δ( − 2)−ay (8.68)
8.10 Con oluc¸ ˜
ao 75
Es a
´
e uma equa
c¸˜
ao di e encial linea , de coe icien es cons an es, n
˜
ao homog
´
enea. Calculando a
ans o mada de Laplace nos dois lados da equac¸˜
ao, ob emos:
(s+a)Y=y0+y1e− 1s+y2e− 2s(8.69)
onde Y´
e a ans o mada de y.
Y=y0+y1e− 1s+y2e− 2s
s+a(8.70)
e calculando a ans o mada in e sa encon amos a soluc¸˜
ao do p oblema
y( ) = y0e−a +y1u( − 1)e−a( − 1)+y2u( − 2)e−a( − 2)(8.71)
A igu a 8.2 mos a o g ´
a ico da unc¸˜
ao y( ).
y
y1
1 2
y2
Figu a 8.2: Decaimen o do medicamen o no sangue do pacien e.
8.10 Con oluc¸˜
ao
A ans o mada de Laplace de um p odu o de duas un
c¸ ˜
oes n
˜
ao
´
e igual ao p odu o das ans o -
madas de Laplace das duas un
c¸ ˜
oes. No en an o, exis e uma ope a
c¸˜
ao en e un
c¸ ˜
oes que, quando
ans o mada, d
´
a o p odu o das ans o madas das duas un
c¸ ˜
oes. Essa ope a
c¸˜
ao en e un
c¸ ˜
oes
´
e
designada
con oluc¸˜
ao
, e joga um papel impo an e no c
´
alculo de ans o madas in e sas, como
e emos.
O p odu o de con oluc¸˜
ao en e duas unc¸ ˜
oes ( )eg( )de ine-se da seguin e o ma
∗g=
Z
0
( )g( − )d (8.72)
Teo ema 7
A ans o mada de Laplace do p odu o de con olu
c¸ ˜
ao en e duas un
c¸ ˜
oes
e
g
,
´
e igual ao p odu o
das ans o madas de Laplace das duas unc¸˜
oes.
76 T ans o madas de Laplace
Demons ac¸ ˜
ao:
A pa i das de ini
c¸ ˜
oes da ans o mada de Laplace e do p odu o de con olu
c¸˜
ao,
ob emos
L{ ∗g}=
∞
Z
0
Z
0
( )g( − )e−s d d (8.73)
o in eg al em
pode se es endido a
´
e in ini o, se mul iplica mos po uma un
c¸˜
ao deg au uni
´
a io
que anule a pa e desde a ´
e in ini o
L{ ∗g}=
∞
Z
0
∞
Z
0
( )g( − )u( − )e−s d d (8.74)
ocando a o dem dos dois in eg ais, ob emos
L{ ∗g}=
∞
Z
0
( )

∞
Z
0
g( − )u( − )e−s d 
d (8.75)
O e mo en e pa ˆ
en esis quad ados ´
e a ans o mada de Laplace da unc¸˜
ao g, deslocada em :
g( − )u( − )(8.76)
que
´
e igual
`
a ans o mada de Laplace de
g
, mul iplicada pela exponencial de
−s
. Assim, ob emos
o esul ado
L{ ∗g}=G(s)
∞
Z
0
( )e−s d (8.77)
que
´
e igual ao p odu o das ans o madas de Laplace das duas un
c¸ ˜
oes, como p e end
´
ıamos
demons a :
L{ ∗g}=F(s)G(s)(8.78)
O eo ema an e io amb
´
em implica, em o ma in e sa, que a ans o mada in e sa de Laplace
de um p odu o de un
c¸ ˜
oes
´
e igual ao p odu o de con olu
c¸˜
ao en e as ans o madas in e sas
das duas un
c¸ ˜
oes. O eo ema de con olu
c¸˜
ao
´
e
´
u il no c
´
alculo de ans o madas in e sas de
un
c¸ ˜
oes complicadas que possam se esc i as como o p odu o en e un
c¸ ˜
oes simples. O p odu o de
con olu
c¸˜
ao en e un
c¸ ˜
oes e i ica as p op iedades comu a i a, associa i a e dis ibu i a em ela
c¸˜
ao
`
a soma de unc¸ ˜
oes.
Exemplo 8.3
Calcule a ans o mada in e sa da unc¸ ˜
ao
F(s) = a
s(s2+a2)
Podemos esc e e a unc¸˜
ao Fcomo o p odu o en e duas unc¸ ˜
oes
G(s) = 1
sH(s) = a
s2+a2(8.79)
as ans o madas in e sas de GeHob ˆ
em-se a pa i da abela 8.1
g( ) = 1h( ) = sin(a )(8.80)
8.11 Resoluc¸ ˜
ao de equac¸ ˜
oes in eg o-di e enciais 77
e a ans o mada in e sa de F´
e igual ao p odu o de con oluc¸˜
ao de geh
( ) = 1∗sin(a ) =
Z
0
sin(a )d =1−cos(a )
a
(8.81)
No c
´
alculo do p odu o de con olu
c¸˜
ao en e
g
e
h
, o e mo den o do in eg al pode se esc i o como
g( )h( − )
ou
g( − )h( )
, usando a p op iedade comu a i a; con
´
em semp e examina as duas
possibilidades pa a selecciona a que seja mais ´
acil de p imi i a .
8.11 Resoluc¸ ˜
ao de equac¸ ˜
oes in eg o-di e enciais
Algumas equa
c¸ ˜
oes que combinem de i adas com in eg ais podem se esol idas po meio da
ans o mada de Laplace, quando o in eg al possa se esc i o como um in eg al de con olu
c¸˜
ao en e
unc¸ ˜
oes.
Exemplo 8.4
Encon e a soluc¸ ˜
ao da equac¸ ˜
ao in eg o-di e encial
dy
d =1−
Z
0
y( − )e−2 d (8.82)
com condic¸ ˜
ao inicial y(0) = 1.
O in eg al no lado di ei o da equac¸˜
ao ´
e um p odu o de con oluc¸˜
ao:
dy
d =1−y∗e−2 (8.83)
T ans o mando os dois lados da equac¸˜
ao ob emos
sY −1=1
s−Y
s+2(8.84)
donde se ob em a unc¸˜
ao Y:
Y=s+2
s(s+1)=2
s−1
s+1(8.85)
e a soluc¸˜
ao da equac¸˜
ao ´
e a ans o mada in e sa
y( ) = 2−e− (8.86)
8.12 P oblemas
Aplicando ans o madas de Laplace, esol a as seguin es equac¸ ˜
oes
1. y00+y0−2y=3y(0) = 0,y0(0) = 1
2. y00+4y0+4y=e−2 y(0) = 0,y0(0) = 0
84 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es n˜
ao homog´
eneas
Sucess˜
ao T ans o mada Z
yn¯y(z)
yn+1z¯y−zy0
yn+2z2¯y−z2y0−zy1
nyn−zd¯y
dz
anz
z−a
nanaz
(z−a)2
n2anaz2+a2z
(z−a)3
n(n−1)
2ana2z
(z−a)3
n(n−1)(n−2)
3! ana3z
(z−a)4
ncos(nθ)z(z−a)
(z−a)2+b2
(a≡ cosθ,b≡ sinθ)
nsin(nθ)bz
(z−a)2+b2
(a≡ cosθ,b≡ sinθ)
Tabela 9.1: T ans o madas Z.

9.3 Resoluc¸ ˜
ao de equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es n˜
ao homog´
eneas 85
9.3 Resoluc¸ ˜
ao de equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es n˜
ao homog´
eneas
A ans o mada
Z´
e
´
u il pa a esol e equa
c¸ ˜
oes de di e en
c¸
as linea es, de coe icien es cons an es,
n˜
ao homog´
eneas. Conside emos um exemplo com alo es iniciais:
yn+2+3yn+1+2yn=3ny0=1y1=0 (9.20)
Usando a exp ess˜
ao que ob i emos pa a a ans o mada de {yn+1}, podemos esc e e
Z{yn+1}=zy −z(9.21)
Z{yn+2}=zZ{yn+1}−zy1=z2y−z2(9.22)
e consul ando a abela 9.1 emos que
Z{3n}=z
z−3(9.23)
Assim, a ans o mada da equac¸˜
ao de di e enc¸as se ´
a
(z2+3z+2)y−z2−3z=z
z−3(9.24)
e da´
ı ob emos
y=z2+3z
(z+1)(z+2)+z
(z+1)(z+2)(z−3)(9.25)
O c
´
alculo da ans o mada in e sa
´
e ei o em o ma an
´
aloga as ans o madas in e sas de Laplace,
usando expans
˜
ao em a
c¸ ˜
oes pa ciais, mas deixando de o a um a o
z
no nume ado , que se
´
a
necess
´
a io man e em odas as a
c¸ ˜
oes pa ciais pa a pode usa a abela 9.1. Consequen emen e, as
ac¸ ˜
oes que de e ˜
ao se expandidas s˜
ao:
z+3
(z+1)(z+2)=2
z+1−1
z+2(9.26)
1
(z+1)(z+2)=1
5(z+2)−1
4(z+1)+1
20(z−3)(9.27)
mul iplicando cada a
c¸˜
ao pa cial pelo a o
z
que deixamos de o a, ob emos o lado di ei o da
equac¸˜
ao (9.25)
y=7z
4(z+1)−4z
5(z+2)+z
20(z−3)(9.28)
e usando a abela 9.1, encon amos a soluc¸˜
ao do p oblema de alo es iniciais
yn=7
4(−1)n−4
5(−2)n+3n
20 (9.29)
Exemplo 9.1 (Populac¸ ˜
ao mundial de baleias)
Admi a que a popula
c¸ ˜
ao a ual de baleias no mundo
´
e
1000
e que cada ano o aumen o na u al
(nascimen os e mo es na u ais) da popula
c¸ ˜
ao
´
e de 25%. Admi a amb
´
em que o n
´
ume o de baleias
aba idas pelos pescado es cada ano
´
e de 300 e que es
´
a end
ˆ
encia ai se man e nos p
´
oximos anos.
Calcule a popula
c¸ ˜
ao,
Pn
(onde
n´
eon
´
ume o de anos a pa i do ano a ual) du an e os p
´
oximos
anos.
86 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es n˜
ao homog´
eneas
Se no ano
n
a popula
c¸˜
ao de baleias osse
Pn
, o aumen o da popula
c¸˜
ao du an e esse ano, de ido
a nascimen os e mo es na u ais, se ia
0,25Pn
. O aumen o (ou diminui
c¸˜
ao) da popula
c¸˜
ao du an e
esse ano se ia
0,25Pn−300 (9.30)
mas po ou o lado o aumen o da populac¸˜
ao du an e o pe ´
ıodo n amb´
em de e ´
a se igual a
Pn+1−Pn(9.31)
combinando es as duas exp ess˜
oes ob emos uma equac¸˜
ao de di e enc¸as
Pn+1−Pn=0,25Pn−300 (9.32)
se
n=0
ep esen a o ano a ual, a condi
c¸˜
ao inicial necess
´
a ia pa a esol e a equa
c¸˜
ao de di e en
c¸
as
´
e
P0=1000 (9.33)
Pa a esol e a equac¸˜
ao podemos usa a ans o mada Z
zp −1000z−p=0,25 p−300z
z−1(9.34)
onde
p(z)´
e a ans o mada da sucess
˜
ao
Pn
. A equa
c¸˜
ao an e io
´
e uma equa
c¸˜
ao alg
´
eb ica que se
esol e acilmen e pa a p
p=1000z
z−1,25 −300z
(z−1)(z−1,25)
=1000z
z−1,25 −1200z(z−1)−(z−1,25)
(z−1)(z−1,25)
=−200z
z−1,25 +1200
z−1
a ans o mada in e sa ´
e
Pn=1200 −2005
4n
(9.35)
ob iamen e a popula
c¸˜
ao n
˜
ao pode se nega i a e po an o a exp ess
˜
ao an e io s
´
o pode
´
a se
´
alida
pa a alguns alo es de n ais que
1200 −2005
4n
≥0 (9.36)
5
4n
≤6 (9.37)
nln 5
4≤ln 6 =⇒n≤8,03 (9.38)
logo a soluc¸˜
ao do p oblema ´
e
Pn=(1200 −200(1,25)n0≤n≤8
0n>8(9.39)
9.4 P oblemas 87
9.4 P oblemas
Resol a as seguin es equac¸ ˜
oes de di e enc¸as
1. yn+2−3yn+1+2yn=1
2. yn+2+yn+1−2yn=3y0=0,y1=1
3. yn+2+4yn+1+4yn= (−2)ny0=0,y1=0
4. yn+1−2yn=exp(−bn)
5. yn+2−2yn+1+4yn=2ny0=0,y1=0
6. yn+2+4yn=1
3ny0=1,y1=0
7. yn+2−yn=n
Encon e as ans o madas Zdas seguin es sucess˜
oes
8. {1,0,0,...}yn=δn,0
9. {0,0,1,1,...}yn=1−δn,0−δn,1
10. yn=nsin(ωn)
11.
Os n
´
ume os
{Tn}={1,3,6,10,15,...}
s
˜
ao chamados n
´
ume os iangula es, pois podem se
ob idos geom
´
e icamen e con ando o n
´
ume o de pon os nos i
ˆ
angulos da sequ
ˆ
encia na igu a
seguin e
T1 = 1 T2 = 3 T3 = 6 T4 = 10
1. De e mine o p oblema de alo inicial que de ine os n´
ume os iangula es.
2. Encon e a o ma ge al Tnde qualque n´
ume o iangula .
Nos p oblemas 12 e 13 encon e uma equa
c¸˜
ao de di e en
c¸
as pa a as seguin es somas
Sn
(compa e
Sn+1
com
Sn
). Resol a a equa
c¸˜
ao de di e en
c¸
as usando a condi
c¸˜
ao inicial
S1
pa a ob e uma
´
o mula
ge al pa a Sn
12. Sn=1+23+33+···+n3
13. Sn=2+4+6+···+2n
88 Equac¸ ˜
oes de di e enc¸as linea es n˜
ao homog´
eneas
14. O sis ema i e a i o
xn+1=x2
n+c x0=0
´
e um sis ema ca
´
o ico. Usando alo es de
c
igual a
−1.3
,
−1.75
e
−2
calcule alguns e mos
da sequ
ˆ
encia
{xn}
a
´
e ob e um alo epe ido; qual
´
e o pe
´
ıodo da sequ
ˆ
encia em cada caso?
que pode conclui a pa i des es esul ados? Se quise esc e e um p og ama de compu ado
pa a encon a o diag ama de bi u ca
c¸˜
ao, use alo es de
c
en e
−2
e
0.25
, e enha em con a
que os alo es esul an es de xnes ˜
ao comp endidos en e −2 e 2.
Cap´
ı ulo 10
Sis emas de equac¸ ˜
oes di e enciais
10.1 De inic¸ ˜
ao
Um sis ema de
n
equa
c¸ ˜
oes di e enciais de p imei a o dem
´
e um conjun o de
n
equa
c¸ ˜
oes di e enciais,
com uma a i
´
a el independen e
e
n
a i
´
a eis dependen es
x1,x2,...,xn
, que podem se esc i as da
seguin e o ma
dx1
d =F1(x1,...,xn,x0
1,...,x0
n, )(10.1)
dx2
d =F2(x1,...,xn,x0
1,...,x0
n, )
... (10.2)
dxn
d =Fn(x1,...,xn,x0
1,...,x0
n, )
onde
F1,F2,...,Fn
s
˜
ao quaisque un
c¸ ˜
oes de
(2n+1)
a i
´
a eis eais, que de inem o sis ema. N
˜
ao
se
´
a necess
´
a io conside a sis emas de equa
c¸ ˜
oes de o dem supe io a 1, de ido a que se alguma das
equa
c¸ ˜
oes di e encias o de o dem supe io , pode
´
a se esc i a como um sis ema de equa
c¸ ˜
oes de
p imei a o dem como e emos no exemplo que se segue.
Exemplo 10.1
Esc e a a equac¸ ˜
ao di e encial de segunda o dem
cosxd2x
d 2+x
dx
d +sin =0 (10.3)
como um sis ema de equac¸ ˜
oes de p imei a o dem.
Podemos de ini duas a i
´
a eis
x1
e
x2
, dependen es de
, a pa i da un
c¸˜
ao
x( )
e da sua
de i ada
x1≡x x2≡dx
d (10.4)
a p imei a de ini
c¸˜
ao
´
e uma simples mudan
c¸
a do nome da a i
´
a el, mas a segunda de ini
c¸˜
ao
´
e uma
equa
c¸˜
ao di e encial de p imei a o dem. Temos amb
´
em uma segunda equa
c¸˜
ao di e encial — a
equac¸˜
ao dada — que em e mos das a i´
a eis de inidas ´
e
cosx1
dx2
d +x1x2
+sin =0 (10.5)

90 Sis emas de equac¸ ˜
oes di e enciais
O sis ema de equac¸ ˜
oes, esc i o na o ma pad ˜
ao ´
e
dx1
d =x2(10.6)
dx2
d =−x1x2
cosx1−sin
cosx1
(10.7)
Como podemos e , os sis emas de equac¸˜
oes di e enciais de p imei a o dem s˜
ao mui o impo -
an es po inclui como casos pa icula es as equa
c¸ ˜
oes di e encias de o dem supe io e os sis emas
delas. De a o, os m
´
e odos num
´
e icos pa a esol e equa
c¸ ˜
oes di e enciais de o dem supe io
baseiam-se, ge almen e, na esoluc¸˜
ao de sis emas de equac¸ ˜
oes de p imei a o dem.
O sis ema de equa
c¸ ˜
oes (10.2) pode se esc i o numa o ma mais compa a, usando a no a
c¸˜
ao
e o ial:
dx
d =F ,x,dx
d (10.8)
onde
x´
e um e o com
n
componen es,
1
cada uma delas un
c¸˜
ao de
, e
F´
e um e o com
n
componen es, unc¸ ˜
oes de ,xex0.
10.2 Sis emas de equac¸ ˜
oes linea es
Um caso especial e impo an e na eo ia das equa
c¸ ˜
oes di e enciais
´
e quando o e o de un
c¸ ˜
oes
F
,
no sis ema de equac¸ ˜
oes (10.8), em a o ma
F=Ax+ (10.9)
onde
A´
e uma ma iz quad ada
n×n
de un
c¸ ˜
oes que dependem unicamen e de
,
´
e um e o com
n
componen es dependen es de
, e op
´
amos po abalha a ep esen a
c¸˜
ao dos e o es com ma izes
com uma
´
unica coluna, icando assim bem de inido o p odu o en e uma ma iz
n×n
e um e o (
`
a
di ei a da ma iz) de dimens˜
ao n, dando como esul ado ou o e o da mesma dimens˜
ao.
O sis ema de equac¸ ˜
oes di e enciais linea es ´
e o sis ema:
dx
d =Ax+ (10.10)
Quando os coe icien es da ma iz
A
sejam odos cons an es, o sis ema diz-se de coe icien es
cons an es; e quando o e o seja nulo, o sis ema se ´
a homog´
eneo.
Exemplo 10.2
Esc e a o sis ema de equac¸ ˜
oes linea es, de coe icien es cons an es,
x0
1=x1+x2
x0
2=4x1+x2
na o ma e o ial.
1
Quando esc e e a m
˜
ao o s
´
ımbolo de um e o , con em usa a no a
c¸˜
ao
~x
que se
´
a equi alen e ao uso de ca a e es
neg os na e s˜
ao imp essa.
10.3 M´
e odo de eliminac¸ ˜
ao 91
O sis ema pode se esc i o assim:
x0
1
x0
2=1 1
4 1  x1
x2=(10.11)
Que em a o ma da equac¸˜
ao (10.10), com e o nulo e ma iz Aigual a:
A=1 1
4 1 (10.12)
10.3 M´
e odo de eliminac¸ ˜
ao
Um m
´
e odo pa a esol e sis emas de equa
c¸ ˜
oes di e enciais consis e em usa
n−1
das equa
c¸ ˜
oes
pa a elimina
n−1
das a i
´
a eis
xi
, na ou a equa
c¸˜
ao, icando com uma equa
c¸˜
ao di e encial
o din
´
a ia pa a a un
c¸˜
ao
xi
que n
˜
ao oi eliminada. A melho o ma de explica o m
´
e odo
´
e a a
´
es de
um exemplo. Conside emos o sis ema do exemplo 10.2 e usemos uma no a
c¸˜
ao um pouco di e en e
pa a as de i adas x0
1ex0
2:
x0
1≡Dx1x0
2≡Dx2(10.13)
onde
D´
e o ope ado que de i a em un
c¸˜
ao do empo a un
c¸˜
ao que es i e
`
a sua di ei a. O sis ema
de equac¸ ˜
oes ´
e
Dx1=x1+x2(10.14)
Dx2=4x1+x2(10.15)
podemos conside a a
D
como um coe icien e que mul iplica
`
as un
c¸ ˜
oes, endo o cuidado de n
˜
ao
in e e a o dem do p odu o. Assim, o sis ema an e io pode se is o como um sis ema de duas
equac¸ ˜
oes, com duas inc´
ogni as x1ex2e com coe icien es que dependem de D
(D−1)x1−x2=0 (10.16)
4x1+(1−D)x2=0 (10.17)
o sis ema
´
e, nes e caso, homog
´
eneo, mas pa a sis emas n
˜
ao homog
´
eneos segue-se o mesmo
p ocedimen o, man endo as un
c¸ ˜
oes de
nos lados di ei os, sendo conside adas como coe icien es
que dependem de
. Pa a elimina
x2
no sis ema an e io , mul iplicamos a p imei a equa
c¸˜
ao po
(1−D), e somamos-la `
a p imei a equac¸˜
ao:
(1−D)(D−1)x1+4x1=0 (10.18)
o p odu o
(1−D)(D−1)
pode se calculado como um simples p odu o en e a i
´
a eis, j
´
a que
quando n˜
ao h´
a unc¸ ˜
oes en ol idas n˜
ao h´
a pe igo de oca a o dem das unc¸ ˜
oes e dos ope ado es
(1−D)(D−1) = −(D−1)2=−D2+2D−1 (10.19)
onde
D2´
e a segunda de i ada em o dem ao empo. Subs i uindo na equa
c¸˜
ao (10.18), ob emos uma
equac¸˜
ao di e encial de segunda o dem
−x00
1+2x1+3x1=0 (10.20)
92 Sis emas de equac¸ ˜
oes di e enciais
que pode se esol ida pa a encon a
x1
; pa a calcula
x2
, subs i ui-se
x1
na p imei a equa
c¸˜
ao do
sis ema. 
O m
´
e odo de elimina
c¸˜
ao consis e ealmen e no p ocesso in e so ao seguido na esolu
c¸˜
ao do
exemplo 10.1, quando ans o mamos uma equa
c¸˜
ao de o dem supe io num sis ema de equa
c¸ ˜
oes de
p imei a o dem. Exis em sis emas de equa
c¸ ˜
oes mais complicados, nos quais o m
´
e odo de elimina
c¸˜
ao
n
˜
ao
´
e
´
u il; ealmen e o p ocesso de elimina
c¸˜
ao de a i
´
a eis
´
e igual do que num sis ema de equa
c¸ ˜
oes
alg
´
eb icas, e como o lei o de e
´
a sabe exis em m
´
e odos simples pa a esol e sis emas de equa
c¸ ˜
oes
alg
´
eb icas linea es, mas n
˜
ao exis em m
´
e odos ge ais pa a as equa
c¸ ˜
oes n
˜
ao linea es. Inclusi amen e
no caso de sis emas linea es, quando o n
´
ume o de a i
´
a eis o ele ado, a elimina
c¸˜
ao das a i
´
a eis
pode o na -se complicada; alguns dos m
´
e odos usados no caso de equa
c¸ ˜
oes alg
´
eb icas linea es,
po exemplo a eg a de C ame , in oduzem di is
˜
ao po ope ado es que implicam e que calcula o
in e so de um ope ado di e encial, que n˜
ao ´
e uma a e a ´
acil.
10.4 M´
e odo ma icial
O m
´
e odo ma icial
´
e
´
u il pa a esol e sis emas de equa
c¸ ˜
oes linea es, de coe icien es cons an es,
homog´
eneos e com alo es iniciais. A o ma ge al desses sis emas ´
e
dx
d =Ax x(0) = x0(10.21)
onde o e o cons an e
x0
d
´
a o alo inicial do e o
x
, em
=0
. Vamos encon a a solu
c¸˜
ao do
sis ema come
c¸
ando pelo caso mais simples
n=1
, e gene alizando o esul ado pa a qualque
n
. No
caso
n=1
, a ma iz
A
e o e o
x
ˆ
em uma
´
unica componen e, e o sis ema
´
e uma
´
unica equa
c¸˜
ao
di e encial: dx
d =ax x(0) = x0(10.22)
onde
a´
e uma cons an e eal. J
´
a imos
´
a ios m
´
e odos pa a esol e essa equa
c¸˜
ao nos cap
´
ı ulos
an e io es. A soluc¸˜
ao ´
e
x=x0ea (10.23)
A gene aliza
c¸˜
ao pa a
n>1´
e
´
acil: subs i uimos
x
pelo e o
x
, e
a
pela ma iz
A
, mas pa a se
consis en es com a ep esen a
c¸˜
ao de e o es como ma izes de uma coluna, a cons an e
x0
de e
´
a
i depois e n˜
ao an es da unc¸˜
ao exponencial
x=eA x0(10.24)
Mas o que que dize a exponencial de uma ma iz? pe gun a
´
a o lei o . Pa a o nosso obje i o
exp(A )
de e
´
a se uma ma iz que quando de i ada em o dem a
d
´
a a mesma ma iz mul iplicada
(
`
a esque da) po
A
. Pa indo da de ini
c¸˜
ao do p odu o en e ma izes e de ma izes po n
´
ume os,
podemos de ini qualque un
c¸˜
ao anal
´
ı ica de uma ma iz, gene alizando a pa i da s
´
e ie de
McClau in da unc¸˜
ao; nomeadamen e,
eA =
∞
∑
n=0
(A )n
n!=I+A+
2A2+... (10.25)
onde I´
e a ma iz iden idade, com 1 na diagonal e ze o o a dela; a pa i des a de inic¸˜
ao podemos
demons a , de i ando cada memb o na s´
e ie, que
deA
d =AeA (10.26)
10.4 M´
e odo ma icial 93
Do pon o de is a p
´
a ico, a s
´
e ie de McClau in n
˜
ao
´
e
´
u il pa a calcula a ma iz
exp(A )
, pois
inclusi amen e o c
´
alculo dos p imei os e mos na s
´
e ie o na-se edioso. Pa a calcula a solu
c¸˜
ao
do sis ema,
exp(A )x0
, calcula emos p imei o um sis ema de
n
solu
c¸ ˜
oes pa icula es simples que
o mam uma base pa a o espa
c¸
o e o ial das solu
c¸ ˜
oes
x
e encon a emos as coo denadas da solu
c¸˜
ao
pa icula nessa base. An es de abo da o p oblema s˜
ao p ecisas algumas de inic¸ ˜
oes.
10.4.1 Ve o es e alo es p ´
op ios
Dada uma ma iz
A
de dimens
˜
oes
n×n
, Qualque e o
de dimens
˜
ao
n
que e i ique a p op iedade
A =λ (10.27)
´
e designado
e o p ´
op io
, onde
λ´
e um n
´
ume o designado
alo p ´
op io
. A condi
c¸˜
ao an e io
n
˜
ao
´
e i ial; implica que a mul iplica
c¸˜
ao da ma iz pelo e o p
´
op io d
´
a um e o que
´
e pa alelo
ao p ´
op io e o .
Se
o um e o p
´
op io, qualque e o na mesma di e
c¸˜
ao (
c
) amb
´
em se
´
a um e o p
´
op io,
co esponden e ao mesmo alo p
´
op io; po an o, os e o es p
´
op ios co esponden es ao mesmo
alo p
´
op io o mam um subespa
c¸
o do espa
c¸
o dos e o es de dimens
˜
ao
n
. O e o nulo,
0
,
ob iamen e e i ica a condi
c¸˜
ao de e o p
´
op io pa a qualque ma iz e qualque alo
λ
, mas n
˜
ao o
conside a emos en e os e o es p ´
op ios.
Tamb
´
em pode-se mos a que dois e o es p
´
op ios co esponden es a alo es p
´
op ios di e en es
s
˜
ao linea men e independen es. Como o n
´
ume o m
´
aximo de e o es linea men e independen es
´
e
n
,
o n´
ume o m´
aximo de alo es p ´
op ios di e en es amb´
em se ´
an.
Pa a encon a os e o es e alo es p
´
op ios da ma iz
A
, e-esc e emos a equa
c¸˜
ao (10.27)
numa ou a o ma
(A−λI) =0(10.28)
Es e
´
e um sis ema de equa
c¸ ˜
oes linea es, homog
´
eneo. Pa a que exis am solu
c¸ ˜
oes di e en es da
soluc¸˜
ao i ial, ´
e necess´
a io que o de e minan e do sis ema homog´
eneo seja igual a ze o
|A−λI|=0 (10.29)
es a condi
c¸˜
ao
´
e um polin
´
omio de g au
n
(
polin´
omio ca a e ´
ıs ico
da ma iz) e pode
´
a e , no
m´
aximo, n a´
ızes ( alo es p ´
op ios) di e en es.
No caso de exis i em
n
a
´
ızes do polin
´
omio ca a e
´
ıs ico, eais e di e en es, os e o es p
´
op ios
co esponden es a cada alo p
´
op io o mam subespa
c¸
os de dimens
˜
ao 1 (n
˜
ao podem e dimens
˜
ao
maio ), e escolhendo um e o p
´
op io po cada alo p
´
op io ob emos uma base do espa
c¸
o de
dimens
˜
ao
n
. Quando exis e uma aiz epe ida
m
ezes, os e o es p
´
op ios co esponden es a esse
alo p
´
op io o mam um subespa
c¸
o com dimens
˜
ao comp eendida en e 1 e
m
; se a dimens
˜
ao o
m
,
se
´
a ainda poss
´
ı el selecciona
m
e o es p
´
op ios linea men e independen es e comple a a base de
e o es p
´
op ios pa a o espa
c¸
o odo. Pa a o nosso obje i o, no caso de alo es p
´
op ios complexos
se
´
a ainda poss
´
ı el selecciona um e o po cada alo p
´
op io, s
´
o que os e o es seleccionados j
´
a
n˜
ao se ˜
ao e o es p ´
op ios.
Exemplo 10.3
Encon e os e o es p ´
op ios da ma iz:


−1 0 3
1 1 1
−4 0 6 

100 Sis emas de equac¸ ˜
oes di e enciais
com duas a i´
a eis li es e b=1. A escolha mais simples se ´
a:
2=

0
1
0
(10.77)
a ma iz
V
de e o es undamen ais se
´
a a ma iz iden idade (o qual explica po que os dois e o es
p
´
op ios o am de inidos como
1
e
3
). E a ma iz undamen al
X
ob em-se usando os eo emas 8
e9
X=e 

1 0
010
001
(10.78)
o e o
u
de inido na equa
c¸˜
ao (10.70) se
´
a igual ao e o
, j
´
a que a ma iz
V´
e a iden idade; pela
mesma az
˜
ao, o e o
c
de inido na equa
c¸˜
ao (10.45) se
´
a igual ao e o
x0
. A solu
c¸˜
ao do p oblema
calcula-se a pa i de:
x=Xc+X∗u=

e
e
0
+

e ∗( e )
e ∗e
e ∗( e )
(10.79)
Os dois p odu os de con oluc¸˜
ao podem se calculados usando a ans o mada de Laplace:
e ∗e =L−11
(s−1)2= e (10.80)
( e )∗e =L−11
(s−1)3= 2
2e (10.81)
a soulc¸˜
ao do p oblema ´
e
x=e 





+ 2
2
1+
2
2






(10.82)
10.7 P oblemas
Resol a os seguin es p oblemas de alo es iniciais pelo m´
e odo da eliminac¸˜
ao
1. x0=y−x
y0=y−2sin x(0) = 0
y(0) = 1
2. x0=y−x
y0=y−2x+sin x(0) = 0
y(0) = 0
3. 


x0=z
y0=x
z0=y


x(0) = 0
y(0) = −1
z(0) = 1

10.7 P oblemas 101
Nos p oblemas seguin es calcule a ma iz
eA
e use o esul ado pa a encon a a solu
c¸˜
ao do p oblema
de alo inicial dx
d =Ax x(0) = x0
4. A =2 1
0 1 x0=1
1
5. A =

1−1−1
131
−3 1 −1
x0=

0
1
0

6. A =4 5
−4−4x0=1
2
7. A =

1 0 0
3 1 −2
2 2 1 
x0=

1
1
1

8. A =2 1
0 2 x0=1
1
9. A =

−1−1 0
0−1 0
0 0 −2
x0=

0
1
1

10. A =

−706
050
602
x0=

1
1
1

11. A =



1−400
4 1 0 0
0 0 2 1
0 0 0 1




x0=



1
1
1
1




Com as ma izes dadas em cada caso esol a o p oblema de alo inicial
dx
d =Ax + x(0) = x0
12. A =3 1
2 2  =
x0=1
0
13. A =

1 1 0
0 1 0
0 0 1 
 =e 

0
1

x0=

0
1
0

14. A =2−2
4−2 =0
δ( −π)x0=1
0
102 Sis emas de equac¸ ˜
oes di e enciais
15. A =

−1−1−2
111
213
 =e 

0
0
1
x0=

0
0
0

16. A =3−1
2 0  =1−u( −1)
0x0=0
0
Cap´
ı ulo 11
Equac¸ ˜
oes de de i adas pa ciais
11.1 In oduc¸ ˜
ao
Uma equa
c¸˜
ao de de i adas pa ciais
´
e uma ela
c¸˜
ao en e as de i adas de uma un
c¸˜
ao de
´
a ias
a i´
a eis. Alguns exemplos, que apa ecem em di e sos p oblemas, s˜
ao as seguin es equac¸˜
oes:
11.1.1 Equac¸˜
ao de ans e ˆ
encia de calo
. Se
T( ,x)
ep esen a a empe a u a num ins an e
, na posi
c¸˜
ao
x
sob e uma ba a, a equa
c¸˜
ao de
ans e ˆ
encia de calo em uma dimens˜
ao ´
e:
∂T
∂ =a∂2T
∂x2(11.1)
onde
a´
e uma cons an e. A un
c¸˜
ao
T´
e a a i
´
a el dependen e, e
e
x
s
˜
ao as a i
´
a eis independen es.
11.1.2 Equac¸˜
ao de onda
. Uma unc¸˜
ao de onda, em duas dimens˜
oes, ´
e uma unc¸˜
ao (x,y, )soluc¸˜
ao da equac¸˜
ao
∂2
∂ 2= 2 ∂2
∂x2+∂2
∂y2!(11.2)
onde
´
e uma cons an e ( elocidade de p opaga
c¸˜
ao). Nes e caso, exis em 3 a i
´
a eis independen es,
nomeadamen e, as duas coo denadas espaciais xey, e o empo .
11.1.3 Equac¸˜
ao de Laplace
. O po encial ele os ´
a ico V(x,y,z), numa egi˜
ao onde n˜
ao exis am ca gas, e i ica a equac¸˜
ao:
∂2V
∂x2+∂2V
∂y2+∂2V
∂z2=0 (11.3)
Os exemplos an e io es co espondem odos a equa
c¸ ˜
oes linea es, nas quais uma combina
c¸˜
ao
linea de soluc¸ ˜
oes ´
e amb´
em soluc¸˜
ao.
104 Equac¸ ˜
oes de de i adas pa ciais
11.2 Resoluc¸ ˜
ao de equac¸ ˜
oes simples
As equa
c¸ ˜
oes de de i adas pa ciais em que apa ece uma
´
unica de i ada, podem se in eg adas
acilmen e. Conside emos po exemplo a equac¸˜
ao
∂2
∂x2=3y(11.4)
como a segunda de i ada em o dem a
x´
e igual
`
a de i ada da p imei a de i ada pa cial em o dem a
x
, po an o, a de i ada pa cial
∂ /∂x
se
´
a igual
`
a p imi i a de
3y
, ao longo de um pe cu so com
y
cons an e
∂
∂x=Z3ydx(ycons an e) (11.5)
=3xy + (y)(11.6)
onde
(y)
pode se qualque un
c¸˜
ao a bi
´
a ia que n
˜
ao dependa de
x
. In eg ando uma segunda ez,
com ycons an e, ob emos a unc¸˜
ao (x,y)
=3
2yx2+x (y)+g(y)(11.7)
Es a solu
c¸˜
ao
´
e bas an e ge al, pois depende de duas un
c¸ ˜
oes a bi
´
a ias
e
g
. Pa a ob e uma
solu
c¸˜
ao
´
unica, se
´
a necess
´
a io sabe algumas condi
c¸ ˜
oes on ei a. As condi
c¸ ˜
oes on ei a s
˜
ao
˜
ao
impo an es quan o a equa
c¸˜
ao di e encial pa a de e mina a o ma da solu
c¸˜
ao, j
´
a que com di e en es
condic¸ ˜
oes on ei a ´
e poss´
ı el ob e soluc¸ ˜
oes mui o di e sas.
11.3 M´
e odo da ans o mada de Laplace
As equa
c¸ ˜
oes de de i adas pa ciais linea es com condi
c¸ ˜
oes iniciais, podem se esol idas po meio
da ans o mada de Laplace. As condi
c¸ ˜
oes iniciais (na a i
´
a el
) pa a uma equa
c¸˜
ao de o dem
n
em
, consis em nos alo es da un
c¸˜
ao e das suas p imei as
n−1
de i adas no ins an e
=0
. Se,
po exemplo, a solu
c¸˜
ao da equa
c¸˜
ao o uma un
c¸˜
ao de duas a i
´
a eis,
(x, )
, e a equa
c¸˜
ao o de
segunda o dem em , as condic¸ ˜
oes iniciais se ˜
ao
(x,0) = (x)(11.8)
∂
∂ (x,0) = g(x)(11.9)
onde
e
g
s
˜
ao duas un
c¸ ˜
oes de
x
dadas. A ans o mada de Laplace de
(x, )
se
´
a uma un
c¸˜
ao
(x,s), de inida po meio do seguin e in eg al
(x,s) =
∞
Z
0
e−s (x, )dx(11.10)
As duas condi
c¸ ˜
oes on ei a pe mi em calcula as ans o madas das duas p imei as de i adas,
usando a p op iedade da ans o mada da de i ada; o esul ado ob ido ´
e
L∂
∂ =s (x,s)− (x)(11.11)
L∂2
∂ 2=s2 (x,s)−s (x)−g(x)(11.12)
11.4 T ans o madas de Fou ie 105
Como
x
e
s
˜
ao a i
´
a eis independen es, e como a ans o mada de Laplace oi de inida em
o dem a
, as o dem en e as de i adas em
x
e a ans o mada de Laplace s
˜
ao independen es; po
exemplo,
L∂
∂x=∂
∂xL{ (x, )}=d
dx(11.13)
L∂2
∂x2=∂2
∂x2L{ (x, )}=d2
dx2(11.14)
11.4 T ans o madas de Fou ie
11.4.1 P odu o escala en e unc¸ ˜
oes
Um p odu o escala en e duas unc¸ ˜
oes egpode se de inido da seguin e o ma:
h (x),g(x)i=
L
Z
0
(x)g(x)dx(11.15)
p op iedades:
1. h ,gi´
e um n´
ume o eal.
2. h ,gi=hg, i
3. hc ,gi=ch ,gi, pa a qualque cons an e c
4. h ,g+hi=h ,gi+h ,hi
5. se 6=0⇒h , i>0
es as p op iedades s
˜
ao id
ˆ
en icas
`
as co esponden es p op iedades do p odu o escala en e
e o es, e pe mi em de ini o m
´
odulo de uma un
c¸˜
ao e
ˆ
angulos en e un
c¸ ˜
oes. O m
´
odulo da un
c¸˜
ao
´
e
| |=h , i1/2
(11.16)
e duas unc¸ ˜
oes egs˜
ao o ogonais se:
h ,gi=0 (11.17)
11.4.2 S´
e ie seno de Fou ie
A seguin e sucess˜
ao de unc¸ ˜
oes seno:
(Sn(x) = sinnπ
Lx)(11.18)
s˜
ao odas o ogonais; nomeadamen e:
hSn,Smi=(0,n6=m
L
2,n=m(11.19)

106 Equac¸ ˜
oes de de i adas pa ciais
em ela
c¸˜
ao ao p odu o escala de inido acima. Qualque ou a un
c¸˜
ao de inida no in e alo
0<x<L
´
e linea men e dependen e do conjun o de un
c¸ ˜
oes
Sn
(com algumas excep
c¸ ˜
oes que discu i emos mais
logo); assim, qualque un
c¸˜
ao
(x)
de inida no di o in e alo pode se esc i a como combina
c¸˜
ao
linea da sucess˜
ao {Sn}:
(x) =
∞
∑
n=1
bnsinnπ
Lx(11.20)
a s
´
e ie an e io
´
e designada po
s´
e ie seno de Fou ie
.
´
E
´
acil demons a (usando a o ogonalidade
en e as unc¸ ˜
oes Sn) que os coe icien es bnna s´
e ie s˜
ao iguais a:
an=2
Lh ,Sni=2
L
L
Z
0
(x)sinnπ
Lxdx(11.21)
o in eg al an e io chama-se ans o mada seno de Fou ie da unc¸˜
ao (x).
11.4.3 S´
e ie co-seno de Fou ie
Ou a sucess˜
ao de unc¸ ˜
oes o ogonais ´
e a sucess˜
ao de unc¸ ˜
oes co-seno, de inida po :
(Cn(x) = cosnπ
Lx)(11.22)
A p op iedade de o ogonalidade ´
e:
hCn,Cmi=(0,n6=m
L
2,n=m6=0 (ou Lse n=m=0) (11.23)
Qualque un
c¸˜
ao de inida no in e alo
0<x<L´
e linea men e dependen e do conjun o de un
c¸ ˜
oes
Cn
(com algumas excep
c¸ ˜
oes que discu i emos mais logo); assim, uma un
c¸˜
ao
(x)
pode amb
´
em
se esc i a como uma s´
e ie co-seno de Fou ie :
(x) = a0
2+
∞
∑
n=1
ancosnπ
Lx(11.24)
onde os coe icien es ans˜
ao iguais a:
an=2
Lh ,Cni=2
L
L
Z
0
(x)cosnπ
Lxdx(11.25)
e o in eg al an e io designa-se ans o mada co-seno de Fou ie da unc¸˜
ao (x).
11.5 Resoluc¸ ˜
ao de EDPs usando ans o madas de Fou ie
A ans o mada de Fou ie
´
e
´
u il pa a esol e equa
c¸ ˜
oes de de i adas pa ciais, de segunda o dem,
com condi
c¸ ˜
oes on ei a. Se
(x,y)
o a a i
´
a el dependen e, e i e mos condi
c¸ ˜
oes on ei a pa a
x=0 e x=L, comec¸amos po de ini a ans o mada de Fou ie da seguin e o ma
n(y) = 2
Lh (x,y),φn(x)i(11.26)
11.5 Resoluc¸ ˜
ao de EDPs usando ans o madas de Fou ie 107
onde φnse ´
a uma das seguin es unc¸˜
oes p ´
op ias:
φn(x) = (sin(λnx)
cos(λnx)(11.27)
e
λn
s
˜
ao ce os
alo es p ´
op ios
escolhidos em o ma adequada (j
´
a e emos a segui qual se
´
a a
escolha ap op iada em cada caso).
11.5.1 P op iedade ope acional
A ans o mada da segunda de i ada em a p op iedade impo an e (p op iedade ope acional) de
depende da ans o mada da unc¸˜
ao. Po de inic¸˜
ao, a ans o mada da segunda de i ada pa cial ´
e
∂2
∂x2n
=2
Lhφn,∂2
∂x2i(11.28)
in eg ando po pa es duas ezes ob emos:
∂2
∂x2n
=2
L
L
Z
0
φn
∂2
∂x2dx(11.29)
=2
L∂
∂xφn
L
0−
L
Z
0
φ0
n
∂
∂xdx(11.30)
=2
L∂
∂xφn− φ0
nL
0
+2
L
L
Z
0
φ0
n dx(11.31)
a segunda de i ada das un
c¸ ˜
oes p
´
op ias
´
e semp e ( an o no caso do seno como no caso do co-seno)
p opo cional a si p ´
op ia
φ00
n=−λ2
nφn(11.32)
Assim, a p op iedade ope acional ´
e
∂2
∂x2n
=2
L∂
∂x(L)φn(L)− (L)φ0
n(L)−∂
∂x(0)φn(0)+ (0)φ0
n(0)−λ2
n n(11.33)
Como amos esol e uma equa
c¸˜
ao de segunda o dem, s
˜
ao dadas apenas duas condi
c¸ ˜
oes on ei a
que pe mi em calcula dois dos e mos den o dos pa
ˆ
en esis. Podemos usa a libe dade que emos
na escolha das un
c¸ ˜
oes e alo es p
´
op ios, pa a elimina os ou os dois e mos den o dos pa
ˆ
en esis.
Es uda emos as qua o possibilidades:
1. Os alo es de (0,y)e (L,y)s˜
ao dados. Nes e caso se ´
a necess´
a io a bi a
φn(0) = φn(L) = 0 (11.34)
O qual de e mina as seguin es unc¸˜
oes e alo es p ´
op ios
φn(x) = sin(λnx)λn=nπ
L(11.35)
A ans o mada co esponden e ´
e a ans o mada seno de Fou ie .
108 Equac¸ ˜
oes de de i adas pa ciais
2. Os alo es de ∂ (0,y)/∂xe∂ (L,y)/∂xs˜
ao dados. Nes e caso se ´
a necess´
a io a bi a
φ0
n(0) = φ0
n(L) = 0 (11.36)
E, po an o, as unc¸ ˜
oes e alo es p ´
op ios s˜
ao
φn(x) = cos(λnx)λn=nπ
L(11.37)
A ans o mada ans o mada ´
e a ans o mada co-seno de Fou ie .
3. Os alo es de (0,y)e∂ (L,y)/∂xs˜
ao dados. Nes e caso se ´
a necess´
a io a bi a
φn(0) = φ0
n(L) = 0 (11.38)
E, po an o, as unc¸ ˜
oes e alo es p ´
op ios s˜
ao
φn(x) = sin(λnx)λn=n+1
2π
L(11.39)
A ans o mada co esponden e ´
e a ans o mada seno modi icada.
4. Os alo es de ∂ (0,y)/∂xe (L,y)s˜
ao dados. Nes e caso se ´
a necess´
a io a bi a
φ0
n(0) = φn(L) = 0 (11.40)
E, po an o, as unc¸ ˜
oes e alo es p ´
op ios s˜
ao
φn(x) = cos(λnx)λn=n+1
2π
L(11.41)
A ans o mada co esponden e ´
e a ans o mada co-seno modi icada.
Exemplo 11.1
Resol a a equac¸ ˜
ao de Laplace:
∂2T
∂x2+∂2T
∂y2=0 (11.42)
pa a as seguin es condic¸˜
oes on ei a:
∂T
∂x(0,y) = u(1−y)∂T
∂y(x,0) = 0T(2,y) = 0T(x,2) = 0 (11.43)
A equac¸˜
ao pode se esol ida usando a ans o mada de Fou ie de T(x,y). em o dem a y
n=hT(x,y),φn(y)i=
2
Z
0
T(x,y)φn(y)dy(11.44)
A endendo
`
as condi
c¸ ˜
oes on ei a do p oblema, a bi amos as seguin es condi
c¸ ˜
oes pa a as un
c¸ ˜
oes
p ´
op ias
φ0
n(0) = 0φn(2) = 0 (11.45)
11.5 Resoluc¸ ˜
ao de EDPs usando ans o madas de Fou ie 109
que conduzem `
as seguin es unc¸˜
oes p ´
op ias e alo es p ´
op ios
φn(y) = cos(λny)λn= (2n+1)π
4(11.46)
as ans o madas das de i adas pa ciais de Ts˜
ao:
∂2T
∂x2n
=d2 n
dx2(11.47)
∂2T
∂y2n
=
2
Z
0
∂2T
∂y2cos(λny)dy=∂T
∂ycos(λny)
2
0
+λn
2
Z
0
∂T
∂ysin(λny)dy
=λnTsin(λny)
2
0−λ2
n
2
Z
0
Tcos(λny)dy=−λ2
n n
A ans o mada de Fou ie da equac¸˜
ao de Laplace ´
e
d2 n
dx2−λ2
n n=0 (11.48)
es a
´
e uma equa
c¸˜
ao di e encial o din
´
a ia, linea , de coe icien es cons an es. As duas a
´
ızes do
polin´
omio ca a e ´
ıs ico s˜
ao λne−λn, e a soluc¸˜
ao ge al ´
e
n=Aneλnx+Bne−λnx(11.49)
As condi
c¸ ˜
oes on ei a pa a
n
ob
ˆ
em-se a pa i das ans o madas de Fou ie das condi
c¸ ˜
oes on ei a
do p oblema:
n(2) = hT(2,y),φn(y)i=0 (11.50)
d n(0)
dx=hu(1−y),φn(y)i=
1
Z
0
cos(λny)dy=sinλn
λn
(11.51)
subs i uindo es as condic¸ ˜
oes na soluc¸˜
ao ge al n(x), ob emos
An−Bn=sinλn
λ2
n
Ane2λn+Bne−2λn=0
Resol endo es e sis ema, ob emos as cons an es An,Bne a soluc¸˜
ao pa icula
n=sinλne−2λn
2λ2
ncosh(2λn)eλnx−sinλne2λn
2λ2
ncosh(2λn)e−λnx(11.52)
A unc¸˜
ao T(x,y)´
e dada pela s´
e ie de Fou ie
T(x,y) =
∞
∑
n=0
sinλn
λ2
ncosh(2λn)sinh[λn(x−2)]cos(λny)(11.53)
116 Equac¸ ˜
oes de de i adas pa ciais
11. ea
12. 5
5!
13. −sin
14. e2 −2 −1
15. 1
2ω3[sin(ω )−ω cos(ω )]
16. y=1
kR
0cosh[k( −s)] (s)ds
17. y=ek 1+(1−k) +R
0( −s)e−ks (s)ds
18. y=a e−
19. y=1+ +e /2"1
√3sin √3
2!−cos √3
2!#
20. y=1+cosh
21. y=1
2sin +e− 1−3
2 
Cap´
ı ulo 9
1. yn=y0(2−2n)+ y1(2n−1)+ 2n−n−1
2. yn=n
3. yn=(−1)n
8n(n−1)2n
4. yn=2ny0+1
2−e−b−e−bn
2−e−b
5. yn=2n
41−cosnπ
3−1
√3sinnπ
3
6. y2m=1
37 28(−4)m+9
9my2m+1=−3
37 (−4)m+1
9m
7. y2m=y0+m(m−1)y2m+1=y1+m2
8. y(z) = 1
9. y(z) = 1
z(z−1)
10. y(z) = z(z2−1)sinω
(z2−2zcosω+1)2

11.6 P oblemas 117
11. 1. Tn+1−Tn=n+1T1=1
2. Tn=n(n+1)
2
12. Sn=T2
n=n2(n+1)2
4
13. Sn=n(n+1)
14.
O pe
´
ıodo
´
e 4, 3 e 1 espe i amen e. Exis em pon os de bi u ca
c¸˜
ao en e
−2
e
−1.75
, e en e
−1.75 e −1.3
Cap´
ı ulo 10
1. x=sin y =cos +sin
2. x=1
2(sin − cos )y=1
2(sin − cos + sin )
3.





























x=2e− /2
√3sin √3
2!
y=−e− /2"cos √3
2!+1
√3sin √3
2!#
z=e− /2"cos √3
2!−1
√3sin √3
2!#
4. x =2e2 −e
e 
5. x =

e2 −e3
e3
−e2 +e3 

6. x =cos(2 )+7sin(2 )
2cos(2 )−6sin(2 )
7. x =e 




1
−1+2cos(2 )+ 1
2sin(2 )
3
2−1
2cos(2 )+2sin(2 )





8. x =e2 1+
1
9. x =e− 

−
1
e− 

118 Equac¸ ˜
oes de de i adas pa ciais
10. x =1
5

2e−10 +3e5
5e5
−e−10 +6e5 

11. x =e 



cos(4 )−sin(4 )
sin(4 )+cos(4 )
2e −1
1




12. x =1
48 −3−12 +16e +35e4
−3−12 −32e +35e4 
13. x =e 




+ 2
2
1+
2
2





14. x =sin(2 )+cos(2 )−u( −π)sin(2 )
2sin(2 )+u( −π)[cos(2 )−sin(2 )] 
15. x = e
6

6 − 2
3
6+6 + 2

16. x =1
23−4e− +e−2 −u( −1)(3−4e1− +e2−2 )
2−4e− +2e−2 −u( −1)(2−4e1− +2e2−2 )
Cap´
ı ulo 11
1. u(x,y) = xy + (y), onde ´
e qualque unc¸˜
ao de yde i ´
a el
2. u(x,y) = (x) + g(y)
, onde
e
g
s
˜
ao un
c¸ ˜
oes de
x
e
y
, ambas de i
´
a eis nas espe i as
a i´
a eis
3. u(x,y) = 1
3x3y+1
3xy3+ (x)+g(y)
, onde
e
g
s
˜
ao un
c¸ ˜
oes de
x
e
y
, ambas de i
´
a eis nas
espe i as a i´
a eis
4. (x, ) = 2e−x/2 −x
2hu −x
2−u −1−x
2i
5. (x, ) = sin −x
cu −x
c
6. u(x, ) = x( −1+e− )
7. (x) = 4
π∑∞
n=1
1
2n−1sin(2n−1)xS´
e ie co-seno: (x) = 1
8. (x) = 2
π∑∞
n=1
1
nsin(nπx) = 1
2+4
π2∑∞
n=1
1
(2n−1)2cos[(2n−1)πx]
11.6 P oblemas 119
9. u(x, ) = 5sin(3πx)cos(3π )
10. u(x, ) = 2∑∞
n=0(−1)n
λn−1
λ2
n−e−α2λ2
n 1
λ2
n−2(−1)n
λ3
ncos(λnx)
em que λn= (n+1/2)π
11. u(x, ) = ∑∞
n=0
2
nπ1+1−(−1)nn2π2
n2π2−1e−nπx−1−(−1)n
n2π2−1e−xsin(nπy)
120 Equac¸ ˜
oes de de i adas pa ciais
Bibliog a ia
1. Chu chill R. V. Ope a ional Ma hema ics, 3a. Edic., McG aw-Hill, 1972.
2. Cos a M. R. N. Equac¸ ˜
oes de Di e enc¸as Fini as. FEUP, 1995.
3.
Fa low, S. J. An In oduc ion o Di e en ial Equa ions and Thei Applica ions. McG aw-Hill,
Singapo e, 1994.
4.
James. G. Ad anced Mode n Enginee ing Ma hema ics, Second Edi ion, Addison-Wesley,
Ha low, England, 1999.
5.
Ko ach, L. D. Ad anced Enginee ing Ma hema ics, Addison-Wesley Pub. Co., Massachu-
se s, 1982.
6. K eyszig, I. E. Ad anced Enginee ing Ma hema ics, 7aedic¸˜
ao, J. Wiley, 1992.

´
Indice
C
conjun o undamen al, 94
cons an e de decaimen o, 18
con oluc¸˜
ao, 75
D
deg au uni ´
a io, 70
deslocamen o em ,70
E
equac¸˜
ao homog´
enea, 10
equac¸˜
ao de Be noulli, 13
equac¸˜
ao exa a, 10
equac¸˜
ao indicial, 58
equac¸˜
ao linea de p imei a o dem, n˜
ao
homog´
enea, 43
equac¸ ˜
oes linea es, 8
F
a o in eg an e, 8
o c¸a impulsi a, 71
o ma di e encial, 2
o ma in e sa, 2
unc¸˜
ao del a de Di ac, 72
unc¸ ˜
oes p ´
op ias, 107
uncional, 72
I
impulso, 71
M
ma iz undamen al, 95
meia- ida, 18
P
polin´
omio ca a e ´
ıs ico, 28,45,93
p imei a o dem, 7
S
s´
e ie co-seno de Fou ie , 106
s´
e ie seno de Fou ie , 106
soluc¸˜
ao undamen al, 94
T
ans o mada co-seno de Fou ie , 106
ans o mada co-seno modi icada, 108
ans o mada seno de Fou ie , 106
ans o mada seno modi icada, 108
V
alo p ´
op io, 93
alo es p ´
op ios, 107
a i´
a eis sepa ´
a eis, 7
e o p ´
op io, 93