Equações Diferenciais e Equações de Diferenças

Equac¸ ˜ oes Di e enciais e Equac¸ ˜ oes de Di e enc¸as Jaime E. Villa e Faculdade de Engenha ia da Uni e sidade do Po o Dezemb o de 2001 ´ Ul ima e is˜ ao: 26 de Ab il de 2011 Equac¸ ˜ oes Di e enciais e Equac¸ ˜ oes de Di e enc¸as Copy igh c 2001, 2003, 2008 Jaime E. Villa e E-mail: [email p o ec ed] Ve s˜ ao: 26 de Ab il de 2011 Es e abalho es ´ a licenciado sob uma Licen c¸ a C ea i e Commons A ibui c¸˜ ao-Pa ilha nos e mos da mesma Licenc¸a 2.5 Po ugal. Pa a e uma c´ opia des a licenc¸a, isi e h p://c ea i ecommons.o g/licenses/by-sa/2.5/p / ou en ie uma ca a pa a C ea i e Commons, 559 Na han Abbo Way, S an o d, Cali o nia 94305, USA. Es e li o ´ e a ualizado equen emen e. A e s˜ ao mais ecen e e os ichei os on e encon am-se em: h p:// illa e.o g/doc/eqdi e enciais/ Con e´ udo Lis a de Figu as ii Lis a de Tabelas ix P e ´ acio xi 1 In oduc¸ ˜ ao 1 1.1 De inic¸ ˜ oes ....................................... 1 1.2 Equac¸ ˜ oes de p imei a o dem ............................ 2 1.3 Exis ˆ encia e unicidade da soluc¸˜ ao ......................... 2 1.4 P oblemas ...................................... 3 2 Equac¸ ˜ oes di e enciais de p imei a o dem 7 2.1 Equac¸ ˜ oes de a i´ a eis sepa ´ a eis .......................... 7 2.2 Equac¸ ˜ oes linea es .................................. 8 2.3 Equac¸ ˜ oes exa as ................................... 9 2.4 Equac¸ ˜ oes homog´ eneas ............................... 10 2.5 Equac¸˜ ao de Be noulli ................................ 13 2.6 Equac¸˜ ao de Ricca i ................................. 13 2.7 P oblemas ...................................... 14 3 Aplicac¸˜ oes das equac¸ ˜ oes di e enciais de p imei a o dem 17 3.1 C escimen o demog ´ a ico .............................. 17 3.1.1 Modelo de Mal hus ............................. 17 3.1.2 Modelo log´ ıs ico .............................. 17 3.2 Decaimen o adioa i o ............................... 18 3.3 T aje ´ o ias o ogonais ................................ 19 3.4 P oblemas de aquecimen o e a e ecimen o ..................... 21 3.5 Cin´ e ica qu´ ımica ................................... 21 3.6 P oblemas ...................................... 22 4 Equac¸ ˜ oes linea es de o dem 2 e supe io 25 4.1 Exis ˆ encia e unicidade da soluc¸˜ ao ......................... 25 4.2 Soluc¸˜ ao ge al das equac¸ ˜ oes linea es ........................ 25 4.3 Equac¸ ˜ oes linea es homog´ eneas ........................... 26 4.4 Independˆ encia linea en e unc¸ ˜ oes ......................... 26 i CONTE ´ UDO 4.5 Soluc¸˜ ao ge al das equac¸ ˜ oes linea es homog´ eneas ................. 27 4.6 M´ e odo de d’Alembe ............................... 27 4.7 Equac¸ ˜ oes linea es homog´ eneas de coe icien es cons an es ............. 28 4.7.1 Ra´ ızes eais di e en es ........................... 28 4.7.2 Ra´ ızes eais iguais ............................. 29 4.7.3 Ra´ ızes complexas .............................. 29 4.8 Equac¸˜ ao de Eule .................................. 30 4.8.1 Ra´ ızes eais di e en es ........................... 30 4.8.2 Ra´ ızes eais iguais ............................. 30 4.8.3 Ra´ ızes complexas ............................... 31 4.9 P oblemas ....................................... 31 5 Equac¸ ˜ oes linea es n˜ ao homog´ eneas 33 5.1 M´ e odo dos coe icien es inde e minados ...................... 33 5.1.1 Func¸ ˜ oes exponenciais ........................... 33 5.1.2 Polin´ omios ................................. 34 5.1.3 Func¸ ˜ oes seno ou co-seno .......................... 34 5.1.4 Exclus˜ ao de soluc¸ ˜ oes da equac¸˜ ao homog´ enea ............... 35 5.1.5 P odu os de polin´ omios, exponenciais e seno ou co-seno ......... 35 5.2 P incipio de sob eposic¸˜ ao .............................. 36 5.3 M´ e odo de a iac¸˜ ao de pa ˆ ame os ......................... 37 5.4 Equac¸ ˜ oes linea es de o dem supe io ........................ 39 5.5 P oblemas ...................................... 40 6 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es homog´ eneas 43 6.1 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as ............................... 43 6.2 Soluc¸ ˜ oes das equac¸ ˜ oes de di e enc¸as ........................ 43 6.3 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es .......................... 44 6.3.1 Independˆ encia linea en e sucess˜ oes .................... 45 6.4 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es com coe icien es cons an es ........... 45 6.4.1 Ra´ ızes eais di e en es ........................... 45 6.4.2 Ra´ ızes eais epe idas ............................ 46 6.4.3 Ra´ ızes complexas .............................. 46 6.5 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as incomple as ........................ 47 6.6 Equac¸ ˜ oes edu ´ ı eis a equac¸ ˜ oes de coe icien es cons an es ............ 47 6.7 Resoluc¸˜ ao de equac¸ ˜ oes n˜ ao linea es usando a unc¸˜ ao Gama ............ 48 6.8 P oblemas ...................................... 50 7 M´ e odo das s´ e ies 53 7.1 S´ e ies de Po ˆ encias ................................. 53 7.1.1 S´ e ie de Taylo ............................... 53 7.1.2 Algumas s´ e ies de McClau in impo an es ................. 54 7.2 M´ e odo das s´ e ies .................................. 54 7.2.1 Equac¸˜ ao de Ai y .............................. 55 7.3 M´ e odo de F obenius ................................ 57 7.3.1 Pon os singula es egula es ......................... 57 CONTE ´ UDO 7.4 Soluc¸˜ ao em s´ e ies em pon os singula es ...................... 60 7.5 P oblemas ...................................... 62 8 T ans o madas de Laplace 65 8.1 De inic¸˜ ao da ans o mada de Laplace ....................... 65 8.1.1 Condic¸ ˜ oes de exis ˆ encia da ans o mada de Laplace ........... 65 8.2 P op iedades da ans o mada de Laplace ..................... 66 8.2.1 Linea idade ................................. 66 8.2.2 De i ada da T ans o mada ......................... 66 8.2.3 T ans o mada da De i ada ......................... 66 8.2.4 Deslocamen o em s............................. 66 8.3 T ans o madas de Func¸ ˜ oes Elemen a es ...................... 67 8.4 C´ alculo de ans o madas in e sas ......................... 68 8.5 Resoluc¸˜ ao de equac¸ ˜ oes di e enciais po meio da ans o mada de Laplace . . . . 68 8.6 Equac¸ ˜ oes di e enciais linea es com coe icien es a i´ a eis ............. 69 8.7 Equac¸ ˜ oes di e enciais linea es com en ada descon ´ ınua .............. 69 8.8 Deslocamen o no dom´ ınio do empo ........................ 70 8.9 Impulso uni ´ a io .................................... 71 8.10 Con oluc¸˜ ao ..................................... 75 8.11 Resoluc¸˜ ao de equac¸ ˜ oes in eg o-di e enciais .................... 77 8.12 P oblemas ...................................... 77 9 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es n˜ ao homog´ eneas 81 9.1 T ans o mada Z .................................... 81 9.2 P op iedades da ans o mada Z .......................... 82 9.2.1 Linea idade da ans o mada Z ....................... 82 9.2.2 De i ada da ans o mada Z ........................ 82 9.2.3 T ans o mada da sucess˜ ao deslocada .................... 83 9.2.4 T ans o madas das sucess˜ oes de senos e co-senos ............. 83 9.3 Resoluc¸˜ ao de equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es n˜ ao homog´ eneas .......... 85 9.4 P oblemas ...................................... 87 10 Sis emas de equac¸ ˜ oes di e enciais 89 10.1 De inic¸˜ ao ...................................... 89 10.2 Sis emas de equac¸ ˜ oes linea es ........................... 90 10.3 M´ e odo de eliminac¸˜ ao ................................. 91 10.4 M´ e odo ma icial .................................. 92 10.4.1 Ve o es e alo es p ´ op ios ......................... 93 10.4.2 Soluc¸ ˜ oes undamen ais ........................... 94 10.4.3 Valo es p ´ op ios complexos ........................ 96 10.5 Ve o es p ´ op ios gene alizados ........................... 97 10.6 Sis emas linea es n˜ ao homog´ eneos com coe icien es cons an es .......... 98 10.7 P oblemas ...................................... 100 i CONTE ´ UDO 11 Equac¸ ˜ oes de de i adas pa ciais 103 11.1 In oduc¸˜ ao ...................................... 103 11.1.1 Equac¸˜ ao de ans e ˆ encia de calo ..................... 103 11.1.2 Equac¸˜ ao de onda .............................. 103 11.1.3 Equac¸˜ ao de Laplace ............................ 103 11.2 Resoluc¸˜ ao de equac¸ ˜ oes simples ........................... 104 11.3 M´ e odo da ans o mada de Laplace ........................ 104 11.4 T ans o madas de Fou ie .............................. 105 11.4.1 P odu o escala en e unc¸ ˜ oes ....................... 105 11.4.2 S´ e ie seno de Fou ie ............................ 105 11.4.3 S´ e ie co-seno de Fou ie .......................... 106 11.5 Resoluc¸˜ ao de EDPs usando ans o madas de Fou ie ............... 106 11.5.1 P op iedade ope acional .......................... 107 11.6 P oblemas ...................................... 110 Respos as aos p oblemas 111 Bibliog a ia 121 ´ Indice 122 Lis a de Figu as 3.1 Decaimen o exponencial de uma subs ˆ ancia adioa i a. .............. 19 3.2 Fam´ ılia de c´ ı culos com cen o na o igem e aje ´ o ias o ogonais. ........ 20 8.1 Fluxo de medicamen o, , pa a den o do sangue do pacien e. ........... 74 8.2 Decaimen o do medicamen o no sangue do pacien e. ............... 75 iii LISTA DE FIGURAS Lis a de Tabelas 8.1 P op iedades da ans o mada de Laplace. ..................... 73 9.1 T ans o madas Z. .................................. 84 4In oduc¸ ˜ ao 2. 1 4d2y dx22 −xdy dx+y=1−x2y(x) = x2 3. ∂2u ∂x2+∂2u ∂y2=0u(x,y) = a c any x 4. ∂2u ∂x2+∂2u ∂y2+∂2u ∂z2=0u(x,y,z) = 1 px2+y2+z2 Demons e que a elac¸˜ ao dada de ine uma soluc¸˜ ao impl´ ıci a da equac¸˜ ao di e encial. 5. yy0=e2xy2=e2x 6. y0=y2 xy −x2y=cey/x Os p oblemas 7 ao 11 s ˜ ao um es e ` a sua in ui c¸˜ ao (a ¡¡in ui c¸˜ ao¿¿ s ´ o se adqui e com alguma expe i ˆ encia e, po isso, ´ e impo an e analisa es es p oblemas e as suas solu c¸ ˜ oes). Em cada caso en e adi inha uma solu c¸˜ ao; a c¸ a alguma en a i a e e i ique se ´ e ou n ˜ ao solu c¸˜ ao. Diga se a soluc¸˜ ao que descob iu ´ e ge al ou pa icula . 7. dy dx=y(a unc¸˜ ao cuja de i ada ´ e igual a si p ´ op ia) 8. dy dx=y2(de i ada igual ao quad ado da unc¸˜ ao) 9. dy dx+y=1 10. dy dx+y=ex 11. d2y dx2=1 ( unc¸˜ ao cuja segunda de i ada ´ e igual a 1) Ve i ique que a unc¸˜ ao dada ´ e soluc¸˜ ao do p oblema de alo inicial 12. y00+3y0+2y0=0, y(0) = 0y0(0) = 1y(x) = e−x−e−2x 13. y00+4y=0, y(0) = 1y0(0) = 0y(x) = cos2x De e mine se o eo ema de Pica d implica a exis ˆ encia de uma solu c¸˜ ao ´ unica dos seguin es p oblemas de alo inicial, numa izinhanc¸a do alo inicial xdado. 14. y0−y=1y(0) = 3 15. y0=x3−y3y(0) = 0 16. y0=−x yy(1) = 0 1.4 P oblemas 5 17. O p oblema de alo inicial y0=2√y , y(0) = 0 , em um n ´ ume o in ini o de solu c¸ ˜ oes no in e alo [0,∞). (a) Demons e que y(x) = x2´ e uma soluc¸˜ ao. (b) Demons e que se ( c o um pa ˆ ame o posi i o, a seguin e amilia de un c¸ ˜ oes ( e igu a) se ˜ ao amb´ em soluc¸ ˜ oes y=0 0 ≤x<c (x−c)2c≤x Po que n˜ ao pode se cnega i o? (c) In e p e e es es esul ados em elac¸˜ ao ao eo ema de Pica d. x y 1 -1 1 2 y = (x - c)2 6In oduc¸ ˜ ao Cap´ ı ulo 2 Equac¸ ˜ oes di e enciais de p imei a o dem Exis em alguns ipos de equa c¸ ˜ oes o din ´ a ias de p imei a o dem que podem se esol idas anali ica- men e. Comecemos po es uda o caso mais simples das equa c¸ ˜ oes di e enciais de p imei a o dem , que s˜ ao as equac¸ ˜ oes da o ma dy dx= (x)(2.1) Esse ipo de equa c¸ ˜ oes esol em-se acilmen e, usando o eo ema undamen al do c ´ alculo in eg al y(x) = Z (x)dx+c(2.2) em que c´ e uma cons an e a bi ´ a ia que se ´ a de e minada pela condic¸˜ ao inicial do p oblema. 2.1 Equac¸ ˜ oes de a i´ a eis sepa ´ a eis Uma equac¸˜ ao ´ e designada de a i´ a eis sepa ´ a eis, se pode se esc i a na o ma dy dx= (x) g(y)(2.3) Pa a esol e es e ipo de equa c¸˜ ao p imei o obse emos que a p imi i a da un c¸˜ ao g(y) pode se calculada da seguin e o ma Zg(y)dy=Zg(y(x)) dy dxdx(2.4) A equac¸˜ ao di e encial pode se esc i a como g(y)dy dx= (x)(2.5) e a p imi i a em o dem a x do lado esque do ´ e igual ` a p imi i a em o dem a y de g(y) como acabamos de e Zg(y)dy=Z (x)dx+c(2.6) 8Equac¸ ˜ oes di e enciais de p imei a o dem As equac¸ ˜ oes do ipo dy dx= (ax +by +c)(2.7) onde a e b s ˜ ao cons an es, n ˜ ao s ˜ ao equa c¸ ˜ oes de a i ´ a eis sepa ´ a eis, mas podem se eduzidas a elas po meio da seguin e subs i uic¸˜ ao =ax +by +c=⇒d dx=a+bdy dx(2.8) 2.2 Equac¸ ˜ oes linea es As equac¸ ˜ oes linea es s˜ ao as que podem se esc i as na o ma dy dx+p(x)y= (x)(2.9) Pa a esol e es e ipo de equa c¸˜ ao podemos en a ans o ma-la na o ma simples es udada na se c¸˜ ao 2. No caso pa icula em que a un c¸˜ ao p o uma cons an e a , o lado esque do se ´ a semelhan e ` a seguin e de i ada dy dx(yeax) = eax(y0+ay)(2.10) consequen emen e, podemos mul iplica os dois lados da equa c¸˜ ao di e encial po exp(ax) e ob e - mos dy dx(yeax) = eax (x)(2.11) yeax =Zeax (x)dx+c No caso ge al em que p depende de x , usamos a p imi i a de p(x) em ez de ax e o a o in eg an e pelo qual de e emos mul iplica a equac¸˜ ao se ´ a µ(x) = exp"Zp(x)dx#(2.12) mul iplicando os dois lados da equac¸˜ ao di e encial po µob ´ em-se d dx(yµ(x)) = µ(x) (x)(2.13) yµ =Zµ(x) (x)dx+c Exemplo 2.1 Encon e a soluc¸ ˜ ao da equac¸ ˜ ao di e encial dy dx=y y3−2xy(2) = 1 2.3 Equac¸ ˜ oes exa as 9 A equa c¸˜ ao n ˜ ao ´ e de a i ´ a eis sepa ´ a eis, nem linea , mas se in e e mos a equa c¸˜ ao ob e emos dx dy=y3−2x y(2.14) a qual ´ e uma equac¸˜ ao linea . Esc i a na o ma pad ˜ ao dx dy+2 yx=y2(2.15) emos que o a o in eg an e ´ e µ=expZ2 ydy=y2(2.16) mul iplicando os dois lados da equac¸˜ ao po µob emos d dy(y2x) = y4(2.17) =⇒y2x=y5 5+C(2.18) Pa a calcula o alo da cons an e de in eg ac¸˜ ao, subs i u´ ımos a condic¸˜ ao inicial 2=1 5+C=⇒C=9 5(2.19) e a soluc¸˜ ao (de o ma impl´ ıci a) ´ e 5y2x=y5+9(2.20) 2.3 Equac¸ ˜ oes exa as Qualque equac¸˜ ao de p imei a o dem pode se esc i a em o ma di e encial: M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (2.21) es a o ma ´ e semelhan e ` a exp ess˜ ao da di e encial de uma unc¸˜ ao de duas a i´ a eis dF(x,y) = ∂F ∂xdx+∂F ∂ydy(2.22) Es a equa c¸˜ ao suge e-nos admi i que exis e uma un c¸˜ ao F(x,y) cujas de i adas pa ciais s ˜ ao iguais aM(x,y)eN(x,y). No en an o, a segunda de i ada pa cial de Fse ia ∂2F ∂x2y=∂M ∂y=∂N ∂x(2.23) Assim, pa a que a conje u a da exis ˆ encia da un c¸˜ ao F(x,y) seja consis en e, ´ e necess ´ a io que as unc¸ ˜ oes MeN e i iquem a seguin e condic¸˜ ao ∂M ∂y=∂N ∂x(2.24) 10 Equac¸ ˜ oes di e enciais de p imei a o dem nesse caso diz-se que a equac¸˜ ao ´ e uma equac¸ ˜ ao exa a e pode se esc i a como dF(x,y) = 0 (2.25) sendo a sua soluc¸˜ ao ge al F(x,y) = c(2.26) A un c¸˜ ao F calcula-se encon ando a un c¸˜ ao cujas de i adas pa ciais sejam iguais a M(x,y) e N(x,y). Exemplo 2.2 Resol a a seguin e equac¸ ˜ ao dy dx=9x2+y−1 4y−x(2.27) A equac¸˜ ao pode se esc i a da seguin e o ma di e encial (4y−x)dy−(9x2+y−1)dx=0 (2.28) e e i ica-se que ´ e uma equac¸˜ ao exa a: ∂ ∂x(4y−x) = −1=∂ ∂y(−9x2−y+1)(2.29) exis e uma unc¸˜ ao F(x,y) al que dF dy=4y−x=⇒F=2y2−xy + (x)(2.30) dF dx=−9x2−y+1=⇒F=−3x3−xy +x+g(y)(2.31) compa ando os dois esul ados pa a F emos que (x) = x−3x3(2.32) g(y) = 2y2(2.33) e a unc¸˜ ao F(x,y)´ e (pa a al´ em de uma cons an e que n˜ ao ´ e impo an e aqui) F(x,y) = 2y2−3x3−xy +x(2.34) a soluc¸˜ ao ge al da equac¸˜ ao di e encial ´ eFigual a uma cons an e 2y2−3x3−xy +x=c(2.35) 2.4 Equac¸ ˜ oes homog´ eneas Uma equac¸˜ ao de p imei a o dem diz-se homog´ enea se i e a seguin e o ma ge al dy dx= y x(2.36) 2.4 Equac¸ ˜ oes homog´ eneas 11 pa a esol e es e ipo de equac¸˜ ao usa-se a subs i uic¸˜ ao =y x=⇒dy dx= +xd dx(2.37) a qual ans o ma a equa c¸˜ ao numa equa c¸˜ ao de a i ´ a eis sepa ´ a eis. Pa a econhece acilmen e se uma un c¸˜ ao acional ´ e da o ma (y/x) obse am-se os expoen es de cada e mo no nume ado e denominado (soma do expoen e de x mais o expoen e de y ) os quais de e ˜ ao se iguais. Po exemplo das duas unc¸˜ oes seguin es a p imei a em a o ma (y/x)mas a segunda n˜ ao xy2−x3 yx2 xy +y 2+x(2.38) Exis em ou as equa c¸ ˜ oes que podem se eduzidas a equa c¸ ˜ oes homog ´ eneas. Um exemplo ´ ıpico ´ e a equac¸˜ ao dy dx= ax +by +c px +qy + (2.39) onde a,bc,p,q e s ˜ ao cons an es dadas. Se as cons an es c e ossem nulas, a equa c¸˜ ao se ia homog ´ enea; de inimos um no o sis ema de coo denadas (u, ) pa a subs i ui (x,y) , de o ma a ob e ax +by +c=au +b (2.40) px +qy + =pu +q (2.41) ou de o ma equi alen e a(x−u)+ b(y− ) = −c(2.42) p(x−u)+ q(y− ) = − (2.43) a soluc¸˜ ao des e sis ema de equac¸ ˜ oes linea es pode se ob ido po meio da eg a de C ame x−u=−c b − q   a b p q  y− = a−c p−   a b p q  (2.44) como os lados di ei os das equa c¸ ˜ oes 2.42 e2.43 s ˜ ao cons an es, amb ´ em emos que dx=du , dy=d e a equac¸˜ ao di e encial ans o ma-se numa equac¸˜ ao homog´ enea d du= au +b pu +q (2.45) Exemplo 2.3 Resol a o p oblema de alo inicial dy dx=x+y−3 x−y−1y(3) = 1 (2.46) 12 Equac¸ ˜ oes di e enciais de p imei a o dem Es a equa c¸˜ ao pode se eduzida a uma equa c¸˜ ao homog ´ enea, mudando as a i ´ a eis (x,y) pa a (u, )de inidas po x+y−3=u+ x−y−1=u− =⇒(x−u)+(y− ) = 3 (x−u)−(y− ) = 1(2.47) usando a eg a de C ame emos x−u= 3 1 1−1  1 1 1−1 =2 (2.48) y− = 1 3 1 1   1 1 1−1 =1 (2.49) x=u+2=⇒dx=du(2.50) y= +1=⇒dy=d (2.51) com es as subs i uic¸ ˜ oes, a equac¸˜ ao di e encial o na-se uma equac¸˜ ao homog´ enea d du=u+ u− (2.52) e pa a ans o m ´ a-la numa equa c¸˜ ao de a i ´ a eis sepa ´ a eis, de inimos uma no a a i ´ a el dependen e z z= u=⇒d du=z+dz du(2.53) Subs i uindo na equac¸˜ ao di e encial emos z+udz du=1+z 1−z(2.54) dz du=1 u1+z 1−z−z=z2+1 u(1−z) Es a ´ e uma equac¸˜ ao de a i´ a eis sepa ´ a eis que pode se in eg ada Z1−z z2+1dz=Zdu u+c(2.55) a c g(z)−1 2ln1+z2=lnu+c Pa a calcula o alo da cons an e c , emos que a condi c¸˜ ao inicial y(3) = 1 implica u=2 , =0 ez=0 a c g0 −ln1 2=ln2 +c=⇒a c gz−1 2ln(1+z2) = lnu(2.56) e, assim, a soluc¸˜ ao em unc¸˜ ao de xey´ e a c gy−1 x−2−1 2ln"1+y−1 x−22#=ln(x−2)(2.57) 2.5 Equac¸ ˜ ao de Be noulli 13 2.5 Equac¸ ˜ ao de Be noulli Um ipo de equa c¸˜ ao di e encial que pode se eduzida a equa c¸˜ ao linea , ´ e a chamada equac¸ ˜ ao de Be noulli, de inida como dy dx+p(x)yn= (x)y(2.58) onde n´ e um n´ ume o acional, di e en e de 0 e de 1. A subs i uic¸˜ ao =y1−n=⇒ 0= (1−n)y−ny0(2.59) ans o ma a equac¸˜ ao de Be noulli numa equac¸˜ ao linea . 2.6 Equac¸ ˜ ao de Ricca i Ou a equac¸˜ ao edu ´ ı el a equac¸˜ ao linea ´ e a equac¸˜ ao de Ricca i: dy dx=a(x)+ b(x)y+c(x)y(2.60) onde a(x) , b(x) e c(x) s ˜ ao ˆ es un c¸ ˜ oes que dependem de x . Se conhece mos uma solu c¸˜ ao pa icula da equa c¸˜ ao, po exemplo y1 , a seguin e mudan c¸ a de a i ´ a el ans o ma ´ a a equa c¸˜ ao em equa c¸˜ ao linea y=y1+1 =⇒dy dx=dy1 dx−1 2 d dx(2.61) Exemplo 2.4 Encon e a soluc¸ ˜ ao ge al da seguin e equac¸˜ ao sabendo que y1(x)´ e soluc¸ ˜ ao pa icula y0=exy2−y+e−xy1(x) = −e−xco x(2.62) T a a-se de uma equac¸˜ ao de Ricca i e pa a a esol e usamos a seguin e subs i uic¸˜ ao y=y1+1 =⇒y0=y0 1− 0 2(2.63) ´ e con enien e n ˜ ao subs i ui y1 pela un c¸˜ ao dada, j ´ a que o a o des a se solu c¸˜ ao da equa c¸˜ ao simpli ica ´ a os esul ados. Subs i uindo na equac¸˜ ao de Ricca i ob emos y0 1− 0 2=exy2 1+2y1 +1 2−y1−1 +e−x(2.64) 2y0 1−exy2 1+y1−e−x= 0+(2y1ex−1) +ex como y1´ e solu c¸˜ ao, o e mo nos pa ˆ en esis no lado esque do ´ e ze o e ob ´ em-se a seguin e equa c¸˜ ao linea pa a (x) 0−(2co x+1) =−ex(2.65) o a o in eg an e des a equac¸˜ ao linea ´ e µ(x) = expZ(−1−2co x)dx=exp[−x−2ln(sinx)] = e−x sin2x(2.66) 20 Aplicac¸ ˜ oes das equac¸ ˜ oes di e enciais de p imei a o dem A de i ada dy/dx ep esen a em cada pon o o decli e da cu a que passa po esse pon o. O decli e da cu a o ogonal se ´ a o in e so, com sinal ocado dy dx= ∂ ∂y ∂ ∂x (3.15) a soluc¸˜ ao ge al des a equac¸˜ ao ´ e a am´ ılia de aje ´ o ias o ogonais. Exemplo 3.1 Encon e as aje ´ o ias o ogonais da am´ ılia de c´ ı culos com cen o na o igem. A equac¸˜ ao dos c´ ı culos com cen o na o igem ´ e x2+y2=c2(3.16) onde o pa ˆ ame o c pode e qualque alo posi i o a equa c¸˜ ao di e encial cuja solu c¸˜ ao ge al ´ e essa am´ ılia de c´ ı culos ob ´ em-se po de i ac¸˜ ao impl´ ıci a 2x+2yy0=0=⇒dy dx=−dx dy(3.17) e a equac¸˜ ao di e encial das aje ´ o ias o ogonais ´ e dy dx=y x(3.18) A soluc¸˜ ao des a equac¸˜ ao de a i´ a eis sepa ´ a eis ´ e y=ax (3.19) que co esponde a uma am ´ ılia de e as que passam pela o igem; a cons an e de in eg a c¸˜ ao ´ e decli e das e as. A igu a 3.2 mos a a am´ ılia de cu as e as aje ´ o ias o ogonais . x y Figu a 3.2: Fam´ ılia de c´ ı culos com cen o na o igem e aje ´ o ias o ogonais. 3.4 P oblemas de aquecimen o e a e ecimen o 21 3.4 P oblemas de aquecimen o e a e ecimen o Ou a aplica c¸˜ ao das equa c¸ ˜ oes di e enciais de p imei a o dem s ˜ ao os p oblemas de aquecimen o e a e ecimen o. En e dois co pos em con a o exis e ans e ˆ encia de calo po condu c¸˜ ao, do co po mais quen e pa a o mais io. Se a empe a u a do obje o em qualque ins an e ´ e T( ) e a empe a u a do meio ambien e ´ e M( ) , o aumen o da empe a u a do obje o em qualque ins an e se ´ a di e amen e p opo cional ` a di e enc¸a de empe a u a com o meio ambien e dT d =k(M−T)(3.20) onde k´ e uma cons an e de condu c¸˜ ao ´ e mica. Es a equa c¸˜ ao ´ e uma equa c¸˜ ao linea que pode se acilmen e esol ida uma ez conhecida a empe a u a do meio M( ) . O caso mais simples ´ e quando a empe a u a do meio ambien e ´ e cons an e; nesse caso a equac¸˜ ao ´ e de a i´ a eis sepa ´ a eis ZdT M−T=Zkd +C=⇒T=M+(T0−M)e−k (3.21) onde T0´ e a empe a u a inicial. A empe a u a do obje o ap oxima-se assimp o icamen e ` a empe a- u a do meio. 3.5 Cin´ e ica qu´ ımica Conside emos uma ea c¸˜ ao qu ´ ımica de p imei a o dem na qual um compos o A eage dando o igem a ou os dois compos os B e C A−→B+C (3.22) Cada mol ´ ecula do compos o A em uma de e minada p obabilidade de eagi po unidade de empo. Assim, o n ´ ume o de mol ´ eculas que eagem po unidade de empo ´ e di e amen e p opo - cional ao n ´ ume o de mol ´ eculas exis en es, e a elocidade da ea c¸˜ ao ´ e di e amen e p opo cional ` a concen a c¸˜ ao [A] do compos o A (admi indo um olume cons an e). A medida que o compos o eage, a sua concen a c¸˜ ao diminui e a elocidade de ea c¸˜ ao amb ´ em; em qualque ins an e a axa de diminuic¸˜ ao de [A] ´ e di e amen e p opo cional a [A] d[A] d =−k[A](3.23) Es e ipo de ea c¸˜ ao designa-se de ea c¸˜ ao de p imei a o dem . A equa c¸˜ ao an e io ´ e a mesma equa c¸˜ ao ob ida pa a o decaimen o adioa i o, j ´ a que o mecanismo das ea c¸ ˜ oes de p imei a o dem e do decaimen o adioa i o s˜ ao an´ alogos, a n´ ı el a ´ omico e nuclea . Conside emos ago a uma ea c¸˜ ao na qual dois eagen es A e B combinam-se o mando um compos o C A+B−→C (3.24) Cada mol ´ ecula de A em uma de e minada p obabilidade c de eagi com uma mol ´ ecula de B (po unidade de empo); na p esen c¸ a NB mol ´ eculas do compos o B, a p obabilidade de eagi que em cada mol ´ ecula de A ´ e cNB . 1 Assim o n ´ ume o m ´ edio de ea c¸ ˜ oes po unidade de empo ´ e cNANB , 1´ E cla o que uma mol ´ ecula e ´ a maio p obabilidade de eagi com as mol ´ eculas izinhas do que com ou as mol ´ eculas a as adas, mas amos admi i que c´ e a p obabilidade m´ edia e pe manece cons an e 22 Aplicac¸ ˜ oes das equac¸ ˜ oes di e enciais de p imei a o dem sendo NA e NB o n ´ ume o de mol ´ eculas de A e B exis en es nesse ins an e; es e se ´ a amb ´ em o aumen o do nume o de mol´ eculas do compos o C, NC, po unidade de empo: dNC d =cNANB(3.25) Em unc¸˜ ao das concen ac¸ ˜ oes dos compos os A, B e C, a equac¸˜ ao di e encial ob ida ´ e dx d =k(a−x)(b−x)(3.26) onde x´ e a concen a c¸˜ ao do compos o C e a e b as concen a c¸ ˜ oes iniciais de A e de B. Es e ipo de eac¸ ˜ oes s˜ ao de segunda o dem. Exemplo 3.2 (P oblema de e apo ac¸˜ ao) Uma es e a de na aleno em um aio inicial de 1 cm e depois de ˆ es meses obse a-se que o aio diminuiu a ´ e0,5 cm. Calcule quan o empo a da ´ a a es e a em e apo a -se comple amen e. O olume da es e a s ´ olida que se e apo a em cada ins an e ´ e di e amen e p opo cional ` a ´ a ea da supe ´ ıcie dV d =−kA (3.27) onde V=4π 3/3´ e o olume da es e a, e A=4π 2 a ´ a ea da sua supe ´ ıcie. Subs i uindo na equac¸˜ ao di e encial, ob emos uma equac¸˜ ao simples pa a o aio da es e a d d =−k(3.28) a sua soluc¸˜ ao mos a que o aio diminui linea men e e unc¸˜ ao do empo: = 0−k (3.29) consequen emen e, se o aio diminuiu a me ade em ˆ es meses, a da ´ a ou os ˆ es meses a em chega a se ze o.  3.6 P oblemas 1. A an ´ alise qu ´ ımica de uma iga de pinho e i ada da umba dum a a ´ o Egipcio mos ou que o con e ´ udo de ca bono 14 ´ e 55% do exis en e num pinhei o i o. Sabendo que a meia- ida do ca bono 14 ´ e 5580 ±45 anos, calcule a idade da umba. 2. Segundo o Fac book da C.I.A., os dados demog ´ a icos pa a Po ugal em Julho de 1993 o am os seguin es: popula c¸˜ ao =10 486 140 habi an es, axa anual de na alidade =11,59 po mil, axa anual de mo alidade =9,77 po mil e axa anual de mig a c¸˜ ao =1,8 po mil. Admi indo que as ˆ es axas pe manecem cons an es en e 1993 e 1997, a c¸ a uma es ima i a da popula c¸˜ ao de Po ugal em Julho de 1997. 3. No p oblema an e io admi a que as axas de na alidade e mig a c¸˜ ao sejam cons an es a ´ e ao ano 2000, enquan o a axa de mo alidade ´ e di e amen e p opo cional ` a popula c¸˜ ao (modelo log ´ ıs ico). Calcule qual se ia nes e modelo a popula c¸˜ ao em Julho do ano 2000 (a cons an e de p opo cionalidade da axa de mo alidade calcula-se ´ acilmen e a pa i dos dados iniciais). 3.6 P oblemas 23 4. A in ensidade luminosa num lago ou no ma diminui exponencialmen e em un c¸˜ ao da p o un- didade, como esul ado da abso c¸˜ ao da luz po pa e da ´ agua. Se 7,6 me os de ´ agua abso em 15% da in ensidade da luz inciden e na supe ´ ıcie, a que p o undidade se ia a luz do meio dia ˜ ao in ensa como a luz da lua cheia sob e a Te a? (a luz da lua cheia sob e a Te a ´ e 300 000 ezes mais aca que a luz do sol a meio dia). 5. Numa ea c¸˜ ao qu ´ ımica de segunda o dem dois eagen es A e B combinam-se o mando um compos o C ( A+B−→C ). Cada mol ´ ecula de A em uma p obabilidade de eagi com B (po unidade de empo) di e amen e p opo cional ao n ´ ume o de mol ´ eculas de B exis en es: p obabilidade =cNB , em que c´ e uma cons an e e NB o n ´ ume o de mol ´ eculas de B. Assim o n ´ ume o m ´ edio de ea c¸ ˜ oes po unidade de empo ´ e cNANB , sendo NA e NB o n ´ ume o de mol´ eculas de A e B exis en es nesse ins an e. (a) Demons e que em qualque ins an e a concen a c¸˜ ao x do compos o C (em moles po unidade de olume) e i ica a seguin e equac¸˜ ao dx d =k(a−x)(b−x) onde a e b s ˜ ao as concen a c¸ ˜ oes iniciais de A e B, no ins an e =0 quando a concen a- c¸˜ ao de C ´ e ze o, e k´ e uma cons an e (admi a o olume cons an e). (b) Encon e a soluc¸˜ ao da equac¸˜ ao an e io pa a a cons an e ke a concen ac¸˜ ao x. (c) Quando a concen a c¸˜ ao de um dos eagen es ´ e mui o maio , po exemplo ab , o e mo a−x pe manece p ´ a icamen e cons an e e mui o pe o do alo inicial a . Resol a a equac¸˜ ao di e encial com a di a ap oximac¸˜ ao. (d) Resol a a equa c¸˜ ao di e encial da al ´ ınea ano caso pa icula de concen a c¸ ˜ oes iguais pa a os dois eagen es (a=b). 6. Encon e as aje ´ o ias o ogonais da amilia de elipses 4x2+y2=c. 7. A cons an e de empo (in e sa da cons an e de ans e ˆ encia ´ e mica k ) de um p ´ edio ´ e 1/k=1 dia. N ˜ ao exis em sis emas de aquecimen o ou a condicionado den o do p ´ edio. A empe a u a ex e io oscila em o ma senoidal en e o m ´ ınimo de 5◦ C ` as 2 ho as e o m ´ aximo de 25 ◦C` as 14 ho as. (a) Encon e a equa c¸˜ ao di e encial pa a a empe a u a den o do p ´ edio. (suges ˜ ao: use o empo em dias, com o igem num dia qualque ` as 8 ho as quando a empe a u a ex e na em o alo m´ edio) (b) Encon e a soluc¸˜ ao de es ado es acion´ a io ( alo es ele ados de ). (c) Quais se ˜ ao as empe a u as m´ axima e m´ ınima den o do p ´ edio? 24 Aplicac¸ ˜ oes das equac¸ ˜ oes di e enciais de p imei a o dem Cap´ ı ulo 4 Equac¸ ˜ oes linea es de o dem 2 e supe io Uma equac¸˜ ao di e encial linea de o dem n em a o ma ge al a0(x)y(n)+a1(x)y(n−1)+...+an−1(x)y0+an(x)y=g(x)(4.1) onde a0´ e di e en e de ze o (se n ˜ ao osse, e ´ ıamos uma equa c¸˜ ao de o dem n−1 ). Po simplicidade es uda emos a equa c¸˜ ao de o dem 2, mais os esul ados ob idos se ˜ ao acilmen e gene alizados ao caso de o dem n . Di idindo os dois lados da equa c¸˜ ao linea de segunda o dem po a0 , ob ´ em-se a o ma pad ˜ ao y00+p(x)y0+q(x)y= (x)(4.2) 4.1 Exis ˆ encia e unicidade da soluc¸ ˜ ao Teo ema 2 Se as un c¸ ˜ oes p(x) , q(x) e (x) s ˜ ao con ´ ınuas num in e alo (a,b) , exis e uma ´ unica solu c¸ ˜ ao da equac¸ ˜ ao linea y00+p(x)y0+q(x)y= (x)(4.3) no in e alo (a,b), que e i ica as condic¸ ˜ oes iniciais y(c) = A y0(c) = B(4.4) pa a quaisque n´ ume os A, B e c (c den o do in e alo (a,b)). Em con as e com o eo ema de Pica d pa a equa c¸ ˜ oes de p imei a o dem, o in e alo onde se e i icam as condi c¸ ˜ oes de exis ˆ encia e unicidade ´ e exa amen e o mesmo in e alo onde a solu c¸˜ ao ´ e ´ alida; po an o, nes e caso as condi c¸ ˜ oes do eo ema de exis ˆ encia e unicidade s ˜ ao condi c¸ ˜ oes su icien es e necess´ a ias. No caso ge al de o dem n , as condi c¸ ˜ oes iniciais se ˜ ao o alo da un c¸˜ ao e das p imei as n−1 de i adas num pon o c , e as condi c¸ ˜ oes de exis ˆ encia e unicidade se ˜ ao a con inuidade das n+1 unc¸ ˜ oes que apa ecem na o ma pad ˜ ao da equac¸˜ ao. 4.2 Soluc¸ ˜ ao ge al das equac¸ ˜ oes linea es Dadas duas solu c¸ ˜ oes pa icula es da equa c¸˜ ao linea , a di e en c¸ a en e elas ´ e solu c¸˜ ao da equa c¸˜ ao homog´ enea associada y00+p(x)y0+q(x)y=0 (4.5) 26 Equac¸ ˜ oes linea es de o dem 2 e supe io De manei a ec ´ ıp oca, qualque soma de uma solu c¸˜ ao da equa c¸˜ ao linea mais uma solu c¸˜ ao da equa c¸˜ ao homog ´ enea associada, ´ e amb ´ em solu c¸˜ ao da equa c¸˜ ao linea . Assim a solu c¸˜ ao ge al pode se ob ida a pa i de uma ´ unica solu c¸˜ ao pa icula , yp , da equa c¸˜ ao mais a solu c¸˜ ao ge al da equa c¸˜ ao homog´ enea associada, yh yg=yp+yh(4.6) Pa a esol e uma equa c¸˜ ao linea come c¸ amos po esol e a equa c¸˜ ao linea homog ´ enea associ- ada e depois encon amos uma soluc¸˜ ao pa icula yp. 4.3 Equac¸ ˜ oes linea es homog´ eneas A o ma ge al da equac¸˜ ao linea homog´ enea de segunda o dem ´ e y00+p(x)y0+q(x)y=0 (4.7) dadas duas soluc¸ ˜ oes pa icula es y1ey2, qualque combinac¸˜ ao linea das duas soluc¸ ˜ oes c1y+c2y(4.8) ´ e amb ´ em solu c¸˜ ao. Consequen emen e as solu c¸ ˜ oes da equa c¸˜ ao o mam um espa c¸ o e o ial. Pa a de e mina a solu c¸˜ ao ge al bas a ´ a com de e mina uma base do espa c¸ o e o ial, ou seja um conjun o com o n ´ ume o m ´ aximo poss ´ ı el de solu c¸ ˜ oes pa icula es linea men e independen es. A con inuac¸˜ ao e emos como de e mina se duas soluc¸˜ oes s˜ ao linea men e independen es. 4.4 Independˆ encia linea en e unc¸ ˜ oes Diz-se que duas un c¸ ˜ oes (x) e g(x) s ˜ ao linea men e dependen es se exis em duas cons an es C1 e C2(pelo menos uma de elas di e en e de ze o) al que C1 +C2g=0 (4.9) pa a qualque alo de x. A de i ada da exp ess˜ ao an e io ´ e C1 0+C2g0=0 (4.10) Pa a cada alo de x , as duas ´ ul imas equa c¸ ˜ oes s ˜ ao um sis ema linea . O de e minan e do sis ema ´ e W[ ,g] =  g 0g0 (4.11) e designa-se W onskiano das un c¸ ˜ oes e g . Se o W onskiano o di e en e de ze o num in e alo, as duas cons an es se ˜ ao nulas e as un c¸ ˜ oes linea men e independen es no in e alo. Realmen e amb ´ em exis em casos em que as un c¸ ˜ oes s ˜ ao linea men e independen es e o W onskiano ´ e nulo em alguns pon os isolados, mas esses casos n ˜ ao apa ecem no es udo das solu c¸ ˜ oes das equa c¸ ˜ oes linea es, como e emos na seguin e sec¸˜ ao. 4.5 Soluc¸ ˜ ao ge al das equac¸ ˜ oes linea es homog´ eneas 27 4.5 Soluc¸ ˜ ao ge al das equac¸ ˜ oes linea es homog´ eneas Teo ema 3 Se y1e y2s˜ ao duas soluc¸ ˜ oes pa icula es da equac¸ ˜ ao linea homog´ enea y00+p(x)y0+q(x)y=0 (4.12) num in e alo (a,b) , e se num pon o x0 den o do in e alo o W onskiano das duas solu c¸ ˜ oes ´ e di e en e de ze o, en ˜ ao o W onskiano se ´ a di e en e de ze o em qualque ou o pon o no in e alo (a,b)e as soluc¸ ˜ oes se ˜ ao linea men e independen es no in e alo. Uma combina c¸˜ ao linea das duas solu c¸ ˜ oes ´ e amb ´ em solu c¸˜ ao; as condi c¸ ˜ oes iniciais pa a essa soluc¸˜ ao se ˜ ao C1y1(c)+C2y2(c) = A(4.13) C1y0 1(c)+C2y0 2(c) = B(4.14) pa a quaisque alo es iniciais A e B exis e semp e solu c¸˜ ao ´ unica C1 e C2 , j ´ a que o de e minan e des e sis ema linea ´ e exa amen e o W onskiano das duas solu c¸ ˜ oes, o qual ´ e di e en e de ze o. Qualque soluc¸˜ ao pa icula pode se ob ida a pa i de uma combinac¸˜ ao linea das duas soluc¸ ˜ oes yg=C1y1+C2y2(4.15) sendo es a a soluc¸˜ ao ge al. 4.6 M´ e odo de d’Alembe O m ´ e odo de d’Alembe pe mi e ans o ma uma equa c¸˜ ao di e encial linea de o dem n numa ou a equa c¸˜ ao linea de o dem n−1 , a pa i de uma solu c¸˜ ao pa icula conhecida. No caso das equa c¸ ˜ oes linea es homog ´ eneas de segunda o dem, es e m ´ e odo pe mi e calcula a solu c¸˜ ao ge al a pa i de uma soluc¸˜ ao pa icula . Se y1´ e soluc¸˜ ao pa icula da equac¸˜ ao linea homog´ enea y00+p(x)y0+q(x)y=0 (4.16) a subs i uic¸˜ ao y= y1(4.17) conduz a uma equac¸˜ ao de p imei a o dem pa a a unc¸˜ ao 0 d 0 dx=2y0 1 y1 0+p 0(4.18) conside ando como a i ´ a el independen e a un c¸˜ ao 0 , es a ´ e uma equa c¸˜ ao linea de p imei a o dem, que pode se esol ida usando o m ´ e odo in oduzido no Cap ´ ı ulo 2pa a ob e 0 . A p imi i a de 0 d´ a a unc¸˜ ao , que mul iplicada po y1conduz ` a soluc¸˜ ao ge al da equac¸˜ ao 4.16. Exemplo 4.1 Sabendo que y1´ e soluc¸ ˜ ao da equac¸ ˜ ao di e encial dada, encon e a soluc¸ ˜ ao ge al (x2+1)y00−2xy0+2y=0y1(x) = x(4.19) 28 Equac¸ ˜ oes linea es de o dem 2 e supe io A soluc¸˜ ao ge al encon a-se usando o m´ e odo de D’Alembe y= y1(4.20) (x2+1)( y00 1+2 0y0 1+ 00y1)−2x( y0 1+ 0y1)+ 2 y1=0 (x2+1)(2 0y0 1+ 00y1)−2x 0y1=0 x(x2+1) 00+2 0=0 Es a ´ ul ima equa c¸˜ ao pode se conside ada uma equa c¸˜ ao de p imei a o dem em que a a i ´ a el dependen e ´ e 0. Sepa ando as a i´ a eis e in eg ando ob ´ em-se Zd 0 0=−2Zdx x(x2+1)+C 0=C1 x2−1 +C2x =C1x−1 x+C2 y=C1(x−1)+C2x 4.7 Equac¸ ˜ oes linea es homog´ eneas de coe icien es cons an es A equac¸˜ ao y00+by0+cy =0 (4.21) onde b e c s ˜ ao duas cons an es, ´ e uma equa c¸˜ ao linea homog ´ enea de coe icien es cons an es. A solu c¸˜ ao des e ipo de equa c¸˜ ao se ´ a uma un c¸˜ ao que seja linea men e dependen e das sua p imei a e segunda de i adas, j ´ a que a equa c¸˜ ao 4.21 com b e c n ˜ ao nulos indica que as ˆ es un c¸ ˜ oes s ˜ ao linea men e dependen es. Uma un c¸˜ ao cuja de i ada n ˜ ao ´ e linea men e independen e de si ´ e a unc¸˜ ao exponencial; consequen emen e espe amos que exis a alguma soluc¸˜ ao pa icula da o ma y=e x (4.22) onde ´ e uma cons an e. Pa a que essa unc¸˜ ao seja soluc¸˜ ao se ´ a p eciso que y00+by0+cy = 2e x +b e x +ce x =0 (4.23) como a exponencial nunca ´ e igual a ze o 2+b +c=0 (4.24) Es e polin ´ omio designa-se polin´ omio ca a e ´ ıs ico . As duas a ´ ızes podem se eais ou com- plexas e e emos 3 casos: 4.7.1 Ra´ ızes eais di e en es Po cada uma das duas a ´ ızes ob emos uma solu c¸˜ ao pa icula . ´ E ´ acil demons a que o W onskiano das duas soluc¸ ˜ oes co esponden es ´ e n˜ ao nulo e po an o a soluc¸˜ ao ge al se ´ a yg=C1e 1x+C2e 2x(4.25) 4.7 Equac¸ ˜ oes linea es homog´ eneas de coe icien es cons an es 29 4.7.2 Ra´ ızes eais iguais Se os coe icien es do polin´ omio ca a e ´ ıs ico e i ica em a elac¸˜ ao b2−4c=0 (4.26) exis e uma ´ unica aiz eal =−b/2. A ´ unica soluc¸˜ ao exponencial ´ e y1=e x (4.27) mul iplicada po qualque cons an e a bi ´ a ia. Pa a encon a a solu c¸˜ ao ge al usa-se o m ´ e odo de d’Alembe y= y1 00 = (−2 −b) 0(4.28) como a aiz da equa c¸˜ ao ca a e ´ ıs ica ´ e =−b/2 , ob emos uma equa c¸˜ ao simples que pe mi e calcula 0 00 =0=⇒ =C1+C2x(4.29) A soluc¸˜ ao ge al ´ e yg= (C1+C2x)e x (4.30) 4.7.3 Ra´ ızes complexas Nes e caso uma das a ´ ızes ´ e =a+ib ( a e b eais) e a ou a ´ e o complexo conjugado. A solu c¸˜ ao ob ida ´ e uma unc¸˜ ao complexa z=e(α+iβ)x=eαxeiβxeαxcos(βx)+ isin(βx)(4.31) ´ E ´ acil mos a que se y´ e solu c¸˜ ao, as suas pa es eal e imagin ´ a ia amb ´ em o s ˜ ao. Temos assim duas solu c¸ ˜ oes eais (pa e eal e imagin ´ a ia de z ) que s ˜ ao linea men e independen es e a solu c¸˜ ao ge al se ´ a yg=C1eαxcos(βx)+C2eαxsin(βx)(4.32) Exemplo 4.2 Encon e a soluc¸ ˜ ao ge al de y00+2y0+8y=0 (4.33) O polin´ omio ca a e ´ ıs ico ´ e 2+2 +8=0 (4.34) Com duas a´ ızes complexas 1=−1+i√7 2=−1−i√7 (4.35) A soluc¸˜ ao ge al ´ e y=e−xC1sin(√7x)+C2cos(√7x)(4.36) 36 Equac¸ ˜ oes linea es n˜ ao homog´ eneas Exemplo 5.1 Encon e a soluc¸ ˜ ao do seguin e p oblema de alo es iniciais y00+4y0+4y=cos(2x)y(π) = 0y0(π) = 1 (5.27) O polin´ omio ca a e ´ ıs ico ´ e 2+4 +4= ( +2)2=0 (5.28) exis e uma ´ unica aiz, epe ida, de manei a que a soluc¸˜ ao ge al da equac¸˜ ao homog´ enea ´ e yh=C1e−2x+C2xe−2x(5.29) uma soluc¸˜ ao pa icula da equac¸˜ ao n˜ ao homog´ enea e ´ a a o ma yp=Acos(2x)+ Bsin(2x)(5.30) de i ando e subs i uindo na equa c¸˜ ao di e encial, ´ e poss ´ ı el calcula os coe icien es inde e minados AeB −8Asin(2x)+ 8Bcos(2x) = cos(2x)(5.31) O que implica A=0 e B=1/8. A soluc¸˜ ao ge al ´ e y= (C1+C2x)e−2x+1 8sin(2x)(5.32) a sua de i ada ´ e y0= (−2C1+C2−2C2x)e−2x+1 4cos(2x)(5.33) As condic¸ ˜ oes iniciais dadas s˜ ao y(π) = (C1+πC2)e−2π=0 (5.34) y0(π) = (−2C1+C2−2πC2)e−2π+1 4=1 (5.35) mul iplicando as duas equac¸ ˜ oes po exp(2π), ob ´ em-se o seguin e sis ema de equac¸˜ oes linea es 1π −2 1 −2πC1 C2=0 3 4e2π(5.36) e a soluc¸˜ ao do p oblema de alo inicial ´ e y=3 4(x−π)e2(π−x)+1 8sin(2x)(5.37) 5.2 P incipio de sob eposic¸ ˜ ao As solu c¸ ˜ oes de uma equa c¸˜ ao di e encial n ˜ ao homog ´ enea n ˜ ao cons i uem um sub-espa c¸ o e o ial, pois uma combina c¸˜ ao linea de duas solu c¸ ˜ oes n ˜ ao ´ e necessa iamen e solu c¸˜ ao da equa c¸˜ ao. No en an o exis e uma p op iedade de linea idade impo an e, chamada p incipio de sob eposi c¸˜ ao. Conside emos, po exemplo, a equac¸˜ ao de segunda o dem y00+p(x)y0+q(x)y= (x)(5.38) 5.3 M´ e odo de a iac¸ ˜ ao de pa ˆ ame os 37 com uma soluc¸˜ ao y1, e a equac¸˜ ao y00+p(x)y0+q(x)y=g(x)(5.39) com ou a soluc¸˜ ao y2.´ E ´ acil con e i que pa a quaisque cons an es AeB Ay1+By2(5.40) ´ E soluc¸˜ ao da equac¸˜ ao y00+p(x)y0+q(x)y=A (x)+ Bg(x)(5.41) Pa a ap ecia a u ilidade des e p incipio na esolu c¸˜ ao de equa c¸ ˜ oes di e enciais conside emos o seguin e exemplo y00+y0+2y=5x+3ex(5.42) a unc¸˜ ao y=x+A´ e soluc¸˜ ao de: y00+y0+2y=1+2(x+A) = 2x+A+1 (5.43) po an o, y=x−1´ e soluc¸˜ ao da equac¸˜ ao com lado di ei o igual a 2x. Pa a a exponencial emos y=ex=⇒y00+y0+2y=4ex(5.44) o lado di ei o da equac¸˜ ao inicial ´ e 5(2x) 2+3(4ex) 4(5.45) e aplicando o p inc´ ıpio de sob eposic¸˜ ao uma soluc¸˜ ao se ´ a 5 2(x−1)+ 3 4ex(5.46) 5.3 M´ e odo de a iac¸˜ ao de pa ˆ ame os Es e m ´ e odo ´ e ´ alido pa a qualque equa c¸˜ ao linea , e n ˜ ao apenas pa a equa c¸ ˜ oes com coe icien es cons an es. No en an o ´ e p eciso p imei o conhece a solu c¸˜ ao ge al da equa c¸˜ ao homog ´ enea co esponden e. Conside emos uma equac¸˜ ao linea ge al de segunda o dem y00+p(x)y0+q(x)y= (x)(5.47) Se a soluc¸˜ ao da equac¸˜ ao homog´ enea o y=C1y1+C2y2(5.48) admi imos que a soluc¸˜ ao ge al da equac¸˜ ao ´ e y=u1y1+u2y2(5.49) onde u1 e u2 s ˜ ao duas un c¸ ˜ oes. ´ E de salien a que qualque un c¸˜ ao pode se esc i a na o ma an e io e incluso as un c¸ ˜ oes u n ˜ ao s ˜ ao ´ unicas embo a sejam di ´ ıceis de calcula ; no en an o o m ´ e odo de a ia c¸˜ ao de pa ˆ ame os conduz a um sis ema linea que pode se esol ido acilmen e. Como emos 38 Equac¸ ˜ oes linea es n˜ ao homog´ eneas alguma libe dade na de ini c¸˜ ao das un c¸ ˜ oes u , p ocu amos duas un c¸ ˜ oes que e i iquem a seguin e equac¸˜ ao u0 1y1+u0 2y2=0 (5.50) a segunda condi c¸˜ ao pa a de e mina as duas un c¸ ˜ oes desconhecidas ob ˆ em-se po subs i ui c¸˜ ao na equac¸˜ ao di e encial y0=u1y0 1+u2y0 2(5.51) y00 =u0 1y0 1+u0 2y0 2+u1y00 1+u2y00 2(5.52) y00+py0+qy =u0 1y0 1+u0 2y0 2+u1(y00 1+py0 1+qy1)+ u2(y00 2+py0 2+qy2)(5.53) os e mos den o dos pa ˆ en esis s ˜ ao nulos, j ´ a que an o y1 como y2 s ˜ ao solu c¸ ˜ oes da equa c¸˜ ao homog´ enea. Ob emos assim u0 1y0 1+u0 2y0 2= (5.54) es a equa c¸˜ ao jun o com a equa c¸˜ ao 5.50, cons i ui um sis ema linea de duas equa c¸ ˜ oes que pe mi em calcula as unc¸ ˜ oes u0 1eu0 2 y1y2 y0 1y0 2 u0 1 u0 2=0 (5.55) O de e minan e do sis ema ´ e o W onskiano das duas solu c¸ ˜ oes da equa c¸˜ ao homog ´ enea, o qual ´ e di e en e de ze o e po an o exis e solu c¸˜ ao ´ unica pa a as de i adas das un c¸ ˜ oes u . Po p imi i a c¸˜ ao ob ˆ em-se logo as unc¸ ˜ oes ue a soluc¸˜ ao da equac¸˜ ao n˜ ao homog´ enea. Exemplo 5.2 De e mine a soluc¸ ˜ ao ge al da equac¸ ˜ ao x2y00−2xy0+2y=x3sinx(5.56) A equac¸˜ ao dada ´ e uma equac¸˜ ao de Cauchy-Eule ; a equac¸˜ ao ca a e ´ ıs ica ´ e ( −1)−2 +2= ( −1)( −2) = 0 (5.57) e consequen emen e a soluc¸˜ ao ge al da equac¸˜ ao homog´ enea associada ´ e yh=C1x+C2x2(5.58) admi imos que a soluc¸˜ ao ge al da equac¸˜ ao n˜ ao homog´ enea ´ e y=u1x+u2x2(5.59) e seguindo o m´ e odo de a iac¸˜ ao de pa ˆ ame os ob emos xu0 1+x2u0 2=0 (5.60) u0 1+2xu0 2=xsinx(5.61) o de e minan e do sis ema de equac¸ ˜ oes ´ e 2x2−x2=x2(5.62) 5.4 Equac¸ ˜ oes linea es de o dem supe io 39 e a soluc¸˜ ao ´ e u0 1=1 x2 0x2 xsinx2x =−xsinx(5.63) u0 2=1 x2 x0 1xsinx =sinx(5.64) e as p imi i as s˜ ao u1=xcosx−sinx+C1(5.65) u2=−cosx+C2(5.66) A soluc¸˜ ao ge al da equac¸˜ ao ´ e y=C1x+C2x2−xsinx(5.67) 5.4 Equac¸ ˜ oes linea es de o dem supe io Os m´ e odos que emos is o gene alizam-se acilmen e a qualque equac¸˜ ao linea de o dem n: a0(x)y(n)+a1(x)y(n−1)+...+an−1(x)y0+an(x)y= (x)(5.68) A soluc¸˜ ao ge al da equac¸˜ ao homog´ enea co esponden e ´ e yh=C1y1+C2y2+...+Cnyn(5.69) onde as un c¸ ˜ oes yi s ˜ ao solu c¸ ˜ oes linea men e independen es. Se yp o uma solu c¸˜ ao pa icula da equac¸˜ ao n˜ ao homog´ enea, a soluc¸˜ ao ge al da equac¸˜ ao n˜ ao homog´ enea se ´ a y=yp+yh(5.70) Pa a encon a uma solu c¸˜ ao pa icula em alguns casos pode-se usa o m ´ e odo de coe icien es inde e minados, igual que no caso n=2 . O m ´ e odo de a ia c¸˜ ao de pa ˆ ame os consis e em admi i uma o ma especial pa a a soluc¸˜ ao ge al: y=u1y1+u2y2+...+unyn(5.71) o qual conduz a um sis ema linea de equa c¸ ˜ oes com de e minan e igual ao W onskiano das n un c¸ ˜ oes yi e lado di ei o igual a n−1 ze os e /a0 . A solu c¸˜ ao do sis ema s ˜ ao as de i adas das unc¸ ˜ oes ue po p imi i ac¸˜ ao de cada uma delas chega-se ` a soluc¸˜ ao ge al. Dadas ncondic¸ ˜ oes iniciais y(x0) = y0y0(x0) = y0 0...y(n−1)(x0) = y(n−1) 0(5.72) Exis e um ´ unico conjun o de cons an es Cque de e minam a soluc¸˜ ao ´ unica do p oblema. Exemplo 5.3 Encon e a soluc¸ ˜ ao ge al de x3y000−3x2y00+6xy0−6y=5x(5.73) 40 Equac¸ ˜ oes linea es n˜ ao homog´ eneas ´ E uma equac¸˜ ao de Eule e, po an o, em soluc¸ ˜ oes pa icula es da o ma y=x (5.74) po subs i uic¸˜ ao na equac¸˜ ao di e encial homog´ enea ob ´ em-se o polin´ omio ca a e ´ ıs ico ( −1)( −2)−3 ( −1)+6 −6=0 (5.75) ( −1) ( −2)−3 +6=0 (5.76) ( −1)( −2)( −3) = 0 (5.77) exis em ˆ es a ´ ızes eais di e en es, =1 , =2 e =3 , a solu c¸˜ ao ge al da equa c¸˜ ao homog ´ enea se ´ a yh=C1x+C2x2+C3x3(5.78) usando o m ´ e odo de a ia c¸˜ ao de pa ˆ ame os, admi imos que a solu c¸˜ ao da equa c¸˜ ao n ˜ ao homog ´ enea ´ e y=u1x+u2x2+u3x3(5.79) Pa a de e mina as ˆ es un c¸ ˜ oes u , se ˜ ao p ecisas al ´ em da equa c¸˜ ao di e encial, mais duas condi c¸ ˜ oes a bi ´ a ias: xu0 1+x2u0 2+x3u0 3=0 (5.80) u0 1+2xu0 2+3x2u0 3=0 (5.81) com es as condic¸ ˜ oes as de i adas de ys˜ ao y0=u1+2xu2+3x2u3(5.82) y00 =2u2+6xu3(5.83) y000 =2u0 2+6xu0 3+6u3(5.84) e depois de subs i ui na equac¸˜ ao di e encial e simpli ica , chegamos ` a equac¸˜ ao 2u0 2+6xu0 3=5 x2(5.85) as ˆ es condic¸ ˜ oes pa a de e mina as unc¸ ˜ oes upodem se esc i as na o ma ma icial   x x2x3 1 2x3x2 0 2 6x   0 1 0 2 0 3  =  0 0 5/x2 (5.86) As de i adas das ˆ es un c¸ ˜ oes ui ob ˆ em-se a a ´ es da eg a de C ame e as suas p imi i as pe mi em encon a a soluc¸˜ ao ge al.  5.5 P oblemas Encon e a soluc¸˜ ao ge al das seguin es equac¸˜ oes pelo m´ e odo de coe icien es inde e minados 1. y00+y0−2y=3−6x 5.5 P oblemas 41 2. y00−y=xsinx 3. y00−4y0+4y=xe2x Encon e a soluc¸˜ ao ge al das seguin es equac¸˜ oes pelo m´ e odo de a iac¸˜ ao de pa ˆ ame os 4. y00+y0=e−x 5. y00+4y= g(2x) 6. x2y00+xy0−4y=x2+x4 Sabendo que y1(x) e y2(x) s ˜ ao solu c¸ ˜ oes linea men e independen es da equa c¸˜ ao homog ´ enea co es- ponden e, encon e uma soluc¸˜ ao pa icula da equac¸˜ ao n˜ ao homog´ enea 7. (1−x)y00+xy0−y=2(x−1)2e−xy1=x,y2=ex 8. y00+y0 x+1−1 4x2y=1 √xy1=sinx √x,y2=cosx √x 42 Equac¸ ˜ oes linea es n˜ ao homog´ eneas Cap´ ı ulo 6 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es homog´ eneas 6.1 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as Uma equa c¸˜ ao de di e en c¸ as, ou ´ o mula de eco ˆ encia, ´ e uma ela c¸˜ ao en e os e mos de uma sucess˜ ao. Usa emos a seguin e no ac¸˜ ao pa a sucess˜ oes: {yn}={y0,y1,y2,y3,...}(6.1) Um exemplo de equac¸˜ ao de di e enc¸as ´ e a seguin e (n+2)yn+1−3yn=n2+2 (6.2) a equa c¸˜ ao an e io implica que pa a cada alo de n en e ze o e in ini o o e mo de o dem n+1 na sucess ˜ ao, mul iplicado po n+2 e menos 3 ezes o e mo de o dem n , ´ e igual a n2+2 . Podemos amb´ em conside a a y(n+1)como a sucess˜ ao ob ida eliminando y0na sucess˜ ao inicial: {yn+1}={y1,y2,y3,y4,...}(6.3) e assim, a equa c¸˜ ao de di e en c¸ as ´ e uma ela c¸˜ ao en e os e mos de duas sucess ˜ oes. A ope a c¸˜ ao de elimina c¸˜ ao do e mo inicial na sucess ˜ ao joga um papel semelhan e ao da de i ada no caso de equa c¸ ˜ oes di e enciais e, po isso, a equa c¸˜ ao an e io ´ e chamada uma equac¸ ˜ ao linea de p imei a o dem, n˜ ao homog´ enea em analogia com as equac¸ ˜ oes di e enciais. A o ma ge al das equac¸ ˜ oes de di e enc¸as, linea es de segunda o dem ´ e anyn+2+bnyn+1+cnyn= n(6.4) em que an,bn,cne ns˜ ao sucess˜ oes conhecidas. 6.2 Soluc¸ ˜ oes das equac¸ ˜ oes de di e enc¸as Reg essemos ao exemplo dado na sec¸˜ ao an e io : (n+2)yn+1−3yn=n2+2 (6.5) 44 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es homog´ eneas Dado o alo inicial da sucess ˜ ao, po exemplo y0=0 , ´ e ´ acil comple a a sequ ˆ encia a pa i da equac¸˜ ao de di e enc¸as: 2y1−3y0=2=⇒y1=1 (6.6) 3y2−3y1=3=⇒y2=2 (6.7) 4y3−3y2=6=⇒y3=3 (6.8) Como e emos mais ` a en e, exis em amb ´ em algumas ´ ecnicas que pe mi em de e mina a o ma do e mo ge al de o dem n sem e que calcula odos os n e mos an e io es. No exemplo an e io a soluc¸˜ ao ob ida a pa i de y0=0 oi yn=n(6.9) mas a soluc¸˜ ao ge al ´ e yn=n+y0 3n (n+1)!(6.10) como podemos con e i po subs i uic¸˜ ao na equac¸˜ ao de di e enc¸as: (n+2)yn+1−3yn= (n+2)(n+1)−y0 3n+1 (n+1)!−3n−y0 3n+1 (n+1)!=n2+2 (6.11) A equa c¸˜ ao de di e en c¸ as pode se esc i a em ´ a ias o mas equi alen es, po exemplo, se subs i ui - mos npo n−1 ob emos (n+1)yn−3yn−1= (n−1)2+2 (6.12) No malmen e esc e e emos as equac¸ ˜ oes de o ma a que o e mo de o dem mais baixa na equac¸˜ ao seja yn. 6.3 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es J ´ a in oduzimos numa se c¸˜ ao an e io a o ma ge al das equa c¸ ˜ oes linea es de segunda o dem. A equac¸˜ ao linea de e cei a o dem ´ e anyn+3+bnyn+2+cnyn+1+dnyn= n(6.13) e assim sucessi amen e, pa a qualque o dem supe io . ´ E cla o que pa a pode ob e a solu c¸˜ ao ´ unica de uma equa c¸˜ ao de e cei a o dem se ´ a necess ´ a io conhece ˆ es cons an es, po exemplo y0 , y1 e y2 . Dadas duas solu c¸ ˜ oes quaisque de uma equa c¸˜ ao linea , a di e en c¸ a en e elas ´ e amb ´ em solu c¸˜ ao da equa c¸˜ ao homog ´ enea co esponden e. Po isso con ´ em come c¸ a mos po es uda as equa c¸ ˜ oes linea es homog´ eneas. A o ma gene al, no caso da segunda o dem ´ e anyn+2+bnyn+1+cnyn=0 (6.14) Se duas sucess ˜ oes {xn} e {zn} s ˜ ao solu c¸ ˜ oes da equa c¸˜ ao an e io , qualque combina c¸˜ ao linea delas amb ´ em se ´ a solu c¸˜ ao. Assim, as solu c¸ ˜ oes de uma equa c¸˜ ao linea homog ´ enea de inem um sub-espa c¸ o e o ial. Como em qualque espa c¸ o e o ial, ´ e poss ´ ı el de ini a independ ˆ encia linea en e e o es. Pa a pode e i ica quaisque n condi c¸ ˜ oes iniciais associadas a uma equa c¸˜ ao de o dem n, se ˜ ao necess´ a ias nsoluc¸ ˜ oes linea men e independen es. 6.4 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es com coe icien es cons an es 45 6.3.1 Independˆ encia linea en e sucess˜ oes Diz-se que duas sucess˜ oes {xn}e{zn}s˜ ao linea men e independen es se a condic¸˜ ao Axn+Bzn=0 pa a qualque n(6.15) implica que as cons an es A e B sejam ambas nulas. O de e minan e (Caso a iano) Cn= xnzn xn+1zn+1 (6.16) se ´ a nulo pa a qualque nse as duas sucess˜ oes o em linea men e dependen es. Pode-se mos a amb ´ em (n ˜ ao o amos aze c ´ a) que o Caso a iano de duas solu c¸ ˜ oes de uma equa c¸˜ ao de di e en c¸ as linea homog ´ enea n ˜ ao ´ e nulo pa a nenhum alo de n , se as solu c¸ ˜ oes s ˜ ao linea men e independen es. Assim, bas a mos a que o Caso a iano n ˜ ao ´ e nulo pa a algum alo de n, pa a mos a que duas soluc¸ ˜ oes s˜ ao linea men e independen es. Com n solu c¸ ˜ oes pa icula es linea men e independen es, pode-se ob e a solu c¸˜ ao ´ unica de uma equa c¸˜ ao de o dem n com quaisque condi c¸ ˜ oes iniciais. A solu c¸˜ ao ge al ´ e uma combina c¸˜ ao linea das nsoluc¸ ˜ oes pa icula es. 6.4 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es com coe icien es cons an es As equa c¸ ˜ oes de di e en c¸ as linea es, homog ´ eneas e com coe icien es cons an es, esol em-se em o ma an ´ aloga ` as equa c¸ ˜ oes di e enciais da mesma denomina c¸˜ ao. Conside emos o caso de segunda o dem ayn+2+byn+1+cyn=0 (6.17) onde a,becs˜ ao cons an es. Exis em soluc¸ ˜ oes pa icula es da o ma yn= n(6.18) como podemos con e i po subs i uic¸˜ ao na equac¸˜ ao de di e enc¸as a n+2+b n+1+c n=0 (6.19) no caso =0 ob iamen e emos a solu c¸˜ ao i ial {0,0,0,...} . Se n ˜ ao o nula, di idimos a equac¸˜ ao an e io po ne ob emos o polin´ omio ca a e ´ ıs ico: a 2+b +c=0 (6.20) cada aiz desse polin´ omio conduz a uma soluc¸˜ ao pa icula . As duas a´ ızes da equac¸˜ ao quad ´ a ica s˜ ao p=−b+√b2−4ac 2aq=−b−√b2−4ac 2a(6.21) Exis em ˆ es casos con o me a na u eza das a´ ızes: 6.4.1 Ra´ ızes eais di e en es . A soluc¸˜ ao ge al ´ e a combinac¸˜ ao linea das duas soluc¸ ˜ oes ob idas a pa i das duas a´ ızes yn=Apn+Bqn(6.22) 52 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es homog´ eneas Cap´ ı ulo 7 M´ e odo das s´ e ies 7.1 S´ e ies de Po ˆ encias Uma s´ e ie de po ˆ encias ´ e uma s´ e ie que depende de um pa ˆ ame o x, da seguin e o ma: S(x) = ∞ ∑ n=0 an(x−x0)n(7.1) o n ´ ume o x0 , a sequ ˆ encia an e o pa ˆ ame o x podem se em ge al n ´ ume os complexos. A con- e gˆ encia da s´ e ie de po ˆ encias depende da dis ˆ ancia en e xex0no plano complexo: |x−x0|(7.2) Se a dis ˆ ancia o su icien emen e ap oximada a ze o, a s ´ e ie con e ge ( a0´ e o alo da s ´ e ie quando x=x0 ); quan o maio o a dis ˆ ancia mais len a se ´ a a con e g ˆ encia, a ´ e que a pa i de uma ce a dis ˆ ancia a s ´ e ie di e ge. O alo m ´ aximo da dis ˆ ancia pa a o qual a s ´ e ie con e ge, ´ e o chamado aio de con e gˆ encia (R) e calcula-se a pa i de: lim n→∞ an+1Rn+1 anRn=1⇒R=lim n→∞ an an+1 (7.3) 7.1.1 S´ e ie de Taylo Uma un c¸˜ ao anal ´ ı ica num pon o x0´ e uma un c¸˜ ao cujas de i adas de qualque o dem exis em nesse pon o. Nesse caso a unc¸˜ ao pode se ep esen ada po uma s´ e ie de po ˆ encias con e gen e em x0: (x) = ∞ ∑ n=0 an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+ a2(x−x0)2+··· (7.4) as de i adas de calculam-se de i ando o e mo den o da s ´ e ie, po exemplo, as duas p imei as de i adas s˜ ao: 0(x) = ∞ ∑ n=0 nan(x−x0)n−1=a1+2a2(x−x0)+3a3(x−x0)2+··· (7.5) 00(x) = ∞ ∑ n=0 n(n−1)an(x−x0)n−2=2a2+6a3(x−x0)+12a4(x−x0)2+··· (7.6) 54 M´ e odo das s´ e ies Se subs i ui mos x=x0nas s´ e ies pa a , 0e 00 emos que: a0= (x0)a1= 0(x0)2a2= 00(x0)(7.7) em ge al, n!an= (n)(x0)(7.8) e a s´ e ie de Taylo de esc e e-se: (x) = ∞ ∑ n=0 (n)(x0) n!(x−x0)n(7.9) No caso pa icula x0=0 ob ´ em-se a chamada s´ e ie de McClau in . O aio de con e g ˆ encia da s´ e ie ´ e igual ` a dis ˆ ancia en e x0e o pon o singula de mais p ´ oximo. 7.1.2 Algumas s´ e ies de McClau in impo an es 1. S´ e ie geom´ e ica 1 1−x= ∞ ∑ n=0 xn=1+x+x2+x3+··· (7.10) 2. Func¸˜ ao exponencial ex= ∞ ∑ n=0 xn n!(7.11) 3. Func¸ ˜ oes igonom´ e icas sin x= ∞ ∑ n=0 (−1)n (2n+1)!x2n+1(7.12) cos x= ∞ ∑ n=0 (−1)n (2n)!x2n(7.13) 7.2 M´ e odo das s´ e ies Conside emos a equac¸˜ ao di e encial linea , homog´ enea de segunda o dem P(x)y00+Q(x)y0+R(x)y=0 (7.14) em que P , Q e R s ˜ ao polin ´ omios. Mui os p oblemas de engenha ia conduzem a equa c¸ ˜ oes dessa o ma. A pa i do eo ema de exis ˆ encia e unicidade pa a equa c¸ ˜ oes linea es, emos que os pon os singula es s ˜ ao as a ´ ızes do polin ´ omio P(x) . Se o pon o x=0 n ˜ ao o aiz de P(x) , a solu c¸˜ ao da equa c¸˜ ao di e encial se ´ a uma un c¸˜ ao anal ´ ı ica em x=0 e, po an o, exis i ´ aas ´ e ie de McClau in pa a a soluc¸˜ ao y(x): y(x) = ∞ ∑ n=0 anxn(7.15) A ob en c¸˜ ao da solu c¸˜ ao ´ e equi alen e ` a ob en c¸˜ ao da sequ ˆ encia an . A equa c¸˜ ao de di e en c¸ as que de ine a sequ ˆ encia an´ e ob ida po subs i ui c¸˜ ao da s ´ e ie de McClau in (e das suas de i adas) na equac¸˜ ao di e encial. Na seguin e sec¸˜ ao e emos um exemplo de aplicac¸˜ ao des e m´ e odo. 7.2 M´ e odo das s´ e ies 55 7.2.1 Equac¸˜ ao de Ai y Um exemplo de uma equa c¸˜ ao linea mui o simples que n ˜ ao pode se esol ida pelos m ´ e odos dos cap´ ı ulos an e io es e que pode se esol ida pelo m´ e odo das s´ e ies, ´ e a equac¸˜ ao de Ai y: y00 =xy (7.16) O polin ´ omio P´ e nes e caso igual a 1, de manei a que a solu c¸˜ ao se ´ a anal ´ ı ica em x=0 e pode ´ a se esc i a como uma s´ e ie de McClau in: y(x) = ∞ ∑ n=0 anxn(7.17) A segunda de i ada ´ e: y00(x) = ∞ ∑ n=0 n(n−1)anxn−2(7.18) e subs i uindo na equac¸˜ ao di e encial ∞ ∑ n=0 n(n−1)anxn−2− ∞ ∑ n=0 anxn+1=0 (7.19) pa a ag upa as duas s ´ e ies numa ´ unica s ´ e ie de po ˆ encias, esc e emos a p imei a s ´ e ie numa o ma equi alen e: podemos inc emen a em 3 unidades o ´ ındice n , den o da s ´ e ie, se sub ai mos 3 aos limi es do soma ´ o io; a s´ e ie esul an e se ´ a idˆ en ica ` a s´ e ie inicial ∞ ∑ n=−3 (n+3)(n+2)an+3xn+1− ∞ ∑ n=0 anxn+1=0 (7.20) Na p imei a s ´ e ie os dois p imei os e mos ( n=−3 e n=−2 ) s ˜ ao nulos e o e cei o e mo ( n=−1 ) pode se esc i o explici amen e; a s ´ e ie esul an e come c¸ a desde n=0 , podendo se ag upada ` a segunda s´ e ie: 2a2+ ∞ ∑ n=−3 [(n+3)(n+2)an+3−an]xn+1=0 (7.21) no lado esque do da equa c¸˜ ao emos uma s ´ e ie de po ˆ encias em que o coe icien e de o dem ze o ´ e 2a2 e os coe icien es de o dem supe io a ze o s ˜ ao o e mo den o dos pa ˆ en esis quad ados, com n=0,1,2,... Pa a que a s ´ e ie de po ˆ encias seja nula em qualque pon o x , ´ e necess ´ a io que odos os coe icien es sejam nulos: 2a2=0 (7.22) (n+3)(n+2)an+3−an=0(n=0,1,2,...)(7.23) Temos ans o mado o p oblema num p oblema de equa c¸ ˜ oes de di e en c¸ as. A equa c¸˜ ao de di e en c¸ as ob ida ´ e uma equa c¸˜ ao incomple a, de e cei a o dem e a sua solu c¸˜ ao consis e em ˆ es sucess ˜ oes independen es pa a os coe icien es de o dem m ´ ul iplo de 3, m ´ ul iplo de 3 mais 1, e m ´ ul iplo de 3 mais 2. Como a2=0 , os coe icien es de o dem m ´ ul iplo de 3 mais 2 s ˜ ao odos nulos. Pa a ob e as ou as duas sequ ˆ encias podemos usa o m ´ e odo es udado no cap ´ ı ulo an e io : pa a n=3m , de inindo um=a3mob emos: 9(m+1)(m+2/3)um+1−um=0 (7.24) 56 M´ e odo das s´ e ies em e mos de a o iais e unc¸ ˜ oes gama emos: (m+1)(m+2/3) = (m+1)!Γ(m+5/3) m!Γ(m+2/3)(7.25) Usando a subs i uic¸˜ ao: xm=m!Γ(m+2/3)um(7.26) a Equac¸˜ ao 7.24 ans o ma-se numa equac¸˜ ao de coe icien es cons an es: 9xm+1−xm=0 (7.27) A soluc¸˜ ao pode ago a se ob ida acilmen e: xm=x0 (−9)m(7.28) a3m=um=(−1)mΓ(2/3) m!Γ(m+2/3)9ma0(7.29) Pa a calcula a sequ ˆ encia co esponden e a n=3m+1 , p ocedemos em o ma semelhan e. Em un c¸˜ ao de m=a3m+1 ,a ´ o mula de eco ˆ encia (Equa c¸˜ ao 7.23) ´ e uma equa c¸˜ ao de p imei a o dem: 9(m+1)(m+4/3) m+1− m=0 (7.30) e com a subs i uic¸˜ ao zm=m!Γ(m+4/3) m(7.31) a equac¸˜ ao ans o ma-se numa equac¸˜ ao de coe icien es cons an es: 9zm+1−zm=0 (7.32) com soluc¸˜ ao: zm=z0 (−9)m(7.33) a3m+1= m=(−1)mΓ(4/3)a1 m!Γ(m+4/3)9m(7.34) Finalmen e, subs i uiamos an na s ´ e ie de McClau in pa a ob e a solu c¸˜ ao da equa c¸˜ ao di e encial: y(x) = a0 ∞ ∑ m=0 (−1)mΓ(2/3) m!Γ(m+2/3)9mx3m+a1x ∞ ∑ m=0 (−1)mΓ(4/3) m!Γ(m+4/3)9mx3m(7.35) onde a0 e a1 s ˜ ao duas cons an es a bi ´ a ias (condi c¸ ˜ oes iniciais pa a y e y0 em x=0 ). Em alguns casos as s ´ e ies ob idas podem se iden i icadas como a s ´ e ie de McClau in de alguma un c¸˜ ao conhecida. Nes e exemplo as s ´ e ies n ˜ ao co espondem a nenhuma un c¸˜ ao conhecida, e cons i uem duas unc¸ ˜ oes especiais designadas unc¸ ˜ oes de Ai y. 7.3 M´ e odo de F obenius 57 7.3 M´ e odo de F obenius Quando o pon o x=0´ e um pon o singula da equa c¸˜ ao di e encial, a solu c¸˜ ao y n ˜ ao ´ e anal ´ ı ica em x=0 e n ˜ ao pode se esc i a na o ma de uma s ´ e ie de McClau in. No en an o, em alguns casos exis e uma cons an e al que y/x ´ e uma unc¸˜ ao anal´ ı ica: y(x) = x (x) ( anal´ ı ica em x=0)(7.36) eas ´ e ie de McClau in de sim exis e. Pa a sabe em que casos isso acon ece ´ e p eciso iden i ica a que ipo de singula idade co esponde x=0. 7.3.1 Pon os singula es egula es Os pon os singula es da equac¸˜ ao di e encial P(x)y00+Q(x)y0+R(x)y=0 (7.37) s˜ ao os pon os x0onde P(x0) = 0 (7.38) Se os seguin es limi es exis em: A=lim x→x0 xQ(x) P(x)B=lim x→x0 x2R(x) P(x)(7.39) diz-se que o pon o x0´ e um pon o singula egula . Se x=0 o um pon o singula egula , exis i ´ a pelo menos uma soluc¸˜ ao da o ma y(x) = x (x) = ∞ ∑ n=0 anxn+ (7.40) A un c¸˜ ao (x)´ e anal ´ ı ica em x=0 e podemos admi i , sem pe de nenhuma gene alidade, que (0) ´ e di e en e de ze o (se (0) o nula, a o iza-se x , e ede inem-se e icando (0) di e en e de ze o). Isso implica que a cons an e a0seja amb´ em di e en e ze o: a0=lim x→0 y x = (0)6=0 (7.41) As de i adas y0ey00 s˜ ao y0= ∞ ∑ n=0 (n+ )anxn+ −1(7.42) y00 = ∞ ∑ n=0 (n+ −1)anxn+ −2(7.43) Pa a calcula o alo do ´ ındice p imei o obse amos que lim x→0x1− y0= a0(7.44) lim x→0x2− y00 = ( −1)a0(7.45) 58 M´ e odo das s´ e ies a segui mul iplicamos a equac¸˜ ao di e encial po x2− e di idimos po P x2− y00+xQ Px1− y0+x2R Px− y=0 (7.46) No limi e x=0 e usando as cons an es AeBde inidas acima (Equac¸˜ ao 7.39) ob emos: [ ( −1)+ A +B]a0=0 (7.47) Como a0´ e di e en e de ze o, de e ´ a se soluc¸˜ ao da chamada equac¸ ˜ ao indicial: ( −1)+ A +B=0 (7.48) Pa a cada aiz eal da equa c¸˜ ao indicial subs i uimos as s ´ e ies pa a y , y0 e y00 na equa c¸˜ ao di e encial e p ocedemos da mesma o ma que no m ´ e odo das s ´ e ies, pa a calcula os coe icien es an . Cada aiz conduz a uma solu c¸˜ ao; se as duas solu c¸ ˜ oes o em di e en es, a solu c¸˜ ao ge al se ´ a a combina c¸˜ ao linea das duas. Exemplo 7.1 Encon e a soluc¸ ˜ ao da equac¸ ˜ ao: 4xy00 +2y0+y=0 (7.49) O pon o x=0´ e um pon o singula e, po an o, n ˜ ao pode se usado o m ´ e odo das s ´ e ies. Pa a de e mina se x=0´ e pon o singula egula , calcul´ amos: A=lim x→0 2x 4x=1 2B=lim x→0 x2 4x=0 (7.50) Podemos assim usa o m´ e odo de F obenius e a equac¸˜ ao indicial ´ e: 2 ( −1)+ =0 (7.51) com a´ ızes 1=0 e 2=1/2. Com a p imei a aiz ( 1=0) emos que: y= ∞ ∑ n=0 anxn(7.52) y0= ∞ ∑ n=0 nanxn−1(7.53) y00 = ∞ ∑ n=0 n(n−1)anxn−2(7.54) Subs i uindo na equac¸˜ ao di e encial ob emos: ∞ ∑ n=0 [4n(n−1)anxn−1+2nanxn−1+anxn] = 0 (7.55) os dois p imei os soma ´ o ios podem se esc i os em unc¸˜ ao de xn: ∞ ∑ n=0 [4n(n+1)an+1+2(n+1)an+1+an]xn=0 (7.56) 7.3 M´ e odo de F obenius 59 a ´ o mula de eco ˆ encia pa a n=0,1,2,3,... ´ e: (n+1)(4n+2)an+1+an=0 (7.57) A sequˆ encia ob ida ´ e (a bi ando a0=1) an=1,−1/2,1/24,−1/720,... (7.58) A solu c¸˜ ao ge al pa ece se os in e sos dos a o iais dos n ´ ume os pa es, com sinais al e nados. A solu c¸˜ ao ge al pode se ob ida ans o mando a ´ o mula de eco ˆ encia numa equa c¸˜ ao com coe icien es cons an es: (2n+2)(2n+1) = (2n+2)! (2n)!(7.59) un= (2n)!an⇒un+1+un=0 (7.60) un= (−1)nu0⇒an=(−1)n (2n)!a0(7.61) com es a sequˆ encia, a s´ e ie de po ˆ encias da p imei a soluc¸˜ ao pa icula ´ e (com a0=1) y1= ∞ ∑ n=0 (−1)n (2n)!xn=cos(x1/2)(7.62) Usando a segunda aiz 2=1/2, a s´ e ie de po ˆ encias da segunda soluc¸˜ ao ´ e: y= ∞ ∑ n=0 anxn+1/2(7.63) y0= ∞ ∑ n=0 (n+1/2)anxn−1/2(7.64) y00 = ∞ ∑ n=0 (n2−1/4)anxn−3/2(7.65) Subs i uindo na equac¸˜ ao di e encial ob emos: ∞ ∑ n=0 [(4n2−1)anxn−1/2+(2n+1)anxn−1/2+anxn+1/2] = 0 (7.66) a soma dos e mos n=0 das duas p imei as s ´ e ies ´ e igual a 0 e as ˆ es s ´ e ies podem se ag upadas: ∞ ∑ n=0 [(4n2+8n+3)an+1+(2n+3)an+1+an]xn+1/2=0 (7.67) a ´ o mula de eco ˆ encia ´ e: (2n+2)(2n+3)an+1+an=0 (7.68) A soluc¸˜ ao ge al ob ´ em-se em o ma semelhan e ao caso an e io : (2n+2)(2n+3) = (2n+3)! (2n+1)!(7.69) un= (2n+1)!an⇒un+1+un=0 (7.70) 60 M´ e odo das s´ e ies un= (−1)nu0⇒an=(−1)n (2n+1)!a0(7.71) a s´ e ie de po ˆ encias co esponden e ´ e (com a0=1) y2= ∞ ∑ n=0 (−1)n (2n+1)!xn+1/2=sin(x1/2)(7.72) A soluc¸˜ ao ge al ´ e uma combinac¸˜ ao linea das duas soluc¸ ˜ oes pa icula es y1ey2. 7.4 Soluc¸ ˜ ao em s´ e ies em pon os singula es Em ge al, cada aiz da equa c¸˜ ao indicial pode conduzi a uma solu c¸˜ ao em s ´ e ies de po ˆ encias. No en an o, em alguns casos ´ e poss ´ ı el encon a apenas uma solu c¸˜ ao. O eo ema que se segue indica como de e mina a soluc¸˜ ao ge al po meio de s´ e ies de po ˆ encias. Teo ema 5 (F obenius) Se 1 e 2 s ˜ ao duas a ´ ızes da equa c¸ ˜ ao indicial (em x=0 ) de uma equa c¸ ˜ ao di e encial linea de segunda o dem com pon o singula em x=0 , exis em ˆ es casos, a depende dos alo es de 1 e 2 : 1. Se 1− 2 o di e en e de ze o e di e en e de um n ´ ume o in ei o, cada aiz conduz a uma soluc¸ ˜ ao di e en e. 2. Se 1= 2 , ´ e poss ´ ı el ob e uma ´ unica solu c¸ ˜ ao y1 a pa i do m ´ e odo de F obenius. A segunda soluc¸ ˜ ao e ´ a a o ma: y2(x) = ∞ ∑ n=0 bnxn+ 1+y1ln x(7.73) onde a sucess˜ ao bnde e ´ a se ob ida po subs i uic¸ ˜ ao de y2na equac¸ ˜ ao di e encial. 3. Se 1− 2 o um n ´ ume o in ei o, exis i ´ a uma solu c¸ ˜ ao y1 com a o ma usada no m ´ e odo de F obenius. A segunda soluc¸ ˜ ao se ´ a: y2(x) = ∞ ∑ n=0 bnxn+ 1+cy1ln x(7.74) onde c´ e uma cons an e. Nos casos em que c=0 , a segunda solu c¸ ˜ ao em amb ´ em a o ma do m ´ e odo de F obenius, o qual implica que aplicando o m ´ e odo de F obenius ´ e poss ´ ı el encon a as duas solu c¸ ˜ oes y1 e y2 linea men e independen es. Quando c n ˜ ao ´ e nula, o m ´ e odo de F obenius pe mi e encon a apenas uma solu c¸ ˜ ao e a segunda solu c¸ ˜ ao de e ´ a se encon ada po subs i uic¸˜ ao da o ma ge al de y2na equac¸ ˜ ao di e encial. Com as duas solu c¸ ˜ oes encon adas seguindo o m ´ e odo indicado pelo eo ema de F obenius, a soluc¸˜ ao ge al se ´ a: y(x) = C1y1(x)+C2y2(x)(7.75) Em alguns casos as condi c¸ ˜ oes on ei a exigem que y seja ini a na o igem o qual implica C2=0 , se 2<0 ou 2= 1 , j ´ a que nos dois casos a segunda solu c¸˜ ao ´ e di e gen e na o igem. Se 1− 2´ e um in ei o e o m ´ e odo de F obenius conduz a uma ´ unica solu c¸˜ ao y1 , C2 se ´ a amb ´ em nula e n ˜ ao se ´ a p eciso calcula y2. 7.4 Soluc¸ ˜ ao em s´ e ies em pon os singula es 61 Exemplo 7.2 Encon e a soluc¸ ˜ ao ge al da equac¸ ˜ ao: xy00 +3y0−x2y=0 (7.76) O pon o x=0´ e pon o singula . Os dois limi es: A=lim x→0 3x x=3B=lim x→0−x4 x=0 (7.77) exis em e, po an o, x=0´ e pon o singula egula . A equac¸˜ ao indicial ´ e: ( −1)+ 3 = ( +2) = 0 (7.78) com a ´ ızes 1=0 e 2=−2 . Como a di e en c¸ a en e as a ´ ızes ´ e um n ´ ume o in ei o, p o a el- men e o m ´ e odo de F obenius da ´ a apenas uma das duas solu c¸ ˜ oes linea men e independen es. Se exis i em duas solu c¸ ˜ oes com a o ma usada no m ´ e odo de F obenius, es as apa ece ˜ ao na solu c¸˜ ao co esponden e ` a aiz meno =−2. Assim, comec¸amos po conside a o caso =−2: y= ∞ ∑ n=0 anxn−2(7.79) y0= ∞ ∑ n=0 (n−2)anxn−3(7.80) y00 = ∞ ∑ n=0 (n−2)(n−3)anxn−4(7.81) Subs i uindo na equac¸˜ ao di e encial ob emos: ∞ ∑ n=0 [(n−2)(n−3)anxn−3+3(n−2)anxn−3−anxn] = 0 (7.82) −a1x−2+ ∞ ∑ n=0 [(n+3)(n+1)an+3−an]xn=0 (7.83) consequen emen e, a1=0 e: (n+3)(n+1)an+3−an=0(n=0,1,2,...)(7.84) A solu c¸˜ ao da ´ o mula de eco ˆ encia s ˜ ao ˆ es sucess ˜ oes independen es. A sucess ˜ ao co espon- den e a n=3m+1´ e nula, j´ a que a1=0. Com n=3meum=a3mob emos a equac¸˜ ao: 9(m+1)(m+1/3)um+1−um=0 (7.85) usando a o iais e unc¸ ˜ oes gama emos: 9(m+1)!Γ(m+1+1/3)um+1−m!Γ(m+1/3)um=0 (7.86) se de ini mos: m=m!Γ(m+1/3)um(7.87) 68 T ans o madas de Laplace 8.4 C´ alculo de ans o madas in e sas Os esul ados da se c¸˜ ao an e io podem amb ´ em se usados pa a calcula ans o madas in e sas. Po exemplo, calculemos a ans o mada in e sa de: G(s) = 2s3+4s2+10s+74 (s2+2)(s2−2s+10)(8.22) usando expans˜ ao em ac¸ ˜ oes pa ciais, ob emos: G(s) = 2 s+2+3 (s+2)2+1 (s−1)2+9(8.23) pa a calcula a ans o mada in e sa de cada e mo, come c¸ amos po calcula as ans o madas in e sas das ˆ es unc¸ ˜ oes: 1 s 1 s2 3 s2+9(8.24) que s ˜ ao 1 , e sin(3 ) , espe i amen e. A segui usamos a p op iedade de deslocamen o em s pa a calcula a ans o mada in e sa da unc¸˜ ao G g( ) = 2e−2 +3 e−2 +e 3sin(3 )(8.25) 8.5 Resoluc¸ ˜ ao de equac¸ ˜ oes di e enciais po meio da ans o mada de Laplace Como imos numa se c¸˜ ao an e io , as ans o madas de Laplace das de i adas de uma un c¸˜ ao s ˜ ao odas p opo cionais ` a ans o mada da un c¸˜ ao o iginal, mul iplicada po sn , onde n´ e a o dem da de i ada. Es a p op iedade pe mi e ans o ma uma equa c¸˜ ao di e encial linea , com coe icien es cons an es numa equac¸˜ ao alg´ eb ica. Po exemplo, conside emos a equac¸˜ ao: 3y00−12y0+12y=4e2xsin(2x)(8.26) T ans o mando os dois lados da equac¸˜ ao e usando a p op iedade de linea idade, ob emos: 3L{y00}−12L{y0}+12L{y}=4L{e2xsin(2x)}(8.27) cada um dos e mos pode se calculado usando as p op iedades da ans o mada de Laplace: L{y}=Y(s)(8.28) L{y0}=sY (s)−y(0)(8.29) L{y00}=s2Y(s)−sy(0)−y0(0)(8.30) L{e2xsin(2x)}=2 (s−2)2+4(8.31) a ans o mada da equac¸˜ ao di e encial ´ e 3s2Y−3C1s−3C2−12sY +12C1+12Y=8 (s−2)2+4(8.32) 8.6 Equac¸ ˜ oes di e enciais linea es com coe icien es a i´ a eis 69 onde A e B s ˜ ao duas cons an es, iguais aos alo es iniciais de y e y0 em x=0 . Es a equa c¸˜ ao ´ e uma equac¸˜ ao alg´ eb ica que pode se acilmen e simpli icada, conduzindo ` a unc¸˜ ao Y: Y=3C1s+3C2−3C1 3s2−12s+12 +8 [(s−2)2+4](3s2−12s+12)(8.33) A solu c¸˜ ao da EDO ´ e a ans o mada in e sa des a un c¸˜ ao. Usando a expans ˜ ao em a c¸ ˜ oes pa ciais: Y=A s−2+B (s−2)2+2C (s−2)2+4+D(s−2) (s−2)2+4(8.34) onde A,B,CeDs˜ ao cons an es que podem se calculadas compa ando as duas ´ ul imas equac¸ ˜ oes: A=C1B=C2−2C1+2 3C=−1 3D=0 (8.35) A ans o mada in e sa de cada uma das a c¸ ˜ oes pa ciais ´ e acilmen e iden i icada, usando as ans o madas calculadas em sec¸ ˜ oes an e io es. A espos a inal ´ e: y(x) = [(1−2x)y(0)+xy0(0)+ 2x 3−1 3sin(2x)]e2x(8.36) 8.6 Equac¸ ˜ oes di e enciais linea es com coe icien es a i´ a eis Quando os coe icien es de uma equa c¸˜ ao di e encial linea s ˜ ao polin ´ omios, a ans o mada de Laplace pode se calculada usando os seguin es esul ados: L{ ny}= (−1)ndnY dsn(8.37) L{ ny0}= (−1)ndn dsn[sY −y(0)] = (−1)ndn(sY ) dsn(8.38) L{ ny00}= (−1)ndn dsn[s2Y−sy(0)] (8.39) A ans o mada da equa c¸˜ ao di e encial se ´ a ou a equa c¸˜ ao di e encial pa a a un c¸˜ ao Y , de o dem igual ao maio g au dos coe icien es da equa c¸˜ ao o iginal. Em alguns casos a equa c¸˜ ao di e encial ob ida esul a se mais ´ acil de esol e do que a equac¸˜ ao o iginal. A ans o mada de Laplace Y e as suas de i adas de e ˜ ao se un c¸ ˜ oes assimp o icamen e dec escen es; es a p op iedade das ans o madas de Laplace imp ˜ oe condi c¸ ˜ oes on ei a pa a a equac¸˜ ao di e encial ob ida. 8.7 Equac¸ ˜ oes di e enciais linea es com en ada descon ´ ınua O lado di ei o de uma equa c¸˜ ao linea n ˜ ao homog ´ enea pode se conside ado como a en ada num sis ema linea que e i ica o p inc ´ ıpio de sob eposi c¸˜ ao. Quando a en ada ´ e descon ´ ınua, a sa ´ ıda ´ e con ´ ınua pois a soluc¸˜ ao de uma equac¸˜ ao di e encial ´ e uma unc¸˜ ao de i ´ a el. O m ´ e odo da ans o mada de Laplace ´ e p incipalmen e ´ u il pa a esol e equa c¸ ˜ oes di e enciais com en ada descon ´ ınua, j ´ a que a ans o mada de uma un c¸˜ ao pa cela men e con ´ ınua ´ e uma unc¸˜ ao con ´ ınua. 70 T ans o madas de Laplace Pa a ep esen a un c¸ ˜ oes descon ´ ınuas ´ e con enien e de ini a un c¸˜ ao deg au uni ´ a io ( amb ´ em conhecida po unc¸˜ ao de Hea iside): u( −a) = (0 <a 1 ≥a(8.40) Se a<b, a unc¸˜ ao: u( −a)−u( −b)(8.41) ´ e igual a 1 no in e alo a< <b e ze o o a do in e alo. Assim, uma un c¸˜ ao de inida em o ma di e en e em di e en es in e alos, po exemplo, ( ) = ( 1( )a≤ <b 2( )c≤ <d(8.42) pode se esc i a na o ma compa a: ( ) = [u( −a)−u( −b)] 1( )+[u( −c)−u( −d)] 2( )(8.43) acili ando o c ´ alculo da sua ans o mada de Laplace, po meio da p op iedade que e emos na sec¸˜ ao que se segue. 8.8 Deslocamen o no dom´ ınio do empo A unc¸˜ ao: u( −a) ( −a)(8.44) onde u( −a)´ e a un c¸˜ ao deg au uni ´ a io, ep esen a ` a un c¸˜ ao ( ) deslocada uma dis ˆ ancia a no eixo do empo , sendo nula pa a <a . A sua ans o mada de Laplace calcula-se acilmen e, em unc¸˜ ao da ans o mada de : L{u( −a) ( −a)}= ∞ Z a ( −a)e−s d = ∞ Z 0 ( )e−s( +a)d =e−as ∞ Z 0 ( )e−s d E ob emos a p op iedade de deslocamen o em : L{u( −a) ( −a)}=e−asF(s)(8.45) Es a p op iedade ´ e ´ u il pa a calcula ans o madas de un c¸ ˜ oes com descon inuidades. Uma ou a o ma equi alen e ´ e a seguin e: L{u( −a) ( )}=e−as L{ ( +a)}(8.46) 8.9 Impulso uni ´ a io 71 Exemplo 8.1 Resol a o p oblema de alo es iniciais: y00+3y0+2y=( <1 − 1≤ (8.47) y(0) = y0(0) = 0 Comec¸amos po esc e e o lado di ei o da equac¸˜ ao na o ma compa a: y00+3y0+2y= [1−u( −1)] − u( −1) = −2 u( −1)(8.48) A ans o mada de Laplace do lado esque do ´ e: L{y00+3y0+2y}= (s2+3s+2)Y(s)(8.49) Usando a p op iedade de deslocamen o em , a ans o mada do lado di ei o ´ e: L{ −2 u( −1)}=1 s2−2e−sL{ +1}=1 s2−2e−s s−2e−s s2(8.50) Igualando as ans o madas dos dois lados da equa c¸˜ ao di e encial, podemos ob e acilmen e Y : Y=1−2e−s s2(s+1)(s+2)−2e−s s(s+1)(s+2)(8.51) Usando decomposic¸˜ ao em ac¸ ˜ oes pa ciais: 1 s(s+1)(s+2)=1 2s−1 s+1+1 2(s+2)(8.52) 1 s2(s+1)(s+2)=1 2s2−3 4s+1 s+1−1 4(s+2)(8.53) ob emos: Y=1 2s2−3 4s+1 s+1−1 4(s+2)+e−s 1 2s−1 s2−1 2(s+2)!(8.54) e a ans o mada in e sa ´ e: y( ) = 2−3 4+e− −1 4e−2 +u( −1) 1 2−( −1)−1 2e−2( −1)!(8.55) 8.9 Impulso uni ´ a io Em ´ ısica uma o c¸a impulsi a ´ e uma o c¸ a ( ) que a ua du an e um pequeno in e alo de empo ∆ . O aumen o o al da quan idade de mo imen o, de ido ` a o c¸a ( ),´ e igual ao impulso: I= 0+∆ Z 0 ( )d (8.56) 72 T ans o madas de Laplace Uma unc¸˜ ao de impulso uni ´ a io ´ e uma unc¸˜ ao ( )que p oduz um impulso igual a 1: 0+∆ Z 0 ( )d =1 (8.57) Um exemplo ´ e a unc¸˜ ao: u( − 0)−u( − 0−∆ ) ∆ (8.58) cons an e no in e alo 0≤x< 0+∆ . Conside emos uma sucess ˜ ao de impulsos uni ´ a ios n com in e alos ∆ n dec escen es. Po exemplo, as unc¸˜ oes n=n[u( − 0)−u( − 0−1/n)] (8.59) onde u´ e a un c¸˜ ao deg au uni ´ a io. Nes e exemplo cada un c¸˜ ao n´ e igual a n no in e alo de en e a e a+1/n , e ze o o a dele. O in e alo de du a c¸˜ ao do impulso ´ e ∆ n=1/n e a un c¸˜ ao n´ e um impulso uni ´ a io. A medida que n aumen a, o g ´ a ico da un c¸˜ ao n´ e cada ez mais al o, e den o de um in e alo mais pequeno. O limi e de uma sucess˜ ao de impulsos uni ´ a ios com in e alos dec escen es, ap oximando-se pa a ze o, ´ e designado unc¸ ˜ ao del a de Di ac δ( − 0) = lim n→∞ n( )(8.60) a unc¸˜ ao δ´ e nula em qualque pon o di e en e de 0, in ini a em 0mas o seu impulso ´ e igual a 1. A un c¸˜ ao del a de Di ac n ˜ ao ´ e ealmen e uma un c¸˜ ao mas sim um uncional (limi e de un c¸ ˜ oes), e da ´ ı que o seu in eg al possa se di e en e de ze o enquan o que a un c¸˜ ao ´ e nula em qualque pon o di e en e de 0. Uma p op iedade impo an e da unc¸˜ ao del a de Di ac ´ e o eo ema que se segue. Teo ema 6 Se ( )´ e uma unc¸ ˜ ao con ´ ınua em 0, ∞ Z −∞ ( )δ( − 0)d = ( 0)(8.61) Pa a esol e equa c¸ ˜ oes di e enciais onde apa e c¸ am e mos impulsi os, se ´ a ´ u il conhece a ans o mada de Laplace; pa a a calcula subs i ui emos a un c¸˜ ao del a pelo limi e da sucess ˜ ao de impulsos uni ´ a ios (8.59) L{δ( − 0)}=lim n→∞ L{n[u( − 0)−u( − 0−1/n)]}=lim n→∞ n she− 0s−e−( 0+1/n)si(8.62) e, po an o, L{δ( − 0)}=e− 0s(8.63) As p op iedades da ans o mada de Laplace e as ans o madas das un c¸ ˜ oes que emos calculado nes e cap´ ı ulo encon am-se esumidas na abela 8.1. 8.9 Impulso uni ´ a io 73 Func¸ ˜ ao T. de Laplace ( )F(s) pΓ(p+1) sp+1 ea ( )F(s−a) 0( )sF(s)− (0) Z 0 (u)du1 sF(s) ( )−dF ds ( ) ∞ Z s F( )d u( −a) ( −a)e−asF(s) δ( −a)e−as  aaF(as) cos(b )s s2+b2 sin(b )b s2+b2 Tabela 8.1: P op iedades da ans o mada de Laplace. 74 T ans o madas de Laplace Exemplo 8.2 A quan idade dum medicamen o no sangue de um pacien e, dec esce exponencialmen e: y=y0e− /a(8.64) onde y´ e a quan idade, em g amas, do medicamen o no ins an e , y0´ e a quan idade inicial, e a´ e a cons an e de decaimen o do medicamen o no sangue. O pacien e ecebe duas inje c¸ ˜ oes do medicamen o, com doses de y1 e y2 g amas, nos ins an es 1 e 2 (com 2> 1>0 ). Calcule a quan idade de medicamen o no sangue do pacien e, em un c¸ ˜ ao do empo, admi indo que em =0 n˜ ao exis ia nenhum medicamen o no sangue do pacien e. A massa do medicamen o in oduzido em cada inje c¸˜ ao ´ e ∆y= ∆ , onde ´ e uma un c¸˜ ao que depende do empo ( luxo de medicamen o que en a no sangue do pacien e, em g amas po unidade de empo): ∆y ∆ = ( )(8.65) y1 y2 1 2 Figu a 8.1: Fluxo de medicamen o, , pa a den o do sangue do pacien e. Como o in e alo de empo que du a uma inje c¸˜ ao ´ e mui o pequeno compa ado com o empo en e inje c¸ ˜ oes ( igu a 8.1) e com o empo de meia- ida do medicamen o, podemos admi i que o luxo ( )´ e uma un c¸˜ ao impulsi a de du a c¸˜ ao quase nula, nomeadamen e uma soma de duas unc¸ ˜ oes del a nos ins an es 1e 2: ( ) = y1δ( − 1)+y2δ( − 2)(8.66) Enquan o o medicamen o no sangue aumen a de ido ` as inje c¸ ˜ oes, amb ´ em diminui con inu- amen e, de ido ` a cons an e de decaimen o do medicamen o. A diminui c¸˜ ao do medicamen o no ins an e ´ edy d =−ay (8.67) j ´ a que es a ´ e a equa c¸˜ ao que de ine o decaimen o exponencial com cons an e de decaimen o a . A axa de aumen o do medicamen o no sangue se ´ a igual ao aumen o de ido ` as inje c¸ ˜ oes, menos a diminuic¸˜ ao de ida ao decaimen o do medicamen o no sangue dy d =y1δ( − 1)+y2δ( − 2)−ay (8.68) 8.10 Con oluc¸ ˜ ao 75 Es a ´ e uma equa c¸˜ ao di e encial linea , de coe icien es cons an es, n ˜ ao homog ´ enea. Calculando a ans o mada de Laplace nos dois lados da equac¸˜ ao, ob emos: (s+a)Y=y0+y1e− 1s+y2e− 2s(8.69) onde Y´ e a ans o mada de y. Y=y0+y1e− 1s+y2e− 2s s+a(8.70) e calculando a ans o mada in e sa encon amos a soluc¸˜ ao do p oblema y( ) = y0e−a +y1u( − 1)e−a( − 1)+y2u( − 2)e−a( − 2)(8.71) A igu a 8.2 mos a o g ´ a ico da unc¸˜ ao y( ). y y1 1 2 y2 Figu a 8.2: Decaimen o do medicamen o no sangue do pacien e. 8.10 Con oluc¸˜ ao A ans o mada de Laplace de um p odu o de duas un c¸ ˜ oes n ˜ ao ´ e igual ao p odu o das ans o - madas de Laplace das duas un c¸ ˜ oes. No en an o, exis e uma ope a c¸˜ ao en e un c¸ ˜ oes que, quando ans o mada, d ´ a o p odu o das ans o madas das duas un c¸ ˜ oes. Essa ope a c¸˜ ao en e un c¸ ˜ oes ´ e designada con oluc¸˜ ao , e joga um papel impo an e no c ´ alculo de ans o madas in e sas, como e emos. O p odu o de con oluc¸˜ ao en e duas unc¸ ˜ oes ( )eg( )de ine-se da seguin e o ma ∗g= Z 0 ( )g( − )d (8.72) Teo ema 7 A ans o mada de Laplace do p odu o de con olu c¸ ˜ ao en e duas un c¸ ˜ oes e g , ´ e igual ao p odu o das ans o madas de Laplace das duas unc¸˜ oes. 76 T ans o madas de Laplace Demons ac¸ ˜ ao: A pa i das de ini c¸ ˜ oes da ans o mada de Laplace e do p odu o de con olu c¸˜ ao, ob emos L{ ∗g}= ∞ Z 0 Z 0 ( )g( − )e−s d d (8.73) o in eg al em pode se es endido a ´ e in ini o, se mul iplica mos po uma un c¸˜ ao deg au uni ´ a io que anule a pa e desde a ´ e in ini o L{ ∗g}= ∞ Z 0 ∞ Z 0 ( )g( − )u( − )e−s d d (8.74) ocando a o dem dos dois in eg ais, ob emos L{ ∗g}= ∞ Z 0 ( )  ∞ Z 0 g( − )u( − )e−s d  d (8.75) O e mo en e pa ˆ en esis quad ados ´ e a ans o mada de Laplace da unc¸˜ ao g, deslocada em : g( − )u( − )(8.76) que ´ e igual ` a ans o mada de Laplace de g , mul iplicada pela exponencial de −s . Assim, ob emos o esul ado L{ ∗g}=G(s) ∞ Z 0 ( )e−s d (8.77) que ´ e igual ao p odu o das ans o madas de Laplace das duas un c¸ ˜ oes, como p e end ´ ıamos demons a : L{ ∗g}=F(s)G(s)(8.78) O eo ema an e io amb ´ em implica, em o ma in e sa, que a ans o mada in e sa de Laplace de um p odu o de un c¸ ˜ oes ´ e igual ao p odu o de con olu c¸˜ ao en e as ans o madas in e sas das duas un c¸ ˜ oes. O eo ema de con olu c¸˜ ao ´ e ´ u il no c ´ alculo de ans o madas in e sas de un c¸ ˜ oes complicadas que possam se esc i as como o p odu o en e un c¸ ˜ oes simples. O p odu o de con olu c¸˜ ao en e un c¸ ˜ oes e i ica as p op iedades comu a i a, associa i a e dis ibu i a em ela c¸˜ ao ` a soma de unc¸ ˜ oes. Exemplo 8.3 Calcule a ans o mada in e sa da unc¸ ˜ ao F(s) = a s(s2+a2) Podemos esc e e a unc¸˜ ao Fcomo o p odu o en e duas unc¸ ˜ oes G(s) = 1 sH(s) = a s2+a2(8.79) as ans o madas in e sas de GeHob ˆ em-se a pa i da abela 8.1 g( ) = 1h( ) = sin(a )(8.80) 8.11 Resoluc¸ ˜ ao de equac¸ ˜ oes in eg o-di e enciais 77 e a ans o mada in e sa de F´ e igual ao p odu o de con oluc¸˜ ao de geh ( ) = 1∗sin(a ) = Z 0 sin(a )d =1−cos(a ) a (8.81) No c ´ alculo do p odu o de con olu c¸˜ ao en e g e h , o e mo den o do in eg al pode se esc i o como g( )h( − ) ou g( − )h( ) , usando a p op iedade comu a i a; con ´ em semp e examina as duas possibilidades pa a selecciona a que seja mais ´ acil de p imi i a . 8.11 Resoluc¸ ˜ ao de equac¸ ˜ oes in eg o-di e enciais Algumas equa c¸ ˜ oes que combinem de i adas com in eg ais podem se esol idas po meio da ans o mada de Laplace, quando o in eg al possa se esc i o como um in eg al de con olu c¸˜ ao en e unc¸ ˜ oes. Exemplo 8.4 Encon e a soluc¸ ˜ ao da equac¸ ˜ ao in eg o-di e encial dy d =1− Z 0 y( − )e−2 d (8.82) com condic¸ ˜ ao inicial y(0) = 1. O in eg al no lado di ei o da equac¸˜ ao ´ e um p odu o de con oluc¸˜ ao: dy d =1−y∗e−2 (8.83) T ans o mando os dois lados da equac¸˜ ao ob emos sY −1=1 s−Y s+2(8.84) donde se ob em a unc¸˜ ao Y: Y=s+2 s(s+1)=2 s−1 s+1(8.85) e a soluc¸˜ ao da equac¸˜ ao ´ e a ans o mada in e sa y( ) = 2−e− (8.86) 8.12 P oblemas Aplicando ans o madas de Laplace, esol a as seguin es equac¸ ˜ oes 1. y00+y0−2y=3y(0) = 0,y0(0) = 1 2. y00+4y0+4y=e−2 y(0) = 0,y0(0) = 0 84 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es n˜ ao homog´ eneas Sucess˜ ao T ans o mada Z yn¯y(z) yn+1z¯y−zy0 yn+2z2¯y−z2y0−zy1 nyn−zd¯y dz anz z−a nanaz (z−a)2 n2anaz2+a2z (z−a)3 n(n−1) 2ana2z (z−a)3 n(n−1)(n−2) 3! ana3z (z−a)4 ncos(nθ)z(z−a) (z−a)2+b2 (a≡ cosθ,b≡ sinθ) nsin(nθ)bz (z−a)2+b2 (a≡ cosθ,b≡ sinθ) Tabela 9.1: T ans o madas Z. 9.3 Resoluc¸ ˜ ao de equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es n˜ ao homog´ eneas 85 9.3 Resoluc¸ ˜ ao de equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es n˜ ao homog´ eneas A ans o mada Z´ e ´ u il pa a esol e equa c¸ ˜ oes de di e en c¸ as linea es, de coe icien es cons an es, n˜ ao homog´ eneas. Conside emos um exemplo com alo es iniciais: yn+2+3yn+1+2yn=3ny0=1y1=0 (9.20) Usando a exp ess˜ ao que ob i emos pa a a ans o mada de {yn+1}, podemos esc e e Z{yn+1}=zy −z(9.21) Z{yn+2}=zZ{yn+1}−zy1=z2y−z2(9.22) e consul ando a abela 9.1 emos que Z{3n}=z z−3(9.23) Assim, a ans o mada da equac¸˜ ao de di e enc¸as se ´ a (z2+3z+2)y−z2−3z=z z−3(9.24) e da´ ı ob emos y=z2+3z (z+1)(z+2)+z (z+1)(z+2)(z−3)(9.25) O c ´ alculo da ans o mada in e sa ´ e ei o em o ma an ´ aloga as ans o madas in e sas de Laplace, usando expans ˜ ao em a c¸ ˜ oes pa ciais, mas deixando de o a um a o z no nume ado , que se ´ a necess ´ a io man e em odas as a c¸ ˜ oes pa ciais pa a pode usa a abela 9.1. Consequen emen e, as ac¸ ˜ oes que de e ˜ ao se expandidas s˜ ao: z+3 (z+1)(z+2)=2 z+1−1 z+2(9.26) 1 (z+1)(z+2)=1 5(z+2)−1 4(z+1)+1 20(z−3)(9.27) mul iplicando cada a c¸˜ ao pa cial pelo a o z que deixamos de o a, ob emos o lado di ei o da equac¸˜ ao (9.25) y=7z 4(z+1)−4z 5(z+2)+z 20(z−3)(9.28) e usando a abela 9.1, encon amos a soluc¸˜ ao do p oblema de alo es iniciais yn=7 4(−1)n−4 5(−2)n+3n 20 (9.29) Exemplo 9.1 (Populac¸ ˜ ao mundial de baleias) Admi a que a popula c¸ ˜ ao a ual de baleias no mundo ´ e 1000 e que cada ano o aumen o na u al (nascimen os e mo es na u ais) da popula c¸ ˜ ao ´ e de 25%. Admi a amb ´ em que o n ´ ume o de baleias aba idas pelos pescado es cada ano ´ e de 300 e que es ´ a end ˆ encia ai se man e nos p ´ oximos anos. Calcule a popula c¸ ˜ ao, Pn (onde n´ eon ´ ume o de anos a pa i do ano a ual) du an e os p ´ oximos anos. 86 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es n˜ ao homog´ eneas Se no ano n a popula c¸˜ ao de baleias osse Pn , o aumen o da popula c¸˜ ao du an e esse ano, de ido a nascimen os e mo es na u ais, se ia 0,25Pn . O aumen o (ou diminui c¸˜ ao) da popula c¸˜ ao du an e esse ano se ia 0,25Pn−300 (9.30) mas po ou o lado o aumen o da populac¸˜ ao du an e o pe ´ ıodo n amb´ em de e ´ a se igual a Pn+1−Pn(9.31) combinando es as duas exp ess˜ oes ob emos uma equac¸˜ ao de di e enc¸as Pn+1−Pn=0,25Pn−300 (9.32) se n=0 ep esen a o ano a ual, a condi c¸˜ ao inicial necess ´ a ia pa a esol e a equa c¸˜ ao de di e en c¸ as ´ e P0=1000 (9.33) Pa a esol e a equac¸˜ ao podemos usa a ans o mada Z zp −1000z−p=0,25 p−300z z−1(9.34) onde p(z)´ e a ans o mada da sucess ˜ ao Pn . A equa c¸˜ ao an e io ´ e uma equa c¸˜ ao alg ´ eb ica que se esol e acilmen e pa a p p=1000z z−1,25 −300z (z−1)(z−1,25) =1000z z−1,25 −1200z(z−1)−(z−1,25) (z−1)(z−1,25) =−200z z−1,25 +1200 z−1 a ans o mada in e sa ´ e Pn=1200 −2005 4n (9.35) ob iamen e a popula c¸˜ ao n ˜ ao pode se nega i a e po an o a exp ess ˜ ao an e io s ´ o pode ´ a se ´ alida pa a alguns alo es de n ais que 1200 −2005 4n ≥0 (9.36) 5 4n ≤6 (9.37) nln 5 4≤ln 6 =⇒n≤8,03 (9.38) logo a soluc¸˜ ao do p oblema ´ e Pn=(1200 −200(1,25)n0≤n≤8 0n>8(9.39) 9.4 P oblemas 87 9.4 P oblemas Resol a as seguin es equac¸ ˜ oes de di e enc¸as 1. yn+2−3yn+1+2yn=1 2. yn+2+yn+1−2yn=3y0=0,y1=1 3. yn+2+4yn+1+4yn= (−2)ny0=0,y1=0 4. yn+1−2yn=exp(−bn) 5. yn+2−2yn+1+4yn=2ny0=0,y1=0 6. yn+2+4yn=1 3ny0=1,y1=0 7. yn+2−yn=n Encon e as ans o madas Zdas seguin es sucess˜ oes 8. {1,0,0,...}yn=δn,0 9. {0,0,1,1,...}yn=1−δn,0−δn,1 10. yn=nsin(ωn) 11. Os n ´ ume os {Tn}={1,3,6,10,15,...} s ˜ ao chamados n ´ ume os iangula es, pois podem se ob idos geom ´ e icamen e con ando o n ´ ume o de pon os nos i ˆ angulos da sequ ˆ encia na igu a seguin e T1 = 1 T2 = 3 T3 = 6 T4 = 10 1. De e mine o p oblema de alo inicial que de ine os n´ ume os iangula es. 2. Encon e a o ma ge al Tnde qualque n´ ume o iangula . Nos p oblemas 12 e 13 encon e uma equa c¸˜ ao de di e en c¸ as pa a as seguin es somas Sn (compa e Sn+1 com Sn ). Resol a a equa c¸˜ ao de di e en c¸ as usando a condi c¸˜ ao inicial S1 pa a ob e uma ´ o mula ge al pa a Sn 12. Sn=1+23+33+···+n3 13. Sn=2+4+6+···+2n 88 Equac¸ ˜ oes de di e enc¸as linea es n˜ ao homog´ eneas 14. O sis ema i e a i o xn+1=x2 n+c x0=0 ´ e um sis ema ca ´ o ico. Usando alo es de c igual a −1.3 , −1.75 e −2 calcule alguns e mos da sequ ˆ encia {xn} a ´ e ob e um alo epe ido; qual ´ e o pe ´ ıodo da sequ ˆ encia em cada caso? que pode conclui a pa i des es esul ados? Se quise esc e e um p og ama de compu ado pa a encon a o diag ama de bi u ca c¸˜ ao, use alo es de c en e −2 e 0.25 , e enha em con a que os alo es esul an es de xnes ˜ ao comp endidos en e −2 e 2. Cap´ ı ulo 10 Sis emas de equac¸ ˜ oes di e enciais 10.1 De inic¸ ˜ ao Um sis ema de n equa c¸ ˜ oes di e enciais de p imei a o dem ´ e um conjun o de n equa c¸ ˜ oes di e enciais, com uma a i ´ a el independen e e n a i ´ a eis dependen es x1,x2,...,xn , que podem se esc i as da seguin e o ma dx1 d =F1(x1,...,xn,x0 1,...,x0 n, )(10.1) dx2 d =F2(x1,...,xn,x0 1,...,x0 n, ) ... (10.2) dxn d =Fn(x1,...,xn,x0 1,...,x0 n, ) onde F1,F2,...,Fn s ˜ ao quaisque un c¸ ˜ oes de (2n+1) a i ´ a eis eais, que de inem o sis ema. N ˜ ao se ´ a necess ´ a io conside a sis emas de equa c¸ ˜ oes de o dem supe io a 1, de ido a que se alguma das equa c¸ ˜ oes di e encias o de o dem supe io , pode ´ a se esc i a como um sis ema de equa c¸ ˜ oes de p imei a o dem como e emos no exemplo que se segue. Exemplo 10.1 Esc e a a equac¸ ˜ ao di e encial de segunda o dem cosxd2x d 2+x dx d +sin =0 (10.3) como um sis ema de equac¸ ˜ oes de p imei a o dem. Podemos de ini duas a i ´ a eis x1 e x2 , dependen es de , a pa i da un c¸˜ ao x( ) e da sua de i ada x1≡x x2≡dx d (10.4) a p imei a de ini c¸˜ ao ´ e uma simples mudan c¸ a do nome da a i ´ a el, mas a segunda de ini c¸˜ ao ´ e uma equa c¸˜ ao di e encial de p imei a o dem. Temos amb ´ em uma segunda equa c¸˜ ao di e encial — a equac¸˜ ao dada — que em e mos das a i´ a eis de inidas ´ e cosx1 dx2 d +x1x2 +sin =0 (10.5) 90 Sis emas de equac¸ ˜ oes di e enciais O sis ema de equac¸ ˜ oes, esc i o na o ma pad ˜ ao ´ e dx1 d =x2(10.6) dx2 d =−x1x2 cosx1−sin cosx1 (10.7) Como podemos e , os sis emas de equac¸˜ oes di e enciais de p imei a o dem s˜ ao mui o impo - an es po inclui como casos pa icula es as equa c¸ ˜ oes di e encias de o dem supe io e os sis emas delas. De a o, os m ´ e odos num ´ e icos pa a esol e equa c¸ ˜ oes di e enciais de o dem supe io baseiam-se, ge almen e, na esoluc¸˜ ao de sis emas de equac¸ ˜ oes de p imei a o dem. O sis ema de equa c¸ ˜ oes (10.2) pode se esc i o numa o ma mais compa a, usando a no a c¸˜ ao e o ial: dx d =F ,x,dx d (10.8) onde x´ e um e o com n componen es, 1 cada uma delas un c¸˜ ao de , e F´ e um e o com n componen es, unc¸ ˜ oes de ,xex0. 10.2 Sis emas de equac¸ ˜ oes linea es Um caso especial e impo an e na eo ia das equa c¸ ˜ oes di e enciais ´ e quando o e o de un c¸ ˜ oes F , no sis ema de equac¸ ˜ oes (10.8), em a o ma F=Ax+ (10.9) onde A´ e uma ma iz quad ada n×n de un c¸ ˜ oes que dependem unicamen e de , ´ e um e o com n componen es dependen es de , e op ´ amos po abalha a ep esen a c¸˜ ao dos e o es com ma izes com uma ´ unica coluna, icando assim bem de inido o p odu o en e uma ma iz n×n e um e o ( ` a di ei a da ma iz) de dimens˜ ao n, dando como esul ado ou o e o da mesma dimens˜ ao. O sis ema de equac¸ ˜ oes di e enciais linea es ´ e o sis ema: dx d =Ax+ (10.10) Quando os coe icien es da ma iz A sejam odos cons an es, o sis ema diz-se de coe icien es cons an es; e quando o e o seja nulo, o sis ema se ´ a homog´ eneo. Exemplo 10.2 Esc e a o sis ema de equac¸ ˜ oes linea es, de coe icien es cons an es, x0 1=x1+x2 x0 2=4x1+x2 na o ma e o ial. 1 Quando esc e e a m ˜ ao o s ´ ımbolo de um e o , con em usa a no a c¸˜ ao ~x que se ´ a equi alen e ao uso de ca a e es neg os na e s˜ ao imp essa. 10.3 M´ e odo de eliminac¸ ˜ ao 91 O sis ema pode se esc i o assim: x0 1 x0 2=1 1 4 1  x1 x2=(10.11) Que em a o ma da equac¸˜ ao (10.10), com e o nulo e ma iz Aigual a: A=1 1 4 1 (10.12) 10.3 M´ e odo de eliminac¸ ˜ ao Um m ´ e odo pa a esol e sis emas de equa c¸ ˜ oes di e enciais consis e em usa n−1 das equa c¸ ˜ oes pa a elimina n−1 das a i ´ a eis xi , na ou a equa c¸˜ ao, icando com uma equa c¸˜ ao di e encial o din ´ a ia pa a a un c¸˜ ao xi que n ˜ ao oi eliminada. A melho o ma de explica o m ´ e odo ´ e a a ´ es de um exemplo. Conside emos o sis ema do exemplo 10.2 e usemos uma no a c¸˜ ao um pouco di e en e pa a as de i adas x0 1ex0 2: x0 1≡Dx1x0 2≡Dx2(10.13) onde D´ e o ope ado que de i a em un c¸˜ ao do empo a un c¸˜ ao que es i e ` a sua di ei a. O sis ema de equac¸ ˜ oes ´ e Dx1=x1+x2(10.14) Dx2=4x1+x2(10.15) podemos conside a a D como um coe icien e que mul iplica ` as un c¸ ˜ oes, endo o cuidado de n ˜ ao in e e a o dem do p odu o. Assim, o sis ema an e io pode se is o como um sis ema de duas equac¸ ˜ oes, com duas inc´ ogni as x1ex2e com coe icien es que dependem de D (D−1)x1−x2=0 (10.16) 4x1+(1−D)x2=0 (10.17) o sis ema ´ e, nes e caso, homog ´ eneo, mas pa a sis emas n ˜ ao homog ´ eneos segue-se o mesmo p ocedimen o, man endo as un c¸ ˜ oes de nos lados di ei os, sendo conside adas como coe icien es que dependem de . Pa a elimina x2 no sis ema an e io , mul iplicamos a p imei a equa c¸˜ ao po (1−D), e somamos-la ` a p imei a equac¸˜ ao: (1−D)(D−1)x1+4x1=0 (10.18) o p odu o (1−D)(D−1) pode se calculado como um simples p odu o en e a i ´ a eis, j ´ a que quando n˜ ao h´ a unc¸ ˜ oes en ol idas n˜ ao h´ a pe igo de oca a o dem das unc¸ ˜ oes e dos ope ado es (1−D)(D−1) = −(D−1)2=−D2+2D−1 (10.19) onde D2´ e a segunda de i ada em o dem ao empo. Subs i uindo na equa c¸˜ ao (10.18), ob emos uma equac¸˜ ao di e encial de segunda o dem −x00 1+2x1+3x1=0 (10.20) 92 Sis emas de equac¸ ˜ oes di e enciais que pode se esol ida pa a encon a x1 ; pa a calcula x2 , subs i ui-se x1 na p imei a equa c¸˜ ao do sis ema.  O m ´ e odo de elimina c¸˜ ao consis e ealmen e no p ocesso in e so ao seguido na esolu c¸˜ ao do exemplo 10.1, quando ans o mamos uma equa c¸˜ ao de o dem supe io num sis ema de equa c¸ ˜ oes de p imei a o dem. Exis em sis emas de equa c¸ ˜ oes mais complicados, nos quais o m ´ e odo de elimina c¸˜ ao n ˜ ao ´ e ´ u il; ealmen e o p ocesso de elimina c¸˜ ao de a i ´ a eis ´ e igual do que num sis ema de equa c¸ ˜ oes alg ´ eb icas, e como o lei o de e ´ a sabe exis em m ´ e odos simples pa a esol e sis emas de equa c¸ ˜ oes alg ´ eb icas linea es, mas n ˜ ao exis em m ´ e odos ge ais pa a as equa c¸ ˜ oes n ˜ ao linea es. Inclusi amen e no caso de sis emas linea es, quando o n ´ ume o de a i ´ a eis o ele ado, a elimina c¸˜ ao das a i ´ a eis pode o na -se complicada; alguns dos m ´ e odos usados no caso de equa c¸ ˜ oes alg ´ eb icas linea es, po exemplo a eg a de C ame , in oduzem di is ˜ ao po ope ado es que implicam e que calcula o in e so de um ope ado di e encial, que n˜ ao ´ e uma a e a ´ acil. 10.4 M´ e odo ma icial O m ´ e odo ma icial ´ e ´ u il pa a esol e sis emas de equa c¸ ˜ oes linea es, de coe icien es cons an es, homog´ eneos e com alo es iniciais. A o ma ge al desses sis emas ´ e dx d =Ax x(0) = x0(10.21) onde o e o cons an e x0 d ´ a o alo inicial do e o x , em =0 . Vamos encon a a solu c¸˜ ao do sis ema come c¸ ando pelo caso mais simples n=1 , e gene alizando o esul ado pa a qualque n . No caso n=1 , a ma iz A e o e o x ˆ em uma ´ unica componen e, e o sis ema ´ e uma ´ unica equa c¸˜ ao di e encial: dx d =ax x(0) = x0(10.22) onde a´ e uma cons an e eal. J ´ a imos ´ a ios m ´ e odos pa a esol e essa equa c¸˜ ao nos cap ´ ı ulos an e io es. A soluc¸˜ ao ´ e x=x0ea (10.23) A gene aliza c¸˜ ao pa a n>1´ e ´ acil: subs i uimos x pelo e o x , e a pela ma iz A , mas pa a se consis en es com a ep esen a c¸˜ ao de e o es como ma izes de uma coluna, a cons an e x0 de e ´ a i depois e n˜ ao an es da unc¸˜ ao exponencial x=eA x0(10.24) Mas o que que dize a exponencial de uma ma iz? pe gun a ´ a o lei o . Pa a o nosso obje i o exp(A ) de e ´ a se uma ma iz que quando de i ada em o dem a d ´ a a mesma ma iz mul iplicada ( ` a esque da) po A . Pa indo da de ini c¸˜ ao do p odu o en e ma izes e de ma izes po n ´ ume os, podemos de ini qualque un c¸˜ ao anal ´ ı ica de uma ma iz, gene alizando a pa i da s ´ e ie de McClau in da unc¸˜ ao; nomeadamen e, eA = ∞ ∑ n=0 (A )n n!=I+A+ 2A2+... (10.25) onde I´ e a ma iz iden idade, com 1 na diagonal e ze o o a dela; a pa i des a de inic¸˜ ao podemos demons a , de i ando cada memb o na s´ e ie, que deA d =AeA (10.26) 10.4 M´ e odo ma icial 93 Do pon o de is a p ´ a ico, a s ´ e ie de McClau in n ˜ ao ´ e ´ u il pa a calcula a ma iz exp(A ) , pois inclusi amen e o c ´ alculo dos p imei os e mos na s ´ e ie o na-se edioso. Pa a calcula a solu c¸˜ ao do sis ema, exp(A )x0 , calcula emos p imei o um sis ema de n solu c¸ ˜ oes pa icula es simples que o mam uma base pa a o espa c¸ o e o ial das solu c¸ ˜ oes x e encon a emos as coo denadas da solu c¸˜ ao pa icula nessa base. An es de abo da o p oblema s˜ ao p ecisas algumas de inic¸ ˜ oes. 10.4.1 Ve o es e alo es p ´ op ios Dada uma ma iz A de dimens ˜ oes n×n , Qualque e o de dimens ˜ ao n que e i ique a p op iedade A =λ (10.27) ´ e designado e o p ´ op io , onde λ´ e um n ´ ume o designado alo p ´ op io . A condi c¸˜ ao an e io n ˜ ao ´ e i ial; implica que a mul iplica c¸˜ ao da ma iz pelo e o p ´ op io d ´ a um e o que ´ e pa alelo ao p ´ op io e o . Se o um e o p ´ op io, qualque e o na mesma di e c¸˜ ao ( c ) amb ´ em se ´ a um e o p ´ op io, co esponden e ao mesmo alo p ´ op io; po an o, os e o es p ´ op ios co esponden es ao mesmo alo p ´ op io o mam um subespa c¸ o do espa c¸ o dos e o es de dimens ˜ ao n . O e o nulo, 0 , ob iamen e e i ica a condi c¸˜ ao de e o p ´ op io pa a qualque ma iz e qualque alo λ , mas n ˜ ao o conside a emos en e os e o es p ´ op ios. Tamb ´ em pode-se mos a que dois e o es p ´ op ios co esponden es a alo es p ´ op ios di e en es s ˜ ao linea men e independen es. Como o n ´ ume o m ´ aximo de e o es linea men e independen es ´ e n , o n´ ume o m´ aximo de alo es p ´ op ios di e en es amb´ em se ´ an. Pa a encon a os e o es e alo es p ´ op ios da ma iz A , e-esc e emos a equa c¸˜ ao (10.27) numa ou a o ma (A−λI) =0(10.28) Es e ´ e um sis ema de equa c¸ ˜ oes linea es, homog ´ eneo. Pa a que exis am solu c¸ ˜ oes di e en es da soluc¸˜ ao i ial, ´ e necess´ a io que o de e minan e do sis ema homog´ eneo seja igual a ze o |A−λI|=0 (10.29) es a condi c¸˜ ao ´ e um polin ´ omio de g au n ( polin´ omio ca a e ´ ıs ico da ma iz) e pode ´ a e , no m´ aximo, n a´ ızes ( alo es p ´ op ios) di e en es. No caso de exis i em n a ´ ızes do polin ´ omio ca a e ´ ıs ico, eais e di e en es, os e o es p ´ op ios co esponden es a cada alo p ´ op io o mam subespa c¸ os de dimens ˜ ao 1 (n ˜ ao podem e dimens ˜ ao maio ), e escolhendo um e o p ´ op io po cada alo p ´ op io ob emos uma base do espa c¸ o de dimens ˜ ao n . Quando exis e uma aiz epe ida m ezes, os e o es p ´ op ios co esponden es a esse alo p ´ op io o mam um subespa c¸ o com dimens ˜ ao comp eendida en e 1 e m ; se a dimens ˜ ao o m , se ´ a ainda poss ´ ı el selecciona m e o es p ´ op ios linea men e independen es e comple a a base de e o es p ´ op ios pa a o espa c¸ o odo. Pa a o nosso obje i o, no caso de alo es p ´ op ios complexos se ´ a ainda poss ´ ı el selecciona um e o po cada alo p ´ op io, s ´ o que os e o es seleccionados j ´ a n˜ ao se ˜ ao e o es p ´ op ios. Exemplo 10.3 Encon e os e o es p ´ op ios da ma iz:   −1 0 3 1 1 1 −4 0 6   100 Sis emas de equac¸ ˜ oes di e enciais com duas a i´ a eis li es e b=1. A escolha mais simples se ´ a: 2=  0 1 0 (10.77) a ma iz V de e o es undamen ais se ´ a a ma iz iden idade (o qual explica po que os dois e o es p ´ op ios o am de inidos como 1 e 3 ). E a ma iz undamen al X ob em-se usando os eo emas 8 e9 X=e   1 0 010 001 (10.78) o e o u de inido na equa c¸˜ ao (10.70) se ´ a igual ao e o , j ´ a que a ma iz V´ e a iden idade; pela mesma az ˜ ao, o e o c de inido na equa c¸˜ ao (10.45) se ´ a igual ao e o x0 . A solu c¸˜ ao do p oblema calcula-se a pa i de: x=Xc+X∗u=  e e 0 +  e ∗( e ) e ∗e e ∗( e ) (10.79) Os dois p odu os de con oluc¸˜ ao podem se calculados usando a ans o mada de Laplace: e ∗e =L−11 (s−1)2= e (10.80) ( e )∗e =L−11 (s−1)3= 2 2e (10.81) a soulc¸˜ ao do p oblema ´ e x=e       + 2 2 1+ 2 2       (10.82) 10.7 P oblemas Resol a os seguin es p oblemas de alo es iniciais pelo m´ e odo da eliminac¸˜ ao 1. x0=y−x y0=y−2sin x(0) = 0 y(0) = 1 2. x0=y−x y0=y−2x+sin x(0) = 0 y(0) = 0 3.    x0=z y0=x z0=y   x(0) = 0 y(0) = −1 z(0) = 1 10.7 P oblemas 101 Nos p oblemas seguin es calcule a ma iz eA e use o esul ado pa a encon a a solu c¸˜ ao do p oblema de alo inicial dx d =Ax x(0) = x0 4. A =2 1 0 1 x0=1 1 5. A =  1−1−1 131 −3 1 −1 x0=  0 1 0  6. A =4 5 −4−4x0=1 2 7. A =  1 0 0 3 1 −2 2 2 1  x0=  1 1 1  8. A =2 1 0 2 x0=1 1 9. A =  −1−1 0 0−1 0 0 0 −2 x0=  0 1 1  10. A =  −706 050 602 x0=  1 1 1  11. A =    1−400 4 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1     x0=    1 1 1 1     Com as ma izes dadas em cada caso esol a o p oblema de alo inicial dx d =Ax + x(0) = x0 12. A =3 1 2 2  = x0=1 0 13. A =  1 1 0 0 1 0 0 0 1   =e   0 1  x0=  0 1 0  14. A =2−2 4−2 =0 δ( −π)x0=1 0 102 Sis emas de equac¸ ˜ oes di e enciais 15. A =  −1−1−2 111 213  =e   0 0 1 x0=  0 0 0  16. A =3−1 2 0  =1−u( −1) 0x0=0 0 Cap´ ı ulo 11 Equac¸ ˜ oes de de i adas pa ciais 11.1 In oduc¸ ˜ ao Uma equa c¸˜ ao de de i adas pa ciais ´ e uma ela c¸˜ ao en e as de i adas de uma un c¸˜ ao de ´ a ias a i´ a eis. Alguns exemplos, que apa ecem em di e sos p oblemas, s˜ ao as seguin es equac¸˜ oes: 11.1.1 Equac¸˜ ao de ans e ˆ encia de calo . Se T( ,x) ep esen a a empe a u a num ins an e , na posi c¸˜ ao x sob e uma ba a, a equa c¸˜ ao de ans e ˆ encia de calo em uma dimens˜ ao ´ e: ∂T ∂ =a∂2T ∂x2(11.1) onde a´ e uma cons an e. A un c¸˜ ao T´ e a a i ´ a el dependen e, e e x s ˜ ao as a i ´ a eis independen es. 11.1.2 Equac¸˜ ao de onda . Uma unc¸˜ ao de onda, em duas dimens˜ oes, ´ e uma unc¸˜ ao (x,y, )soluc¸˜ ao da equac¸˜ ao ∂2 ∂ 2= 2 ∂2 ∂x2+∂2 ∂y2!(11.2) onde ´ e uma cons an e ( elocidade de p opaga c¸˜ ao). Nes e caso, exis em 3 a i ´ a eis independen es, nomeadamen e, as duas coo denadas espaciais xey, e o empo . 11.1.3 Equac¸˜ ao de Laplace . O po encial ele os ´ a ico V(x,y,z), numa egi˜ ao onde n˜ ao exis am ca gas, e i ica a equac¸˜ ao: ∂2V ∂x2+∂2V ∂y2+∂2V ∂z2=0 (11.3) Os exemplos an e io es co espondem odos a equa c¸ ˜ oes linea es, nas quais uma combina c¸˜ ao linea de soluc¸ ˜ oes ´ e amb´ em soluc¸˜ ao. 104 Equac¸ ˜ oes de de i adas pa ciais 11.2 Resoluc¸ ˜ ao de equac¸ ˜ oes simples As equa c¸ ˜ oes de de i adas pa ciais em que apa ece uma ´ unica de i ada, podem se in eg adas acilmen e. Conside emos po exemplo a equac¸˜ ao ∂2 ∂x2=3y(11.4) como a segunda de i ada em o dem a x´ e igual ` a de i ada da p imei a de i ada pa cial em o dem a x , po an o, a de i ada pa cial ∂ /∂x se ´ a igual ` a p imi i a de 3y , ao longo de um pe cu so com y cons an e ∂ ∂x=Z3ydx(ycons an e) (11.5) =3xy + (y)(11.6) onde (y) pode se qualque un c¸˜ ao a bi ´ a ia que n ˜ ao dependa de x . In eg ando uma segunda ez, com ycons an e, ob emos a unc¸˜ ao (x,y) =3 2yx2+x (y)+g(y)(11.7) Es a solu c¸˜ ao ´ e bas an e ge al, pois depende de duas un c¸ ˜ oes a bi ´ a ias e g . Pa a ob e uma solu c¸˜ ao ´ unica, se ´ a necess ´ a io sabe algumas condi c¸ ˜ oes on ei a. As condi c¸ ˜ oes on ei a s ˜ ao ˜ ao impo an es quan o a equa c¸˜ ao di e encial pa a de e mina a o ma da solu c¸˜ ao, j ´ a que com di e en es condic¸ ˜ oes on ei a ´ e poss´ ı el ob e soluc¸ ˜ oes mui o di e sas. 11.3 M´ e odo da ans o mada de Laplace As equa c¸ ˜ oes de de i adas pa ciais linea es com condi c¸ ˜ oes iniciais, podem se esol idas po meio da ans o mada de Laplace. As condi c¸ ˜ oes iniciais (na a i ´ a el ) pa a uma equa c¸˜ ao de o dem n em , consis em nos alo es da un c¸˜ ao e das suas p imei as n−1 de i adas no ins an e =0 . Se, po exemplo, a solu c¸˜ ao da equa c¸˜ ao o uma un c¸˜ ao de duas a i ´ a eis, (x, ) , e a equa c¸˜ ao o de segunda o dem em , as condic¸ ˜ oes iniciais se ˜ ao (x,0) = (x)(11.8) ∂ ∂ (x,0) = g(x)(11.9) onde e g s ˜ ao duas un c¸ ˜ oes de x dadas. A ans o mada de Laplace de (x, ) se ´ a uma un c¸˜ ao (x,s), de inida po meio do seguin e in eg al (x,s) = ∞ Z 0 e−s (x, )dx(11.10) As duas condi c¸ ˜ oes on ei a pe mi em calcula as ans o madas das duas p imei as de i adas, usando a p op iedade da ans o mada da de i ada; o esul ado ob ido ´ e L∂ ∂ =s (x,s)− (x)(11.11) L∂2 ∂ 2=s2 (x,s)−s (x)−g(x)(11.12) 11.4 T ans o madas de Fou ie 105 Como x e s ˜ ao a i ´ a eis independen es, e como a ans o mada de Laplace oi de inida em o dem a , as o dem en e as de i adas em x e a ans o mada de Laplace s ˜ ao independen es; po exemplo, L∂ ∂x=∂ ∂xL{ (x, )}=d dx(11.13) L∂2 ∂x2=∂2 ∂x2L{ (x, )}=d2 dx2(11.14) 11.4 T ans o madas de Fou ie 11.4.1 P odu o escala en e unc¸ ˜ oes Um p odu o escala en e duas unc¸ ˜ oes egpode se de inido da seguin e o ma: h (x),g(x)i= L Z 0 (x)g(x)dx(11.15) p op iedades: 1. h ,gi´ e um n´ ume o eal. 2. h ,gi=hg, i 3. hc ,gi=ch ,gi, pa a qualque cons an e c 4. h ,g+hi=h ,gi+h ,hi 5. se 6=0⇒h , i>0 es as p op iedades s ˜ ao id ˆ en icas ` as co esponden es p op iedades do p odu o escala en e e o es, e pe mi em de ini o m ´ odulo de uma un c¸˜ ao e ˆ angulos en e un c¸ ˜ oes. O m ´ odulo da un c¸˜ ao ´ e | |=h , i1/2 (11.16) e duas unc¸ ˜ oes egs˜ ao o ogonais se: h ,gi=0 (11.17) 11.4.2 S´ e ie seno de Fou ie A seguin e sucess˜ ao de unc¸ ˜ oes seno: (Sn(x) = sinnπ Lx)(11.18) s˜ ao odas o ogonais; nomeadamen e: hSn,Smi=(0,n6=m L 2,n=m(11.19) 106 Equac¸ ˜ oes de de i adas pa ciais em ela c¸˜ ao ao p odu o escala de inido acima. Qualque ou a un c¸˜ ao de inida no in e alo 0<x<L ´ e linea men e dependen e do conjun o de un c¸ ˜ oes Sn (com algumas excep c¸ ˜ oes que discu i emos mais logo); assim, qualque un c¸˜ ao (x) de inida no di o in e alo pode se esc i a como combina c¸˜ ao linea da sucess˜ ao {Sn}: (x) = ∞ ∑ n=1 bnsinnπ Lx(11.20) a s ´ e ie an e io ´ e designada po s´ e ie seno de Fou ie . ´ E ´ acil demons a (usando a o ogonalidade en e as unc¸ ˜ oes Sn) que os coe icien es bnna s´ e ie s˜ ao iguais a: an=2 Lh ,Sni=2 L L Z 0 (x)sinnπ Lxdx(11.21) o in eg al an e io chama-se ans o mada seno de Fou ie da unc¸˜ ao (x). 11.4.3 S´ e ie co-seno de Fou ie Ou a sucess˜ ao de unc¸ ˜ oes o ogonais ´ e a sucess˜ ao de unc¸ ˜ oes co-seno, de inida po : (Cn(x) = cosnπ Lx)(11.22) A p op iedade de o ogonalidade ´ e: hCn,Cmi=(0,n6=m L 2,n=m6=0 (ou Lse n=m=0) (11.23) Qualque un c¸˜ ao de inida no in e alo 0<x<L´ e linea men e dependen e do conjun o de un c¸ ˜ oes Cn (com algumas excep c¸ ˜ oes que discu i emos mais logo); assim, uma un c¸˜ ao (x) pode amb ´ em se esc i a como uma s´ e ie co-seno de Fou ie : (x) = a0 2+ ∞ ∑ n=1 ancosnπ Lx(11.24) onde os coe icien es ans˜ ao iguais a: an=2 Lh ,Cni=2 L L Z 0 (x)cosnπ Lxdx(11.25) e o in eg al an e io designa-se ans o mada co-seno de Fou ie da unc¸˜ ao (x). 11.5 Resoluc¸ ˜ ao de EDPs usando ans o madas de Fou ie A ans o mada de Fou ie ´ e ´ u il pa a esol e equa c¸ ˜ oes de de i adas pa ciais, de segunda o dem, com condi c¸ ˜ oes on ei a. Se (x,y) o a a i ´ a el dependen e, e i e mos condi c¸ ˜ oes on ei a pa a x=0 e x=L, comec¸amos po de ini a ans o mada de Fou ie da seguin e o ma n(y) = 2 Lh (x,y),φn(x)i(11.26) 11.5 Resoluc¸ ˜ ao de EDPs usando ans o madas de Fou ie 107 onde φnse ´ a uma das seguin es unc¸˜ oes p ´ op ias: φn(x) = (sin(λnx) cos(λnx)(11.27) e λn s ˜ ao ce os alo es p ´ op ios escolhidos em o ma adequada (j ´ a e emos a segui qual se ´ a a escolha ap op iada em cada caso). 11.5.1 P op iedade ope acional A ans o mada da segunda de i ada em a p op iedade impo an e (p op iedade ope acional) de depende da ans o mada da unc¸˜ ao. Po de inic¸˜ ao, a ans o mada da segunda de i ada pa cial ´ e ∂2 ∂x2n =2 Lhφn,∂2 ∂x2i(11.28) in eg ando po pa es duas ezes ob emos: ∂2 ∂x2n =2 L L Z 0 φn ∂2 ∂x2dx(11.29) =2 L∂ ∂xφn L 0− L Z 0 φ0 n ∂ ∂xdx(11.30) =2 L∂ ∂xφn− φ0 nL 0 +2 L L Z 0 φ0 n dx(11.31) a segunda de i ada das un c¸ ˜ oes p ´ op ias ´ e semp e ( an o no caso do seno como no caso do co-seno) p opo cional a si p ´ op ia φ00 n=−λ2 nφn(11.32) Assim, a p op iedade ope acional ´ e ∂2 ∂x2n =2 L∂ ∂x(L)φn(L)− (L)φ0 n(L)−∂ ∂x(0)φn(0)+ (0)φ0 n(0)−λ2 n n(11.33) Como amos esol e uma equa c¸˜ ao de segunda o dem, s ˜ ao dadas apenas duas condi c¸ ˜ oes on ei a que pe mi em calcula dois dos e mos den o dos pa ˆ en esis. Podemos usa a libe dade que emos na escolha das un c¸ ˜ oes e alo es p ´ op ios, pa a elimina os ou os dois e mos den o dos pa ˆ en esis. Es uda emos as qua o possibilidades: 1. Os alo es de (0,y)e (L,y)s˜ ao dados. Nes e caso se ´ a necess´ a io a bi a φn(0) = φn(L) = 0 (11.34) O qual de e mina as seguin es unc¸˜ oes e alo es p ´ op ios φn(x) = sin(λnx)λn=nπ L(11.35) A ans o mada co esponden e ´ e a ans o mada seno de Fou ie . 108 Equac¸ ˜ oes de de i adas pa ciais 2. Os alo es de ∂ (0,y)/∂xe∂ (L,y)/∂xs˜ ao dados. Nes e caso se ´ a necess´ a io a bi a φ0 n(0) = φ0 n(L) = 0 (11.36) E, po an o, as unc¸ ˜ oes e alo es p ´ op ios s˜ ao φn(x) = cos(λnx)λn=nπ L(11.37) A ans o mada ans o mada ´ e a ans o mada co-seno de Fou ie . 3. Os alo es de (0,y)e∂ (L,y)/∂xs˜ ao dados. Nes e caso se ´ a necess´ a io a bi a φn(0) = φ0 n(L) = 0 (11.38) E, po an o, as unc¸ ˜ oes e alo es p ´ op ios s˜ ao φn(x) = sin(λnx)λn=n+1 2π L(11.39) A ans o mada co esponden e ´ e a ans o mada seno modi icada. 4. Os alo es de ∂ (0,y)/∂xe (L,y)s˜ ao dados. Nes e caso se ´ a necess´ a io a bi a φ0 n(0) = φn(L) = 0 (11.40) E, po an o, as unc¸ ˜ oes e alo es p ´ op ios s˜ ao φn(x) = cos(λnx)λn=n+1 2π L(11.41) A ans o mada co esponden e ´ e a ans o mada co-seno modi icada. Exemplo 11.1 Resol a a equac¸ ˜ ao de Laplace: ∂2T ∂x2+∂2T ∂y2=0 (11.42) pa a as seguin es condic¸˜ oes on ei a: ∂T ∂x(0,y) = u(1−y)∂T ∂y(x,0) = 0T(2,y) = 0T(x,2) = 0 (11.43) A equac¸˜ ao pode se esol ida usando a ans o mada de Fou ie de T(x,y). em o dem a y n=hT(x,y),φn(y)i= 2 Z 0 T(x,y)φn(y)dy(11.44) A endendo ` as condi c¸ ˜ oes on ei a do p oblema, a bi amos as seguin es condi c¸ ˜ oes pa a as un c¸ ˜ oes p ´ op ias φ0 n(0) = 0φn(2) = 0 (11.45) 11.5 Resoluc¸ ˜ ao de EDPs usando ans o madas de Fou ie 109 que conduzem ` as seguin es unc¸˜ oes p ´ op ias e alo es p ´ op ios φn(y) = cos(λny)λn= (2n+1)π 4(11.46) as ans o madas das de i adas pa ciais de Ts˜ ao: ∂2T ∂x2n =d2 n dx2(11.47) ∂2T ∂y2n = 2 Z 0 ∂2T ∂y2cos(λny)dy=∂T ∂ycos(λny) 2 0 +λn 2 Z 0 ∂T ∂ysin(λny)dy =λnTsin(λny) 2 0−λ2 n 2 Z 0 Tcos(λny)dy=−λ2 n n A ans o mada de Fou ie da equac¸˜ ao de Laplace ´ e d2 n dx2−λ2 n n=0 (11.48) es a ´ e uma equa c¸˜ ao di e encial o din ´ a ia, linea , de coe icien es cons an es. As duas a ´ ızes do polin´ omio ca a e ´ ıs ico s˜ ao λne−λn, e a soluc¸˜ ao ge al ´ e n=Aneλnx+Bne−λnx(11.49) As condi c¸ ˜ oes on ei a pa a n ob ˆ em-se a pa i das ans o madas de Fou ie das condi c¸ ˜ oes on ei a do p oblema: n(2) = hT(2,y),φn(y)i=0 (11.50) d n(0) dx=hu(1−y),φn(y)i= 1 Z 0 cos(λny)dy=sinλn λn (11.51) subs i uindo es as condic¸ ˜ oes na soluc¸˜ ao ge al n(x), ob emos An−Bn=sinλn λ2 n Ane2λn+Bne−2λn=0 Resol endo es e sis ema, ob emos as cons an es An,Bne a soluc¸˜ ao pa icula n=sinλne−2λn 2λ2 ncosh(2λn)eλnx−sinλne2λn 2λ2 ncosh(2λn)e−λnx(11.52) A unc¸˜ ao T(x,y)´ e dada pela s´ e ie de Fou ie T(x,y) = ∞ ∑ n=0 sinλn λ2 ncosh(2λn)sinh[λn(x−2)]cos(λny)(11.53) 116 Equac¸ ˜ oes de de i adas pa ciais 11. ea 12. 5 5! 13. −sin 14. e2 −2 −1 15. 1 2ω3[sin(ω )−ω cos(ω )] 16. y=1 kR 0cosh[k( −s)] (s)ds 17. y=ek 1+(1−k) +R 0( −s)e−ks (s)ds 18. y=a e− 19. y=1+ +e /2"1 √3sin √3 2!−cos √3 2!# 20. y=1+cosh 21. y=1 2sin +e− 1−3 2  Cap´ ı ulo 9 1. yn=y0(2−2n)+ y1(2n−1)+ 2n−n−1 2. yn=n 3. yn=(−1)n 8n(n−1)2n 4. yn=2ny0+1 2−e−b−e−bn 2−e−b 5. yn=2n 41−cosnπ 3−1 √3sinnπ 3 6. y2m=1 37 28(−4)m+9 9my2m+1=−3 37 (−4)m+1 9m 7. y2m=y0+m(m−1)y2m+1=y1+m2 8. y(z) = 1 9. y(z) = 1 z(z−1) 10. y(z) = z(z2−1)sinω (z2−2zcosω+1)2 11.6 P oblemas 117 11. 1. Tn+1−Tn=n+1T1=1 2. Tn=n(n+1) 2 12. Sn=T2 n=n2(n+1)2 4 13. Sn=n(n+1) 14. O pe ´ ıodo ´ e 4, 3 e 1 espe i amen e. Exis em pon os de bi u ca c¸˜ ao en e −2 e −1.75 , e en e −1.75 e −1.3 Cap´ ı ulo 10 1. x=sin y =cos +sin 2. x=1 2(sin − cos )y=1 2(sin − cos + sin ) 3.                              x=2e− /2 √3sin √3 2! y=−e− /2"cos √3 2!+1 √3sin √3 2!# z=e− /2"cos √3 2!−1 √3sin √3 2!# 4. x =2e2 −e e  5. x =  e2 −e3 e3 −e2 +e3   6. x =cos(2 )+7sin(2 ) 2cos(2 )−6sin(2 ) 7. x =e      1 −1+2cos(2 )+ 1 2sin(2 ) 3 2−1 2cos(2 )+2sin(2 )      8. x =e2 1+ 1 9. x =e−   − 1 e−   118 Equac¸ ˜ oes de de i adas pa ciais 10. x =1 5  2e−10 +3e5 5e5 −e−10 +6e5   11. x =e     cos(4 )−sin(4 ) sin(4 )+cos(4 ) 2e −1 1     12. x =1 48 −3−12 +16e +35e4 −3−12 −32e +35e4  13. x =e      + 2 2 1+ 2 2      14. x =sin(2 )+cos(2 )−u( −π)sin(2 ) 2sin(2 )+u( −π)[cos(2 )−sin(2 )]  15. x = e 6  6 − 2 3 6+6 + 2  16. x =1 23−4e− +e−2 −u( −1)(3−4e1− +e2−2 ) 2−4e− +2e−2 −u( −1)(2−4e1− +2e2−2 ) Cap´ ı ulo 11 1. u(x,y) = xy + (y), onde ´ e qualque unc¸˜ ao de yde i ´ a el 2. u(x,y) = (x) + g(y) , onde e g s ˜ ao un c¸ ˜ oes de x e y , ambas de i ´ a eis nas espe i as a i´ a eis 3. u(x,y) = 1 3x3y+1 3xy3+ (x)+g(y) , onde e g s ˜ ao un c¸ ˜ oes de x e y , ambas de i ´ a eis nas espe i as a i´ a eis 4. (x, ) = 2e−x/2 −x 2hu −x 2−u −1−x 2i 5. (x, ) = sin −x cu −x c 6. u(x, ) = x( −1+e− ) 7. (x) = 4 π∑∞ n=1 1 2n−1sin(2n−1)xS´ e ie co-seno: (x) = 1 8. (x) = 2 π∑∞ n=1 1 nsin(nπx) = 1 2+4 π2∑∞ n=1 1 (2n−1)2cos[(2n−1)πx] 11.6 P oblemas 119 9. u(x, ) = 5sin(3πx)cos(3π ) 10. u(x, ) = 2∑∞ n=0(−1)n λn−1 λ2 n−e−α2λ2 n 1 λ2 n−2(−1)n λ3 ncos(λnx) em que λn= (n+1/2)π 11. u(x, ) = ∑∞ n=0 2 nπ1+1−(−1)nn2π2 n2π2−1e−nπx−1−(−1)n n2π2−1e−xsin(nπy) 120 Equac¸ ˜ oes de de i adas pa ciais Bibliog a ia 1. Chu chill R. V. Ope a ional Ma hema ics, 3a. Edic., McG aw-Hill, 1972. 2. Cos a M. R. N. Equac¸ ˜ oes de Di e enc¸as Fini as. FEUP, 1995. 3. Fa low, S. J. An In oduc ion o Di e en ial Equa ions and Thei Applica ions. McG aw-Hill, Singapo e, 1994. 4. James. G. Ad anced Mode n Enginee ing Ma hema ics, Second Edi ion, Addison-Wesley, Ha low, England, 1999. 5. Ko ach, L. D. Ad anced Enginee ing Ma hema ics, Addison-Wesley Pub. Co., Massachu- se s, 1982. 6. K eyszig, I. E. Ad anced Enginee ing Ma hema ics, 7aedic¸˜ ao, J. Wiley, 1992. ´ Indice C conjun o undamen al, 94 cons an e de decaimen o, 18 con oluc¸˜ ao, 75 D deg au uni ´ a io, 70 deslocamen o em ,70 E equac¸˜ ao homog´ enea, 10 equac¸˜ ao de Be noulli, 13 equac¸˜ ao exa a, 10 equac¸˜ ao indicial, 58 equac¸˜ ao linea de p imei a o dem, n˜ ao homog´ enea, 43 equac¸ ˜ oes linea es, 8 F a o in eg an e, 8 o c¸a impulsi a, 71 o ma di e encial, 2 o ma in e sa, 2 unc¸˜ ao del a de Di ac, 72 unc¸ ˜ oes p ´ op ias, 107 uncional, 72 I impulso, 71 M ma iz undamen al, 95 meia- ida, 18 P polin´ omio ca a e ´ ıs ico, 28,45,93 p imei a o dem, 7 S s´ e ie co-seno de Fou ie , 106 s´ e ie seno de Fou ie , 106 soluc¸˜ ao undamen al, 94 T ans o mada co-seno de Fou ie , 106 ans o mada co-seno modi icada, 108 ans o mada seno de Fou ie , 106 ans o mada seno modi icada, 108 V alo p ´ op io, 93 alo es p ´ op ios, 107 a i´ a eis sepa ´ a eis, 7 e o p ´ op io, 93