Facul ad de Ciencias
T abajo Fin de G ado
G ado en Ma emá icas
In eg ación po cuad a u as de ecuaciones di e enciales
o dina ias
Au o : Ma ía Ma ín Manso
Tu o : José Ma ía Cano To es
2
Ag adecimien os
A mi amilia y amigos, muy especialmen e a mis pad es, a mi he mano y a
Juan, po sus consejos, su apoyo incondicional y confia en mi cuando ni
yo misma lo hacía.
A la memo ia de los que ya no es án aquí p esen es, pe o sé que me
acompañan siemp e.
A mi u o José, po su ayuda y dedicación en es e abajo.
i
ii
Índice gene al
In oducción 3
1. Funciones acionales 5
1.1. La es e a de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Compo amien o de las unciones en el infini o . . . . . . . . . 10
1.3. Funciones acionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4. In eg ación de unciones acionales . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1. Algo i mo de Be noulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2. Mé odo de He mi e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2. Álgeb a di e encial 25
2.1. Anillos y cue pos di e enciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Ex ensiones di e enciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Monomios, y polinomios especiales y no males . . . . . . . . . 37
2.4. Aplicacióno den ......................... 47
2.4.1. Aplicación o den en infini o . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4.2. Localizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.3. Residuos.......................... 62
3. El eo ema de Liou ille 71
3.1. Teo ema de Liou ille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.1. Ejemplo de aplicación del eo ema de Liou ille . . . . . 83
Bibliog a ía 89
1

2ÍNDICE GENERAL
In oducción
Una unción elemen al es una unción o mada po la composición, la
suma o el p oduc o de unciones algeb aicas, exponenciales y loga í micas.
Además, u ilizando la ope ación de i ación en una de ellas, se ob ienen nue-
as unciones elemen ales.
Se puede cons ui de ácilmen e un algo i mo pa a ob ene la de i ada de
una unción elemen al en é minos de unciones elemen ales. Sin emba go,
el p oceso in e so no se es udia en el G ado de Ma emá icas, sal o casos de
unciones elemen ales muy pa icula es.
En el año 1968, Risch desa olló un algo i mo que pe mi e decidi si una
unción elemen al iene una in eg al elemen al, y calcula la en caso afi ma-
i o. Es e algo i mo es ex ao dina iamen e complejo. De hecho, el lib o de
B ons ein [2] se dedica al es udio únicamen e del caso de unciones elemen a-
les ansceden es, dejando pa a un segundo olumen, que nunca ió la luz, el
caso algeb aico. El obje i o de es e abajo es es udia el eo ema de Liou i-
lle, el cual o ma pa e de la eo ía pa a desa olla el algo i mo de Risch, en
su e sión nega i a. Es e nos da á una condición pa a sabe si una unción
de e minada iene p imi i as elemen ales o no.
El ejemplo más conocido po odos de unción con in eg al no elemen al, es
la unción de Gauss (x) = e−x2. Es a unción, empleada en es adís ica, es
in eg able pe o, como e emos al final de es e abajo , no exis e una com-
binación de unciones elemen ales que exp ese su in eg al. De hecho, en la
p ác ica, el alo de es as in eg ales se calcula con ayuda de una abla, o con
ó mulas de cuad a u a numé ica en algún p og ama de o denado .
Dado que el cue po di e encial base del que pa imos es el de las unciones
acionales, el p ime capí ulo del abajo lo dedicamos a la in e p e ación de
és as como unciones sob e la es e a de Riemann.
3
4ÍNDICE GENERAL
En el segundo capí ulo desa olla emos la eo ía de álgeb a di e encial. En e
los concep os y esul ados más impo an es se encuen an aquellos que in o-
luc an anillos y cue pos di e enciales, ex ensiones di e enciales y la aplicación
o den. Toda es a eo ía, se emplea á pa a desa olla el úl imo capí ulo y pa -
e cen al de es e abajo, el eo ema de Liou ille. Aunque, a p io i, pa ezca
que amos a da un a gumen o analí ico, lo cie o es que demos a emos es e
úl imo eo ema ecu iendo a azonamien os algeb aicos en el con ex o de
los cue pos di e enciales. Finalmen e, es e eo ema nos ayuda á a p oba que
in eg ales como, po ejemplo,
∫e−x2o∫sen(x)
x,
no pueden exp esa se en é minos de unciones elemen ales.
Capí ulo 1
Funciones acionales
1.1. La es e a de Riemann
Reco damos la cons ucción de la es e a de Riemann y algunas de sus
p opiedades; pa a ello conside amos la es e a en R2,
S2={(x1, x2, x3)∈R3/x2
1+x2
2+x2
3= 1},
e iden ificamos el plano complejo Ccon el plano T={x3= 0}median e la
co espondencia de z=x+iy siendo x, y ∈Rcon (x, y, 0) pa a odo z∈C.
Sea N= (0,0,1) el polo no e de la es e a, la p oyección es e eog áfica desde
Np opo ciona una aplicación biyec i a
π:S2 N−→ C(1.1)
siendo πla composición siguien e
π:S2 N−→ T∼
=C
Q→P∼
=z(1.2)
donde Pes un pun o del plano Tdefinido an e io men e, zel pun o del plano
complejo Chomeomo o a PyQ∈S2 N, y se iene que los pun os P,Qy
Nson colineales.
5
12 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES
Definición 1.2.1 Se dice que z0es una aíz de la ecuación (z) = ccon
mul iplicidad m0si la unción (z)−c iene un ce o en z=z0con mul ipli-
cidad m0, es deci , si y sólo sí (z0)−c= 0, ′(z0) = 0,..., (m0−1)(z0) = 0,
(m0)(z0)= 0.
Obse ación:
Si z0es una aíz múl iple (m≥2) de (z) = c, en onces ′(z0) = 0, es deci ,
z0es un ce o de ′(z).
P oposición 1.2.1 Hay un núme o fini o de alo es c pa a los cuales la
ecuación (z) = c iene al menos una aíz múl iple.
Demos ación:
Si la ecuación (z) = c iene a z0como aíz múl iple, en onces ′(z0) = 0,
es deci , z0∈Z( ) = {z∈ˆ
C/ ′(z) = 0}=Z, siendo Z={w1, ...wk}
un conjun o fini o. Luego c= (z0)∈ (Z) = { (w1), ..., (wk)}. Así que si
c /∈ { (w1), ..., (wk)}, en onces la ecuación (z) = csólo puede ene aices
simples. 
Definición 1.2.2 Sea Dun conjun o abie o de ˆ
Cy :D→C. Se dice que
es analí ica ( esp. me omo a) en D si:
es analí ica ( esp. me omo a) en D, si ∞/∈D.
◦J(z) = (1/z)es analí ica ( esp. me omo a) en ∞, si ∞ ∈ D
Teo ema 1.2.1 Sea una unción analí ica en una egión Rde ˆ
C. Si
iene ce os en un núme o infini o de pun os znen Rcon z∗= l´ımn→∞ znen
R, en onces es idén icamen e ce o en R.
Demos ación:
Si z∗=∞, en onces zn=∞pa a odo nsuficien emen e g ande, po lo
que omi iendo un núme o fini o de é minos podemos supone que zn∈C
pa a odo n. Aho a R′=R ∞ es una egión en C, y es analí ica en R′
con ce os en una secuencia infini a de pun os zn∈R′con un lími e z∗∈R′,
luego es idén icamen e ce o en R′. Si ∞/∈Ren onces R=R′y el esul ado

1.2. COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EN EL INFINITO 13
queda demos ado. Si ∞ ∈ R, en onces como es analí ico en ∞y se anula
en un en o no de ∞, enemos que (∞) = 0, po con inuidad.
Supongamos aho a que z∗=∞. Omi iendo un núme o fini o de é minos,
podemos supone que zn= 0 pa a odo n. Como es analí ica en la egión
ˆ
R=R {0}, ◦Jes analí ica en la egión R∗={z−1/z ∈ˆ
R}. Aho a ◦J
iene ce os en los pun os z−1
nde R∗, y es os ienen un lími e J(z∗) = 0 en R∗,
po lo que ◦Jes idén icamen e ce o en R∗y po an o es idén icamen e
nula en ˆ
R. Si 0/∈Ren onces R=ˆ
Ry el esul ado queda demos ado. Si
0∈Ren onces (0) = 0 po con inuidad, po lo que es idén icamen e nula
en R.
Hemos p obado que ∞se puede inclui en el dominio de definición de una
unción , pe o ambién se puede in oduci ∞en la imagen de :
Si es una unción me omo a en un pun o z0∈ˆ
C, con un polo en z0, es deci
p esen a una singula idad en z0yl´ımz→z0 (z) = ∞o lo que es equi alen e
J◦ (z0) = 0, en onces se puede esc ibi (z0) = ∞.
Definición 1.2.3 Dada una unción analí ica en un pun o a∈C, con
(a) = c∈C; si es no cons an e en onces (k)(a)= 0 pa a algún k≥1, y
al meno de dichos núme os en e os kse le llama mul iplicidad de la solución
de (z) = cen z=a.
Si es una unción me omo a en z0∈C, con un polo de o den ken z0,
en onces (z0) = ∞con mul iplicidad k.
Si z0=∞se dice que (∞) = ccon mul iplicidad ksi ( ◦J)(0) = ccon
mul iplicidad k.
P oposición 1.2.2 Una unción me o o ma :ˆ
C→ˆ
Cno cons an e, iene
como imagen un cie o alo c∈ˆ
Cun núme o fini o de eces, con ando
mul iplicidades, es deci , la suma de las mul iplicidades de las soluciones de
(z) = ces fini a.
Demos ación:
Demos amemos en p ime luga que si z∈Cy (z) = c, en onces exis e
un en o no Uzde z al que no oma el alo cen Uz {z}. En e ec o, si
14 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES
c=∞, los polos de son ce os de J◦ , y como J◦ es una unción me-
omo a no cons an e, po el eo ema an e io dichos ce on son aislados; si
c=∞, u ilizamos el hecho de que los ce os de −ces án aislados. Po se
ˆ
Ces compac o, es á ecubie o po un núme o fini o de en o nos Uz1, ..., Uzk,
po lo que −1(c) = {z1, ..., zk}es un conjun o fini o. Como es una unción
me omo a, cada solución de (z) = c iene mul iplicidad fini a, luego oma
el alo c sólo un núme o fini o de eces. 
Definición 1.2.4 Sea z=z0una singula idad aislada de una unción (z)
analí ica en un anillo A(z0; , R) = {z∈C; < |z−z0|< R}. Un desa ollo
en se ie de Lau en pa a (z) es de la o ma:
(z) = ∑∞
k=1a−k(z−z0)−k+∑∞
k=0ak(z−z0)k.
El p ime suma o io se llama pa e p incipal del desa ollo de la unción en
el pun o z0, y el segundo pa e analí ica.
Teo ema 1.2.2 Sean yg unciones me omo as sob e ˆ
Ccon polos en los
mismos pun os de ˆ
C, y con las mismas pa es p incipales en es os pun os.
En onces (z) = g(z) + cpa a alguna cons an e c.
Demos ación:
La unción h= −ges me omo a, po se di e encia de unciones me o-
mo as, y po an o con inua en ˆ
C. Luego como ˆ
Ces compac o, su imagen
po hes compac a. Como las pa es p incipales de ygse cancelan, po
se iguales, hno iene polos, po lo que h(ˆ
C)es un subconjun o de C, y al
se compac o es á aco ado. El eo ema de Liou ille mues a que po se h
una unción analí ica y aco ada, debe se cons an e en C, y po an o, po
con inuidad, h=cen ˆ
Cpa a alguna cons an e c, es deci , =g+c.
P oposición 1.2.3 Una unción analí ica en odo ˆ
Ces cons an e.
Demos ación:
Es consecuencia del eo ema an e io ya que dicha unción iene las mismas
pa es p incipales que una unción cons an e. 
1.3. FUNCIONES RACIONALES 15
Teo ema 1.2.3 Sean yg unciones me omo as en ˆ
Ccon ce os y polos
de los mismos ó denes y en los mismos pun os de C. En onces (z) = cg(z)
pa a alguna cons an e c= 0.
Demos ación:
Podemos supone que ygno son unciones idén icamen e nulas. En on-
ces /g yg/ son me omo os en ˆ
C, po se cocien e de unciones me omo as
con unción denominado no nula, y ninguna de ellas iene polos en C, ya que
como ienen polos en los mismos pun os al hace el cocien e es os desapa e-
cen, po lo que ambas son analí icas en C. Al menos una de ellas es fini a
en ∞, luego es analí ica en ˆ
C. Como en el eo ema an e io , el eo ema de
Liou ille implica que hes cons an e, po lo que =cg pa a alguna cons an e
c= 0 ni ni gson idén icamen e nulas. 
1.3. Funciones acionales
Definición 1.3.1 Una unción acional es una unción de la o ma (z) =
p(z)/q(z), siendo p(z)yq(z)polinomios con coeficien es en Cyq(z)no
idén icamen e nula.
Se puede ex ende la definición de unción acional (z)al plano ampliado
ˆ
C, definiendo (z) = l´ımz′→z (z′), pa a z=∞oq(z) = 0.
Definición 1.3.2 Sean ,gdos polinomios con coeficien es complejos y am-
bos no nulos. Se dice que son cop imos si ningún polinomio de g ado ≥1
di ide simul áneamen e a y a g.
El eo ema undamen al del álgeb a, es ablece que odo polinomio de g a-
do mayo que ce o posee una aiz. Luego se pueden descompone pyq
como p oduc o de ac o es i educibles de g ado 1. Al ealiza el cocien e
(z) = p(z)/q(z), se pueden cancela los ac o es comunes del nume ado y
denominado , y da como esul ado una unción cocien e de polinomios que
son cop imos. Es a unción, de nue o po el eo ema undamen al del álge-
b a, puede exp esa se como:
(z) = c(z−α1)m1...(z−α )m (z−β1)−n1...(z−βs)−ns,
16 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES
siendo c∈C,α1,...,α aices del polinomio pcon mul iplicidades m1,..m y
β1,...,βs aices del polinomio qcon mul iplicidades n1,...,ns. Dichos α1,...,α
son ce os de la unción de mul iplicidades m1,..m yβ1,...,βsson los polos
de de ó denes n1,...,ns.
Teo ema 1.3.1 Una unción :ˆ
C→ˆ
Ces acional si y solo si es una
unción me omo a en ˆ
C.
Demos ación:
Si se descompone la unción como se acaba de e (cocien e de dos
polinomios cop imos descompues os en ac o es i educibles), en onces es
analí ica en cada z=∞yz=βj,j= 1, ...s, luego es una unción
analí ica en C β1, ..., βs. En cada βj,j= 1, ...s, iene un polo de o den
nj, mien as que en ∞, es analí ico si g (p)≤g (q)y iene un polo de
o den g (p)−g (q), si g (p)> g (q). Po lo an o es me omo a en ˆ
C.
Recíp ocamen e,sea una unción me omo a con ce os en α1, ..., αkcon
mul iplicidades m1, ..., mky polos en β1, ..., βscon ó denes n1, ...ns. En cada
βi, (z)posee una pa e p incipal:
PP( ;βi) = Ai,ni
(z−βi)ni+... +Ai,ni
(z−βi)=hi(z)
(z−βi)ni,
donde el g ado de hi(z)es meno o igual que ni. Además,
PP( ;∞) = Akzk+Ak−1zk−1+... +A1z.
En onces h(z) = PP( ;∞) + PP( ;β1) + ... +PP( ;βs)es una unción
acional, y po an o me omo a, cuyos únicos polos son β1, ...βs. Además,
PP(h;βi) = PP( ;βi)yPP(h;∞) = PP( ;∞). Luego po el eo ema 1.2.2,
po se yh unciones me omo as con polos en los mismos pun os y con
las mismas pa es p incipales, se iene que (z) = h(z) + c. Luego es una
unción acional. 
Definición 1.3.3 Dada una unción acional =p/q, con pyqdos poli-
nomios cop imos. Se llama g ado de al máximo de los g ados de pyq.
Teo ema 1.3.2 Una unción acional :ˆ
C→ˆ
Cde g ado n > 0, oma cada
alo c∈ˆ
Cexac amen e n eces, con ando mul iplicidades.
1.3. FUNCIONES RACIONALES 17
Demos ación:
Po se una unción acional, es de la o ma =p/q, donde pyqson
dos polinomios cop imos. Supongamos que c=∞. Pa a algún z∈Cse
iene (z) = ∞si y sólo si q(z)=0, y po el eo ema undamen al del álge-
b a es a úl ima ecuación iene g (q)soluciones, con ando mul iplicidades. Si
g (p)≤g (q), en onces dichas soluciones son los únicos polos de la unción .
Si se cumple la desigualdad con a ia, g (p)> g (q)además de los polos an-
e io es, posee uno en ∞de o den g (p)−g (q). En ambos casos, el núme o
de soluciones de (z) = ∞, con ando mul iplicidades, es max(g (p), g (q))
que es g ( ).
Supongamos aho a que c=∞. Como g ( )>0, no es idén icamen e igual
a dicha cons an e. Luego exis e una unción acional
g=1
−c;
de modo que las soluciones de la ecuación (z) = cson exac amen e el los
polos de la unción g, que po el a gumen o p e io hay g (g)de es os. Como
es una unción acional
g=q
p−cq,
siendo qyp−cq cop imos po se lo pyq, luego g (g) = max(g (q), g (p−
cq)) = max(g (q), g (p)) = g ( ).
Definición 1.3.4 Sea una unción me omo a en a∈ˆ
Cy sea (a) = c.
Se dice que aes un pun o múl iple de si la ecuación (z) = c iene una
solución múl iple en z=a; si c=∞es o es equi alen e a ′(a)=0, mien-
as que si c=∞, es equi alen e a que enga un polo de o den al menos
dos en a.
El es o de pun os se llaman pun os simples de .
P oposición 1.3.1 Sea :ˆ
C→ˆ
Cuna unción acional de g ado d > 0.
En onces:
1. sólo iene un núme o fini o de pun os múl iples en ˆ
C
2. El ca dinal del conjun o −1(c)es igual a dpa a odos los pun os, ex-
cep o pa a un núme o fini o de pun os c∈ˆ
C, y 1≤| −1(c)|< d pa a
el es o de pun os c.

18 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES
Demos ación:
1. Como la de i ada de es acional y no idén icamen e nula, ′ iene
un núme o fini o de ce os en ˆ
C; como iene sólo un núme o fini o de
polos, se iene.
2. Po el eo ema an e io , si c∈ˆ
Cen onces hay soluciones z=a1, ..., a
de (z) = ccon mul iplicidades k1, ..., k , sa is aciendo k1+...+k =d.
Po lo an o | −1(c)|= ,po lo que 1≤| −1(c)|≤ d, y se iene
| −1(c)|=d, a menos que haya algún kj≥2. Como sólo iene un
núme o fini o de pun os múl iples, po (1), se iene (2).

1.4. In eg ación de unciones acionales
Es conocido que cualquie unción acional puede se in eg ada en é -
minos de unciones elemen ales. Pa a ello exis en algo i mos, como el de
Be nouilli, que de allamos a con inuación.
1.4.1. Algo i mo de Be noulli
Es e mé odo no es compu acionalmen e eficien e debido al cos o de la
ac o ización polinómica pe o iene impo ancia eó ica.
Sea una unción acional, que se puede esc ibi como =P+A/D , siendo
P, A, D ∈R[x],mcd(A, D) = 1 ydeg(A)< deg(D), haciendo la di isión
polinómica del nume ado de en e su denominado . Sea
D=c∏n
i=1(x−ai)ei∏m
j=1(x2+bjx+cj) j
la ac o ización de Den é minos de ac o es i educibles sob e R, donde
c,ai,bjycjson alo es eales, y eiy jen e os posi i os, pa a odos i,j.
Realizando la descomposición en acciones simples de , se iene que
=P+∑n
i=1∑ei
k=1
Aik
(x−ai)k+∑m
j=1∑ j
k=1
Bjkx+Cjk
(x2+bjx+cj)k
1.4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 19
siendo Aik,Bjk yCjk alo es eales, pa a odos i,jyk. Luego
∫ =∫P+∑n
i=1∑ei
k=1 ∫Aik
(x−ai)k+∑m
j=1∑ j
k=1 ∫Bjkx+Cjk
(x2+bjx+cj)k.
Veamos cada in eg al po sepa ado: La p ime a no posee ningún p oblema
ya que es una in eg al polinómica. La segunda,
∫Aik
(x−ai)k={Aik(x−ai)1−k
1−ksi k > 1
Ai1log(x−ai)si k = 1
Po úl imo, calculamos la exp esión de la e ce a in eg al. Po se x2+bjx−ai
un polinomio i educible en R[x]se iene que b2
j−4cj<0. Luego,
Si k= 1,
∫Bj1x+Cj1
(x2+bjx+cj)=Bj1∫x+Cj1
Bj1
x2+bjx+cj
=
=Bj1∫x+bj
2+Cj1
Bj1−bj
2
x2+bjx+cj
=
=Bj1∫x+bj
2
x2+bjx+cj
+Bj1(Cj1
Bj1−bj
2)∫1
x2+bjx+cj
=
=Bj1
2log(x2+bjx+cj) + Bj1(Cj1
Bj1−bj
2)∫1
x2+bjx+cj
=
=Bj1
2log(x2+bjx+cj) + 1
2(2Cj1−bjBj1)∫1
(x+bj
2)2+cj−(bj
2)2=
20 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES
=Bj1
2log(x2+bjx+cj) + 1
2


2Cj1−bjBj1
cj+(bj
2)2

∫1
(2x+bj
√4cj−b2
j)2
+ 1
=
=Bj1
2log(x2+bjx+cj) + 

2Cj1−bjBj1
√4cj+bj2
∫
2
√4cj+bj
2
(2x+bj
√4cj−b2
j)2
+ 1
=
=Bj1
2log(x2+bjx+cj) + 2Cj1−bjBj1
√4cj−b2
j
a c an 

2x−bj
√4cj−b2
j
.
Si k > 1,
∫Bjkx+Cjk
(x2+bjx+cj)k=Bjk
2∫2x+2Cjk
Bjk +bj−bj
(x2+bjx+cj)k=
=Bjk
2∫2x+bj
(x2+bjx+cj)k+Bjk
2∫
2Cjk
Bjk −bj
(x2+bjx+cj)k=
=Bjk
2
1
(1 −k)(x2+bjx+cj)k−1+1
2∫2Cjk −bjBjk
(x2+bjx+cj)k
Vamos a calcula el alo de la úl ima in eg al. Pe o pa a simplifica
en las ope aciones eliminamos los subíndices. En onces,
∫1
(x2+bx +c)k=∫1
((x+b
2)2−b2
4+c)k=∫1
((x+b
2)2−m2)k,
siendo m2=b2
4−c. Si hacemos el cambio de a iable m =x+b
2con
1.4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 21
md =dx, se iene que la in eg al an e io es igual a
∫m d
((m )2+m2)k=1
m2k−1∫d
( 2+ 1)k=
=1
m2k−1∫ 2+ 1
( 2+ 1)kd −1
m2k−1∫ 2
( 2+ 1)kd =
=1
m2k−1∫1
( 2+ 1)k−1d −1
m2k−1∫ 2
( 2+ 1)kd .
Si aho a hacemos in eg ación po pa es en la úl ima in eg al conside-
ando
u= , d =2
( 2+ 1)kd , du =d , =−1
(k−1)( 2+ 1)k−1,
nos queda que
1
m2k−1∫1
( 2+ 1)k−1d −1
m2k−1∫ 2
( 2+ 1)kd =
=1
m2k−1∫1
( 2+ 1)k−1d +1
2(k−1)m2k−1( 2+ 1)k−1−
−1
2(k−1)m2k−1∫1
( 2+ 1)k−1d =
=2k−3
2(k−1)m2k−1∫1
( 2+ 1)k−1d +1
2(k−1)m2k−1( 2+ 1)k−1=
=2k−3
2(k−1)m∫1
((m )2+m2)k−1d +1
2(k−1)m2k−1( 2+ 1)k−1.
Así que haciendo el cambio de a iable in e so, es deci , =2x+b
2m, se
28 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
Luego queda p obado que des una de i ación. Como la aplicación idén ica-
men e nula en Aes una de i ación, queda p obado que el conjun o de las
de i aciones en Aes un A-módulo. 
Definición 2.1.4 Sea (A, d)un anillo di e encial. Un ideal Ide Aes un
ideal di e encial si dI ⊆I, es deci , si pa a odo elemen o adel ideal I, se
cumple que d(a)∈I.
P oposición 2.1.3 Sean (A, d)un anillo di e encial, Iun ideal di e encial
en Ayπ:A→A/I la p oyección canónica. En onces dinduce una de i a-
ción d∗en A/I al que d∗◦π=π◦d.
Demos ación:
P ime o definimos d∗como sigue: pa a x∈A/I se conside a a∈A al que
π(a) = xy se fija d∗(x) = π(da). Veamos en p ime luga que la aplicación d∗
es á bien definida. Supongamos que π(a) = π(b) = xpa a a, b ∈A. En onces
a−b∈I, luego po se Iun ideal di e encial se iene que d(a−b)∈I.
Así que d(a)−d(b)∈I, y po an o π(da) = π(db), es deci , d∗es á bien
definido. Veamos aho a que es una de i ación, pa a ello eamos que cumplen
las p opiedades de la de i ación de suma y p oduc o. Sabemos po definición
de d∗que d∗◦π=π◦d. Sean x, y ∈A/I ya, b ∈A al que π(a) = xy
π(b) = y. En onces π(a+b) = x+yyπ(ab) = xy, y po an o,
d∗(x+y) = d∗(π(a+b)) = π(d(a+b)) = π(da) + π(db) =
=d∗(π(a)) + d∗(π(b)) = d∗(x) + d∗(y)
y
d∗(xy) = d∗(π(ab)) = π(d(ab)) = π(ad(b) + bd(a)) =
=π(a)π(d(b)) + π(b)π(d(a)) = xd∗(π(b)) + yd∗(π(a)) =
=xd∗(y) + yd∗(x).
Y queda p obado que d∗es una de i ación en A/I.

2.2. EXTENSIONES DIFERENCIALES 29
2.2. Ex ensiones di e enciales
Definición 2.2.1 Sean (A, d)y(B, δ)anillos di e enciales. Se dice que (B, δ)
es una ex ensión di e encial de (A, d)si Aes un subanillo de Byδ(a) = d(a)
pa a odo a∈A.
Teo ema 2.2.1 Sea (A, d)un anillo di e encial, que además es dominio de
in eg idad y Ksu cue po de acciones. En onces, exis e una única de i ación
δen K al que (K, δ)es una ex ensión di e encial de (A, d).
Demos ación:
Definimos la aplicación δcomo sigue,
δ:K−→ K
a
b→b·da −a·db
b2.(2.1)
Vamos a comp oba que es a es la de i ación que cumple el enunciado. Pa a
ello eamos p ime o que es á bien definida:
Supongamos que a/b =x/y, siendo a, b, x, y ∈A. En onces, ay =bx y po lo
an o,
δ(a
b)−δ(x
y)=b·d(a)−a·d(b)
b2−y·d(x)−x·d(y)
y2=
=y2bd(a)−y2ad(b)−b2yd(x) + b2xd(y)
b2y2=
=(bd(y) + yd(b))(bx −ay) + abyd(y)−bxyd(b) + by(yd(a)−bd(x))
b2y2=
=d(by)(bx −ay) + by(yd(a) + ad(y)−bd(x)−xd(b))
b2y2=
=d(by)(bx −ay) + byd(ay −bx)
b2y2= 0.
Luego δ(a
b)=δ(x
y)y aplicación δes á bien definida. Veamos aho a que,
e ec i amen e, es una de i ación. Pa a ello eamos que δcumple las dos
30 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
p opiedades que ca ac e izan a es e ipo de aplicaciones.
δ(a
b+x
y)=δ(ay +bx
by )=byd(ay +bx)−(ay +bx)d(by)
b2y2=
=by2d(a) + abyd(y) + bxyd(b) + b2yd(x)
b2y2−
−abyd(y) + ay2d(b) + bxyd(y) + b2xd(y)
b2y2=
=bd(a)−ad(b)
b2+yd(x)−xd(y)
y2=δ(x) + δ(y).
δ(ax
by )=byd(ax)−axd(by)
b2y2=abyd(x) + bxyd(a)−abxd(y)−axyd(b)
b2d2=
=a(yd(x)−xd(y))
bd2+x(bd(a)−ad(b))
b2d=a
b·δ(x
y)+x
y·δ(a
b).
Luego δcumple las eglas de suma y p oduc o, y po lo an o, la aplicación
δes una de i ación.
Veamos aho a que δes una ex ensión de d. Pa a ello, bas a obse a que
dado un elemen o a∈Aa bi a io,
δ(a) = δ(a
1)=1d(a)−ad(1)
12=d(a)
Así pues, (K, δ)es una ex ensión di e encial de (A, d).
Po úl imo, amos a comp oba la unicidad de δ. Supongamos aho a que
enemos dos de i aciones δ1yδ2de K ales que (K, δ1)y(K, δ2)son ex en-
siones di e enciales de (A, d). Sean a, b ∈Ayb= 0. En onces, u ilizando la
segunda p opiedad de la p oposición 2.1.1,
δ1(a
b)=bδ1(a)−aδ1(b)
b2=bd(a)−ad(b)
b2=bδ2(a)−aδ2(b)
b2=δ2(a
b).
Luego δ1=δ2, es deci , la aplicación δdefinida an e io men e es la única
de i ación en K al que (K, δ)es una ex ensión di e encial de (A, d).
2.2. EXTENSIONES DIFERENCIALES 31
Definición 2.2.2 Sean Aun anillo di e encial y A[x]su anillo de polino-
mios, siendo xuna inde e minada sob e A. Pa a cada de i ación den A, se
define la aplicación Dd:A[x]→A[x]dada po
Dd(n
∑
i=0
aixi)=
n
∑
i=0
d(ai)xi
P oposición 2.2.1 La aplicación Dddefinida an e io men e es una de i a-
ción en A[x].
Demos ación:
Sean , g ∈A[x]de la o ma =∑n
i=0 aixiyg=∑n
i=0 bixi. Veamos que se
cumplen las p opiedades pa a que Ddsea una de i ación, es deci , que
Dd( +g) = Dd( ) + Dd(g)y Dd( g) = Dd(g) + gDd( ).
Po la definición an e io , se cumple que
Dd( +g) = ∑n
i=0 d(ai+bi)xi=∑n
i=0 d(ai)xi+∑n
i=0 d(bi)xi=Dd( )+Dd(g).
Además,
Dd( g) =
2n
∑
k=0
d
∑
i,j≥0,i+j=k
aibj
xk=
2n
∑
k=0 ∑
i,j≥0,i+j=k
d(aibj)xk=
=
2n
∑
k=0 ∑
i,j≥0,i+j=k
aid(bj)xk+
2n
∑
k=0 ∑
i,j≥0,i+j=k
bjd(ai)xk=
= Dd(g) + gDd( ).
Luego la aplicación Ddes una de i ación en A[x].
P oposición 2.2.2 Sea (A, d)un anillo di e encial, (B, δ)una ex ensión
di e encial de (A, d), y xuna a iable inde e minada sob e A. En onces,
δ(P(α)) = Dd(P)(α) + δ(α)(d
dxP)(α)
pa a odo α∈By odo polinomio P∈A[x].
32 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
Demos ación:
Dado P∈A[x]de la o ma P=∑n
i=0 aixi, con cada ai∈A. En onces como
δai=daipa a cada iy eniendo en cuen a las p opiedades de de i ación de
p oduc os y sumas,
δ(P(α)) = δ(n
∑
i=0
aiαi)=
n
∑
i=0
δ(ai)αi+δ(α)
n
∑
i=0
iaiαi−1=
=
n
∑
i=0
d(ai)αi+
n
∑
i=0
iaiαi−1δ(α) =
=Dd(P)(α) + δ(α)(d
dxP)(α).

Teo ema 2.2.2 Sea (A, d)un cue po di e encial y sea anscenden e sob e
A. Pa a cada w∈A( )exis e una única de i ación δde A( ) al que δ( ) = w
y(A( ), δ)es una ex ensión di e encial de (A, d).
Demos ación:
Sabemos po la p oposición 2.2.1 que Ddes una de i ación en A[ ]y po el
eo ema 2.2.1, que iene una única ex ensión a una de i ación en A( ). Como
d/d es ambién una de i ación en A( ), la aplicación δ=Dd+w·d/d es
una de i ación en A( ), po se el conjun o de odas las de i aciones en A( )
un A( )−módulo sob e A( ). Tenemos que
δ( ) = (Dd+wd
d )( ) = Dd( ) + wd
d ( ) = d(1) +w=w,
y pa a a∈A, que
δ(a) = (Dd+wd
d )(a) = Dd(a) + wd
d (a) = d(a) + w·0 = d(a),
luego (A( ), δ)es una ex ensión di e encial de (A, d)que cumple lo deseado.
Fal a p oba la unicidad de la de i ación δ. Pa a ellos supongamos que exis en
2.2. EXTENSIONES DIFERENCIALES 33
dos de i aciones δ1yδ2en A( ) al que (A( ), δ1)y(A( ), δ2)son ex ensiones
di e enciales de (A, d), y al que δ1( ) = δ2( ) = w. Sea x∈A( )y esc ibimos
x=a/b, siendo a, b ∈A[ ]yb= 0. Haciendo uso de la p ime a p oposición de
es e capí ulo en la segunda y penúl ima igualdad, y aplicando la p oposición
an e io a aybcon α= ,
δ1(x) = δ1(a
b)=bδ1(a)−aδ1(b)
b2=
=b(Dd(a) + w·d
d (a))−a(Dd(b) + wd
d (b))
b2=
=bδ2(a)−aδ2(b)
b2=δ2(a
b)=δ2(x).
Luego δ1=δ2, lo que demues a que la de i ación δes la única al que
δ( ) = wy(A( ), δ)es una ex ensión di e encial de (A, d).
Definición 2.2.3 Un polinomio P∈A[x]es sepa able si sus ac o es i e-
ducibles, ienen odas sus aíces simples.
Definición 2.2.4 Un elemen o algeb aico de una ex ensión se dice que es
sepa able si su polinomio mínimo es sepa able. Una ex ensión algeb aica E
de Aes sepa able si el polinomio mínimo i educible sob e Ade odo elemen o
de Ees sepa able.
Teo ema 2.2.3 Sea (A, d)un cue po di e encial, y Euna ex ensión alge-
b aica sepa able de A. En onces exis e una única de i ación δen E al que
(E, δ)es una ex ensión di e encial de (A, d).
Demos ación:
Demos émoslo p ime o pa a el caso pa icula en el que E=A(α)pa a
un cie o α∈E. Sea xuna a iable inde e minada sob e Ay sea P∈A[x]el
polinomio mínimo i educible sob e Adel elemen o αde E, es deci , sea Pel
polinomio mónico, con coeficien es de A, de meno g ado al que P(α)=0.
Como Ees una ex ensión algeb aica sepa able de A, se iene que (d
dx P)(α)=
0. Luego si conside amos
w=−Dd(P)(α)
(d
dx P)(α)∈E,

34 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
como E≃A[α],exis e un polinomio Qcon coeficien es en A al que w=
Q(α). Po o o lado, sabemos que Ddes una de i ación en A[x], y como d
dx
lo es ambién en A[x], se iene que
δ=Dd+Qd
dx
es una de i ación en A[x].
Conside amos aho a la p oyección canónica π:A[x]→A[x]/(P)≃Ey
enemos que
π(δP) = π(DdP+Qd
dxP)=
=Dd(P)(α) + Q(α)d
dxP=
=Dd(P)(α) + wd
dxP=
=Dd(P)(α)−Dd(P)(α) = 0
Luego δP ∈Ke (π) = (P)y po an o Ke (π)es un ideal di e encial, lo que
implica que δinduce una de i ación δ∗:E→E al que π◦δ=δ∗◦π, po
la p oposición 2.1.3. Finalmen e, pa a a∈A, enemos que
δ∗(a) = δ∗π(a) = πδ(a) = π(Dd(a) + Qd
dxa)=
=π(Dd(a)) = π(d(a)) = d(a),
luego (E, δ∗)es una ex ensión di e encial de (A, d).
Demos émoslo aho a en el caso gene al. Pa a ello conside amos Euna ex-
ensión algeb aica y sepa able de A, y deno amos Sal conjun o de odas las
ex ensiones di e enciales (K, δ)de (A, d) ales que K⊆E. Además, defini-
mos el o den pa cial en el conjun o Scomo: (K1, δ1)≤(K2, δ2)si (K2, δ2)es
una ex ensión di e encial de (K1, δ1).
Como (A, d)∈S,Ses un conjun o no acío. Luego podemos conside a
el subconjun o de S o almen e o denado, C={(Ki, δi)}de modo que
K=∪iKi, y definimos δ∈Kcomo δ(z) = δi(z)si z∈Ki. Como Ces un
conjun o o almen e o denado, (K, δ)es una ex ensión di e encial de (A, d)
que es á bien definida. Además, (K, δ)es una ex ensión di e encial de (Ki, δi)
pa a cada i, luego (K, δ)es una co a supe io del conjun o Ccon espec o al
2.2. EXTENSIONES DIFERENCIALES 35
o den pa cial ≤. Po lo an o, odo subconjun o o almen e o denado de S,
iene una co a supe io en S. Luego po el lema de Zo n, exis e un elemen o
maximal (Kmax, δmax)∈S. Po la definición de S,Kmax ⊆Ey(Kmax, δmax)
es una ex ensión di e encial de (A, d). Veamos aho a que E⊆Kmax. Dado
z∈E, aplicando la p ime a pa e de la demos ación, exis e una de i ación δ
en Kmax(z) al que (Kmax(z), δ)es una ex ensión di e encial de (Kmax, δmax),
luego (Kmax, δmax)≤(Kmax(z), δ)en S. Es o implica que Kmax =Kmax(z)
pues (Kmax, δmax)es un elemen o maximal. Po an o, z∈Kmax, luego
E=Kmax. Así pues, (E, δmax)es una ex ensión di e encial de (A, d).
Po úl imo, al a p oba la unicidad de la de i ación δ. Po ello, supongamos
que exis en dos de i aciones δ1yδ2en E al que (E, δ1)y(E, δ2)son ex en-
siones di e enciales de (A, d). Sean z∈EyP∈A[x]su polinomio minimal
i educible sob e A. Sabemos que po se zun elemen o de la ex ensión al-
geb aica E, exis e un polinomio Pcon coeficien es en A al que P(z)=0.
En onces, po la p oposición 2.2.2, se iene que:
0 = δi(P(z)) = Dd(P)(z)+(δi(z))dP
dx (z).
Como Ees sepa able sob e F,dP
dx (z)= 0, luego
δ1(z) = −Dd(P)(z)
dP
dx (z)=δ2(z)
Como es o úl imo se cumple pa a cualquie z∈E,δ1=δ2, po lo que se
concluye que exis e una única de i ación δ∈E al que (E, δ)es una ex en-
sión di e enciable de (A, d).
Definición 2.2.5 Dados un pa de cue pos AyK, se dice que σ:A→Kes
una inme sión, si dicha aplicación es un homomo fismo inyec i o que induce
un isomo fimo de Acon su imagen σ(A).
Definición 2.2.6 Sea Aun cue po y Euna ex ensión de A. Se dice que
Ees una ex ensión no mal si oda inme sión σde Een ¯
Asob e Aes un
au omo fismo de E.
Teo ema 2.2.4 Sea (A, d)un cue po di e enciable de ca ac e ís ica ce o.
36 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
1. Sea Funa ex ensión algeb aica sepa able de A. En onces, cualquie
au omo fi mo de Fsob e Aconmu a con d.
2. Sea Euna ex ensión algeb aica sepa able fini amen e gene ada en A,
yT:E→AyN:E→Alas aplicaciones aza y no ma, espec i a-
men e, de Een A. En onces Tconmu a con Dy
T(da
a)=d(N(a))
N(a),
pa a odo a∈E∗.
Demos ación:
1. Sea Funa ex ensión algeb aica sepa able de A. En onces, po el eo e-
ma 2.2.3, la de i ación dse ex iende de o ma única a una de i ación
de F, es deci , exis e una única de i ación δde modo que (F, δ)es una
ex ensión di e encial de (A, d). Conside amos ambién σun au omo -
fismo de Fsob e A, es deci , un au omo fismo de Fque deja fijo Ay
dσ=σ−1◦d◦σ. Como σes una au omo fismo, y po an o un isomo -
fismo, se iene que dσes una de i ación en Fpo se lo d. Además, σ
es la aplicación iden idad en A, luego dx =dσx, pa a odo x∈A. Po
lo an o, po la unicidad de la de i ación is a en el eo ema 2.2.3, se
iene que d=dσ, lo que implica que σ◦d=σ◦dσ=d◦σ, quedando
p obado que el au omo fismo σconmu a con la de i ación d.
2. Sea Euna ex ensión algeb aica sepa able fini amen e gene ada de A, y
sean T:E→AyN:E→Alas aplicaciones aza y no ma, espec i-
amen e, de Een A. Sean ¯
Ela clausu a algeb aica de Eyσ1, ..., σnlas
inme siones de Een ¯
Esob e A, es deci , los dis in os homomo fismos
inyec i os de Een ¯
Eque inducen un isomo fismo de Een σ(E)y que
dejan fijos los elemen os de A. En onces la composición de odas las
inme siones, es deci , F= (σ1(E))...(σn(E)) es una ex ensión de A. De
hecho, es una ex ensión sepa able, po encon a nos en ca ac e ís ica
ce o. Po el eo ema 2.2.3, la de i ación dse ex iende de mane a única
a una de i ación en Fde modo que (F, d)es una ex ensión di e encial
de (A, d). Sea a∈E. Po el p ime apa ado de es e eo ema, enemos
2.3. MONOMIOS, Y POLINOMIOS ESPECIALES Y NORMALES 37
que d(σi(a)) = σi(d(a)), luego
d(T(a)) = d(n
∑
i=1
σi(a))=
n
∑
i=1
d(σi(a)) =
=
n
∑
i=1
σi(d(a)) = T(d(a)),
Luego d◦T=T◦d, lo que p ueba que la aplicación aza Tconmu a
con la de i ación d.
Además,
d(N(a))
N(a)=d(∏iσi(a))
∏iσi(a)=∑
i
d(σi(a))
σi(a)=
=∑
i
σi(d(a))
σi(a)=∑
i
σi(d(a)
a)=
=T(d(a)
a),
donde la cua a igualdad es cie a po se σies un isomo fismo.

2.3. Monomios, y polinomios especiales y no -
males
Sean kun cue po di e encial de ca ac e ís ica ce o con de i ación d,K
una ex ensión di e encial de k, un elemen o de KyDla de i ación en K.
Definición 2.3.1 Un elemen o de Kes un monomio sob e k, si se cumplen
las siguien es p opiedades.
1. El elemen o es ascenden e sob e k.
2. D( )∈k[ ].
En el es o de la sección se á un monomio sob e k.
No ación: En lo que es a de sección, deno a emos
44 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
Luego pa a que psea un polinomio especial, es necesa io y suficien e que
mcd( −αi, D( −αi)) = −αipa a cada i. Y es o ocu e si y sólo si −αi
di ide a D( −αi) = D( )−D(αi)en la clausu a algeb aica de k. Luego pes
especial si y sólo si, al e alua el polinomio ob enido al ealiza la de i ada
Dde en cada aíz αidel polinomio p, ob enemos D(αi).
P oposición 2.3.4 Si c∈Cons D(k( )), es deci , si D(c) = 0, en onces
an o el nume ado como el denominado de cson especiales. Además, si
c= 0 y es no lineal, en onces el nume ado y el denominado de c ienen
el mismo g ado.
Demos ación:
Sea c∈Cons D(k( )) de modo que c=a/b donde a, b ∈k[ ],b= 0 y
mcd(a, b) = 1. En onces,
0 = D(c) = bD(a)−aD(b)
b2,
lo que implica que bD(a) = aD(b). Po lo an o, como aybson p imos en e
sí, se iene que a|Da yb|Db, es deci , mcd(a, D(a)) = aymcd(b, D(b)) = b.
Luego aybson especiales.
Pa a p oba la segunda pa e de la p oposición amos a azona po educción
al absu do. Supongamos en onces que c= 0, es no lineal y g (a)=g (b).
Como 1/c ∈Cons D(k( )), ya que D(1/c) = 1
c2D(c)=0po se D(c)=0,
en onces podemos supone sin pé dida de gene alidad que g (a)> g (b).
Realizando la di isión euclídea de aen e b, se iene que c=p+e/b donde
p, e ∈k[ ],g (p) = g (a)−g (b)>0yg (e)< g (b)oe= 0. En onces,
0 = Dc =D(p+e
b)=D(p) + D(e
b)=D(p) + bD(e)−eD(b)
b2.(2.2)
Realizando aho a la di isión euclidea de bD(e)−eD(b)en e b2, se iene que
exis en q, ∈k[ ] ales que
bD(e)−eD(b)
b2=q+
b2,
donde g ( )< g (b2). Como es no lineal, po hipó esis, δ( )>1. Además,
po la p oposición 2.3.1, g (D(p)) = g (p)+δ( )−1, luego g (D(p)) >0. Po
lo an o D(p)= 0. Así que, debe se e= 0, ya que si uese e= 0 en onces,

2.3. MONOMIOS, Y POLINOMIOS ESPECIALES Y NORMALES 45
po la ecuación 2.2, se ía D(p)=0. Luego como g (b)> g (e)se iene que
g (b)≥0. Todo es o implica que
g (eD(b)) = g (e) + g (D(b)) = g (e) + g (b) + δ( )−1
y po an o g (eD(b)) <2g (b) + δ( )−1.
Po o o lado enemos que, o bien e∈k, en cuyo caso g (bD(e)) ≤g (b),
o bien e /∈k, en cuyo caso g (bD(e)) = g (b) + g (e) + δ( )−1. Luego en
ambos casos
g (bD(e)) <2g (b) + δ( )−1.
Po lo an o, g (bD(e)−eD(b)) <2g (b) + δ( )−1, lo que implica que
g (q) = g (bD(e)−eD(b)) −2g (b)<
<2g (b) + δ( )−1−2g (b) =
=δ( )−1< g (D(p)),
con adiciendo que
0 = D(p) + q+
b2.(2.3)
Como g (q)< g (D(p)) en onces g (q+D(p)) = g (D(p)). Si se u ie a la
igualdad 2.3, en onces mul iplicando po b2a ambos lados de la igualdad, ob-
end íamos que − = (q+D(p))b2. Tomando g ados en es a úl ima igualdad
y eniendo en cuen a que g (q+D(p)) = g (D(p)),
g ( ) = g (D(p)) + 2g (b)≥0.
Pe o se enía que g ( )< g (b2) = 2g (b), lo cual es absu do. Luego queda
p obado que g (a) = g (b).
Po úl imo damos unas definiciones que nos se án de u ilidad en las secciones
pos e io es.
Definición 2.3.4 Se dice que u∈kes una de i ada loga í mica de un
k− adical si exis e un ∈k∗y un en e o no nulo ede modo que eu =D / .
Ejemplo:
Conside amos k=Q(x)con de i ación D=d/dx, y sea u= 1/(2x)∈k.
Como 2u=D(x)/x, en onces ues la de i ada loga í mica de un Q(x)- adical.
De hecho, ues la de i ada loga í mica de √x.
46 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
Definición 2.3.5 Se dice que q∈k[ ]es especial de p ime ipo con espec o
a la de i ación Dsi qes un polinomio especial y pa a oda aíz de qen una
ex ensión algeb aicamen e ce ada de k,p ( )no es una de i ada loga í mica
de un k( )− adical, donde
p =D( )−D( )
− ∈k( )[ ].
No ación: Se deno a S1al conjun o de odos los polinomios especiales de
p ime ipo, y SI
1al subconjun o del an e io al que sus polinomios sean,
además, mónicos e i educibles.
P oposición 2.3.5 Sea Euna ex ensión algeb aica de k, y un elemen o
u∈k. Si uno es una de i ada loga í mica de un k− adical, en onces ampoco
lo es de un E− adical.
Demos ación:
Conside amos un elemen o u∈kde modo que no sea la de i ada loga í -
mica de un k− adical. Vamos a azona po educción al absu do. Pa a ello
supongamos que ues la de i ada loga í mica de un adical sob e E, es deci ,
exis e un elemen o ∈E∗y un en e o no nulo ede modo que eu =D( )/ .
Como Ees una ex ensión algeb aica de k, podemos conside a el polinomio
mínimo pde con coeficien es en k. Es e es mónico e i educible, po lo que
podemos supone que es de la o ma p=b0x+b1x1+... +bn−1xn−1+xn,
siendo bj∈kpa a odo j= 0, . . . , n−1ybj= 0 pa a al menos uno de dichos
jpo se pi educible. En onces p( ) = 0 y po an o D(p( )) = 0. Además,
D(p( )) =
n−1
∑
j=1
(D(bj) j+jbj j−1D( )) + n n−1D( ) =
=
n−1
∑
j=1
(D(bj) j+jbj jeu) + n neu =
=
n−1
∑
j=1
(D(bj) + jbjeu) j+n neu =q( ),
siendo q(x) = ∑n−1
j=1 (D(bj) + jbjeu)xj+nxneu un polinomio en k[x]. Luego
q( )=0y como pes un polinomio mínimo de con coeficien es en k, se
2.4. APLICACIÓN ORDEN 47
iene que pdi ide al polinomio q. En onces, debe cumpli se que q=neup
pa a iguala los coeficien es líde es. Po lo an o, D(bj) +jbjeu =neubjpa a
odo jdesde 1has a n−1. Po lo an o,
D(bj)
bj
=neu −jeu =eu(n−1),
es deci , ues la de i ada loga í mica de un k− adical, po definición, lo que
con adice nues a hipó esis. Luego queda p obada la p oposición. 
2.4. Aplicación o den
Dado Kun dominio de ac o ización única, K∗su g upo de unidades, F
su cue po de acciones y a∈K al que a= 0 ya /∈K∗.
Definición 2.4.1 El o den en a es la aplicación a:K→Z∪{∞} dada
po :
1. a(0) = +∞.
2. a(x) = max{n∈N al que an|x}, si x∈K {0}.
P oposición 2.4.1 Sean dos elemen os x, y ∈K. En onces se cumplen las
siguien es p opiedades:
1. a(xy)≥ a(x) + a(y), y se da la igualdad si y sólo si aes i educible.
2. a(x+y)≥min( a(x), a(y)), dándose la igualdad si y sólo si a(x)=
a(y).
3. Si x|y, en onces a(x)≤ a(y).
4. a(mcd(x, y)) = min( a(x), a(y)).
48 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
Demos ación:
Todos los pun os son i iales si x= 0 oy= 0. Así que supongamos que
x= 0 ey= 0. Sea n= a(x)ym= a(y). En onces x=baney=cam, pa a
algún b, c ∈K al que ano di ide a bni c.
1. Tenemos que xy =bcan+m, luego a(xy)≥n+m. Supongamos que
aes i educible. En onces, como ano di ide ni a bni a cse iene que
a-bc. Luego an+m+1 -xy. Po lo an o a(xy) = n+m.
2. Podemos supone sin pé dida de gene alidad que n≤m. Tenemos que
x+y=ban+cam=an(b+cam−n), luego a(x+y)≥n=min(n, m).
Aho a supongamos que n=m, es deci , m−n > 0. En onces, a|cam−n.
Es o implica que a-(b+cam−n)ya que en caso de hace lo, como
adi ide a cam−n, en onces adi idi ía a b. Pe o es o no ocu e, po
hipó esis. Luego a(x+y) = n.
3. Supongamos que x|y. En onces, y=xz pa a algún z∈K. Luego
a(y) = a(x) + a(z), po el p ime apa ado de es a p oposición. Po
an o a(y)≥ a(x).
4. Sea g=mcd(x, y). En onces g|xyg|y, luego a(g)≤ a(x)y a(g)≤
a(y), po el apa ado an e io . Po an o a(g)≤min( a(x), a(y)).
Po o o lado, sea z=amin( a(x), a(y)) ∈D. En onces z|xyz|y, luego z|g.
Po an o, a(g)≥ a(z) = min( a(x), a(y)) po (3). Luego jun ando
ambas desigualdades, a(g) = min( a(x), a(y)).

P oposición 2.4.2 Sea u∈K∗yx∈K. En onces, se e ifica que
1. a(ux) = a(x) = ua(x)
2. a(u) = 0
Demos ación:
2.4. APLICACIÓN ORDEN 49
1. Si x= 0, en onces a(ux) = a(x) = au(x) = +∞. Así que supon-
gamos que x= 0. En onces, a a(x)|x. Luego a a(x)|ux y po an o,
a(x)≤ a(ux). Como es a desigualdad es cie a pa a cualquie unidad,
yu−1es una unidad en K, se iene que a(ux)≤ a(u−1ux) = a(x).
Po an o, a(x) = a(ux).
De mane a simila , si a a(x)|xen onces, (ua) a(x)|x, ya que u a(x)es
una unidad. Luego a(x)≤ au(x). Además, si aplicamos dicha des-
igualdad a ua yu−1se iene que ua(x)≤ u−1ua(x) = a(x). Luego,
a(x) = ua(x).
2. Po el apa ado an e io , sabemos que a(u) = a(u2). Pe o a(u2)≥
2 a(u)po la p oposición 2.4.1. Luego, o bien a(u) = 0 o bien a(u) =
+∞. Pe o u= 0. Así que, debe se a(u) = 0.

Definición 2.4.2 Sea x∈F∗, siendo xde la o ma x=y/z, donde y, z ∈K
no ienen ac o es comunes y z= 0. Se define a(x) = a(y)− a(z).
Teo ema 2.4.1 Sean x, y ∈Fy supongamos que aes i educible en K.
En onces, se e ifican las siguien es p opiedades:
1. a(xy) = a(x) + a(y).
2. si x= 0, a(xm) = m a(x)pa a odo m∈Z.
3. a(x+y)≥min( a(x), a(y)), dándose la igualdad si a(x)= a(y).
Demos ación:
Conside amos dos elemen os x, y ∈Fy esc ibimos x=b/c ey=d/e,
donde b, c, d, e ∈K,bycno ienen ac o es comunes, dye ampoco los
ienen, c= 0 ye= 0.
Como aes i educible, po la p oposición 2.4.1 se iene que a( g) = a( ) +
a(g)pa a algún , g ∈K. Veamos que se cumplen las p opiedades del enun-
ciado.

50 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
1. Conside amos h=mcd(bd, ce), =bd/h yg=ce/h. Tenemos que
, g, h ∈K, ygno ienen ac o es comunes, y xy =bd/ce = /g,
luego
a(xy) = a( )− a(g) = a( ) + a(h)−( a(g) + a(h)) =
= a( h)− a(gh) = a(bd)− a(ce) =
= ( a(b)− a(c)) + ( a(d)− a(e)) = a(x) + a(y)
2. x0= 1 es una unidad en K, luego a(1) = 0 po la p oposición 2.4.2.
Pa a el caso en el que m≥0lo p obamos po inducción, suponien-
do como hipó esis que pa a algún m≥0se cumple la desigualdad.
En onces,
a(xm+1) = a(xmx) = a(xm) + a(x) =
=m a(x) + a(x) = (m+ 1) a(x),
lo que p ueba la igualdad pa a m+ 1. Luego queda p obado el pun o
(2) pa a alo es posi i os de m. Pa a m < 0 enemos que 0 = a(1) =
a(xmx−m) = a(xm)−m a(x). Luego a(xm) = m a(xm).
3. x+y= (be +cd)(ce)−1. Aunque be +cd yce pueden ene ac o es
comunes, enemos que
a(x+y) = a(be +cd) + a((ce)−1) = a(be +cd)− a(ce),
po los apa ados an e io es de es e mismo eo ema. Podemos supone
sin pé dida de gene alidad que a(x)≤ a(y), lo que implica que a(b)−
a(c)≤ a(d)− a(e). Luego a(b) + a(e)≤ a(d) + a(c). Así pues,
a(be)≤ a(ce). Luego a(be +cd)≥ a(be)po la p oposición 2.4.1.
Po lo an o
a(x+y)≥ a(be)− a(ce) = a(b)− a(c) = a(x) = min( a(x), a(y)).
Veamos aho a la segunda pa e de es e apa ado, es deci , eamos
que se da la igualdad si a(x)= a(y). Pa a ello supongamos que
a(x)< a(y). En onces, a(be)< a(dc)como en el caso an e io . Lue-
go, a(be+cd) = a(be), po la p oposición 2.4.1. Po an o, a(x+y) =
a(be)− a(ce) = a(x) = min( a(x), a(y)).
2.4. APLICACIÓN ORDEN 51

Definición 2.4.3 Una aplicación que cumple las es p opiedades del an e-
io eo ema se llama alo ación.
Teo ema 2.4.2 Sea Fun cue po, Euna ex ensión algeb aica y sepa able
de Fyxuna a iable inde e minada en E. Sea p∈F[x]un polinomio
i educible sob e F. En onces, pa a cualquie ac o i educible q∈E[x]de
p∈E[x], y cualquie ∈F(x)se cumple que, p( ) = q( ).
Demos ación:
Conside amos q∈E[x]un ac o i educible de p en E[x]. Luego, exis e un
polinomio ∈E[x] al que p=q . Sea h∈F[x]yn= p(h)≥0. En onces
pn|h. Es deci , exis e un elemen o s∈F[x] al que h=pns. Luego, po se
p=q , se iene que h=qn ns. Además, sabemos que pn+1 -hya que nes el
mayo núme o na u al al que pndi ide a h. Luego pno puede di idi a s. Po
an o mcd(p, s)=1, ya que ampoco puede ocu i que sdi ida a ppues o
que pes i educible en F[x]. Luego, po la iden idad de Bezou , exis en a, b ∈
F[x] al que 1 = ap +bs. Y como p=q , se cumple que 1 = a q +bs. Luego,
de nue o po la iden idad de Bezou , mcd(q, s) = 1. Supongamos aho a que
qm|h, pa a aun cie o m > n. En onces, exis e un elemen o ∈E[x], al que
h=pns=qn ns=qm . Luego ns=qm−n y po an o, qdi ide a nsen
E[x]. Pe o sabemos que qes i educible y mcd(q, s) = 1, en onces q| n. Po
lo an o n > 0ya que en caso con a io qse ía una unidad. En pa icula q| ,
luego q2|p. Es o con adice pe a un polinomio lib e de cuad ados en E[x]
po se es a úl ima una ex ensión algeb aica y sepa able de F. Luego qm-h
siendo m > n. Po lo an o, q(h) = n. Pa a conclui conside amos ∈F[x]
y esc ibimos =a/b, siendo a, b ∈F[x]yb= 0. En onces,
p( ) = p(a
b)= p(a)− p(b) = q(a)− q(b) = q(a
b)= q( ),
donde en la e ce a igualdad se ha empleado el azonamien o an e io . 
2.4.1. Aplicación o den en infini o
Definición 2.4.4 Sea Kun dominio de in eg idad. Se llama o den en in-
fini o a la aplicación ∞:K(x)→Z∪ {+∞} dada po ∞(0) = +∞y
52 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
∞(b/c) = g (c)−g (b), pa a b, c ∈K[x] {0}.
A con inuación, amos a p oba que la aplicación o den en infini o es una
alo ación.
P oposición 2.4.3 Sean dos elemen os , g ∈K(x). En onces, se cumplen
las siguien es p opiedades:
1. ∞( g) = ∞( ) + ∞(g).
2. Si = 0 en onces ∞( m) = m ∞( ), pa a odo en e o m.
3. ∞( +g)≥min( ∞( ), ∞(g)). Además, se da la igualdad si y sólo si
∞( )= ∞(g).
Demos ación:
Conside amos dos elemen os , g ∈K(x). Esc ibimos =b/c yg=d/e,
donde b, c, d, e son polinomios de K[ ]con cyeno nulos. Veamos que se
cumplen las p opiedades del enunciado.
1. Al hace el p oduc o de po g, ob enemos que g =bd/ce. Luego,
∞( g) = g (ce)−g (bd) =
=g (c) + g (e)−g (b)−g (d) =
= (g (c)−g (b)) + (g (e)−g (d)) =
= ∞( ) + ∞(g).
2. Conside amos aho a = 0. Veamos que pa a cualquie en e o mse
cumple que ∞( m) = m ∞( ). Vamos a p oba lo po inducción. Pa a
m= 1 es i ial. Luego supongamos como hipó esis de inducción que
la igualdad es cie a pa a un en e o m−1>0y eamos que es cie o
pa a m. En onces,
∞( m) = ∞( m−1 ) = ∞( m−1) + ∞( ) =
= (m−1) ∞( ) + ∞( ) = m ∞( ),
donde se ha aplicado el p ime apa ado de la p oposición en la segunda
igualdad y la hipó esis de inducción en la e ce a.
2.4. APLICACIÓN ORDEN 53
3. Conside amos la suma de yg,
+g=b
c+d
e=be +cd
ec .
Luego, ∞( +g) = g (ec)−g (be +cd).Supongamos, sin pé dida de
gene alidad, que ∞( )≤ ∞(g). En onces, g (c)−g (b)≤g (e)−
g (d), o lo que es equi alen e, g (c) + g (d)≤g (e) + g (b). Luego,
g (cd)≤g (eb), es deci , g (be +cd)≤g (eb). Po lo an o,
∞( +g)≥g (ec)−g (eb) = g (c)−g (b) =
= ∞( ) = min( ∞( ), ∞(g)).
Además, si ∞( )= ∞(g), es deci , si ∞( )< ∞(g), en onces
g (cd)< g (eb). Luego g (be +cd) = g (eb). Po lo an o,
∞( +g) = g (ec)−g (be +cd) = g (ec)−g (eb) =
=g (c)−g (b) = ∞( ) = min( ∞( ), ∞(g)).
El azonamien o es análogo si uese ∞(g)≤ ∞( ).

Teo ema 2.4.3 Sea Kun anillo di e encial con de i ación Dy un mono-
mio sob e K. Dado ∈K( ) {0}. En onces,
∞(D )≥ ∞( )−max(0, δ( )−1).
Además, si es lineal y ∞( )=0, en onces la desigualdad an e io es
es ic a.
Demos ación:
Conside amos =a/b ∈K( ) {0}, donde a, b ∈K[ ],bes no nulo y
mcd(a, b) = 1. En onces,
D( ) = bD(a)−aD(b)
b2.
Luego,
∞(D( )) = g (b2)−g (bD(a)−aD(b)) = 2g (b)−g (bD(a)−aD(b)).
60 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
Conside amos x, x′∈Θade modo que x=b/c,x′=b′/c′donde
b, c, b′, c′∈K, y ni byc, ni b′yc′ ienen ac o es comunes. Veamos que
πa(xx′) = πa(x)πa(x′)y πa(x+x′) = πa(x) + πa(x′).
xx′=b′′/c′′, donde b′′, c′′ ∈Dno ienen ac o es en común. En-
onces, bb′=gb′′ ycc′=gc′′ siendo g∈D. Sean d, e, d′, e′∈D, al
que cd +ae = 1 yc′d′+ae′= 1. Mul iplicando es as dos úl imas
ecuaciones se iene que
(cd +ae)(c′d′+ae′) = cc′dd′+cade′+aec′d′+aaee′=
=cc′dd′+a(cde′+ec′d′+aee′).
Luego si h=cde′+ec′d′+aee′y eniendo en cuen a que cc′=gc′′,
se iene que c′′(gdd′) + ah = 1. Teniendo en cuen a que πIes un
homomo fismo de anillos llegamos a
πa(xx′) = πa(b′′
c′′ )=πI(b′′gdd′) =
=πI(bb′dd′) = πI(bd)πI(b′d′) =
=πa(x)πa(x′).
Sea aho a x+x′=b′′/c′′ donde b′′, c′′ ∈Kno ienen ac o es
comunes. En onces,
x+x′=b
c+b′
c′=bc′+b′c
cc′=b′′
c′′
y po an o bc′+b′c=gb′′ ycc′=gc′′ pa a algún g∈K. Sea
d, e, d′, e′∈K al que cd+ae = 1 yc′d′+ae′= 1. Del mismo modo
que en el pun o an e io , mul iplicando en e sí ambas ecuaciones
se llega a c′′(gdd′)+ah = 1 pa a un cie o h∈K. Luego, haciendo
uso de la definición 2.4.6 y po se πIun homomo fismo de anillos
se iene que
πa(x+x′) = πa(b′′
c′′ )=πI(b′′gdd′) =
=πI((bc′+b′c)dd′) =
=πI(bd)πI(c′d′) + πI(b′d′)πI(cd) =
=πa(x)πI(c′d′) + πa(x′)πI(cd).

2.4. APLICACIÓN ORDEN 61
Como a∈Iy1 = cd +ae, en onces,
1 = πI(1) = πI(cd) + πI(ae) = πI(cd),
y de mane a simila πI(c′d′) = 1. Luego πa(x+x′) = πa(x)+πa(x′).
Y queda p obado que πa(x)es un homomo fismo de anillos sob eyec-
i o. Teniendo en cuen a es o úl imo, y como ke (πa) = aΘapo el
p ime apa ado de es e mismo eo ema, en onces πaes un isomo fis-
mo de anillos en e Θa/aΘayK/I. Además, si Ies un ideal maximal,
en onces K/I es un cue po, y po an o πase á un isomo fismo de
cue pos.
3. Sea δuna de i ación en Ky supongamos que δI ⊂I. En onces, la
de i ación inducida δ∗en K/I sa is ace que δ∗◦πI=πI◦δpo la
p oposición 2.1.3. Además, po la p oposición 2.4.4 se iene que δΘa⊂
Θa, po lo que πa◦δes á definida en Θa. Sea x=b/c ∈Θadonde
b, c ∈Kno ienen ac o es comunes. En onces mcd(a, c) = 1 como se
io en el p ime apa ado de es e mismo eo ema. Po la iden idad de
Bezou , se cumple que 1 = ad +ce pa a algún d, e ∈K. Luego,
1 = πa(1) = πa(a)πa(d) + πa(c)πa(e) = πa(c)πa(e).
Po lo an o, πa(c)es una unidad en K/I. Además, b=cx, luego
πa(b) = πa(cx) = πa(c)πa(x)y aplicando δ∗a es a igualdad llegamos a
lo siguien e:
δ∗πa(b) = δ∗(πa(c)πa(x)) = πa(c)δ∗(πa(x)) + πa(x)δ∗(πa(c)).(2.4)
Po o o lado, si aplicamos la de i ación δab=cx en onces δ(b) =
cδ(x) + xδ(c). Además, si a es o úl imo se le aplica πa enemos que:
πa(δ(b)) = πa(c)πa(δ(x)) + πa(x)πa(δ(c)).(2.5)
Pe o
πa(δ(b)) = πI(δ(b)) = δ∗(πI(b)) = δ∗(πa(b))
y
πa(δ(c)) = δ∗(πa(c))
de mane a simila . Luego la ecuación 2.5 se con ie e en
δ∗(πa(b)) = πa(c)πa(δ(x)) + πa(x)δ∗(πa(c)).(2.6)
62 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
Igualando 2.4 y 2.6, se iene que
πa(c)δ∗(πa(x)) = πa(c)πa(δ(x)).
Po úl imo, como πa(c)es in e ible en K/I po se un elemen o unidad,
llegamos a que δ∗◦πa=πa◦δ.

2.4.3. Residuos
En es a sección es udia emos el concep o de esiduo en polinomios no ma-
les. Se conside a Kun cue po di e encial de ca ac e ís ica ce o con de i ada
Dy un monomio sob e K.
Definición 2.4.7 Conside amos p∈K[ ] Kun polinomio no mal y el
conjun o
Rp={ ∈K( ) al que p ∈Θp}.
Se llama esiduo en pa la aplicación
esp:Rp−→ K[ ]/(p)
→ esp( ) = πp( p
D(p))(2.7)
Teo ema 2.4.5 Sea p∈K[ ] Kun polinomio no mal. En onces Rpes
un espacio ec o ial sob e K,ke ( esp)=Θpy espes un isomo fismo de
K−espacios ec o iales en e Rp/ΘpyK[ ]/(p).
Demos ación:
Veamos en p ime luga que Rpcumple las p opiedades de se un K−espacio
ec o ial. Como 0, p ∈Θp, en onces 0,1∈Rp. Sean , g ∈Rpyc∈K⊆Θp,
eamos que c +g∈Rp. Como , g ∈Rp, en onces p , pg ∈Θpy po se Θp
un anillo se iene que cp +pg =p(c +g)∈Θp. Luego c +g∈Rpy po
lo an o, Rpes K−espacio ec o ial.
Veamos aho a que ke ( esp) = Θp, pa a ello e emos que se cumplen ambas
con enciones. Supongamos que ∈Θp. Sabemos que 1/D(p)∈Θpya que
2.4. APLICACIÓN ORDEN 63
dado q∈K[ ]cualquie ac o i educible de pse iene que q-D(p)po se p
un polinomio no mal, luego 1/D(p)∈Θq. Como es o es cie o pa a cualquie
ac o i educible de p, se iene que 1/D(p)∈Θp. Po lo an o /D(p)∈Θp,
luego p /D(p)∈pΘpy en consecuencia esp( ) = πp(p /D(p)) = 0 ya que
imos en el eo ema 2.4.4 que ke (πp) = pΘp. Luego Θp(Ke ( esp). Re-
cíp ocamen e, sea ∈Ke ( esp). En onces, esp( ) = πp( p/D(p)) = 0.
Luego po el eo ema 2.4.4, p/D(p)∈pΘp, es deci , /D(p)∈Θp. Luego
∈Θpya que D(p)∈Θpy = D(p)/D(p). Po lo an o, queda p obado
que Θp=Ke ( esp).
Po úl imo eamos que espes un isomo fismo de K−espacios ec o iales
en e Rp/ΘpyK[ ]/(p). Sabemos que πpes un homomo fismo de anillos.
Luego dados , g ∈Rpyc∈K, se iene que
esp(c +g) = πp((c +g)p
D(p))=
=πp(c p
D(p))+πp(gp
D(p))=
=πp(c)πp( p
D(p))+πp(gp
D(p))=
=πp(c) esp( ) + esp(g).
Como c∈K,πp(c) = c. Luego, esp(c +g) = · esp( )+ esp(g)en K[ ]/(p),
quedando p obado que espes un homomo fismo de K−espacios ec o iales.
Nos al a e que es una biyección. Sabemos que πpes una aplicación sob e-
yec i a po el eo ema 2.4.4. Así que dado w∈K[ ]/(p), exis e g∈Θp al que
πp(g) = wπp(D(p)). Conside amos aho a =g/p, en onces p =g∈Θp,
luego ∈Rpy
esp( ) = πp( p
D(p))=πp(g)
πp(D(p)) =πp( p)
πp(D(p)) =w.
Luego la aplicación espes sob eyec i a. Además, po se ke ( esp) = Θppo-
demos conclui que espes un isomo fismo de K−espacios ec o iales en e
Rp/ΘpyK[ ]/(p).
Definición 2.4.8 Se dice que ∈k( )es educible con espec o a la de i a-
ción Dsi su denominado es especial con espec o a D.
64 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
Se dice que es simple con espec o a Dsi su denominado es no mal con
espec o a dicha de i ación.
Teo ema 2.4.6 Sea ∈K( ) {0}yp∈K[ ]un polinomio i educible.
1. Si pes un polinomio no mal, en onces se cumple que
p(D( )) = p( )−1si p( )= 0.
p(D( )) ≥0si p( ) = 0.
Además,
πp(p1− p( )D( )) = p( )πp(p− p( ) )πp(D(p)).
2. Si pes un polinomio especial, en onces p(D( )) ≥ p( ).
3. Si pes un polinomio especial de p ime ipo y p( )= 0, en onces
p(D( )) = p( ).
Demos ación:
Sean p∈K[ ]un polinomio i educible y ∈K( ) {0}y deno amos
n= p( ). Dado g= p−n, po se pi educible, se iene que g∈Θppo el
quin o apa ado de la p oposición 2.4.4. Además, al aplica la de i ada D,
D( ) = D(gpn) = pnD(g) + gnpn−1D(p).(2.8)
Conside amos aho a g=b/c donde b, c ∈K[ ]ymcd(b, c) = 1. Como
p(g) = p( p−n) = p( ) + p(p−n) = p( )−n p(p) = n−n= 0,
en onces p(g) = p(b)− p(c) = 0, es deci , p(b) = p(c). Pe o no pue-
de ocu i que p(b)y p(c)sean no nulos al mismo iempo, ya que sino
byc end ían una po encia de pcomo di iso común, con adiciendo que
mcd(b, c) = 1. Luego p(b) = p(c) = 0. Además, como
D(g) = cD(b)−bD(c)
c2,
2.4. APLICACIÓN ORDEN 65
en onces enemos que
p(D(g)) = p(cD(b)−bD(c)) − p(c2) = p(cD(b)−bD(c)).
Luego, po se cD(b)−bD(c)∈K[ ], se iene que p(D(g)) ≥0.
Si n= 0, en onces =gy po an o D( ) = D(g)∈Θp. Luego p(D( )) =
p(D(g)) ≥0y
p(pD( )) ≥ p(p) + p(D( )) > p(D( )) ≥0.
Es deci , p(pD( )) >0y po an o pD( )∈pΘp=ke (πp), po la p o-
posición 2.4.4 y el eo ema 2.4.4. Y se concluye que π(pD( )) = 0. Todo lo
an e io es cie o pa a cualquie polinomio, ya sea no mal o especial, po lo
que (1) y (2) quedan p obados pa a el caso n= 0.
Supongamos aho a que n= 0:
1. Conside amos que pes un polinomio no mal, es deci , mcd(p, D(p)) = 1
y po an o, p(D(p)) = 0. Po se pun polinomio i educible po hipó-
esis, la úl ima igualdad equi ale a que D(p)∈Θp, po la p oposición
2.4.4. Además,
p(ngpn−1D(p)) = p(n) + p(g) + p(pn−1) + p(D(p)) =
= 0 + 0 + n−1 + 0 = n−1< n
y
p(pnD(g)) = p(pn) + p(D(g)) ≥n.
Luego
p(D( )) = p(pnD(g) + gnpn−1D(p)) =
=min( p(pnD(g)), p(gnpn−1D(p))) =
=n−1 = p( )−1.
Quedando p obada la p ime a pa e. Así que
p(p1−nD( )) ≥ p(p1−n) + p(D( )) = 1 −n+n−1 = 0,

66 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
es deci , p1−nD( )∈Θp. Además, sabemos que g, D(g), p, D(p)∈Θp
y que πpes un homomo fismo de anillos,
πp(p1−nD( )) = πp(pD(g)) + πp(gnD(p)) =
=πp(p)πp(D(g)) + nπp(g)πp(D(p)) =
=nπp(g)πp(D(p)) =
=nπp( p−n)πp(D(p)) =
= p( )πp( p− p( ))πp(D(p)).
2. Sea p∈S, y eamos que p(D( )) ≥ p( ). Sabemos que
D( ) = pnD(g) + gnpn−1D(p),
luego
p(D( )) = p(pnD(g) + gnpn−1D(p)) ≥
≥min ( p(pnD(g)), p(gnpn−1D(p)))
Po definición mcd(p, D(p)) = 1, es deci , p|D(p). Luego p(D(p)) ≥1.
Así que,
p(ngpn−1D(p)) = p(g) + p(pn−1) + p(D(p)) ≥n−1 + 1 = n.
Además,
p(pnD(g)) = p(pn) + p(D(g)) = n p(p) + p(D(g)) ≥n.
Y po an o, se concluye que p(D( )) ≥n= p( ).
3. Sea p∈S1y supongamos que n= 0. Comenzanos p obando es e
apa ado del eo ema suponiendo que p= −α,α∈K. Po definición
de polinomio especial de p ime ipo se iene que pα(α)no es una
de i ada loga í mica de un K− adical, siendo
pα(α) = D( )−D(α)
−α=D(p)
p.
2.4. APLICACIÓN ORDEN 67
Conside amos aho a h=D(g) + npαg. Como pes un polinomio es-
pecial de p ime ipo, en pa icula es un polinomio especial, luego
mcd(p, D(p)) = p, es deci , p|D(p). Po lo an o, pα∈K[ ]. Además,
como
p(pα) = p(D(p)/p) = p(D(p)) − p(p)≥1−1 = 0,
en onces pα∈Θp. También sabemos que g, D(g)∈Θp, así que h∈Θp
y podemos aplica le el homomo fismo πpdando como esul ado
πp(h) = πp(D(g) + npαg) = πp(D(g)) + πp(npαg).
Como p(g)es nulo, en onces g /∈pΘp=ke (πp), po la p oposición
2.4.4. Luego, πp(g)= 0. Supongamos que πp(h)=0, en onces usando
que I= (p)es un ideal di e encial de K[ ]y que, po la p oposición
2.1.3, D∗◦πp=πp◦D, donde D∗es la de i ación inducida en K[ ]/I,
se iene que:
−npα=−nπp(pα) = πp(D(g))
πp(g)=D∗(πp(g))
πp(g),
donde πp(g)∈K[ ]/( −α). Pe o K[ ]/( −α)≃KyD∗es una ex ensión
de la de i ación D, luego πp(g)∈KyD(πp(g)) = D∗(πp(g)). Todo es o
implica que pαes una de i ada loga í mica de un K− adical, llegando
a con adicción, ya que habíamos supues o que pe a especial de p ime
ipo. Así que πp(h)= 0, es deci , h /∈ke (πp) = pΘp, luego p(h)=0.
Po lo an o, como
D( ) = ngpn−1D(p) + pnD(g) =
=pn(ngp−1D(p) + D(g)) =
=pn(ngpα+D(g)) = pnh,
se iene que
p(D ) = p(pnh) = p(pn) + p(h) =
= p(pn) = n p(p) = n= p( ).
Aho a supongamos que pes un polinomio a bi a io de g ado my
conside emos ¯
Kla clausu a algeb aica de Kyp= ( −α1). . . ( −αm)
68 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL
la ac o ización del polinomio pen ¯
K. es un monomio en ¯
Ky −αi∈
S1,¯
K( ): ¯
K, luego p∈S1,¯
K( ): ¯
K, ya que el p oduc o fini o de polinomios
especiales es especial y si conside amos αuna aíz de pen S, en onces es
aíz de algún ac o de pen S1, luego pα(α)no es de i ada loga í mica
de un ¯
K(α)− adical. Luego −αi( ) = npa a cada i, po lo an o po la
p ime a pa e de es e apa ado −αi(D( )) = n. Luego p(D( )) = n.

P oposición 2.4.6 Sean ∈K( )yp∈K[ ]un polinomio i educible y
no mal.
1. Si es simple en onces p( )≥ −1.
2. Se iene que es educible con espec o a la de i ación Dsi y sólo si,
p( )≥0.
3. El conjun o de odos los elemen os educibles de K( )con espec o a la
de i ación Des un subanillo di e encial de K( )
Demos ación:
1. Sea ∈K( )y esc ibamos =a/b siendo a, b ∈K[ ],mcd(a, b) = 1 y
b= 0, y sea p∈K[ ]un polinomio i educible y no mal. Si es simple
en onces bes no mal, es deci , mcd(b, Db) = 1. Luego bes un polinomio
lib e de cuad ados.
Si p|ben onces p-a, luego p( ) = p(a)− p(b) = − p(b)≥ −1
po se blib e de cuad ados.
Si p-b, en onces puede ocu i que pdi ida a ao que no. Si
ocu e lo p ime o, en onces p( ) = p(a)≥0. En caso con a io,
p( ) = 0.
Po an o, se concluye que en cualquie caso p( )≥ −1.
2.4. APLICACIÓN ORDEN 69
2. Conside amos de nue o ∈K( )y esc ibimos =a/b siendo a, b ∈
K[ ],mcd(a, b) = 1 yb= 0. Sea p∈K[ ]un polinomio i educible
y no mal. Veamos la p ime a implicación. Pa a ello supongamos que
es un polinomio educible con espec o a D. En onces bes especial.
Luego p-b, ya que de hace lo, en onces pse ía un polinomio especial
con adiciendo que pes no mal. Luego p(b) = 0 y p( ) = p(a)≥0.
Recíp ocamen e, supongamos que p( )≥0, y sea p∈K[ ]un ac o
i educible y no mal de b. Po se pun ac o de b, en onces p-a,
luego p( ) = − p(b)<0, con adiciendo la hipó esis de que la unción
o den e aluada en e a posi i a pa a cualquie polinomio i educible
y no mal de K[ ]. Po lo an o, odos los ac o es i educibles de bson
especiales, luego b ambién lo es po se su p oduc o. Y queda p obado
que es educible con espec o a la de i ación D.
3. El conjun o de odos los elemen os educibles de K( )con espec o a
la de i ación Des un conjun o no acío, ya que K[ ]pe enece a dicho
conjun o. Conside amos , g educibles con espec o a la de i ación D
yp∈K[ ]i educible y no mal. Po el apa ado an e io , sabemos que
p( )≥0y p(g)≥0. Luego p( −g)≥min( p( ), p(−g)) ≥0po
se p(−g) = p(g)≥0. Así que, de nue o po el apa ado an e io ,
−ges educible. Además, p( g) = p( ) + p(g)≥0, es deci , g es
educible. Po lo an o, el conjun o de odos los elemen os educibles
de K( )con espec o a la de i ación Des un subanillo de K( ).
Veamos que es di e encial. Pa a ello amos a p oba que D( )pe enece
a dicho conjun o, iendo que p(D( )) ≥0y aplicando el apa ado
an e io . Si p( )>0en onces po se pno mal podemos aplica el
eo ema 2.4.6, ob eniendo p(D( )) = p( )−1≥0. En o o caso,
p(D( )) ≥0de nue o po el eo ema 2.4.7. Luego se concluye que
el conjun o de odos los elemen os educibles de K( )es un subanillo
di e encial de K( ).

P oposición 2.4.7 Sea ∈K( ) {0}yp∈K[ ]i educible. En onces,
1. p(D / )≥ −1
2. Se da la igualdad en (1) si y sólo sí, p( )= 0 ypes no mal.
76 CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE LIOUVILLE
Luego,
qd(p)−pd(q) =
= ( m+s)(d(b) n+bn na+d( )) −(b n+ )(m ma+d(s)) =
=d(b) m+n+bna m+n+ md( ) + s(d(b) n+bn na+d( ))−
−bma m+n−b nd(s)− (m ma+d(s)) =
= (d(b) + bna −bma) m+n+ md( ) + sd(p)−b nd(s)− d(q).
Además,
g (d(s)) ≤g (s) + max(0, δ( )−1) < m,
g (d( )) ≤g ( ) + max(0, δ( )−1) < n,
g (d(p)) ≤g (p) + max(0, δ( )−1) = n
y
g (d(q)) ≤g (q) + max(0, δ( )−1) = m.
Luego los é minos md( ),sd(p),b nd(s)y d(q) ienen g ado es ic a-
men e meno que m+n. Así que, si p obamos que d(b)+bna−bma = 0
en onces se end á que g (qd(p)−pd(q)) = m+n. Pe o po se una
hipe exponencial,
d(b) + bna −bma =d(b) + ba(n−m) = d(b n−m).
Además, n=myb= 0, luego b n−m/∈ky como c es(k( )) = c es(k)
po se un polinomio de Liou ille, se iene que d(b n−m)= 0. Po lo
an o, se concluye que
∞(d ) = 2m−m−n=m−n= ∞( ).
Si es una p imi i a, en onces d( ) = a∈k. Así que,
d(p) = d(b) n+bn n−1d( ) + d( ) = d(b) n+bn n−1a+d( )
y
d(q) = m m−1d( ) + d(s) = m m−1a+d(s).
Po lo an o, se cumple que g (d(q)) < m po se
g (d(s)) ≤g (s) + max(0, δ( )−1) < m.
Aho a sepa amos la demos ación en dos casos, dis inguiendo si d(b)es
nulo o no.

77
•Si d(b)= 0, en onces como g (d( )) ≤g ( )+max(0, δ( )−1) < n
se iene que g (d(p)) = n. Luego
g (qd(p)) = g (q) + g (d(p)) = m+n
y
g (pd(q)) = g (p) + g (d(q)) < n +m.
Po lo an o, se concluye que
∞= 2m−g (qd(p)−pd(q)) = 2m−(m+n) =
=m−n=g (q)−g (p) = ∞( ).
•Conside amos aho a el caso en el que d(b) = 0, y conside amos s
y de la o ma s=α m−1+uy =β n−1+ , siendo u, ∈K[ ]
con g (u)< m −1yg ( )< n −1, y α, β ∈k. Luego
d(s) = d(α) m−1+α(m−1) m−2+d(u)
y
d( ) = d(β) n−1+β(n−1) n−2+d( ).
Así que, desa ollando únicamen e los coeficien es de los é minos
de mayo g ado pa a educi la dificul ad, se iene que
qd(p)−pd(q)
= ( m+s)(bn n−1a+d( )) −(b n+ )(m m−1a+d(s)) =
= ( m+α m−1+u)(bn n−1a+d(β) n−1+β(n−1) n−2+d( ))−
−(b n+β n−1+ )(m m−1a+d(α) m−1+α(m−1) m−2+d(u)) =
= (bna +d(β)) m+n−1+β(n−1) m+n−2+d( ) m+
+ (α m−1+u)d(p)−(bma +bd(α)) m+n−1−
−bα(m−1) m+n−2−bd(u) n−(β n−1+ )d(q) =
= (ba(n−m) + d(β)−bd(α)) m+n−1+
+ (β(n−1) −bα(m−1)) m+n−2+
+d( ) m+ (α m−1+u)d(p)−bd(u) n−(β n−1+ )d(q).
Sabemos que
g (d( )) ≤g ( ) + max(0, δ( )−1) < n −1
78 CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE LIOUVILLE
y
g (d(u)) ≤g (u) + max(0, δ( )−1) < m −1.
Además, po se db = 0, se iene que g (d(p)) < n. Po lo an o,
d( ) m,(α m−1+u)d(p),bd(u) ny(β n−1+ )d(q) ienen g ado
meno es ic amen e que m+n−1. Así que, si p obamos que el
coeficien e que acompaña a m+n−1es no nulo, en onces g (qd(p)−
pd(q)) = m+n−1. Es deci , eamos que ba(n−m)+d(β)−bd(α)
es dis in o de ce o. Pe o como
ba(n−m) + d(β)−bd(α) = d(b (n−m) + β−bα),
po se d( ) = ayd(b) = 0, bas a e que
d(b (n−m) + β−bα)= 0.
Sabemos que n=myb= 0, en onces b (n−m) + β−bα /∈ky
como c es(k( )) = c es(k)po se un monomio de Liou ille, se
iene que d(b (n−m) + β−bα)= 0. Concluimos en onces que
∞(d( )) = 2m−m+n−1 = m+n−1 = ∞( )−1.

3.1. Teo ema de Liou ille
Definición 3.1.1 Se dice que ∈Kes un loga i mo sob e ksi exis e un ele-
men o a∈k∗ al que d( ) = d(a)/a. Un elemen o ∈K∗es una exponencial
sob e el cue po ksi d( )/ =d(a)pa a un cie o a∈k.
Definición 3.1.2 Se dice que ∈Kes elemen al sob e ksi es un elemen o
algeb aico, o un loga í mo o una exponencial.
La ex ensión Kdel cue po kes elemen al si exis en 1, . . . , n al que K=
k( 1, . . . , n)y ies elemen al en k( 1, . . . , i−1)pa a i∈ {1, . . . , n}.
3.1. TEOREMA DE LIOUVILLE 79
Teo ema 3.1.1 (Teo ema de Liou ille) Sea Kun cue po di e encial y ∈
K. Si exis e una ex ensión elemen al Ede Kde mane a que odos los elemen-
os cons an es de Esean los mismos que los de K, y un elemen o g∈E al
que d(g) = , en onces exis en ∈K,u1, ..., un∈K∗yc1, ..., cnelemen os
cons an es de K al que
=d( ) +
n
∑
i=1
ci
dui
ui
.
Obsé ese la simili ud con el enunciado de la educción de He mi e.
Demos ación:
Supongamos que se cumplen las hipó esis del enunciado. Sean Cel con-
jun o de odos los elemen os cons an es de KyEuna ex ensión elemen al
de Kcon los mismos elemen os cons an es que es e úl imo y g∈E al que
d(g) = . En onces exis en 1, ..., m∈E al que E=K( 1, ..., m)y cada
ies elemen al sob e K( 1, ... i−1). Vamos a p oba el eo ema po inducción
en m. Pa a m= 0, se iene que E=K, luego omando =g∈Kse
iene que =d( ), que es de la o ma deseada. Aho a dado m>0 supon-
gamos que el eo ema es cie o pa a cualquie ex ensión elemen al gene ada
po m−1elemen os, y eamos que dadas las hipó esis del enunciado, exis e
una una ex ensión Ede K, gene ada po melemen os que cumple el eo-
ema. Sea = 1yF=K( ). En onces como K⊆F⊆E, se iene que
los elemen os cons an es de Fcoinciden exac amen e con los de K, es deci ,
c es(F) = c es(K) = C, ya que C⊆c es(F)⊆c es(E) = C. Además, ∈F
yE=F( 2, .., m)es una ex ensión elemen al de Fgene ada po m−1ele-
men os, luego po hipó esis de inducción, exis en ∈F,u1, ..., un∈F∗y
c1, ..., cn∈C al que
=d( ) +
n
∑
i=1
ci
d(ui)
ui
.(3.1)
Con inuamos la demos ación del eo ema di e enciando si es un elemen o
algeb aico o ascenden e sob e K.
Si es algeb aico sob e K:
Conside amos las aplicaciones aza, T:F→K, y no ma, N:F→K,
y sea m= [F:K]el g ado de la ex ensión Fsob e Ko dimensión del
80 CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE LIOUVILLE
K-espacio ec o ial F. Aplicando la p ime a aplicación a la ecuación
3.1, se iene que:
T( ) = T(d( ) +
n
∑
i=1
ci
d(ui)
ui)=T(d( )) +
n
∑
i=1
ciT(d(ui)
ui)
ya que la aza es una aplicación lineal y las c′
isson cons an es en K.
Como ∈K,T( ) = m . Además, po la p oposición 2.2.4,
T(d( )) = d(T( )),
es deci , Tconmu a con d. En esa misma p oposición ambién imos
que
T(d(ui)
ui)=d(N(ui))
N(ui).
Luego
m =T( ) = d(T( )) +
n
∑
i=1
ci
d(N(ui))
N(ui).
Po lo an o, si omamos w=T( )/m ∈Kywi=N(ui)∈K∗ enemos
la igualdad deseada,
=d(w) +
n
∑
i=1
ci
m
d(wi)
wi
.
Si es ascenden e sob e K, en onces como c es(F) = C, es un
monomio de Liou ille sob e K, como consecuencia de los eo emas 3.0.1
y 3.0.2. Conside amos un polinomio p∈K[ ]i educible y no mal. Po
la p oposición 2.4.7, se iene que p(d(ui)/ui)≥ −1, po lo que
p(n
∑
i=1
ci
d(ui)
ui)=min ( p(d(ui)
ui)/i = 1, . . . , n)≥ −1.
Veamos aho a que p( )≥0. Razonamos po educción al absu do,
suponiendo que p( )<0. En onces, po el eo ema 2.4.6, p(d( )) =
p( )−1<−1. Po lo an o,
p( ) = p(d( ) +
n
∑
i=1
ci
d(ui)
ui)=min( p(d( )),−1) <−1.
3.1. TEOREMA DE LIOUVILLE 81
Es o úl imo con adice que ∈K, ya que si se cumple es o úl imo,
en onces p( )≥0. Así que, p( )≥0, y como es o es cie o pa a
odo polinomio p∈K[ ]i educible y no mal, en onces es educible
en Fpo la p oposición 2.4.6. Conside amos aho a ui=wi∏ni
j=1 peij
ij ,
donde wi∈K∗, odos eij son en e os y cada pij ∈K[ ]es mónico e
i educible. En onces,
=d( ) +
n
∑
i=1
ci
d(ui)
ui
=d( ) +
n
∑
i=1
ci
d(wi∏ni
j=1 peij
ij )
wi∏ni
j=1 peij
ij
=
=d( ) +
n
∑
i=1
ci
d(wi)∏ni
j=1 peij
ij +wid(∏ni
j=1 peij
ij )
wi∏ni
j=1 peij
ij
=
=d( ) +
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi
+
n
∑
i=1
ci
d(∏ni
j=1 peij
ij )
∏ni
j=1 peij
ij
=
=d( ) +
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi
+
+
n
∑
i=1
ci

ei1pei1−1
i1d(pi1)∏ni
j=2 peij
ij
∏ni
j=1 peij
ij
+. . . +einipeini−1
inid(pini)∏ni−1
j=1 peij
ij
∏ni
j=1 peij
ij 
=
=d( ) +
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi
+
n
∑
i=1
ci(ei1d(pi1)
pi1
+. . . +einid(pini)
pini).
Si alguno de los polinomios pi1, . . . , pinies á epe ido, eniendo en cuen-
a que ei1, . . . , einison en e os, podemos saca ac o común, y podemos
supone que odos los polinomios qjdel segundo suma o io son di e-
en es. Así, ob enemos la exp esión
=d( ) +
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi
+
N
∑
j=1
bj
d(qj)
qj
,
donde bj∈Cyqj∈K[ ]son mónicos, i educibles y cop imos, pa a
odo j= 1, . . . , N.
Supongamos aho a que exis e un qjde los an e io es que es no mal,
digamos qJ. Se iene que qJ(qJ) = 1, y po se odos q′
jscop imos,
qJ(qj) = 0 pa a odo j=J. Luego
qJ(bJd(qJ)/qJ) = qJ(d(qJ)) − qJ(qJ) = −1

82 CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE LIOUVILLE
po se qJno mal, y
qJ(bjd(qj)/qj) = qJ(d(qj)) − qJ(qj)≥0.
Po lo an o, qJ(∑j=Jbjd(qj)/qj)≥0, y qJ(∑N
j=1 bj
d(qj)
qj) = −1. Pe o
qJes un polinomio no mal y d( )es educible en K( ), po se educi-
ble en K( )y el conjun o de odos los elemen os educibles de K( )un
subanillo di e encial po la p oposición 2.4.6, po lo que qJ(d( )) ≥0.
Así que,
qJ( ) = min 
d ,
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi
,
N
∑
j=1
bj
d(qj)
qj
=−1,
con adiciendo que ∈K. Luego odos los polinomios qjson especia-
les. A pa i de aho a amos a sepa a la demos ación en dos casos,
di e enciando si es exponencial o loga í mica:
•Si es una exponencial sob e K, en onces d( )/ =d(a)pa a algún
a∈K. Además, po el eo ema 3.0.2, es el único polinomio
i educible que es especial, luego debe ocu i que N= 1 yq1= .
Po lo an o, b1d(q1)/q1=b1d( )/ =b1d(a). Luego
=d( ) +
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi
+b1d(a) = d( +b1a) +
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi
,
donde +b1aes educible en K( ). Supongamos que ( +b1a)<
0, en onces
(d( +b1a)) = ( +b1a)<0,
po el eo ema 2.4.6, ya que es un polinomio especial, mónico
e i educible. Luego ( )<0, con adiciendo que ∈K. Luego
( +b1a)≥0y po an o, +b1a∈K[ ]. Además, como d( )/ ∈
K, se iene que ∞(d( +b1a)) = ∞( +b1a), po la p oposición
3.0.2. Po lo an o, g (d( +b1a)) = g ( +b1a). Luego como
=d( +b1a) +
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi∈K,
en onces g ( +b1a) = 0. Así que, concluimos que +b1a∈Ky
=d( +b1a) +
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi∈K,
que es de la o ma deseada.
3.1. TEOREMA DE LIOUVILLE 83
•Si es un loga i mo sob e K, en onces d( ) = d(a)/a pa a algún
a∈K∗. Además, po el eo ema 3.0.1, odo polinomio i educible
es no mal. Luego po se odos los polinomios qji educibles y
especiales, debe ocu i que N= 0. Así que,
=d( ) +
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi
,
es deci ,
d( ) = −
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi∈K.
Po lo an o, ∞(d ) = 0 y po la p oposición 3.0.2, como d( )∈K
en onces debe se =m +ldonde m, l ∈Kyd(m) = 0. Así
pues, concluimos que
=d( ) +
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi
=d(m) +d( )m+d(l) +
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi
=
=da
am+d(l) +
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi
,
que es de la o ma deseada.

3.1.1. Ejemplo de aplicación del eo ema de Liou ille
Sean (z)yg(z)dos unciones en C(z)de modo que g(z)no es una
unción cons an e. Deno amos K=C(z). Veamos que la condición necesa ia
y suficien e que deben cumpli dichas unciones pa a que la solución de la
in eg al
∫ (z)eg(z)
enga dada en é minos de unciones elemen ales es que =d(a) + ad(g),
siendo a∈C(z).
Supongamos que ∫ (z)eg(z)es elemen al, y conside amos =eg(z)de mo-
do que d( )/ =d(g). En onces, po definición, es una exponencial. En
84 CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE LIOUVILLE
pa icula , es una hipe exponencial. Pa a aplica el eo ema de Liou ille
a nues a unción, necesi amos que c es(K( )) = c es(K)y que sea as-
cenden e. Pa a ello, amos a p oba que d( )/ no es la de i ada loga í mica
de ningún K− adical. Una ez p obado es o, es a emos en condiciones de
aplica el eo ema 3.0.2, del que ob end emos que es un monomio sob e K
y que c es(K( )) = c es(K). Además, po definición de monomio sob e K,
end emos que es ascenden e. Po lo an o, eamos que d / no es la de-
i ada loga í mica de ningún adical sob e K, es deci , que no exis e ningún
h(z)∈Cy ningún en e o n al que
nd(g) = nd( )
=d(h)
h.(3.2)
Vamos a azona po educción al absu do, suponiendo que exis en un ele-
men o h∈C(z)y un en e o no nulo nde modo que se cumpla la igualdad
3.2.
Si h(z)∈C, en onces d(h)
h= 0. Hemos llegado a un absu do, ya que
g(z)no es una unción cons an e, luego su de i ada no puede se nula.
Sea h(z)/∈C. En onces, d(h)
h∈C(z). Conside amos z0un polo de
d(h(z))/h(z). Es e es de o den uno, po la o ma en la que iene definida
la unción. En onces, po se
nd(g) = nd( )
=d(h)
h,
z0debe se un polo de d(g(z)) del mismo o den. Pe o, como amos a
e a con inuación, odos los polos de d(g(z)) ienen o den 0o mayo
o igual que 2. Vamos a p oba lo, sepa ando en dos casos, dependiendo
de si z0es un polo o no, de g(z):
•Si z0no es un polo de g(z), en onces
g(z) = g0+g1(z−z0) + g2(z−z0)2+. . . .
Luego,
d(g(z)) = g1+ 2g2(z−z0) + . . . ,
es deci , d(g(z)) no iene polo en z0.
3.1. TEOREMA DE LIOUVILLE 85
•Si z0es un polo de g(z)de o den k≥1, en onces z0es un polo
de d(g(z)) de o den k+ 1. Y po el pun o an e io , llegamos a un
absu do.
Po lo an o, odos los polos de g(z) ienen o den nulo, o mayo o igual
que 2. Pe o odos los polos de d(h(z))/h(z) ienen o den 1. Luego no
puede da se la igualdad 3.2.
Po lo an o d(g(z)) no es la de i ada loga í mica de ningún K− adical.
Luego, aplicando el eo ema 3.0.2, se iene que es un monomio sob e Ky
que c es(K( )) = c es(K).
Aho a, podemos aplica la demos ación del eo ema de Liou ille, en el caso
en el que es ascenden e y exponencial, es e eo ema nos dice que podemos
exp esa la unción (z)eg(z)de la siguien e o ma:
(z) =d( ) + bd( )
+
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi
,
donde b∈c es(K), ∈K( )y cada wi∈K. Luego,
d( ) = (z) −bd( )
−
n
∑
i=1
ci
d(wi)
wi
.(3.3)
Además, po se ∈K( ), u ilizando la descomposición en acciones simples,
es de la o ma
=A( ) +
nl
∑
l=1
Al( )
ql
k( )=
m
∑
j=1
bj j+
nl
∑
l=1
Al( )
ql
k( ),(3.4)
siendo A( )∈Ky odos los Al( )∈K[ ],qk( )∈K[ ]mónicos, i educibles
y cop imos dos a dos, y g (Al( )) < g (ql
k( )). Luego
d =
m
∑
j=0
(d(bj) + jbjd(g)) j+
nl
∑
l=1
d(Al( )
ql
k( )).(3.5)
P obemos aho a que en la exp esión 3.4 el único polinomio qk( )que apa ece
es el polinomio . Supongamos que qk( )= . Po lo an o, po el eo ema
3.0.2, qk( )es no mal.