Integración por cuadraturas de ecuaciones diferenciales ordinarias

Facul ad de Ciencias T abajo Fin de G ado G ado en Ma emá icas In eg ación po cuad a u as de ecuaciones di e enciales o dina ias Au o : Ma ía Ma ín Manso Tu o : José Ma ía Cano To es 2 Ag adecimien os A mi amilia y amigos, muy especialmen e a mis pad es, a mi he mano y a Juan, po sus consejos, su apoyo incondicional y confia en mi cuando ni yo misma lo hacía. A la memo ia de los que ya no es án aquí p esen es, pe o sé que me acompañan siemp e. A mi u o José, po su ayuda y dedicación en es e abajo. i ii Índice gene al In oducción 3 1. Funciones acionales 5 1.1. La es e a de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Compo amien o de las unciones en el infini o . . . . . . . . . 10 1.3. Funciones acionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4. In eg ación de unciones acionales . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.1. Algo i mo de Be noulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.2. Mé odo de He mi e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2. Álgeb a di e encial 25 2.1. Anillos y cue pos di e enciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. Ex ensiones di e enciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Monomios, y polinomios especiales y no males . . . . . . . . . 37 2.4. Aplicacióno den ......................... 47 2.4.1. Aplicación o den en infini o . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.2. Localizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.3. Residuos.......................... 62 3. El eo ema de Liou ille 71 3.1. Teo ema de Liou ille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.1.1. Ejemplo de aplicación del eo ema de Liou ille . . . . . 83 Bibliog a ía 89 1 2ÍNDICE GENERAL In oducción Una unción elemen al es una unción o mada po la composición, la suma o el p oduc o de unciones algeb aicas, exponenciales y loga í micas. Además, u ilizando la ope ación de i ación en una de ellas, se ob ienen nue- as unciones elemen ales. Se puede cons ui de ácilmen e un algo i mo pa a ob ene la de i ada de una unción elemen al en é minos de unciones elemen ales. Sin emba go, el p oceso in e so no se es udia en el G ado de Ma emá icas, sal o casos de unciones elemen ales muy pa icula es. En el año 1968, Risch desa olló un algo i mo que pe mi e decidi si una unción elemen al iene una in eg al elemen al, y calcula la en caso afi ma- i o. Es e algo i mo es ex ao dina iamen e complejo. De hecho, el lib o de B ons ein [2] se dedica al es udio únicamen e del caso de unciones elemen a- les ansceden es, dejando pa a un segundo olumen, que nunca ió la luz, el caso algeb aico. El obje i o de es e abajo es es udia el eo ema de Liou i- lle, el cual o ma pa e de la eo ía pa a desa olla el algo i mo de Risch, en su e sión nega i a. Es e nos da á una condición pa a sabe si una unción de e minada iene p imi i as elemen ales o no. El ejemplo más conocido po odos de unción con in eg al no elemen al, es la unción de Gauss (x) = e−x2. Es a unción, empleada en es adís ica, es in eg able pe o, como e emos al final de es e abajo , no exis e una com- binación de unciones elemen ales que exp ese su in eg al. De hecho, en la p ác ica, el alo de es as in eg ales se calcula con ayuda de una abla, o con ó mulas de cuad a u a numé ica en algún p og ama de o denado . Dado que el cue po di e encial base del que pa imos es el de las unciones acionales, el p ime capí ulo del abajo lo dedicamos a la in e p e ación de és as como unciones sob e la es e a de Riemann. 3 4ÍNDICE GENERAL En el segundo capí ulo desa olla emos la eo ía de álgeb a di e encial. En e los concep os y esul ados más impo an es se encuen an aquellos que in o- luc an anillos y cue pos di e enciales, ex ensiones di e enciales y la aplicación o den. Toda es a eo ía, se emplea á pa a desa olla el úl imo capí ulo y pa - e cen al de es e abajo, el eo ema de Liou ille. Aunque, a p io i, pa ezca que amos a da un a gumen o analí ico, lo cie o es que demos a emos es e úl imo eo ema ecu iendo a azonamien os algeb aicos en el con ex o de los cue pos di e enciales. Finalmen e, es e eo ema nos ayuda á a p oba que in eg ales como, po ejemplo, ∫e−x2o∫sen(x) x, no pueden exp esa se en é minos de unciones elemen ales. Capí ulo 1 Funciones acionales 1.1. La es e a de Riemann Reco damos la cons ucción de la es e a de Riemann y algunas de sus p opiedades; pa a ello conside amos la es e a en R2, S2={(x1, x2, x3)∈R3/x2 1+x2 2+x2 3= 1}, e iden ificamos el plano complejo Ccon el plano T={x3= 0}median e la co espondencia de z=x+iy siendo x, y ∈Rcon (x, y, 0) pa a odo z∈C. Sea N= (0,0,1) el polo no e de la es e a, la p oyección es e eog áfica desde Np opo ciona una aplicación biyec i a π:S2 N−→ C(1.1) siendo πla composición siguien e π:S2 N−→ T∼ =C Q→P∼ =z(1.2) donde Pes un pun o del plano Tdefinido an e io men e, zel pun o del plano complejo Chomeomo o a PyQ∈S2 N, y se iene que los pun os P,Qy Nson colineales. 5 12 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES Definición 1.2.1 Se dice que z0es una aíz de la ecuación (z) = ccon mul iplicidad m0si la unción (z)−c iene un ce o en z=z0con mul ipli- cidad m0, es deci , si y sólo sí (z0)−c= 0, ′(z0) = 0,..., (m0−1)(z0) = 0, (m0)(z0)= 0. Obse ación: Si z0es una aíz múl iple (m≥2) de (z) = c, en onces ′(z0) = 0, es deci , z0es un ce o de ′(z). P oposición 1.2.1 Hay un núme o fini o de alo es c pa a los cuales la ecuación (z) = c iene al menos una aíz múl iple. Demos ación: Si la ecuación (z) = c iene a z0como aíz múl iple, en onces ′(z0) = 0, es deci , z0∈Z( ) = {z∈ˆ C/ ′(z) = 0}=Z, siendo Z={w1, ...wk} un conjun o fini o. Luego c= (z0)∈ (Z) = { (w1), ..., (wk)}. Así que si c /∈ { (w1), ..., (wk)}, en onces la ecuación (z) = csólo puede ene aices simples.  Definición 1.2.2 Sea Dun conjun o abie o de ˆ Cy :D→C. Se dice que es analí ica ( esp. me omo a) en D si: es analí ica ( esp. me omo a) en D, si ∞/∈D. ◦J(z) = (1/z)es analí ica ( esp. me omo a) en ∞, si ∞ ∈ D Teo ema 1.2.1 Sea una unción analí ica en una egión Rde ˆ C. Si iene ce os en un núme o infini o de pun os znen Rcon z∗= l´ımn→∞ znen R, en onces es idén icamen e ce o en R. Demos ación: Si z∗=∞, en onces zn=∞pa a odo nsuficien emen e g ande, po lo que omi iendo un núme o fini o de é minos podemos supone que zn∈C pa a odo n. Aho a R′=R ∞ es una egión en C, y es analí ica en R′ con ce os en una secuencia infini a de pun os zn∈R′con un lími e z∗∈R′, luego es idén icamen e ce o en R′. Si ∞/∈Ren onces R=R′y el esul ado 1.2. COMPORTAMIENTO DE LAS FUNCIONES EN EL INFINITO 13 queda demos ado. Si ∞ ∈ R, en onces como es analí ico en ∞y se anula en un en o no de ∞, enemos que (∞) = 0, po con inuidad. Supongamos aho a que z∗=∞. Omi iendo un núme o fini o de é minos, podemos supone que zn= 0 pa a odo n. Como es analí ica en la egión ˆ R=R {0}, ◦Jes analí ica en la egión R∗={z−1/z ∈ˆ R}. Aho a ◦J iene ce os en los pun os z−1 nde R∗, y es os ienen un lími e J(z∗) = 0 en R∗, po lo que ◦Jes idén icamen e ce o en R∗y po an o es idén icamen e nula en ˆ R. Si 0/∈Ren onces R=ˆ Ry el esul ado queda demos ado. Si 0∈Ren onces (0) = 0 po con inuidad, po lo que es idén icamen e nula en R. Hemos p obado que ∞se puede inclui en el dominio de definición de una unción , pe o ambién se puede in oduci ∞en la imagen de : Si es una unción me omo a en un pun o z0∈ˆ C, con un polo en z0, es deci p esen a una singula idad en z0yl´ımz→z0 (z) = ∞o lo que es equi alen e J◦ (z0) = 0, en onces se puede esc ibi (z0) = ∞. Definición 1.2.3 Dada una unción analí ica en un pun o a∈C, con (a) = c∈C; si es no cons an e en onces (k)(a)= 0 pa a algún k≥1, y al meno de dichos núme os en e os kse le llama mul iplicidad de la solución de (z) = cen z=a. Si es una unción me omo a en z0∈C, con un polo de o den ken z0, en onces (z0) = ∞con mul iplicidad k. Si z0=∞se dice que (∞) = ccon mul iplicidad ksi ( ◦J)(0) = ccon mul iplicidad k. P oposición 1.2.2 Una unción me o o ma :ˆ C→ˆ Cno cons an e, iene como imagen un cie o alo c∈ˆ Cun núme o fini o de eces, con ando mul iplicidades, es deci , la suma de las mul iplicidades de las soluciones de (z) = ces fini a. Demos ación: Demos amemos en p ime luga que si z∈Cy (z) = c, en onces exis e un en o no Uzde z al que no oma el alo cen Uz {z}. En e ec o, si 14 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES c=∞, los polos de son ce os de J◦ , y como J◦ es una unción me- omo a no cons an e, po el eo ema an e io dichos ce on son aislados; si c=∞, u ilizamos el hecho de que los ce os de −ces án aislados. Po se ˆ Ces compac o, es á ecubie o po un núme o fini o de en o nos Uz1, ..., Uzk, po lo que −1(c) = {z1, ..., zk}es un conjun o fini o. Como es una unción me omo a, cada solución de (z) = c iene mul iplicidad fini a, luego oma el alo c sólo un núme o fini o de eces.  Definición 1.2.4 Sea z=z0una singula idad aislada de una unción (z) analí ica en un anillo A(z0; , R) = {z∈C; < |z−z0|< R}. Un desa ollo en se ie de Lau en pa a (z) es de la o ma: (z) = ∑∞ k=1a−k(z−z0)−k+∑∞ k=0ak(z−z0)k. El p ime suma o io se llama pa e p incipal del desa ollo de la unción en el pun o z0, y el segundo pa e analí ica. Teo ema 1.2.2 Sean yg unciones me omo as sob e ˆ Ccon polos en los mismos pun os de ˆ C, y con las mismas pa es p incipales en es os pun os. En onces (z) = g(z) + cpa a alguna cons an e c. Demos ación: La unción h= −ges me omo a, po se di e encia de unciones me o- mo as, y po an o con inua en ˆ C. Luego como ˆ Ces compac o, su imagen po hes compac a. Como las pa es p incipales de ygse cancelan, po se iguales, hno iene polos, po lo que h(ˆ C)es un subconjun o de C, y al se compac o es á aco ado. El eo ema de Liou ille mues a que po se h una unción analí ica y aco ada, debe se cons an e en C, y po an o, po con inuidad, h=cen ˆ Cpa a alguna cons an e c, es deci , =g+c. P oposición 1.2.3 Una unción analí ica en odo ˆ Ces cons an e. Demos ación: Es consecuencia del eo ema an e io ya que dicha unción iene las mismas pa es p incipales que una unción cons an e.  1.3. FUNCIONES RACIONALES 15 Teo ema 1.2.3 Sean yg unciones me omo as en ˆ Ccon ce os y polos de los mismos ó denes y en los mismos pun os de C. En onces (z) = cg(z) pa a alguna cons an e c= 0. Demos ación: Podemos supone que ygno son unciones idén icamen e nulas. En on- ces /g yg/ son me omo os en ˆ C, po se cocien e de unciones me omo as con unción denominado no nula, y ninguna de ellas iene polos en C, ya que como ienen polos en los mismos pun os al hace el cocien e es os desapa e- cen, po lo que ambas son analí icas en C. Al menos una de ellas es fini a en ∞, luego es analí ica en ˆ C. Como en el eo ema an e io , el eo ema de Liou ille implica que hes cons an e, po lo que =cg pa a alguna cons an e c= 0 ni ni gson idén icamen e nulas.  1.3. Funciones acionales Definición 1.3.1 Una unción acional es una unción de la o ma (z) = p(z)/q(z), siendo p(z)yq(z)polinomios con coeficien es en Cyq(z)no idén icamen e nula. Se puede ex ende la definición de unción acional (z)al plano ampliado ˆ C, definiendo (z) = l´ımz′→z (z′), pa a z=∞oq(z) = 0. Definición 1.3.2 Sean ,gdos polinomios con coeficien es complejos y am- bos no nulos. Se dice que son cop imos si ningún polinomio de g ado ≥1 di ide simul áneamen e a y a g. El eo ema undamen al del álgeb a, es ablece que odo polinomio de g a- do mayo que ce o posee una aiz. Luego se pueden descompone pyq como p oduc o de ac o es i educibles de g ado 1. Al ealiza el cocien e (z) = p(z)/q(z), se pueden cancela los ac o es comunes del nume ado y denominado , y da como esul ado una unción cocien e de polinomios que son cop imos. Es a unción, de nue o po el eo ema undamen al del álge- b a, puede exp esa se como: (z) = c(z−α1)m1...(z−α )m (z−β1)−n1...(z−βs)−ns, 16 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES siendo c∈C,α1,...,α aices del polinomio pcon mul iplicidades m1,..m y β1,...,βs aices del polinomio qcon mul iplicidades n1,...,ns. Dichos α1,...,α son ce os de la unción de mul iplicidades m1,..m yβ1,...,βsson los polos de de ó denes n1,...,ns. Teo ema 1.3.1 Una unción :ˆ C→ˆ Ces acional si y solo si es una unción me omo a en ˆ C. Demos ación: Si se descompone la unción como se acaba de e (cocien e de dos polinomios cop imos descompues os en ac o es i educibles), en onces es analí ica en cada z=∞yz=βj,j= 1, ...s, luego es una unción analí ica en C β1, ..., βs. En cada βj,j= 1, ...s, iene un polo de o den nj, mien as que en ∞, es analí ico si g (p)≤g (q)y iene un polo de o den g (p)−g (q), si g (p)> g (q). Po lo an o es me omo a en ˆ C. Recíp ocamen e,sea una unción me omo a con ce os en α1, ..., αkcon mul iplicidades m1, ..., mky polos en β1, ..., βscon ó denes n1, ...ns. En cada βi, (z)posee una pa e p incipal: PP( ;βi) = Ai,ni (z−βi)ni+... +Ai,ni (z−βi)=hi(z) (z−βi)ni, donde el g ado de hi(z)es meno o igual que ni. Además, PP( ;∞) = Akzk+Ak−1zk−1+... +A1z. En onces h(z) = PP( ;∞) + PP( ;β1) + ... +PP( ;βs)es una unción acional, y po an o me omo a, cuyos únicos polos son β1, ...βs. Además, PP(h;βi) = PP( ;βi)yPP(h;∞) = PP( ;∞). Luego po el eo ema 1.2.2, po se yh unciones me omo as con polos en los mismos pun os y con las mismas pa es p incipales, se iene que (z) = h(z) + c. Luego es una unción acional.  Definición 1.3.3 Dada una unción acional =p/q, con pyqdos poli- nomios cop imos. Se llama g ado de al máximo de los g ados de pyq. Teo ema 1.3.2 Una unción acional :ˆ C→ˆ Cde g ado n > 0, oma cada alo c∈ˆ Cexac amen e n eces, con ando mul iplicidades. 1.3. FUNCIONES RACIONALES 17 Demos ación: Po se una unción acional, es de la o ma =p/q, donde pyqson dos polinomios cop imos. Supongamos que c=∞. Pa a algún z∈Cse iene (z) = ∞si y sólo si q(z)=0, y po el eo ema undamen al del álge- b a es a úl ima ecuación iene g (q)soluciones, con ando mul iplicidades. Si g (p)≤g (q), en onces dichas soluciones son los únicos polos de la unción . Si se cumple la desigualdad con a ia, g (p)> g (q)además de los polos an- e io es, posee uno en ∞de o den g (p)−g (q). En ambos casos, el núme o de soluciones de (z) = ∞, con ando mul iplicidades, es max(g (p), g (q)) que es g ( ). Supongamos aho a que c=∞. Como g ( )>0, no es idén icamen e igual a dicha cons an e. Luego exis e una unción acional g=1 −c; de modo que las soluciones de la ecuación (z) = cson exac amen e el los polos de la unción g, que po el a gumen o p e io hay g (g)de es os. Como es una unción acional g=q p−cq, siendo qyp−cq cop imos po se lo pyq, luego g (g) = max(g (q), g (p− cq)) = max(g (q), g (p)) = g ( ). Definición 1.3.4 Sea una unción me omo a en a∈ˆ Cy sea (a) = c. Se dice que aes un pun o múl iple de si la ecuación (z) = c iene una solución múl iple en z=a; si c=∞es o es equi alen e a ′(a)=0, mien- as que si c=∞, es equi alen e a que enga un polo de o den al menos dos en a. El es o de pun os se llaman pun os simples de . P oposición 1.3.1 Sea :ˆ C→ˆ Cuna unción acional de g ado d > 0. En onces: 1. sólo iene un núme o fini o de pun os múl iples en ˆ C 2. El ca dinal del conjun o −1(c)es igual a dpa a odos los pun os, ex- cep o pa a un núme o fini o de pun os c∈ˆ C, y 1≤| −1(c)|< d pa a el es o de pun os c. 18 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES Demos ación: 1. Como la de i ada de es acional y no idén icamen e nula, ′ iene un núme o fini o de ce os en ˆ C; como iene sólo un núme o fini o de polos, se iene. 2. Po el eo ema an e io , si c∈ˆ Cen onces hay soluciones z=a1, ..., a de (z) = ccon mul iplicidades k1, ..., k , sa is aciendo k1+...+k =d. Po lo an o | −1(c)|= ,po lo que 1≤| −1(c)|≤ d, y se iene | −1(c)|=d, a menos que haya algún kj≥2. Como sólo iene un núme o fini o de pun os múl iples, po (1), se iene (2).  1.4. In eg ación de unciones acionales Es conocido que cualquie unción acional puede se in eg ada en é - minos de unciones elemen ales. Pa a ello exis en algo i mos, como el de Be nouilli, que de allamos a con inuación. 1.4.1. Algo i mo de Be noulli Es e mé odo no es compu acionalmen e eficien e debido al cos o de la ac o ización polinómica pe o iene impo ancia eó ica. Sea una unción acional, que se puede esc ibi como =P+A/D , siendo P, A, D ∈R[x],mcd(A, D) = 1 ydeg(A)< deg(D), haciendo la di isión polinómica del nume ado de en e su denominado . Sea D=c∏n i=1(x−ai)ei∏m j=1(x2+bjx+cj) j la ac o ización de Den é minos de ac o es i educibles sob e R, donde c,ai,bjycjson alo es eales, y eiy jen e os posi i os, pa a odos i,j. Realizando la descomposición en acciones simples de , se iene que =P+∑n i=1∑ei k=1 Aik (x−ai)k+∑m j=1∑ j k=1 Bjkx+Cjk (x2+bjx+cj)k 1.4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 19 siendo Aik,Bjk yCjk alo es eales, pa a odos i,jyk. Luego ∫ =∫P+∑n i=1∑ei k=1 ∫Aik (x−ai)k+∑m j=1∑ j k=1 ∫Bjkx+Cjk (x2+bjx+cj)k. Veamos cada in eg al po sepa ado: La p ime a no posee ningún p oblema ya que es una in eg al polinómica. La segunda, ∫Aik (x−ai)k={Aik(x−ai)1−k 1−ksi k > 1 Ai1log(x−ai)si k = 1 Po úl imo, calculamos la exp esión de la e ce a in eg al. Po se x2+bjx−ai un polinomio i educible en R[x]se iene que b2 j−4cj<0. Luego, Si k= 1, ∫Bj1x+Cj1 (x2+bjx+cj)=Bj1∫x+Cj1 Bj1 x2+bjx+cj = =Bj1∫x+bj 2+Cj1 Bj1−bj 2 x2+bjx+cj = =Bj1∫x+bj 2 x2+bjx+cj +Bj1(Cj1 Bj1−bj 2)∫1 x2+bjx+cj = =Bj1 2log(x2+bjx+cj) + Bj1(Cj1 Bj1−bj 2)∫1 x2+bjx+cj = =Bj1 2log(x2+bjx+cj) + 1 2(2Cj1−bjBj1)∫1 (x+bj 2)2+cj−(bj 2)2= 20 CAPÍTULO 1. FUNCIONES RACIONALES =Bj1 2log(x2+bjx+cj) + 1 2   2Cj1−bjBj1 cj+(bj 2)2  ∫1 (2x+bj √4cj−b2 j)2 + 1 = =Bj1 2log(x2+bjx+cj) +   2Cj1−bjBj1 √4cj+bj2 ∫ 2 √4cj+bj 2 (2x+bj √4cj−b2 j)2 + 1 = =Bj1 2log(x2+bjx+cj) + 2Cj1−bjBj1 √4cj−b2 j a c an   2x−bj √4cj−b2 j . Si k > 1, ∫Bjkx+Cjk (x2+bjx+cj)k=Bjk 2∫2x+2Cjk Bjk +bj−bj (x2+bjx+cj)k= =Bjk 2∫2x+bj (x2+bjx+cj)k+Bjk 2∫ 2Cjk Bjk −bj (x2+bjx+cj)k= =Bjk 2 1 (1 −k)(x2+bjx+cj)k−1+1 2∫2Cjk −bjBjk (x2+bjx+cj)k Vamos a calcula el alo de la úl ima in eg al. Pe o pa a simplifica en las ope aciones eliminamos los subíndices. En onces, ∫1 (x2+bx +c)k=∫1 ((x+b 2)2−b2 4+c)k=∫1 ((x+b 2)2−m2)k, siendo m2=b2 4−c. Si hacemos el cambio de a iable m =x+b 2con 1.4. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES 21 md =dx, se iene que la in eg al an e io es igual a ∫m d ((m )2+m2)k=1 m2k−1∫d ( 2+ 1)k= =1 m2k−1∫ 2+ 1 ( 2+ 1)kd −1 m2k−1∫ 2 ( 2+ 1)kd = =1 m2k−1∫1 ( 2+ 1)k−1d −1 m2k−1∫ 2 ( 2+ 1)kd . Si aho a hacemos in eg ación po pa es en la úl ima in eg al conside- ando u= , d =2 ( 2+ 1)kd , du =d , =−1 (k−1)( 2+ 1)k−1, nos queda que 1 m2k−1∫1 ( 2+ 1)k−1d −1 m2k−1∫ 2 ( 2+ 1)kd = =1 m2k−1∫1 ( 2+ 1)k−1d +1 2(k−1)m2k−1( 2+ 1)k−1− −1 2(k−1)m2k−1∫1 ( 2+ 1)k−1d = =2k−3 2(k−1)m2k−1∫1 ( 2+ 1)k−1d +1 2(k−1)m2k−1( 2+ 1)k−1= =2k−3 2(k−1)m∫1 ((m )2+m2)k−1d +1 2(k−1)m2k−1( 2+ 1)k−1. Así que haciendo el cambio de a iable in e so, es deci , =2x+b 2m, se 28 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL Luego queda p obado que des una de i ación. Como la aplicación idén ica- men e nula en Aes una de i ación, queda p obado que el conjun o de las de i aciones en Aes un A-módulo.  Definición 2.1.4 Sea (A, d)un anillo di e encial. Un ideal Ide Aes un ideal di e encial si dI ⊆I, es deci , si pa a odo elemen o adel ideal I, se cumple que d(a)∈I. P oposición 2.1.3 Sean (A, d)un anillo di e encial, Iun ideal di e encial en Ayπ:A→A/I la p oyección canónica. En onces dinduce una de i a- ción d∗en A/I al que d∗◦π=π◦d. Demos ación: P ime o definimos d∗como sigue: pa a x∈A/I se conside a a∈A al que π(a) = xy se fija d∗(x) = π(da). Veamos en p ime luga que la aplicación d∗ es á bien definida. Supongamos que π(a) = π(b) = xpa a a, b ∈A. En onces a−b∈I, luego po se Iun ideal di e encial se iene que d(a−b)∈I. Así que d(a)−d(b)∈I, y po an o π(da) = π(db), es deci , d∗es á bien definido. Veamos aho a que es una de i ación, pa a ello eamos que cumplen las p opiedades de la de i ación de suma y p oduc o. Sabemos po definición de d∗que d∗◦π=π◦d. Sean x, y ∈A/I ya, b ∈A al que π(a) = xy π(b) = y. En onces π(a+b) = x+yyπ(ab) = xy, y po an o, d∗(x+y) = d∗(π(a+b)) = π(d(a+b)) = π(da) + π(db) = =d∗(π(a)) + d∗(π(b)) = d∗(x) + d∗(y) y d∗(xy) = d∗(π(ab)) = π(d(ab)) = π(ad(b) + bd(a)) = =π(a)π(d(b)) + π(b)π(d(a)) = xd∗(π(b)) + yd∗(π(a)) = =xd∗(y) + yd∗(x). Y queda p obado que d∗es una de i ación en A/I. 2.2. EXTENSIONES DIFERENCIALES 29 2.2. Ex ensiones di e enciales Definición 2.2.1 Sean (A, d)y(B, δ)anillos di e enciales. Se dice que (B, δ) es una ex ensión di e encial de (A, d)si Aes un subanillo de Byδ(a) = d(a) pa a odo a∈A. Teo ema 2.2.1 Sea (A, d)un anillo di e encial, que además es dominio de in eg idad y Ksu cue po de acciones. En onces, exis e una única de i ación δen K al que (K, δ)es una ex ensión di e encial de (A, d). Demos ación: Definimos la aplicación δcomo sigue, δ:K−→ K a b→b·da −a·db b2.(2.1) Vamos a comp oba que es a es la de i ación que cumple el enunciado. Pa a ello eamos p ime o que es á bien definida: Supongamos que a/b =x/y, siendo a, b, x, y ∈A. En onces, ay =bx y po lo an o, δ(a b)−δ(x y)=b·d(a)−a·d(b) b2−y·d(x)−x·d(y) y2= =y2bd(a)−y2ad(b)−b2yd(x) + b2xd(y) b2y2= =(bd(y) + yd(b))(bx −ay) + abyd(y)−bxyd(b) + by(yd(a)−bd(x)) b2y2= =d(by)(bx −ay) + by(yd(a) + ad(y)−bd(x)−xd(b)) b2y2= =d(by)(bx −ay) + byd(ay −bx) b2y2= 0. Luego δ(a b)=δ(x y)y aplicación δes á bien definida. Veamos aho a que, e ec i amen e, es una de i ación. Pa a ello eamos que δcumple las dos 30 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL p opiedades que ca ac e izan a es e ipo de aplicaciones. δ(a b+x y)=δ(ay +bx by )=byd(ay +bx)−(ay +bx)d(by) b2y2= =by2d(a) + abyd(y) + bxyd(b) + b2yd(x) b2y2− −abyd(y) + ay2d(b) + bxyd(y) + b2xd(y) b2y2= =bd(a)−ad(b) b2+yd(x)−xd(y) y2=δ(x) + δ(y). δ(ax by )=byd(ax)−axd(by) b2y2=abyd(x) + bxyd(a)−abxd(y)−axyd(b) b2d2= =a(yd(x)−xd(y)) bd2+x(bd(a)−ad(b)) b2d=a b·δ(x y)+x y·δ(a b). Luego δcumple las eglas de suma y p oduc o, y po lo an o, la aplicación δes una de i ación. Veamos aho a que δes una ex ensión de d. Pa a ello, bas a obse a que dado un elemen o a∈Aa bi a io, δ(a) = δ(a 1)=1d(a)−ad(1) 12=d(a) Así pues, (K, δ)es una ex ensión di e encial de (A, d). Po úl imo, amos a comp oba la unicidad de δ. Supongamos aho a que enemos dos de i aciones δ1yδ2de K ales que (K, δ1)y(K, δ2)son ex en- siones di e enciales de (A, d). Sean a, b ∈Ayb= 0. En onces, u ilizando la segunda p opiedad de la p oposición 2.1.1, δ1(a b)=bδ1(a)−aδ1(b) b2=bd(a)−ad(b) b2=bδ2(a)−aδ2(b) b2=δ2(a b). Luego δ1=δ2, es deci , la aplicación δdefinida an e io men e es la única de i ación en K al que (K, δ)es una ex ensión di e encial de (A, d). 2.2. EXTENSIONES DIFERENCIALES 31 Definición 2.2.2 Sean Aun anillo di e encial y A[x]su anillo de polino- mios, siendo xuna inde e minada sob e A. Pa a cada de i ación den A, se define la aplicación Dd:A[x]→A[x]dada po Dd(n ∑ i=0 aixi)= n ∑ i=0 d(ai)xi P oposición 2.2.1 La aplicación Dddefinida an e io men e es una de i a- ción en A[x]. Demos ación: Sean , g ∈A[x]de la o ma =∑n i=0 aixiyg=∑n i=0 bixi. Veamos que se cumplen las p opiedades pa a que Ddsea una de i ación, es deci , que Dd( +g) = Dd( ) + Dd(g)y Dd( g) = Dd(g) + gDd( ). Po la definición an e io , se cumple que Dd( +g) = ∑n i=0 d(ai+bi)xi=∑n i=0 d(ai)xi+∑n i=0 d(bi)xi=Dd( )+Dd(g). Además, Dd( g) = 2n ∑ k=0 d ∑ i,j≥0,i+j=k aibj xk= 2n ∑ k=0 ∑ i,j≥0,i+j=k d(aibj)xk= = 2n ∑ k=0 ∑ i,j≥0,i+j=k aid(bj)xk+ 2n ∑ k=0 ∑ i,j≥0,i+j=k bjd(ai)xk= = Dd(g) + gDd( ). Luego la aplicación Ddes una de i ación en A[x]. P oposición 2.2.2 Sea (A, d)un anillo di e encial, (B, δ)una ex ensión di e encial de (A, d), y xuna a iable inde e minada sob e A. En onces, δ(P(α)) = Dd(P)(α) + δ(α)(d dxP)(α) pa a odo α∈By odo polinomio P∈A[x]. 32 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL Demos ación: Dado P∈A[x]de la o ma P=∑n i=0 aixi, con cada ai∈A. En onces como δai=daipa a cada iy eniendo en cuen a las p opiedades de de i ación de p oduc os y sumas, δ(P(α)) = δ(n ∑ i=0 aiαi)= n ∑ i=0 δ(ai)αi+δ(α) n ∑ i=0 iaiαi−1= = n ∑ i=0 d(ai)αi+ n ∑ i=0 iaiαi−1δ(α) = =Dd(P)(α) + δ(α)(d dxP)(α).  Teo ema 2.2.2 Sea (A, d)un cue po di e encial y sea anscenden e sob e A. Pa a cada w∈A( )exis e una única de i ación δde A( ) al que δ( ) = w y(A( ), δ)es una ex ensión di e encial de (A, d). Demos ación: Sabemos po la p oposición 2.2.1 que Ddes una de i ación en A[ ]y po el eo ema 2.2.1, que iene una única ex ensión a una de i ación en A( ). Como d/d es ambién una de i ación en A( ), la aplicación δ=Dd+w·d/d es una de i ación en A( ), po se el conjun o de odas las de i aciones en A( ) un A( )−módulo sob e A( ). Tenemos que δ( ) = (Dd+wd d )( ) = Dd( ) + wd d ( ) = d(1) +w=w, y pa a a∈A, que δ(a) = (Dd+wd d )(a) = Dd(a) + wd d (a) = d(a) + w·0 = d(a), luego (A( ), δ)es una ex ensión di e encial de (A, d)que cumple lo deseado. Fal a p oba la unicidad de la de i ación δ. Pa a ellos supongamos que exis en 2.2. EXTENSIONES DIFERENCIALES 33 dos de i aciones δ1yδ2en A( ) al que (A( ), δ1)y(A( ), δ2)son ex ensiones di e enciales de (A, d), y al que δ1( ) = δ2( ) = w. Sea x∈A( )y esc ibimos x=a/b, siendo a, b ∈A[ ]yb= 0. Haciendo uso de la p ime a p oposición de es e capí ulo en la segunda y penúl ima igualdad, y aplicando la p oposición an e io a aybcon α= , δ1(x) = δ1(a b)=bδ1(a)−aδ1(b) b2= =b(Dd(a) + w·d d (a))−a(Dd(b) + wd d (b)) b2= =bδ2(a)−aδ2(b) b2=δ2(a b)=δ2(x). Luego δ1=δ2, lo que demues a que la de i ación δes la única al que δ( ) = wy(A( ), δ)es una ex ensión di e encial de (A, d). Definición 2.2.3 Un polinomio P∈A[x]es sepa able si sus ac o es i e- ducibles, ienen odas sus aíces simples. Definición 2.2.4 Un elemen o algeb aico de una ex ensión se dice que es sepa able si su polinomio mínimo es sepa able. Una ex ensión algeb aica E de Aes sepa able si el polinomio mínimo i educible sob e Ade odo elemen o de Ees sepa able. Teo ema 2.2.3 Sea (A, d)un cue po di e encial, y Euna ex ensión alge- b aica sepa able de A. En onces exis e una única de i ación δen E al que (E, δ)es una ex ensión di e encial de (A, d). Demos ación: Demos émoslo p ime o pa a el caso pa icula en el que E=A(α)pa a un cie o α∈E. Sea xuna a iable inde e minada sob e Ay sea P∈A[x]el polinomio mínimo i educible sob e Adel elemen o αde E, es deci , sea Pel polinomio mónico, con coeficien es de A, de meno g ado al que P(α)=0. Como Ees una ex ensión algeb aica sepa able de A, se iene que (d dx P)(α)= 0. Luego si conside amos w=−Dd(P)(α) (d dx P)(α)∈E, 34 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL como E≃A[α],exis e un polinomio Qcon coeficien es en A al que w= Q(α). Po o o lado, sabemos que Ddes una de i ación en A[x], y como d dx lo es ambién en A[x], se iene que δ=Dd+Qd dx es una de i ación en A[x]. Conside amos aho a la p oyección canónica π:A[x]→A[x]/(P)≃Ey enemos que π(δP) = π(DdP+Qd dxP)= =Dd(P)(α) + Q(α)d dxP= =Dd(P)(α) + wd dxP= =Dd(P)(α)−Dd(P)(α) = 0 Luego δP ∈Ke (π) = (P)y po an o Ke (π)es un ideal di e encial, lo que implica que δinduce una de i ación δ∗:E→E al que π◦δ=δ∗◦π, po la p oposición 2.1.3. Finalmen e, pa a a∈A, enemos que δ∗(a) = δ∗π(a) = πδ(a) = π(Dd(a) + Qd dxa)= =π(Dd(a)) = π(d(a)) = d(a), luego (E, δ∗)es una ex ensión di e encial de (A, d). Demos émoslo aho a en el caso gene al. Pa a ello conside amos Euna ex- ensión algeb aica y sepa able de A, y deno amos Sal conjun o de odas las ex ensiones di e enciales (K, δ)de (A, d) ales que K⊆E. Además, defini- mos el o den pa cial en el conjun o Scomo: (K1, δ1)≤(K2, δ2)si (K2, δ2)es una ex ensión di e encial de (K1, δ1). Como (A, d)∈S,Ses un conjun o no acío. Luego podemos conside a el subconjun o de S o almen e o denado, C={(Ki, δi)}de modo que K=∪iKi, y definimos δ∈Kcomo δ(z) = δi(z)si z∈Ki. Como Ces un conjun o o almen e o denado, (K, δ)es una ex ensión di e encial de (A, d) que es á bien definida. Además, (K, δ)es una ex ensión di e encial de (Ki, δi) pa a cada i, luego (K, δ)es una co a supe io del conjun o Ccon espec o al 2.2. EXTENSIONES DIFERENCIALES 35 o den pa cial ≤. Po lo an o, odo subconjun o o almen e o denado de S, iene una co a supe io en S. Luego po el lema de Zo n, exis e un elemen o maximal (Kmax, δmax)∈S. Po la definición de S,Kmax ⊆Ey(Kmax, δmax) es una ex ensión di e encial de (A, d). Veamos aho a que E⊆Kmax. Dado z∈E, aplicando la p ime a pa e de la demos ación, exis e una de i ación δ en Kmax(z) al que (Kmax(z), δ)es una ex ensión di e encial de (Kmax, δmax), luego (Kmax, δmax)≤(Kmax(z), δ)en S. Es o implica que Kmax =Kmax(z) pues (Kmax, δmax)es un elemen o maximal. Po an o, z∈Kmax, luego E=Kmax. Así pues, (E, δmax)es una ex ensión di e encial de (A, d). Po úl imo, al a p oba la unicidad de la de i ación δ. Po ello, supongamos que exis en dos de i aciones δ1yδ2en E al que (E, δ1)y(E, δ2)son ex en- siones di e enciales de (A, d). Sean z∈EyP∈A[x]su polinomio minimal i educible sob e A. Sabemos que po se zun elemen o de la ex ensión al- geb aica E, exis e un polinomio Pcon coeficien es en A al que P(z)=0. En onces, po la p oposición 2.2.2, se iene que: 0 = δi(P(z)) = Dd(P)(z)+(δi(z))dP dx (z). Como Ees sepa able sob e F,dP dx (z)= 0, luego δ1(z) = −Dd(P)(z) dP dx (z)=δ2(z) Como es o úl imo se cumple pa a cualquie z∈E,δ1=δ2, po lo que se concluye que exis e una única de i ación δ∈E al que (E, δ)es una ex en- sión di e enciable de (A, d). Definición 2.2.5 Dados un pa de cue pos AyK, se dice que σ:A→Kes una inme sión, si dicha aplicación es un homomo fismo inyec i o que induce un isomo fimo de Acon su imagen σ(A). Definición 2.2.6 Sea Aun cue po y Euna ex ensión de A. Se dice que Ees una ex ensión no mal si oda inme sión σde Een ¯ Asob e Aes un au omo fismo de E. Teo ema 2.2.4 Sea (A, d)un cue po di e enciable de ca ac e ís ica ce o. 36 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL 1. Sea Funa ex ensión algeb aica sepa able de A. En onces, cualquie au omo fi mo de Fsob e Aconmu a con d. 2. Sea Euna ex ensión algeb aica sepa able fini amen e gene ada en A, yT:E→AyN:E→Alas aplicaciones aza y no ma, espec i a- men e, de Een A. En onces Tconmu a con Dy T(da a)=d(N(a)) N(a), pa a odo a∈E∗. Demos ación: 1. Sea Funa ex ensión algeb aica sepa able de A. En onces, po el eo e- ma 2.2.3, la de i ación dse ex iende de o ma única a una de i ación de F, es deci , exis e una única de i ación δde modo que (F, δ)es una ex ensión di e encial de (A, d). Conside amos ambién σun au omo - fismo de Fsob e A, es deci , un au omo fismo de Fque deja fijo Ay dσ=σ−1◦d◦σ. Como σes una au omo fismo, y po an o un isomo - fismo, se iene que dσes una de i ación en Fpo se lo d. Además, σ es la aplicación iden idad en A, luego dx =dσx, pa a odo x∈A. Po lo an o, po la unicidad de la de i ación is a en el eo ema 2.2.3, se iene que d=dσ, lo que implica que σ◦d=σ◦dσ=d◦σ, quedando p obado que el au omo fismo σconmu a con la de i ación d. 2. Sea Euna ex ensión algeb aica sepa able fini amen e gene ada de A, y sean T:E→AyN:E→Alas aplicaciones aza y no ma, espec i- amen e, de Een A. Sean ¯ Ela clausu a algeb aica de Eyσ1, ..., σnlas inme siones de Een ¯ Esob e A, es deci , los dis in os homomo fismos inyec i os de Een ¯ Eque inducen un isomo fismo de Een σ(E)y que dejan fijos los elemen os de A. En onces la composición de odas las inme siones, es deci , F= (σ1(E))...(σn(E)) es una ex ensión de A. De hecho, es una ex ensión sepa able, po encon a nos en ca ac e ís ica ce o. Po el eo ema 2.2.3, la de i ación dse ex iende de mane a única a una de i ación en Fde modo que (F, d)es una ex ensión di e encial de (A, d). Sea a∈E. Po el p ime apa ado de es e eo ema, enemos 2.3. MONOMIOS, Y POLINOMIOS ESPECIALES Y NORMALES 37 que d(σi(a)) = σi(d(a)), luego d(T(a)) = d(n ∑ i=1 σi(a))= n ∑ i=1 d(σi(a)) = = n ∑ i=1 σi(d(a)) = T(d(a)), Luego d◦T=T◦d, lo que p ueba que la aplicación aza Tconmu a con la de i ación d. Además, d(N(a)) N(a)=d(∏iσi(a)) ∏iσi(a)=∑ i d(σi(a)) σi(a)= =∑ i σi(d(a)) σi(a)=∑ i σi(d(a) a)= =T(d(a) a), donde la cua a igualdad es cie a po se σies un isomo fismo.  2.3. Monomios, y polinomios especiales y no - males Sean kun cue po di e encial de ca ac e ís ica ce o con de i ación d,K una ex ensión di e encial de k, un elemen o de KyDla de i ación en K. Definición 2.3.1 Un elemen o de Kes un monomio sob e k, si se cumplen las siguien es p opiedades. 1. El elemen o es ascenden e sob e k. 2. D( )∈k[ ]. En el es o de la sección se á un monomio sob e k. No ación: En lo que es a de sección, deno a emos 44 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL Luego pa a que psea un polinomio especial, es necesa io y suficien e que mcd( −αi, D( −αi)) = −αipa a cada i. Y es o ocu e si y sólo si −αi di ide a D( −αi) = D( )−D(αi)en la clausu a algeb aica de k. Luego pes especial si y sólo si, al e alua el polinomio ob enido al ealiza la de i ada Dde en cada aíz αidel polinomio p, ob enemos D(αi). P oposición 2.3.4 Si c∈Cons D(k( )), es deci , si D(c) = 0, en onces an o el nume ado como el denominado de cson especiales. Además, si c= 0 y es no lineal, en onces el nume ado y el denominado de c ienen el mismo g ado. Demos ación: Sea c∈Cons D(k( )) de modo que c=a/b donde a, b ∈k[ ],b= 0 y mcd(a, b) = 1. En onces, 0 = D(c) = bD(a)−aD(b) b2, lo que implica que bD(a) = aD(b). Po lo an o, como aybson p imos en e sí, se iene que a|Da yb|Db, es deci , mcd(a, D(a)) = aymcd(b, D(b)) = b. Luego aybson especiales. Pa a p oba la segunda pa e de la p oposición amos a azona po educción al absu do. Supongamos en onces que c= 0, es no lineal y g (a)=g (b). Como 1/c ∈Cons D(k( )), ya que D(1/c) = 1 c2D(c)=0po se D(c)=0, en onces podemos supone sin pé dida de gene alidad que g (a)> g (b). Realizando la di isión euclídea de aen e b, se iene que c=p+e/b donde p, e ∈k[ ],g (p) = g (a)−g (b)>0yg (e)< g (b)oe= 0. En onces, 0 = Dc =D(p+e b)=D(p) + D(e b)=D(p) + bD(e)−eD(b) b2.(2.2) Realizando aho a la di isión euclidea de bD(e)−eD(b)en e b2, se iene que exis en q, ∈k[ ] ales que bD(e)−eD(b) b2=q+ b2, donde g ( )< g (b2). Como es no lineal, po hipó esis, δ( )>1. Además, po la p oposición 2.3.1, g (D(p)) = g (p)+δ( )−1, luego g (D(p)) >0. Po lo an o D(p)= 0. Así que, debe se e= 0, ya que si uese e= 0 en onces, 2.3. MONOMIOS, Y POLINOMIOS ESPECIALES Y NORMALES 45 po la ecuación 2.2, se ía D(p)=0. Luego como g (b)> g (e)se iene que g (b)≥0. Todo es o implica que g (eD(b)) = g (e) + g (D(b)) = g (e) + g (b) + δ( )−1 y po an o g (eD(b)) <2g (b) + δ( )−1. Po o o lado enemos que, o bien e∈k, en cuyo caso g (bD(e)) ≤g (b), o bien e /∈k, en cuyo caso g (bD(e)) = g (b) + g (e) + δ( )−1. Luego en ambos casos g (bD(e)) <2g (b) + δ( )−1. Po lo an o, g (bD(e)−eD(b)) <2g (b) + δ( )−1, lo que implica que g (q) = g (bD(e)−eD(b)) −2g (b)< <2g (b) + δ( )−1−2g (b) = =δ( )−1< g (D(p)), con adiciendo que 0 = D(p) + q+ b2.(2.3) Como g (q)< g (D(p)) en onces g (q+D(p)) = g (D(p)). Si se u ie a la igualdad 2.3, en onces mul iplicando po b2a ambos lados de la igualdad, ob- end íamos que − = (q+D(p))b2. Tomando g ados en es a úl ima igualdad y eniendo en cuen a que g (q+D(p)) = g (D(p)), g ( ) = g (D(p)) + 2g (b)≥0. Pe o se enía que g ( )< g (b2) = 2g (b), lo cual es absu do. Luego queda p obado que g (a) = g (b). Po úl imo damos unas definiciones que nos se án de u ilidad en las secciones pos e io es. Definición 2.3.4 Se dice que u∈kes una de i ada loga í mica de un k− adical si exis e un ∈k∗y un en e o no nulo ede modo que eu =D / . Ejemplo: Conside amos k=Q(x)con de i ación D=d/dx, y sea u= 1/(2x)∈k. Como 2u=D(x)/x, en onces ues la de i ada loga í mica de un Q(x)- adical. De hecho, ues la de i ada loga í mica de √x. 46 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL Definición 2.3.5 Se dice que q∈k[ ]es especial de p ime ipo con espec o a la de i ación Dsi qes un polinomio especial y pa a oda aíz de qen una ex ensión algeb aicamen e ce ada de k,p ( )no es una de i ada loga í mica de un k( )− adical, donde p =D( )−D( ) − ∈k( )[ ]. No ación: Se deno a S1al conjun o de odos los polinomios especiales de p ime ipo, y SI 1al subconjun o del an e io al que sus polinomios sean, además, mónicos e i educibles. P oposición 2.3.5 Sea Euna ex ensión algeb aica de k, y un elemen o u∈k. Si uno es una de i ada loga í mica de un k− adical, en onces ampoco lo es de un E− adical. Demos ación: Conside amos un elemen o u∈kde modo que no sea la de i ada loga í - mica de un k− adical. Vamos a azona po educción al absu do. Pa a ello supongamos que ues la de i ada loga í mica de un adical sob e E, es deci , exis e un elemen o ∈E∗y un en e o no nulo ede modo que eu =D( )/ . Como Ees una ex ensión algeb aica de k, podemos conside a el polinomio mínimo pde con coeficien es en k. Es e es mónico e i educible, po lo que podemos supone que es de la o ma p=b0x+b1x1+... +bn−1xn−1+xn, siendo bj∈kpa a odo j= 0, . . . , n−1ybj= 0 pa a al menos uno de dichos jpo se pi educible. En onces p( ) = 0 y po an o D(p( )) = 0. Además, D(p( )) = n−1 ∑ j=1 (D(bj) j+jbj j−1D( )) + n n−1D( ) = = n−1 ∑ j=1 (D(bj) j+jbj jeu) + n neu = = n−1 ∑ j=1 (D(bj) + jbjeu) j+n neu =q( ), siendo q(x) = ∑n−1 j=1 (D(bj) + jbjeu)xj+nxneu un polinomio en k[x]. Luego q( )=0y como pes un polinomio mínimo de con coeficien es en k, se 2.4. APLICACIÓN ORDEN 47 iene que pdi ide al polinomio q. En onces, debe cumpli se que q=neup pa a iguala los coeficien es líde es. Po lo an o, D(bj) +jbjeu =neubjpa a odo jdesde 1has a n−1. Po lo an o, D(bj) bj =neu −jeu =eu(n−1), es deci , ues la de i ada loga í mica de un k− adical, po definición, lo que con adice nues a hipó esis. Luego queda p obada la p oposición.  2.4. Aplicación o den Dado Kun dominio de ac o ización única, K∗su g upo de unidades, F su cue po de acciones y a∈K al que a= 0 ya /∈K∗. Definición 2.4.1 El o den en a es la aplicación a:K→Z∪{∞} dada po : 1. a(0) = +∞. 2. a(x) = max{n∈N al que an|x}, si x∈K {0}. P oposición 2.4.1 Sean dos elemen os x, y ∈K. En onces se cumplen las siguien es p opiedades: 1. a(xy)≥ a(x) + a(y), y se da la igualdad si y sólo si aes i educible. 2. a(x+y)≥min( a(x), a(y)), dándose la igualdad si y sólo si a(x)= a(y). 3. Si x|y, en onces a(x)≤ a(y). 4. a(mcd(x, y)) = min( a(x), a(y)). 48 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL Demos ación: Todos los pun os son i iales si x= 0 oy= 0. Así que supongamos que x= 0 ey= 0. Sea n= a(x)ym= a(y). En onces x=baney=cam, pa a algún b, c ∈K al que ano di ide a bni c. 1. Tenemos que xy =bcan+m, luego a(xy)≥n+m. Supongamos que aes i educible. En onces, como ano di ide ni a bni a cse iene que a-bc. Luego an+m+1 -xy. Po lo an o a(xy) = n+m. 2. Podemos supone sin pé dida de gene alidad que n≤m. Tenemos que x+y=ban+cam=an(b+cam−n), luego a(x+y)≥n=min(n, m). Aho a supongamos que n=m, es deci , m−n > 0. En onces, a|cam−n. Es o implica que a-(b+cam−n)ya que en caso de hace lo, como adi ide a cam−n, en onces adi idi ía a b. Pe o es o no ocu e, po hipó esis. Luego a(x+y) = n. 3. Supongamos que x|y. En onces, y=xz pa a algún z∈K. Luego a(y) = a(x) + a(z), po el p ime apa ado de es a p oposición. Po an o a(y)≥ a(x). 4. Sea g=mcd(x, y). En onces g|xyg|y, luego a(g)≤ a(x)y a(g)≤ a(y), po el apa ado an e io . Po an o a(g)≤min( a(x), a(y)). Po o o lado, sea z=amin( a(x), a(y)) ∈D. En onces z|xyz|y, luego z|g. Po an o, a(g)≥ a(z) = min( a(x), a(y)) po (3). Luego jun ando ambas desigualdades, a(g) = min( a(x), a(y)).  P oposición 2.4.2 Sea u∈K∗yx∈K. En onces, se e ifica que 1. a(ux) = a(x) = ua(x) 2. a(u) = 0 Demos ación: 2.4. APLICACIÓN ORDEN 49 1. Si x= 0, en onces a(ux) = a(x) = au(x) = +∞. Así que supon- gamos que x= 0. En onces, a a(x)|x. Luego a a(x)|ux y po an o, a(x)≤ a(ux). Como es a desigualdad es cie a pa a cualquie unidad, yu−1es una unidad en K, se iene que a(ux)≤ a(u−1ux) = a(x). Po an o, a(x) = a(ux). De mane a simila , si a a(x)|xen onces, (ua) a(x)|x, ya que u a(x)es una unidad. Luego a(x)≤ au(x). Además, si aplicamos dicha des- igualdad a ua yu−1se iene que ua(x)≤ u−1ua(x) = a(x). Luego, a(x) = ua(x). 2. Po el apa ado an e io , sabemos que a(u) = a(u2). Pe o a(u2)≥ 2 a(u)po la p oposición 2.4.1. Luego, o bien a(u) = 0 o bien a(u) = +∞. Pe o u= 0. Así que, debe se a(u) = 0.  Definición 2.4.2 Sea x∈F∗, siendo xde la o ma x=y/z, donde y, z ∈K no ienen ac o es comunes y z= 0. Se define a(x) = a(y)− a(z). Teo ema 2.4.1 Sean x, y ∈Fy supongamos que aes i educible en K. En onces, se e ifican las siguien es p opiedades: 1. a(xy) = a(x) + a(y). 2. si x= 0, a(xm) = m a(x)pa a odo m∈Z. 3. a(x+y)≥min( a(x), a(y)), dándose la igualdad si a(x)= a(y). Demos ación: Conside amos dos elemen os x, y ∈Fy esc ibimos x=b/c ey=d/e, donde b, c, d, e ∈K,bycno ienen ac o es comunes, dye ampoco los ienen, c= 0 ye= 0. Como aes i educible, po la p oposición 2.4.1 se iene que a( g) = a( ) + a(g)pa a algún , g ∈K. Veamos que se cumplen las p opiedades del enun- ciado. 50 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL 1. Conside amos h=mcd(bd, ce), =bd/h yg=ce/h. Tenemos que , g, h ∈K, ygno ienen ac o es comunes, y xy =bd/ce = /g, luego a(xy) = a( )− a(g) = a( ) + a(h)−( a(g) + a(h)) = = a( h)− a(gh) = a(bd)− a(ce) = = ( a(b)− a(c)) + ( a(d)− a(e)) = a(x) + a(y) 2. x0= 1 es una unidad en K, luego a(1) = 0 po la p oposición 2.4.2. Pa a el caso en el que m≥0lo p obamos po inducción, suponien- do como hipó esis que pa a algún m≥0se cumple la desigualdad. En onces, a(xm+1) = a(xmx) = a(xm) + a(x) = =m a(x) + a(x) = (m+ 1) a(x), lo que p ueba la igualdad pa a m+ 1. Luego queda p obado el pun o (2) pa a alo es posi i os de m. Pa a m < 0 enemos que 0 = a(1) = a(xmx−m) = a(xm)−m a(x). Luego a(xm) = m a(xm). 3. x+y= (be +cd)(ce)−1. Aunque be +cd yce pueden ene ac o es comunes, enemos que a(x+y) = a(be +cd) + a((ce)−1) = a(be +cd)− a(ce), po los apa ados an e io es de es e mismo eo ema. Podemos supone sin pé dida de gene alidad que a(x)≤ a(y), lo que implica que a(b)− a(c)≤ a(d)− a(e). Luego a(b) + a(e)≤ a(d) + a(c). Así pues, a(be)≤ a(ce). Luego a(be +cd)≥ a(be)po la p oposición 2.4.1. Po lo an o a(x+y)≥ a(be)− a(ce) = a(b)− a(c) = a(x) = min( a(x), a(y)). Veamos aho a la segunda pa e de es e apa ado, es deci , eamos que se da la igualdad si a(x)= a(y). Pa a ello supongamos que a(x)< a(y). En onces, a(be)< a(dc)como en el caso an e io . Lue- go, a(be+cd) = a(be), po la p oposición 2.4.1. Po an o, a(x+y) = a(be)− a(ce) = a(x) = min( a(x), a(y)). 2.4. APLICACIÓN ORDEN 51  Definición 2.4.3 Una aplicación que cumple las es p opiedades del an e- io eo ema se llama alo ación. Teo ema 2.4.2 Sea Fun cue po, Euna ex ensión algeb aica y sepa able de Fyxuna a iable inde e minada en E. Sea p∈F[x]un polinomio i educible sob e F. En onces, pa a cualquie ac o i educible q∈E[x]de p∈E[x], y cualquie ∈F(x)se cumple que, p( ) = q( ). Demos ación: Conside amos q∈E[x]un ac o i educible de p en E[x]. Luego, exis e un polinomio ∈E[x] al que p=q . Sea h∈F[x]yn= p(h)≥0. En onces pn|h. Es deci , exis e un elemen o s∈F[x] al que h=pns. Luego, po se p=q , se iene que h=qn ns. Además, sabemos que pn+1 -hya que nes el mayo núme o na u al al que pndi ide a h. Luego pno puede di idi a s. Po an o mcd(p, s)=1, ya que ampoco puede ocu i que sdi ida a ppues o que pes i educible en F[x]. Luego, po la iden idad de Bezou , exis en a, b ∈ F[x] al que 1 = ap +bs. Y como p=q , se cumple que 1 = a q +bs. Luego, de nue o po la iden idad de Bezou , mcd(q, s) = 1. Supongamos aho a que qm|h, pa a aun cie o m > n. En onces, exis e un elemen o ∈E[x], al que h=pns=qn ns=qm . Luego ns=qm−n y po an o, qdi ide a nsen E[x]. Pe o sabemos que qes i educible y mcd(q, s) = 1, en onces q| n. Po lo an o n > 0ya que en caso con a io qse ía una unidad. En pa icula q| , luego q2|p. Es o con adice pe a un polinomio lib e de cuad ados en E[x] po se es a úl ima una ex ensión algeb aica y sepa able de F. Luego qm-h siendo m > n. Po lo an o, q(h) = n. Pa a conclui conside amos ∈F[x] y esc ibimos =a/b, siendo a, b ∈F[x]yb= 0. En onces, p( ) = p(a b)= p(a)− p(b) = q(a)− q(b) = q(a b)= q( ), donde en la e ce a igualdad se ha empleado el azonamien o an e io .  2.4.1. Aplicación o den en infini o Definición 2.4.4 Sea Kun dominio de in eg idad. Se llama o den en in- fini o a la aplicación ∞:K(x)→Z∪ {+∞} dada po ∞(0) = +∞y 52 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL ∞(b/c) = g (c)−g (b), pa a b, c ∈K[x] {0}. A con inuación, amos a p oba que la aplicación o den en infini o es una alo ación. P oposición 2.4.3 Sean dos elemen os , g ∈K(x). En onces, se cumplen las siguien es p opiedades: 1. ∞( g) = ∞( ) + ∞(g). 2. Si = 0 en onces ∞( m) = m ∞( ), pa a odo en e o m. 3. ∞( +g)≥min( ∞( ), ∞(g)). Además, se da la igualdad si y sólo si ∞( )= ∞(g). Demos ación: Conside amos dos elemen os , g ∈K(x). Esc ibimos =b/c yg=d/e, donde b, c, d, e son polinomios de K[ ]con cyeno nulos. Veamos que se cumplen las p opiedades del enunciado. 1. Al hace el p oduc o de po g, ob enemos que g =bd/ce. Luego, ∞( g) = g (ce)−g (bd) = =g (c) + g (e)−g (b)−g (d) = = (g (c)−g (b)) + (g (e)−g (d)) = = ∞( ) + ∞(g). 2. Conside amos aho a = 0. Veamos que pa a cualquie en e o mse cumple que ∞( m) = m ∞( ). Vamos a p oba lo po inducción. Pa a m= 1 es i ial. Luego supongamos como hipó esis de inducción que la igualdad es cie a pa a un en e o m−1>0y eamos que es cie o pa a m. En onces, ∞( m) = ∞( m−1 ) = ∞( m−1) + ∞( ) = = (m−1) ∞( ) + ∞( ) = m ∞( ), donde se ha aplicado el p ime apa ado de la p oposición en la segunda igualdad y la hipó esis de inducción en la e ce a. 2.4. APLICACIÓN ORDEN 53 3. Conside amos la suma de yg, +g=b c+d e=be +cd ec . Luego, ∞( +g) = g (ec)−g (be +cd).Supongamos, sin pé dida de gene alidad, que ∞( )≤ ∞(g). En onces, g (c)−g (b)≤g (e)− g (d), o lo que es equi alen e, g (c) + g (d)≤g (e) + g (b). Luego, g (cd)≤g (eb), es deci , g (be +cd)≤g (eb). Po lo an o, ∞( +g)≥g (ec)−g (eb) = g (c)−g (b) = = ∞( ) = min( ∞( ), ∞(g)). Además, si ∞( )= ∞(g), es deci , si ∞( )< ∞(g), en onces g (cd)< g (eb). Luego g (be +cd) = g (eb). Po lo an o, ∞( +g) = g (ec)−g (be +cd) = g (ec)−g (eb) = =g (c)−g (b) = ∞( ) = min( ∞( ), ∞(g)). El azonamien o es análogo si uese ∞(g)≤ ∞( ).  Teo ema 2.4.3 Sea Kun anillo di e encial con de i ación Dy un mono- mio sob e K. Dado ∈K( ) {0}. En onces, ∞(D )≥ ∞( )−max(0, δ( )−1). Además, si es lineal y ∞( )=0, en onces la desigualdad an e io es es ic a. Demos ación: Conside amos =a/b ∈K( ) {0}, donde a, b ∈K[ ],bes no nulo y mcd(a, b) = 1. En onces, D( ) = bD(a)−aD(b) b2. Luego, ∞(D( )) = g (b2)−g (bD(a)−aD(b)) = 2g (b)−g (bD(a)−aD(b)). 60 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL Conside amos x, x′∈Θade modo que x=b/c,x′=b′/c′donde b, c, b′, c′∈K, y ni byc, ni b′yc′ ienen ac o es comunes. Veamos que πa(xx′) = πa(x)πa(x′)y πa(x+x′) = πa(x) + πa(x′). xx′=b′′/c′′, donde b′′, c′′ ∈Dno ienen ac o es en común. En- onces, bb′=gb′′ ycc′=gc′′ siendo g∈D. Sean d, e, d′, e′∈D, al que cd +ae = 1 yc′d′+ae′= 1. Mul iplicando es as dos úl imas ecuaciones se iene que (cd +ae)(c′d′+ae′) = cc′dd′+cade′+aec′d′+aaee′= =cc′dd′+a(cde′+ec′d′+aee′). Luego si h=cde′+ec′d′+aee′y eniendo en cuen a que cc′=gc′′, se iene que c′′(gdd′) + ah = 1. Teniendo en cuen a que πIes un homomo fismo de anillos llegamos a πa(xx′) = πa(b′′ c′′ )=πI(b′′gdd′) = =πI(bb′dd′) = πI(bd)πI(b′d′) = =πa(x)πa(x′). Sea aho a x+x′=b′′/c′′ donde b′′, c′′ ∈Kno ienen ac o es comunes. En onces, x+x′=b c+b′ c′=bc′+b′c cc′=b′′ c′′ y po an o bc′+b′c=gb′′ ycc′=gc′′ pa a algún g∈K. Sea d, e, d′, e′∈K al que cd+ae = 1 yc′d′+ae′= 1. Del mismo modo que en el pun o an e io , mul iplicando en e sí ambas ecuaciones se llega a c′′(gdd′)+ah = 1 pa a un cie o h∈K. Luego, haciendo uso de la definición 2.4.6 y po se πIun homomo fismo de anillos se iene que πa(x+x′) = πa(b′′ c′′ )=πI(b′′gdd′) = =πI((bc′+b′c)dd′) = =πI(bd)πI(c′d′) + πI(b′d′)πI(cd) = =πa(x)πI(c′d′) + πa(x′)πI(cd). 2.4. APLICACIÓN ORDEN 61 Como a∈Iy1 = cd +ae, en onces, 1 = πI(1) = πI(cd) + πI(ae) = πI(cd), y de mane a simila πI(c′d′) = 1. Luego πa(x+x′) = πa(x)+πa(x′). Y queda p obado que πa(x)es un homomo fismo de anillos sob eyec- i o. Teniendo en cuen a es o úl imo, y como ke (πa) = aΘapo el p ime apa ado de es e mismo eo ema, en onces πaes un isomo fis- mo de anillos en e Θa/aΘayK/I. Además, si Ies un ideal maximal, en onces K/I es un cue po, y po an o πase á un isomo fismo de cue pos. 3. Sea δuna de i ación en Ky supongamos que δI ⊂I. En onces, la de i ación inducida δ∗en K/I sa is ace que δ∗◦πI=πI◦δpo la p oposición 2.1.3. Además, po la p oposición 2.4.4 se iene que δΘa⊂ Θa, po lo que πa◦δes á definida en Θa. Sea x=b/c ∈Θadonde b, c ∈Kno ienen ac o es comunes. En onces mcd(a, c) = 1 como se io en el p ime apa ado de es e mismo eo ema. Po la iden idad de Bezou , se cumple que 1 = ad +ce pa a algún d, e ∈K. Luego, 1 = πa(1) = πa(a)πa(d) + πa(c)πa(e) = πa(c)πa(e). Po lo an o, πa(c)es una unidad en K/I. Además, b=cx, luego πa(b) = πa(cx) = πa(c)πa(x)y aplicando δ∗a es a igualdad llegamos a lo siguien e: δ∗πa(b) = δ∗(πa(c)πa(x)) = πa(c)δ∗(πa(x)) + πa(x)δ∗(πa(c)).(2.4) Po o o lado, si aplicamos la de i ación δab=cx en onces δ(b) = cδ(x) + xδ(c). Además, si a es o úl imo se le aplica πa enemos que: πa(δ(b)) = πa(c)πa(δ(x)) + πa(x)πa(δ(c)).(2.5) Pe o πa(δ(b)) = πI(δ(b)) = δ∗(πI(b)) = δ∗(πa(b)) y πa(δ(c)) = δ∗(πa(c)) de mane a simila . Luego la ecuación 2.5 se con ie e en δ∗(πa(b)) = πa(c)πa(δ(x)) + πa(x)δ∗(πa(c)).(2.6) 62 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL Igualando 2.4 y 2.6, se iene que πa(c)δ∗(πa(x)) = πa(c)πa(δ(x)). Po úl imo, como πa(c)es in e ible en K/I po se un elemen o unidad, llegamos a que δ∗◦πa=πa◦δ.  2.4.3. Residuos En es a sección es udia emos el concep o de esiduo en polinomios no ma- les. Se conside a Kun cue po di e encial de ca ac e ís ica ce o con de i ada Dy un monomio sob e K. Definición 2.4.7 Conside amos p∈K[ ] Kun polinomio no mal y el conjun o Rp={ ∈K( ) al que p ∈Θp}. Se llama esiduo en pa la aplicación esp:Rp−→ K[ ]/(p) → esp( ) = πp( p D(p))(2.7) Teo ema 2.4.5 Sea p∈K[ ] Kun polinomio no mal. En onces Rpes un espacio ec o ial sob e K,ke ( esp)=Θpy espes un isomo fismo de K−espacios ec o iales en e Rp/ΘpyK[ ]/(p). Demos ación: Veamos en p ime luga que Rpcumple las p opiedades de se un K−espacio ec o ial. Como 0, p ∈Θp, en onces 0,1∈Rp. Sean , g ∈Rpyc∈K⊆Θp, eamos que c +g∈Rp. Como , g ∈Rp, en onces p , pg ∈Θpy po se Θp un anillo se iene que cp +pg =p(c +g)∈Θp. Luego c +g∈Rpy po lo an o, Rpes K−espacio ec o ial. Veamos aho a que ke ( esp) = Θp, pa a ello e emos que se cumplen ambas con enciones. Supongamos que ∈Θp. Sabemos que 1/D(p)∈Θpya que 2.4. APLICACIÓN ORDEN 63 dado q∈K[ ]cualquie ac o i educible de pse iene que q-D(p)po se p un polinomio no mal, luego 1/D(p)∈Θq. Como es o es cie o pa a cualquie ac o i educible de p, se iene que 1/D(p)∈Θp. Po lo an o /D(p)∈Θp, luego p /D(p)∈pΘpy en consecuencia esp( ) = πp(p /D(p)) = 0 ya que imos en el eo ema 2.4.4 que ke (πp) = pΘp. Luego Θp(Ke ( esp). Re- cíp ocamen e, sea ∈Ke ( esp). En onces, esp( ) = πp( p/D(p)) = 0. Luego po el eo ema 2.4.4, p/D(p)∈pΘp, es deci , /D(p)∈Θp. Luego ∈Θpya que D(p)∈Θpy = D(p)/D(p). Po lo an o, queda p obado que Θp=Ke ( esp). Po úl imo eamos que espes un isomo fismo de K−espacios ec o iales en e Rp/ΘpyK[ ]/(p). Sabemos que πpes un homomo fismo de anillos. Luego dados , g ∈Rpyc∈K, se iene que esp(c +g) = πp((c +g)p D(p))= =πp(c p D(p))+πp(gp D(p))= =πp(c)πp( p D(p))+πp(gp D(p))= =πp(c) esp( ) + esp(g). Como c∈K,πp(c) = c. Luego, esp(c +g) = · esp( )+ esp(g)en K[ ]/(p), quedando p obado que espes un homomo fismo de K−espacios ec o iales. Nos al a e que es una biyección. Sabemos que πpes una aplicación sob e- yec i a po el eo ema 2.4.4. Así que dado w∈K[ ]/(p), exis e g∈Θp al que πp(g) = wπp(D(p)). Conside amos aho a =g/p, en onces p =g∈Θp, luego ∈Rpy esp( ) = πp( p D(p))=πp(g) πp(D(p)) =πp( p) πp(D(p)) =w. Luego la aplicación espes sob eyec i a. Además, po se ke ( esp) = Θppo- demos conclui que espes un isomo fismo de K−espacios ec o iales en e Rp/ΘpyK[ ]/(p). Definición 2.4.8 Se dice que ∈k( )es educible con espec o a la de i a- ción Dsi su denominado es especial con espec o a D. 64 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL Se dice que es simple con espec o a Dsi su denominado es no mal con espec o a dicha de i ación. Teo ema 2.4.6 Sea ∈K( ) {0}yp∈K[ ]un polinomio i educible. 1. Si pes un polinomio no mal, en onces se cumple que p(D( )) = p( )−1si p( )= 0. p(D( )) ≥0si p( ) = 0. Además, πp(p1− p( )D( )) = p( )πp(p− p( ) )πp(D(p)). 2. Si pes un polinomio especial, en onces p(D( )) ≥ p( ). 3. Si pes un polinomio especial de p ime ipo y p( )= 0, en onces p(D( )) = p( ). Demos ación: Sean p∈K[ ]un polinomio i educible y ∈K( ) {0}y deno amos n= p( ). Dado g= p−n, po se pi educible, se iene que g∈Θppo el quin o apa ado de la p oposición 2.4.4. Además, al aplica la de i ada D, D( ) = D(gpn) = pnD(g) + gnpn−1D(p).(2.8) Conside amos aho a g=b/c donde b, c ∈K[ ]ymcd(b, c) = 1. Como p(g) = p( p−n) = p( ) + p(p−n) = p( )−n p(p) = n−n= 0, en onces p(g) = p(b)− p(c) = 0, es deci , p(b) = p(c). Pe o no pue- de ocu i que p(b)y p(c)sean no nulos al mismo iempo, ya que sino byc end ían una po encia de pcomo di iso común, con adiciendo que mcd(b, c) = 1. Luego p(b) = p(c) = 0. Además, como D(g) = cD(b)−bD(c) c2, 2.4. APLICACIÓN ORDEN 65 en onces enemos que p(D(g)) = p(cD(b)−bD(c)) − p(c2) = p(cD(b)−bD(c)). Luego, po se cD(b)−bD(c)∈K[ ], se iene que p(D(g)) ≥0. Si n= 0, en onces =gy po an o D( ) = D(g)∈Θp. Luego p(D( )) = p(D(g)) ≥0y p(pD( )) ≥ p(p) + p(D( )) > p(D( )) ≥0. Es deci , p(pD( )) >0y po an o pD( )∈pΘp=ke (πp), po la p o- posición 2.4.4 y el eo ema 2.4.4. Y se concluye que π(pD( )) = 0. Todo lo an e io es cie o pa a cualquie polinomio, ya sea no mal o especial, po lo que (1) y (2) quedan p obados pa a el caso n= 0. Supongamos aho a que n= 0: 1. Conside amos que pes un polinomio no mal, es deci , mcd(p, D(p)) = 1 y po an o, p(D(p)) = 0. Po se pun polinomio i educible po hipó- esis, la úl ima igualdad equi ale a que D(p)∈Θp, po la p oposición 2.4.4. Además, p(ngpn−1D(p)) = p(n) + p(g) + p(pn−1) + p(D(p)) = = 0 + 0 + n−1 + 0 = n−1< n y p(pnD(g)) = p(pn) + p(D(g)) ≥n. Luego p(D( )) = p(pnD(g) + gnpn−1D(p)) = =min( p(pnD(g)), p(gnpn−1D(p))) = =n−1 = p( )−1. Quedando p obada la p ime a pa e. Así que p(p1−nD( )) ≥ p(p1−n) + p(D( )) = 1 −n+n−1 = 0, 66 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL es deci , p1−nD( )∈Θp. Además, sabemos que g, D(g), p, D(p)∈Θp y que πpes un homomo fismo de anillos, πp(p1−nD( )) = πp(pD(g)) + πp(gnD(p)) = =πp(p)πp(D(g)) + nπp(g)πp(D(p)) = =nπp(g)πp(D(p)) = =nπp( p−n)πp(D(p)) = = p( )πp( p− p( ))πp(D(p)). 2. Sea p∈S, y eamos que p(D( )) ≥ p( ). Sabemos que D( ) = pnD(g) + gnpn−1D(p), luego p(D( )) = p(pnD(g) + gnpn−1D(p)) ≥ ≥min ( p(pnD(g)), p(gnpn−1D(p))) Po definición mcd(p, D(p)) = 1, es deci , p|D(p). Luego p(D(p)) ≥1. Así que, p(ngpn−1D(p)) = p(g) + p(pn−1) + p(D(p)) ≥n−1 + 1 = n. Además, p(pnD(g)) = p(pn) + p(D(g)) = n p(p) + p(D(g)) ≥n. Y po an o, se concluye que p(D( )) ≥n= p( ). 3. Sea p∈S1y supongamos que n= 0. Comenzanos p obando es e apa ado del eo ema suponiendo que p= −α,α∈K. Po definición de polinomio especial de p ime ipo se iene que pα(α)no es una de i ada loga í mica de un K− adical, siendo pα(α) = D( )−D(α) −α=D(p) p. 2.4. APLICACIÓN ORDEN 67 Conside amos aho a h=D(g) + npαg. Como pes un polinomio es- pecial de p ime ipo, en pa icula es un polinomio especial, luego mcd(p, D(p)) = p, es deci , p|D(p). Po lo an o, pα∈K[ ]. Además, como p(pα) = p(D(p)/p) = p(D(p)) − p(p)≥1−1 = 0, en onces pα∈Θp. También sabemos que g, D(g)∈Θp, así que h∈Θp y podemos aplica le el homomo fismo πpdando como esul ado πp(h) = πp(D(g) + npαg) = πp(D(g)) + πp(npαg). Como p(g)es nulo, en onces g /∈pΘp=ke (πp), po la p oposición 2.4.4. Luego, πp(g)= 0. Supongamos que πp(h)=0, en onces usando que I= (p)es un ideal di e encial de K[ ]y que, po la p oposición 2.1.3, D∗◦πp=πp◦D, donde D∗es la de i ación inducida en K[ ]/I, se iene que: −npα=−nπp(pα) = πp(D(g)) πp(g)=D∗(πp(g)) πp(g), donde πp(g)∈K[ ]/( −α). Pe o K[ ]/( −α)≃KyD∗es una ex ensión de la de i ación D, luego πp(g)∈KyD(πp(g)) = D∗(πp(g)). Todo es o implica que pαes una de i ada loga í mica de un K− adical, llegando a con adicción, ya que habíamos supues o que pe a especial de p ime ipo. Así que πp(h)= 0, es deci , h /∈ke (πp) = pΘp, luego p(h)=0. Po lo an o, como D( ) = ngpn−1D(p) + pnD(g) = =pn(ngp−1D(p) + D(g)) = =pn(ngpα+D(g)) = pnh, se iene que p(D ) = p(pnh) = p(pn) + p(h) = = p(pn) = n p(p) = n= p( ). Aho a supongamos que pes un polinomio a bi a io de g ado my conside emos ¯ Kla clausu a algeb aica de Kyp= ( −α1). . . ( −αm) 68 CAPÍTULO 2. ÁLGEBRA DIFERENCIAL la ac o ización del polinomio pen ¯ K. es un monomio en ¯ Ky −αi∈ S1,¯ K( ): ¯ K, luego p∈S1,¯ K( ): ¯ K, ya que el p oduc o fini o de polinomios especiales es especial y si conside amos αuna aíz de pen S, en onces es aíz de algún ac o de pen S1, luego pα(α)no es de i ada loga í mica de un ¯ K(α)− adical. Luego −αi( ) = npa a cada i, po lo an o po la p ime a pa e de es e apa ado −αi(D( )) = n. Luego p(D( )) = n.  P oposición 2.4.6 Sean ∈K( )yp∈K[ ]un polinomio i educible y no mal. 1. Si es simple en onces p( )≥ −1. 2. Se iene que es educible con espec o a la de i ación Dsi y sólo si, p( )≥0. 3. El conjun o de odos los elemen os educibles de K( )con espec o a la de i ación Des un subanillo di e encial de K( ) Demos ación: 1. Sea ∈K( )y esc ibamos =a/b siendo a, b ∈K[ ],mcd(a, b) = 1 y b= 0, y sea p∈K[ ]un polinomio i educible y no mal. Si es simple en onces bes no mal, es deci , mcd(b, Db) = 1. Luego bes un polinomio lib e de cuad ados. Si p|ben onces p-a, luego p( ) = p(a)− p(b) = − p(b)≥ −1 po se blib e de cuad ados. Si p-b, en onces puede ocu i que pdi ida a ao que no. Si ocu e lo p ime o, en onces p( ) = p(a)≥0. En caso con a io, p( ) = 0. Po an o, se concluye que en cualquie caso p( )≥ −1. 2.4. APLICACIÓN ORDEN 69 2. Conside amos de nue o ∈K( )y esc ibimos =a/b siendo a, b ∈ K[ ],mcd(a, b) = 1 yb= 0. Sea p∈K[ ]un polinomio i educible y no mal. Veamos la p ime a implicación. Pa a ello supongamos que es un polinomio educible con espec o a D. En onces bes especial. Luego p-b, ya que de hace lo, en onces pse ía un polinomio especial con adiciendo que pes no mal. Luego p(b) = 0 y p( ) = p(a)≥0. Recíp ocamen e, supongamos que p( )≥0, y sea p∈K[ ]un ac o i educible y no mal de b. Po se pun ac o de b, en onces p-a, luego p( ) = − p(b)<0, con adiciendo la hipó esis de que la unción o den e aluada en e a posi i a pa a cualquie polinomio i educible y no mal de K[ ]. Po lo an o, odos los ac o es i educibles de bson especiales, luego b ambién lo es po se su p oduc o. Y queda p obado que es educible con espec o a la de i ación D. 3. El conjun o de odos los elemen os educibles de K( )con espec o a la de i ación Des un conjun o no acío, ya que K[ ]pe enece a dicho conjun o. Conside amos , g educibles con espec o a la de i ación D yp∈K[ ]i educible y no mal. Po el apa ado an e io , sabemos que p( )≥0y p(g)≥0. Luego p( −g)≥min( p( ), p(−g)) ≥0po se p(−g) = p(g)≥0. Así que, de nue o po el apa ado an e io , −ges educible. Además, p( g) = p( ) + p(g)≥0, es deci , g es educible. Po lo an o, el conjun o de odos los elemen os educibles de K( )con espec o a la de i ación Des un subanillo de K( ). Veamos que es di e encial. Pa a ello amos a p oba que D( )pe enece a dicho conjun o, iendo que p(D( )) ≥0y aplicando el apa ado an e io . Si p( )>0en onces po se pno mal podemos aplica el eo ema 2.4.6, ob eniendo p(D( )) = p( )−1≥0. En o o caso, p(D( )) ≥0de nue o po el eo ema 2.4.7. Luego se concluye que el conjun o de odos los elemen os educibles de K( )es un subanillo di e encial de K( ).  P oposición 2.4.7 Sea ∈K( ) {0}yp∈K[ ]i educible. En onces, 1. p(D / )≥ −1 2. Se da la igualdad en (1) si y sólo sí, p( )= 0 ypes no mal. 76 CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE LIOUVILLE Luego, qd(p)−pd(q) = = ( m+s)(d(b) n+bn na+d( )) −(b n+ )(m ma+d(s)) = =d(b) m+n+bna m+n+ md( ) + s(d(b) n+bn na+d( ))− −bma m+n−b nd(s)− (m ma+d(s)) = = (d(b) + bna −bma) m+n+ md( ) + sd(p)−b nd(s)− d(q). Además, g (d(s)) ≤g (s) + max(0, δ( )−1) < m, g (d( )) ≤g ( ) + max(0, δ( )−1) < n, g (d(p)) ≤g (p) + max(0, δ( )−1) = n y g (d(q)) ≤g (q) + max(0, δ( )−1) = m. Luego los é minos md( ),sd(p),b nd(s)y d(q) ienen g ado es ic a- men e meno que m+n. Así que, si p obamos que d(b)+bna−bma = 0 en onces se end á que g (qd(p)−pd(q)) = m+n. Pe o po se una hipe exponencial, d(b) + bna −bma =d(b) + ba(n−m) = d(b n−m). Además, n=myb= 0, luego b n−m/∈ky como c es(k( )) = c es(k) po se un polinomio de Liou ille, se iene que d(b n−m)= 0. Po lo an o, se concluye que ∞(d ) = 2m−m−n=m−n= ∞( ). Si es una p imi i a, en onces d( ) = a∈k. Así que, d(p) = d(b) n+bn n−1d( ) + d( ) = d(b) n+bn n−1a+d( ) y d(q) = m m−1d( ) + d(s) = m m−1a+d(s). Po lo an o, se cumple que g (d(q)) < m po se g (d(s)) ≤g (s) + max(0, δ( )−1) < m. Aho a sepa amos la demos ación en dos casos, dis inguiendo si d(b)es nulo o no. 77 •Si d(b)= 0, en onces como g (d( )) ≤g ( )+max(0, δ( )−1) < n se iene que g (d(p)) = n. Luego g (qd(p)) = g (q) + g (d(p)) = m+n y g (pd(q)) = g (p) + g (d(q)) < n +m. Po lo an o, se concluye que ∞= 2m−g (qd(p)−pd(q)) = 2m−(m+n) = =m−n=g (q)−g (p) = ∞( ). •Conside amos aho a el caso en el que d(b) = 0, y conside amos s y de la o ma s=α m−1+uy =β n−1+ , siendo u, ∈K[ ] con g (u)< m −1yg ( )< n −1, y α, β ∈k. Luego d(s) = d(α) m−1+α(m−1) m−2+d(u) y d( ) = d(β) n−1+β(n−1) n−2+d( ). Así que, desa ollando únicamen e los coeficien es de los é minos de mayo g ado pa a educi la dificul ad, se iene que qd(p)−pd(q) = ( m+s)(bn n−1a+d( )) −(b n+ )(m m−1a+d(s)) = = ( m+α m−1+u)(bn n−1a+d(β) n−1+β(n−1) n−2+d( ))− −(b n+β n−1+ )(m m−1a+d(α) m−1+α(m−1) m−2+d(u)) = = (bna +d(β)) m+n−1+β(n−1) m+n−2+d( ) m+ + (α m−1+u)d(p)−(bma +bd(α)) m+n−1− −bα(m−1) m+n−2−bd(u) n−(β n−1+ )d(q) = = (ba(n−m) + d(β)−bd(α)) m+n−1+ + (β(n−1) −bα(m−1)) m+n−2+ +d( ) m+ (α m−1+u)d(p)−bd(u) n−(β n−1+ )d(q). Sabemos que g (d( )) ≤g ( ) + max(0, δ( )−1) < n −1 78 CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE LIOUVILLE y g (d(u)) ≤g (u) + max(0, δ( )−1) < m −1. Además, po se db = 0, se iene que g (d(p)) < n. Po lo an o, d( ) m,(α m−1+u)d(p),bd(u) ny(β n−1+ )d(q) ienen g ado meno es ic amen e que m+n−1. Así que, si p obamos que el coeficien e que acompaña a m+n−1es no nulo, en onces g (qd(p)− pd(q)) = m+n−1. Es deci , eamos que ba(n−m)+d(β)−bd(α) es dis in o de ce o. Pe o como ba(n−m) + d(β)−bd(α) = d(b (n−m) + β−bα), po se d( ) = ayd(b) = 0, bas a e que d(b (n−m) + β−bα)= 0. Sabemos que n=myb= 0, en onces b (n−m) + β−bα /∈ky como c es(k( )) = c es(k)po se un monomio de Liou ille, se iene que d(b (n−m) + β−bα)= 0. Concluimos en onces que ∞(d( )) = 2m−m+n−1 = m+n−1 = ∞( )−1.  3.1. Teo ema de Liou ille Definición 3.1.1 Se dice que ∈Kes un loga i mo sob e ksi exis e un ele- men o a∈k∗ al que d( ) = d(a)/a. Un elemen o ∈K∗es una exponencial sob e el cue po ksi d( )/ =d(a)pa a un cie o a∈k. Definición 3.1.2 Se dice que ∈Kes elemen al sob e ksi es un elemen o algeb aico, o un loga í mo o una exponencial. La ex ensión Kdel cue po kes elemen al si exis en 1, . . . , n al que K= k( 1, . . . , n)y ies elemen al en k( 1, . . . , i−1)pa a i∈ {1, . . . , n}. 3.1. TEOREMA DE LIOUVILLE 79 Teo ema 3.1.1 (Teo ema de Liou ille) Sea Kun cue po di e encial y ∈ K. Si exis e una ex ensión elemen al Ede Kde mane a que odos los elemen- os cons an es de Esean los mismos que los de K, y un elemen o g∈E al que d(g) = , en onces exis en ∈K,u1, ..., un∈K∗yc1, ..., cnelemen os cons an es de K al que =d( ) + n ∑ i=1 ci dui ui . Obsé ese la simili ud con el enunciado de la educción de He mi e. Demos ación: Supongamos que se cumplen las hipó esis del enunciado. Sean Cel con- jun o de odos los elemen os cons an es de KyEuna ex ensión elemen al de Kcon los mismos elemen os cons an es que es e úl imo y g∈E al que d(g) = . En onces exis en 1, ..., m∈E al que E=K( 1, ..., m)y cada ies elemen al sob e K( 1, ... i−1). Vamos a p oba el eo ema po inducción en m. Pa a m= 0, se iene que E=K, luego omando =g∈Kse iene que =d( ), que es de la o ma deseada. Aho a dado m>0 supon- gamos que el eo ema es cie o pa a cualquie ex ensión elemen al gene ada po m−1elemen os, y eamos que dadas las hipó esis del enunciado, exis e una una ex ensión Ede K, gene ada po melemen os que cumple el eo- ema. Sea = 1yF=K( ). En onces como K⊆F⊆E, se iene que los elemen os cons an es de Fcoinciden exac amen e con los de K, es deci , c es(F) = c es(K) = C, ya que C⊆c es(F)⊆c es(E) = C. Además, ∈F yE=F( 2, .., m)es una ex ensión elemen al de Fgene ada po m−1ele- men os, luego po hipó esis de inducción, exis en ∈F,u1, ..., un∈F∗y c1, ..., cn∈C al que =d( ) + n ∑ i=1 ci d(ui) ui .(3.1) Con inuamos la demos ación del eo ema di e enciando si es un elemen o algeb aico o ascenden e sob e K. Si es algeb aico sob e K: Conside amos las aplicaciones aza, T:F→K, y no ma, N:F→K, y sea m= [F:K]el g ado de la ex ensión Fsob e Ko dimensión del 80 CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE LIOUVILLE K-espacio ec o ial F. Aplicando la p ime a aplicación a la ecuación 3.1, se iene que: T( ) = T(d( ) + n ∑ i=1 ci d(ui) ui)=T(d( )) + n ∑ i=1 ciT(d(ui) ui) ya que la aza es una aplicación lineal y las c′ isson cons an es en K. Como ∈K,T( ) = m . Además, po la p oposición 2.2.4, T(d( )) = d(T( )), es deci , Tconmu a con d. En esa misma p oposición ambién imos que T(d(ui) ui)=d(N(ui)) N(ui). Luego m =T( ) = d(T( )) + n ∑ i=1 ci d(N(ui)) N(ui). Po lo an o, si omamos w=T( )/m ∈Kywi=N(ui)∈K∗ enemos la igualdad deseada, =d(w) + n ∑ i=1 ci m d(wi) wi . Si es ascenden e sob e K, en onces como c es(F) = C, es un monomio de Liou ille sob e K, como consecuencia de los eo emas 3.0.1 y 3.0.2. Conside amos un polinomio p∈K[ ]i educible y no mal. Po la p oposición 2.4.7, se iene que p(d(ui)/ui)≥ −1, po lo que p(n ∑ i=1 ci d(ui) ui)=min ( p(d(ui) ui)/i = 1, . . . , n)≥ −1. Veamos aho a que p( )≥0. Razonamos po educción al absu do, suponiendo que p( )<0. En onces, po el eo ema 2.4.6, p(d( )) = p( )−1<−1. Po lo an o, p( ) = p(d( ) + n ∑ i=1 ci d(ui) ui)=min( p(d( )),−1) <−1. 3.1. TEOREMA DE LIOUVILLE 81 Es o úl imo con adice que ∈K, ya que si se cumple es o úl imo, en onces p( )≥0. Así que, p( )≥0, y como es o es cie o pa a odo polinomio p∈K[ ]i educible y no mal, en onces es educible en Fpo la p oposición 2.4.6. Conside amos aho a ui=wi∏ni j=1 peij ij , donde wi∈K∗, odos eij son en e os y cada pij ∈K[ ]es mónico e i educible. En onces, =d( ) + n ∑ i=1 ci d(ui) ui =d( ) + n ∑ i=1 ci d(wi∏ni j=1 peij ij ) wi∏ni j=1 peij ij = =d( ) + n ∑ i=1 ci d(wi)∏ni j=1 peij ij +wid(∏ni j=1 peij ij ) wi∏ni j=1 peij ij = =d( ) + n ∑ i=1 ci d(wi) wi + n ∑ i=1 ci d(∏ni j=1 peij ij ) ∏ni j=1 peij ij = =d( ) + n ∑ i=1 ci d(wi) wi + + n ∑ i=1 ci  ei1pei1−1 i1d(pi1)∏ni j=2 peij ij ∏ni j=1 peij ij +. . . +einipeini−1 inid(pini)∏ni−1 j=1 peij ij ∏ni j=1 peij ij  = =d( ) + n ∑ i=1 ci d(wi) wi + n ∑ i=1 ci(ei1d(pi1) pi1 +. . . +einid(pini) pini). Si alguno de los polinomios pi1, . . . , pinies á epe ido, eniendo en cuen- a que ei1, . . . , einison en e os, podemos saca ac o común, y podemos supone que odos los polinomios qjdel segundo suma o io son di e- en es. Así, ob enemos la exp esión =d( ) + n ∑ i=1 ci d(wi) wi + N ∑ j=1 bj d(qj) qj , donde bj∈Cyqj∈K[ ]son mónicos, i educibles y cop imos, pa a odo j= 1, . . . , N. Supongamos aho a que exis e un qjde los an e io es que es no mal, digamos qJ. Se iene que qJ(qJ) = 1, y po se odos q′ jscop imos, qJ(qj) = 0 pa a odo j=J. Luego qJ(bJd(qJ)/qJ) = qJ(d(qJ)) − qJ(qJ) = −1 82 CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE LIOUVILLE po se qJno mal, y qJ(bjd(qj)/qj) = qJ(d(qj)) − qJ(qj)≥0. Po lo an o, qJ(∑j=Jbjd(qj)/qj)≥0, y qJ(∑N j=1 bj d(qj) qj) = −1. Pe o qJes un polinomio no mal y d( )es educible en K( ), po se educi- ble en K( )y el conjun o de odos los elemen os educibles de K( )un subanillo di e encial po la p oposición 2.4.6, po lo que qJ(d( )) ≥0. Así que, qJ( ) = min  d , n ∑ i=1 ci d(wi) wi , N ∑ j=1 bj d(qj) qj =−1, con adiciendo que ∈K. Luego odos los polinomios qjson especia- les. A pa i de aho a amos a sepa a la demos ación en dos casos, di e enciando si es exponencial o loga í mica: •Si es una exponencial sob e K, en onces d( )/ =d(a)pa a algún a∈K. Además, po el eo ema 3.0.2, es el único polinomio i educible que es especial, luego debe ocu i que N= 1 yq1= . Po lo an o, b1d(q1)/q1=b1d( )/ =b1d(a). Luego =d( ) + n ∑ i=1 ci d(wi) wi +b1d(a) = d( +b1a) + n ∑ i=1 ci d(wi) wi , donde +b1aes educible en K( ). Supongamos que ( +b1a)< 0, en onces (d( +b1a)) = ( +b1a)<0, po el eo ema 2.4.6, ya que es un polinomio especial, mónico e i educible. Luego ( )<0, con adiciendo que ∈K. Luego ( +b1a)≥0y po an o, +b1a∈K[ ]. Además, como d( )/ ∈ K, se iene que ∞(d( +b1a)) = ∞( +b1a), po la p oposición 3.0.2. Po lo an o, g (d( +b1a)) = g ( +b1a). Luego como =d( +b1a) + n ∑ i=1 ci d(wi) wi∈K, en onces g ( +b1a) = 0. Así que, concluimos que +b1a∈Ky =d( +b1a) + n ∑ i=1 ci d(wi) wi∈K, que es de la o ma deseada. 3.1. TEOREMA DE LIOUVILLE 83 •Si es un loga i mo sob e K, en onces d( ) = d(a)/a pa a algún a∈K∗. Además, po el eo ema 3.0.1, odo polinomio i educible es no mal. Luego po se odos los polinomios qji educibles y especiales, debe ocu i que N= 0. Así que, =d( ) + n ∑ i=1 ci d(wi) wi , es deci , d( ) = − n ∑ i=1 ci d(wi) wi∈K. Po lo an o, ∞(d ) = 0 y po la p oposición 3.0.2, como d( )∈K en onces debe se =m +ldonde m, l ∈Kyd(m) = 0. Así pues, concluimos que =d( ) + n ∑ i=1 ci d(wi) wi =d(m) +d( )m+d(l) + n ∑ i=1 ci d(wi) wi = =da am+d(l) + n ∑ i=1 ci d(wi) wi , que es de la o ma deseada.  3.1.1. Ejemplo de aplicación del eo ema de Liou ille Sean (z)yg(z)dos unciones en C(z)de modo que g(z)no es una unción cons an e. Deno amos K=C(z). Veamos que la condición necesa ia y suficien e que deben cumpli dichas unciones pa a que la solución de la in eg al ∫ (z)eg(z) enga dada en é minos de unciones elemen ales es que =d(a) + ad(g), siendo a∈C(z). Supongamos que ∫ (z)eg(z)es elemen al, y conside amos =eg(z)de mo- do que d( )/ =d(g). En onces, po definición, es una exponencial. En 84 CAPÍTULO 3. EL TEOREMA DE LIOUVILLE pa icula , es una hipe exponencial. Pa a aplica el eo ema de Liou ille a nues a unción, necesi amos que c es(K( )) = c es(K)y que sea as- cenden e. Pa a ello, amos a p oba que d( )/ no es la de i ada loga í mica de ningún K− adical. Una ez p obado es o, es a emos en condiciones de aplica el eo ema 3.0.2, del que ob end emos que es un monomio sob e K y que c es(K( )) = c es(K). Además, po definición de monomio sob e K, end emos que es ascenden e. Po lo an o, eamos que d / no es la de- i ada loga í mica de ningún adical sob e K, es deci , que no exis e ningún h(z)∈Cy ningún en e o n al que nd(g) = nd( ) =d(h) h.(3.2) Vamos a azona po educción al absu do, suponiendo que exis en un ele- men o h∈C(z)y un en e o no nulo nde modo que se cumpla la igualdad 3.2. Si h(z)∈C, en onces d(h) h= 0. Hemos llegado a un absu do, ya que g(z)no es una unción cons an e, luego su de i ada no puede se nula. Sea h(z)/∈C. En onces, d(h) h∈C(z). Conside amos z0un polo de d(h(z))/h(z). Es e es de o den uno, po la o ma en la que iene definida la unción. En onces, po se nd(g) = nd( ) =d(h) h, z0debe se un polo de d(g(z)) del mismo o den. Pe o, como amos a e a con inuación, odos los polos de d(g(z)) ienen o den 0o mayo o igual que 2. Vamos a p oba lo, sepa ando en dos casos, dependiendo de si z0es un polo o no, de g(z): •Si z0no es un polo de g(z), en onces g(z) = g0+g1(z−z0) + g2(z−z0)2+. . . . Luego, d(g(z)) = g1+ 2g2(z−z0) + . . . , es deci , d(g(z)) no iene polo en z0. 3.1. TEOREMA DE LIOUVILLE 85 •Si z0es un polo de g(z)de o den k≥1, en onces z0es un polo de d(g(z)) de o den k+ 1. Y po el pun o an e io , llegamos a un absu do. Po lo an o, odos los polos de g(z) ienen o den nulo, o mayo o igual que 2. Pe o odos los polos de d(h(z))/h(z) ienen o den 1. Luego no puede da se la igualdad 3.2. Po lo an o d(g(z)) no es la de i ada loga í mica de ningún K− adical. Luego, aplicando el eo ema 3.0.2, se iene que es un monomio sob e Ky que c es(K( )) = c es(K). Aho a, podemos aplica la demos ación del eo ema de Liou ille, en el caso en el que es ascenden e y exponencial, es e eo ema nos dice que podemos exp esa la unción (z)eg(z)de la siguien e o ma: (z) =d( ) + bd( ) + n ∑ i=1 ci d(wi) wi , donde b∈c es(K), ∈K( )y cada wi∈K. Luego, d( ) = (z) −bd( ) − n ∑ i=1 ci d(wi) wi .(3.3) Además, po se ∈K( ), u ilizando la descomposición en acciones simples, es de la o ma =A( ) + nl ∑ l=1 Al( ) ql k( )= m ∑ j=1 bj j+ nl ∑ l=1 Al( ) ql k( ),(3.4) siendo A( )∈Ky odos los Al( )∈K[ ],qk( )∈K[ ]mónicos, i educibles y cop imos dos a dos, y g (Al( )) < g (ql k( )). Luego d = m ∑ j=0 (d(bj) + jbjd(g)) j+ nl ∑ l=1 d(Al( ) ql k( )).(3.5) P obemos aho a que en la exp esión 3.4 el único polinomio qk( )que apa ece es el polinomio . Supongamos que qk( )= . Po lo an o, po el eo ema 3.0.2, qk( )es no mal.