Es uc u as de Ho migón Miguel T oyano Mo eno

x

1

2

3

y

1
  
1
  
1

2

3

x

y

CONTENIDO:
1. In oducción ............................................................................................................................. 2
2. Respues a seccional. diag amas de in e acción .......................................................................... 3
3. Mé odos de cálculo en lexo-comp esión es iada ...................................................................... 9
3.1 Mé odos numé icos. P og amas de o denado .................................................................... 10
3.2 Empleo de los diag amas de in e acción ............................................................................. 10
3.3 Mé odos simpli icados ....................................................................................................... 11
3.3.1 Mé odo de la EHE .................................................................................................... 11
3.3.2 Mé odo de la Ins ucción Rusa. Fó mula de B esle .................................................. 12
Tema 10:
Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a
lexo-comp esión es iada
Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión es iada 10
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1. INTRODUCCIÓN
En el ema an e io , hemos esuel o el p oblema gene al del cálculo de secciones some idas a
solici aciones no males, cuando se cumplían las dos condiciones siguien es:
 La sección de ho migón a mado iene un eje de sime ía.
 Los es ue zos, axil y momen o lec o , ac úan en el plano de inido po es e eje de sime ía y la
di ec iz de la pieza.
En ese caso el eje neu o e a pe pendicula al eje de sime ía de la sección, y su posición quedaba
de inida po un único pa áme o, pa a el cual omamos la p o undidad del eje neu o, x. Es e p oblema,
como ya imos, se denomina lexo-comp esión
1
ec a.
En es e ema amos a es udia el p oblema de lexo-comp esión es iada, que se puede de ini como
aquella solici ación no mal, pa a la cual no se conoce, a p io i, la di ección del eje neu o. Es e ipo de
solici ación se p esen a cuando no se cumple alguna de las condiciones an e io es, es deci , en alguno
de los casos siguien es ( e Fig. 1-2):
 La sección de ho migón NO iene un eje de sime ía.
 Aun siendo simé ica la sección de ho migón, la dis ibución de a madu as no lo es.
 Exis e el eje de sime ía de la sección de ho migón a mado, pe o los es ue zos NO ac úan en el
plano de inido po es e eje de sime ía y la di ec iz de la pieza.
Las dos p ime as si uaciones no se suelen p esen a en la p ác ica, pe o sí la e ce a,
undamen almen e en los siguien es casos:
 En las igas que, además de la ca ga g a i a o ia que p o oca lexión en el plano e ical, es án
some idas a ca gas la e ales (empujes del ien o, líquidos o ie as, sismo, ...). En esos casos los
axiles suelen se desp eciables, es ando some idos dichos elemen os a lexión simple es iada.
 En los sopo es, bien po que los elemen os que inciden sob e los mismos ( igas o o jados
bidi eccionales) le ansmi en lexión en dos di ecciones, o bien po que, aunque la lexión se
1
En el caso de que el axil sea de acción, lexo- acción ec a.
G
Y
x
cM

x
sn

s3

s2

s1

n
y
3
y
2
y
1
y
h
N
M
Fig. 1-1. Flexo-comp esión ec a
N
0
e
x
e
N
y
e
x

x
x


Fig. 1-2. Flexo-comp esión es iada
Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión es iada 10
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p oduzca en un plano p incipal en el caso de sopo es pe enecien es a pó icos plano, la exis encia
de ca gas ans e sales a dicho plano ( ien o, sismo, ...) p o oca inalmen e lexión en la o a
di ección. En es os casos el axil es impo an e, es ando some idos dichos elemen os a lexión o
comp esión compues a es iada ( lexo-comp esión es iada).
El plan eamien o de es e p oblema es análogo al ealizado en los emas an e io es, si bien su
esolución es mucho más compleja, eniendo que ecu i a soluciones numé icas ob enidas median e
p og amas de o denado , al empleo de ábacos de in e acción
2
o a mé odos p ác icos (de base empí ica)
de solución ap oximada.
2. RESPUESTA SECCIONAL. DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN
De nue o la espues a seccional la ob enemos a pa i de las ecuaciones de compa ibilidad,
compo amien o y equilib io. El p ocedimien o se ía el siguien e ( e Fig. 2-1, donde po simplicidad
se sigue empleando pa a el ho migón el diag ama ec angula ):
 Pa a un plano de de o mación de ago amien o, de inido en es e caso po la p o undidad de su eje
neu o, x, y po su inclinación, , espec o a una di ección dada, u ilizando las ecuaciones de
compa ibilidad, se de e minan las de o maciones de las dis in as ib as de la sección:
cxy (x, )
y
si (x, )
, donde:
cxy(x, )
: Es la de o mación de la ib a del ho migón de coo denadas (x,y).
si(x, )
: Es la de o mación de la a madu a i, que es á si uada en la posición (xi,yi), y donde i = 1,...,n,
Es as ecuaciones son las deducidas en el ema 7, eniendo en cuen a que aho a las
p o undidades de las dis in as a madu as no son cons an es, sino que dependen de la
inclinación .
2
Son ambién soluciones ob enidas po medio de p og amas de o denado , pa a un conjun o de secciones, pe o
ep esen adas en o ma de g á icos.
y
cc
Y
cc
X
x
cd
cM

x
sn

s3

s2

s1

sn

s3

s2

s1

sn
F
s3
F
s2
F
s1
F
cu
N
De o maciones
Tensiones
Es ue zos
in e nos
Plano de de o mación
x
Compa ibilidad
Compo amien o
Equilib io
cu
N
X
Y

n
Fig. 2-1
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 A pa i de es as de o maciones, u ilizando las ecuaciones de compo amien o del ma e ial, se
ob ienen las ensiones de las dis in as ib as de la sección:
cxy (x, )
y
si (x, )
, donde:
cxy(x, )
:Es la ensión de la ib a del ho migón de coo denadas (x,y). En el caso pa icula de del
diag ama ec angula es as ensiones se án cons an es y de alo :
cxy cd

si(x, )
: Es la ensión de la a madu a i, donde i = 1,...,n,. Se conside a posi i a si es de comp esión.
 Finalmen e la espues a seccional se á la esul an e de es as ensiones, que la ob enemos aplicando
un doble equilib io, p ime amen e calculando los es ue zos in e nos y inalmen e la esul an e de
es os es ue zos in e nos espec o al ba icen o de la sección de ho migón. La di e encia con el
p oblema de lexo-comp esión es que aho a hay que plan ea equilib io de momen os espec o a los
dos ejes de coo denadas X e Y.
Las esul an es de las ensiones en las dis in as a madu as se án:
si si si
F (x, ) A (x, )   
con i=1,...,n
aplicadas en el ba icen o de las mismas, y pa a el ho migón:
cu cxy cu cu
Á ea
comp imida
N (x, ) dA N N (x, )      

que se á unción de la p o undidad del eje neu o y de su inclinación, y es á aplicada en las
coo denadas dadas po :
cxy
Á ea
comp imida
cc cc cc
cu
(x, ) x dA
X X X (x, )
N
   
   

cxy
Á ea
comp imida
cc cc cc
cu
(x, ) y dA
Y Y Y (x, )
N
   
   

que de igual o ma son ambién unción de la p o undidad del eje neu o y de su
inclinación.
Finalmen e, la esul an e de es os es ue zos ( espues a seccional) espec o del ba icen o de
la sección de ho migón se á:
n
u cu si si
i1
N N A

  

cux
n
ux cu cc si si i
i1
M
M N Y A y

    

cuy
n
uy cu cc si si i
i1
M
M N X A x

    

Se comp ende ácilmen e que si la espues a seccional e a en lexo-comp esión ec a unción de la
sección de ho migón a mado y de la p o undidad del eje neu o, en el caso de lexo-comp esión
es iada depende además de la inclinación del eje neu o.
Si al igual que se hizo en lexión ec a, se ealiza la adimensionalización queda:
u cu i i
nsi yd
u cu si
i1
c cd c cd c cd yd
A
NN
A A A

   


  

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cc i
ux cu i i
cux
cux c cd
nsi yd
ux cu cc si i
i1
c cd c cd c cd yd
M
A h
A
M N Y y
A h A h A h


   


  
   

cc i
uy cu i i
cuy
cux c cd
n
uy si yd
cu cc si i
i1
c cd c cd c cd yd
M
A b
M A
NX x
A b A b A b


   


  
   

que u ilizando a iables adimensionales, queda:
n
u cu i i
i1
     

cux
n
ux cu cc i i i
i1

       

cux
n
uy cu cc i i i
i1

       

De es a o ma conseguimos que es a espues a sea álida pa a odas las secciones de ho migón a mado
semejan es a una dada, es deci , si ijamos una de e minada ipología de sección de ho migón a mado
3
,
la espues a seccional adimensional, u, es solo unción de las cuan ías
1

,
2

,...,
n

, de la
p o undidad del eje neu o, , y de su inclinación ; es deci :
u u 1 2 n
( , ,..., , , )     
.
Si además, al igual que en lexo-comp esión ec a, se ija que las cuan ías
1

,
2

,...,
n

ienen que
cumpli alguna condición, esul a inalmen e que la espues a seccional es únicamen e unción de es
únicos pa áme os, la cuan ía mecánica o al,
o yd
c cd
A
A

 
, la p o undidad del eje neu o, , y su
inclinación, ; es deci :
uu
u u ux ux
uy uy
( , , )
( , , ) ( , , )
( , , )
     

          

     

Si se ija un de e minado alo de la cuan ía mecánica, , esul a que la espues a seccional es
únicamen e unción de la p o undidad del eje neu o y de su inclinación, y ep esen a el conjun o
in ini o de si uaciones de ago amien o que puede alcanza la sección co espondien e. Si se ep esen a
es e conjun o in ini o de si uaciones de ago amien o en un diag ama (, x, y), se ob iene una
supe icie
4
que se denomina supe icie de in e acción, y es de la o ma que se mues a en la Fig. 2-2
3
Incluido den o de la ipología el ipo de ace o, como se comen ó en el ema an e io , pa a, así, elimina de la
espues a seccional la dependencia de las ensiones adimensionales i.
4
En lexo-comp esión ec a es e conjun o in ini o de si uaciones de ago amien o dependía de un único
pa áme o, la p o undidad del eje neu o, de al o ma que en un espacio bidimensional (, ), daba luga a una
cu a. En lexo-comp esión es iada es e conjun o in ini o de si uaciones de ago amien o depende de dos
pa áme os: la p o undidad del eje neu o y su inclinación; y po lo an o en un espacio idimensional (, x, y),
da luga a una supe icie.

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Cada pun o del espacio (, x, y) co esponde con una solici ación, sd (d, dx, dy), ac uando sob e la
sección. La supe icie de in e acción clasi ica es os pun os de la o ma ( e Fig. 2-2):
 Los pun os que se encuen an po debajo de la supe icie de in e acción co esponden con aquellas
si uaciones donde
du
s 
y po lo an o co esponden con si uaciones donde la sección no se ago a (no se alcanza el
es ado lími e).
 Los pun os de la p opia supe icie co esponden con aquellas si uaciones donde
du
s 
y po lo an o co esponden con si uaciones de ago amien o. Den o de és os se encuen an:
 La in e sección de la supe icie de in e acción con el eje  (pun o ), que co esponde a la
si uación de ago amien o en comp esión simple, con
ux uy 0   
.
 La in e sección de la supe icie de in e acción con los ejes x y y (pun o  y ), que
co esponden a las si uaciones de ago amien o en lexión simple, con
u0
, en el p ime caso
ac uando la lexión en el eje X y en el segundo en el eje Y.
 Las cu as que se ob ienen como in e sección de la supe icie con los planos coo denados
(, x) y (, y) co esponden con las si uaciones de ago amien o en lexo-comp esión ec a en
o no a los ejes X e Y espec i amen e.
 Los pun os si uados po encima de la supe icie de in e acción co esponden con si uaciones donde
du
s 
y po lo an o son si uaciones no alcanzables po la sección, ya que an es de alcanza un
pun o de és os, la sección debe alcanza una si uación de ago amien o.
Fig. 2-2
Ago amien o en
lexión simple
en o no al eje X
Ago amien o en
comp esión simple

x

u ux uy
( , )   
C e
b
h
h
h
A
A
'
yd
C e
C e
C e



d
c cd
N
A
 
dy
dx
xy
c cd c cd
M
M
A h A b
   
   
o yd
c cd
A
A

 
TIPO DE SECCIÓN
y

Ago amien o en
lexión simple
en o no al eje Y
'b
'b
X
Ago amien o en
lexo-comp esión ec a
en o no al eje X
Ago amien o en
lexo-comp esión ec a
en o no al eje X
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Si se ep esen an conjun amen e las dis in as supe icies de in e acción que se ob ienen al hace a ia
la cuan ía mecánica, el diag ama esul an e ecibe el nomb e de diag ama de in e acción, y p esen a el
aspec o que se mues a en la Fig. 2-3.
Como no se puede abaja con es os diag amas idimensionales, se co an es as supe icies po planos
pe pendicula es al eje , ob eniéndose de es a o ma cu as de in e acción
ux uy
( )  
pa a un axil
cons an e, donde cada una de ellas co esponde a un de e minado alo de la cuan ía mecánica, al y
como se mues a en la Fig. 2-4.
Como es as cu as ocupan un único cuad an e, se pueden ep esen a en un mismo diag ama cua o de
es os planos dando luga a lo que se conocen como ábacos en ose a. En la Fig. 2-5 se ep esen a uno
de es os ábacos
5
, que es álido pa a oda sección de ho migón a mado semejan e a la que se mues a
en la pa e supe io de echa; es deci pa a aquella que cumpla las siguien es ca ac e ís icas:
 La sección de ho migón es ec angula
 La disposición de a madu as es simé ica a dos ca as, con ecub imien os de
a
d 0,10 a
y
b
d 0,10 b
6
, donde a es el can o y b el ancho de la sección
 El ipo de ace o de las a madu as es de du eza na u al con:
yk 2
kp
4.200cm

5
Ha sido omado de la ob a “Ho migón a mado” de P. Jiménez Mon oya, A. Ga cía Mesegue y F. Mo án
Cab é, que en su omo 2 p esen a un comple ísimo juego de ábacos.
6
En lexo-comp esión es iada, como hay lexión en o no a los dos ejes, es necesa io ija los ecub imien os en
ambas di ecciones.

x

1

2

3

y

Fig. 2-3
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Fig. 2-5
Si la sección de ho migón iene dos ejes de sime ía y la a madu a se dispone simé ica a las cua o
ca as, los diag amas de in e acción
ux uy
( )  
son simé icos espec o a la bisec iz del cuad an e.
En es e caso es posible ep esen a , pa a cada plano de axil cons an e, un único oc an e, pudiéndose
po lo an o ep esen a en un mismo ábaco ocho de es os oc an es, pa a ocho axiles dis in os, al y
como se ep esen a en la Fig. 2-6.

x

1

2

3

y

1
  
1
  
1

2

3

x

y

Fig. 2-4
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Fig. 2-6
3. MÉTODOS DE CÁLCULO EN FLEXO-COMPRESIÓN ESVIADA
En endemos po mé odos de cálculo los p ocedimien os de que se dispone pa a esol e el p oblema
del cálculo de secciones, en sus dos e ien es de dimensionamien o y comp obación.
El p oblema de dimensionamien o, como ya hemos is o consis e en esol e el sis ema de ecuaciones
(en es e caso es ecuaciones)
du
s 
donde las incógni as son la p o undidad, , e inclinación, , del eje neu o, y la cuan ía de a madu a,
.
El p oblema de comp obación consis e de e mina la espues a seccional, u, con obje o de pode
e i ica que se cumple la ecuación
du
s 
Como en lexo-comp esión es iada la espues a seccional es unción de dos pa áme os: la
p o undidad, , e inclinación, , del eje neu o, dando luga a una supe icie en el espacio
xy
( , , )  
,
es necesa io ija dos de es os es ue zos en el ago amien o pa a pode de e mina el e ce o, que
inalmen e es el que se compa a con el co espondien e del e ec o de las acciones. En lexo-
comp esión es iada es no mal ija los momen os de ago amien o
ux uy
( , )
, o las excen icidades
xy
(e ,e )
, y de e mina el axil de ago amien o
u

. Finalmen e si
du
  
, la sección se encuen a en
buenas condiciones de segu idad.
Po lo an o ambos p oblemas, an o el de dimensionamien o como el de comp obación, se educen
inalmen e a esol e el sis ema de ecuaciones:
du
s 
donde las incógni as son:
 Dimensionamien o: p o undidad, , e inclinación, , del eje neu o, y cuan ía de a madu a, .
 Comp obación: p o undidad, , e inclinación, , del eje neu o, y el axil de ago amien o,
u.