Cálculo de secciones genéricas de hormigón armado solicitadas a flexo-compresión esviada

Es uc u as de Ho migón Miguel T oyano Mo eno  x  1  2  3  y  1    1    1  2  3  x  y  CONTENIDO: 1. In oducción ............................................................................................................................. 2 2. Respues a seccional. diag amas de in e acción .......................................................................... 3 3. Mé odos de cálculo en lexo-comp esión es iada ...................................................................... 9 3.1 Mé odos numé icos. P og amas de o denado .................................................................... 10 3.2 Empleo de los diag amas de in e acción ............................................................................. 10 3.3 Mé odos simpli icados ....................................................................................................... 11 3.3.1 Mé odo de la EHE .................................................................................................... 11 3.3.2 Mé odo de la Ins ucción Rusa. Fó mula de B esle .................................................. 12 Tema 10: Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión es iada Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión es iada 10 Pág. 2 de 13 1. INTRODUCCIÓN En el ema an e io , hemos esuel o el p oblema gene al del cálculo de secciones some idas a solici aciones no males, cuando se cumplían las dos condiciones siguien es:  La sección de ho migón a mado iene un eje de sime ía.  Los es ue zos, axil y momen o lec o , ac úan en el plano de inido po es e eje de sime ía y la di ec iz de la pieza. En ese caso el eje neu o e a pe pendicula al eje de sime ía de la sección, y su posición quedaba de inida po un único pa áme o, pa a el cual omamos la p o undidad del eje neu o, x. Es e p oblema, como ya imos, se denomina lexo-comp esión 1 ec a. En es e ema amos a es udia el p oblema de lexo-comp esión es iada, que se puede de ini como aquella solici ación no mal, pa a la cual no se conoce, a p io i, la di ección del eje neu o. Es e ipo de solici ación se p esen a cuando no se cumple alguna de las condiciones an e io es, es deci , en alguno de los casos siguien es ( e Fig. 1-2):  La sección de ho migón NO iene un eje de sime ía.  Aun siendo simé ica la sección de ho migón, la dis ibución de a madu as no lo es.  Exis e el eje de sime ía de la sección de ho migón a mado, pe o los es ue zos NO ac úan en el plano de inido po es e eje de sime ía y la di ec iz de la pieza. Las dos p ime as si uaciones no se suelen p esen a en la p ác ica, pe o sí la e ce a, undamen almen e en los siguien es casos:  En las igas que, además de la ca ga g a i a o ia que p o oca lexión en el plano e ical, es án some idas a ca gas la e ales (empujes del ien o, líquidos o ie as, sismo, ...). En esos casos los axiles suelen se desp eciables, es ando some idos dichos elemen os a lexión simple es iada.  En los sopo es, bien po que los elemen os que inciden sob e los mismos ( igas o o jados bidi eccionales) le ansmi en lexión en dos di ecciones, o bien po que, aunque la lexión se 1 En el caso de que el axil sea de acción, lexo- acción ec a. G Y x cM  x sn  s3  s2  s1  n y 3 y 2 y 1 y h N M Fig. 1-1. Flexo-comp esión ec a N 0 e x e N y e x  x x   Fig. 1-2. Flexo-comp esión es iada Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión es iada 10 Pág. 3 de 13 p oduzca en un plano p incipal en el caso de sopo es pe enecien es a pó icos plano, la exis encia de ca gas ans e sales a dicho plano ( ien o, sismo, ...) p o oca inalmen e lexión en la o a di ección. En es os casos el axil es impo an e, es ando some idos dichos elemen os a lexión o comp esión compues a es iada ( lexo-comp esión es iada). El plan eamien o de es e p oblema es análogo al ealizado en los emas an e io es, si bien su esolución es mucho más compleja, eniendo que ecu i a soluciones numé icas ob enidas median e p og amas de o denado , al empleo de ábacos de in e acción 2 o a mé odos p ác icos (de base empí ica) de solución ap oximada. 2. RESPUESTA SECCIONAL. DIAGRAMAS DE INTERACCIÓN De nue o la espues a seccional la ob enemos a pa i de las ecuaciones de compa ibilidad, compo amien o y equilib io. El p ocedimien o se ía el siguien e ( e Fig. 2-1, donde po simplicidad se sigue empleando pa a el ho migón el diag ama ec angula ):  Pa a un plano de de o mación de ago amien o, de inido en es e caso po la p o undidad de su eje neu o, x, y po su inclinación, , espec o a una di ección dada, u ilizando las ecuaciones de compa ibilidad, se de e minan las de o maciones de las dis in as ib as de la sección: cxy (x, ) y si (x, ) , donde: cxy(x, ) : Es la de o mación de la ib a del ho migón de coo denadas (x,y). si(x, ) : Es la de o mación de la a madu a i, que es á si uada en la posición (xi,yi), y donde i = 1,...,n, Es as ecuaciones son las deducidas en el ema 7, eniendo en cuen a que aho a las p o undidades de las dis in as a madu as no son cons an es, sino que dependen de la inclinación . 2 Son ambién soluciones ob enidas po medio de p og amas de o denado , pa a un conjun o de secciones, pe o ep esen adas en o ma de g á icos. y cc Y cc X x cd cM  x sn  s3  s2  s1  sn  s3  s2  s1  sn F s3 F s2 F s1 F cu N De o maciones Tensiones Es ue zos in e nos Plano de de o mación x Compa ibilidad Compo amien o Equilib io cu N X Y  n Fig. 2-1 Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión es iada 10 Pág. 4 de 13  A pa i de es as de o maciones, u ilizando las ecuaciones de compo amien o del ma e ial, se ob ienen las ensiones de las dis in as ib as de la sección: cxy (x, ) y si (x, ) , donde: cxy(x, ) :Es la ensión de la ib a del ho migón de coo denadas (x,y). En el caso pa icula de del diag ama ec angula es as ensiones se án cons an es y de alo : cxy cd  si(x, ) : Es la ensión de la a madu a i, donde i = 1,...,n,. Se conside a posi i a si es de comp esión.  Finalmen e la espues a seccional se á la esul an e de es as ensiones, que la ob enemos aplicando un doble equilib io, p ime amen e calculando los es ue zos in e nos y inalmen e la esul an e de es os es ue zos in e nos espec o al ba icen o de la sección de ho migón. La di e encia con el p oblema de lexo-comp esión es que aho a hay que plan ea equilib io de momen os espec o a los dos ejes de coo denadas X e Y. Las esul an es de las ensiones en las dis in as a madu as se án: si si si F (x, ) A (x, )    con i=1,...,n aplicadas en el ba icen o de las mismas, y pa a el ho migón: cu cxy cu cu Á ea comp imida N (x, ) dA N N (x, )        que se á unción de la p o undidad del eje neu o y de su inclinación, y es á aplicada en las coo denadas dadas po : cxy Á ea comp imida cc cc cc cu (x, ) x dA X X X (x, ) N          cxy Á ea comp imida cc cc cc cu (x, ) y dA Y Y Y (x, ) N          que de igual o ma son ambién unción de la p o undidad del eje neu o y de su inclinación. Finalmen e, la esul an e de es os es ue zos ( espues a seccional) espec o del ba icen o de la sección de ho migón se á: n u cu si si i1 N N A      cux n ux cu cc si si i i1 M M N Y A y        cuy n uy cu cc si si i i1 M M N X A x        Se comp ende ácilmen e que si la espues a seccional e a en lexo-comp esión ec a unción de la sección de ho migón a mado y de la p o undidad del eje neu o, en el caso de lexo-comp esión es iada depende además de la inclinación del eje neu o. Si al igual que se hizo en lexión ec a, se ealiza la adimensionalización queda: u cu i i nsi yd u cu si i1 c cd c cd c cd yd A NN A A A            Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión es iada 10 Pág. 5 de 13 cc i ux cu i i cux cux c cd nsi yd ux cu cc si i i1 c cd c cd c cd yd M A h A M N Y y A h A h A h                 cc i uy cu i i cuy cux c cd n uy si yd cu cc si i i1 c cd c cd c cd yd M A b M A NX x A b A b A b                 que u ilizando a iables adimensionales, queda: n u cu i i i1        cux n ux cu cc i i i i1           cux n uy cu cc i i i i1           De es a o ma conseguimos que es a espues a sea álida pa a odas las secciones de ho migón a mado semejan es a una dada, es deci , si ijamos una de e minada ipología de sección de ho migón a mado 3 , la espues a seccional adimensional, u, es solo unción de las cuan ías 1  , 2  ,..., n  , de la p o undidad del eje neu o, , y de su inclinación ; es deci : u u 1 2 n ( , ,..., , , )      . Si además, al igual que en lexo-comp esión ec a, se ija que las cuan ías 1  , 2  ,..., n  ienen que cumpli alguna condición, esul a inalmen e que la espues a seccional es únicamen e unción de es únicos pa áme os, la cuan ía mecánica o al, o yd c cd A A    , la p o undidad del eje neu o, , y su inclinación, ; es deci : uu u u ux ux uy uy ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )                           Si se ija un de e minado alo de la cuan ía mecánica, , esul a que la espues a seccional es únicamen e unción de la p o undidad del eje neu o y de su inclinación, y ep esen a el conjun o in ini o de si uaciones de ago amien o que puede alcanza la sección co espondien e. Si se ep esen a es e conjun o in ini o de si uaciones de ago amien o en un diag ama (, x, y), se ob iene una supe icie 4 que se denomina supe icie de in e acción, y es de la o ma que se mues a en la Fig. 2-2 3 Incluido den o de la ipología el ipo de ace o, como se comen ó en el ema an e io , pa a, así, elimina de la espues a seccional la dependencia de las ensiones adimensionales i. 4 En lexo-comp esión ec a es e conjun o in ini o de si uaciones de ago amien o dependía de un único pa áme o, la p o undidad del eje neu o, de al o ma que en un espacio bidimensional (, ), daba luga a una cu a. En lexo-comp esión es iada es e conjun o in ini o de si uaciones de ago amien o depende de dos pa áme os: la p o undidad del eje neu o y su inclinación; y po lo an o en un espacio idimensional (, x, y), da luga a una supe icie. Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión es iada 10 Pág. 6 de 13 Cada pun o del espacio (, x, y) co esponde con una solici ación, sd (d, dx, dy), ac uando sob e la sección. La supe icie de in e acción clasi ica es os pun os de la o ma ( e Fig. 2-2):  Los pun os que se encuen an po debajo de la supe icie de in e acción co esponden con aquellas si uaciones donde du s  y po lo an o co esponden con si uaciones donde la sección no se ago a (no se alcanza el es ado lími e).  Los pun os de la p opia supe icie co esponden con aquellas si uaciones donde du s  y po lo an o co esponden con si uaciones de ago amien o. Den o de és os se encuen an:  La in e sección de la supe icie de in e acción con el eje  (pun o ), que co esponde a la si uación de ago amien o en comp esión simple, con ux uy 0    .  La in e sección de la supe icie de in e acción con los ejes x y y (pun o  y ), que co esponden a las si uaciones de ago amien o en lexión simple, con u0 , en el p ime caso ac uando la lexión en el eje X y en el segundo en el eje Y.  Las cu as que se ob ienen como in e sección de la supe icie con los planos coo denados (, x) y (, y) co esponden con las si uaciones de ago amien o en lexo-comp esión ec a en o no a los ejes X e Y espec i amen e.  Los pun os si uados po encima de la supe icie de in e acción co esponden con si uaciones donde du s  y po lo an o son si uaciones no alcanzables po la sección, ya que an es de alcanza un pun o de és os, la sección debe alcanza una si uación de ago amien o. Fig. 2-2 Ago amien o en lexión simple en o no al eje X Ago amien o en comp esión simple  x  u ux uy ( , )    C e b h h h A A ' yd C e C e C e    d c cd N A   dy dx xy c cd c cd M M A h A b         o yd c cd A A    TIPO DE SECCIÓN y  Ago amien o en lexión simple en o no al eje Y 'b 'b X Ago amien o en lexo-comp esión ec a en o no al eje X Ago amien o en lexo-comp esión ec a en o no al eje X Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión es iada 10 Pág. 7 de 13 Si se ep esen an conjun amen e las dis in as supe icies de in e acción que se ob ienen al hace a ia la cuan ía mecánica, el diag ama esul an e ecibe el nomb e de diag ama de in e acción, y p esen a el aspec o que se mues a en la Fig. 2-3. Como no se puede abaja con es os diag amas idimensionales, se co an es as supe icies po planos pe pendicula es al eje , ob eniéndose de es a o ma cu as de in e acción ux uy ( )   pa a un axil cons an e, donde cada una de ellas co esponde a un de e minado alo de la cuan ía mecánica, al y como se mues a en la Fig. 2-4. Como es as cu as ocupan un único cuad an e, se pueden ep esen a en un mismo diag ama cua o de es os planos dando luga a lo que se conocen como ábacos en ose a. En la Fig. 2-5 se ep esen a uno de es os ábacos 5 , que es álido pa a oda sección de ho migón a mado semejan e a la que se mues a en la pa e supe io de echa; es deci pa a aquella que cumpla las siguien es ca ac e ís icas:  La sección de ho migón es ec angula  La disposición de a madu as es simé ica a dos ca as, con ecub imien os de a d 0,10 a y b d 0,10 b 6 , donde a es el can o y b el ancho de la sección  El ipo de ace o de las a madu as es de du eza na u al con: yk 2 kp 4.200cm  5 Ha sido omado de la ob a “Ho migón a mado” de P. Jiménez Mon oya, A. Ga cía Mesegue y F. Mo án Cab é, que en su omo 2 p esen a un comple ísimo juego de ábacos. 6 En lexo-comp esión es iada, como hay lexión en o no a los dos ejes, es necesa io ija los ecub imien os en ambas di ecciones.  x  1  2  3  y  Fig. 2-3 Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión es iada 10 Pág. 8 de 13 Fig. 2-5 Si la sección de ho migón iene dos ejes de sime ía y la a madu a se dispone simé ica a las cua o ca as, los diag amas de in e acción ux uy ( )   son simé icos espec o a la bisec iz del cuad an e. En es e caso es posible ep esen a , pa a cada plano de axil cons an e, un único oc an e, pudiéndose po lo an o ep esen a en un mismo ábaco ocho de es os oc an es, pa a ocho axiles dis in os, al y como se ep esen a en la Fig. 2-6.  x  1  2  3  y  1    1    1  2  3  x  y  Fig. 2-4 Cálculo de secciones gené icas de ho migón a mado solici adas a lexo-comp esión es iada 10 Pág. 9 de 13 Fig. 2-6 3. MÉTODOS DE CÁLCULO EN FLEXO-COMPRESIÓN ESVIADA En endemos po mé odos de cálculo los p ocedimien os de que se dispone pa a esol e el p oblema del cálculo de secciones, en sus dos e ien es de dimensionamien o y comp obación. El p oblema de dimensionamien o, como ya hemos is o consis e en esol e el sis ema de ecuaciones (en es e caso es ecuaciones) du s  donde las incógni as son la p o undidad, , e inclinación, , del eje neu o, y la cuan ía de a madu a, . El p oblema de comp obación consis e de e mina la espues a seccional, u, con obje o de pode e i ica que se cumple la ecuación du s  Como en lexo-comp esión es iada la espues a seccional es unción de dos pa áme os: la p o undidad, , e inclinación, , del eje neu o, dando luga a una supe icie en el espacio xy ( , , )   , es necesa io ija dos de es os es ue zos en el ago amien o pa a pode de e mina el e ce o, que inalmen e es el que se compa a con el co espondien e del e ec o de las acciones. En lexo- comp esión es iada es no mal ija los momen os de ago amien o ux uy ( , ) , o las excen icidades xy (e ,e ) , y de e mina el axil de ago amien o u  . Finalmen e si du    , la sección se encuen a en buenas condiciones de segu idad. Po lo an o ambos p oblemas, an o el de dimensionamien o como el de comp obación, se educen inalmen e a esol e el sis ema de ecuaciones: du s  donde las incógni as son:  Dimensionamien o: p o undidad, , e inclinación, , del eje neu o, y cuan ía de a madu a, .  Comp obación: p o undidad, , e inclinación, , del eje neu o, y el axil de ago amien o, u.