Herramientas estadísticas para el tratamiento de datos de estrellas binarias de la misión astrométrica GAIA

T aballo Fin de G ao
He amien as es adís icas pa a el
a amien o de da os de es ellas
bina ias de la misión as omé ica
GAIA
Ángel López O iona
2018/2019
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
T aballo Fin de G ao
He amien as es adís icas pa a el
a amien o de da os de es ellas
bina ias de la misión as omé ica
GAIA
Ángel López O iona
Feb e o, 2019
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
iii

i
T abajo p opues o
Á ea de Conocimien o: As onomía y As o ísica - Es adís ica e In es igación Ope a i a.
Tí ulo: He amien as es adís icas pa a el a amien o de da-
os de es ellas bina ias de la misión as omé ica GAIA.
B e e desc ipción del con enido
La Agencia Espacial Eu opea lanzó en el año 2013 la misión as omé-
ica GAIA, que iene po obje i o aza el mapa idimensional más
p eciso de nues a galaxia, la Vía Lác ea, con una mues a de has a
mil millones de es ellas. En e ellas se encuen an las es ellas bina-
ias, nues o obje o de es udio, cuyos da os no se án publicados has a
2021. En base al modelo simulado del Uni e so, elabo ado du an e
la p epa ación de la p opia misión GAIA, es e abajo p e ende es-
udia posibles écnicas es adís icas pa a analiza las elaciones en e
los pa áme os, an o ísicos como dinámicos, de las es ellas dobles,
aplicables a u u as obse aciones eales: eg esiones lineales y no li-
neales, in e encia en modelos pa amé icos de dis ibución y eg esión,
y es s de bondad de ajus e de los modelos conside ados.
Recomendaciones
Habe cu sado las ma e ias de Fundamen os de As onomía y Modelos
de Reg esión y Análisis Mul i a ian e.
O as obse aciones
El abajo cons a de dos campos ela i amen e dis in os, in en a emos
mos a la elación en e ellos de la mejo mane a posible.
Índice gene al
Resumen iii
In oducción xi
0.1. El P oblema de los Dos Cue pos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
0.1.1. P elimina es................................ xi
0.1.2. ElP oblema................................ xii
0.2. Coo denadas as onómicas y mo imien os p opios . . . . . . . . . . . . . . . xiii
0.2.1. Coo denadas ecua o iales absolu as y coo denadas galác icas . . . . xi
0.2.2. Mo imien os p opios de las es ellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . x i
0.3. Pa alajeEs ela ..................................x ii
0.4. Es ellasDobles..................................xix
0.4.1. Elemen os o bi ales un Sis ema Bina io . . . . . . . . . . . . . . . . xxii
0.5. Magni ud de una es ella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii
1. La Misión Gaia 1
1.1. Gene alidades................................... 1
1.2. Ins umen os y p oceso de medición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Cons i ución del sa éli e. Scanning Law . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Medición de e o es as omé icos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Ca álogos de Gaia y lenguaje de consul as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1. El Gaia A chi e. Ca álogos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2. LenguajeADQL ............................. 7
1.3.3. C oss-ma ch................................ 7
1.4. Códigos de R y consul as ADQL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Comple i ud y con as es 9
2.1. In oducción.................................... 9
2.2. Toma y il ado de da os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
i ÍNDICE GENERAL
2.3. Análisis de comple i ud de GDR1 y GDR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1. Análisis de comple i ud de GDR1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2. Análisis de comple i ud de GDR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4. Con as es de dis ibuciones en GDR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.1. Concep os eó icos pa a los con as es . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4.2. Da os pa a los con as es de dis ibuciones . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.3. Con as e de dis ibución pa a los pa alajes . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.4. Con as e de dis ibución pa a los mo imien os p opios . . . . . . . . 36
3. In e encia de dis ancias es ela es 43
3.1. Gene alidades sob e el a amien o de los pa alajes . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2. El p oblema de la es imación de la dis ancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3. El p oblema de los pa alajes nega i os en GDR2 . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4. In e encia bayesiana de dis ancias es ela es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.1. Plan eamien o del p oblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4.2. PD Uni o me Imp opia y Uni o me P opia . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4.3. PD de decaimien o exponencial de la densidad de olumen es ela . . 62
3.4.4. Es imaciones de dis ancias pa a es ellas dobles de GDR2C . . . . . 67
Bibliog a ía 71
Apéndice A 73
Apéndice B 75
xi INTRODUCCIÓN
Lác ea.
0.2.1. Coo denadas ecua o iales absolu as y coo denadas galác icas
El obje i o de las coo denadas en As onomía es el de iden i ica cada pun o del i -
mamen o. Un concep o clásico en es e campo es el de es e a celes e (o bó eda celes e),
de inida como una es e a de adio a bi a io (no malmen e la omamos de adio unidad)
concén ica con la Tie a (que suponemos aquí una es e a, llamada es e a e es e) en la
cual es án p oyec ados odos los as os. Gi a en sen ido con a io al de la Tie a (es lo que
llamamos mo imien o diu no apa en e) espec o a un eje llamado eje del mundo, p olon-
gación del eje e es e. Sus polos no e y su simplemen e son la ex ensión a la misma de
los polos no e y su de la Tie a. Cons i uye un modelo muy in ui i o pa a pode si ua
cualquie as o. Sob e ella se de inen las llamadas coo denadas as onómicas, de las
que hay a ios ipos, según qué planos se omen como e e encia. Todas las coo denadas
as onómicas se de inen omando como base las coo denadas pola es es é icas, que,
como es bien conocido, son es, una dis ancia y dos ángulos. Sin emba go, el hecho de
que al mi a al cielo odos los as os pa ezcan si uados a la misma dis ancia nos pe mi e
simpli ica la si uación, desp eciando la coo denada que ma ca la dis ancia. Es po eso que
cualquie a de las coo denadas as onómicas queda de inida po dos ángulos. Nos amos a
cen a aho a en las llamadas coo denadas ecua o iales absolu as, pues son uno de
los dos ipos de coo denadas con los que a a emos en los análisis lle ados a cabo en las
secciones enide as. Es as coo denadas ienen la en aja espec o a o as de no depende
del luga de la Tie a en el que es á si uado el obse ado ni del mo imien o diu no.
Pa a pode de ini es as coo denadas necesi amos in oduci b e emen e una se ie de
concep os. El ecuado celes e es una ex ensión del ecuado de la es e a e es e (plano
pe pendicula al eje de o ación de la Tie a pasando po su cen o); simplemen e consis e
en ex ende es e plano a la es e a celes e. Como bien hemos is o en el P oblema de los Dos
Cue pos, la Tie a desc ibe una ó bi a plana (elíp ica) al ededo del Sol, que se denomina
eclíp ica (línea en la que se p oducen los eclipses). El plano que con iene a dicha ó bi a se
conoce como plano de la eclíp ica. La in e sección de dicho plano con el ecuado celes e
se conoce como línea de los nodos. Además, es os dos planos o man un ángulo llamado
oblicuidad de la eclíp ica, que se deno a po , y cuyo alo ac ual ( a ía a causa de los
mo imien os de p ecesión y nu ación del eje de o ación e es e) es ap oximadamen e 23o
260. Tan o el ecuado como el plano de la eclíp ica como su in e sección son independien es
de cualquie luga de la supe icie e es e en el que es é si uado un obse ado . Como
consecuencia del mo imien o o bi al de la Tie a podemos conside a un mo imien o (el

0.2. COORDENADAS ASTRONÓMICAS Y MOVIMIENTOS PROPIOS x
que pe cibimos desde la Tie a) del Sol al ededo de la Tie a, cuya ayec o ia en la es e a
celes e se á p ecisamen e la eclíp ica.
La línea de los nodos in e seca a la es e a celes e en dos pun os, los llamados pun o
a ies ypun o lib a. El pun o a ies es áquel po el que el Sol pasa el 21 de Ma zo, en
el llamado equinoccio de p ima e a (pa a habi an es del hemis e io no e). Es e pun o
( ambién independien e del obse ado ) a a se cla e en la de inición de las coo denadas
ecua o iales absolu as. El sis ema de e e encia que usamos pa a de ini las mismas a a
se el siguien e conjun o de ec o es o ono males con o igen el cen o de la Tie a: −→
1,
ec o uni a io en el di ección del pun o a ies, −→
3, ec o uni a io en la di ección del polo
no e y −→
2=−→
3×−→
1, donde ×deno a p oduc o ec o ial. Los dos ángulos que de inen
las coo denadas ecua o iales absolu as de un as o son la ascensión ec a α, que oma
sus alo es en [0,2π), y la declinación δ, que oma sus alo es en [−π
2,π
2). Podemos e
la in e p e ación g á ica de es as coo denadas y de los concep os an e io es en la Figu a
2. Es habi ual da ambos alo es en g ados sexagesimales. La ascensión ec a ambién se
suele exp esa en ho as, minu os y segundos (360 g ados se co esponden a 24 ho as). De
aquí en adelan e, cada ez que hablemos de la posición de una es ella sin especi icaciones
mayo es, supond emos que es la dada po las coo denadas ecua o iales absolu as.
El o o ipo de coo denadas que amos a u iliza son las coo denadas galác icas.
És as oman como e e encia el plano de sime ía de nues a galaxia, denominado plano
galác ico. La di ección pe pendicula al plano galác ico se denomina polo galác ico. De-
e mina la ubicación de ambos no es una cues ión i ial, y se ha podido consegui g acias
a millones de obse aciones as onómicas. El sis ema de e e encia galác ico, (−→
g1,−→
g2,−→
g3)
es al que que el plano galác ico con iene a a los ec o es −→
g1y−→
g2, mien as −→
g3 a en la
di ección del polo no e galác ico; el ec o −→
g1se elige en el sen ido del cen o galác ico. Las
coo denadas galác icas son la la i ud galác ica b, con alo es en [−π
2,π
2)y la longi ud
galác ica l, con alo es en [0,2π). Ambos sis emas de coo denadas, an o las ecua o iales
absolu as como las galác icas, son sis emas de coo denadas dex ógi os, es deci , es el
sen ido de las agujas del eloj el que de ine a los gi os posi i os. Pa a una mejo comp en-
sión de cualquie ipo de coo denadas as onómicas y concep os elacionados, éase Abad
e al. (2002) [1].
.
x i INTRODUCCIÓN
Figu a 2: Coo denadas ecua o iales absolu as en la es e a celes e.
0.2.2. Mo imien os p opios de las es ellas
Du an e el cu so de los siglos, las es ellas han apa en ando man ene posiciones ijas
unas con espec o a o as, o mando siemp e las mismas cons elaciones. Sin emba go, ac-
ualmen e se sabe que las cons elaciones sí cambian su o ma, pe o an len amen e que, en
algunos casos, hacen al a miles de años pa a pe cibi esa di e encia. Es o es a consecuencia
de que cada es ella iene un mo imien o in ínseco que llamamos mo imien o p opio.
Es e mo imien o es in e p e ado como un mo imien o ela i o de las es ellas espec o
al Sis ema Sola . El Sol se mue e espec o al cen o de la Vía Lác ea a una elocidad
ap oximada de 220 km s−1, en una ó bi a cuasici cula , de un adio ap oximado de 26000
años luz.
El mo imien o p opio de una es ella (o de un as o) es á ca ac e izado po dos can i-
dades, las a iaciones angula es de la es ella en la ascensión ec a αy en la declinación δ
po unidad de iempo. Si una es ella se mue e de la posición (α1, δ1)a la posición (α2, δ2)
en un in e alo de iempo ∆ , es as can idades se án µα=α2−α1
∆ yµδ=δ2−δ1
∆ . De inimos
el mo imien o p opio −→
µcomo un ec o cuyo módulo es µ=µ2
δ+µ2
αcos2δ1. El ac o
cos2δ1 iene en cuen a el hecho de que la dis ancia lineal desde el eje del mundo a la es e a
celes e a ía con el ac o cos δ1(se á po ejemplo 0 en el polo no e celes e). Así, el mo-
imien o p opio se á un ec o elocidad (angula ) en el plano, cuyas componen es se án
0.3. PARALAJE ESTELAR x ii
Figu a 3: Mo imien o p opio y sus componen es. Se han omi ido las lechas en las magni-
udes ec o iales.
µαcos δ, usualmen e deno ada po µα∗, y µδ, llamadas mo imien o p opio en la as-
censión ec a ymo imien o p opio en la declinación, espec i amen e. Es a úl ima
componen e pa alela al ecuado an o más pequeña cuan o más es é el obje o p óximo a
un polo celes e y cons i uye una medida de «cómo se aleja el as o de noso os». La o a
componen e, en cambio, es una medida de «cómo cambia el obje o en nues o plano de
isión». Son es os dos alo es los que suelen apa ece en las bases de da os es ela es, usual-
men e medidos en mas año−1, donde mas deno a milisegundos de a co. En el Apéndice
Aencon amos una desc ipción comple a de los ac ónimos usados en el ex o, basados casi
odos ellos en el é mino inglés. La Figu a 3 ilus a los concep os p e ios. Una explicación
más de allada ace ca de los mo imien os p opios y de cómo se llega a la exp esión de −→
µ
se puede encon a nue amen e en Abad e al. (2002) [1].
0.3. Pa alaje Es ela
O o concep o muy impo an e en el es udio de las es ellas y as os en gene al es
el de pa alaje anual (el é mino es indis in amen e an o masculino como emenino), que
desc ibimos a con inuación.
x iii INTRODUCCIÓN
Figu a 4: Ángulo de pa alaje.
Si conside amos la eclíp ica, es a ó bi a es po supues o elíp ica, pe o su excen icidad
es an p óxima a ce o que la podemos conside a ci cula sin come e demasiado e o .
Dada una es ella Edel espacio, siemp e podemos conside a el adio ec o que une el Sol
y la es ella E, cuya no ma euclídea se á la dis ancia del Sol a la es ella dada. Aho a, si
conside amos una posición a bi a ia T1de la Tie a sob e la eclíp ica, y «mi amos» a la
es ella, la e íamos en cie a posición y espec o a un ondo de es ellas mas allá de la
misma. Al pasa ap oximadamen e la mi ad de un año, la Tie a es a á en una posición
T2, an ipodal a T1, y si en es e momen o obse amos la es ella, de ec a íamos que el
ondo de es ellas que emos mas allá es dis in o; pa a luego al anscu i un año y llega
nue amen e a T1, ol e a la misma si uación del p incipio. Es e mo imien o apa en e
que desc ibe la es ella debido al e lejo del mo imien o o bi al la Tie a de ine una elipse,
llamada elipse de pa alaje. En e las posiciones T1yT2, es e mo imien o apa en e
dado po la elipse de pa alaje de ine un cie o ángulo. De inimos el ángulo de pa alaje,
pa alaje es ela o ambién pa alaje anual como la mi ad de dicho ángulo. De aquí en
adelan e, cada ez que hablemos de pa alaje, nos e e i emos al an e io , que es un ipo de
pa alaje igonomé ico. Exis en o os ipo de pa alajes en As onomía, como los dinámicos
y los espec oscópicos, en los que no en a emos. En la Figu a 4 podemos e que Pes el
ángulo de pa alaje. Es e ángulo se á meno cuan o más alejada es é la es ella del Sol.
Al conside a la eclíp ica como ci cula , la dis ancia de la Tie a al Sol no a ía en el
0.4. ESTRELLAS DOBLES xix
anscu so de la ó bi a, y es a dis ancia es po de inición una unidad as onómica de
dis ancia (au)(equi ale ap oximadamen e a 1495978707 km). En la Figu a 2 podemos
e cla amen e que an P=au
d, po lo que el pa alaje es á es ic amen e elacionado con
la dis ancia dde la es ella Ea la Tie a. Es o es muy impo an e, pues el conocimien o de
los pa alajes nos pe mi i á conoce dis ancias es ela es, po lo que los pa alajes se án un
concep o que apa ezca ecuen emen e en los análisis es adís icos de da os as onómicos.
Ob iamen e, pa a cualquie es ella, podemos educi la si uación a la de la Figu a 4, po
lo que a cada es ella le co esponde un y sólo un alo del pa alaje.
Un de alle impo an e es que la es ella más ce cana al Sol (P óxima Cen au i) iene
un alo del pa alaje de P= 0.768700; es e alo es, po an o, el máximo alo de un
posible pa alaje es ela . Como es amos hablando en onces de ángulos p óximos a ce o, po
uncamien o de se ies de Taylo podemos ealiza la ap oximación an P=P, con lo que
la exp esión dada an e io men e esul a más sencilla, P=au
d. Cuando el pa alaje se da en
segundos de a co (es lo habi ual), se suele esc ibi P00. Se e i ica que P00 =au
dN00, donde
N00 es el núme o de segundos de a co que iene un adián (N00 =180
Π·60 ·60).
To almen e elacionado con és o es á el concep o de pá sec (pc). Un pá sec es la
dis ancia a la que debe ía es a una es ella de la Tie a pa a que su pa alaje uese 1
segundo de a co. Como ya hemos is o que el pa alaje de la más ce cana es meno que
al pa alaje, odas las es ellas es a án a más de 1 pc de noso os. Se puede e ácilmen e
que 1pc=N00 au. O a equi alencia que puede esul a ú il es 1 pc = 3.26 años luz. La
elacíón impo an ísima que hay, pues, en e el pa alaje de una es ella y su dis ancia en pc
es P=1
d. Es a elación iene impo an es consecuencias es adís icas, que se án explicadas
con de alle en el Capí ulo 3. Debido a que es la no ación u ilizada en la mayo ía de
a ículos y publicaciones as onómicas que u ilizamos como e e encia, de aquí en adelan e
deno a emos el pa alaje anual de un as o po ω.
0.4. Es ellas Dobles
En la ac ualidad se c ee que la mayo ía de las es ellas del Uni e so se encuen an
asociadas en g upos de 2, 3, 4, e c , cons i uyendo lo que se llaman sis emas es ela es
múl iples. De és os, los más abundan es son los de 2 componen es, que cons i uyen según
la mayo ía más del 80 % de los sis emas es ela es, si bien es a ci a es siemp e obje o de
deba e en As onomía.

xx INTRODUCCIÓN
Una es ella doble (o es ella bina ia) puede de ini se como un pa de es ellas ísica-
men e ligadas po su mu ua a acción g a i a o ia, lo que, en i ud de El P oblema de los
Dos Cue pos, iene como consecuencia que cada una de ellas desc iba una ó bi a pe iódica
espec o al cen o de masas del sis ema. An es de in oduci nos en aspec os pu amen e
énicos amos a da una b e e eseña his ó ica de como es os sis emas es ela es ue on
descubie os. Se le a ibuye a J.B.Riccioli el habe descubie o la p ime a es ella doble.
Fue en 1650 en el Obse a o io de Pale mo y se a a de la es ella Miza , aunque no es
desca able que ya Galileo se hubiese dado cuen a del ca á e doble de es e obje o. Pa a
el conocimien o de los mo imien os ela i os de las es ellas dobles enemos que i nos a
1718, cuando Edmund Halley de ec ó los mo imien os p opios de las es ellas y io que no
a ec aban po igual a odas ellas, po lo que supuso que es o e a a causa de que unas es e-
llas es aban a más dis ancia que o as de noso os. Es o ajo como consecuencia in en a
medi la dis ancia a las es ellas, descub iendo el mo imien o pa alác ico que acabamos
de e en la sección p e ia. Es e p oblema del pa alaje es ela p eocupó a los as ónomos
du an e mucho iempo, lo que hizo que el músico y as ónomo b i ánico William He schel
(descub ido de U ano) ambién se in oluc a a en es e campo. Con un elescopio e lec o
cons uído po el mismo, in en ó obse a la elipse de pa alaje de cie as es ellas; pa a su
so p esa, el pe íodo o bi al de es a supues a elipse de pa alaje e a mucho mayo que un
año, que es lo que a da ía en comple a se el mo imien o pa alác ico. Lo que en ealidad
es aba iendo He schel e an los mo imien os o bi ales de las es ellas dobles. Las obse -
aciones de He schel e an la p ime a p ueba de que la ley de g a i ación de New on e a
ealmen e uni e sal. Pa a p o undiza en la his o ia de las es ellas dobles, emi imos al
lec o a Co eau (2013) [7].
Hay mul i ud de clasi icaciones pa a las es ellas dobles, pe o quizá la más conocida
sea la que di ide a és as en es g andes g upos, a segui :
Es ellas dobles isuales: son pa es de es ellas que pueden se iden i icadas median-
e mé odos óp icos, ya sea usando elescopios, de ec o es elec ónicos, e c. Habi ualmen e
omamos como o igen de coo denadas la es ella más b illan e. En consecuencia, la o a
es ella desc ibi á una ó bi a ela i a (elipse) espec o a la p ime a. Sin emba go, es-
a ó bi a ela i a no es la que noso os obse amos desde la Tie a, pues obse amos la
p oyección de es a ó bi a sob e nues o plano de isión, un plano pe pendicula a nues a
isual (nues a isual la ma ca un ec o pe pendicula a la es e a e es e en el pun o
en el que nos encon amos), que es lo que denominamos ó bi a apa en e. Haciendo un
sencillo análisis geomé ico se ob iene que la p oyección de la elipse o iginal sob e el plano
0.4. ESTRELLAS DOBLES xxi
Figu a 5: Ángulo de posición θy sepa ación angula ρsob e la ó bi a apa en e de una
es ella doble. Nó ese que la ó bi a no es en gene al una ci cun e encia.
de la ó bi a apa en e es o a elipse que conse a su cen o, pe o no en gene al sus ocos.
La o ma que enemos de medi es a ó bi a apa en e es la siguien e. Deno amos po E
la es ella que elegimos como p incipal y po E0la p oyección de la secunda ia, o es ella
sa éli e. Damos la posición de la segunda espec o de la p ime a con un pa de coo denadas
pola es sob e el plano de la ó bi a apa en e. Tomamos como eje pola la di ección No e
y a pa i de ahí medimos el ángulo de posición,θ, en sen ido No e-Es e-Su -Oes e;
se mide en g ados y decimal de g ado. La segunda coo denada pola es ρ, la sepa ación
angula , y se a a del ángulo con é ice el obse ado según el cual se en sepa adas las
dos es ellas. Debido a que oma alo es muy pequeños, es habi ual da es a coo denada
en segundos de a co. Ilus amos ambas en la Figu a 5.
Es ellas bina ias espec oscópicas: son es ellas bina ias en las que sus dos compo-
nen es es án an p óximas en e sí que no pueden se esuel as po la is a, y en su mayo ía
ni siquie a usando pode osos elescopios. Exis e un ipo de bina ias espec oscópicas, las
llamadas bina ias espec o-in e e omé icas, pa a las que sí exis en écnicas que pe mi en
desdobla su ca ác e doble. El ca ác e doble de las bina ias espec oscópicas puede es-
ablece se po el desplazamien o Dopple -Fizeau de sus líneas espec ales. Una b e e
explicación de en qué consis e es la siguien e: como ambas componen es del pa es ela
es án desc ibiendo una ó bi a espec o al cen o de masas de sis ema, cada una de ellas
xxii INTRODUCCIÓN
es á alejándose y ace cándose pe iódicamen e al obse ado . En consecuencia, las líneas
espec ales se desplazan en el espec o espec o a una posición que se co esponde a la del
eposo ela i o. La longi ud de onda de una aya epec al, λ0, iene dada po λ0=λ(1+ V
c);
donde ces la elocidad de la luz, V la componen e adial de la elocidad (en la di ección
del obse ado ) del ec o elocidad del sis ema con espec o al Sol y λla longi ud de
onda ecibida o medida en el espec óme o. Po con enio, conside amos V posi i a cuando
exis e alejamien o (en onces λ0> λ), y nega i a en caso de ace camien o (luego λ0< λ). En
el p ime caso las líneas espec ales se desplazan hacia el ojo, y en el segundo caso hacia
el iole a. Dicho es o, si ambas es ellas del pa no ienen una di e encia muy p onunciada
en su luminosidad, podemos di e encia en el espec o líneas co espondien es a las dos
es ellas y, po an o, cuando las de una componen e se desplazan hacia el ojo, las de la
o a lo hacen hacia el iole a.
Es ellas bina ias eclipsan es o o omé icas: son es ellas bina ias cuyo plano
o bi al es á o ien ado p óximo al plano de isión del obse ado , de al o ma que desde
nues a pe spec i a se p oducen eclipses en e ellas, que pueden pa ciales o o ales. Su
de ección se basa en la búsqueda de pa ones en las cu as de luz que ecibimos de las
mismas. En una bina ia eclipsan e, la cu a de luz debe ene dos mínimos, el p incipal y
el secunda io.
Aunque es a clasi icación de las es ellas dobles es la dada de mane a clásica, g acias a
las mode nas écnicas de isualización, podemos ene sis emas es ela es que pe enezcan a
los dos o incluso a los es ipos. Hay un ipo de es ellas dobles, aquellas cuyas sepa aciones
angula es son muy pequeñas, que se conocen como dobles ce adas (o con el é mino
inglés close doubles). Sea cual sea el ipo al que pe enezcan, lo esencial es que cualquie
sis ema es ela doble encaja pe ec amen e en El P oblema de los Dos Cue pos.
0.4.1. Elemen os o bi ales un Sis ema Bina io
Cuando in en amos es udia un sis ema es ela doble, se a a de de e mina cie os
pa áme os que denominamos elemen os o bi ales, cuyo cálculo nos pe mi e ob ene
masas y dis ancias es ela es. Vamos a supone que es amos an e una bina ia isual (pues
si es de o o ipo a ía la o ma en la que omamos los ejes del sis ema de e e encia, pe o
el p ocedimien o es análogo). Empecemos in oduciendo un sis ema de e e encia espacial
dex ógi o que llama emos obse able, (−→
s1,−→
s2,−→
s3), al que el ec o −→
s3es á en la di ección
de la isual, desde la es ella p incipal hacia el obse ado ; el ec o −→
s1es la di ección a
0.5. MAGNITUD DE UNA ESTRELLA xxiii
pa i de la cual se miden los ángulos de posición (di ección No e) y −→
s2=−→
s3×−→
s1. En
consecuencia, el plano −→
s1−→
s2es el que con iene la ó bi a apa en e.
El conjun o de elemen os o bi ales de un sis ema bina io es una 7-upla de alo es
(P, T, e, a, I, Ω, ω)medidos sob e la ó bi a ela i a y de inidos como sigue:
P: pe íodo o bi al (años).
T: época de paso po el pe ias o (años).
e: excen icidad de la elipse.
a: semieje mayo de la elipse.
I: inclinación. Es el ángulo died o o mado po los planos de la ó bi a ela i a y apa-
en e. Se á I∈[0,90o)si el mo imien o es di ec o y I∈(90o,180o]si el mo imien o es
e óg ado.
Ω: ángulo del nodo. Es el ángulo o mado po la di ección No e con la línea de los
nodos (in e sección de los planos de las ó bi as ela i a y apa en e). De inimos los nodos
como la in e sección de la línea de los nodos con la p opias ó bi as apa en e y ela i a. Po
con enio se oma Ωen el in e alo [0,180o)mien as no se pueda p ecisa con medidas de
elocidad adial. Se cuen a en sen ido di ec o sob e el plano de la ó bi a apa en e.
ω: a gumen o del pe ias o. Es al ángulo medido sob e la ó bi a ela i a y que a desde
la posición del nodo has a el pe ias o. Se cuen a en el sen ido del mo imien o.
Es inmedia o p oba que al habe elocidad a eola cons an e en la ó bi a ela i a,
ambién la enemos en la ó bi a apa en e.
0.5. Magni ud de una es ella
Pa a cuan i ica el b illo de las es ellas se usa lo que denominamos magni ud. No
en a emos en de alles sob e la de inición de es a can idad. Nos con o ma emos con sabe
que su alo es an o mayo cuan o meno es el b illo de la es ella. Además, la magni ud
se puede medi en cie o ango de longi udes de onda, como puede se el espec o isible,
o en odo el ango espec al, de iniendo lo que se llama magni ud bolomé ica. Una
amplia explicación sob e es e pa áme o, así como sob e odo lo ela i o a es ellas dobles
y al pa alaje es ela , se puede encon a en Abad e al. 2002 [1].
6CAPÍTULO 1. LA MISIÓN GAIA
de dos ca álogos es ela es, el Tycho-Gaia As ome ic Solu ion (TGAS) y el Gaia
Da a Release 1 Ca alogue (GDR1C). El p ime ca álogo con iene ap oximadamen e 2
millones de sou ces y iene como obje i o iden i ica los obje os que ha de ec ado Gaia en
sus p ime as obse aciones con dos ca álogos p e ios, el Tycho-2 (basado en el sa éli e
Hippa cos) y el p opio Hippa cos. Pa a es o o ece una columna con los iden i icado es
de los sou ces en el ca álogo Hippa cos y o a con los mismos en el ca álogo Tycho-2.
El segundo ca álogo, GDR1C, con iene ap oximadamen e 1140 millones de sou ces. Los
p incipales con enidos de GDR1 son: posiciones pa a los sou ces de los dos ca álogos y
can idades as omé icas pa a los sou ces del TGAS.
GDR2 se e ie e a la segunda publicación de da os de Gaia. Co esponde a obse a-
ciones lle adas a cabo en e Julio de 2014 y Mayo de 2016. Publicado en Ab il de 2018,
cons a de un ca álogo, el Gaia Da a Release 2 Ca alogue (GDR2C). És e con iene
ap oximadamen e 1700 millones de sou ces, dando in o mación ace ca de sus magni udes
as omé icas, elocidades y o as muchas p opiedas como la empe a u a, el colo , e c. En
la Tabla 1.1 se de allan las cues iones an e io es.
Publicación Ca álogo Núme o de sou ces Núme o de columnas
GDR1 TGAS 2057050 59
GDR1C 1140622719 57
GDR2 GDR2C 1692919135 96
Tabla 1.1: In o mación ela i a a los ca álogos de Gaia.
Ninguno de los es ca álogos an e io es es capaz po sí sólo de desdobla es ellas
dobles, en el sen ido de que cada sou ce debe se a ado indi idualmen e. És e pod ía
cons i ui , po an o, una única es ella, un sis ema es ela u o o obje o cualquie a. Si
el sa éli e de ec a un sis ema es ela , lo aduce como un único sou ce, y és a es la única
in o mación que se ob end á en es os es p ime os ca álogos. Fu u as publicaciones de
da os esol e án es a cues ión. A su ez, el sa éli e necesi a sabe con cie a «segu idad»
que un de e minado sou ce cons i uye un sis ema es ela an es de asnmi i la in o mación.
És o ha sido implemen ado en los algo i mos del DPAC. Po o a pa e, los iden i icado es
en GDR1C y GDR2C se án en p incipio di e en es, es deci , un de e minado sou ce que en
GDR1C iene un núme o de iden i icación, puede o ma pa e de GDR2C con o o núme o
de iden i icación. Se puede ob ene una desc ipción comple a del p oceso de iden i icación

1.3. CATÁLOGOS DE GAIA Y LENGUAJE DE CONSULTAS 7
de sou ces en A enou el al. (2017) [2] pa a GDR1, y en A enou e al. (2018) [3] pa a
GDR2.
Los ca álogos es ela es an e io es, y los que se publica án en un u u o p óximo, se
pueden consul a en la página web de la ESA, conc e amen e en el Gaia A chi e (GA)
[20], sección dedicada exclusi amen e a los da os ecogidos po Gaia y a su p ocesamien o.
1.3.2. Lenguaje ADQL
Debido a la eno me can idad de da os almacenados en los ca álogos es ela es de las
publicaciones GDR1 y GDR2, es impensable ene gua dados odos los da os en un único
a chi o. La ESA u iliza una base de da os ex e na pa a el almacenamien o de los mismos. A
a és del GA, cualquie usua io puede ealiza consul as y ob ene los esul ados ela i os
a los sou ces que cumplen una de e minada condición y a las p opiedades de és os que más
in e esan. El lenguaje de consul as se denomina As onomical Da a Que y Language
(ADQL), y es una a ian e pa a As onomía del amoso lenguaje de consul as S uc u ed
Que y Language (SQL). Las es sen encias p incipales de ambos son SELECT, donde
se indican las a iables que nos in e esa selecciona del ca álogo es ela , FROM, donde
se indica el ca álogo es ela de donde que emos ex ae los da os, y WHERE, donde se
dan cie as condiciones que que emos que cumplan nues os da os de salida. El a chi o de
salida end á el mismo o ma o que el ca álogo del cual ha sido ex aído. Una explicación
de allada del uncionamien o de es e lenguaje de consul as iene dada en el mismo GA
(apa ado de ayuda). Ilus amos, a modo de ejemplo, una consul a conc e a ealizada en
el GA, a segui :
SELECT pa allax, a, dec
FROM gaiad 1. gas_sou ce
WHERE pa allax < 0.001
La consul a an e io pide los pa alajes, ascensión ec a y declinación de los sou ces del
ca álogo TGAS que e i ican que su pa alaje es meno que 0.001 mas.
1.3.3. C oss-ma ch
Aunque los ca álogos de Gaia son en sí mismos una pode osa he amien a pa a la
in es igación as onómica, es su combinación con o os ca álogos conocidos lo que e da-
de amen e pe mi e exp imi odo su po encial. Aquí es donde su ge el concep o de c oss-
ma ch.
8CAPÍTULO 1. LA MISIÓN GAIA
Un c oss-ma ch (XM) en e dos ca álogos es ela es es un p ocedimien o que pe mi e
iden i ica sou ces de ambos ca álogos. En líneas gene ales, los pasos a segui pa a ealiza
un XM son los siguien es:
1) Se pa e de un ca álogo es ela , llamado ca álogo es ela base, del cual se quie en
iden i ica sus sou ces con o o ca álogo es ela , llamado ca álogo es ela de llegada.
2) Se de ine un algo i mo ap opiado pa a asocia , en caso de que sea posible, a cada
sou ce del ca álogo base un conjun o de posibles equi alen es en el ca álogo de llegada.
3) Se de ine o o algo i mo pa a decidi , en e el conjun o de posibles candida os, el
que iene más p obabilidad de «se » el sou ce del que se pa e.
El p ocedimien o es muy complejo y equie e oma cie as hipó esis iniciales pa a
desa olla el algo i mo. Exis en dis in os en oques pa a ealiza lo.
El DPAC ha ealizado di e sos XM en e los ca álogos es ela es más amosos en el
mundo de la As onomía y los ca álogos GDR1C y GDR2C; aunque oda ía ninguno
en e es os dos úl imos. Los de alles de como han sido ealizados los XM que in oluc an a
GDR1C y a GDR2C pueden encon a se, espec i amen e, en Ma ese e al. (2017) [16] y
Ma ese e al. (2019) [17]. El XM es, pues, un elemen o cla e cuando se a a de «c uza »
in o mación en e a ios ca álogos es ela es. Una si uación habi ual en la que se ecu e a
él es cuando enemos un de e minado conjun o de es ellas en un ca álogo y necesi amos
conoce ace ca de ellas una p opiedad sob e la que el ca álogo dado no in o ma, pe o sí lo
hace o o.
1.4. Códigos de R y consul as ADQL
En los análisis es adís icos sucesi os se usa á el so wa e lib e R. Pa a pe mi i una
lec u a más cómoda, sólo amos a inclui en los capí ulos de alles ele an es del código de
R que ha sido u ilizado pa a ob ene los esul ados. Una pun ualización que hacemos es
que, cuando u ilizemos conjun amen e da os ela i os a la misma medida pe o en dis in os
ca álogos, edonde amos al núme o de ci as decimales del alo que menos ci as decimales
posea. El código comple o de R usado en cada sección, así como la co espondien e salida,
se encuen a en el Apéndice B. De igual o ma, son necesa ias a ias consul as ADQL y
SQL con el obje i o de ob ene los da os ap opiados. És as ambién se án incluidas en el
Apéndice B.
Capí ulo 2
Es udios de comple i ud y con as es
de dis ibuciones
2.1. In oducción
Una mane a sencilla de ene una idea de la comple i ud de un ca álogo es ela ecién
publicado consis e en oma o o ca álogo es ela ya alidado como auxilia y es udia que
p opo ción de obje os de es e ca álogo apa ecen en el p ime o. Al habla de comple i ud
nos e e imos, pues, a la p opo ción de objec os que un ca álogo ha sido capaz de de ec a
omando cie o conjun o como e e encia. Lo que p e endemos hace aho a es, de alguna
mane a, medi la esolución angula que han enido los elescopios del sa éli e Gaia en lo
que espec a a las obse aciones ela i as a los dos p ime os ca álogos lanzados, el GDR1C
y el GDR2C. Al habla de esolución angula nos es amos es ingiendo a las es ellas
dobles y a su sepa ación angula ρ, concep o que ya ha sido explicado p e iamen e. No se
a a, po an o, de un análisis de comple i ud global, sino que que emos e la capacidad
de de ección del sa éli e en unción de la sepa ación angula en e el pa es ela . Aunque,
como ya hemos dicho, no hay in o mación ace ca del ca ác e múl iple de los sou ces
en es os dos p ime os ca álogos, conside a emos que una doble ha sido de ec ada en los
mismos si exis e en ellos un sou ce que se iden i ica con una doble del ca álogo auxilia .
La sepa ación angula , po o a pa e, es a iable, pues como ya hemos is o es amos
an e ó bi as elíp icas, pudiendo cambia no ablemen e en unción de la excen icidad. Sin
emba go, es habi ual en los ca álogos de es ellas dobles da únicamen e un alo de ρ, la
mayo ía de los casos pa a una época de e minada de obse ación que apa ece especi icada,
sesgo que end emos que asumi .
¿De ec a án las p ime as obse aciones de Gaia mejo las es ellas dobles que es án
9
10 CAPÍTULO 2. COMPLETITUD Y CONTRASTES
Figu a 2.1: Tabla del ca álogo DMSA.
muy p óximas?, ¿po el con a io, se á el sa éli e capaz de dis ingui mejo las es ellas
que es án muy sepa adas?, ¿o nos encon a emos con un ni el de de ección simila en
ambos casos?. A con inuación in en amos da espues a a es a cues ión.
2.2. Toma de da os y il ado del DMSA pa a los análisis de
comple i ud
Nues o análisis a a se lle ado a cabo omando como auxilia el ca álogo Double and
Mul iple Sys em Annex (DMSA), p oducido po el sa éli e Hippa cos. El DMSA es un
ca álogo únicamen e de sis emas es ela es dobles y múl iples, como su nomb e indica, y
ha sido ampliamen e es udiado. Es e ca álogo es á disponible en o ma de abla en la base
de da os as onómica VizieR, de lib e acceso. Su o ma o es el siguien e: cada ila de la
abla se co esponde con una es ella pe enecien e a cie o sis ema es ela , y las es ellas
del mismo sis ema es ela se encuen an con iguas en la abla. La abla comple a iene
24588 ilas. Cada columna de la abla se co esponde, como en los ca álogos de Gaia, con
cie a p opiedad de cada es ella. El núme o o al de columnas de la abla es 39. La base
de da os pe mi e al usua io desca ga el ca álogo seleccionando el núme o de ilas deseado,
así como las columnas que más in e esen. Las es ellas que o man pa e del mismo sis ema
es ela son aquellas que ienen el mismo iden i icado en la columna CCDM. Ilus amos
una pequeña pa e de es a abla en la Figu a 2.1. En és a ya han sido elegidas las columnas
que amos a conside a al desca ga el a chi o comple o, que son las que podemos necesi a
pa a lle a a cabo nues o análisis ac ual o pos e io es. Las desc ibimos a con inuación:
2.2. TOMA Y FILTRADO DE DATOS 11
CCDM : Son las siglas del Ca alog o Componen s o Double & Mul iple s a s
publicado en Dommange & Nys (2000) [8]. El núme o se co esponde con las coo denadas
ecua o iales absolu as ap oximadas del sis ema pa a el equinoccio 2000.0 en o ma o ho as
minu os y décimas de minu os +- g ados y minu os (sexagesimales).
QUAL: iabilidad del sis ema es ela . Es una a iable que ma ca «en qué medida» po-
demos es a segu os de que el sis ema es ela n-componen e de ec ado cons i uye ealmen e
al sis ema es ela . Toma 4 alo es: A, B, C, D, co espondien es a las ca ego ías «bueno»,
«acep able», «pob e» e «incie o», espec i amen e.
Ncomp: núme o de componen es del sis ema es ela .
Npa m: núme o de pa áme os lib es. Se in e p e a como el núme o de obse aciones
que el sa éli e ha ealizado de un sis ema es ela comple o.
Nco : núme o de egis os de co elaciones.
comp_id: iden i icación de componen e en el sis ema. Va omando los alo es A, B, C...
con signi icado es ella p incipal, es ella secunda ia, es ella e cia ia... El ca álogo oma
como p incipal la es ella más b illan e, como secunda ia la segunda más b illan e... y así
sucesi amen e.
HIP: núme o de iden i icado en el ca álogo Hippa cos.
Hpmag: magni ud isual apa en e, co espondien e a longi udes de onda en e 500 y
600 nm (mag). Es una medida que indica el g ado de b illo en el ango isual que ecibimos
de una es ella en la Tie a. Se mide en unidades de magni ud isual apa en e.
RAICRS: ascensión ec a pa a el equinoccio 1991.25 (g ados sexagesimales).
DEICRS: declinación pa a el equinoccio 1991.25 (g ados sexagesimales).
Plx: pa alaje (mas).
he a: ángulo de posición (g ados sexagesimales).
ho: sepa ación angula (segundos de a co).
_RA.ic s: ascensión ec a pa a el equinoccio 2000.0 (g ados sexagesimales).
_DE.ic s: declinación pa a el equinoccio 2000.0 (g ados sexagesimales).
En la abla de ejemplo ya se puede e un p ime p oblema con el que end emos que
en en a nos en el a amien o de los da os, pues, como emos, en el caso de sis emas
es ela es dobles, los alo es del ángulo de posición y sepa ación angula sólo apa ecen en

12 CAPÍTULO 2. COMPLETITUD Y CONTRASTES
Figu a 2.2: A chi o de ex o.
la segunda ila de cada pa .
Lo p ime o que amos a hace es desca ga desde VizieR el ca álogo comple o ( odas las
ilas) con las columnas que hemos mencionado an e io men e. Lo desca ga emos en o ma
de ex o plano, de o ma que luego lo podamos pasa ácilmen e a un . x y usa la unción
ead. able de R, que pe mi e ca ga los da os desde un iche o . x de una mane a bas an e
amigable. Con unos comandos básicos del edi o de ex o, lo que hacemos es comple a
a ce o los alo es acíos de las columnas he a y ho. Finalmen e, enemos un a chi o de
da os, llamado da os_dmsa. x , ácilmen e a able con R y que p esen a el aspec o de la
Figu a 2.2. Nos e e i emos a es e ipo de a chi os, una ez que los hemos ca gado con R,
como da a ames.
Aho a, como hemos dicho, amos a ca ga los da os y a comp oba que la consola nos
los ha ca gado bien, comp obando que el da a ame enga 24588 ilas y 15 columnas. A
con inuación, le ponemos nomb e a las columnas con la unción colnames. El comando head
si e pa a ob ene una isión limpia de cuan as ilas del da a ame que amos, pa áme o
que le en a como a gumen o.
> da os_dmsa<- ead. able("da os_dmsa. x ", heade =FALSE)
> n ow(da os_dmsa)
[1] 24588
> ncol(da os_dmsa)
[1] 15
colnames(da os_dmsa)<-c("CCDM", "Qual", "Ncomp", "Npa m",
"Nco ", "comp_id", "HIP",
2.2. TOMA Y FILTRADO DE DATOS 13
"HPmag", "RA", "DE", "pa allax",
" he a", " ho", "RA2000", "DE2000")
> head(da os_dmsa, 2)
CCDM Qual Ncomp Npa m Nco comp_id HIP
1 00003-4417 A 2 11 1 A 25
2 00003-4417 A 2 11 1 B 25
HPmag RA DE pa allax he a ho
1 6.894 0.07936537 -44.29030 13.74 0.0 0.000
2 7.551 0.07924029 -44.29021 13.74 315.8 0.463
RA2000 DE2000
1 0.07956353 -44.29056
2 0.07947489 -44.29047
Llegados a es e pun o, amos a ealiza la p ime a simpli icación en nues os da os.
Como nues o análisis a a es a cen ado en es ellas dobles, necesi amos elimina del
da a ame odas las ilas co espondien es a es ellas pe enecien es a sis emas es ela es de
más de dos componen es. Pa a ello u ilizamos la unción subse , que como emos iene una
sin axis bas an e in ui i a, pidiendóle a R que es inga nues o da a ame a aquellas ilas
donde Ncomp ≤2, ob eniendo un nue o da a ame, da os_dmsa_dobles, cuyos da os ya
es a án comple amen e es ingidos a es ellas dobles. Vemos que apenas se han eliminado
578 ilas espec o al da a ame an e io , es deci , la p opo ción de es ellas del DMSA que
pe encen a sis emas es ela es de más de 2 componen es es de menos del 3 %.
da os_dmsa_dobles<-subse (da os_dmsa, Ncomp<=2)
> n ow(da os_dmsa_dobles)
[1] 24010
Vamos a ene en cuen a aho a las ecomendaciones que da la ESA y usadas po A enou
e al. (2017) [2] (sección 4.4.2) en cuan o a los análisis de comple i ud de ca álogos es ela es
de es ellas dobles se e ie e, con el in de ob ene un análisis lo más exac o posible. Tales
son, desca a del ca álogo auxilia aquellos pa es de es ellas dobles cuya magni ud de
alguna de sus componen es sea mayo que una magni ud isual apa en e de 20, así como
aquellos pa es cuya sepa ación angula supe e los 10 segundos de a co. Decidimos desca a
ambíen aquellos sis emas es ela es que no posean una e ique a A o B en la columna Qual,
14 CAPÍTULO 2. COMPLETITUD Y CONTRASTES
quedándonos así con los pa es que son conside ados como iables de acue do con el ca álogo
auxilia . Son es, pues, los il ados a lle a a cabo.
Realizamos es os il ados, en los que aplicamos en e o as cosas a ios bucles y sen-
encias condicionales, y ob enemos el da a ame da os_dmsa_dobles_ il ados2. Además,
hemos adap ado es e da a ame pa a que cada ila se co esponda con una es ella doble,
conc e amen e con la componen e p incipal. Como hay solamen e un alo de ho pa a ca-
da sis ema doble, es o no supone pé dida de in o mación pa a nues o análisis. Es e úl imo
da a ame p esen a el aspec o siguien e.
> head(da os_dmsa_dobles_ il ados2, 2)
CCDM Qual Ncomp Npa m Nco comp_id HIP
2 00003-4417 A 2 11 1 B 25
4 00004-4711 A 2 9 1 B 37
HPmag RA DE pa allax he a ho
2 7.551 0.07924029 -44.29021 13.74 315.8 0.463
4 11.745 0.10532213 -47.17955 3.74 332.0 0.230
RA2000 DE2000
2 0.07947489 -44.29047
4 0.10529738 -47.17953
Como el obje i o, como se ha dicho al p incipio del capí ulo, es analiza la comple i ud
en unción de la sepa ación angula , necesi amos ag upa de alguna mane a los da os del
da a ame según pe enezcan a cie o in e alo de sepa aciones angula es ρ. Pa a es o
solamen e nos hacen al a dos columnas del da a ame, el iden i icado de Hippa cos Hip
y ho, po lo que gene amos un nue o da a ame es ingiendo el úl imo a es as dos únicas
columnas, llamado da os_dmsa_dobles_ il ados2_ educido, que es el que usa emos pa a
lle a a cabo nues o anáslisis. Habiendo desca ado an es los alo es de ho mayo es que
1000, p ocedemos a hace una pa ición del in e alo (0,10) (no hay ningún alo de sepa-
ación angula que sea exac amen e 1000, así que podemos conside a el in e alo abie o)
o mada po 50 in e alos con la misma longi ud, con la que analiza emos la comple i ud.
Gua damos los sis emas es ela es de nues o da a ame en sus in e alos co espondien es
en unción de su alo de ho. La lis a de 50 elemen os pa se á al que su componen e j
con end á los alo es de los Hip co espondien es a los pa es es ela es cuyo alo de ho cae
en el in e alo jde la pa ición. Rep esen amos inalmen e un his og ama del núme o de
es ellas con enido en cada in e alo de la pa ición, que podemos e en la Figu a 2.3. El
núme o mínimo de dobles con enidas en un in e alo es 24, lo que conside amos acep able
2.3. ANÁLISIS DE COMPLETITUD DE GDR1 Y GDR2 15
pa a lle a a cabo un análisis de p opo ciones. Además, podemos ap ecia cla amen e en
el his og ama que el núme o de es ellas a analiza en sepa aciones angula es pequeñas es
mucho mayo que en sepa aciones angula es g andes.
2.3. Análisis de comple i ud de GDR1 y GDR2
2.3.1. Análisis de comple i ud de GDR1
Accedemos aho a al GA, conc e amen e a GDR1. Una ez en él, accedemos al TGAS,
que es el ca álogo que con iene los iden i icado es de Hippa cos. La única mane a de c uza
in o mación en e GDR1 e Hippa cos es a a és del TGAS. Los sou ces de Hippa cos
que han sido de ec ados en GDR1 apa ecen en el TGAS. El iden i icado de Hippa cos
de cada sou ce del TGAS es el co espondien e a la columna hip. Lle amos a cabo 50
consul as ADQL, que consis i án en pedi que se nos de uel an, pa a cada conjun o de
iden i icado es de Hippa cos co espondien es a cada in e alo de la pa ición (cuyo núme o
de elemen os es á almacenado en el ec o o ales, o denado po in e alos), los que apa cen
en el TGAS. El núme o de ilas de cada a chi o de salida en cada consul a se á el núme o
de dobles p esen es en el TGAS (almacenado en el ec o encon ados, ambién o denado
po in e alos), pues cada iden i icado de Hippa cos se ha asociado a una única ila del
ca álogo de GDR1 en la consul a ADQL. La comple i ud en cada in e alo simplemen e
la ob enemos ealizando el cocien e en e el núme o de iden i icado es HIP que ha en ado
en la consul a ADQL y el núme o de ilas del co espondien e a chi o de salida. Una ez
enemos es os alo es, es amos en condiciones de ep esen a la comple i ud en e a la
sepa ación angula , que podemos e en la Figu a 2.4. Una p esen ación más de allada
es la dada en la Tabla 3.3, donde se p esen an los po cen ajes de comple i ud en cada
in e alo de sepa aciones angula es.
Como podemos obse a , el compo amien o gene al es que la comple i ud c ece a
medida que aumen a la sepa ación angula , eniendo una caída conside able po debajo de
sepa aciones de en e 1.5 a 2 segundos de a co. Es o concue da con lo que dicen Maka o
e al. (2017) [15], que ijan un lími e de 1.5 segundos de a co pa a la de ección de dobles
en GDR1. Po encima de es os alo es emos que lo habi ual es que GDR1 de ec e como
mínimo un 70% de dobles, llegando en muchos casos, pa a sepa aciones angula es po
encima de 5 segundos de a co, a supe a el 80 % . Hay un compo amien o algo ano mal en el
22 CAPÍTULO 2. COMPLETITUD Y CONTRASTES
In e alo (00) Comple i ud ( %) In e alo (00) Comple i ud ( %)
[0, 0.2) 55% [5.0, 5.2) 62%
[0.2, 0.4) 43% [5.2, 5.4) 72%
[0.4, 0.6) 42% [5.4, 5.6) 63%
[0.6, 0.8) 50% [5.6, 5.8) 68%
[0.8, 1.0) 55% [5.8, 6.0) 66%
[1.0, 1.2) 64% [6.0, 6.2) 75%
[1.2, 1.4] 65% [6.2, 6.4) 78%
[1.4, 1.6) 67% [6.4, 6.6) 70%
[1.6, 1.8) 67% [6.6, 6.8) 74%
[1.8, 2.0) 68% [6.8, 7.0) 51%
[2.0, 2.2) 67% [7.0, 7.2) 59%
[2.2, 2.4) 74% [7.2, 7.4) 68%
[2.4, 2.6) 63% [7.4, 7.6) 69%
[2.6, 2.8) 73% [7.6, 7.8) 70%
[2.8, 3.0) 70% [7.8, 8.0) 74%
[3.0, 3.2) 67% [8.0, 8.2) 63%
[3.2, 3.4) 66% [8.2, 8.4) 63%
[3.4, 3.6) 71% [8.4, 8.6) 70%
[3.6, 3.8) 71% [8.6, 8.8) 58%
[3.8, 4.0) 70% [8.8, 9.0) 51%
[4.0, 4.2) 56% [9.0, 9.2) 72%
[4.2, 4.4) 60% [9.2, 9.4) 63%
[4.4, 4.6) 62% [9.4, 9.6) 58%
[4.6, 4.8) 76% [9.6, 9.8) 63%
[4.8, 5.0) 71% [9.8, 10) 52%
Tabla 2.2: Comple i ud po in e alos de sepa ación angula en GDR2.

2.4. CONTRASTES DE DISTRIBUCIONES EN GDR2 23
Figu a 2.6: Comple i ud en e a sepa ación angula en ambas publicaciones. Los iángulos
azules co esponden a GDR2, mien as que los pun os ojos a GDR1.
24 CAPÍTULO 2. COMPLETITUD Y CONTRASTES
pa alaje es una a iable alea o ia unidimensional. Comencemos po los pa alajes, pues los
concep os se án más áciles de en ende en el caso uni a ian e.
Fijada una es ella doble, suscep ible de que su pa alaje sea medido an o po Hippa -
cos como po Gaia (medida ela i a a GDR2C), eamos lo que pasa con su di e encia de
pa alajes medidos. Las medidas del pa alaje de es a es ella en ambos sa éli es son sendas
a iables alea o ias unidimensionales (de las que se iene un alo mues al que es el alo
que apa ece en cada ca álogo), que además suponemos independien es, pues la medición
conc e a del pa alaje de un sis ema es ela po Hippa cos no in e ie e en la ob enida po
Gaia. Una explicación más de alla de es a independencia puede e se en Ma ese e al.
(2019) [17]. Deno emos pues, como ωGa la a iable alea o ia «medida del pa alaje de la
es ella ela i a a GDR2C» y como ωHa su análoga pa a Hippa cos. Su di e encia se á la
a iable alea o ia ∆ω=ωG−ωH. Suponemos que ambas a iables es án no malmen e
dis ibuidas con medias el pa alaje e dade o, que deno amos po ωT, y espec i as a-
ianzas σ2
ωGyσ2
ωH. Es a suposición es, como hemos is o en la sección 1.2.2, in ínseca al
p oceso de medida implemen ado en el sa éli e de Gaia, y lo mismo ocu e pa a Hippa cos;
se á de donde pa a nues o modelo. En Maka o e al. (2017) [15], Baile -Jones (2015)
[5], As aa madja & Baile -Jones (2016b) [4] o Lu i e al. (2018) [14] podemos e como
se hace uso de la misma.
Deno amos lo an e io como ωG∼N(ωT, σ2
ωG)yωH∼N(ωT, σ2
ωH). Los alo es de
las des iaciones ípicas σωGyσωH ienen dados en los ca álogos es ela es pa a cada sou -
ce. Necesi amos eco da aho a cie os esul ados básicos del análisis mul i a ian e. Los
ec o es se án en odo momen o ec o es columna.
Teo ema 2.1. Si Xes un ec o alea o io de dimensión m con dis ibución no mal mul-
i a ian e con ec o de medias µy ma iz de co a ianzas Σ(deno amos X∼Nm(µ, Σ) )
yCes una ma iz p×mde ango p, con p≤m, en onces:
CX ∼Np(Cµ, CΣC0)
Teo ema 2.2. Si X1,X2. . . Xmson a iables alea o ias no males uni a ian es y son
mu uamen e independien es, en onces el ec o alea o io (X1,X2,. . . ,Xm)0sigue
una dis ibución no mal mul i a ian e.
Si ol emos aho a a nues as a iables alea o ias, no emos que, po se ωGyωHinde-
2.4. CONTRASTES DE DISTRIBUCIONES EN GDR2 25
pendien es, el ec o (ωG, ωH)0se á un ec o alea o io con dis ibución no mal bi a ian e
po el Teo ema 2.2. Si omamos aho a en el Teo ema 2.1 la ma iz C= (1 −1), ob enemos
as cálculos i iales que ∆ω=ωG−ωH∼N(0, σ2
ωG+σ2
ωH). O o esul ado impo an e
que elaciona dis ibuciones es el siguien e.
Teo ema 2.3. Si X∼Nm(µ, Σ), en onces (X−µ)0Σ−1(X−µ)∼χm2, siendo χm2la
dis ibución chi cuad ado con m g ados de libe ad.
Dado la dis ibución de ∆ω, y el eo ema an e io , enemos que:
(∆ω−0)(σ2
ωG+σ2
ωH)−1(∆ω−0) = (ωG−ωH)2
σ2
ωG+σ2
ωH∼χ2
1
El hecho de que esa a iable alea o ia, que de aquí en adelan e deno a emos po V, siga
una dis ibución eó ica an sencilla es lo que nos a a pe mi i es udia el compo amien o
de los alo es mues ales, y es aquí donde a a apa ece el concep o de P obabili y-
P obabili y plo (P-P plo ). Hemos is o que la a iable alea o ia V iene esa dis ibución
eó ica y además se supone que end emos «muchos» alo es mues ales de esa a iable.
Es espe ado, en onces, que los alo es mues ales se compo en según esa dis ibución de
p obabilidad y lo que hace un P-P plo es analiza si ealmen e es así.
De mane a gene al, un P-P plo es un g á ico que ep esen a dos unciones de dis i-
bución cualesquie a, una en e a la o a ( eco demos que la unción de dis ibución de
una a iable alea o ia unidimensional Xes la unción que, pa a cada alo x, de uel e la
p obabilidad de que la a iable alea o ia ome un alo meno o igual que x). En onces,
dadas dos unciones de dis ibución FyG, de cie as a iables alea o ias, el P-P plo ep e-
sen a ía los pun os del plano de la o ma (F(z), G(z)), con z omando cualquie alo eal.
Po an o, se a a de un g á ico pa áme ico de dominio (−∞,∞)y de ango el cuad ado
unidad [0,1] ×[0,1], p oduc o de angos de dos unciones de dis ibucion a bi a ias.
El segmen o que enemos que oma como e e encia pa a la compa ación es el que
une los pun os (0,0) y(1,1), la diagonal del cuad ado unidad, pues es cla o que las dos
unciones de dis ibución son iguales si y sólo si el g á ico comple o cae sob e la diagonal.
Cualquie des iación indica di e encia en e las dis ibuciones.
Siguiendo es e azonamien o eó ico, un P-P plo ambién puede se u ilizado pa a
ealiza compa aciones en e dos mues as ( e si ambas mues as p oceden de una pobla-
ción con idén ica dis ibución), así como compa a una mues a en e a una dis ibución
26 CAPÍTULO 2. COMPLETITUD Y CONTRASTES
eó ica. Es e e ce caso es el que nos ocupa.
Hemos is o que la a iable V=(ωG−ωH)2
σ2
ωG+σ2
ωH
posee la dis ibución dada χ2
1. Si e aluamos
los alo es de la misma que cada es ella nos p opo ciona, end íamos una mues a de es a
a iable V, suscep ible de se en en ada en un P-P plo en e a la dis ibución eó ica χ2
1,
pudiendo ex ae aliosas conclusiones según sea el compo amien o del g á ico. La idea
es la siguien e: enemos m alo es mues ales de V:V1, . . . , Vm; o denamos es os alo es,
ob eniendo la mues a o denada V(1), . . . , V(m), con V(1) ≤. . . ≤V(m). De inimos aho a
la unción de dis ibución mues al ( ambién conocida como unción de dis ibución
empí ica) Fm, que nos p opo ciona, pa a cada elemen o de la mues a, la ecuencia ela i a
de los da os mues ales que son meno es o iguales que és e. Es deci , se á al que Fm(V(i)) =
i
m. Si χes la unción de dis ibución de χ2
1, los pun os a ep esen a ienen dados po el
conjun o {χ(V(i)), Fm(V(i))}, pa a i= 1, . . . , m. Si el conjun o de es os pun os cae «ce ca»
de la diagonal, acep amos que la dis ibución de la mues a coincide con la eó ica, mien as
que si ocu e lo con a io, end emos una disc epancia en e la dis ibución eó ica y la
mues al, es ando obligados a analiza las causas de es e desajus e, que pueden se a ias.
E iden emen e, exis en a ios es s que miden «a pa i de cuándo» podemos conside a
que hay disc epancia, siemp e ijando un ni el de signi icación, cla o es á. Aplica emos
algún es conc e o más adelan e.
Las o as dos can idades as omé icas que enemos son los mo imien os p opios y las
posiciones, que son ec o es alea o ios bidimensionales. Escogemos los mo imien os p opios
pa a hace el análisis, siendo análogo pa a las posiciones. Razonando como en la si uación
p e ia, supongamos que enemos sendos ec o es independien es, uno ep esen ando la
medida del mo imien o p opio de una es ella dada lle ada a cabo po el sa éli e de Gaia
y o a po Hippa cos, es deci , pg= (µα∗, µδ)0yph= (µα∗, µδ)0y conside amos el ec o
alea o io, ambién bidimensional, de inido po las di e encias en e ellos ∆p=pg−ph=
(µα∗−µα∗, µδ−µδ)0. Supongamos aho a que pgyphson no males bidimensionales con el
mismo ec o de medias, el alo del mo imien o p opio eal, digamos pT, y con ma ices
2×2de co a ianzas espec i as CgyCh. En nues a no ación, pg∼N2(pT, Cg)yph∼
N2(pT, Ch).
Encon a una dis ibución sob e la que apoya se no es aquí an ácil como en el caso
unidimensional de los pa alajes, y necesi amos ecu i a o o concep o básico en Es adís-
ica, que in oducimos a con inuación.
De inición 2.4. Se llama unción gene ado a de momen os de una a iable alea o ia
2.4. CONTRASTES DE DISTRIBUCIONES EN GDR2 27
Xcon unción de dis ibución Fa la unción eal MX( ) = E(e X ), (donde Edeno a el
ope ado espe anza), siemp e que al espe anza sea ini a. Análogamen e, si X es un ec o
alea o io, se de ine su unción gene ado a de momen os usando el p oduc o escala , como
MX( ) = E(e 0X). Aho a el domino se á ec o ial.
Reco damos que la unción gene ado a de momen os, en caso de exis i , es única, y
además ca ac e iza la dis ibución de p obabilidad del ec o alea o io. Enunciamos o os
dos esul ados impo an es ela i os a la unción gene ado a de momen os.
P oposición 2.5. Si XeYson ec o es alea o ios independien es, en onces MX+Y( ) =
MX( )MY( )
P oposición 2.6. Si Xes un ec o alea o io con dis ibución no mal m−dimensional
con ec o de medias µy ma iz de co a ianzas Σ, en onces su unción gene ado a de
momen os es MX( ) = exp( 0µ+1
2 0Σ )
Aho a el obje i o es aplica las conside aciones an e io es al ec o ∆p. Po de ini-
ción, es e ec o es la di e encia de dos a iables alea o ias no males bi a ian es con los
pa áme os dados, que además son independien es. Teniendo en cuen a es o, la P opo-
sición 2.5 y que −ph∼N2(−pT, Ch), la unción gene ado a de momen os de ∆pse á
M∆p( ) = Mpg( )M−ph( ). Aho a, aplicando la P oposición 2.6, enemos que M∆p=
exp( 0pT+1
2 0Cg ) exp(− 0pT+1
2 0Ch ) = exp(1
2 0(Cg+Ch) ), que es, p ecisamen e, la un-
ción gene ado a de momen os de una dis ibución no mal bidimensional, con ec o de me-
dias nulo y ma iz de co a ianzas Cg+Ch, que deno amos po C. Es deci , ∆p∼N2(−→
o , C).
Finalmen e, el Teo ema 2.3 nos pe mi e concluí que ∆0
p(Cg+Ch)−1∆p∼χ2
2, siendo
χ2
2la dis ibución chi cuad ado con 2 g ados de libe ad. Deno amos po Wa es a a iable
alea o ia. Nue amen e, nos encon amos con una dis ibución sencilla con la que ealiza
un con as e con un P-P plo , de o ma análoga a como lo hemos explicado an es.
2.4.2. Da os pa a los con as es de dis ibuciones
Los da os que amos a usa son los co espondien es a las componen es de sis e-
mas dobles ex aídas del DMSA u ilizadas en las secciones an e io es, después de ha-
be les aplicado el e ce il ado que se desc ibe en la sección 2.2. El da a ame es da-

28 CAPÍTULO 2. COMPLETITUD Y CONTRASTES
os_dmsa_dobles_ il ado_ educido. Pa a nues o análisis amos a necesi a cie as a ia-
bles que ma can la co a ianza en e pa áme os, y és as no apa ecen como a iables en el
ca álogo DMSA, po lo que end emos que desca ga es os da os del a chi o p incipal del
ca álogo Hippa cos y hace la iden i icación u ilizando los núme os HIP ( eco demos que
el DMSA es un suplemen o del ca álogo Hippa cos).
Lo p ime o que hacemos es u iliza el XM de Hippa cos con el ca álogo GDR2C e
iden i ica cuáles de nues as dobles del DMSA se encuen an en GDR2C. La consul a
ADQL se á la misma que las que hemos hecho an es di e enciando los iden i icado es de
Hippa cos según a qué in e alo de sepa aciones angula es pe eneciesen, sólo que aho a
los in oducimos odos en una única consul a. Pedimos como a iables de salida los mismos
iden i icado es de Hippa cos y los iden i icado es sou ce_id de GDR2C. El obje i o es ene
un da a ame de dos columnas, que nos si a pa a iden i ica los mismos pa es en ambos
ca álogos, y que usa emos como «puen e». És e es gd 2_hipp.
Necesi a emos en es e momen o los alo es de la columna de iden i icado es en GDR2C,
los sou ce_id, pa a pode ealiza una nue a consul a ADQL pa a conoce los alo es de
nues as es can idades as omé icas, que se encuen an en el ca álogo p incipal. Además,
el p opio GDR2C ambién nos pe mi e conoce los alo es de las des iaciones ípicas de
cada pa áme o, y las co elaciones en e ellos. Reco demos que los pa áme os as óme i-
cos que es amos es udiando son cinco: αyδ, que de inen la posición; µα∗yµδ, que de inen
el mo imien o p oio, y el pa alaje ω, siemp e e e idas a un sou ce y a un sa éli e conc e-
o. Po an o, podemos esumi oda la a iabilidad as omé ica de un sou ce en 15
can idades: las a ianzas de cada uno de es os pa áme os y las 10 co a ianzas exis en es
en e cada posible pa . Muchas eces, como podemos e en Maka o e al. (2017) [15],
se da es a in o mación en una ma iz 5×5simé ica, que con iene odos es os alo es.
Pa a ob ene la ma iz de co a ianzas ela i a a los pa áme os que nos in e esen no hay
más que oma la subma iz adecuada. Tene oda la in o mación as omé ica de un
sou ce ela i a a un ca álogo implica conoce los 5 pa áme os que de inen las magni udes
as óme icas y los 15 que de inen la a iabilidad en e ellas, en ese ca álogo; es deci , 20
can idades.
Habiendo ealizado las consul as ADQL necesa ias y as a ios p ocesos de il ado,
en los que eliminamos las es ellas de las que no se dispone del alo de cie os pa áme os,
gua damos oda la in o mación as omé ica de nues as es ellas ela i a a GDR2C y
ela i a a Hippa cos en un único da a ame, que hemos enido que ob ene median e
un p ocedimien o muy cuidadoso. Es e úl imo con iene in o mación ela i a a 2045 pa es
2.4. CONTRASTES DE DISTRIBUCIONES EN GDR2 29
es ela es.
2.4.3. Con as e de dis ibución pa a los pa alajes
Pa a lle a a cabo es e p oceso amos a usa el da a ame pa allax_da a, ex aído del
o al, y que con iene la in o mación as omé ica ela i a a los pa alajes. Es e da a ame
p esen a la siguien e es uc u a:
> head(pa allax_da a, 3)
HIP Plx e_Plx sou ce_id pa allax pa allax_e o
1 40 -3.40 4.25 5.285634e+17 1.0788363 0.05140893
2 229 2.16 2.57 3.872488e+17 3.8659872 0.05280850
3 250 5.19 1.99 3.957315e+17 0.8343263 0.31346937
Pa a cada doble, Plx se co esponde con ωH,e_Plx se co esponde con σωH,pa allax
se co esponde con ωGypallax_e o con σωG. Teniendo en cuen a eso y que lo que
que emos con as a es que los alo es mues ales de Vp oceden de una dis ibución χ2
1,
el siguien e código nos da á un P-P plo ela i o a los pa alajes basándonos en los 2045
alo es mues ales. Hemos espe ado en la medida de la posible la no ación usada en la
sección 2.4.1.
> omega_h <- pa allax_da a$Plx
> omega_g <- ound(pa allax_da a$pa allax, 2)
> sigma_h <- pa allax_da a$e_Plx
> sigma_g <- ound(pa allax_da a$pa allax_e o , 2)
> a _h <- sigma_h^2
> a _g <- sigma_g^2
> ec o _mues al <- (omega_g-omega_h)^2/( a _g+ a _h)
> ec o _mues al1 <- so ( ec o _mues al)
> disc e o <- seq(1, 2045)
> acumulado <- disc e o/2045
> pun os <- pchisq( ec o _mues al1, d =1)
> x <- seq(0, 1, leng h=10)
> y <- x
> plo (acumulado ~ pun os, ype=’l’, main="P-Pplo pa a los pa alajes"
30 CAPÍTULO 2. COMPLETITUD Y CONTRASTES
Figu a 2.7: P-P plo co espondien e a la a iable V.
+ , xlab="Funcion de dis ibución eo ica",
+ ylab="Funcion de dis ibucion mues al")
> poin s(x,y, ype=’l’, col=’blue’)
La idea es la siguien e:
1) Calculamos los m= 2045 alo es mues ales de Vy los o denamos, gene ando el
conjun o V(1), ..., V(m).
2.4. CONTRASTES DE DISTRIBUCIONES EN GDR2 31
2) Calculamos la unción de dis ibución mues al en es os alo es. Es os alo es de la
unción de dis ibución mues al se án 1
m,2
m··· ,1.
3) Calculamos la unción de dis ibución de χ2
1en cada uno de los alo es mues ales
o denados, usando el comando pchisq, al que se le indican los g ados de libe ad.
4) Rep esen amos los pun os del conjun o {χ(V(i)), Fm(V(i))}, pa a i= 1,...,2045.
El P-P plo ob enido es el que se mues a en la Figu a 2.7
A simple is a, pa ece que hay una des iación en e la dis ibución eó ica y la dis i-
bución mues al, sob e odo en lo que espec a a la pa e supe io del g á ico. De odas
o mas, pa a «medi » esa des iación, amos a u iliza un es de Kolmogo o -Smi no
(KS). Es e es oma como hipó esis nula que la e dade a dis ibuciónde de la que han
sido ex aídos los da os es una χ2
1y como hipó esis al e na i a que és os p o ienen de
cualquie o a dis ibución. La salida del es es lo que llamamos p- alo , que se puede
in e p e a como el mayo ni el de signi icación que nos pe mi e acep a la hipó esis
nula. Es deci , un p- alo muy pequeño nos indica que debemos echaza la hipó esis nula.
En R, la sen encia pa a es e es es ks. es , y iene como a gumen os de en ada el ec o
mues al a con as a y la dis ibución espec o a la cual que emos hace el con as e. Una
jus i icación eó ica sob e es e es se puede encon a en Vélez Iba ola & Ga cía Pé ez
(1997) [19] (pág 454).
> ks. es ( ec o _mues al1, "pchisq", 1)
One-sample Kolmogo o -Smi no es
da a: ec o _mues al1
D = 0.042124, p- alue = 0.00141
al e na i e hypo hesis: wo-sided
La salida de R nos de uel e un p- alo de 0.00141. Es o nos dice que hay p uebas
signi ica i as pa a echaza la hipó esis nula. Luego, la conclusión es que los da os no
p o ienen de la dis ibución eó ica dada. Tend emos que o bien busca una causa pa a
explica es a des iación o bien cues iona el modelo de pa ida. Vamos a in en a lo p ime o.
Obse amos en el g á ico que, pa a ap oximadamen e el 70 % de los alo es o denados
38 CAPÍTULO 2. COMPLETITUD Y CONTRASTES
> head(p ope _mo ion_da a, 2)
HIP sou ce_id pm a pmdec pm a_e o
1 40 5.285634e+17 -1.721576 -2.388676 0.07204935
2 229 3.872488e+17 18.683311 -4.237698 0.07839015
pmdec_e o pm a_pmdec_co pmRA pmDE e_pmRA
1 0.08050603 -0.2809894 -2.99 -3.18 4.14
2 0.05618416 -0.3010555 18.80 -5.10 1.59
e_pmDE pmDE.pmRA
1 3.75 -0.10
2 1.59 -0.08
> pm a_g_ ec o <- ound(p ope _mo ion_da a$pm a, 2)
> pmde_g_ ec o <- ound(p ope _mo ion_da a$pmdec, 2)
> pm a_sd_g_ ec o <- ound(p ope _mo ion_da a$pm a_e o , 2)
> pmde_sd_g_ ec o <- ound(p ope _mo ion_da a$pmdec_e o , 2)
> pm a_pmde_g_co <- ound(p ope _mo ion_da a$pm a_pmdec_co , 2)
> pm a_ a _g_ ec o <- ound(pm a_sd_g_ ec o ^2, 2)
> pmde_ a _g_ ec o <- ound(pmde_sd_g_ ec o ^2, 2)
> pm a_pmde_g_co <- ound(pm a_pmde_g_co
*pm a_sd_g_ ec o *pmde_sd_g_ ec o , 2)
> pm a_h_ ec o <- p ope _mo ion_da a$pmRA
> pmde_h_ ec o <- p ope _mo ion_da a$pmDE
> pm a_sd_h_ ec o <- p ope _mo ion_da a$e_pmRA
> pmde_sd_h_ ec o <- p ope _mo ion_da a$e_pmDE
> pm a_pmde_h_co <- p ope _mo ion_da a$pmDE.pmRA
> pm a_ a _h_ ec o <- pm a_sd_h_ ec o ^2
> pmde_ a _h_ ec o <- pmde_sd_h_ ec o ^2
> pm a_pmde_h_co <- pm a_pmde_h_co *pm a_sd_h_ ec o *pmde_sd_h_ ec o
>
La ob ención de los alo es mues ales de la a iable Wla ealizamos median e un
bucle cuya implemen ación hace uso de los dos siguien es esul ados:
Lema 2.7. Si = (a, b)0y M es la ma iz simé ica de o den 2 y de en adas c11,c12 =c21
yc22, en onces la exp esión 0M iene dada po a2c11 + 2abc12 +b2c22
Lema 2.8. Si Mes la ma iz simé ica de o den 2 con en adas c11,c12 =c21 yc22 y

2.4. CONTRASTES DE DISTRIBUCIONES EN GDR2 39
de M6= 0, en onces su in e sa M−1puede ob ene se como:
M−1="c22 −c12
−c12 c11 #1
c11c22 −c2
12
El código de R que nos p opo ciona el P-P plo pa a Wes el siguien e:
> mues a_p_m <- nume ic(2045)
> o (i in seq(1, 2045)) {
+ in _de <- 1/(C[i,1]*C[i,2]-C[i, 3]^2)
mues a_p_m[i]=del a_p[i,1]^2*in _de *C[i,2]+del a_p[i,
1]*del a_p[i,2]*2*in _de *(-C[i,3])+del a_p[i,2]^2*in _de *C[i,1]
+ }
> mues a_p_m_o denada <- so (mues a_p_m)
> disc e o1 <- seq(1, 2045)
> acumulado1 <- disc e o/2045
> pun os1 <- pchisq(mues a_p_m_o denada, d =2)
> x <- seq(0, 1, leng h=10)
> y <- x
> plo (acumulado1 ~ pun os1, ype=’l’,
+ main="P-Pplo pa a los mo imien os p opios"
+ , xlab="Funcion de dis ibucion eo ica",
+ ylab="Funcion de dis ibucion mues al")
> poin s(x,y, ype=’l’, col=’blue’)
La Figu a 2.11 nos mues a el P-P plo de los mo imien os p opios. Pa ece oda ía
más cla o que en el caso an e io que hay una des iación espec o a la dis ibución eó ica.
Aplicamos, en odo caso, el es de KS.
> ks. es (mues a_p_m_o denada, "pchisq", 2)
One-sample Kolmogo o -Smi no es
40 CAPÍTULO 2. COMPLETITUD Y CONTRASTES
Figu a 2.11: P-P plo pa a la a iable W.
2.4. CONTRASTES DE DISTRIBUCIONES EN GDR2 41
da a: mues a_p_m_o denada
D = 0.10971, p- alue < 2.2e-16
al e na i e hypo hesis: wo-sided
El compo amien o de es e g á ico pa ece se pa cialmen e di e en e al an e io . En
p ime luga , no emos un p ime conjun o de pun os cla amen e po encima de la diagonal,
como eníamos an es. Aunque en un p incipio la hipó esis de las a ianzas y co a ianzas
sob es imadas debe ía da luga a alo es más pequeños de lo espe ado según la o ma
cuad á ica W, es o no se mani ies a p ác icamen e en es e P-P plo . La única posible
explicación que encon amos es que el e ec o del o ocen o, de exis i , sea en es e caso
(po cues iones ísicas que desconocemos) más in luyen e en la medida de los mo imien os
p opios que en la de los pa alajes y ocul e la sob ees imación de las a ianzas. Vamos a
busca indicios nue amen e de es a hipó esis. Necesi amos encon a una elación simila
a la que nos o ecía el modelo lineal de an es, pe o en es e caso en e el cuad ado de la
no ma euclídea ec o ∆p,||∆p||2(pa áme o que ha ía el papel del nume ado de an es,
aho a en la o ma cuad á ica W) y el alo absolu o de la di e encia de magni udes. De
nue o necesi amos aplica un loga i mo pa a ob ene esul ados más cla os. El diag ama
de dispe sión as la ans o mación, así como la ec a ajus ada po un modelo de eg esión
lineal, se pueden e en la Figu a 2.12.
De nue o, emos que el modelo lineal ajus a una ec a con pendien e nega i a, posible
indicio del e ec o de o ocen o. Además, el es imado de la pendien e en es e caso es
ambién signi ica i o, y ale ap oximadamen e -0.19, menos que en el caso an e io , lo que
pod ía in e p e a se como que la in luencia del e ec o del o ocen o es mayo en el caso
de los mo imien o p opios que en el de los pa alajes. Es o explica ía el compo amien o de
un mayo núme o de pun os po debajo de la diagonal, y de mane a más p onunciada, en
el segundo P-P plo con espec o al p ime o. Vol emos a ema ca que desconocemos las
cues iones po las que es o puede se debido.
En de ini i a, pa ece que no hay mo i os su icien es pa a cues iona el modelo de pa ida
ni en lo que espec a a los pa alajes ni en lo que espec a a los mo imien o p opios. La
hipó esis del o ocen o (pa cialmen e comp obada) pod ía explica el compo amien o de
ambos P-P plo s, aunque de una o ma p elimina y sin demasiado igo . Teniendo en
cuen a es o, podemos conclui en onces que el endimien o as omé ico en GDR2 ha sido
acep able en lo que espec a a es ellas dobles.
42 CAPÍTULO 2. COMPLETITUD Y CONTRASTES
Figu a 2.12: Diag ama de dispe sión del alo absolu o de la di e encia de magni udes en el
ango ela i o a Hippa cos y ||∆p||2. Se p esen a ambién la ec a ajus ada po un modelo
de eg esión lineal.
Capí ulo 3
In e encia de dis ancias es ela es a
pa i de los pa alajes
3.1. Gene alidades sob e el a amien o de los pa alajes
Nues o ema cen al en es e capí ulo an a se p incipalmen e los pa alajes ω. De
los mismos sabemos que es án es ic amen e elacionados con las dis ancias a las que
se encuen an las es ellas de noso os. Como bien sabemos, la elación eó ica en e el
pa alaje y la dis ancia es que ambos son in e sos el uno del o o. Es a cues ión, aunque
pa ece banal, a a da mucho juego en lo que espec a a los asun os de in e encia.
Supongamos que conocemos el alo del pa alaje de una es ella dado en un ca álogo
es ela y nues o obje i o es conoce la dis ancia a la es ella. Pa ece cla o que no enemos
más que in e i el alo del pa alaje, ob eniendo el alo en las unidades co espondien es
de la dis ancia buscada. Desa o unadamen e, es e en oque es equi ocado si lo que que emos
es abaja con pa alajes medidos po un sa é ili e, debido a mul i ud de azones, como
pueden se las peculia idades del p opio apa a o de medida o la ince idumb e de la
medición.
Cuando Gaia ealiza mediciones as omé icas de los pa alajes de los as os, lo hace
basándose en la di ección que sigue el cue po en el i mamen o, in en ando modela és a
como una unción del iempo; es o se ealiza eniendo en cuen a an o el p opio mo imien o
del obje o en el espacio como el mo imien o del p opio sa éli e, en un p oceso muy complejo.
De modo esumido, sin en a en de alles, p esen amos aquí el modelo que u iliza Gaia pa a
desc ibi la dependencia empo al del mo imien o de un obje o ue a del Sis ema Sola ,
omando como e e encia la di ección hacia el obse ado . És a iene dada po el ec o
43

44 CAPÍTULO 3. INFERENCIA DE DISTANCIAS ESTELARES
uni a io (donde no m deno a no malización):
−→
u( ) = no m(−→
+ ( B− ep)(−→
p µα∗+−→
q µδ+−→
µ )−ω−→
b( )
au
)(3.1)
En la exp esión an e io , es el iempo de obse ación, ep es un iempo de e e en-
cia, ambos medidos en unidades de Tiempo Ba icén ico Coo dinado (TCB). És a es
la escala de iempo as onómico en el Sis ema de Re e encia Celes e Ba icén ico
(BCRS), de inido en el con ex o de la ela i idad gene al en la XXI Asamblea Gene al de
la Unión As onómica In e nacional. −→
p , −→
qy−→
son los ec o es uni a ios en la di ección
c ecien e de la ascensión ec a, la di ección c ecien e de la declinación y hacia la posición
del as o, espec i amen e; Bes el iempo de obse ación al que se le ha aplicado una co-
ección especí ica; −→
b( )es la posición ba icén ica del obse ado (el sa éli e) en el iempo
de la obse ación (concep o elacionado con la posición espec o al ba icen o del Sis ema
Sola , un pun o que se puede in e p e a como el cen o de masas del sis ema); au es la
unidad as onómica de dis ancia. Las componen es del mo imien o p opio asociadas a −→
p
y a −→
qson espec i amen e µα∗yµδ,ωes el pa alaje y µ es el mo imien o p opio
adial, que iene en cuen a que la dis ancia al obje o cambia como consecuencia de su
mo imien o adial, que a su ez a ec a a su mo imien o p opio y su pa alaje. Es e úl imo
é mino es no malmen e desp eciado sin a ec a al compo amien o del ec o esul an e.
El sa éli e ob iene los pa alajes median e un ajus e de es e modelo a las obse aciones. Las
hipó esis de no malidad que han sido usadas pa a el pa alaje en el capí ulo p e io es án
es ic amen e elacionadas con es e modelo.
El modelo an e io p edice un mo imien o de pa ón ondula o io pa a el mo i-
mien o apa en e de un as o dado. Podemos ob ene una desc ipción comple a del modelo
y de su a amien o en Lu i e al. (2018) [14]. El ajus e del mismo a obse aciones con
mucha ince idumb e puede lle a a la ob ención de pa alajes sin sen ido ísico. El pa alaje
apa ece en la ecuación 3.1 en el ac o −ω
au acompañando a la posición ba icén ica del
obse ado , lo que signi ica que, pa a cada obje o, su mo imien o pa alác ico end á un
sen ido, que e leja á el sen ido del mo imien o del obse ado en o no al Sol. Si nues as
obse aciones ienen al a can idad de uido, es deci , una al a a iabilidad (lo que puede
ocu i muy ácilmen e a ándose de obse aciones as onómicas en un campo an amplio
como es la Vía Lác ea), es comple amen e posible que el alo es imado del pa alaje pa a
un de e minado as o sea nulo o nega i o. Es o se ía in e p e ado como el hecho de que la
medida es á siendo consis en e con el mo imien o del cue po «en la di ección inco ec a»
sob e el i mamen o.
3.2. EL PROBLEMA DE LA ESTIMACIÓN DE LA DISTANCIA 45
Dos impo an es hechos pueden se ex aídos de lo que acabamos de expone . Po un
lado, aunque pa ezca con adic o io, los pa alajes medidos pueden oma alo es nega i os,
y po o o, el pa alaje en es e con ex o no es una medida di ec a de la dis ancia a un
de e minado obje o. En consecuencia, la dis ancia, y cualquie can idad ob enida a a és
de la misma, debe se es imada dado el pa alaje obse ado (es deci , el ob enido po el
sa éli e), eniendo en cuen a la ince idumb e o a iabilidad en el p oceso de medición. En
conclusión, el a amien o de los pa alajes, lejos de lo que pudiese pa ece , debe se un
p oceso muy cuidadoso.
3.2. El p oblema de la es imación de la dis ancia
C eemos con enien e in oduci an es de con inua algunos concep os básicos de la
in e encia es adís ica, a segui .
De inición 3.1. Un es adís ico (mues al) es una medida cuan i a i a, de i ada de un
conjun o de da os de una mues a, con el obje i o de es ima o in e i ca ac e ís icas de
una población. En o as palab as, un es adís ico es una unción de la mues a, que iene
como obje i o ex ae in o mación de una población.
De inición 3.2. Un es imado ˆ
θes cualquie es adís ico que in en e es ima un pa áme o
desconocido θde la población. Nó ese que un es imado es una a iable alea o ia.
De inición 3.3. Pa a un es imado ˆ
θde un pa áme o poblacional θ, de inimos el sesgo
de ˆ
θcomo: sesgo(ˆ
θ)=E(ˆ
θ)-θ.
De inición 3.4. Decimos que un es imado ˆ
θes insesgado si su sesgo es nulo.
De inición 3.5. Dada una a iable alea o ia X, se llama coe icien e de a iación de X
a la can idad √V a (X)
E(X).
El hecho de que un es imado sea insesgado quie e deci que su espe anza coincide con
el pa áme o que in en a es ima , lo que desde luego es una p opiedad deseable pa a un
es imado . O a p opiedad deseable pa a un es imado es que su a ianza sea lo más baja
posible, pues, a meno a ianza, mejo es ima á al pa áme o que se quie e de e mina .
46 CAPÍTULO 3. INFERENCIA DE DISTANCIAS ESTELARES
Vol iendo a nues o con ex o, deno a emos, a pa i de aho a, pa a cada es ella, como
ωTal alo del e dade o pa alaje y como ωal alo del pa alaje obse ado o medido po
el sa éli e, supues o es imado del pa áme o ωT. Análogamen e, deno a emos po =1
ωT
a la e dade a dis ancia a la que la es ella es á si uada, pa áme o que que emos es ima ,
y como ρal alo 1
ω. Deno a emos po Tal coe icien e de a iación de la a iable que
mide los pa alajes, T=σω
ωT=σω , y po a su análoga mues al, =σω
ω. In e p e amos
Tcomo una medida de la ince idumb e ela i a (a la media). En la p ác ica, an o
Tcomo ωTson desconocidos. Los alo es de los pa alajes siemp e se supond án dados,
mien as no se diga lo con a io, en segundos de a co y los alo es de las dis ancias en pc.
Las suposiciones de no malidad en la medida del pa alaje obse ado nos pe mi en
esc ibi su unción de densidad gen unción del pa alaje e dade o ωTy la ince idumb e
o des iación ípica de la medición σω(σω≥0), como:
g(ω) = 1
√2πσω
exp(−(ω−ωT)2
2σω2) = 1
√2πσω
exp(−(ω−1
)2
2σω2)(3.2)
Los p ocedimien os clásicos de in e encia en poblaciones no males lle an a que los
siguien es in e alos de con ianza pa a el pa áme o 1
,
[ω−2σω, ω]y[ω, ω + 2σω](3.3)
engan, cada uno de ellos, una p obabilidad de ap oximadamen e 0.477 de con ene al
pa áme o 1
. Es e alo lo podemos ob ene ácilmen e con la unción pno m de R. La
ans o mación de 1
a es monó ona, y po lo an o conse a p obabilidades. En onces,
los in e alos,
[1
ω,1
ω−2σω
]y[1
ω+ 2σω
,1
ω](3.4)
end án ambién, cada uno, una p obabilidad de ap oximadamen e 0.477 de con ene
a la e dade a dis ancia . Sin emba go, mien as que los in e alos pa a 1
son del mismo
amaño (la no mal es simé ica), no lo son pa a . Po ejemplo, pa a alo es de ω=0.100 y
σω=0.0200, es os in e alos son [10, 16.7] y [7.14, 10]. La azón es á en que la ans o mación
de 1
a es no lineal, y en consecuencia se pie de la sime ía.
Pe o, ¿qué pasa si los e o es de medición son «g andes»?, po ejemplo con =1
2.
Si nos ijamos en el in e alo de la izquie da en 3.4, se ía [1
ω,∞). Es e in e alo pe mi e
3.2. EL PROBLEMA DE LA ESTIMACIÓN DE LA DISTANCIA 47
dis ancias an g andes como que amos. Además, segui íamos eniendo una p obabilidad de
0.477 de que el e dade o alo de la dis ancia es u iese ahí den o. Si el e o uese aún
mayo , con > 1
2, el in e alo no es a ía de inido, pues apa ece ía en el ex emo supe io
un alo nega i o. En es e caso además, pa ece que «pe demos» alguna p obabilidad, pues
se debe ían espe a los alo es de 0.477 de p obabilidad pa a cada in e alo. Vemos, po
an o, que la es imación de la dis ancia p esen a una se ie de p oblemas, sob e odo al
aumen a el alo de .
Imaginemos po un momen o que es amos an e una si uación de ausencia de ince -
idumb e en la medida. Es á cla o que, conocido el pa alaje ωT, (ωT=ωen es e caso),
ob end íamos i ialmen e la dis ancia como =1
ω. Pa ece que el en oque más simple
consis i ía, pues, en es ima la dis ancia median e la in e sión del pa alaje obse ado, es
deci , median e ρ. Toma ρcomo es imado de la e dade a dis ancia . E iden emen e,
el uso de es e es imado nos lle a ía a dis ancias ca en es de sen ido ísico en el caso de
que el pa alaje medido uese un alo nega i o (casos en los que el es imado de máxima
e osimili ud se ía el alo ce o). Sin emba go, pod íamos segui conside ando el uso de
ρcomo es imado pa a alo es posi i os del pa alaje medido, po ejemplo, en el caso de
una mues a en la que la mayo ía de los alo es obse ados uesen posi i os, o incluso una
mues a o mada po un único alo posi i o. Po an o, nos in e esa conoce las p opieda-
des es adís icas del es imado ρ. Si u iese «buenas p opiedades», su uso limi ado a alo es
posi i os pod ía es a jus i icado. Pa a es udia las, necesi amos ob ene la densidad de ρa
pa i de la densidad de ω.Teniendo cuen a que ρ=1
ωy aplicando un cambio de a iable,
enemos que la densidad hde ρsigue la exp esión:
h(ρ) = g(ω)|dω
dρ |=1
ρ2√2πσω
exp(−(1
ρ−ωT)2
2σω2) = 1
ρ2√2πσω
exp(−(1
ρ−1
)2
2σω2),(3.5)
que no es la densidad de una dis ibución no mal.
Veamos cómo se compo a es a unción de densidad. Supongamos que enemos dos
es ellas si uadas a dis ancias eales 1=50 pc y 2= 1000 pc, lo que co esponde ían
a alo es de pa alajes ( eales) espec i os ap oximados de ωT1=0.0200yωT2=0.00100. A su
ez, supongamos que en ambos casos σω= 0.000300. No emos que el coe icien e de a iación
Tes muy dis in o en cada una de es as si uaciones, siendo ap oximadamen e T1=0.015 y
T2=0.30. Hemos elegido los alo es de modo que las densidades o o guen una p obabilidad
muy pequeña a los alo es nega i os. Rep esen emos aho a las densidades de ρen ambos
54 CAPÍTULO 3. INFERENCIA DE DISTANCIAS ESTELARES
GDR2C e Hippa cos y ob enemos los alo es ω. A con inuación, imaginemos que es amos
in e esados en es udia los sis emas es ela es más lejanos de la mues a ( eco demos que
dis ancias g andes se co esponden eó icamen e con pa alajes pequeños), es deci , es amos
in e esados en los sis emas cuyo pa alaje es á po debajo de un de e minado lími e, ijado
po noso os. Fijamos es e lími e en 1.8 mas y nos quedamos con los da os co espondien es.
A con inuación, ealizamos un uncamien o en los pa alajes, quedándonos sólo con aquellos
que son posi i os, que ap oximadamen e co esponden al 88 % de la mues a de pa ida.
En la Figu a 3.4 podemos e sendos his og amas, uno co espondien e a los da os iniciales
y o o co espondien e a los da os uncados. La apa ición de alo es nega i os con cie a
ecuencia p oduce una no able a iación en la dis ibución de los pa alajes. La media de los
pa alajes iniciales ale ap oximadamen e 0.0006200, y la de los pa alajes después de aplica
el uncamien o ale ap oximadamen e 0.000100, una di e encia cla amen e signi ica i a.
Po o o lado, desp ende nos de los pa alajes nega i os implica ía echaza pa e de la
in o mación dada en el ca álogo y enuncia a la es imación de la dis ancia a los espec i os
sou ces. Pa a a e igua ap oximadamen e qué po cen aje de sou ces en GDR2C ienen un
alo nega i o del pa alaje amos a ealiza cua o consul as ADQL en dis in as egiones de
la galaxia (lo más alejadas posible) según la longi ud galác ica l, y e cuál es la p opo ción
de pa alajes nega i os de cada una de las consul as. Es o es po qué ealiza una única
consul a ADQL pidiendo los sou ces con pa alaje nega i o en odo el ca álogo no es ac ible
debido al eno me olumen de da os; ni siquie a una consul a a iando los alo es de len un
in e alo de longi ud 1 g ado se ía posible. Los esul ados de nues as consul as se dan en la
Tabla 3.1. A la is a de los da os, podemos es ima una p opo ción gene al de sou ces con
pa alajes nega i os en GDR2C po encima del 15 %. No emos como una opción ac ible
desp ende nos de casi una quin a pa e del ca álogo. El uncamien o de los da os queda
en onces o almen e desca ado.
A modo de esumen, acabamos de e que el es imado ρno es en gene al un es imado
insesgado, iene mucha a ianza, y además no nos pe mi e a a con los alo es nega i-
os de los pa alajes medidos, que ep esen an un po cen aje signi ica i o en los da os de
GDR2C que no nos podemos pe mi i el lujo de desca a . La conclusión es cla a, debemos
busca o o en oque pa a la es imación de las dis ancias es ela es.

3.3. EL PROBLEMA DE LOS PARALAJES NEGATIVOS EN GDR2 55
In e alo de l(g ados) Node sou ces Node sou ces con ωG<0P opo ción (%)
(0, 0.02) 313838 69737 22%
(90, 90.02) 57588 10307 18%
(180, 180.02) 25715 3937 15%
(270, 270.02) 47398 9040 19%
Tabla 3.1: P opo ción de sou ces con alo es nega i os de los pa alajes p esen es en
GDR2C, según alo es de la longi ud galác ica l.
Figu a 3.4: Izquie da: his og ama de los pa alajes an es del uncamien o. De echa: his o-
g ama de los pa alajes después de habe eliminado los alo es nega i os.
56 CAPÍTULO 3. INFERENCIA DE DISTANCIAS ESTELARES
3.4. In e encia bayesiana de dis ancias es ela es
3.4.1. Plan eamien o del p oblema
An es hemos is o que el es imado ρno es adecuado pa a in e i dis ancias es ela es,
pe o nues o p oblema empezaba mucho an es. Hemos es ado a ando de in e i el alo
de usando simplemen e la ecuación 3.2, aún cuando és a de ine la dis ibución de ω, no la
de . Una posible solución pasa po plan ea el p oblema desde o o pun o de is a, usando
lo que se denomina Es adís ica Bayesiana.
Vamos a empeza ilus ando es e en oque p obabilís ico con un ejemplo muy ácil de
en ende . Imaginemos que es amos pensando en la p obabilidad de padece de e minada
en e medad a lo la go de nues a ida, y la única in o mación de la que disponemos es que
la p e alencia global de esa en e medad es del 0.01. En es a si uación, pod íamos deci ,
pues, que enemos un p obabilidad del 0.01 de padece esa en e medad a lo la go de nues a
ida, y eso es lo que hace el en oque ecuen is a. Sin emba go, consul ando in o mación
ace ca del as o no, encon amos que la p ác ica de depo e p e iene esa en e medad, y
el consumo de alcohol y abaco aumen a las posibilidades de padece la. Es á cla o que, si
somos depo is as y no umado es, la p obabilidad de que con ayamos es a en e medad,
aunque no la podamos da explíci amen e, es meno que el 0.01 de p e alencia gene al. En
base a la obse ación, hemos conseguido un alo más «exac o» de la p obabilidad buscada.
La idea cla e de la si uación an e io es que, en ez de conside a la p obabilidad de
un de e minado suceso como algo ijo e inamo ible (como hace el en oque ecuensi a),
podemos conside a la p obabilidad como algo lexible, que a a iando según aumen a la
in o mación de las que disponemos. Es deci , la p obabilidad aquí ep esen a ía un g ado
de c eencia en un de e minado suceso, que puede cambia . La he amien a undamen al
en la que se basa es e en oque p obabilís ico es el Teo ema de Bayes, aquí enunciado.
Teo ema 3.6. Sean AyBdos sucesos ales que P(B)6= 0, en onces se e i ica P(A|B) =
P(B|A)P(A)
P(B), donde P(A|B)se in e p e a como «la p obabilidad de Asabiendo que Bes
cie o», y análogamen e P(B|A).
En Es adís ica Bayesiana, no malmen e A ep esen a una p oposición (po ejemplo
sob e un pa áme o desconocido) y Blas «obse aciones» ela i as a A, como puede se
la in o mación ex aída de una mues a. El é mino gené ico que se usa pa a e e i se a B
es el de da os. El é mino P(A)se conoce como p obabilidad a p io i, y se in e p e a
jus amen e de esa mane a, es el conocimien o que enemos de Asin ene en cuen a la
3.4. INFERENCIA BAYESIANA DE DISTANCIAS ESTELARES 57
e idencia ni ninguna nue a in o mación. P(B) ep esen a la e idencia, o nue a in o mación
que es enida en cuen a. El é mino P(B|A)se denomina e osimili ud, y puede se
in e p e ada como la p obabilidad de los da os sabiendo que Aes e dad; es una mane a de
cuan i ica el g ado en que la e idencia apoya a la p oposición A. Finalmen e, P(A|B)es la
p obabilidad a pos e io i, es deci , la p obabilidad de la p oposición Adespués de ene
en cuen a los da os. Dado que si conside amos a iables con inuas ob ene el ac o P(B)
implica muchas eces di íciles cálculos in eg ales, muchas eces se ob ia, ya que no a ía,
pues no depende de A, y se conside an simplemen e los é minos de la p obabilidad a p io i
y la e osimili ud. Po úl imo, no emos que, en el análisis que acabamos de hace , si lo que
que emos es in e i el alo de un cie o pa áme o, dado el alo de o os, las p obabilidades
en el eo ema de Bayes pueden se in e p e adas como unciones de dis ibución o de
densidad. Así, nos e e i emos a ellas como dis ibución a p io i (PD) y dis ibución
a pos e io i (POD).
Como hemos is o en el ejemplo, podemos in e p e a el Teo ema de Bayes como una
o ma de i ac ualizando las p obabilidades. Es deci , el é mino de la izquie da, la p o-
babilidad buscada, es ac ualizado según amos ob eniendo nue a in o mación, a a és la
e osimili ud y los da os.
Vol iendo a la cues ión de la es imación de la dis ancia, amos a a a de es ima
nue amen e el alo de a pa i del alo del pa alaje obse ado ω. Fo malmen e, lo que
que emos conoce es la dis ibución de p obabilidad de la dis ancia ( é mino a pos e io i)
dado el alo obse ado de ωy la ince idumb e σω. Usando el eo ema 3.6, el p oblema
puede se plan eado de la siguien e mane a.
P( |ω, σω) = 1
ZP(ω| , σω)P( )(3.7)
El é mino e osimili ud P(ω| , σω)es la dis ibución del pa alaje obse ado dado el
pa áme o y iene dado po la densidad de la ecuación 3.2. La PD P( )con iene nues os
supues os, y Z es lo que se conoce como una cons an e de no malización, que puede se
in e p e ado como P(ω), la dis ibución de la e idencia en el Teo ema 3.6. En odo caso,
no depende de y es el é mino que pe mi e con e i la POD en una densidad p opia, de
in eg al unidad. En es e caso Z=R =∞
=0 P(ω| , σω)P( )d .
Dos impo an es elecciones enemos que hace al lle a a cabo la in e encia sob e :
la elección de la PD y la elección del es imado en la POD. Hay múl iples PD en las que
podemos pensa . Un buena PD se á aquella que concue de an o como sea posible con
58 CAPÍTULO 3. INFERENCIA DE DISTANCIAS ESTELARES
los da os. En la p ác ica, debe con ene oda la in o mación ele an e que engamos y se
independien e de las medidas indi iduales. És a pod ía basa se en una combinación de la
dis ibución espe ada de las es ellas en la galaxia y de cómo és as son seleccionadas po el
sa éli e ( esolución del sa éli e espec o a a ias magni udes, magni ud isual lími e e c).
Las posibilidades son in ini as, y p obablemen e lo mejo sea escoge una PD cada ez,
según el p oblema conc e o en el que que amos lle a a cabo la es imación, la zona de
La galaxia donde que amos es ima las dis ancias y muchas más a iables. A con inuación
se analizan es casos de PD p opues os en Lu i e al. (2018) [14], señalando las POD
co espondien es, sus p opiedades y sus limi aciones. Finalmen e, se aplican los concep os
a la es imación de dis ancias de sou ces conc e os de GDR2C.
3.4.2. PD Uni o me Imp opia y Uni o me P opia
Una p ime a PD en la que pod íamos pensa se ía una dis ibución uni o me no aco ada
pa a la dis ancia , llamada dis ibución uni o me imp opia (IUP). Es o end ía cie o
sen ido, pues es a íamos conside ando que en p incipio pod ía oma cualquie alo sin
a o ece a ninguno de ellos. Debido a es a azón, es e ipo de PD se conoce en Es adís ica
Bayesiana como dis ibución a p io i no in o ma i a. La dis ibución end ía dada
es e caso po :
P∗
iu( ) = 






1si > 0
0si ≤0
(3.8)
Hemos in oducido el símbolo * pa a indica que la dis ibución de ine una densidad
que no es no malizable (no maliza simplemen e signi ica di idi en e el alo de la in eg al
pa a consegui un alo uni a io al in eg a ), es deci , ob enemos un alo in ini o al in e-
g a la sob e . Tales dis ibuciones son una ex ensión de las dis ibuciones de p obabilidad
ini as, y son conocidas como imp opias ( azón del nomb e de es a dis ibución). De la
ecuación 3.7 podemos deduci que la POD end á dada en es e caso po la e osimili ud,
pe o conside ándola aho a como unción de en ez de como unción de ω, po lo que
hemos de añadi de nue o la es icción de a alo es posi i os:
P∗
iu( |ω, σω) = 






P(ω| , σω)si > 0
0si ≤0
(3.9)
3.4. INFERENCIA BAYESIANA DE DISTANCIAS ESTELARES 59
Figu a 3.5: POD co espondien e a IUP pa a di e en es alo es de .
Podemos isualiza es a POD en la Figu a 3.5 pa a un alo de ω= 0.0100 y a ios
alo es de . Vemos cla amen e que a medida que aumen a se a o mando una asime ía.
Examinando la ecuación 3.2 se e que,
l´ım
→∞ P∗
iu( |ω, σω) = c e
En consecuencia, la POD no con e ge y su densidad encie a un á ea in ini a, po lo que
ampoco es no malizable (en ealidad la de inición de unción de densidad implica que su
in eg al alga uno, pe o el lec o no a á usa emos el é mino ambién en es os casos). Po lo
an o, no iene media, ni mediana, ni ningún o o cuan il. El único es imado azonable en

60 CAPÍTULO 3. INFERENCIA DE DISTANCIAS ESTELARES
es a POD es la moda, que, como emos en la Figu a 3.5, es á de inida pa a cualquie alo
de , y coincide con el es imado 1
ωpa a ω > 0. Pa a los alo es ω≤0, si nos ijamos de
nue o en la ecuación 3.2, la POD c ece desde = 0, ace cándose asin ó icamen e a cie o
alo , con lo que la moda es a ía en =∞, ca eciendo de sen ido ísico. Po an o, sólo
pod íamos a a con pa alajes posi i os. Además, al es ima median e la moda es a íamos
usando de nue o el es imado ρ. Usa como PD una IUP nos lle a, como emos, al mismo
esul ado que ha sido analizado en la sección 3.2.
Pa a lidia con las limi aciones de la IUP sin deja de u iliza una PD uni o me, lo ideal
se ía in oduci un alo lími e en las dis ancias, lim (es o pa ece ap opiado si a amos
de es ima dis ancias de es ellas en una «zona conc e a» de la galaxia y disponemos de la
in o mación adecuada). La PD co espondien e se ía una dis ibución uni o me p opia
(PUP):
Pu( ) = 






1
lim si 0< ≤ lim
0en o o caso
(3.10)
La POD co espondien e segui ía el mismo compo amien o que las de la Figu a 3.5,
pe o anulándose pa a > lim, ob eniendo:
Pu( |ω, σω) = 






1
lim P(ω| , σω)si 0< ≤ lim
0en o o caso
(3.11)
Es a POD no iene p imi i as elemen ales, sin emba go, al habe ijado un lim encie a
un á ea ini a y podemos ap oxima la in eg al numé icamen e, pudiendo no maliza la. Po
o o lado, oma como PD una PUP nos pe mi e a a con alo es ω≤0, pues al limi a
el ango de alo es de no enemos el p oblema de la asín o a que se p esen aba en el
caso de una IUP, alcanzándose el alo máximo en = lim. Va ias POD no malizadas son
p esen adas en la Figu a 3.6 pa a dis in os alo es de y de ω. Se puede e cla amen e
como la POD es una combinación de la e osimili ud y la PD. Cuando «los da os son
buenos», es deci , pa a alo es pequeños de , la e osimili ud domina la POD. En cambio,
en el caso con a io, pa a alo es g andes de , el ac o 1
lim in luye más en la POD, siendo
és a muy p óxima a la an e io cons an e en odo su dominio. Como es imado podemos
nue amen e oma la moda de la POD, que es a á de inida de la siguien e mane a:
3.4. INFERENCIA BAYESIANA DE DISTANCIAS ESTELARES 61
Figu a 3.6: POD no malizada co espondien e a PUP pa a di e en es alo es de . El colo
neg o se co esponde con un alo de ω=−0.0100. El es o, con un alo de ω= 0.0100. Se
ha omado un alo de lim = 1000 pc.
62 CAPÍTULO 3. INFERENCIA DE DISTANCIAS ESTELARES
Moda(P OD) =

















1
ωsi 0<1
ω≤ lim
lim si 1
ω> lim
lim si ω ≤0
(3.12)
El hecho de que las dis ancias asociadas a pa alajes nega i os sean es imadas median e
lim es consis en e con el p oceso de medida de los pa alajes, como podemos e en Baile -
Jones (2015) [5]. Aún así, aunque es ima la dis ancia median e la moda en es a si uación
p esen a mayo es en ajas que usando una IPUP, los esul ados no son oda ía sa is ac o-
ios, pues seguimos es imando median e ρmuchas de las dis ancias. Po o a pa e, aho a
que enemos una POD no malizada podemos pensa en es ima ambién median e la
media o la mediana. Sin emba go, es a idea no pa ece demasiado ac ible, ya que, como
emos en la Figu a 3.6, és as es a án ue emen e in luenciadas po la elección de lim pa a
alo es g andes de , que es jus o donde necesi amos un es imado más obus o que la
moda. Necesi amos busca una PD que nos p opo cione más y mejo es opciones en las
es imaciones.
3.4.3. PD de decaimien o exponencial de la densidad de olumen es ela
Si que emos ob ene una POD que nos p opo cione es imaciones p ecisas pa a cualquie
alo de y de ω, podemos pensa en sus i uí una PD ca ac e izada po una dis ancia
lími e como la del caso an e io , po una PD que decaiga ains ó icamen e hacia 0 cuando
→ ∞. Vamos a in es iga aho a una PD que supone una decaimien o exponencial en la
densidad de olumen es ela (EDVDP) y que apa ece de inida en Lu i e al. (2018) [14].
Se de ine de la siguien e mane a,
P ( ) = 






1
2L3 2exp(−
L)si > 0
0si ≤0
(3.13)
donde Les una dis ancia. És e pa áme o es á elacionado con el amaño de la egión
galác ica en la que es emos conside ando el decaimien o de la densidad olumé ica es ela .
Una buena elección del mismo se á c ucial pa a la calidad de las es imaciones. Es e ipo de
dis ibución es á encuad ada en las llamadas dis ibuciones gamma, muy impo an es
3.4. INFERENCIA BAYESIANA DE DISTANCIAS ESTELARES 63
en Es adís ica. La de inición de es e ipo de dis ibuciones se puede consul a en Vélez-
Iba ola & Ga cía Pé ez (1997) [19]. La POD co espondien e end á (sal o cons an es),
la siguien e o ma:
P ( |ω, σω) = 






2exp(−
L)
σωexp( −1
2σ2
ω
(ω−1
)2)si > 0
0si ≤0
(3.14)
O ecemos ejemplos de es a POD en la Figu a 3.7. Dependiendo del alo de , emos
que podemos ene 1 o 2 modas. En es e ejemplo, pa a pa alajes posi i os, enemos una
única moda pa a 0 < <0.30, dos modas pa a 0.30 ≤ < 0.373 y una moda pa a ≥0.373.
A mayo alo de , «menos in o mación nos dan los da os» y po an o, la POD se con ie e
en la PD. Podemos e en el g á ico que pa a = 0.5, la POD se ace ca ya bas an e a la
PD. Pa a alo es de ce canos a 1, la POD se á casi indis ingible de la PD. La cu a de
colo neg o en la igu a se co esponde a la POD pa a un pa alaje nega i o ω=−0.0100 y
con un alo de | |= 0.25. Si | | uese mayo , la cu a se desplaza ía hacia la de echa. Es o
iene sen ido, ya que un alo de | |más pequeño signi ica que «es amos más segu os» de
que el e dade o alo del pa alaje es ce cano a ce o. A medida que | |aumen a, la cu a se
desplaza hacia la izquie da, pa eciéndose cada ez más a la PD. Pa ece que ob enemos un
compo amien o muy azonable en lo que espec a a la es imación de pa alajes nega i os.
Pa a ob ene analí icamen e las modas, de i amos la ecuación 3.14 e igualamos a ce o,
ob eniendo,
3
L−2 2+ω
σ2
ω
−1
σ2
ω
= 0 (3.15)
que es una ecuación cúbica que end á en gene al 3 aíces complejas. Es as aíces se án
unción an o de como de L. Dado que ambos alo es son posi i os, una inspección de la
ecuación nos pe mi e concluí que exis en dos casos posibles: que haya es aíces eales,
co espondien es a dos modas y un mínimo, o que haya una única aíz eal, co espondiendo
a una única moda. Es o concue da pe ec amen e con lo que pasa en la Figu a 3.7. Un
análisis de las aíces nos pe mi e llega a la siguien e es a egia pa a es ima la dis ancia
median e la moda:
1) Si hay solamen e una aíz eal, es el máximo, así que ése se á nues o es imado ,
deno ado es .
70 CAPÍTULO 3. INFERENCIA DE DISTANCIAS ESTELARES
> o (i in seq(1, 100000)) {a eas[i]=in eg a e(densidad3,
+ lowe =0, uppe =p ueba_e o [i])
+
+
+ }
> indices <- which(a eas > 0.049999)
> indices[1]
[1] 90966
> p ueba_e o [indices[1]]
[1] 72.77273
> a eas <- nume ic(100000)
> o (i in seq(1, 100000)) {a eas[i]=in eg a e(densidad3,
+ lowe =0, uppe =p ueba_e o [i])
+
+
+ }
> indices <- which(a eas > 0.949999)
> p ueba_e o [indices[1]]
[1] 73.65434
>1/omega4
[1] 119.19

Bibliog a ía
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o ial UNED
[20] h ps://gea.esac.esa.in /a chi e/ (Consul ado en Ene o de 2019)
Apéndice A
Ac ónimo Desc ipción
A&A As onomy & As ophysics
ADQL As onomical Da a Que y Language
ApJ As ophysical Jou nal
au As onomical Uni
DPAC Da a P ocessing & Analysis Conso ium
EDVDP Exponen ially Dec easing Volume Densi y P io
ESA Eu opean Space Agency
GA Gaia A chi e
GDR1 Gaia Da a Release 1
GDR2 Gaia Da a Release 2
GDR1C Gaia Da a Release 1 Ca alogue
GDR2C Gaia Da a Release 2 Ca alogue
IUP Imp ope Uni o m P io
KS Kolmogo o -Smi no
mas Millia second
PD P io Dis ibu ion
POD Pos e io Dis ibu ion
P-P plo P obabili y-P obabili y Plo
PUP P ope Uni o m P io
SQL S uc u ed Que y Language
TCB Temps-coo donnée ba ycen ique
BCRS Ba ycen ic Celes ial Re e ence Sys em
XM C oss-Ma ch
Tabla 3.3: Ac ónimos
73
74 APÉNDICE A
Apéndice B
Código pa a 2.3
> da os_dmsa<- ead. able("da os_dmsa. x ", heade =FALSE)
> n ow(da os_dmsa)
[1] 24588
> ncol(da os_dmsa)
[1] 15
> head(da os_dmsa, 4)
V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10
1 00003-4417 A 2 11 1 A 25 6.894 0.07936537 -44.29030
2 00003-4417 A 2 11 1 B 25 7.551 0.07924029 -44.29021
3 00004-4711 A 2 9 1 A 37 10.966 0.10536643 -47.17960
4 00004-4711 A 2 9 1 B 37 11.745 0.10532213 -47.17955
V11 V12 V13 V14 V15
1 13.74 0.0 0.000 0.07956353 -44.29056
2 13.74 315.8 0.463 0.07947489 -44.29047
3 3.74 0.0 0.000 0.10534168 -47.17959
4 3.74 332.0 0.230 0.10529738 -47.17953
> colnames(da os_dmsa)<-c("CCDM", "Qual", "Ncomp", "Npa m",
+ "Nco ", "comp_id", "HIP",
+ "HPmag", "RA", "DE", "pa allax",
+ " he a", " ho", "RA2000", "DE2000")
> head(da os_dmsa, 2)
CCDM Qual Ncomp Npa m Nco comp_id HIP HPmag
1 00003-4417 A 2 11 1 A 25 6.894
2 00003-4417 A 2 11 1 B 25 7.551
RA DE pa allax he a ho RA2000
75

76 APÉNDICE B
1 0.07936537 -44.29030 13.74 0.0 0.000 0.07956353
2 0.07924029 -44.29021 13.74 315.8 0.463 0.07947489
DE2000
1 -44.29056
2 -44.29047
> leng h(pa allax)
[1] 24588
> da os_dmsa_dobles<-subse (da os_dmsa, Ncomp<=2)
> head(da os_dmsa_dobles, 4)
CCDM Qual Ncomp Npa m Nco comp_id HIP HPmag
1 00003-4417 A 2 11 1 A 25 6.894
2 00003-4417 A 2 11 1 B 25 7.551
3 00004-4711 A 2 9 1 A 37 10.966
4 00004-4711 A 2 9 1 B 37 11.745
RA DE pa allax he a ho RA2000
1 0.07936537 -44.29030 13.74 0.0 0.000 0.07956353
2 0.07924029 -44.29021 13.74 315.8 0.463 0.07947489
3 0.10536643 -47.17960 3.74 0.0 0.000 0.10534168
4 0.10532213 -47.17955 3.74 332.0 0.230 0.10529738
DE2000
1 -44.29056
2 -44.29047
3 -47.17959
4 -47.17953
> n ow(da os_dmsa_dobles)
[1] 24010
> da os_dmsa_dobles_ iables<-subse (da os_dmsa_dobles,
Qual==’A’ | Qual==’B’)
> n ow(da os_dmsa_dobles_ iables)
[1] 20696
> HPmagdobles<-da os_dmsa_dobles_ iables$HPmag
> leng h(HPmagdobles)
[1] 20696
> head(da os_dmsa_dobles_ iables, 2)
CCDM Qual Ncomp Npa m Nco comp_id HIP HPmag
77
1 00003-4417 A 2 11 1 A 25 6.894
2 00003-4417 A 2 11 1 B 25 7.551
RA DE pa allax he a ho RA2000
1 0.07936537 -44.29030 13.74 0.0 0.000 0.07956353
2 0.07924029 -44.29021 13.74 315.8 0.463 0.07947489
DE2000
1 -44.29056
2 -44.29047
> auxilia <-nume ic(0)
> ec o bucle<-seq(2, leng h(HPmagdobles), by=2)
> o (i in ec o bucle)
+ { HPmagdoblesi<-HPmagdobles[i]
+ HPmagdoblesi_1<-HPmagdobles[i-1]
+ i (HPmagdoblesi<=20 & HPmagdoblesi_1<=20)
+ auxilia <-c(auxilia , i)}
> da os_dmsa_dobles_ il ados1<-subse (da os_dmsa_dobles_ iables
[auxilia ,])
> n ow(da os_dmsa_dobles_ iables)
[1] 20696
> n ow(da os_dmsa_dobles_ il ados1)
[1] 10348
> head(da os_dmsa_dobles_ il ados1, 2)
CCDM Qual Ncomp Npa m Nco comp_id HIP HPmag
2 00003-4417 A 2 11 1 B 25 7.551
4 00004-4711 A 2 9 1 B 37 11.745
RA DE pa allax he a ho RA2000
2 0.07924029 -44.29021 13.74 315.8 0.463 0.07947489
4 0.10532213 -47.17955 3.74 332.0 0.230 0.10529738
DE2000
2 -44.29047
4 -47.17953
> da os_dmsa_dobles_ il ados2<-subse (da os_dmsa_dobles_ il ados1,
ho<10)
> n ow(da os_dmsa_dobles_ il ados2)
[1] 9345
> head(da os_dmsa_dobles_ il ados2, 4)
78 APÉNDICE B
CCDM Qual Ncomp Npa m Nco comp_id HIP HPmag
2 00003-4417 A 2 11 1 B 25 7.551
4 00004-4711 A 2 9 1 B 37 11.745
6 00005+6713 A 2 9 1 B 40 11.176
8 00005-7212 A 2 9 1 B 45 11.954
RA DE pa allax he a ho RA2000
2 0.07924029 -44.29021 13.74 315.8 0.463 0.07947489
4 0.10532213 -47.17955 3.74 332.0 0.230 0.10529738
6 0.11781651 67.21518 -3.40 224.9 8.200 0.11779774
8 0.13192459 -72.20307 15.10 242.5 2.830 0.13162877
DE2000
2 -44.29047
4 -47.17953
6 67.21517
8 -72.20308
> max(da os_dmsa_dobles_ il ados2$ ho)
[1] 9.99
> min(da os_dmsa_dobles_ il ados2$ ho)
[1] 0.09
> ec<-seq(0, 10, 0.2)
> leng h( ec)
[1] 51
> ec1<- ec[1:leng h( ec)-1]
> ec2<- ec[2:leng h( ec)]
> pa <-nume ic(leng h( ec)-1)
> da os_dmsa_dobles_ il ados2_ educido<-
subse (da os_dmsa_dobles_ il ados2,
selec =c(’HIP’, ’ ho’))
> head(da os_dmsa_dobles_ il ados2_ educido)
HIP ho
2 25 0.463
4 37 0.230
6 40 8.200
8 45 2.830
10 50 1.700
12 55 3.810
79
> all.equal(n ow(da os_dmsa_dobles_ il ados2_ educido),
n ow(da os_dmsa_dobles_ il ados2))
[1] TRUE
> o ( i in 1:(leng h( ec)-1))
+ {pa [i]<-subse (da os_dmsa_dobles_ il ados2_ educido , ho<= ec2[i] &
ho> ec1[i])}
> sum=0
> o (i in 1: (leng h( ec)-1))
+ {sum=sum+leng h(pa [[i]])}
> p in (sum)
[1] 9345
> n ow(da os_dmsa_dobles_ il ados2_ educido)
[1] 9345
> o (i in 1: (leng h( ec)-1))
+ {w i e. able(pa [[i]], pas e0(i, ". x "))}
50 búsquedas ADQL pa a GDR1C
SELECT *
FROM gaiad 1. gas_sou ce
WHERE HIP in ( ec o de HIP)
> o ales<-nume ic(50)
> o (i in 1:(leng h( ec)-1))
+ { o ales[i]=leng h(pa [[i]])}
86 APÉNDICE B
FROM gaiad 2.hippa cos2_bes _neighbou
WHERE o iginal_ex _sou ce_id in ( alo es de iden i icado es de hippa cos)
ORDER BY o iginal_ex _sou ce_id
> gd 2_hipp <- ead.cs ("../A chi os TFG/2.4/gd 2_hipp.cs "
+ , heade =T)
> gd 2_ ec o <- w i e. able(gd 2_hipp$sou ce_id,
+ ile="../A chi os TFG/2.4/gd 2_ ec o . x ")
Segunda consul a ADQL
SELECT HIP, "20 can idades as ome icas"
FROM gd 2.gaia_sou ce
WHERE sou ce_id in ("gd 2_ ec o ")
> gd 2 <- ead.cs ("../A chi os TFG/2.4/gd 2.cs ", heade =TRUE)
> gd 2_pa allax <- subse (gd 2, selec =c("sou ce_id","pa allax",
+ "pa allax_e o " ))
> head(gd 2_pa allax, 5)
sou ce_id pa allax pa allax_e o
1 3.245105e+15 10.517934 0.05829324
2 7.001557e+15 16.624334 0.28851213
3 7.264203e+15 6.048140 0.11639701
4 7.633158e+15 4.236715 0.07368882
5 7.870579e+15 4.842846 0.04417935
> n ow(gd 2_pa allax)

87
[1] 2359
> gd 2_pa allax <- subse (gd 2_pa allax, gd 2_pa allax$pa allax!="NA"
+ & gd 2_pa allax$pa allax_e o !="NA")
> n ow(gd 2_pa allax)
[1] 2045
> ma ching <- gd 2_hipp$sou ce_id %in% gd 2_pa allax$sou ce_id
> head(ma ching)
[1] FALSE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE
> ma ching1 <- which(ma ching==TRUE)
> leng h(ma ching1) # pa a exclui los alo es NA
[1] 2045
> p e io_hippa cos <- subse (gd 2_hipp[ma ching1,])
> n ow(p e io_hippa cos)
[1] 2045
> hippa cos_pa allaxes <- p e io_hippa cos$o iginal_ex _sou ce_id
> hippa cos_pa allaxes_o denados <- so (hippa cos_pa allaxes)
> leng h(hippa cos_pa allaxes_o denados)
[1] 2045
> w i e. able(hippa cos_pa allaxes_o denados,
+ ile="../A chi os TFG/2.4/hippa cos_pa allaxes_o denados. x ")
> hippa cos_as ome ic_pa allax <-
+ ead.cs ( ile="../A chi os TFG/2.4/hippa cos_as ome ic_pa allax.cs ",
+ heade =TRUE)
> n ow(hippa cos_as ome ic_pa allax)
[1] 2045
> hippa cos_as ome ic_pa allaxes <-
na.exclude(hippa cos_as ome ic_pa allax)
> n ow(hippa cos_as ome ic_pa allax)
[1] 2045
> p e io_hippa cos_1 <- p e io_hippa cos[wi h(p e io_hippa cos,
+ o de (p e io_hippa cos$sou ce_id)),]
> gd 2_pa allax1 <- gd 2_pa allax[wi h(gd 2_pa allax,
+ o de (gd 2_pa allax$sou ce_id)),]
> head(p e io_hippa cos, 3)
88 APÉNDICE B
sou ce_id o iginal_ex _sou ce_id
2 5.285634e+17 40
8 3.872488e+17 229
9 3.957315e+17 250
> da a_auxilia <- me ge(p e io_hippa cos_1, gd 2_pa allax1 )
> head(da a_auxilia , 2)
sou ce_id o iginal_ex _sou ce_id pa allax pa allax_e o
1 3.245105e+15 15253 10.51793 0.05829324
2 7.001557e+15 14075 16.62433 0.28851213
> colnames(da a_auxilia ) <- c("sou ce_id", "HIP",
+ "pa allax", "pa allax_e o ")
> da a_auxilia 1 <- da a_auxilia [wi h(da a_auxilia ,
+ o de (da a_auxilia $HIP)),]
> hippa cos_as ome ic_pa allax1 <-
+ hippa cos_as ome ic_pa allax[wi h(hippa cos_as ome ic_pa allax,
+ o de (hippa cos_as ome ic_pa allax$HIP)),]
> pa allax_da a <- me ge(hippa cos_as ome ic_pa allax1, da a_auxilia 1)
> head(pa allax_da a, 4)
HIP Plx e_Plx sou ce_id pa allax pa allax_e o
1 40 -3.40 4.25 5.285634e+17 1.0788363 0.05140893
2 229 2.16 2.57 3.872488e+17 3.8659872 0.05280850
3 250 5.19 1.99 3.957315e+17 0.8343263 0.31346937
4 261 8.21 2.41 2.339776e+18 5.1722473 0.04473758
> omega_h <- pa allax_da a$Plx
> omega_g <- ound(pa allax_da a$pa allax, 2)
> sigma_h <- pa allax_da a$e_Plx
> sigma_g <- ound(pa allax_da a$pa allax_e o , 2)
> a _h <- sigma_h^2
> a _g <- sigma_g^2
> ec o _mues al <- (omega_g-omega_h)^2/( a _g+ a _h)
> ec o _mues al1 <- so ( ec o _mues al)
> disc e o <- seq(1, 2045)
> acumulado <- disc e o/2045
> pun os <- pchisq( ec o _mues al1, d =1)
89
> x <- seq(0, 1, leng h=10)
> y <- x
> plo (acumulado ~ pun os, ype=’l’, main="P-Pplo pa a los pa alajes"
+ , xlab="Funcion de dis ibucion eo ica",
+ ylab="Funcion de dis ibucion mues al")
> poin s(x,y, ype=’l’, col=’blue’)
> ks. es ( ec o _mues al1, "pchisq", 1)
One-sample Kolmogo o -Smi no es
da a: ec o _mues al1
D = 0.042124, p- alue = 0.00141
al e na i e hypo hesis: wo-sided
> gd 2_p ope _mo ion <- subse (gd 2, selec =c("sou ce_id", "pm a", "pmdec",
+ "pm a_e o ", "pmdec_e o ", "pm a_pmdec_co "))
> head(gd 2_p ope _mo ion, 2)
sou ce_id pm a pmdec pm a_e o pmdec_e o pm a_pmdec_co
1 3.245105e+15 24.50467 -269.44675 0.09872993 0.08102237 0.07712530
2 7.001557e+15 36.78335 -85.73746 0.51253975 0.42438689 -0.07672557
> gd 2_p ope _mo ion <- subse (gd 2_p ope _mo ion,
+ gd 2_p ope _mo ion$pm a!="NA"
& gd 2_p ope _mo ion$pmdec!="NA"
+ & gd 2_p ope _mo ion$pm a_e o !="NA" &
+ gd 2_p ope _mo ion$pmdec_e o !="NA"
& gd 2_p ope _mo ion$pm a_pmdec_co !="NA")
> head(gd 2_p ope _mo ion, 2)
sou ce_id pm a pmdec pm a_e o pmdec_e o pm a_pmdec_co
1 3.245105e+15 24.50467 -269.44675 0.09872993 0.08102237 0.07712530
2 7.001557e+15 36.78335 -85.73746 0.51253975 0.42438689 -0.07672557
> n ow(gd 2_p ope _mo ion)
[1] 2045
> ma ching_p ope _mo ion <- gd 2_hipp$sou ce_id %in%
+ gd 2_p ope _mo ion$sou ce_id
> comp obacion <- ma ching == ma ching_p ope _mo ion
90 APÉNDICE B
> which(comp obacion =="FALSE")
in ege (0)
> p e io_p ope _mo ion <- p e io_hippa cos
> head(p e io_p ope _mo ion, 2)
sou ce_id o iginal_ex _sou ce_id
2 5.285634e+17 40
8 3.872488e+17 229
> n ow(p e io_p ope _mo ion)
[1] 2045
Búsqueda SQL en Hippa cos
SELECT ("5 magni udes ela i as a los mo imien os p opios")
FROM I/239/hip_main
WHERE HIP in ( ec o de iden i icado es de Hippa cos)
> hippa cos_as ome ic_p_m <- ead.cs ("2.4/hippa cos_as om_p_m.cs "
+ , heade =T)
> head(gd 2_p ope _mo ion, 2)
sou ce_id pm a pmdec pm a_e o pmdec_e o pm a_pmdec_co
1 3.245105e+15 24.50467 -269.44675 0.09872993 0.08102237 0.07712530
2 7.001557e+15 36.78335 -85.73746 0.51253975 0.42438689 -0.07672557
> head(p e io_p ope _mo ion, 2)
sou ce_id o iginal_ex _sou ce_id
2 5.285634e+17 40
8 3.872488e+17 229
> head(hippa cos_as ome ic_p_m, 2)
HIP pmRA pmDE e_pmRA e_pmDE pmDE.pmRA
1 40 -2.99 -3.18 4.14 3.75 -0.10
2 229 18.80 -5.10 1.59 1.59 -0.08
91
> p e io_p ope _mo ion1 <- p e io_p ope _mo ion[wi h(p e io_p ope _mo ion,
+ o de (p e io_p ope _mo ion$sou ce_id)),]
> gd 2_p ope _mo ion1 <- gd 2_p ope _mo ion[wi h(gd 2_p ope _mo ion,
+ o de (gd 2_p ope _mo ion$sou ce_id)),]
> auxilia _p_m <- me ge(gd 2_p ope _mo ion1, p e io_p ope _mo ion1)
> head(auxilia _p_m, 2)
sou ce_id pm a pmdec pm a_e o pmdec_e o pm a_pmdec_co
1 3.245105e+15 24.50467 -269.44675 0.09872993 0.08102237 0.07712530
2 7.001557e+15 36.78335 -85.73746 0.51253975 0.42438689 -0.07672557
o iginal_ex _sou ce_id
1 15253
2 14075
>
> colnames(auxilia _p_m) <- c("sou ce_id", "pm a", "pmdec",
+ "pm a_e o ","pmdec_e o ", "pm a_pmdec_co ", "HIP")
> auxilia _p_m1 <- auxilia _p_m[wi h(auxilia _p_m,
o de (auxilia _p_m$HIP)),]
> hippa cos_as ome ic_p_m1<-
hippa cos_as ome ic_p_m[wi h(hippa cos_as ome ic_p_m,
+ o de (hippa cos_as ome ic_p_m$HIP)),]
> p ope _mo ion_da a <- me ge(auxilia _p_m1,
hippa cos_as ome ic_p_m1)
> head(p ope _mo ion_da a, 2)
HIP sou ce_id pm a pmdec pm a_e o pmdec_e o
1 40 5.285634e+17 -1.721576 -2.388676 0.07204935 0.08050603
2 229 3.872488e+17 18.683311 -4.237698 0.07839015 0.05618416
pm a_pmdec_co pmRA pmDE e_pmRA e_pmDE pmDE.pmRA
1 -0.2809894 -2.99 -3.18 4.14 3.75 -0.10
2 -0.3010555 18.80 -5.10 1.59 1.59 -0.08
> pm a_g_ ec o <- ound(p ope _mo ion_da a$pm a, 2)
> pmde_g_ ec o <- ound(p ope _mo ion_da a$pmdec, 2)
> pm a_sd_g_ ec o <- ound(p ope _mo ion_da a$pm a_e o , 2)
> pmde_sd_g_ ec o <- ound(p ope _mo ion_da a$pmdec_e o , 2)
> pm a_pmde_g_co <- ound(p ope _mo ion_da a$pm a_pmdec_co , 2)
> pm a_ a _g_ ec o <- ound(pm a_sd_g_ ec o ^2, 2)
> pmde_ a _g_ ec o <- ound(pmde_sd_g_ ec o ^2, 2)

92 APÉNDICE B
> pm a_pmde_g_co <-
(pm a_pmde_g_co *pm a_sd_g_ ec o *pmde_sd_g_ ec o , 2)
> pm a_h_ ec o <- p ope _mo ion_da a$pmRA
> pmde_h_ ec o <- p ope _mo ion_da a$pmDE
> pm a_sd_h_ ec o <- p ope _mo ion_da a$e_pmRA
> pmde_sd_h_ ec o <- p ope _mo ion_da a$e_pmDE
> pm a_pmde_h_co <- p ope _mo ion_da a$pmDE.pmRA
> pm a_ a _h_ ec o <- pm a_sd_h_ ec o ^2
> pmde_ a _h_ ec o <- pmde_sd_h_ ec o ^2
> pm a_pmde_h_co <- pm a_pmde_h_co *pm a_sd_h_ ec o *pmde_sd_h_ ec o
> comp1_ ec o <- pm a_g_ ec o -pm a_h_ ec o
> comp2_ ec o <- pmde_g_ ec o -pmde_h_ ec o
> del a_p <- ma ix(0, n ow=2045, ncol=2)
> #C eamos el ec o del a_p_m pa a cada es ella
> o (i in seq(1, leng h(comp1_ ec o ))) {
+ del a_p[i, 1]=comp1_ ec o [i]
+ del a_p[i, 2]=comp2_ ec o [i]
+ }
> del a_p <- cbind(comp1_ ec o , comp2_ ec o )
> head(del a_p, 2)
comp1_ ec o comp2_ ec o
[1,] 1.2684239 0.7913241
[2,] -0.1166886 0.8623024
> C_g <- cbind(pm a_ a _g_ ec o , pmde_ a _g_ ec o , pm a_pmde_g_co )
> C_h <- cbind(pm a_ a _h_ ec o , pmde_ a _h_ ec o , pm a_pmde_h_co )
> C <- C_g + C_h
> head(C, 2)
pm a_ a _g_ ec o pmde_ a _g_ ec o pm a_pmde_g_co
[1,] 17.144791 14.068981 -1.5541299
[2,] 2.534245 2.531257 -0.2035739
> colnames(C) <- c("pm a_ ", "pmde_ ", "pm a_pmde_co ")
> mues a_p_m <- nume ic(2045)
> o (i in seq(1, 2045)) {
+ in _de <- 1/(C[i,1]*C[i,2]-C[i, 3]^2)
+ mues a_p_m[i]=del a_p[i,1]^2*in _de *C[i,2]+
del a_p[i,1]*del a_p[i,2]*2*in _de *(-C[i,3])+
93
del a_p[i,2]^2*in _de *C[i,1]
+
+
+
+ }
> head(mues a_p_m)
[1] 0.1528151 0.2946435 2.9473157 3.1405530 14.5896575 0.7103292
> leng h(mues a_p_m)
[1] 2045
> mues a_p_m_o denada <- so (mues a_p_m)
> disc e o1 <- seq(1, 2045)
> acumulado1 <- disc e o/2045
> pun os1 <- pchisq(mues a_p_m_o denada, d =2)
> x <- seq(0, 1, leng h=10)
> y <- x
> plo (acumulado1 ~ pun os1, ype=’l’,
main="P-Pplo pa a los mo imien os p opios"
+ , xlab="Funcion de dis ibucion eo ica",
+ ylab="Funcion de dis ibucion mues al")
> poin s(x,y, ype=’l’, col=’blue’)
> ks. es (mues a_p_m_o denada, "pchisq", 2)
One-sample Kolmogo o -Smi no es
da a: mues a_p_m_o denada
D = 0.10971, p- alue < 2.2e-16
al e na i e hypo hesis: wo-sided
Búsqueda SQL en el ca álogo de Van Leeuwen
SELECT HIP, Plx, e_Plx
FROM "I/311/hip2"
94 APÉNDICE B
WHERE HIP in ( ec o de iden i icado es de Hippa cos)
> anlewen <- ead.cs ("../A chi os TFG/2.4/ anlewen1.cs ", heade =T)
> head( anlewen, 2)
HIP Plx e_Plx
1 40 -2.26 3.22
2 229 2.85 1.52
> colnames( anlewen) <-c(’HIP’, ’pa alaje’, ’e o ’)
> head( anlewen, 2)
HIP pa alaje e o
1 40 -2.26 3.22
2 229 2.85 1.52
> anlewen_analisis <- me ge( anlewen, pa allax_da a)
> head( anlewen_analisis, 6)
HIP pa alaje e o Plx e_Plx sou ce_id pa allax pa allax_e o
1 40 -2.26 3.22 -3.40 4.25 5.285634e+17 1.0788363 0.05140893
2 229 2.85 1.52 2.16 2.57 3.872488e+17 3.8659872 0.05280850
3 250 4.01 1.05 5.19 1.99 3.957315e+17 0.8343263 0.31346937
4 261 4.98 1.61 8.21 2.41 2.339776e+18 5.1722473 0.04473758
5 274 1.31 0.38 0.93 0.57 4.316121e+17 0.2339128 0.48813736
6 316 5.67 0.65 5.48 1.25 2.766121e+18 5.4225870 0.06165799
> omega_h_ <- anlewen_analisis$pa alaje
> omega_g_ <- ound( anlewen_analisis$pa allax, 2)
> sigma_h_ <- anlewen_analisis$e o
> sigma_g_ <- ound( anlewen_analisis$pa allax_e o , 2)
> a _h_ <- sigma_h_ ^2
> a _g_ <- ound(sigma_g_ ^2, 2)
> ec o _mues al_ <- (omega_g_ -omega_h_ )^2/( a _g_ + a _h_ )
> ec o _mues al1_ <- so ( ec o _mues al_ )
> disc e o_ <- seq(1, 2045)
> acumulado_ <- disc e o/2045
> pun os_ <- pchisq( ec o _mues al1_ , d =1)
> x <- seq(0, 1, leng h=10)
> y <- x
95
> plo (acumulado_ ~ pun os_ , ype=’l’,
main="P-Pplo pa a los pa alajes"
+ , xlab="Funcion de dis ibucion eo ica",
+ ylab="Funcion de dis ibucion mues al")
> poin s(x,y, ype=’l’, col=’blue’)
> ks. es (acumulado_ , ’pchisq’, 1)
One-sample Kolmogo o -Smi no es
da a: acumulado_
D = 0.31731, p- alue < 2.2e-16
al e na i e hypo hesis: wo-sided
> iden i icado es <- pa allax_da a$HIP
> leng h(iden i icado es)
[1] 2045
> w i e. able(iden i icado es, ’../A chi os TFG/2.4/iden i icado es. x ’)
> # bucle
> leng h(da os_dmsa1_dobles_ iables$HPmag)
[1] 20696
> auxilia <-nume ic(0)
> ec o bucle<-seq(2, 20696, by=2)
> o (i in ec o bucle)
+ {auxilia <-c(auxilia , i)}
> da os_comp obacion <- subse (da os_dmsa1_dobles_ iables[auxilia ,])
> head(da os_comp obacion, 6)
CCDM Qual Ncomp Npa m Nco comp_id HIP HPmag RA
2 00003-4417 A 2 11 1 B 25 7.551 0.07924029
4 00004-4711 A 2 9 1 B 37 11.745 0.10532213
6 00005+6713 A 2 9 1 B 40 11.176 0.11781651
8 00005-7212 A 2 9 1 B 45 11.954 0.13192459
10 00006-5306 A 2 9 1 B 50 9.962 0.14241738
12 00006-6641 A 2 9 1 B 55 9.499 0.15516515
DE pa allax pmRA pmDE he a ho RA2000 DE2000
102 APÉNDICE B
+ ylab=’nume o de es ellas’, main=’’, xlim=c(-1, 1) )
> his (di dis1 , b eaks=80, col=’blue’,
+ xlab=’e o es en la es imacion de la dis ancia(kpc)’ ,
+ ylab=’nume o de es ellas’, main=’’, xlim=c(-1,0.5))

103
Código pa a 3.3
> da os<- ead.cs (’../A chi os TFG/3.3/Maka o .cs ’, heade =TRUE)
> head(da os)
sou ce_id
1 4.995999e+18
2 3.872488e+17
3 3.957315e+17
4 2.444844e+18
5 2.333016e+18
6 3.839349e+17
> sou ce_id<-da os$sou ce_id
> w i e. able(sou ce_id, ile=’Maka o 1. x ’)
> head(sou ce_id)
[1] 4.995999e+18 3.872488e+17 3.957315e+17 2.444844e+18 2.333016e+18
[6] 3.839349e+17
Búsqueda ADQL
SELECT pa allax
FROM gaiad 2.gaia_sou ce
WHERE pa allax < 0 and sou ce_id in
(" ec o de sou ce_id")
> da os_pa allaxes<- ead.cs (’../A chi os TFG/3.3/pa allaxes.cs ’)
> head(da os_pa allaxes)
pa allax
1 3.397189
2 6.048140
3 5.334009
4 7.551024
5 12.311582
6 10.523360
> pa allaxes<-da os_pa allaxes$pa allax
104 APÉNDICE B
> small_pa allaxes<-pa allaxes[pa allaxes<1.8]
> small_pa allaxes_ unca ed<-small_pa allaxes[small_pa allaxes>0]
> leng h(small_pa allaxes_ unca ed)/leng h(small_pa allaxes)
[1] 0.8809524
> mean(small_pa allaxes)
[1] 0.6171852
> mean(small_pa allaxes_ unca ed)
[1] 1.011445
> pa (m ow=c(1,2))
> his (small_pa allaxes, b eaks = 60,col=’g een’,
main=’His og ama de los
+ pa alajes de es ellas lejanas’,xlab=’pa alajes (mas)’,
ylab=’nume o de es ellas’)
> his (small_pa allaxes_ unca ed, b eaks=30,
xlim=c(-2,2), col=’o ange’, main=’His og ama
+ con los pa alajes uncados’,
xlab=’pa alajes uncados (mas)’, ylab=’nume o de es ellas’)
Búsquedas ADQL según longi ud galác ica
SELECT *
FROM gaiad 2.gaia_sou ce
WHERE l > 0 and l < 0.02
SELECT *
FROM gaiad 2.gaia_sou ce
WHERE l > 0 and l < 0.02 $ pa allax < 0
SELECT *
105
FROM gaiad 2.gaia_sou ce
WHERE l > 90 and l <90.02
SELECT *
FROM gaiad 2.gaia_sou ce
WHERE l > 90 and l < 90.02 $ pa allax < 0
SELECT *
FROM gaiad 2.gaia_sou ce
WHERE l > 180 and l <180.02
SELECT *
FROM gaiad 2.gaia_sou ce
WHERE l > 180 and l < 180.02 $ pa allax < 0
SELECT *
FROM gaiad 2.gaia_sou ce
WHERE l > 270 and l <270.02
SELECT *
106 APÉNDICE B
FROM gaiad 2.gaia_sou ce
WHERE l > 2700 and l < 270.02 $ pa allax < 0
107
Código pa a 3.4
> pos e io 1 <- unc ion( ) {
1/(sq (2*pi)*0.001)*exp((-1/(2*0.001^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 2 <- unc ion( )
{1/(sq (2*pi)*0.002)*exp((-1/(2*0.002^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 3 <- unc ion( )
{1/(sq (2*pi)*0.005)*exp((-1/(2*0.005^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 4 <- unc ion( )
{1/(sq (2*pi)*0.01)*exp((-1/(2*0.01^2))*(0.01-1/ )^2)}
> <- seq(45, 150, leng h=50)
> y1 <- pos e io 1( )
> y2 <- pos e io 2( )
> y3 <- pos e io 3( )
> y4 <- pos e io 4( )
> plo ( , y1, ype=’l’, col=’blue’, lwd=3,
main=’POD pa a di e en es alo es de ’, xlab=’ (pc)’, ylab=’POD’)
> lines( , y2, col=’g een’, lwd=3)
> lines( , y3, col=’ ed’, lwd=3)
> lines( , y4, col=’o ange’, lwd=3)
> legend(" ople ",col=c("blue","g een", ’ ed’, ’o ange’),
legend =c(" =0.1"," =0.2", ’ =0.5’,’ =1’), lwd=3, b y = "n")
> lim <- 1000
> pos e io 1 <- unc ion( )
{(1/ lim)*1/(sq (2*pi)*0.001)*exp((-1/(2*0.001^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 2 <- unc ion( )
{(1/ lim)*1/(sq (2*pi)*0.002)*exp((-1/(2*0.002^2))*(0.01-1/ )^2)}

108 APÉNDICE B
> pos e io 3 <- unc ion( )
{(1/ lim)*1/(sq (2*pi)*0.005)*exp((-1/(2*0.005^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 4 <- unc ion( )
{(1/ lim)*1/(sq (2*pi)*0.01)*exp((-1/(2*0.01^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 5 <- unc ion( )
{(1/ lim)*1/(sq (2*pi)*0.0025)*exp((-1/(2*0.0025^2))*(-0.01-1/ )^2)}
> in eg a e(pos e io 1, lowe =0, uppe =1000)
10.31616 wi h absolu e e o < 4.2e-05
> in eg al1 <- 10.316
> in eg a e(pos e io 2, lowe =0, uppe =1000)
11.55355 wi h absolu e e o < 4.3e-06
> in eg al2 <- 11.554
> in eg a e(pos e io 3, lowe =0, uppe =1000)
27.61169 wi h absolu e e o < 0.00016
> in eg al3 <- 27.612
> in eg a e(pos e io 4, lowe =0, uppe =1000)
28.9847 wi h absolu e e o < 0.0013
> in eg al4 <- 28.985
> in eg a e(pos e io 5, lowe =0, uppe =1000)
0.002932285 wi h absolu e e o < 1.4e-07
> in eg al5 <- 0.00293
> pos e io 1_no m <- unc ion( )
{(1/in eg al1)*(1/ lim)*1/(sq (2*pi)*0.001)*
exp((-1/(2*0.001^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 2_no m <- unc ion( )
109
{(1/in eg al2)*(1/ lim)*1/(sq (2*pi)*0.002)*
exp((-1/(2*0.002^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 3_no m <- unc ion( )
{(1/in eg al3)*(1/ lim)*1/(sq (2*pi)*0.005)*
exp((-1/(2*0.005^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 4_no m <- unc ion( )
{(1/in eg al4)*(1/ lim)*1/(sq (2*pi)*0.01)*
exp((-1/(2*0.01^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 5_no m <- unc ion( )
{(1/in eg al5)*(1/ lim)*1/(sq (2*pi)*0.0025)*
exp((-1/(2*0.0025^2))*(-0.01-1/ )^2)}
> <- seq(0, 1000, leng h=10000)
> y1 <- pos e io 1_no m( )
> y2 <- pos e io 2_no m( )
> y3 <- pos e io 3_no m( )
> y4 <- pos e io 4_no m( )
> y5 <- pos e io 5_no m( )
> plo ( , y1, ype=’l’, col=’blue’,
main=’POD pa a di e en es alo es de ’, xlab=’ (pc)’, ylab=’POD’)
> lines( , y2, col=’g een’)
> lines( , y3, col=’ ed’)
> lines( , y4, col=’o ange’)
> lines( , y5, col=’black’)
> legend(" op igh ",col=c("blue","g een",
’ ed’, ’o ange’, ’black’),legend =c(" =0.1"," =0.2",
’ =0.5’,’ =1’,’| |=0.25’), lwd=3, b y = "n")
110 APÉNDICE B
> pos e io 1 <- unc ion( )
{(( ^2*exp(- /L))/0.001)*
exp((-1/(2*0.001^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 2 <- unc ion( )
{(( ^2*exp(- /L))/0.002)*
exp((-1/(2*0.002^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 3 <- unc ion( )
{(( ^2*exp(- /L))/0.0029)*
exp((-1/(2*0.0029^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 4 <- unc ion( )
{(( ^2*exp(- /L))/0.0031)*
exp((-1/(2*0.0031^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 5 <- unc ion( )
{(( ^2*exp(- /L))/0.0033)*
exp((-1/(2*0.0033^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 6 <- unc ion( )
{1/2.5*(( ^2*exp(- /L))/0.005)*
exp((-1/(2*0.005^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 7 <- unc ion( )
{1/4*(( ^2*exp(- /L))/0.01)*
exp((-1/(2*0.01^2))*(0.01-1/ )^2)}
> pos e io 8 <- unc ion( )
111
{200*(( ^2*exp(- /L))/0.0025)*
exp((-1/(2*0.0025^2))*(-0.01-1/ )^2)}
> p io <- unc ion( ) {13.5* ^2*exp(- /L)}
> L=10^3
> <- seq(0,3000, leng h=200000)
> y1 <- pos e io 1( )
> #y2 <- pos e io 2( )
> y3 <- pos e io 3( )
> #y4 <- pos e io 4( )
> y5 <- pos e io 5( )
> y6 <- pos e io 6( )
> #y7 <- pos e io 7( )
> y8 <- pos e io 8( )
> p <- p io ( )
> pa (ann=F)
> plo ( , y1, ype=’l’, col=’blue’ , lwd=1.5,
main=’POD pa a di e en es alo es de ’, xlab=’ (pc)’, ylab=’POD’)
> #lines( , y2, lwd=1.5, col=’g een’)
> lines( , y3 , lwd=1.5, col=’ ed’)
> #lines( , y4, lwd=1.5)
> lines( , y5, lwd=1.5, col=’o ange’)
> lines( , y6, lwd=1.5, col=’g een’)
> #lines( , y7, lwd=1.5)
> lines( , y8, col=’black’, lwd=1.5)
> lines( , p, col=’yellow’, lwd=1.5)
> legend(" op igh ",col=c("blue"," ed", ’o ange’
, ’g een’, ’black’, ’yellow’),legend =c(" =0.1"
," =0.29", ’ =0.33’,’ =0.5’,’| |=0.25’, ’PD’),
lwd=3, b y = "n")
118 APÉNDICE B
[1] 73.65434
> sigma4 <- 0.00102
> omega4<- 0.00839
> L4 <- 720
>
> in eg and4 <- unc ion(x) {(1/(sigma4*sq (2*pi)*2*L4^3))*(x^2)*
+ exp((-((omega4)-(1/x))^2)/(2*sigma4^2)-x/L4)}
>
>
>
> in eg a e(in eg and4, lowe =0, uppe =120)
0.08844813 wi h absolu e e o < 2.1e-07
> in eg a e(in eg and4, lowe =20, uppe =130)
0.1514656 wi h absolu e e o < 4.6e-09
> in eg a e(in eg and4, lowe =0, uppe =250)
0.2654866 wi h absolu e e o < 7.2e-08
> in eg a e(in eg and4, lowe =0, uppe =260)
0.2655031 wi h absolu e e o < 5.1e-07
> in eg a e(in eg and4, lowe =0, uppe =270)
0.2655123 wi h absolu e e o < 2e-07
> in eg a e(in eg and4, lowe =0, uppe =280)
0.2655176 wi h absolu e e o < 1e-06
>
> no m4 <- 0.265518
> densidad4 <- unc ion(x) {(1/no m4)*
(1/(sigma4*sq (2*pi)*2*L4^3))*(x^2)*
+ exp((-((omega4)-(1/x))^2)/(2*sigma4^2)-x/L4)}
> in eg a e(densidad4, lowe =0, uppe =300)
1.000017 wi h absolu e e o < 6.2e-06
>
> in eg and_mean4 <- unc ion(x) {x*(1/no m4)*
(1/(sigma4*sq (2*pi)*2*L4^3))*(x^2)*

119
+ exp((-((omega4)-(1/x))^2)/(2*sigma4^2)-x/L4)}
> in eg a e(in eg and_mean4, lowe =0, uppe =300)
129.3829 wi h absolu e e o < 0.00045
>
>
>
> p ueba_e o <- seq(0, 300, leng h=100000)
> modas <- densidad4(p ueba_e o )
> indice <- which.max(modas)
> indice
[1] 40867
> p ueba_e o [indice]
[1] 122.5992
>
>
>
> a eas <- nume ic(100000)
> o (i in seq(1, 100000)) {a eas[i]=in eg a e(densidad4,
+ lowe =0, uppe =p ueba_e o [i])
+
+
+ }
>
> indices <- which(a eas > 0.4999999)
> indices[1]
[1] 42305
> p ueba_e o [indices[1]]
[1] 126.9133
>
>
> a eas <- nume ic(100000)
> o (i in seq(1, 100000)) {a eas[i]=in eg a e(densidad4,
+ lowe =0, uppe =p ueba_e o [i])
+
+
120 APÉNDICE B
+ }
>
> indices <- which(a eas > 0.049999)
> indices[1]
[1] 34704
> p ueba_e o [indices[1]]
[1] 104.11
>
>
> a eas <- nume ic(100000)
> o (i in seq(1, 100000)) {a eas[i]=in eg a e(densidad4,
+ lowe =0, uppe =p ueba_e o [i])
+
+
+ }
>
> indices <- which(a eas > 0.949999)
> p ueba_e o [indices[1]]
[1] 144.7918
> sigma5 <- 0.00066
> omega5<- -0.00201
> L5 <- 496.31
>
> in eg and5 <- unc ion(x) {(1/(sigma5*sq (2*pi)*2*L5^3))*(x^2)*
+ exp((-((omega5)-(1/x))^2)/(2*sigma5^2)-x/L5)}
>
>
>
> in eg a e(in eg and5, lowe =0, uppe =100000)
121
0.2843173 wi h absolu e e o < 1e-04
> in eg a e(in eg and5, lowe =20, uppe =110000)
0.2843174 wi h absolu e e o < 5.2e-07
> in eg a e(in eg and5, lowe =0, uppe =120000)
0.2843174 wi h absolu e e o < 1.7e-06
> no m5 <- 0.284317
> densidad5 <- unc ion(x) {(1/no m5)
*(1/(sigma5*sq (2*pi)*2*L5^3))*(x^2)*
+ exp((-((omega5)-(1/x))^2)/(2*sigma5^2)-x/L5)}
> in eg a e(densidad5, lowe =0, uppe =100000)
1.000001 wi h absolu e e o < 4.1e-07
>
> in eg and_mean5 <- unc ion(x) {x*(1/no m5)
*(1/(sigma5*sq (2*pi)*2*L5^3))*(x^2)*
+ exp((-((omega5)-(1/x))^2)/(2*sigma5^2)-x/L5)}
> in eg a e(in eg and_mean5, lowe =0, uppe =7200)
2676.42 wi h absolu e e o < 0.00035
>
>
>
> p ueba_e o <- seq(0, 120000, leng h=100000)
> modas <- densidad5(p ueba_e o )
> indice <- which.max(modas)
> indice
[1] 1869
> p ueba_e o [indice]
[1] 2241.622
>
>
>
> a eas <- nume ic(100000)
> o (i in seq(1, 100000)) {a eas[i]=in eg a e(densidad5,
+ lowe =0, uppe =p ueba_e o [i])
+
+
+ }
122 APÉNDICE B
>
> indices <- which(a eas > 0.4999999)
> indices[1]
[1] 2114
> p ueba_e o [indices[1]]
[1] 2535.625
>
>
> a eas <- nume ic(100000)
> o (i in seq(1, 100000)) {a eas[i]=in eg a e(densidad5,
+ lowe =0, uppe =p ueba_e o [i])
+
+
+ }
>
> indices <- which(a eas > 0.049999)
> indices[1]
[1] 1178
> p ueba_e o [indices[1]]
[1] 1412.414
>
>
> a eas <- nume ic(100000)
> o (i in seq(1, 100000)) {a eas[i]=in eg a e(densidad5,
+ lowe =0, uppe =p ueba_e o [i])
+
+
+ }
> indices <- which(a eas > 0.949999)
> p ueba_e o [indices[1]]
[1] 3280.771
123
Búsqueda SQL en Vizie pa a ob ene los es an es alo es de la Tabla 3.2
SELECT RAICRS, DEICRS, pmRA, pmDE, HIP
FROM "I/239/hip_main"
WHERE HIP in (2814, 274, 404, 760, 5844)