Métodos estadísticos aplicados al deporte

T aballo Fin de G ao
Mé odos es adís icos aplicados al
depo e
Daniela Gómez González
Julio, 2022
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO EN MATEMÁTICAS
T aballo Fin de G ao
Mé odos es adís icos aplicados al
depo e
Daniela Gómez González
Julio, 2022
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
T abajo p opues o
Á ea de Conocimien o:
Es adís ica e In es igación de Ope a i a
Tí ulo: Mé odos es adís icos aplicados al depo e
B e e desc ipción del con enido
En los úl imos años apa ece una g an a iedad de medidas es adís icas
asociadas a e en os depo i os. La aplicación de mé odos es adís icos
al depo e iene de la mano del depo e p o esional en Es ados Unidos,
p incipalmen e del béisbol (Sabe me ics) que después se ha ex endido
a o os ámbi os (NBA, NFL...). El obje i o de es e abajo es e isa
y aplica los p incipales p ocedimien os es adís icos y su u ilidad en
las disciplinas depo i as.
Recomendaciones
O as obse aciones
iii

Índice
Resumen
ii
In oducción
ix
1. P elimina es 1
1.1. Da os .......................................... 1
1.1.1. Depu ación de los da os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Análisisdelosda os .............................. 2
2. Modelo múl iple 7
2.1. Denicióndelmodelo.................................. 7
2.2. Fo mulacióndelmodelo ................................ 9
2.3. Validaciónydiagnosis ................................. 10
2.4. Selecciónde a iables.................................. 14
3. Modelo no Lineal 21
3.1. Modelos adi i os gene alizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.1. Ajus e eó ico de un modelo adi i o gene alizado . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2. Fo mulación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.3. Ma ginalEec s ................................ 32
4. Compa aciones 39
i
ÍNDICE
4.1. Sala io s Box Plus/Minus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.1. Fo mulación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2. Compa ación de modelos Sala io s A aque y Sala io s De ensa . . . . . 47
4.2. VORP sAge...................................... 50
4.2.1. Fo mulación del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Bibliog a ía 55
I. Tablas y Figu as complemen a ias 57
II. Código de R 63
Resumen
La es adís ica es á p esen e en odos los ámbi os de la ida, incluyendo depo es como el
balonces o. G acias a es a disciplina, ligas como la NBA gene an g andes can idades de dine o
al año y op imizan di e en es ace as del juego. Es e abajo se cen a en el es udio del sala io de
los jugado es de la liga de balonces o ame icana en la empo ada 2020-2021, a a és de cie as
ca ac e ís icas como la edad o ca ac e ís icas de su juego. El obje i o p incipal es el de, median e
la eo ía de los modelos de eg esión, aplica los conocimien os de los mé odos lineales, así como
in oduci mé odos no pa amé icos buscando una aplicación p ác ica e in e p e able de los da os
ecogidos, con el p opósi o de e cuales de las ca ac e ís icas son las más inuyen es y las que
más in o mación apo an a la ho a de p edeci los sueldos. Además se es udia si exis en casos que
supongan i egula idades en el plan eamien o de es os modelos y sus posibles in e p e aciones
analizando jugado es que es án siendo pagados po encima o po debajo de su sueldo es imado.
Abs ac
S a is ics is p esen in all a eas o li e, including spo s such as baske ball. Thanks o his
discipline, leagues like he NBA gene a e la ge amoun s o money pe yea and enhance die en
ace s o he game. This wo k ocuses on he s udy o he sala y o playe s in he Ame ican
baske ball league in he 2020-2021 season, h ough ce ain cha ac e is ics such as he age, he
Box Plus/Minus o he alue o e eplacemen playe . The aim o his s udy is o apply linea
me hods, as well as non-pa ame ic me hods. In his way, a p ac ical and in e p e able applica ion
o he collec ed da a is ca ied ou , wi h he pu pose o seeing which o he playe s' cha ac e is ics
a e he mos inuen ial and he ones ha p o ide he mos in o ma ion when p edic ing sala ies.
In addi ion, we s udy whe he he e a e ce ain cases ha in ol e i egula i ies in he app oach
o hese models and hei possible in e p e a ions by analyzing playe s who a e being paid abo e
o below hei es ima ed sala y.
ii
4 1. P elimina es
Denición 1.5.
Se dene
coecien e de co elación múl iple
de
Y
sob e
X1, X2, . . . , Xp−1
como el coecien e de co elación simple en e
Y
y el ajus e
β1X1+. . . +βp−1Xp−1
Co (Y;X1, . . . , Xp−1) = Co (Y, β1X1+. . . +βp−1Xp−1)
(1.5)
Si se obse a la ma iz de co elaciones de las a iables explica i as ecogida en la Tabla I del
Anexo I, es udiando po ejemplo los minu os jugados, se puede e que se ob ienen alo es pe-
queños, ce ca del 0, es o sugie e que en es e caso, es a a iable no apo a in o mación edundan e
que ya pod ía es a siendo dada po el es o de a iables. Si se alo a aho a la con ibución en el
a aque cuando un jugado es á en pis a (OBPM) se e que las co elaciones es án más p óximas
a uno, lo cual indica que pod ía se ocasionado po una in o mación ya dada po o a a iable.
Es o iene sen ido pues, es a a iable incluye in o mación sob e las es adís icas de los jugado es
en posiciones de a aque.
Aho a bien, con el p opósi o de e cuales de las ca ac e ís icas p opo cionan una mejo
desc ipción del sala io, se ealiza un nue o cálculo de las ma ices de co a ianzas y co elaciones
incluyendo es a ez el sala io. En la Tabla 1.2 se ecogen las co elaciones de las a iables en
unción del sala io.
Age MP PER TS X3Pa FT
0.427 0.615 0.461 0.230 -0.078 0.054
ORB DRB TRB AST STL BLK
-0.071 0.168 0.085 0.356 0.035 -0.005
TOV USG OWS DWS WS WS48
0.047 0.436 0.498 0.557 0.572 0.308
OBPM DBPM BPM VORP Sala io
0.541 0.148 0.533 0.570 1.000
Tabla 1.2: Co elación simple de los eg eso es con el sala io
Su ge en onces la duda de cual es el mejo modelo pa a empeza con el análisis. Si bien se
pod ía pensa en esc ibi un modelo con odas las a iables de las cuales se ienen da os, quizás,
debido al al o núme o de a iables, algo más azonable se ía escoge aquellas que puedan desc ibi
mejo el sala io. Es o es, aquellas que hagan que el sala io cambie más, en unción de su a iación,
o lo que es lo mismo, aquellas a iables explica i as que p esen en una mayo co elación con
el sala io. De es a o ma, pa ece adecuado pensa en es udia el sala io en unción de la edad,
minu os jugados, la calicación de eciencia del jugado , el po cen aje de pé didas, el
usage
, el
po cen aje de acciones ganadas en a aque, en de ensa y o ales de un jugado , la con ibución
en a aque y la o al, y po úl imo el VORP. En secciones pos e io es a la ho a de selecciona

1.1. Da os 5
las a iables que p edigan mejo el sala io, se end án en cuen a odas las a iables iniciales. De
es a o ma no se desca an aquellas que po si mismas no p esen an una buena co elación con
el sala io, pe o que jun o con o os eg eso es, pod ían ene un papel impo an e en el modelo.
En la siguien e abla se ecoge la co elación en e las a iables seleccionadas, así como el
sala io. De o ma que se puede e la elación que p esen an en e ellas y con la a iable espues a.
Age MP PER USG OWS DWS WS OBPM BPM Sala io
Age 1.00 0.16 0.17 0.01 0.22 0.20 0.24 0.25 0.31 0.43
MP 0.16 1.00 0.42 0.38 0.64 0.80 0.77 0.55 0.51 0.62
PER 0.17 0.42 1.00 0.60 0.75 0.49 0.74 0.87 0.87 0.46
USG 0.01 0.38 0.60 1.00 0.37 0.27 0.37 0.60 0.43 0.44
OWS 0.22 0.64 0.75 0.37 1.00 0.59 0.95 0.80 0.78 0.50
DWS 0.20 0.80 0.49 0.27 0.59 1.00 0.81 0.48 0.60 0.56
WS 0.24 0.77 0.74 0.37 0.95 0.81 1.00 0.77 0.80 0.57
OBPM 0.25 0.55 0.87 0.60 0.80 0.48 0.77 1.00 0.93 0.54
BPM 0.31 0.51 0.87 0.43 0.78 0.60 0.80 0.93 1.00 0.53
Sala io 0.43 0.62 0.46 0.44 0.50 0.56 0.57 0.54 0.53 1.00
Una ez analizados los da os que se u ilizan, el siguien e paso es la c eación del modelo. Se
e án dis in as posibilidades, a ando de iden ica cual es la que mejo se amolda a los da os.
Capí ulo 2
Modelo múl iple
2.1. Denición del modelo
Un modelo de eg esión lineal múl iple a a de ep esen a como se compo a una a iable
espues a
Y
en unción de una se ie de a iables explica i as
X1, X2,··· , Xp
suponiendo que exis-
e una elación lineal en e la espues a y el es o de a iables. Siendo en onces
β0, β1, β2,··· , βp
un ec o de pa áme os que acompaña a las a iables, se dene el modelo lineal múl iple como:
Y=β0+β1X1+···+βpXp+ε,
(2.1)
donde
ε
es el e o .
Cabe des aca que
β0
es el in e cep o, dicha can idad ep esen a el alo de la espues a si
odas las a iables explica i as uesen nulas. Los coecien es asociados al es o de pa áme os,
ep esen an como a ía la espues a, si la a iable asociada a cada uno de ellos aumen a una
unidad, y el es o pe manecen cons an es.
Bajo un diseño jo, es deci , conociendo de an emano un conjun o de da os, se puede desc ibi
el modelo en unción de cada indi iduo del cual se es udian una se ie de ac o es, pa a el i-ésimo
indi iduo se end ía:
Yi=β0+β1xi,1+···+βpxi,p +εi.
(2.2)
En los modelos de eg esión lineal múl iple se suponen cie as las hipó esis de homocedas i-
cidad, no malidad e independencia. Es as se pueden esumi en la siguien e condición pa a los
e o es:
ε1,··· , εn∈N(0, σ2)
independien es
.
(2.3)
7
8 2. Modelo múl iple
Se puede o mula (2.1) de o ma ma icial,




Y1
.
.
.
Yn




=



1x11 ··· x1,p
.
.
..
.
.....
.
.
1xn1··· xn,p











β0
β1
.
.
.
βp







+



ε1
.
.
.
εp




.
(2.4)
De o ma ab e iada se ía
Y=Xβ+ε,
(2.5)
Y
es el ec o de la espues a,
X
la ma iz de diseño donde cada la es un indi iduo y cada
columna un asgo a es udia ,
β
es el ec o de coecien es asociado a cada a iable, y
ε
el ec o
de e o es e icando
ε∈Nn(0, σ2In)
Obse ación
2.1
.
La ma iz de diseño
X
con iene una p ime a columna de unos pa a que en el
modelo se enga en cuen a el é mino independien e.
En cuan o a los pa áme os del modelo, se pueden es ima median e el mé odo de mínimos
cuad ados. Pa a la es imación de
β
se p ocede de la siguien e o ma: Se busca
ˆ
β
al que cumpla
m´ın
β
n
X
i=1
(Yi−xiβ)2,
(2.6)
y así se llega a:
ˆ
β=(X′X)−1X′Y.
(2.7)
Es impo an e ene en cuen a que la ma iz
X′X
sea no singula . Una ez is o es o, los
alo es es imados se calculan sin más que mul iplica el es imado de los pa áme os po la
ma iz de diseño
ˆ
Y=Xˆ
β=X(X′X)−1X′Y=HY
, con
H=X(X′X)−1X′
conocida
como ma iz
ha
.
Además los esiduos se pueden esc ibi como la di e encia en e la espues a obse ada y el
ajus e
ˆε=Y−ˆ
Y=(In
−H)Y=MY
, deno ando po
M
la ma iz gene ado a de esiduos.
Dado que la ma iz
ha
es de p oyección, iene la pa icula idad de se idempo en e, luego
M
ambién lo es. Pa a e mina , al a la es imación del o o pa áme o del modelo, la a ianza.
Es o iene dado de la siguien e o ma
ˆσ2=RSS
n−p+ 1,
(2.8)
con
RSS
la suma esidual de cuad ados (
RSS =ˆε′ˆε=Y′MY
).
2.2. Fo mulación del modelo 9
2.2. Fo mulación del modelo
Una ez seleccionadas las a iables que mejo explican los sala ios e in oducido el modelo, se
o mula pa a los da os que se quie en es udia . Pa a ello se puede esc ibi el modelo en R y una
ez o mulado, en la salida del
summa y
, se ob ienen los coecien es de cada una de las a iables,
así como el in e cep o y o os da os que se analiza án más adelan e pa a comp oba si se iene
un modelo álido. La sin axis empleada pa a el código se puede consul a en el Anexo II.
Es ima e S d. E o alue P (
>|
|
)
In e cep o 10.6005922 0.4970030 21.329 <2e-16 ***
Age 0.1002132 0.0110409 9.077 <2e-16 ***
MP 0.0008665 0.0001635 5.298 1.93e-07 ***
PER 0.0063118 0.0272033 0.232 0.81664
USG 0.0548040 0.0166989 3.282 0.00112 **
OWS 1.0641905 0.9505746 1.120 0.26359
DWS 1.1035123 0.9529828 1.158 0.24757
WS -1.1360142 0.9404665 -1.208 0.22779
OBPM -0.0813631 0.0730540 -1.114 0.26606
BPM 0.0895188 0.0689791 1.298 0.19511
VORP 0.1472507 0.1444356 1.019 0.30858
R2
0.5651
Tabla 2.1: Es imaciones de los coecien es, e o es, es adís icos de con as e y p- alo es asociados
a la p ime a o mulación del modelo lineal.
A la is a de la Tabla 2.1, el modelo queda ía o mulado de la siguien e mane a.
Y= 10.6+0.100 ×
Age
+ 0.001 ×
MP
+ 0.006 ×
PER
+ 0.055 ×
USG
+ 1.064 ×
OWS
+ 1.104 ×
DWS
−1.136 ×
WS
−0.081 ×
OBPM
+ 0.090 ×
BPM
+ 0.147 ×
VORP
.
(2.9)
En cuan o a la in o mación más ele an e que apo a la Tabla 2.1, en la p ime a columna,
se ienen los coecien es asociados a cada a iable. Es os alo es pe mi en esc ibi la ecuación
del modelo, en es e caso, (2.9). Además se in e p e an como sigue: el alo de dicho coecien e
indica cuan o a ía la espues a si se aumen a una unidad de la a iable asociada, y el es o de
a iables pe manecen cons an es. También se debe des aca la úl ima columna, es a p opo ciona

10 2. Modelo múl iple
el p- alo del con as e
(
H
0
:
βi= 0
H
a
:
βi= 0
(2.10)
Es cla o que el con as e se ealiza pa a cada eg eso y de e mina que pa áme os es imados son
signica i amen e dis in os de 0. Además del p- alo asociado al con as e, se incluyen cie os
símbolos que pe mi en isualiza la signicación de las a iables. Es o es, alo es en e el 0 y
0.001 se ep esen an con ***, en e 0.001 y 0.01 con **, pa a los p- alo es en e 0.01 y 0.05 se
usa un único *, en e 0.05 y 0.1 se ep esen a con un . y los p- alo es mayo es que 0.1 no se
co esponden con ningún símbolo. De es a o ma las a iables señaladas con *** son aquellas
que son signica i amen e dis in as de 0 po lo que debe ían se u ilizadas en el modelo. Las
a iables con  ** ambién mues an e idencias es adís icamen e signica i as po debajo del
1 %
y ambién se deben conside a como dis in as de 0.
2.3. Validación y diagnosis
Una ez plan eado el modelo, el siguien e paso es p ocede a la alidación. Se a a de e ,
en p ime luga , cuales de los coecien es son signica i os, es deci , signica i amen e no nulos.
Así, iendo la salida del esumen del apa ado an e io que se ecogen en la Tabla 2.1, se e
cla amen e que los coecien es signica i os, son los asociados a las a iables Age, MP y USG
al ni el del
1 %
.
Además se puede e que el alo del coecien e de de e minación,
R2
, es de 0.5651, lo cual
indica que con es e modelo queda explicada el 56.51
%
de la a ianza de la espues a. Es e alo
coincide con el cuad ado del coecien e de co elación múl iple denido en (1.5). Dicho alo no
es muy ele ado, po lo que de cumpli se las hipó esis básicas del modelo lineal, con end ía busca
o o plan eamien o que explique mejo la espues a.
Aho a bien, pa a alida el modelo, se debe e que cumple las cua o hipó esis básicas de
los modelos lineales que se habían in oducido an e io men e. Se ienen múl iples lib e ías de
R que pe mi en con as a las, sin emba go, esul a ú il consul a los g ácos del modelo que se
ob ienen u ilizando el comando
plo
e incluyendo como a gumen o el modelo.
La p ime a g áca de la Figu a 2.1 ep esen a los esiduos en e a los alo es ajus ados,
que no son más que una combinación lineal de las a iables explica i as que in e ienen en
el modelo. Pe mi e isualiza como se dis ibuyen los esiduos, si es os siguen algún ipo de
endencia (linea ec a, pa ábola...) o si se dis ibuyen sin ningún ipo de pa ón. Pa a el modelo
que se es á es udiando, pa ece que los esiduos ienen una endencia lineal, sin emba go en la
pa e izquie da del eje X pa ece habe una g an can idad de alo es a ípicos que alejan a los
2.3. Validación y diagnosis 11
14 15 16 17 18
−3 −1 1
Fi ed alues
Residuals
Residuals s Fi ed
V2254
V2202
V256
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3 −1 1 3
Theo e ical Quan iles
S anda dized esiduals
No mal Q−Q
V2254
V2202
V256
14 15 16 17 18
0.0 1.0
Fi ed alues
S anda dized esiduals
Scale−Loca ion
V2254
V2202
V256
0.00 0.05 0.10 0.15
−3 0 2
Le e age
S anda dized esiduals
Cook's dis ance
Residuals s Le e age
V2254
V2202
V212
Figu a 2.1: G ácos pa a la alidación y diagnosis del modelo (2.9).
esiduos de es a endencia.
La segunda g áca pe mi e hace un es udio de la no malidad. Es un QQ-plo que compa a
los esiduos es anda izados con la dis ibución no mal eó ica. Si es os esiduos se si úan sob e la
ec a de la no mal, en onces se puede asumi que el modelo cumple la hipó esis de no malidad.
En el caso que se es á a ando, pa ece que se amoldan bas an e bien a dicha ec a, así que se
puede in ui que hay no malidad en el modelo.
La e ce a es un g áco de localización y escala. Rep esen a los alo es ajus ados en e a la
aíz cuad ada de los esiduos es anda izados y pe mi e e si hay homocedas icidad en el modelo.
Se busca que la línea oja sea lo más ho izon al posible, y que los esiduos se dis ibuyan en o no
a ella de mane a alea o ia y de o ma que odos a íen más o menos lo mismo. Lo cual se ía un
indica i o de que la a ianza se man iene cons an e. En es e caso, pod ía in ui se algún p oblema
con la homocedas icidad pues la ec a pa ece ene cie a inclinación. Se aplica á pos e io men e
un es que pe mi a una mejo in e p e ación.
La úl ima se conoce como Residuals Vs Le e ages, con iene in oduci unos concep os que
en a án en juego. Dichas deniciones se pueden encon a en (D ape e al., 1998).
Denición 2.2.
Se denomina
le e age
(o apalancamien o) en eg esión lineal simple, al peso
12 2. Modelo múl iple
que eje ce un indi iduo sob e su p opia p edicción y se ep esen a po
hii
hii =1
n+(xi−¯x)2
Pn
j=1(xj−¯x)2,
(2.11)
donde
n
es el amaño de la mues a,
xi
la i-ésima obse ación y
¯x
su media. Pa a el caso de la
eg esión mul iple, los
hii
no son más que los elemen os de la diagonal de la ma iz
Ha
, pues la
a ianza de los esiduos es
σ2(1 −hii)
.
Denición 2.3.
Se denomina
dis ancia de Cook
a la siguien e can idad:
Di=Pn
j=1(ˆ
Yj−ˆ
Yj(i))2
pˆσ2,
(2.12)
donde
ˆ
Yj
son los ajus es incluyendo odos los da os,
ˆ
Yj(i)
los ajus es sin el da o i-ésimo y
p
el núme o de a iables explica i as. Análogamen e se puede deni en é minos de los apalan-
camien os.
Di=1
p 2
i
hii
1−hii
.
(2.13)
Así un pun o causa á inuencia sob e la ec a de eg esión si iene un apalancamien o al o
(mayo que
2p
n
) y si su dis ancia de Cook es g ande.
En la g áca de la Figu a 2.1 se ep esen an en las abscisas los apalancamien os y en las
o denadas los esiduos es anda izados, así como dos ec as discon inuas pa a dis ancias de Cook
mayo es que 0.5 y 1. Los pun os si uados en es as egiones con iene analiza los y a a de da les
una explicación en cuan o a su dis anciamien o del modelo.
Una ez obse ados los g ácos de apoyo a la alidación y diagnosis del p oblema, se con inúa
con la ealización de los con as es de hipó esis pa a comp oba lo que se suponía p e iamen e.
Pa a la hipó esis de linealidad, se aplica el
Ramsey RESET es
, p opues o po Ramsey
y que se encuen a en (Ramsey, 1968). Es e es supone que se iene un modelo de la siguien e
o ma,
Y=β0+β1X1+···+βKXK+δ1ˆ
Y2+δ2ˆ
Y3+ε
que p esen a como a iables explica i as,
unciones no lineales de los alo es ajus ados. Es o pe mi e e si en la p ime a denición del
modelo, como un modelo lineal, al a in o mación que debe se explicada median e modelos no
lineales. Se ealiza el siguien e es :
(
H
0
:
δ1= 0, δ2= 0
H
a
:
δ1= 0, δ2= 0
(2.14)
Rese Tes
Da a: modelo
RESET = 4.3635, d 1 = 1 d 2 = 401 p- alue = 0.037
Tabla 2.2: Es adís ico de con as e, g ados de libe ad y p- alo asociado al con as e de linealidad
2.3. Validación y diagnosis 13
En la Tabla 2.2, en la que se ecogen los da os del es , se puede e que el p- alo asociado
al con as e es de 0.037, meno que los ni eles de signicación habi uales del 5 y del 10
%
, sin
emba go, no es meno que el 1
%
, aun así, hay e idencias es adís icamen e signica i as pa a
echaza la hipó esis de linealidad como ya se enía suponiendo en el análisis de la g áca.
En cuan o a la no malidad, se u iliza un
es de Shapi o
, cuyo esul ado es el p- alo
asociado al siguien e con as e
(
H
0
:
ε∈Nn(0, σ2In)
H
a
:
ε /∈Nn(0, σ2In
)(2.15)
Es e es se ealiza sob e los esiduos es anda izados de la eg esión, es o es po que al es-
anda iza los, los esiduos es án más ce ca de ene una a ianza común, lo cual, pe mi e e
más ácilmen e si se incumple alguna de las hipó esis de los modelos lineales.
Denición 2.4.
Se denen los
esiduos es anda izados
de un modelo de eg esión como el
cocien e
i=ˆεi
ˆσ√1−hii
.
(2.16)
Shapi o-Wilk no mali y es
Da a: es
W = 0.99 p- alue = 0.607
Tabla 2.3: Es adís ico de con as e y p- alo asociado al con as e de no malidad
Se puede obse a que el p- alo asociado al con as e es de 0.607, mayo que los ni eles
de signicación habi uales ya mencionados an e io men e, po lo que no hay e idencias pa a
echaza la hipó esis nula, acep ando así que se iene no malidad en el modelo, es deci , los
e o es siguen una dis ibución no mal, al y como se in uía en el QQ-plo de la Figu a 2.1.
En cuan o a la homocedas icidad, se quie e e si la a ianza de los e o es pe manece cons-
an e, pa a es udia lo, se puede u iliza el
es de Ha ison Mc-Cabe
.
(
H
0
:
σ2
1=σ2
2=. . . =σ2
n.
H
a
:
σ2
1=σ2
2=. . . =σ2
n.
(2.17)
En la Tabla 2.4 se ecoge la in o mación de es e con as e. De nue o, el p- alo asociado a es e
con as e, 0.662, es mayo que los ni eles de signicación habi uales, po lo que no hay p uebas
es adís icamen e signica i as pa a echaza la hipó esis nula, acep ando así que el modelo es
homocedás ico. A pesa de habe is o en la Figu a 2.1 que pod ía habe he e ocedas icidad, a
la is a de es e con as e es o no es cie o.

Capí ulo 3
Modelo no Lineal
Una ez se ha a ado de ajus a un modelo lineal y se ha is o que no se cumplían las
hipó esis, cabe pensa en los modelos no lineales pa a a a de encon a un modelo que explique
mejo la a iable espues a en unción de las a iables explica i as.
Con obje o de e cual es la endencia que siguen las a iables explica i as, se ealiza un
g áco de dispe sión que pe mi e e que o mas siguen los da os de cada a iable, y que ipo de
elación ienen con la a iable espues a. Se sepa an las 6 a iables explica i as en dos g ácos,
pa a ene una compa ación más cla a son el sala io, que en la Figu a 3.1 y la Figu a 3.2 iene
denido como V2.
Age
500 2500
20 25 30 35
12 16
500 1500 2500
MP
USG
10 15 20 25 30 35
12 14 16
20 3010 25
V2
Figu a 3.1: G ácos de dispe sión pa a las a iables Age, MP, USG y el sala io
21
22 3. Modelo no Lineal
DWS
−10 5
012345
12 16
−10 −5 0 5
BPM
VORP
−2 0 2 4 6
12 14 16
0 2 4−2 2 6
V2
Figu a 3.2: G ácos de dispe sión pa a las a iables DWS, BPM, VORP y el sala io
Con un simple golpe de is a de la Figu a 3.1 y la Figu a 3.2 , se e cla amen e lo que
se espe aba. U ilizando unciones de sua izado pa a desc ibi la o ma en la que se disponen
los da os de una a iable al elaciona la con la espues a, se e que la mayo ía no ienen una
endencia lineal, si no que siguen dis in os ipo de cu as.
3.1. Modelos adi i os gene alizados
Dado que en la ida eal, muchas si uaciones no son explicables median e modelos lineales,
su gen mé odos pa a explica o o ipo de elaciones. Uno de ellos, sob e los que se desa olla án
las p incipales ideas a con inuación, son los modelos adi i os gene alizados.
Según el capí ulo 9 de (Has ie e al., 2009), dado un conjun o de a iables explica i as
X1, X2,··· , Xp
y una espues a
Y
, se dene el
modelo adi i o gene alizado (GAM)
de
la siguien e mane a.
E(Y|X1, X2,··· , Xp) = α+ 1(X1) + 2(X2) + ···+ p(Xp).
(3.1)
Las
j, j ∈ {1,··· , p}
son unciones sua es que se es iman u ilizando un algo i mo conocido
como
Back ing
, se ecoge en el Algo i mo 3.1. Es un p oceso i e a i o que a sua izando los
esiduos.
3.1. Modelos adi i os gene alizados 23
El hecho de se gene alizado iene que e con que pueden exis i dis in as unciones
link
que elacionan la media condicionada de una a iable espues a
Y
con una unción adi i a de las
a iables explica i as. Exis en dis in os ipos de unciones
link
y se dene el modelo de acue do
con la exp esión (3.2).
g[µ(X)] = α+ 1(X1) + . . . + p(Xp).
(3.2)
Pa a los da os sob e los que se es á abajando, se usa la unción iden idad, luego en adelan e
se ha á e e encia a es os modelos simplemen e como modelos adi i os. A la ho a de in oduci
la
de iance
ca ac e ís ica de es os modelos, cabe des aca que en el caso de ene no malidad en
la espues a (es el caso de la unción iden idad como unción
link
)se co esponde con la suma
esidual de cuad ados,
RSS
, p opia de los modelos lineales.
Una ca ac e ís ica impo an e que los hace ú iles, es que no odas las unciones deben se no
lineales, es o educe la complejidad de un modelo o almen e no pa amé ico.
3.1.1. Ajus e eó ico de un modelo adi i o gene alizado
Con la no ación habi ual que se es á u ilizando, se iene que un modelo adi i o iene la
siguien e o ma
Y=α+
p
X
j=1
j(Xj) + ε,
(3.3)
y además
ε∈N(0, σ2).
Es e ipo de modelos p esen an las mismas hipó esis que las del
modelo lineal, excep uando su o ma. Además se impone que
E( j(Xj)) = 0
de o ma que no
haya dos modelos di e en es que apo en la misma p edicción.
Como se había mencionado an e io men e, las
j
son unciones de sua izado que se de e mi-
nan a pa i de los da os, median e el algo i mo de
Back ing
.
Algo i mo 3.1
(Back ing)
.
1.
Inicialización
ˆα=1
NPN
1yi,ˆ
j= 0,∀i, j
2.
Bucle
:j= 1,2,··· , p, 1,2,··· , p.
ˆ
j← Sj[{yi−ˆα−Pk=jˆ
k(xik)}N
1],
ˆ
j←ˆ
j−1
NPN
i=1 ˆ
j(xij)
has a que las
ˆ
j
a íen menos que un alo p ede e minado.
24 3. Modelo no Lineal
Es impo an e des aca que
S
es el ope ado de sua izado. Hay dis in os ipos de ope ado es
de sua izado, pe o en es e caso se usa el spline cúbico.
Un
spline
es una unción polinomial po pa es que a a de ajus a se a un conjun o de
da os. Pa a consegui una ap oximación de los mismos, u iliza un p oceso consis en e en una
in e polación en e cada pa de da os que es án ce ca, de o ma que la es imación de la unción
nal se ob iene sumando odas las ap oximaciones en e da os con iguos. El spline cúbico, que
es el que u iliza es e modelo, iene la pa icula idad de que usa un polinomio cúbico pa a cada
ap oximación en e pun os. Así, el conjun o nal, es deci , el spline, es una unción de clase 2, es o
es, una unción con inua cuyas de i adas p ime a y segunda exis en y son con inuas cumpliendo
que la segunda de i ada se hace 0 en los ex emos del in e alo donde se dene es a unción.
Es a in o mación se ecoge en el Capí ulo 5 de Has ie e al. (2009) y en Wood (2006).
Así se iene que las
j
son splines cúbicos, uno po cada a iable explica i a que se enga,
y que se ajus e no linealmen e. Como las unciones de sua izado son muy exibles, no se án
únicas. La cons an e
α
se ajus a dependiendo de las unciones sua es, además como se impone
que
PN
1 j(xij)=0 ∀j
, se iene
ˆα=1
NPN
i=1 yi
.
Una ez jada la condición an e io pa a
ˆα
se i e a has a consegui odas las unciones que se
necesi an. Se a aplicando el ope ado de sua izado a
[{yi−ˆα−Pk=jˆ
k(xik)}N
1]
como unción
de
xij
pa a es ima cada
ˆ
j
, has a que las es imaciones se es abilicen.
Obse ación
3.2
.
El paso 2 del algo i mo 3.1 no es necesa io ealiza lo ya que se ha impues o
que la suma de las es imaciones de las unciones sea nula. Pe o se dene igualmen e po posibles
p oblemas de cálculo.
3.1.2. Fo mulación del modelo
Una ez in oducidos los modelos adi i os gene alizados ambién conocidos como GAM, se
busca aplica los a los da os que se es án a ando de es udia en es e abajo. Si se ecue dan los
pasos lle ados a cabo en los an e io es apa ados, se llegó a la conclusión de que las a iables que
mejo explicaban en sala io e an la edad (Age), el núme o de minu os jugados (MP), el usage
(USG), el núme o de acciones ganadas po un jugado en de ensa (DWS), la con ibución o al
de un jugado cuando es á en pis a (BPM), y el alo sob e jugado de eemplazo (VORP).
Teniendo es o en cuen a se o mula el modelo adi i o a pa i de la ó mula gene al is a
an e io men e (3.1).
Y=α+
p
X
j=1
j(Xj) + ε
(3.4)
3.1. Modelos adi i os gene alizados 25
Pa a los da os que se es udian:
Y=α+ 1(Age) + 2(MP) + 3(USG) + 4(DW S) + 5(BPM) + 6(V ORP ) + ε,
(3.5)
y se supone que
E(ε) = 0
Obse ación
3.3
.
Los pa áme os del modelo se ap oxima án con el mé odo
REML
(
Res ic ed
Maximum Likelihood
), que no es más una o ma de es imación de máxima e osimili ud que
u iliza una unción de p obabilidad calculada de un conjun o de da os ans o mados y no de oda
la in o mación. Es o iene una en aja, y es que los pa áme os que no in e ienen di ec amen e
(pe o que si son necesa ios pa a es ima o os) no ienen ningún ipo de e ec o.
Obse ación
3.4
.
Pa a la alidación de es e modelo se segui án los pasos desc i os en (Ross, 2019)
y (Fa away, 2016).
Es ima e S d. E o alue P (>| |)
In e cep o 15.19410 0.03937 385.9 <2e-16 ***
ed Re .d F p- alue
s(Age) 4.178 5.152 19.553 <2e-16 ***
s(MP) 3.534 4.377 9.779 <2e-16 ***
s(USG) 2.915 3.680 9.162 1.74e-06 ***
s(DWS) 1.005 1.009 0.539 0.462
s(BPM) 2.356 3.061 0.491 0.717
s(VORP) 2.609 3.269 1.470 0.247
Tabla 3.1: Es imaciomaciones y ca ac e ís icas del in e cep o y de las unciones sua es.
En la Tabla 3.1 se ecogen algunos de los da os de la salida del esumen del p ime Modelo
Adi i o plan eado. En la abla se dis inguen dos pa es, la p ime a de ellas con iene los é minos
que no necesi an una unción de sua izado, en es e caso, unicamen e el in e cep o, ya que, po
cons ucción, odas las a iables explica i as se han es imado usando la o ma más gene al de
un modelo adi i o gene alizado, es o es ap oximando unciones pa a cada a iable.
A pa i de la e ce a la de abla se iene la in o mación asociada a las a iables que si
se han es imado con una unción sua e. La p ime a columna mues a los g ados de libe ad
e ec i os, cuyo alo ep esen a la complejidad de dicha unción. Es deci , pa a un g ado de
libe ad e ec i o, la sua ización es lineal, pa a 2, cuad á ica y así sucesi amen e. Po un lado, sin
más que e dicha columna se puede e que la a iable DWS iene un compo amien o lineal,
siendo así la a iable con unción de sua izado más simples. Po o o lado, la a iable Age iene
la unción de sua izado más compleja ya que sus g ados de libe ad e ec i os supe an 4.

26 3. Modelo no Lineal
Además ambién se incluye un es adís ico de con as e y un p- alo asociados al con as e
de signicación que indica que unciones de sua izado deben inclui se en el modelo. De acue do
con es o, es cla o que DWS,BPM y VORP p esen an p- alo es al os, lo cual indica que no
son signica i as. Dado que los modelos adi i os no p esen an una elección au omá ica de las
a iables, pos e io men e se ha á una selección manual de cuales son las a iables que con ienen
se in oducidas en el modelo y elimina aquellas que p oduzcan malos e ec os en el ajus e.
Con ánimos de isualiza la in o mación explicada has a aho a sob e es e modelo se hace uso
de un g áco. Con la unción de R
plo
pa a un modelo adi i o, se ob iene un g áco dis in o
pa a cada a iable explica i a, donde iene ep esen ada su unción de sua izado (Ross, 2019).
E ec i amen e la Figu a 3.3 mues a un esul ado aco de al de la Tabla 3.1. Se in uye una
linealidad sob e la unción de sua izado de la a iable DWS, al y como se había is o an es,
mien as que las unciones de las a iables Age y MP oscila más.
A pesa de es o, se puede pensa que alo es p óximos a 1 en los g ados de libe ad e ec i os,
ambién pod ían es a ajus ándose de o ma lineal. Es o se puede analiza desde el g áco. Pa a
la a iable VORP, po ejemplo, cuyos g ados de libe ad e ec i os son 2.609, si uno se ja en
la ep esen ación de su unción de sua izado, se e que donde se acumulan la mayo pa e de
los da os (los da os ienen ep esen ados en el eje de abscisas po ayas neg as), la g áca sigue
un compo amien o que se pa ece a una conduc a lineal. Pa a la a iable BPM, que iene un
alo de g ados e ec i os de 2.356, ambién pod ía segui una endencia que se ap oximase a la
linealidad ce ca de donde hay una mayo concen ación de da os. Debido a es os esul ados, es á
cla o que se debe deni un nue o modelo que ome la a iable DWS como lineal y plan ea se si
BPM y VORP se ajus an mejo al sala io de o ma lineal o con las unciones de sua izado.
Las o as es columnas de la Tabla 3.1 son muy simila es a las de un esumen de un modelo
lineal y hacen e e encia a los con as es de signicación de las unciones de sua izado.
Dado que los modelos adi i os no cuen an con una selección de a iables, es necesa io lle a la
a cabo manualmen e. Es o es, elimina del modelo una a una, aquellas a iables no signica i as
(con p- alo es más g andes), has a ob ene un modelo con odas ellas signica i as.
3.1. Modelos adi i os gene alizados 27
20 25 30 35
−1.5 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
Age
s(Age,4.18)
500 1000 1500 2000 2500
−1.5 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
MP
s(MP,3.53)
10 15 20 25 30 35
−1.5 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
USG
s(USG,2.92)
0 1 2 3 4 5
−1.5 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
DWS
s(DWS,1)
−10 −5 0 5
−1.5 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
BPM
s(BPM,2.36)
−2 0 2 4 6
−1.5 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
VORP
s(VORP,2.61)
Figu a 3.3: Funciones de sua es de las a iables explica i as (línea neg a) e in e alos de conanza
(línea pun eada).
28 3. Modelo no Lineal
De acue do con la Tabla 3.1, el mayo p- alo , 0.717, es el de BPM. Luego se dene un modelo
eliminando dicha a iable.
Y=α+ 1(
Age
) + 2(
MP
) + 3(
USG
) + 4(
DWS
) + 5(
VORP
) + ε,
(3.6)
Es ima e S d. E o alue P (>| |)
In e cep o 15.194 0.039 385.5 <2e-16 ***
ed Re .d F p- alue
s(Age) 4.227 5.211 19.924 <2e-16 ***
s(MP) 3.460 4.286 9.433 <2e-16 ***
s(USG) 2.832 3.580 9.717 1.35e-06 ***
s(DWS) 1.004 1.007 0.616 0.43192
s(VORP) 3.109 3.899 3.645 0.00756 **
Tabla 3.2: Ca ac e ís icas del in e cep o y de las unciones sua es pa a el modelo adi i o sin
BPM.
Una ez o mulado el nue o modelo (3.6) en su esumen, que apa ece ecogido en la Tabla
3.2 se e que el VORP iene asociado un p- alo g ande, 0.43192, lo cual indica que no es
signica i amen e dis in a de 0. Se p ocede eliminándolo y se ob iene:
Y=α+ 1(
Age
) + 2(
MP
) + 3(
USG
) + 4(
VORP
) + ε.
(3.7)
Los esul ados ob enidos pa a el modelo (3.7) se ecogen en la Tabla 3.3.
Es ima e S d. E o alue P (>| |)
In e cep o 15.194 0.039 385.7 <2e-16 ***
ed Re .d F p- alue
s(Age) 4.248 5.233 19.846 <2e-16 ***
s(MP) 3.466 4.293 17.784 <2e-16 ***
s(USG) 2.813 3.557 9.785 1.21e-06 ***
s(VORP) 3.167 3.967 5.029 0.000645 ***
Tabla 3.3: Ca ac e ís icas del in e cep o y de las unciones sua es pa a el modelo adi i o (3.7).
Los esul ados ecogidos en la Tabla 3.3 indican que odas las unciones sua es del modelo
son signica i as, po lo que el p oceso de selección naliza y se p osigue con la alidación del
3.1. Modelos adi i os gene alizados 29
modelo seleccionado, en es e caso el modelo (3.7).
Se u iliza á la unción
gam.check()
pa a e si se ha ob enido un modelo co ec o.
Se ecoge la in o mación más ele an e de la salida del
summa y
en la Tabla 3.4. En p ime
luga se debe obse a la con e gencia del modelo. Se necesi a una con e gencia o al, lo cual
signica que el Algo i mo 3.1 ha encon ado una solución pa a cada unción de sua izado. En
es e caso, se puede e que se ha alcanzado dicha con e gencia en 5 pasos.
A con inuación se ienen en adas pa a los é minos no lineales. Se co esponde con con as es
asociados a las bases de las unciones, po lo que se end á cua o columnas en las que se desc iben
el núme o de bases que se han usado pa a es ima el pa áme o de sua izado (la columna k'),
los g ados de libe ad e ec i os (ed ), el es adís ico de con as e(k-index) y un p- alo (p- alue).
Dicho p- alo indica si los esiduos es án o no dis ibuidos alea o iamen e. Cuan o más pe-
queño sea ese alo indica que hay menos dis ibución alea o ia y es un indicado de que p oba-
blemen e, no se hayan usado sucien es bases de es imación.
ull con e gence a e 5 i e a ions.
k' ed k-index p- alue
s(Age) 9.00 4.25 0.94 0.120
s(MP) 9.00 3.47 1.03 0.730
s(USG) 9.00 2.81 1.02 0.710
s(VORP) 9.00 3.17 1.01 0.61
Tabla 3.4: Resumen comp obación modelo
A la is a de los alo es de la úl ima columna de la Tabla 3.4 el modelo que se es á es udiando,
no p esen a p- alo es bajos en los con as es, po lo que se puede pensa en alea o iedad de los
esiduos y consecuen emen e, en que hay bases sucien es pa a la es imación de los pa áme os.
Se analizan aho a es os esul ados median e un g áco con la unción
plo (gam.check())
.
36 3. Modelo no Lineal
ype e m es ima e s d.e o s a is ic p. alue con .low con .high
esponse Age 0.10 0.05 1.84 0.07 -0.01 0.21
esponse MP 0.00 0.00 1.69 0.09 -0.0001 0.001
esponse USG 0.03 0.02 1.33 0.18 -0.01 0.07
esponse VORP 0.23 0.13 1.75 0.08 -0.03 0.49
Tabla 3.10: Va iación del loga i mo del sala io de Ricky Rubio según el inc emen o en las dis in as
a iables explica i as.
La in e p e ación que se le puede da a los esul ados de la abla an e io es la misma que se
hace en los casos an e io es. No se debe ol ida que el sala io, la a iable espues a del modelo
(3.7), ue ans o mada median e loga i mos, luego las can idades de la columna
es ima e
de la
Tabla 3.10 indica cuan o aumen a el loga i mo del sala io de dicho jugado en unción de la
a iable sob e la que se aumen e una unidad.
Po o o pa e, la lib e ía que se es á u ilizando, pe mi e ambién hace compa aciones en e
jugado es c icios que p esen an cie as ca ac e ís icas. Po ejemplo se puede plan ea de que
mane a inuye cumpli años en la NBA, con la unción
compa isons
se ob iene el esul ado de
la Tabla 3.11.
ype e m con as es ima e s d.e o s a is ic p. alue con .low con .high
esponse Age (x + 1) - x 0.06 0.01 4.64 <0.001 0.04 0.09
Tabla 3.11: Compa ación en el sala io según la edad
Según el esul ado an e io , es cla o que la di e encia en e ene un año menos o ene un
año más pa a un jugado de la NBA, supone un aumen o de 0.06 en el loga i mo del sala io. El
mismo ipo de con as e se puede plan ea de o a o ma. Po ejemplo, pa a un posible jugado
de 26 años, se quie e e cual es la di e encia de sala io de uno de 31.
ype e m con as es ima e s d.e o s a is ic p. alue con .low con .high
1 esponse Age 31 - 26 0.68 0.12 5.486 0.00 0.43 0.92
Tabla 3.12: Va iación del sala io en unción de ene 26 o 31 años
Así, es a compa ación se puede in e p e a como sigue. Que un jugado enga 31 años implica
que cob a á 1.97 (=
e0.68
) unidades más que un jugado de 26 años.
Aho a bien, lo que se acaba de hace pa a la edad, se puede hace pa a cada una de las
a iables que pe enecen al modelo, incluso se pueden compa a en e ellas.

3.1. Modelos adi i os gene alizados 37
Una medida in e esan e sob e la cual ealiza las compa aciones es la media. Po ejemplo al
pensa en el VORP, que es un alo sob e el cual no se iene una idea an in ui i a como la edad,
las compa aciones se pueden ealiza iendo cual es el e ec o de la espues a cuando la a iable
se dis ancia una o dos des iaciones ípicas de la media. Pa a lle a lo a cabo en R bas a indica
si se quie e una des iación (
sd
), dos (
2sd
) o las que se quie a.
ype e m con as es ima e s d.e o s a is ic p. alue con .low con .high
esponse VORP (x + sd/2) - (x - sd/2) 0.40 0.10 3.86 0.00 0.20 0.61
Tabla 3.13: E ec o sob e la espues a de una des iación ípica sob e la media en el VORP
Luego pa a un posible jugado cuyo VORP es é una des iación ípica po encima de la media,
su sala io se á 1.49(=
e0.40
) unidades mayo que el sala io de uno cuyo VORP es é una des iación
ípica po debajo de la media.
Du an e es os capí ulos, se ha a ado de busca cual es el mejo modelo pa a explica como
a ía el sala io de los jugado es de la NBA en unción de sus da os sob e la pis a. Se ha analizado
el modelo lineal múl iple, concluyendo que es e ipo de ajus e no e a el mejo ya que no se cumplía
la hipó esis de linealidad. En es e con ex o, se in oduje on los modelos adi i os gene alizados,
que pe mi ían combina unciones lineales y no lineales que pe mi iesen una mejo ap oximación
de los da os. En el p óximo capí ulo, se a a á de selecciona dis in as a iables y e en que
sen ido es án elacionadas y además se a a á de da una explicación a aquellos da os que pueden
esul a anómalos.
Capí ulo 4
Compa aciones
Du an e los capí ulos 2 y 3 se desc ibie on modelos que median e un conjun o de a iables
espues as ap opiadas a aban de explica como se podía es ima el sala io de los jugado es de la
liga de balonces o ame icana. En p ime luga se escogió un conjun o de a iables que median e
su co elación se io que podían se las adecuadas, y a pa i de ahí ue on su giendo los dis in os
modelo es udiados. Llegados a es e pun o uno puede plan ea se como pod ía inui alguna de las
a iables po si misma sob e el sala io o a su ez sob e o as a iables espues a. En es e capí ulo
se a a á de da una in e p e ación de es as in e acciones, así como de los pun os que puedan
esul a anómalos y como se pueden explica dichas anomalías.
4.1. Sala io s Box Plus/Minus
El Box Plus/Minus es una medida in e esan e de la ecacia de un jugado , es o es po que
engloba muchas ca ac e ís icas, p ác icamen e esume odo lo que hace un jugado los minu os
que es á en el campo. Se usa po p ime a ez en el hockey y pos e io men e en la NFL y la
NBA. Se a a de una medida que es ima lo que con ibuye un jugado po cada 100 posesiones,
y es una o ma de e que can idad de pun os apo a a su equipo. Pa a calcula lo, se u iliza la
di e encia de pun uación desde que un jugado en a en la pis a, has a que sale. Es impo an e
des aca que es a medida depende de la posición de cada jugado . Pa ece lógico pensa que una
mayo con ibución supond ía un mayo sala io, eamos si es o es cie o.
4.1.1. Fo mulación del modelo
De acue do con lo que se explica en Wins on (2012) se a a á de e como inuye el Box
Plus/Minus en el sala io de los jugado es. Pa a es e abajo, se han sacado los da os de Fo man
39
40 4. Compa aciones
(2000) y Sie a (2002) como ya se ha mencionado an e io men e. En es a base de da os, ya se
p opo cionan las con ibuciones de cada jugado en a aque, en de ensa y o ales a su equipo, es o
es, las a iables OBPM, DBPM y BPM espec i amen e. El p oblema de los alo es b u os pa a
es as a iables, es que dependen de cuales sean sus i ales y quienes sean sus compañe os en el
campo. Pa a da le una solución a es o, se abaja con el Box Plus/Minus ajus ado. Los alo es
ob enidos ienen una ep esen ación. Po ejemplo, Luka Doncic, jugado de los Ma e icks, iene
un BPM de 6.8, es o signica que un equipo de jugado es p omedio de la NBA, mejo a ía si
jugase Luka, aumen ando 6.8 pun os po cada 100 posesiones.
Ya que se ienen 3 medidas dis in as en p ime luga se abaja á con la medida o al y a
pa i de ahí se e á si es á mejo pagado en la NBA se bueno en a aque o en de ensa; es o es,
e si ene un jugado con buen OBPM iene mejo sala io que uno con mejo DBPM.
Pa a lle a a cabo es e es udio se pa i á del modelo más simple posible, el modelo lineal
simple. Dicho modelo no es más que un caso pa icula de (2.1) con un único eg eso (D ape
e al., 1998; Ryan, 2008).
Y=β0+β1X1+ε,
(4.1)
donde
Y
es el sala io,
X1
el BPM y
ε
el e o . Aplicando el
summa y
de R, se ob iene que la
es imación del in e cep o es de 15.36 y la del coecien e
β1
es 0.224. Luego el modelo plan eado
es:
Y= 15.36 + 0.224 ×
BPM
.
(4.2)
Pa a pode u iliza es e modelo, de acue do con lo desc i o an e io men e, se deben cumpli
las hipó esis del modelo lineal. Po an o hay que ealiza los con as es (2.14), (2.15), (2.17) y
(2.18).
Tes P- alo
Linealidad 0.053
No malidad 0.008
Homocedas icidad 0.828
Independencia 0.302
Tabla 4.1: p- alo es asociados a los con as es
Los esul ados de ealiza los con as es indican que no se iene la hipó esis de no malidad.
(Se puede e una ep esen ación g áca en la Figu a I.1 en el Anexo I). Además de no ene se
no malidad en los e o es lo cual inui ía a la ho a del cálculo de los in e alos de conanza,
4.1. Sala io s Box Plus/Minus 41
al aplica un es pa a con as a la no malidad, el p- alo ob enido indica que exis en p uebas
es adís icamen e signica i as a un ni el de en e el 5 y el 10
%
pa a echaza la hipó esis nula
de es a an e un modelo lineal. A pesa de no es a po debajo del 5
%
, aplicando el RESET es
ya in oducido an e io men e, se ob iene una signicancia mayo del 10
%
, y si uno se apoya en
la ep esen ación g áca del ajus e, se puede pensa que el uso de un modelo lineal no es el más
adecuado.
Sin emba go plan eando un caso pa icula de (3.3), donde solo se iene una única a iable
X1
y una única unción de sua izado
1
, se ob iene que donde se encuen a la mayo can idad
de da os, el ajus e sigue una línea ec a como se puede e en la Figu a 4.1.
−10 −5 0 5
−3 −1 1 2 3
BPM
s(BPM,2.55)
Figu a 4.1: Función sua e pa a el BPM (línea neg a) e in e alos de conanza (línea discon inua).
De acue do con la Figu a 4.1, es lógico u iliza el modelo o mulado en (4.1).
El obje i o p incipal de es e ajus e es pode in e p e a los esul ados de o ma que esul en
ú iles y se pueden aplica a la p ác ica. De nue o pa a ayuda se en la in e p e ación, se hace uso
del paque e
ma ginale ec s
de R (A el-Bundock, 2022), y que se u ilizó en el capí ulo an e io
pa a p edeci los esul ados.

42 4. Compa aciones
In e p e ación de los ma ginal eec s
En p ime luga , es in e esan e p edeci el sala io según es e modelo pa a un jugado con
BPM medio, si e como una es imación media del sala io, lo cual puede esul a ú il.
owid ype p edic ed s d.e o con .low con .high BPM
1 1 esponse 15.19 0.05 15.09 15.30 -0.76
Tabla 4.2: P edicción del loga i mo del sala io en unción del BPM medio
Así, el sala io pa a un posible jugado cuyo alo uese el p omedio de odos, se ía de 3953058
dóla es. Obsé ese que dicha p edicción se puede calcula manualmen e subs i uyendo en (4.2)
el alo del BPM medio, es o es -0.76.
Haciendo uso de las unciones pa a calcula el máximo y el mínimo de una a iable así como
con que jugado se co esponde, se ha encon ado que el jugado con el máximo BPM de la
empo ada 2020-2021 ue Giannis An e okoumpo, con un alo de 9, mien as que el jugado con
el mínimo ue Josh Hall. Sus sala ios eales y los es imados po el modelo son los que siguen.
Jugado Sala io es imado Sala io eal
Giannis An e okoumpo 35321415 27528088
Josh Hall 324486.8 449115
Tabla 4.3: Sala ios pa a jugado con mejo y peo BPM
Es cla o según los esul ados de la Tabla 4.3 que exis en da os que hacen que el modelo die a
de los esul ados ideales. Po ejemplo, ya que es amos an e un modelo lineal, la es imación del
sala io de An e okoumpo es la más al a, sin emba go su sala io eal es á po debajo de dicho
alo . Giannis ocupa el pues o 29 en el anking de pagos más ele ados (Sie a, 2002), lo cual
no coincide con la o mulación del modelo. Po o o lado Josh Hall iene un sala io mayo del
que es ima el modelo, es o es ambién debido a los ou lie s que se analiza án en la siguien e
sección. Se debe ene en men e que en la NBA se  man con a os mul ianuales, es o supone
que a la ho a de  ma lo los núme os ob enidos po los jugado es no sean los mismos que los de
empo adas pos e io es.
Pa a e cuan o a ía el sala io según la a iación del BPM, se usan los
ma ginal eec s
. En
es e caso dado que solo se es á es udiando la espues a en unción de un g upo simplemen e se
calcula el p omedio de lo e ec os ma ginales pa a ene una idea gene al de cual es la a iación
global.
4.1. Sala io s Box Plus/Minus 43
ype e m es ima e s d.e o s a is ic p. alue con .low con .high
1 esponse BPM 0.22 0.02 12.78 <0.001 0.19 0.26
Tabla 4.4: P omedio de e ec os ma ginales del BPM sob e el sala io
En gene al, un aumen o en una unidad en los alo es del Box Plus/Minus supone un aumen o
de 1.246 en el sala io, que no es más que la exponencial del alo que se especica en la columna
es ima e
de la Tabla 4.4.
Finalmen e, en la Figu a 4.2 se iene una ep esen ación g áca de la ec a del ajus e del
sala io en unción del BMP, se consigue u ilizando la unción
plo _cap
.
13
14
15
16
17
18
−10 −5 0 5 10
BPM
log(Sala io)
Figu a 4.2: P edicciones pa a el loga i mo del sala io según el BPM
In e p e ación de los ou lie s
Como se ha a gumen ado an e io men e, el jugado con mejo BPM, Giannis An e okoumpo
no es el jugado que más cob a, y según la Figu a 4.2 es o debe ía se así. El p oblema puede
eni de da os conside ados como ex años que in e e an en el ajus e del modelo y p o oquen
es e ipo de esul ados. Se p e ende en onces hace un es udio de los da os que no se ajus an
bien median e el modelo,pa a a a de da les una explicación.
Los siguien es concep os y p ocedimien os se basan en la búsqueda de da os a ípicos en modelo
de eg esión lineal simple. Pa a es a sección se ha á uso de las deniciones y esul ados en los
abajos de Rousseeuw and Le oy (2005), Cook and Weisbe g (1982), Ryan (2008) y D ape e al.
(1998).
La búsqueda de da os a ípicos conocidos en inglés po
ou lie s
se cen a en encon a aquellos
44 4. Compa aciones
alo es que ienen una g an epe cusión sob e el es imado de mínimos cuad ados, que es aquel
que se usa pa a el cálculo de los pa áme os del modelo, incluyendo los coecien es.
En p ime luga se in oducen los ipos de esiduos de un modelo de eg esión. Se sabe que
dichos alo es se denen como la di e encia de los alo es de la espues a obse ados y el ajus e.
Es o es
ˆεi=Yi−ˆ
Yi=Yi−xiˆ
β i ∈ {1, . . . , n}
. Es os e o es son conocidos como esiduos b u os
de la eg esión, sin emba go, ienen la ca ac e ís ica de que es os no a ían en la misma escala, lo
cual supone un p oblema a la ho a de de ec a i egula idades. Pa a sol en a es e incon enien e,
se abaja con los esiduos es anda izados, denidos en (2.16) o los es uden izados (4.3).
Una pa icula idad que hace a es os esiduos más ú iles que los gene ados po el modelo sin
ningún ipo de ans o mación es que es os es án más p óximos a ene a ianza común 1, lo cual
pe mi e de ec a los alo es a ípicos más ácilmen e.
Denición 4.1.
Los
esiduos es uden izados
se denen a pa i de los es anda izados de la
siguien e o ma:
i= i
qn−p− 2
i
n−p−1
,
(4.3)
donde
i
son los esiduos es anda izados,
p
el núme o de pa áme os del modelo y
n
el núme o
de obse aciones.
Los candida os a se
ou lie s
de la eg esión son aquellos que ienen alo es g andes de los
esiduos. Como alo a supe a pa a se conside ado un alo a ípico, se oma 1.96, dicho alo
no es más que el de una dis ibución no mal que con iene a más del 95
%
de los indi iduos. A
modo de ilus ación se ep esen an los esiduos es anda izados en e a las p edicciones de la
espues a. Además en colo ojo se pin an aquellos esiduos que supe an el umb al de e minado
y que po an o son candida os a o ma pa e de los alo es que inuencian es e ajus e. Toda
es a in o mación se ecoge en la Figu a 4.3.
Como ya se ha is o an e io men e, lo que se busca pa a ene un modelo co ec o, es que los
esiduos se dis ibuyan en o no a una línea imagina ia sob e el 0 de o ma cons an e. Los esiduos
más alejados de la línea mencionada, se ían los alo es aislados que se buscan. E ec i amen e
es a suposición coincide non la ep esen ación g áca de la Figu a 4.3.
4.1. Sala io s Box Plus/Minus 45
13 14 15 16 17
−3 −2 −1 0 1 2
Fi ed Values
De iance esiduals
Figu a 4.3: Residuos en e a alo es ajus ados
A con inuación se ecogen en la Tabla 4.5 los alo es del BPM co espondien es a los pun os
ojos jun o con el sala io es imado po el modelo y el sala io eal, así como los jugado es a los
que es án asociados.
Las en adas de la Tabla 4.5 mues an lo que cabía espe a . Las obse aciones del ajus e
ealizado que p esen an al os esiduos ienen de jugado es que es án pagados muy po encima de
su alo o al con a io muy po debajo. Po ejemplo, Robe Williams p esen a el BPM más al o
de los jugado es ecogidos en la abla, es po es o que, según el modelo, debe ía se el jugado con
sala io más al o en la Taba 4.5. Sin emba go se le paga 2029920 dóla es, cuando la p edicción es
que debe ía cob a ap oximadamen e 16 millones de dóla es más. Si se ja uno aho a en Rodney
Hood, el jugado con peo BPM y po an o el que debe ía ene un sala io más bajo, es cla o
que se le paga mucho más de lo que se debe ía. Según su ac uación en la empo ada 2020-2021,
su sala io debe ía se unos 10 millones de dóla es menos.
Es cla o que los sala ios es án pac ados p e iamen e a la empo ada, po lo que es os da os
ex años pueden eni de un jugado que pase de se un alguien poco conocido y con núme os
malos en años an e io es, a un jugado p omesa con muy buenos da os la siguien e empo ada o
ice e sa, y de ahí a es as i egula idades en los sala ios.
52 4. Compa aciones
Análisis de los ou lie s
Se p e ende en onces hace un es udio de los da os que no se ajus an bien median e el modelo,
con el obje i o de sabe si eliminando dichos da os se consigue ene una buena ap oximación y
a a de da le una explicación a dichas anomalías.
El p ocedimien o que se sigue es análogo al de la sección an e io .
Po un lado, en p ime luga se puede hace una ep esen ación g áca del modelo, del ajus e
y de los pun os con capacidad de inuencia, es deci , los apalancamien os. Dado que en el modelo
lineal simple se p esen a una única a iable que p e ende explica la espues a, no exis e la opción
de que la inuencia de o as a iables in e e an en el ajus e, de o ma que no se pueda da una
explicación azonable de los alo es de los esiduos. Es po es o que no se á necesa io u iliza los
apalancamien os, y se pueden es udia di ec amen e los esiduos es anda izados de la eg esión.
20 25 30 35
−2 0 2 4 6
Age
VORP
Figu a 4.6: Ajus e del modelo, ec a de eg esión y esiduos es anda izados (en azul).
En la Figu a 4.6, se pin an en azul los esiduos es anda izados que supe an en alo absolu o
el lími e p e iamen e denido, es deci , el alo de una no mal es ánda que con iene al 95
%
de
los indi iduos que se es udian.
Una ez se localizan los pun os con al os alo es absolu os pa a los esiduos es anda izados,
se a a de de ec a a que jugado es hacen e e encia y e que es lo que les hace con e i se en
alo es ex años.

4.2. VORP s Age 53
Jugado Edad VORP es imado VORP Real
Bam Adebayo 23.00 3.70 0.407
Giannis An e okounmpo 26.00 5.60 0.608
B adley Beal 27.00 2.90 0.676
Mikal B idges 24.00 3.10 0.475
Jimmy Bu le 31.00 4.30 0.944
S ephen Cu y 32.00 5.80 1.011
Luka Doncic 21.00 5.10 0.274
Joel Embiid 26.00 3.80 0.609
Rudy Gobe 28.00 3.80 0.7243
James Ha den 31.00 3.20 0.944
Tobias Ha is 28.00 2.90 0.743
Ky ie I ing 28.00 3.60 0.743
LeB on James 36.00 3.80 1.279
Zach LaVine 25.00 3.10 0.542
Kawhi Leona d 29.00 4.20 0.810
Damian Lilla d 30.00 5.00 0.877
Dono an Mi chell 24.00 2.80 0.475
Ch is Paul 35.00 3.60 1.212
Julius Randle 26.00 3.90 0.609
Doman as Sabonis 24.00 3.30 0.475
Jayson Ta um 22.00 3.40 0.341
Ka l-An hony Towns 25.00 2.80 0.542
Nikola Vuce ic 30.00 3.40 0.877
Russell Wes b ook 32.00 3.40 1.010
Zion Williamson 20.00 4.00 0.207
T ae Young 22.00 3.00 0.341
Tabla 4.11: Jugado es que p oducen esiduos g andes en el ajus e
El modelo que se ha denido pa a es e análisis, es un modelo lineal simple con la ca ac e ís ica
de que, con o me aumen a la edad, ambién se iene un aumen o en el VORP del jugado . Dicho
azonamien o se puede e en la Figu a 4.6, donde se ha ep esen ado la ec a de eg esión.
Aho a bien, pa ece azonable pensa que un aumen o en la edad mejo e el ni el de un jugado
po el hecho de que gana expe iencia así como en ena du an e la gos pe íodos de iempo hacen
que un jugado pueda apo a más. Es o puede pa ece lógico has a un pun o, es o es, al llega
a cie as edades, la condición ísica de los jugado es empeo a, de o ma que su alo comienza a
54 4. Compa aciones
disminui (Kalén e al., 2020).
En cuan o a los jugado es ecogidos en la Tabla 4.11, es cla o e que el modelo p edice
alo es de VORP pequeños. Todos ellos aumen an con la edad, sin emba go son odos más bajos
que los alo es eales. Si uno se cen a en el jugado más jo en de dicha abla, Zion Williamson,
su VORP iene un alo de 4, mayo que 2.9 que es el VORP de Tobias Ha is, 8 años mayo que
el. Po o o lado, Leb on James, cuya edad se encuen a en e las más ele adas de la NBA (ya se
io an e io men e que el máximo es aba en 37 años), iene un alo de 3.80 y el alo es imado
po el modelo se ía de 1.28. A pesa de supe a es e alo , es cla o que no es aco de si se ienen
en cuen a que a mayo edad, mayo VORP.
Todos es os alo es anómalos lle an a uno a pensa que la explicación del alo sob e un
jugado de eemplazo no es explicable unicamen e median e la edad. De hecho si se ealiza el
summa y
del modelo, se ob iene que el alo del coecien e de de e minación es de 0.05952, lo
cual indica que dicho ajus e solo explica menos de un 6
%
de la a ianza de la espues a.
Dado que la in ención p incipal del p esen e abajo e a la es imación de los sala ios a a és
de cie as ca ac e ís icas del juego de los depo is as, con iene elaciona los esul ados ob enidos
en es e apa ado con dicho es udio. Así de acue do con la explicación de las a iables sacadas
de Fo man (2000), el sala io debe elaciona se linealmen e con el VORP, y po an o se concluye
as el es udio ealizado en es e apa ado, que la edad, no se ía una buena ca ac e ís ica pa a
a a de explica la asignación jus a de los pagos de la NBA, como e a lógico pensa .
A lo la go del abajo se ha hecho un análisis de cie as a iables con el obje i o p incipal
de busca una buena ap oximación que pueda se usada po en enado es, esponsables de los
equipos y di ec i os, a la ho a de decidi cual es el sueldo jus o de un jugado según su ac uación
en la liga egula . Además puede esul a ambién ú il a los jugado es en ánimos de e en que
debe ían en oca sus en enamien os pa a ob ene un sueldo mayo . Los esul ados no ue on
óp imos a la ho a de plan ea modelos lineales, pe o g acias a los modelos adi i os se ob u ie on
mejo es ap oximaciones y consecuen emen e mejo es in e p e aciones. Finalmen e los pequeños
modelos plan eados que a aban de compa a dis in as a iables que pa ecían se impo an es
po si solas, mos a on po un lado, que e ec i amen e el Box Plus/Minus es un ipo de es adís ica
muy ú il y que p oduce buenos esul ados y po o o lado que la edad no bas a pa a ene una
p edicción de los alo es del VORP, y po an o que la misma, ampoco inuye po si sola sob e
el sala io.
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57

58 I. Tablas y Figu as complemen a ias
Anexo I
Tablas y Figu as complemen a ias
Age MP PER TS X3Pa FT ORB DRB TRB AST STL BLK TOV USG OWS DWS WS WS48 OBPM DBPM BPM VORP V2
Age 1.00 0.16 0.17 0.19 0.11 -0.04 -0.04 0.06 0.02 0.15 0.06 -0.01 0.00 0.01 0.22 0.20 0.24 0.25 0.25 0.23 0.31 0.24 0.43
MP 0.16 1.00 0.42 0.29 -0.01 0.03 -0.14 0.04 -0.03 0.32 -0.01 -0.10 -0.03 0.38 0.64 0.80 0.77 0.32 0.55 0.07 0.51 0.61 0.62
PER 0.17 0.42 1.00 0.64 -0.46 0.43 0.36 0.42 0.44 0.40 0.09 0.32 -0.05 0.60 0.75 0.49 0.74 0.84 0.87 0.25 0.87 0.78 0.46
TS 0.19 0.29 0.64 1.00 -0.18 0.30 0.28 0.23 0.28 -0.09 -0.10 0.25 -0.07 0.05 0.61 0.33 0.57 0.80 0.63 0.25 0.65 0.46 0.23
X3Pa 0.11 -0.01 -0.46 -0.18 1.00 -0.62 -0.68 -0.47 -0.60 -0.08 -0.01 -0.45 -0.32 -0.14 -0.19 -0.18 -0.21 -0.32 -0.06 -0.19 -0.13 -0.13 -0.08
FT -0.04 0.03 0.43 0.30 -0.62 1.00 0.45 0.36 0.43 0.07 -0.02 0.35 0.26 0.15 0.28 0.15 0.26 0.37 0.17 0.18 0.22 0.22 0.05
ORB -0.04 -0.14 0.36 0.28 -0.68 0.45 1.00 0.65 0.86 -0.32 -0.05 0.65 0.18 -0.18 0.12 0.13 0.13 0.44 -0.01 0.27 0.09 0.02 -0.07
DRB 0.06 0.04 0.42 0.23 -0.47 0.36 0.65 1.00 0.95 -0.12 -0.14 0.52 0.22 0.07 0.18 0.33 0.25 0.36 0.15 0.34 0.26 0.25 0.17
TRB 0.02 -0.03 0.44 0.28 -0.60 0.43 0.86 0.95 1.00 -0.22 -0.12 0.62 0.22 -0.03 0.18 0.28 0.23 0.44 0.10 0.35 0.22 0.18 0.08
AST 0.15 0.32 0.40 -0.09 -0.08 0.07 -0.32 -0.12 -0.22 1.00 0.28 -0.29 0.31 0.58 0.33 0.24 0.33 0.13 0.47 0.05 0.43 0.51 0.36
STL 0.06 -0.01 0.09 -0.10 -0.01 -0.02 -0.05 -0.14 -0.12 0.28 1.00 -0.06 0.22 0.00 -0.03 0.13 0.02 0.10 0.02 0.51 0.21 0.12 0.04
BLK -0.01 -0.10 0.32 0.25 -0.45 0.35 0.65 0.52 0.62 -0.29 -0.06 1.00 0.11 -0.13 0.06 0.18 0.11 0.35 -0.00 0.46 0.17 0.06 -0.01
TOV 0.00 -0.03 -0.05 -0.07 -0.32 0.26 0.18 0.22 0.22 0.31 0.22 0.11 1.00 -0.03 -0.11 0.10 -0.04 -0.14 -0.22 0.26 -0.10 -0.01 0.05
USG 0.01 0.38 0.60 0.05 -0.14 0.15 -0.18 0.07 -0.03 0.58 0.00 -0.13 -0.03 1.00 0.37 0.27 0.37 0.15 0.60 -0.27 0.43 0.53 0.44
OWS 0.22 0.64 0.75 0.61 -0.19 0.28 0.12 0.18 0.18 0.33 -0.03 0.06 -0.11 0.37 1.00 0.59 0.95 0.77 0.80 0.20 0.78 0.88 0.50
DWS 0.20 0.80 0.49 0.33 -0.18 0.15 0.13 0.33 0.28 0.24 0.13 0.18 0.10 0.27 0.59 1.00 0.81 0.49 0.48 0.46 0.60 0.68 0.56
WS 0.24 0.77 0.74 0.57 -0.21 0.26 0.13 0.25 0.23 0.33 0.02 0.11 -0.04 0.37 0.95 0.81 1.00 0.75 0.77 0.32 0.80 0.90 0.57
WS48 0.25 0.32 0.84 0.80 -0.32 0.37 0.44 0.36 0.44 0.13 0.10 0.35 -0.14 0.15 0.77 0.49 0.75 1.00 0.76 0.49 0.85 0.69 0.31
OBPM 0.25 0.55 0.87 0.63 -0.06 0.17 -0.01 0.15 0.10 0.47 0.02 -0.00 -0.22 0.60 0.80 0.48 0.77 0.76 1.00 0.12 0.93 0.84 0.54
DBPM 0.23 0.07 0.25 0.25 -0.19 0.18 0.27 0.34 0.35 0.05 0.51 0.46 0.26 -0.27 0.20 0.46 0.32 0.49 0.12 1.00 0.48 0.34 0.15
BPM 0.31 0.51 0.87 0.65 -0.13 0.22 0.09 0.26 0.22 0.43 0.21 0.17 -0.10 0.43 0.78 0.60 0.80 0.85 0.93 0.48 1.00 0.87 0.53
VORP 0.24 0.61 0.78 0.46 -0.13 0.22 0.02 0.25 0.18 0.51 0.12 0.06 -0.01 0.53 0.88 0.68 0.90 0.69 0.84 0.34 0.87 1.00 0.57
V2 0.43 0.62 0.46 0.23 -0.08 0.05 -0.07 0.17 0.08 0.36 0.04 -0.01 0.05 0.44 0.50 0.56 0.57 0.31 0.54 0.15 0.53 0.57 1.00
Tabla I.1: Colinealidad en e las a iables explica i as
59
Sala io s BPM
13 14 15 16 17
−4 −3 −2 −1 0 1 2 3
Fi ed alues
Residuals
Residuals s Fi ed
V2254
V2176
V2158
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3 −2 −1 0 1 2
Theo e ical Quan iles
S anda dized esiduals
No mal Q−Q
V2254
V2176
V2158
13 14 15 16 17
0.0 0.5 1.0 1.5
Fi ed alues
S anda dized esiduals
Scale−Loca ion
V2254
V2176
V2158
0.000 0.010 0.020 0.030
−3 −2 −1 0 1 2
Le e age
S anda dized esiduals
Cook's dis ance
Residuals s Le e age
V2403
V2406
V2182
Figu a I.1: G ácos pa a la alidación y diagnosis del Sala io s BPM
60 I. Tablas y Figu as complemen a ias
Sala io Vs OBPM
13 14 15 16 17
−4 −2 0 2
Fi ed alues
Residuals
Residuals s Fi ed
V2254
V256
V2176
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3 −1 1 2 3
Theo e ical Quan iles
S anda dized esiduals
No mal Q−Q
V2254
V256
V2176
13 14 15 16 17
0.0 0.5 1.0 1.5
Fi ed alues
S anda dized esiduals
Scale−Loca ion
V2254
V256
V2176
0.000 0.010 0.020 0.030
−4 −2 0 1 2 3
Le e age
S anda dized esiduals
Cook's dis ance
Residuals s Le e age
V2406
V2206
V2118
Figu a I.2: G ácos pa a la alidación y diagnosis. Sala io s OBPM
Es ima e S d. E o alue P (>| |)
In e cep o 15.19410 0.05125 296.5 <2e-16 ***
ed Re .d F p- alue
s(OBPM) 3.769 4.715 40.85 <2e-16 ***
Tabla I.2: Ca ac e ís icas modelo ad i os Sala io s OBPM.
61
Sala io Vs DBPM
14.8 15.2 15.6
−4 −2 0 2
Fi ed alues
Residuals
Residuals s Fi ed
V2254
V2176
V244
−3 −2 −1 0 1 2 3
−3 −1 0 1 2
Theo e ical Quan iles
S anda dized esiduals
No mal Q−Q
V2254
V2176
V244
14.8 15.2 15.6
0.0 0.5 1.0 1.5
Fi ed alues
S anda dized esiduals
Scale−Loca ion
V2254
V2176
V244
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04
−3 −1 1 2
Le e age
S anda dized esiduals
Cook's dis ance
Residuals s Le e age
V2228
V256
V2119
Figu a I.3: G ácos pa a la alidación y diagnosis. Sala io s DBPM.
Es ima e S d. E o alue P (>| |)
In e cep o 15.19410 0.06098 249.2 <2e-16 ***
ed Re .d F p- alue
s(DBPM) 3.695 4.617 3.266 0.00852 **
Tabla I.3: Ca ac e ís icas modelo adi i o Sala io s DBPM.
68 II. Código de R
plo (modelo)
# Con as e de hipó esis:
# LINEALIDAD
#x=c(Age,MP,PER,STL,USG,OWS,DWS,WS,OBPM,BPM,VORP)
#sm. eg ession(x,sala io,model="linea ")
ese es (modelo,powe =3)
# NORMALIDAD
es<- s anda d(modelo)
shapi o. es ( es)
# HOMOCEDASTICIDAD
hmc es (modelo)
# INDEPENDENCIA
du binWa sonTes (modelo)
#-----------------------------------------------------------------#
# Nue a selección de las a ibles
#-----------------------------------------------------------------#
X=ma ix(c(Age,MP,PER,STL,USG,OWS,DWS,WS,OBPM,BPM,VORP),ncol=11)
es.lasso=c .glmne (X,sala io,alhpa=1)
es.lasso
coe ( es.lasso,s= es.lasso$lambda.1se)
coe ( es.lasso,s= es.lasso$lambda.min)
windows()
pa (new=TRUE)
plo ( es.lasso)
plo ( es.lasso$glmne . i ,x a ="lambda")
# Seleeción de a iables po AIC
s ep(modelo)

69
# De inicion del modelo con las nue as a iables
modelo2<-lm(sala io~Age+MP+USG+DWS+BPM+VORP)
# mode1=glmne (X,sala io,alhpa=1)
# coe (mode1,s= es.lasso$lambda.1se)
summa y(modelo2)
windows()
pa (m ow=c(2,2))
plo (modelo2)
# LINEALIDAD
#sm. eg ession(x,sala io,model="linea ")
ese es (modelo2,powe =3)
# NORMALIDAD
es2<- s anda d(modelo2)
shapi o. es ( es2)
# HOMOCEDASTICIDAD
hmc es (modelo2)
# INDEPENDENCIA
du binWa sonTes (modelo2)
AIC(modelo)
AIC(modelo2)
#-----------------------------------------------------------------#
# MODELO NO LINEAL #
#-----------------------------------------------------------------#
b1<-s s_sala _ inal[,c("Age","MP","USG","V2")]
b2<-s s_sala _ inal[,c("DWS","BPM","VORP","V2")]
pai s(b1, panel = panel.smoo h)
pai s(b2, panel = panel.smoo h)
gam1<-gam(sala io~s(Age,bs="c ")+s(MP,bs="c ")+s(USG,bs="c ")
+s(DWS,bs="c ")+s(BPM,bs="c ")+s(VORP,bs="c "),me hod="REML")
plo (gam1)
summa y(gam1)
70 II. Código de R
pa (m ow=c(3,2))
plo (gam1,pages=1,se =TRUE)
gam2<-gam(sala io~s(Age,bs="c ")+s(MP,bs="c ")+s(USG,bs="c ")
+DWS+s(BPM,bs="c ")+s(VORP,bs="c "),me hod="REML")
summa y(gam2)
gam.check(gam2)
plo (gam.check(gam2))
#------Seleccion manual del mejo modelo-----------#
gam1b<-gam(sala io~s(Age,bs="c ")+s(MP,bs="c ")+s(USG,bs="c ")
+s(DWS,bs="c ")+s(VORP,bs="c "),me hod="REML")
gam1c<-gam(sala io~s(Age,bs="c ")+s(MP,bs="c ")+s(USG,bs="c ")
+s(VORP,bs="c "),me hod="REML")
summa y(gam1b)
summa y(gam1c)
gam.check(gam1c)
#-----------------------------------------------------------------#
# In e p e ación del gam1c (ma ginal e ec s)
#-----------------------------------------------------------------#
p ed<-p edic ions(gam1c, newda a ="mean")
summa y(p ed)
x able(p edic ions(gam2b, newda a ="mean"))
exp(15.21)
plo _cap(gam1c,condi ion=c("MP","Age"))+ggplo 2::ylab("log(Sala io)")
#------------------ AME----------------------#
m <- ma ginale ec s(gam1c)
summa y(m )
x able(summa y(m ))
ma ginale ec s(gam1c, newda a ="mean")
x able(ma ginale ec s(gam1c, newda a ="mean"))
71
#---------------------G AME --------------------#
BPM_ca <-cu (BPM,b eaks=c(-12,0,10),
labels=c("Baja e ec i idad","Al a e ec i idad"))
gam4<-gam(sala io~s(Age,bs="c ")+s(MP,bs="c ")+s(USG,bs="c ")
+BPM_ca +s(VORP,bs="c "),me hod="REML")
game <- ma ginale ec s(gam4, a iables ="Age")
summa y(game, by ="BPM_ca ")
exp(0.05)
exp(0.09)
summa y(gam4)
summa y(ma ginale ec s(gam1c,
newda a =da ag id(
Age =30,MP=1772,USG=16,VORP=0)))
#--------------- Compa isons-----------------------#
com<-compa isons(gam1c, a iables ="Age")
summa y(com)
summa y(compa isons(gam1c, a iables =lis (Age =c(26,31))))
summa y(compa isons(gam1c, a iables =lis (VORP="sd")))
exp(0.4)
#-----------------------------------------------------------------#
# DISTINTAS VARIABLES VS DISTINTAS RESPUESTAS #
#-----------------------------------------------------------------#
mod1<-lm(sala io~BPM)
summa y(mod1)
pa (m ow=c(2,2))
plo (mod1)
summa y(mod1)
sm. eg ession(BPM,sala io,model="linea ")
ese es (mod1,powe =3)
ha es (mod1)
es1<- s anda d(mod1)
shapi o. es ( es1)
72 II. Código de R
hmc es (mod1)
du binWa sonTes (mod1)
gam_mod1<-gam(sala io~s(BPM,bs="c "),me hod="REML")
summa y(gam_mod1)
gam.check(gam_mod1)
plo (gam_mod1)
es1g<- esiduals(gam_mod1)
mean( es1g)
p edgam<-p edic ions(mod1, newda a ="mean")
summa y(p edgam)
x able(p edic ions(mod1, newda a ="mean"))
exp(15.19)
# Es imación pa a peo y mejo BPM
which(a[,BPM]==min(BPM))
s s_sala _ inal[which(a[,BPM]==min(BPM))]
p ed2<-p edic ions(mod1, newda a =da ag id(BPM=-11.9))
summa y(p ed2)
x able(summa y(p ed2))
which(a[,BPM]==max(BPM))
s s_sala _ inal[which(a[,BPM]==max(BPM))]
p ed3<-p edic ions(mod1, newda a =da ag id(BPM=9))
summa y(p ed3)
m g <- ma ginale ec s(mod1)
summa y(m g)
x able(summa y(m g))
plo _cap(mod1,condi ion="BPM")+ggplo 2::ylab("log(Sala io)")
#Analisis de los esiduos
es<- esiduals(mod1)
plo ( esiduals(mod1) ~p edic
(gam_mod1, ype=" esponse"),
73
xlab="Fi ed Values",ylab=" esiduals")
indde <-which(abs( es)>2)
poin s( esiduals(mod1)[indde ]~p edic
(mod1, ype=" esponse")[indde ],col=2,pch=16)
esp_ou lie s<-p edic (mod1, ype=" esponse")
esp_ou lie s[indde ]
exp( esp_ou lie s[indde ])
#Compa ación OBPM con DBPM
mod2<-lm(sala io~OBPM)
mod3<-lm(sala io~DBPM)
pa (m ow=c(2,2))
plo (mod2)
plo (mod3)
sm. eg ession(OBPM,sala io,model="linea ")
sm. eg ession(DBPM,sala io,model="linea ")
gam_mod2<-gam(sala io~s(OBPM,bs="c "),me hod="REML")
summa y(gam_mod2)
gam.check(gam_mod2)
gam_mod3<-gam(sala io~s(DBPM,bs="c "),me hod="REML")
summa y(gam_mod3)
gam.check(gam_mod3)
plo (gam_mod3)
p edgam_mod2<-p edic ions(gam_mod2, newda a ="mean")
summa y(p edgam_mod2)
x able(p edic ions(gam_mod2, newda a ="mean"))
p edgam_mod3<-p edic ions(gam_mod3, newda a ="mean")
summa y(p edgam_mod3)
x able(p edic ions(gam_mod3, newda a ="mean"))
windows()
pa (m ow=c(1,2))

74 II. Código de R
plo _cap(gam_mod2,condi ion="OBPM")+ggplo 2::ylim(12,19)
+ggplo 2::ylab("log(Sala io)")
plo _cap(gam_mod3,condi ion="DBPM")+ggplo 2::ylim(12,19)
+ggplo 2::ylab("log(Sala io)")
s s_sala _ inal[which(a[,OBPM]==min(OBPM))]
p edgam_mod2_1<-p edic ions(gam_mod2, newda a =da ag id(OBPM=-9.7))
summa y(p edgam_mod2_1)
x able(summa y(p edgam_mod2_1))
s s_sala _ inal[which(a[,OBPM]==max(OBPM))]
p edgam_mod2_2<-p edic ions(gam_mod2, newda a =da ag id(OBPM=8.3))
summa y(p edgam_mod2_2)
x able(summa y(p edgam_mod2_2))
s s_sala _ inal[which(a[,DBPM]==min(DBPM))]
p edgam_mod3_1<-p edic ions(gam_mod3, newda a =da ag id(DBPM=-3.2))
summa y(p edgam_mod3_1)
x able(summa y(p edgam_mod3_1))
s s_sala _ inal[which(a[,DBPM]==max(DBPM))]
p edgam_mod3_2<-p edic ions(gam_mod3, newda a =da ag id(DBPM=4.5))
summa y(p edgam_mod3_2)
x able(summa y(p edgam_mod3_2))
#-----------------------------------------------------------------#
# VALOR DE UN JUGADOR VS SU EDAD #
#-----------------------------------------------------------------#
mod4<-lm(VORP~Age)
plo (VORP~Age)
abline(mod4)
plo (mod4$ esiduals, pch=16,col=2)
abline(mod4);summa y(mod4)
mod_gam5<-gam(VORP~s(Age,bs="c "))
75
gam.check(mod_gam5)
windows()
pa (m ow=c(2,2))
plo (mod4)
ese es (mod4,powe =2)
ha es (mod4)
lib a y(sm)
sm. eg ession(VORP,Age,model="linea ")
es4<- s anda d(mod4)
shapi o. es ( es4)
hmc es (mod4)
du binWa sonTes (mod4)
1<- esiduals(mod4)
2<- s anda d(mod4)
3<- s uden (mod4)
which(abs( 2)>1.96)
which(abs( 3)>1.96)
which(abs( 2)>q (0.95,d =n-2))
which(abs( 3)>q (0.95,d =n-2))
plo (VORP~Age)
ind <-which(abs( 2)>1.96)
poin s(VORP[ind ]~Age[ind ],col=4,pch=16)
summa y(mod4)
o p_ou lie s<-p edic (mod4, ype=" esponse")
o p_ou lie s[ind ]