T abajo de Fin de G ado
Re isi ando los modelos ANOVA y
ANCOVA
Alejand o A ias Piñei o
2019/2020
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRADO DE MATEMÁTICAS
T abajo de Fin de G ado
Re isi ando los modelos ANOVA y
ANCOVA
Alejand o A ias Piñei o
Julio 2020
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
iii
i
T abajo p opues o
Á ea de Conocimien o: Es adís ica e in es igación ope a i a.
Tí ulo: Re isi ando los modelos ANOVA y ANCOVA
B e e desc ipción del con enido
Los modelos de análisis de la a ianza (ANOVA, del inglés Analysis o Va iance) y aná-
lisis de la co a ianza (ANCOVA, del inglés Analysis o Co a iance) se pueden e como
casos pa icula es del modelo lineal gene al, y en sus casos más simples, se conside a una
a iable explica i a de ipo ac o (modelo ANOVA) o bien es a a iable es á acompañada
de una o a ias a iables escala es (modelo ANCOVA). Las écnicas de in e encia sob e
es os modelos no es án exen as de hipó esis (no malidad, independencia de obse aciones,
homogeneidad de a ianzas). Sin emba go, en la p ác ica se suelen u iliza es os modelos
sin ealiza una alidación adecuada de las hipó esis y sin ene en cuen a las consecuencias
de que dichas hipó esis no se cumplan.
En es e abajo se e isa á la in e encia sob e los modelos ANOVA y ANCOVA, y median e
un exhaus i o es udio de simulación, se analiza á el impac o de no cumpli alguna (o a ias)
de las hipó esis habi uales.
Pa a ilus a los e ec os del incumplimien o de las hipó esis, se e isa á la li e a u a en
algún campo aplicado, a ando de iden i ica ejemplos de mal uso de es os modelos.
Recomendaciones
Es ecomendable que el alumno enga capacidad pa a maneja bibliog a ía en inglés. En
la pa e de p og amación, se á necesa io p og ama código en R.
Índice gene al
Resumen iii
In oducción xi
1. In oducción de los modelos ANOVA y ANCOVA 1
1.1. B e e e isión del modelo lineal gene al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. ModeloANOVA ................................. 3
1.3. El es F en el modelo ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. ModeloANCOVA ................................ 9
1.5. El es FenelmodeloANCOVA........................ 10
1.5.1. Con as e del e ec o de la a iable con inua . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.2. Con as e del e ec o de la a iable disc e a . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. Es udios de simulación sob e el modelo ANOVA 13
2.1. Obje i o...................................... 13
2.2. Escena ios de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3. Código y me odología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Algo i mo..................................... 17
2.5. Es udiodelcalib ado............................... 18
2.5.1. P ime escena io: diseño balanceado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.2. Segundo escena io: diseño desbalanceado . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.3. Te ce escena io: diseño con mayo a iación desbalanceado . . . . . 19
2.5.4. Cua o escena io: diseño he e ocedás ico balanceado . . . . . . . . . 20
2.5.5. Quin o escena io: diseño he e ocedás ico desbalanceado . . . . . . . 22
2.5.6. Sex o escena io: diseño con e o es no no males balanceado . . . . . 23
2.6. Es udiodelapo encia .............................. 25
2.6.1. P ime escena io: diseño balanceado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6.2. Segundo escena io: diseño desbalanceado . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i ÍNDICE GENERAL
2.6.3. Te ce escena io: diseño desbalanceado con mayo a iación . . . . . 27
2.6.4. Cua o escena io: diseño he e ocedás ico balanceado . . . . . . . . . 28
2.6.5. Quin o escena io: diseño he e ocedás ico desbalanceado . . . . . . . 30
2.6.6. Sex o escena io: diseño con e o es no no males balanceado . . . . . 32
2.7. Conclusiones ................................... 34
2.8. Una al e na i a no pa amé ica al es ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3. Es udios de simulación sob e el modelo ANCOVA 39
3.1. Con as esdee ec o ............................... 39
3.2. Escena ios de simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Código y me odología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. Algo i mo..................................... 42
3.5. Tes denoe ec o ................................. 42
3.5.1. Con as e de no e ec o de la a iable con inua . . . . . . . . . . . . . 42
3.5.2. Con as e de no e ec o de la a iable disc e a . . . . . . . . . . . . . 47
3.6. Conclusiones ................................... 52
Bibliog a ía 53
2CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN DE LOS MODELOS ANOVA Y ANCOVA
usa pa a p edeci Y. Además, incluye odas las uen es de a iación no medibles. Po
ejemplo, el iesgo a una eacción ad e sa puede a ia en un pacien e de e minado y en
un día de e minado, dependiendo de cómo haya sido ab icado el medicamen o o como se
sien a ese día el pacien e (James e al. (2013)).
Ejemplo 1.1. Un ejemplo muy común es el es udio de Gal on (Moo e (2005)) de la
dependencia de la es a u a de los hijos (Y) espec o a la de sus pad es (X). En es e se
encon ó una elación en e ambas: los pad es al os ienen en gene al hijos al os, aunque
de media no an al os como sus pad es, mien as que los pad es bajos ienen hijos bajos,
aunque de media más al os que sus pad es. Pues bien, un modelo ma emá ico que explique
la elación en e es as a iables se á un modelo de eg esión.
Cuando suponemos que en nues o modelo de eg esión la unción es lineal, di emos
que es un modelo de eg esión lineal. Aho a, la es uc u a del modelo (1.1) end ía
dada po la exp esión:
Y=β0+β1X1+· · · +βp−1Xp−1+ε, (1.2)
siendo β0, . . . , βp−1cons an es que hay que es ima , conocidas como pa áme os de la un-
ción de eg esión. Es impo an e menciona que el mé odo u ilizado no malmen e pa a
es ima β0, . . . , βp−1es el de mínimos cuad ados, el cual a a de minimiza la suma de di-
e encias al cuad ado en e el alo obse ado y el alo p edicho. Además, en es e escena io
an o la a iable espues a Ycomo el ec o de a iables explica i as Xson cuan i a i as
( oman alo es numé icos) y con inuas.
En es e modelo se conside a, po lo gene al, que el e o εsa is ace las hipó esis de:
Homocedas icidad: la a ianza del e o es la misma pa a cualquie alo de la
a iable explica i a X.
No malidad: el e o iene dis ibución no mal
ε∈N(0, σ2)
Independencia: conocida la o mulación del modelo lineal (1.2), si enemos una
mues a de nelemen os, debemos supone que las a iables alea o ias que ep esen an
los e o es ε1, . . . , εnson mu uamen e independien es.
Es as se pueden o mula como:
ε1, . . . , εn∈N(0, σ2)y son independien es.
1.2. MODELO ANOVA 3
El modelo de eg esión lineal puede se exp esado en é minos del modelo lineal
gene al ( éase McCullagh (2018)) como:
Y1
.
.
.
Yn
=
1x11 · · · x1,p−1
.
.
..
.
.....
.
.
1xn1· · · xn,p−1
·
β0
β1
.
.
.
βp−1
+
ε1
.
.
.
εn
,
el cual se puede exp esa median e la no ación ab e iada:
Y=Xβ +ε, (1.3)
donde aho a en (1.3) Yes el ec o de espues as, X∈Rn×pes una ma iz que con iene
la in o mación ela i a a los indi iduos po ilas y en cada columna se mues a una cie a
a iable explica i a, po βdeno amos al ec o de pa áme os y εes un ec o que con-
iene los e o es y e i ica ε∈N(0, σ2In). El modelo lineal gene al incluye a ios modelos
es adís icos di e en es como ANOVA, ANCOVA o eg esión lineal simple en e o os.
1.2. Modelo ANOVA
A di e encia de los modelos de eg esión lineal, en el modelo de análisis de la a ian-
za oANOVA(Maxwell e al. (2017)), hay una única a iable explica i a Xy es disc e a,
mien as que la a iable espues a Ysigue siendo con inua. Que la a iable explica i a X
sea disc e a es un g an cambio, ya que mien as en el Ejemplo 1.1 la al u a de los pad es
podía se cualquie alo numé ico, aho a X oma la o ma de una ca ego ía, como e emos
en el Ejemplo 1.2.
Ejemplo 1.2. T a a emos de es udia la e icacia de di e en es a amien os con a la
ano exia. La base de da os se denomina ano exia y se encuen a en el paque e MASS
del so wa e R(R Co e Team (2019)). Incluye da os de 72 muje es que padecie on es e
as o no, e e idos al a amien o usado con ellas (Con hace e e encia al g upo de con ol,
CBT signi ica que ue on a adas con un a amien o cogni i o conduc ual y FT que ue on
a adas con un a amien o amilia ) y el inc emen o o disminución de peso en e el inicio
y el inal del pe iodo de es udio.
Como emos en la Figu a 1.1 en es e caso la a iable explica i a Xson los di e en es
a amien os usados y es una a iable disc e a. Es una simple e ique a iden i ica i a del
4CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN DE LOS MODELOS ANOVA Y ANCOVA
−10
0
10
20
CBT Con FT
T a amien o
Inc emen o
70
80
90
100
70 75 80 85 90 95
P ew
Pos w
Figu a 1.1: Izquie da: diag ama de dispe sión del inc emen o de peso en lib as de las
muje es en unción del a amien o usado. De echa: diag ama de dispe sión del peso después
del a amien o sob e el peso an es del a amien o. Los di e en es a amien os en los
indi iduos se ep esen an median e colo es, ojo (CBT), e de (con ol) y azul ( a amien o
amilia ).
a amien o. Po o o lado, la a iable espues a Yes la di e encia de peso en lib as de
las muje es después del a amien o. En es e con ex o iene sen ido la compa ación de los
di e en es a amien os.
Como acabamos de e en el Ejemplo 1.2, la a iable explica i a p oduce la descompo-
sición de la mues a en Isubmues as con nielemen os cada una, i= 1, . . . , I, donde cada
submues a p ocede de una población di e en e. Es as obse aciones se pueden deno a así:
Y11 Y12 . . . Y1n1de una población N(µ1, σ2)
Y21 Y22 . . . Y2n2de una población N(µ2, σ2)
. . . . . . . . .
YI1YI2. . . YInIde una población N(µI, σ2)
En es e con ex o seguimos suponiendo que las mues as son independien es y siguen
odas una dis ibución no mal den o de cada g upo. Cabe des aca que a las medias de
cada g upo se les pe mi e se dis in as, pe o las a ianzas se asumen odas iguales.
La idea en es e modelo es ap o echa la in o mación que apo a el g upo al que pe enece
una obse ación pa a deci algo de ella. Más especí icamen e, dada una a iable explica i a
disc e a Xy una a iable espues a con inua Y, cons ui emos un modelo de mane a que
1.2. MODELO ANOVA 5
dependiendo de a cual de las Ipoblaciones pe enezca nues o indi iduo, podamos da una
mejo es imación de nues a a iable espues a Y. Es a es imación se á la media del g upo
al que pe enece nues a obse ación, es deci :
Yij =µi+εij i∈ {1, . . . , I}j∈ {1, . . . , ni}(1.4)
donde los εij ∈N(0, σ2)son independien es y µies un ec o de pa áme os que con iene
la media de cada población.
Como en la Sección 1.1, el modelo debe de sa is ace una se ie de hipó esis:
Homocedas icidad 1: La a ianza de las Ipoblaciones es la misma.
No malidad: Las obse aciones de cada g upo ip o ienen de una dis ibución No -
mal.
Independencia: Las Imues as son, en e sí, independien es.
Es as hipó esis se án necesa ias a la ho a de ealiza in e encia sob e la población. En
el Capí ulo 2 e emos que ocu e a la ho a de ealiza un es udio an e la ausencia de es as
hipó esis.
Además, median e no ación ma icial, el modelo (1.4) se puede exp esa en é minos
del modelo lineal gene al (1.3) como
Y11
.
.
.
Y1n1
Y21
.
.
.
Y2n2
.
.
.
YI1
.
.
.
YInI
=
1 0 · · · · · · 0
.
.
..
.
.· · · · · · .
.
.
1 0 · · · · · · 0
0 1 0 · · · 0
.
.
..
.
.· · · · · · .
.
.
0 1 0 · · · 0
0 0 ...0 0
.
.
.· · · ......0
.
.
.· · · · · · 0 1
.
.
.· · · · · · .
.
..
.
.
0· · · · · · 0 1
·
µ1
µ2
.
.
.
µI
+
ε11
.
.
.
ε1n1
ε21
.
.
.
ε2n2
.
.
.
εI1
.
.
.
εInI
1Cuando usamos a iables disc e as, nos e e imos a la igualdad de a ianzas como homogeneidad
de a ianzas. Sin emba go, en es e abajo usa emos el é mino empleado en el caso de que la a iable
sea con inua. De igual o ma emplea emos el é mino he e ocedás ico en luga de he e ogeneidad de
a ianzas.
6CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN DE LOS MODELOS ANOVA Y ANCOVA
De es e modo, el modelo de Análisis de la Va ianza queda plan eado como un modelo
lineal gene al.
1.3. El es F en el modelo ANOVA
Dado que el obje i o es ap o echa la in o mación de cada g upo i∈ {1, . . . , I}, p ime o
es necesa io plan ea se si ealmen e la disc e ización en g upos, median e la a iable X, nos
apo a in o mación impo an e sob e la a iable espues a Y. Es deci , si exis en di e encias
signi ica i as en e los g upos o si, po el con a io, el papel de g upo no apo a in o mación
ele an e. Pa a comp oba es o, se lle a a cabo un con as e de hipó esis. De es a o ma,
da emos po cie a la igualdad de medias µ1=· · · =µIy e emos si la mues a apo a
p uebas en su con a. Po lo an o, nues as hipó esis son:
H0:µ1=µ2=· · · =µI
Ha:∃k, l al que µk6=µl
La p ime a de ellas, H0, es denominada hipó esis nula, mien as que la segunda es
conocida como hipó esis al e na i a. Su con as e es un p oblema de decisión, que podemos
ep esen a median e la siguien e abla:
Realidad / Decisión Acep a Rechaza
H0cie a Co ec o E o de ipo I
H0 alsa E o de ipo II Co ec o
Obse emos que podemos oma una decisión co ec a o e ónea. Llama emos e o
de ipo I al que come emos cuando echazamos H0siendo es a cie a, mien as que el
e o ipo II se á el que come emos cuando acep amos H0siendo es a alsa. De ini emos
aho a el ni el de signi icación y la po encia:
Ni el de signi icación: Es la p obabilidad de e o ipo I, y lo deno a emos po α.
Po encia: Es la p obabilidad, cuando H0es alsa, de echaza la, la cual se co es-
ponde con 1−E o ipo II. A la p obabilidad de e o ipo II la deno a emos po
ω.
Un es que acep e siemp e H0no come e á nunca un e o ipo I, sin emba go, el e o
ipo II se á muy al o, po lo que el es no end á un compo amien o adecuado. La idea
es encon a el equilib io en e ambas, pa a ello ija emos un ni el de signi icación y nos
1.3. EL TEST F EN EL MODELO ANOVA 7
queda emos con el c i e io que nos p opo cione la mayo po encia posible. Es e c i e io suele
es a basado en un es adís ico de con as e, que e leja si los da os son más compa ibles
con H0oHa.
En nues o caso, compa a emos la can idad de a iabilidad explicada po nues o mode-
lo con la can idad de a iabilidad no explicada. Pa a e lo con de enimien o, p esen a emos
RSS0como la suma esidual de cuad ados bajo la hipó esis nula mien as que RSS se á
la suma esidual de cuad ados bajo la al e na i a:
RSS0=
I
X
i=1
ni
X
j=1
(Yij −¯
Y••)2RSS =
I
X
i=1
ni
X
j=1
(Yij −¯
Yi•)2(1.5)
donde
¯
Yi•=1
ni
ni
X
j=1
Yij ∀i∈ {1, . . . , I}(1.6)
es la media local del g upo iy
¯
Y•• =1
n
I
X
i=1
ni¯
Yi•(1.7)
es la media global. Los elemen os de las ecuaciones (1.5) admi en la siguien e in e p e ación:
RSS0: Rep esen a la a iabilidad o al del modelo, omando las di e encias en e
cada una de las obse aciones y la media global.
RSS: Rep esen a la a iabilidad den o de cada uno de los g upos, siendo la media
del g upo ila mejo es imación que se puede da pa a ese g upo. Mide la di e encia
en e la es imación y la obse ación, es deci , ecoge lo que el modelo no es capaz de
explica .
RSS0−RSS: Es la a iabilidad o al menos la a iabilidad no explicada, o lo que es
lo mismo, la a iabilidad que el modelo es capaz de explica .
Hemos dicho que que emos emplea un es adís ico que compa e la can idad de a iabi-
lidad explicada po nues o modelo con la can idad de a iabilidad no explicada. Haciendo
uso de la descomposición de RSS0dada po :
I
X
i=1
ni
X
j=1
(Yij −¯
Y••)2=
I
X
i=1
ni
X
j=1
(Yij −¯
Yi•)2+
I
X
i=1
ni
X
j=1
(¯
Yi•−¯
Y••)2(1.8)
8CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN DE LOS MODELOS ANOVA Y ANCOVA
se ob iene la siguien e descomposición de la a iabilidad que se mues a en la Tabla
1.1.
Fuen e de a iación Suma de cuad ados G ados de libe ad
En e g upos PI
i=1 Pni
j=1(¯
Yi•−¯
Y••)2I−1
Den o de los g upos PI
i=1 Pni
j=1(Yij −¯
Yi•)2n−I
To al PI
i=1 Pni
j=1(Yij −¯
Y••)2n−1
Tabla 1.1: Tabla de análisis de la a ianza.
De es a o ma, pa a compa a la a iabilidad explicada con la no explicada, se ob iene
el es adís ico
F=PI
i=1 Pni
j=1(¯
Yi•−¯
Y••)2/(I−1)
PI
i=1 Pni
j=1(Yij −¯
Yi•)2/(n−I)=(RSS0−RSS)/(I−1)
RSS/(n−I),(1.9)
el cual da luga al es F.
Sin emba go, nos queda sabe cual es la dis ibución de es e es adís ico, pues en ella se
basa án los pun os de co e o de echazo. La dis ibución del cocien e de a ianzas ecibe
el nomb e de Fde Snédeco , y la de inimos a con inuación.
De inición 1.3. Si X1∈χ2
m1,X2∈χ2
m2y son independien es en onces
F=X1/m1
X2/m2
∈Fm1,m2
y decimos que F iene dis ibución Fde Snedeco con m1g ados de libe ad en el nume-
ado y m2g ados de libe ad en el denominado .
Como los e o es εij son no males e independien es con media ce o y a ianza σ2, cada
Yij p o iene de una población no mal N(µi, σ2)y los g ados de libe ad del nume ado y
denominado suman n−1como se puede e en la Tabla 1.1. En onces, an o el nume ado
como el denominado siguen una dis ibución chi cuad ado χ2y son independien es. Po
lo an o, el es F(1.9) sigue una dis ibución Fde Snédeco :
F=(RSS0−RSS)/(I−1)
RSS/(n−I)∈F(I−1),(n−I)(1.10)
1.4. MODELO ANCOVA 9
Po consiguien e, ijado un ni el de signi icación α∈(0,1), echaza emos H0cuando
el es adís ico F(1.9) sea mayo de α, siendo es e el cuan il que deja a su de echa una
p obabilidad αen la dis ibución F(I−1),(n−I). Como podemos e , el es adís ico es más
g ande cuan o mayo es la di e encia en e ¯
Yi•y¯
Y•• con i= 1, . . . , I y más pequeño cuan o
mayo es la di e encia en e Yij y¯
Yi•con i= 1, . . . , I,j= 1, . . . , ni.
Es o iene sen ido, pues ¯
Yi•con i= 1, . . . , I es la media local es imada de la población
i, po lo que cuan o mayo sea la di e encia de es a con ¯
Y••, la media global es imada, más
ácil es que el papel del g upo apo e in o mación.
Po el con a io, cuan o mayo es la di e encia en e Yij (cada obse ación) y ¯
Yi•(la
media del g upo de esa obse ación) con i= 1, . . . , I,j= 1, . . . , ni, mayo se á la a iabi-
lidad de esa población, po lo que es más ácil con undi un e ec o del g upo con un e ec o
alea o io.
1.4. Modelo ANCOVA
Como comen amos al inal de la Sección 1.1, el modelo lineal gene al ambién incluye el
modelo ANCOVA(Maxwell e al. (2017)). En es e modelo, in e ienen al mismo iempo
a iables explica i as que son disc e as y con inuas. En es e abajo, en el escena io del
modelo ANCOVA, conside a emos que Xes á o mado po una a iable disc e a y po una
a iable con inua. Pa a ilus a lo segui emos con el Ejemplo 1.4.
Ejemplo 1.4. Con inuamos usando la base de da os ano exia p oceden e del paque e
MASS del so wa e R. En es e caso, además de los di e en es a amien os, inclui emos el
peso an e io al a amien o y el peso después del a amien o en el modelo.
En la imagen de echa de la Figu a 1.1 podemos obse a que, po no ma gene al, a ma-
yo es alo es de peso an es del a amien o le co esponden mayo es alo es de peso as el
a amien o. Aún así, como podemos e en la igu a, pa ece que no hay una elación lineal
muy cla a. Además, ambién pa ece que que hay di e encia en e los dis in os a amien os
usados y el g upo de con ol.
En es e ejemplo las a iables explica i as se ían el a amien o usado y el peso an es
del a amien o, mien as que la a iable espues a se ía el peso después del a amien o.
En algunos casos pod ía ene sen ido usa e ec os de in e acción, ya que un de e minado
a amien o pod ía se más e icaz en casos agudos de ano exia, po ejemplo.
10 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN DE LOS MODELOS ANOVA Y ANCOVA
Po lo an o, en el con ex o an e io , es amos conside ando una si uación donde cono-
cemos la a iable espues a de cada indi iduo Yij, el g upo i= 1,...I y al mismo iempo,
o a a iable explica i a con inua que podemos ep esen a como zij. Como consecuencia,
podemos conside a un modelo de eg esión que incluya el e ec o de ambas a iables
Yij =µ+ηi+γzij +εij i∈ {1, . . . , I}j∈ {1, . . . , ni}(1.11)
donde µ ep esen a una cons an e, ηiel e ec o del g upo iyγel coe icien e de eg esión
de la a iable con inua z. Como en los an e io es casos, se supone que los εij ∈N(0, σ2)
son independien es.
Po o o lado, las a iables pod ían in e ac ua en e sí. Es o lle a ía a que una misma
a iación de za ec a ía de o ma di e en e a la a iable espues a Yen unción del g upo
al que pe enece, po lo que en es e caso, end íamos ec as de eg esión con di e en e
pendien e. Es o lo pod íamos pa ame iza como:
Yij =µ+ηi+γzij +δizij +εij i∈ {1, . . . , I}j∈ {1, . . . , ni}
donde δise ía la a iación en las pendien es de las ec as de eg esión en cada g upo.
Ejemplo 1.5. La base de da os se denomina whi eside p oceden es del paque e MASS
del so wa e R. Incluye da os de i iendas del Reino Unido e e idos al consumo de gas
semanal, a la empe a u a media ex e io e in o mación ace ca de si las i iendas poseen
aislamien o o no.
En es e caso las a iables explica i as Xson la in o mación ace ca del aislamien o y la
empe a u a ex e io , mien as que la a iable espues a Yes el consumo de gas semanal.
Pa ece que, como podemos e en la Figu a 1.2, la elación lineal es más cla a, a la ez
que los g upos es án mejo de inidos.
En es e con ex o pod íamos p egun a nos si se ía adecuado ajus a dos ec as de eg e-
sión con di e en e pendien e pa a cada g upo o si, po el con a io, dos ec as de eg esión
con la misma pendien e se ía su icien e.
1.5. El es Fen el modelo ANCOVA
A di e encia del modelo ANOVA, no solo debemos plan ea nos ap o echa la in o ma-
ción de cada g upo i∈ {1, . . . , I}, sino que debemos con as a el e ec o de la a iable
1.5. EL TEST FEN EL MODELO ANCOVA 11
2
4
6
0.0 2.5 5.0 7.5 10.0
Temp
Gas
2
4
6
0.0 2.5 5.0 7.5 10.0
Temp
Gas
Figu a 1.2: Izquie da: diag ama de dispe sión del consumo de gas en unción de la em-
pe a u a ex e io , ec as de eg esión ajus adas con la misma pendien e en cada g upo.
De echa: diag ama de dispe sión del consumo de gas en unción de la empe a u a ex e-
io , ec as de eg esión ajus adas con di e en e pendien e en cada g upo. El colo ojo
ep esen a a las casas sin aislamien o, mien as que el colo azul pe enece a las casas con
él.
con inua. Po ello, p ime o nos plan ea emos el con as e del e ec o de es a a iable y po
úl imo, es udia emos el impac o de la a iable disc e a.
1.5.1. Con as e del e ec o de la a iable con inua
Pa a lle a es o a cabo, ealiza emos un con as e de hipó esis en el que da emos po
cie o el no e ec o de la a iable con inua y e emos si la mues a apo a p uebas en su
con a. Nues as hipó esis son:
H0:γ= 0
Ha:γ6= 0
donde γes el coe icien e de eg esión de la a iable zen el modelo (1.11). Pa a ealiza
el con as e, emplea emos de nue o el es F. Reco demos de la Sección 1.3 que es e es á
basado en las sumas esiduales del modelo bajo H0y bajo Ha. Así, si H0es cie a, es amos
en un modelo usual de análisis de la a ianza, cuya suma esidual se ía
RSS0=
I
X
i=1
ni
X
j=1
(Yij −¯
Yi•)2(1.12)
mien as que
18 CAPÍTULO 2. ESTUDIOS DE SIMULACIÓN SOBRE EL MODELO ANOVA
Algo i mo 1 Cálculo de la p opo ción de eces que el es F echaza la hipó esis nula H0.
Inpu : El g upo de cada indi iduo y el alo de la obse ación Yij .
Ou pu : La p opo ción de eces que el es F echaza la hipó esis nula H0.
1: C eación de 3 g upos di e en es pa a la a iable explica i a.
2: o iin 1 : 1000 do
3: Simulación de los alo es de Yen unción del g upo al que pe enezcan.
4: Ajus amos el modelo ANOVA en unción de los g upos y de la a iable espues a.
5: Ex aemos p=p- alo del es adís ico de con as e.
6: i p < 0,05 hen
7: [i] =TRUE
8: else
9: [i] =FALSE
10: e u n mean( )
2.5. Es udio del calib ado
2.5.1. P ime escena io: diseño balanceado
En el P ime Escena io, podemos ap ecia que se cumplen odas las hipó esis del mode-
lo ANOVA y que las mues as es án balanceadas. Reco demos que es e se á el escena io de
e e encia, po lo que según ayamos p escindiendo de hipó esis en los di e en es modelos,
co eja emos las di e encias espec o a es e.
T as la simulación, ob enemos un δ= 0,046, muy p óximo al ni el de signi icación
α= 0,05. Po lo an o, cuando se cumplen las hipó esis el es es á bien calib ado.
Además, como podemos e en la Figu a 2.1, la densidad es imada del es adís ico se
ace ca mucho a la densidad eó ica. Po úl imo, ambién podemos ap ecia en la Figu a 2.1
que los p- alo es (ni eles c í icos) del es adís ico siguen una dis ibución Uni o me U[0,1].
Podemos conclui que el es unciona co ec amen e en é minos del calib ado cuando
se cumplen las hipó esis y las mues as es án balanceadas.
2.5.2. Segundo escena io: diseño desbalanceado
En el Segundo Escena io se cumplen las hipó esis del modelo, pe o las mues as es án
desbalanceadas. Aunque es o no es una de las hipó esis del modelo, pa ece que puede lle-
2.5. ESTUDIO DEL CALIBRADO 19
Valo es de F
Densi y
0 5 10 15
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
p− alo es
Densi y
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figu a 2.1: Izquie da: his og ama de los alo es del es adís ico del P ime Escena io si-
mulando bajo H0. Densidad eó ica(azul). Densidad es imada median e es imación ipo
núcleo ( e de). De echa: his og ama de los p- alo es del es adís ico del P ime Escena io
simulando bajo H0. Densidad eó ica( e de).
ga a a ec a al calib ado del es . Po lo an o, en es e escena io, el amaño mues al del
p ime g upo se á n1= 200, mien as que los amaños mues ales del segundo y del e ce o
oma án la o ma n2=n3= 50.
Simulando, ob enemos un δ= 0,053, de nue o p óximo al ni el de signi icación α. De
mane a que, aunque las mues as es én desbalanceadas, el es es á bien calib ado.
Aho a podemos ap ecia en la Figu a 2.2 que nue amen e la densidad es imada del
es adís ico es á muy p óxima a la eó ica. Además, los p- alo es del es adís ico siguen
eniendo una dis ibución muy simila a los de la Figu a 2.1.
Podemos conclui que el es unciona co ec amen e en é minos del calib ado aunque
las mues as es én desbalanceadas, siemp e y cuando se cumplan las hipó esis del modelo.
2.5.3. Te ce escena io: diseño con mayo a iación desbalanceado
En el Te ce Escena io se siguen cumpliendo las hipó esis del modelo, pe o las mues as
es án desbalanceadas y la a ianza del e o es mucho mayo . En conc e o, las des iaciones
ípicas de los da os se á σ1=σ2=σ3= 1, po lo que los da os end án una al a dispe sión
espec o a la media µ. Po o o lado, los amaños mues ales se án n1= 100,n2= 50 y
20 CAPÍTULO 2. ESTUDIOS DE SIMULACIÓN SOBRE EL MODELO ANOVA
Valo es de F
Densi y
02468
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
p− alo es
Densi y
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Figu a 2.2: Izquie da: his og ama de los alo es del es adís ico del Segundo Escena io
simulando bajo H0. Densidad eó ica(azul). Densidad es imada median e es imación ipo
núcleo ( e de). De echa: his og ama de los p- alo es del es adís ico del Segundo Escena io
simulando bajo H0. Densidad eó ica( e de).
n3= 25.
En la simulación, ob enemos un δ= 0,052, muy simila al ni el de signi icación. Po lo
an o, el es sigue es ando bien calib ado.
Es e escena io nos mues a que no podemos ija nos solamen e en la media de las sub-
mues as, ambién hay que ene en cuen a la can idad de da os de cada una y su des iación
espec o a la media. Es o es debido a que en casos ex emos en los que no engamos dema-
siados da os en una mues a, y es os es én muy mucha dispe sos, nos podemos encon a
con alo es medios di e en es al e dade o alo medio de la población. Po úl imo, la
densidad es imada del es adís ico es á muy p óxima a la eó ica 2.3.
Podemos conclui que el es sigue uncionando co ec amen e en é minos del calib ado
aún con mues as desbalanceadas y al a a iabilidad.
2.5.4. Cua o escena io: diseño he e ocedás ico balanceado
Diseño he e ocedás ico 1
El p ime apa ado del Cua o Escena io es el p ime o en el que no se cumple una de
las hipó esis p opias del modelo, en conc e o e emos que ocu e cuando alla la homoce-
2.5. ESTUDIO DEL CALIBRADO 21
Valo es de F
Densi y
0 2 4 6
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
p− alo es
Densi y
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Figu a 2.3: Izquie da: his og ama de los alo es del es adís ico del Te ce Escena io si-
mulando bajo H0. Densidad eó ica(azul). Densidad es imada median e es imación ipo
núcleo ( e de). De echa: his og ama de los p- alo es del es adís ico del Te ce Escena io
simulando bajo H0. Densidad eó ica( e de).
das icidad. Las des iaciones ípicas de los g upos 1 y 2 se án σ1=σ2= 0,5mien as que la
des iación ípica del e ce g upo se á σ3= 2. Sin emba go, los da os es a án equilib ados,
eniendo en cada uno de los g upos n= 50 obse aciones.
En la simulación, ob enemos un alo de δ= 0,074, siendo es e alo bas an e di e en e
al ni el de signi icación y mayo que o os δob enidos. Po lo an o, el es no es á bien
calib ado.
Podemos conclui diciendo que no debe íamos usa es e con as e en caso de no cumpli -
se la hipó esis de homocedas icidad, ya que su compo amien o en é minos de calib ado
se ía malo. Es o end á como consecuencia que el es echaza á la hipó esis nula una
p opo ción de eces mayo que el ni el de signi icación p e ijado.
Diseño he e ocedás ico 2
A di e encia del an e io apa ado, la des iación ípica del e ce g upo se á meno .
Conc e amen e, las des iaciones ípicas de los g upos 1 y 2 se án σ1=σ2= 0,5mien as
que la des iación ípica del e ce g upo se á σ3= 0,1. Los da os segui án es ando equili-
b ados, eniendo en cada uno de los g upos n= 50 obse aciones.
En la simulación, ob enemos un alo de δ= 0,064, es ando nue amen e el alo algo
22 CAPÍTULO 2. ESTUDIOS DE SIMULACIÓN SOBRE EL MODELO ANOVA
lejano al ni el de signi icación.
Pa ece que en es e subescena io el es iene un compo amien o mejo en é minos de
calib ado que el an e io . Aún así, el es echaza la hipó esis nula una p opo ción mayo
de eces que el ni el de signi icación p e ijado.
2.5.5. Quin o escena io: diseño he e ocedás ico desbalanceado
En el Quin o Escena io e emos qué ocu e cuando las mues as es án desbalanceadas
y no se cumple la hipó esis de homocedas icidad. En es e escena io, las des iaciones ípicas
del g upo 1 y 2 se án σ1=σ2= 0,5, mien as que la del e ce g upo se á σ3= 0,1. Po
o a pa e, el amaño mues al se á n1=n2= 50 yn3= 200.
T as simula los da os, ob enemos δ= 0,278, es deci , simulando bajo la hipó esis nula
H0, la echazamos el 27.8 % de las eces. Como en los an e io es escena ios, el ni el de
signi icación es α= 0,05, y es á muy lejos de δ. El es es á cla amen e mal calib ado.
Valo es de F
Densi y
0 5 10 15
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
p− alo es
Densi y
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0 1 2 3
Figu a 2.4: Izquie da: his og ama de los alo es del es adís ico del Quin o Escena io. Den-
sidad eó ica(azul). Densidad es imada median e es imación ipo núcleo ( e de). De echa:
his og ama de los p- alo es del es adís ico del Quin o escena io. Densidad eó ica( e de).
En la imagen de la izquie da de la Figu a 2.4 podemos ap ecia di e encias muy im-
po an es en a la unción de densidad eó ica y la unción de densidad empí ica. En la
imagen de la de echa, podemos obse a que hay una g an can idad de p- alo es p óximos
2.5. ESTUDIO DEL CALIBRADO 23
a ce o, siendo muy di e en e a la dis ibución uni o me.
Como imos en el escena io Diseño Desbalanceado (E2), que los da os es u iesen desba-
lanceados no in luía en el compo amien o del es en é minos de calib ado. Sin emba go,
en es e escena io, el es iene un compo amien o muy di e en e en é minos de calib ado
al desbalancea los da os, ya que aumen a conside ablemen e la can idad de echazos que
se p oducen.
2.5.6. Sex o escena io: diseño con e o es no no males balanceado
Diseño con e o es Tde S uden
En es e subescena io, obse a emos qué ocu e cuando no se cumple la hipó esis de
no malidad. Nues as obse aciones segui án una dis ibución Tde S uden con 3 g ados
de libe ad (se han cogido los mínimos posibles pa a que no se pa ezca mucho a una dis-
ibución No mal).
Al simula bajo H0, nos encon amos con un δ= 0,051, es deci , un alo bas an e
pa ecido al ni el de signi icación α. Podemos deci que el es adís ico es a bien calib ado a
pesa del incumplimien o de la hipó esis de no malidad.
Es e es un esul ado ealmen e llama i o, pues en es e escena io log amos un δmuy
p óximo al ni el de signi icación αin ingiendo di ec amen e una de las hipó esis del mo-
delo. De hecho, si lo compa amos con o os escena ios en los que se cumplen las hipó esis,
es e escena io ob iene uno de los mejo es esul ados en é minos de calib ado.
La pa e izquie da de la Figu a 2.5 mues a que la densidad es imada es á muy p óxima
a la densidad eó ica, mien as que la pa e de echa mues a una dis ibución Uni o me de
los p- alo es.
Podemos conclui que el es F iene un compo amien o co ec o en é minos de cali-
b ado cuando la dis ibución de los e o es sigue siendo simé ica.
Diseño con e o es asimé icos
Es e se á el úl imo escena io en el que comp oba emos el calib ado de un es . En él,
nos cen a emos en que ocu e cuando nues as obse aciones p o ienen de una dis ibu-
24 CAPÍTULO 2. ESTUDIOS DE SIMULACIÓN SOBRE EL MODELO ANOVA
Valo es de F
Densi y
0123456
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
p− alo es
Densi y
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Figu a 2.5: Izquie da: his og ama de los alo es del es adís ico del Sex o Escena io simulan-
do bajo H0. Densidad eó ica(azul). Densidad es imada median e es imación ipo núcleo
( e de). De echa: his og ama de los p- alo es del es adís ico del Sex o Escena io simulando
bajo H0. Densidad eó ica( e de).
ción χ2con 5 g ados de libe ad.
En gene al, la media de una dis ibución χ2con kg ados de libe ad es igual a k.
Debido a ello, los e o es no es án cen ados en el ce o, po lo que debemos de ecen a los,
en es e caso, es ando 5 unidades a las obse aciones. Además, debido a la dis ibución que
oman los e o es, son asimé icos. Es o se puede ap ecia con mayo cla idad en la Figu a
2.18.
Simulando, ob enemos un δ= 0,5, exac amen e igual a nues o ni el de signi icación.
Po lo an o el es adís ico es á bien calib ado. Como podemos obse a en la Figu a 2.6,
las dis ibuciones es imadas es án muy p óximas de las eó icas. Nue amen e, pa ece que
pese al queb an amien o de la hipó esis de no malidad, el es unciona pe ec amen e en
é minos de calib ado.
Podemos conclui que el es adís ico iene un compo amien o co ec o en é minos de
calib ado.
2.6. ESTUDIO DE LA POTENCIA 25
Valo es de F
Densi y
0 2 4 6
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
p− alo es
Densi y
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
Figu a 2.6: Izquie da: his og ama de los alo es del es adís ico del Sép imo Escena io si-
mulando bajo H0. Densidad eó ica(azul). Densidad es imada median e es imación ipo
núcleo ( e de). De echa: his og ama de los p- alo es del es adís ico del Sép imo Escena io
simulando bajo H0. Densidad eó ica( e de).
2.6. Es udio de la po encia
En la Sección 2.3 mencionamos que la po encia del es a ia á dependiendo de di-
e en es ac o es, como el núme o de obse aciones o la di e encia de medias. En
consecuencia, conside a emos di e en es amaños mues ales y di e en es medias, y obse -
a emos como a ía la po encia del es en unción de es as.
Po ello, las medias de los g upos 1 y 2 se án µ1=µ2= 1, mien as que i emos a-
iando la media del e ce g upo. De igual o ma, una ez ijada la media del e ce g upo,
aumen a emos el núme o de obse aciones en cada g upo. Una ez ealizado es o, e emos
como a a iando la po encia del es F.
2.6.1. P ime escena io: diseño balanceado
Como podemos obse a en la imagen de echa de la Figu a 2.8, a medida que aumen a
la di e encia de medias en e el e ce g upo espec o al p ime o y al segundo, más ápido
se ap oxima la po encia del es a 1. Además, ambién podemos ap ecia que el es se
compo a de o ma adecuada en é minos de po encia, ya que es a se inc emen a según
aumen a el amaño mues al.
26 CAPÍTULO 2. ESTUDIOS DE SIMULACIÓN SOBRE EL MODELO ANOVA
Así, si omamos un amaño mues al de n1=n2=n3= 50 yµ3= 1,3, ob enemos
θ= 0,889, es deci , el es echaza la igualdad de medias un 88.9 % de las eces, ob eniendo
el es una po encia al a.
Po el con a io, si omásemos un amaño mues al de n1=n2=n3= 50, pe o
µ3= 1,1, ob end íamos un θ= 0,159, una po encia in e io a la an e io , como cabe espe-
a , dado que el alo de la media del e ce g upo es á más p óximo.
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
−1 0 1 2 3
clase
y
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
−1 0 1 2 3
clase
y
Figu a 2.7: Diag ama de dispe sión de la a iable espues a Yen unción de la clase a la
que pe enezcan, simulado median e écnicas de Mon eca lo. Izquie da: da os simulados
bajo H0en el P ime Escena io. De echa: da os simulados bajo Haen el P ime Escena io.
La línea e de ep esen a la media eó ica, mien as que las líneas neg as de cada clase
ep esen an la media mues al de dicha clase.
Pa a inaliza con es e escena io, en la Figu a 2.7 podemos ap ecia como los da os de
la e ce a clase son mayo es al simula bajo Ha, debido a es o, el es Fde ec a di e encias
en e las medias en la clase 3 con espec o a las o as dos.
2.6.2. Segundo escena io: diseño desbalanceado
De nue o simula emos bajo la hipó esis al e na i a Ha, pe o a di e encia del an e io
escena io, las mues as es a án desbalanceadas. Pa a ello omamos un amaño mues al
n1=nen el p ime g upo, mien as que el amaño de los g upos 2 y 3 se á n2=n3=n/4.
Podemos obse a en la imagen izquie da de la Figu a 2.8 1como aumen a la po encia
1Con el in de compa a el compo amien o en é minos de po encia en e el P ime Escena io: diseño
2.6. ESTUDIO DE LA POTENCIA 27
del es según aumen a el amaño mues al, lo que uel e a indica un buen compo a-
mien o en é minos de po encia.
Sin emba go, podemos ap ecia una di e encia no able, y es que en el diseño desbalan-
ceado necesi amos un amaño mues al mayo pa a llega a una po encia p óxima a 1. Así,
en el P ime Escena io (E1), cuando n= 1000 (3000 da os o ales), la po encia del es
es á p óxima a 1. De igual o ma, en el Segundo Escena io (E2), cuando omamos el alo
n= 2000 (3000 da os o ales), la po encia del es oma un alo algo más pequeño .Es o
mues a la impo ancia de que nues os da os es én balanceados, pudiendo llega a alsas
conclusiones al ealiza un es udio poblacional.
0 500 1000 1500 2000
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
n
Po encia
0 1000 2000 3000 4000
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
n
Po encia
Figu a 2.8: G á icas de la po encia del es del P ime Escena io (g á ica izquie da) y del
Segundo Escena io (g á ica de echa) en unción del amaño mues al. Línea oja: la media
del e ce g upo oma el alo µ3= 1,1. Línea e de: la media del e ce g upo oma el
alo µ3= 1,2. Línea azul: la media del e ce g upo oma el alo µ3= 1,3. Línea na anja:
la media del e ce g upo oma el alo µ3= 1,5.
2.6.3. Te ce escena io: diseño desbalanceado con mayo a iación
En el es udio de la po encia del Te ce Escena io se pone de mani ies o la impo ancia
de la a ianza del e o . Simula emos bajo Ha omando di e en es amaños mues ales,
donde n1=n,n2=n/2yn3=n/4. En es e escena io la des iación ípica se á mayo ,
balanceado con los demás escena ios, se ha ma cado el alo n= 2000 con una línea g is. Es o pe mi e
ob ene una pe spec i a del amaño mues al en los escena ios en los que se necesi a un mayo núme o de
da os. Es a in o mación se ep esen a en odas las g á icas de po encia a los la go de la memo ia.
34 CAPÍTULO 2. ESTUDIOS DE SIMULACIÓN SOBRE EL MODELO ANOVA
0 500 1000 1500 2000
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
n
Po encia
0 2000 4000 6000 8000 10000
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
n
Po encia
Figu a 2.15: G á icas de la po encia del es del P ime Escena io (g á ica izquie da) y del
Sex o Escena io (g á ica de echa) en unción del amaño mues al. Línea oja: la media del
e ce g upo oma el alo µ3= 1,1. Línea e de: la media del e ce g upo oma el alo
µ3= 1,2. Línea azul: la media del e ce g upo oma el alo µ3= 1,3. Línea na anja: la
media del e ce g upo oma el alo µ3= 1,5.
2.7. Conclusiones
T as ealiza un es udio exhaus i o de simulación, podemos obse a lo siguien e:
Da os desbalanceados: es ecomendable usa mues as balanceadas. En caso de
que la mues a es é desbalanceada y los da os cumplan con las hipó esis del modelo
ANOVA, el es Fob iene buenos esul ados en é minos de calib ado y po encia. Po
o o lado, si la mues a es á desbalanceada pe o no cumple alguna de las hipó esis
del modelo, el es empeo a sus esul ados no ablemen e.
Da os he e ocedás icos: podemos ap ecia que:
•Si el diseño es equilib ado, el modelo ANOVA es bas an e obus o (es o lo
podemos e en el Cua o Escena io) ya que la p opo ción de echazos δ iene
endencia a se mayo que α, pe o sin aleja se mucho. En lo que se e ie e al
compo amien o del es en é minos de po encia, pa ece que si la a ianza de
uno de los g upos es mayo , el es ob iene peo es esul ados, mien as que si
po el con a io la a ianza de uno de los g upos es meno , ob iene esul ados
muy simila es en é minos de po encia al escena io diseño balanceado.
•En diseños no equilib ados, la al a de homocedas icidad iene mayo impac o.
Si los g upos de meno amaño son los que p esen an una mayo des iación
ípica, hab á una mayo can idad de alsos posi i os (es o es lo que ocu e en
2.7. CONCLUSIONES 35
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
−2 0 2 4
clase
y
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
−2 0 2 4
clase
y
Figu a 2.16: Diag ama de dispe sión de la a iable espues a Yen unción de la clase a la
que pe enezcan, simulado median e écnicas de Mon e Ca lo. Izquie da: da os simulados
bajo H0en el Sex o Escena io. De echa: da os simulados bajo Haen el Sex o Escena io.
La línea e de ep esen a la media eó ica, mien as que las líneas neg as de cada clase
ep esen an la media mues al de dicha clase.
el Quin o Escena io). Si po el con a io, los g upos de mayo amaño ienen
mayo des iación ípica, aumen a an los alsos nega i os. Además, el es ob iene
esul ados muy pob es en é minos de calib ado.
Se ía con enien e ealiza una alidación de la hipó esis de homocedas icidad pa a e
cuál es el escena io al que nos en en amos. Es o lo pod íamos comp oba ealizando
el es de Le ene, el cual si e pa a comp oba si la a ianza de los g upos es la misma.
Además, ambién debe íamos de ene en cuen a si nues os da os es án balanceados.
Da os no no males: el modelo ANOVA unciona bien en é minos de calib ado
cuando los e o es no siguen una dis ibución No mal den o de cada g upo. Sin
emba go, el es iene una baja po encia. Se ía adecuado ealiza una co ec a a-
lidación de la hipó esis de No malidad pa a e en que con ex o nos encon amos.
Es o lo pod íamos lle a a cabo ealizando el es de Shapi o-Wilks o el de Lillie o s
pa a con as a la no malidad.
Tamaño mues al: cuan o mayo sea el amaño mues al, más iables se án nues os
esul ados. Es o se e idencia en el es udio de la po encia del P ime Escena io, en el
cual podemos ap ecia que según aumen a n, aumen a la po encia del es .
36 CAPÍTULO 2. ESTUDIOS DE SIMULACIÓN SOBRE EL MODELO ANOVA
0 500 1000 1500 2000
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
n
Po encia
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
n
Po encia
Figu a 2.17: G á icas de la po encia del es del P ime Escena io (g á ica izquie da) y del
Sép imo Escena io (g á ica de echa) en unción del amaño mues al. Línea oja: la media
del e ce g upo oma el alo µ3= 1,1. Línea e de: la media del e ce g upo oma el
alo µ3= 1,2. Línea azul: la media del e ce g upo oma el alo µ3= 1,3. Línea na anja:
la media del e ce g upo oma el alo µ3= 1,5.
2.8. Una al e na i a no pa amé ica al es ANOVA
T as ealiza el es udio de simulación, podemos obse a que el es Fp esen a p oble-
mas en é minos de po encia y calib ado cuando no se cumplen las hipó esis de homoce-
das icidad y de no malidad. Es os p oblemas se en ag a ados cuando las mues as es án
desbalanceadas. Como comen amos en la Sección 2.7, se ía ap opiado ealiza una con e-
nien e alidación de las hipó esis de homocedas icidad y de no malidad an es de aplica el
es . En es a sección p esen a emos b e emen e una al e na i a al modelo ANOVA cuando
no se cumplen la hipó esis de no malidad.
El Tes K uskal-Wallis (Co de y Fo eman (2011)), ambién conocido como es H, es
un mé odo no pa amé ico al e na i o al es F, el cual emplea angos pa a con as a la
hipó esis de que kmues as han sido ob enidas de la misma población. A di e encia de
es e, el es de K uskal-Wallis no asume no malidad en los da os, pudiendo o mula el
con as e de hipó esis del siguien e modo:
H0:Las mues as p o ienen de una misma población.
Ha:Al menos una mues a p o iene de una población di e en e.
Supongamos que disponemos de kg upos con uno de ellos con nobse aciones. En onces
2.8. UNA ALTERNATIVA NO PARAMÉTRICA AL TEST ANOVA 37
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0 5 10
clase
y
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0 5 10
clase
y
Figu a 2.18: Diag ama de dispe sión de la a iable espues a Yen unción de la clase a
la que pe enezcan, simulado median e écnicas de Mon eca lo. Izquie da: da os simulados
bajo H0en el Sép imo Escena io. De echa: da os simulados bajo Haen el Sép imo Esce-
na io. La línea e de ep esen a la media eó ica, mien as que las líneas neg as de cada
clase ep esen an la media mues al de dicha clase.
el es adís ico Hse calcula ía como:
H= (N−1) Pk
i=1 ni(¯ i•−¯ )2
Pk
i=1 Pni
j=1( ij −¯ )2(2.1)
donde:
nies el nume o de obse aciones en el g upo i.
ij es igual al ango de la obse ación jen el g upo i.
N ep esen a el núme o o al de obse aciones en e odos los g upos.
¯ i•es el ango medio del g upo i.
¯ es el p omedio de ij .
Al igual que el modelo ANOVA, seguimos conside ando obse aciones independien es
de una a iable con inua que se obse a en a ios g upos. Además, dado que en la hipó-
esis nula es amos asumiendo que los g upos pe enecen a una misma población, se sigue
man eniendo la hipó esis de homocedas icidad. Po úl imo, bajo H0, se asume que odos
los g upos siguen una misma dis ibución.
38 CAPÍTULO 2. ESTUDIOS DE SIMULACIÓN SOBRE EL MODELO ANOVA
0 200 400 600 800 1000
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
n
Po encia
Figu a 2.19: Diag ama de dispe sión de la po encia en unción del amaño mues al cuando
los e o es siguen una dis ibución Tde S uden y las mues as es án pa eadas. Línea oja:
po encia del es ANOVA. Línea e de: po encia del es K uskal-Wallis.
En la Figu a 2.19, podemos obse a la di e encia en e la po encia de el es Fy
el es K uskal-Wallis cuando oman el mismo amaño mues al y los e o es siguen una
dis ibución Tde S uden . Es e iden e que el es K uskal-Wallis ob iene mejo es alo es
de po encia cuando el amaño mues al es el mismo.
Capí ulo 3
Es udios de simulación sob e el
modelo ANCOVA
En es e capí ulo pond emos a p ueba el es Fen dos es adís icos de con as e di e-
en es en el con ex o del modelo ANCOVA. Pa a ello ealiza emos los es de no e ec o.
En ambos con as es i emos sup imiendo dis in as hipó esis del modelo y iendo como
esponden los es .
Pa a lle a es o a cabo, en la Sección 3.1 in oduci emos los di e en es con as es a e-
ne en cuen a. En la Sección 3.2 p esen a emos los di e en es escena ios de simulación que
es a emos. Po su pa e, la Sección 3.3 es a á dedicada a na a la me odología u ilizada
pa a ealiza el es udio de simulación. Más a de, en las Secciones 3.5.1 - 3.5.2 p esen a e-
mos e in e p e a emos los esul ados del es udio de simulación en é minos del calib ado y
de la po encia del con as e de la a iable con inua y de la a iable disc e a. Po úl imo,
en la Sección 3.6, ex ae emos las conclusiones de los es udios ealizado.
3.1. Con as es de e ec o
En el Capí ulo 2, usamos el es Fpa a con as a si el papel del g upo iene algún
e ec o en Y. En el modelo ANCOVA (Maxwell e al. (2017)), además de una a iable ex-
plica i a disc e a, enemos una a iable explica i a con inua, po lo an o, end emos que
con as a el papel de ambas a iables.
Reco demos que el con as e del e ec o de la a iable con inua e a:
H0:γ= 0
39
40 CAPÍTULO 3. ESTUDIOS DE SIMULACIÓN SOBRE EL MODELO ANCOVA
Ha:γ6= 0
mien as que el de la a iable disc e a oma la o ma:
H0:ηi= 0 ∀i
Ha:∃i al que ηi6= 0
donde γyηison los especi icados en el modelo (1.11).
Análogamen e al Capí ulo 2, ijado un ni el de signi icación α∈(0,1), e alua emos el
compo amien o del es en é minos de calib ado ypo encia, iendo el impac o de la
ausencia de alguna de las hipó esis del modelo ANCOVA.
3.2. Escena ios de simulación
Empeza emos e aluando los es en é minos de calib ado y po encia. P esen a emos 4
escena ios de simulación di e en es, donde se han conside ado I= 3 clases:
1. Diseño homocedás ico balanceado (A1): las des iaciones ípicas de los g upos
1, 2 y 3 se án σ1=σ2=σ3= 0,5 espec i amen e. El amaño de mues a en el
es udio del calib ado se á igual pa a los 3 g upos, siendo es e n1=n2=n3= 50.
2. Diseño homocedás ico desbalanceado (A2): las des iaciones ípicas de los g u-
pos 1, 2 y 3 se án σ1=σ2=σ3= 0,5 espec i amen e. El amaño de mues a en el
es udio del calib ado se á di e en e en es e caso, siendo es e n1=n2= 10, mien as
que n3= 80.
3. Diseño he e ocedás ico balanceado (A3): las des iaciones ípicas de los g upos
en es e caso se án di e en es, siendo σ1=σ2= 0,5la des iación ípica de los g upos
1 y 2, así como σ3= 2 la del g upo 3. En es e escena io, en el es udio del calib ado,
las mues as es a án balanceadas, omando las es el alo n1=n2=n3= 50. Es
impo an e menciona que se á el p ime escena io en el que no se cumple una de las
hipó esis del modelo ANCOVA.
4. Diseño he e ocedás ico desbalanceado (A4): las des iaciones ípicas de los g u-
pos en es e caso se án di e en es, siendo σ1=σ2= 0,5la des iación ípica de los
g upos 1 y 2, así como σ3= 2 la del g upo 3. En es e escena io, en el es udio del
calib ado, las mues as es a án desbalanceadas, omando los alo es n1=n2= 10 y
n3= 80.
3.3. CÓDIGO Y METODOLOGÍA 41
Como hemos mencionado, e alua emos el es en é minos de calib ado y po encia,
po lo que debemos de simula bajo H0y bajo Ha. Como enemos dos con as es de
hipó esis di e en es, p ime o ealiza emos el con as e de la a iable con inua y luego el de
la disc e a. En cada uno de ellos, deja emos ijo el alo de los pa áme os de la a iable
que no es emos con as ando y e alua emos la o a. Es o lo ha emos es udiando p ime o
el compo amien o en é minos de calib ado, y pos e io men e, omando di e en es alo es
de la a iable a con as a y di e en es amaños mues ales.
3.3. Código y me odología
Como en la Sección 2.3, se ha hecho uso del lenguaje de p og amación R (R Co e Team
(2019)). Hemos empleado un mé odo simila al del Capí ulo 2, ya que se ha simulado
M= 1000 eces cada uno de los escena ios median e écnicas de Mon eca lo.
Como en es e caso enemos que es ea dos con as es, comp oba emos el buen uncio-
namien o en é minos de calib ado de ambos, ijando α= 0,05 en ambos es y obse ando
cual es la p obabilidad de que el es echace las hipó esis nulas H0. A la p obabilidad de
que el es echace el con as e de la a iable con inua o el de la a iable disc e a cuando
simulamos bajo H0lo deno a emos con la le a δ1.
Pa a el es udio de la po encia debemos de simula bajo Ha. De es a o ma, llama emos
θa la p obabilidad de que el es echace la hipó esis nula en el con as e del e ec o de la
a iable con inua o en el de la disc e a, condicionado a que es amos simulando bajo Ha.
En es e caso, como enemos que es udia el compo amien o de dos es di e en es,
ha emos lo siguien e:
Con as e de no e ec o de la a iable con inua: e alua emos el e ec o de la
a iable con inua ijando el alo de los pa áme os de la a iable disc e a ηi. Pa a
es o, p ime o analiza emos el compo amien o del es en é minos de calib ado, pa a,
a pos e io i, es ea el compo amien o del es en é minos de po encia, omando
di e en es alo es de la pendien e γy del amaño mues al n.
Con as e de no e ec o de la a iable disc e a: e alua emos el e ec o de la
a iable disc e a ijando en es e caso el alo de los pa áme os de la a iable con inua
1En es e caso usa emos la no ación δpa a e e i nos a cuando es amos simulando bajo H0y la no ación
θpa a e e i nos a cuando es amos simulando bajo Ha. Po lo demás, ep esen an lo mismo, la p obabilidad
de echaza la hipó esis nula H0.
42 CAPÍTULO 3. ESTUDIOS DE SIMULACIÓN SOBRE EL MODELO ANCOVA
γ. Pa a hace es o, analiza emos el compo amien o del es en é minos de calib ado,
y pos e io men e, obse a emos el compo amien o del es en é minos de po encia,
omando di e en es alo es de las medias de los g upos µ1,µ2yµ3, además de a ia
el amaño mues al n.
3.4. Algo i mo
Pa a el cálculo de la p opo ción de eces que el es F echaza H0se emplea nue a-
men e el Mé odo de Mon e Ca lo. Realiza emos un p oceso simila al del Capí ulo 2,
pe o aho a, además de con as a la a iable disc e a, ambién debemos de con as a la
a iable con inua. De es a o ma, se simulan en cada i e acción alo es de las a iables
co espondien es a cada g upo y una a iable con inua, ajus ando un modelo ANCOVA y
calculando el ni el c í ico de ambos con as es (p- alo ). Po úl imo, se ob iene la p opo -
ción de p- alo es que es án po debajo de 0,05, es deci , el núme o de eces que echazamos
H0. Es e p ocedimien o se esume en el Algo i mo 2.
3.5. Tes de no e ec o
Como hemos comen ado, enemos que con as a el e ec o de la a iable con inua y el
de la a iable disc e a en dos es di e en es. Po ello, ija emos el e ec o de una de las
a iables y obse a emos como e oluciona la o a en é minos de calib ado y po encia al
oma dis in os alo es.
3.5.1. Con as e de no e ec o de la a iable con inua
En el con a e de no e ec o de la a iable con inua ija emos los alo es de las medias
de los es g upos µ1=µ2=µ3= 1 2y oma emos di e en es alo es de la pendien e de
la ec a de eg esión γ.
P ime escena io: diseño homocedás ico balanceado
En es e escena io las des iaciones ípicas de los g upos se án σ1=σ2=σ3= 0,5.
Además, es impo an e menciona que se cumplen odas las hipó esis del modelo ANCOVA.
2De aho a en adelan e, conside a emos µi=µ+ηi, donde µes una cons an e y ηi ep esen a al e ec o
del g upo i.
3.5. TEST DE NO EFECTO 43
Algo i mo 2 Cálculo de la p opo ción de eces que el es F echaza las hipó esis nulas
H0.
Inpu : El g upo de cada indi iduo, una a iable con inua y el alo de la obse ación Yij.
Ou pu : La p opo ción de eces que el es F echaza las hipó esis nulas H0.
1: C eación de 3 g upos di e en es pa a la a iable explica i a.
2: o iin 1 : 1000 do
3: Simulación de los alo es de Yen unción del g upo al que pe enezcan.
4: Simulación de los alo es de X.
5: Ajus amos el modelo ANCOVA en unción de los g upos, de la a iable con inua y
de la a iable espues a.
6: Ex aemos p1=p- alo del es adís ico del con as e de la a iable con inua.
7: i p1<0,05 hen
8: 1[i] =TRUE
9: else
10: 1[i] =FALSE
11: Ex aemos p2=p- alo del es adís ico del con as e de la a iable disc e a.
12: i p2<0,05 hen
13: 2[i] =TRUE
14: else
15: 2[i] =FALSE
16: e u n mean( 1),mean( 2)
50 CAPÍTULO 3. ESTUDIOS DE SIMULACIÓN SOBRE EL MODELO ANCOVA
1. µ1=µ2=µ3= 1: as simula ob enemos el alo δ= 0,085, lejano al ni el de
signi icación α= 0,05. Podemos deci que el es no es á bien calib ado.
2. µ1=µ2= 1 yµ36= 1: en es e caso, es udia emos di e en es alo es de µ3y e emos
como se compo a la po encia del es al aumen a el p opio µ3y el amaño mues al
n.
En la Figu a 3.5 podemos ap ecia que cuan o mayo es la media del e ce g upo µ3
y mayo es el amaño mues al nmayo es la po encia del es . El es p esen a un buen
compo amien o en é minos de po encia, pues a mayo amaño mues al, más se ap oxima
la po encia del es a 1.
0 500 1000 1500 2000
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
n
Po encia
0 2000 4000 6000 8000 10000
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
n
Po encia
Figu a 3.5: G á icas de la po encia del es en unción del amaño mues al en el con as e
de no e ec o de la a iable disc e a. Co esponde al P ime Escena io (g á ica izquie da) y
al Te ce Escena io (g á ica de echa). Línea oja: la media del e ce g upo oma el alo
µ3= 1,1. Línea e de: la media del e ce g upo oma el alo µ3= 1,2. Línea azul: la
media del e ce g upo oma el alo µ3= 1,3. Línea na anja: la media del e ce g upo
oma el alo µ3= 1,5.
Al compa a las g á icas de la Figu a 3.5, se hace pa en e que el es es más po en e
cuando los da os son homocedás icos que cuando son he e ocedás icos. De es a o ma,
cuando la media del e ce g upo oma el alo µ3= 1,5y los da os son homocedás icos,
el es alcanza una po encia p óxima a 1 con n= 40 obse aciones en cada g upo. Sin
emba go, si los da os no son homocedás icos, necesi amos ce ca de n= 250 obse aciones
pa a alcanza una po encia p óxima a 1.
3.5. TEST DE NO EFECTO 51
Cua o escena io: diseño he e ocedás ico desbalanceado
Po úl imo, e alua emos que ocu e cuando las mues as es án desbalanceadas y los
da os son he e ocedás icos. Las des iaciones ípicas oma án los alo es σ1=σ2= 0,5
mien as que σ3= 2.
1. µ1=µ2=µ3= 1: en el es udio del calib ado oma emos un amaño mues al de
n1=n2= 10, a la ez que n3= 80. T as simula ob enemos el alo δ= 0, lejano al
ni el de signi icación α= 0,05. Podemos deci que a pesa de que el es no echace
nunca H0, no es á bien calib ado.
2. µ1=µ2= 1 yµ36= 1: es udia emos di e en es alo es de µ3y e emos como se
compo a la po encia del es al aumen a el p opio µ3y el amaño mues al n. Los
g upos 1 y 2 se án de amaño n1=n2=n/8, mien as que n3=n.
En la Figu a 3.6 se puede obse a el compo amien o de la po encia espec o al amaño
mues al en el Cua o Escena io (A4). Es á cla o que el es iene un buen compo amien o
en é minos de po encia ya que con e ge a 1, sin emba go, como en el con as e de la a iable
con inua, debido al desbalanceado de los da os es necesa io un mayo amaño mues al.
0 2000 4000 6000 8000 10000
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
n
Po encia
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
n
Po encia
Figu a 3.6: G á icas de la po encia del es en unción del amaño mues al en el con as e
de no e ec o de la a iable disc e a. Co esponde al Te ce Escena io (g á ica izquie da) y
al Cua o Escena io (g á ica de echa). Línea oja: la media del e ce g upo oma el alo
µ3= 1,1. Línea e de: la media del e ce g upo oma el alo µ3= 1,2. Línea azul: la
media del e ce g upo oma el alo µ3= 1,3. Línea na anja: la media del e ce g upo
oma el alo µ3= 1,5.
52 CAPÍTULO 3. ESTUDIOS DE SIMULACIÓN SOBRE EL MODELO ANCOVA
3.6. Conclusiones
T as ealiza el es udio de simulación en é minos de calib ado y po encia de los con-
as es de la a iable disc e a y de la a iable con inua en el modelo ANCOVA, podemos
obse a :
Da os desbalanceados: como en el caso del modelo ANOVA, es ecomendable
usa mues as balanceadas. En caso de que las mues as es én desbalanceadas, si los
da os cumplen las hipó esis del modelo ANCOVA, ob end emos buenos esul ados
en é minos de calib ado y po encia. Sin emba go, si no se cumple la hipó esis de
homocedas icidad, el es es menos po en e si los da os no es án balanceados (es o
lo podemos e en el Cua o Escena io).
Da os he e ocedás icos: enemos dos si uaciones di e en es:
•Da os balanceados: en caso de que las mues as sean balanceadas, los es en-
d án un compo amien o acep able en é minos de calib ado. Po o a pa e,
ambos es end án un peo compo amien o en é minos de po encia, necesi-
ando un amaño mues al mayo pa a alcanza una po encia p óxima a 1.
•Da os desbalanceados: el con as e de la a iable con inua pa ece ene un buen
compo amien o en é minos de calib ado. En el de la a iable disc e a, si los
g upos de meno amaño p esen an una mayo des iación ípica, hab á una
mayo can idad de alsos posi i os, mien as que si los g upos de mayo amaño
ienen una mayo des iación ípica, aumen a an los alsos nega i os (es o se
puede ap ecia en el Cua o Escena io en la Figu a 3.6). En el es udio de la
po encia, debemos de ene en cuen a las des iaciones de los g upos y la a ianza
de los e o es, ya que de ello depende á el compo amien o de los es .
Podemos comp oba es a hipó esis median e el es de Le ene.
Tamaño mues al: cuan o mayo sea el núme o de da os, mayo se á la po encia
de los es , po lo que más iables se án nues os esul ados.
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