T aballo Fin de G ao
INTRODUCIÓN AOS MODELOS
MIXTOS
Diego Losada González
2021/2022
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
T aballo Fin de G ao
INTRODUCIÓN AOS MODELOS
MIXTOS
Diego Losada González
Xullo, 2022
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
T aballo p opos o
Á ea de Coñecemen o: Es a ís ica e In es igación Ope a i a
Tí ulo: In odución aos Modelos Mix os
B e e desc ición do con ido
As es u u as xe á quicas de da os (es u u as mul ini el) son e-
cuen es nas Ciencias Sociais, a Medicina ou a Bioloxía. Na o mula-
ción de es u u as xe á quicas asúmese que cada indi iduo pe ence
a un único g upo e o obxec i o é analiza as elacións a dous ni eis:
en e os g upos e den o dos mesmos.
A análise, an o desc i i a como in e encial, des e ipo de poboacións
con es u u as complexas é o obxec o dos denominados modelos mul i-
ni el. Cabe sinala que os modelos mul ini el, e minoloxía que p o én
da Es a ís ica Educacional, amén se coñecen como modelos lineais
xe á quicos ou modelos mix os (Es a ís ica, Bioes a ís ica), modelos
de e ec os alea o ios ou modelos de coe icien es alea o ios (Econome-
ía) ou modelos de compoñen es da a ianza (Deseño de expe imen-
os).
B e e plani icación:
A modo de o ien ación, o aballo pode ía o ganiza se nas seguin es
seccións:
Modelo de análise da a ianza: ANOVA
Modelo de análise da a ianza con e ec os alea o ios: RANOVA
In odución aos modelos mul ini el con espos a con inua.
iii
i
Ademais, p esen a emos di e en es modelos mix os aplicados an o a
conxun os de da os ou a da os simulados. Pa a iso, emp ega emos o
so wa e es a ís ico lib e R (h ps://www. -p ojec .o g/).
Recomendacións
As es u u as xe á quicas de da os (es u u as mul ini el) son e-
cuen es nas Ciencias Sociais, a Medicina ou a Bioloxía.
Ou as obse acións
Índice
Resumo ix
In odución xi
1. ANOVA e ANCOVA 1
1.1. O modelo ANOVA ................................... 1
1.1.1. ANOVA como modelo linea xe al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Es imación dos pa áme os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3. Análise da a ianza e es F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4. Compa acións múl iples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. O modelo ANCOVA .................................. 12
1.2.1. ANCOVA senin e acción ........................... 12
1.2.2. Es imación dos pa áme os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3. ANCOVA conin e acción ........................... 13
2. In odución aos modelos mix os 15
2.1. Da osmul ini el .................................... 15
2.2. A necesidade de e en con a os dis in os ni eis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. RANOVA 19
3.1. Análise da a ianza con e ec os alea o ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
i ÍNDICE
3.2. Es imación dos pa áme os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.1. Es imación da media global µ......................... 21
3.2.2. Es imación das compoñen es da a ianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.3. P edición dos e ec os alea o ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3. Con as e sob e os e ec os g upais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4. Modelos mix os con co a iables ela i as ao p imei o ni el 35
4.1. Modelo con in e cep o alea o io . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2. Modelo con in e cep o e penden e alea o ios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5. Modelos mix os con co a iables ela i as ao segundo ni el 47
5.1. Va iables con ex uais composicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.2. Va iables con ex uais globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3. In e acción en e ni eis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6. Conclusións 55
A. Código de R 57
A.1. C eación da base de da os ma es ........................... 57
A.2.In odución ....................................... 58
A.2.1.Figu a1..................................... 58
A.3. C eación da base de da os ma es7 ........................... 59
A.4.ANOVA......................................... 60
A.4.1.Figu a1.1.................................... 60
A.4.2. Función Bon e oni_ aboa .......................... 61
A.4.3. Tes F e con as es pa eados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.5.ANCOVA ........................................ 63
A.5.1.Figu a1.2.................................... 63
ÍNDICE ii
A.6.RANOVA........................................ 65
A.6.1. VARCOMP e con as e sob e os e ec os das escolas . . . . . . . . . . . . . 66
A.6.2.Figu a3.5.................................... 66
A.6.3. Conxun o de da os u0d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
A.6.4. Figu a 3.3: G á ico de ei uga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
A.6.5.Figu a3.2.................................... 68
A.7. Modelos mix os con co a iables ela i as ao ni el 1................. 71
A.7.1. Modelo con in e cep o alea o io e penden e ixa . . . . . . . . . . . . . . . 71
A.7.2. Modelo con in e cep o alea o io e penden e ixa con SocialMin ...... 71
A.7.3. Modelo con in e cep o e penden e alea o ios e mais a iable ca egó ica . . 72
A.7.4.Figu a4.3.................................... 72
A.8. Modelos mix os con co a iables ela i as ao ni el 2................. 76
A.8.1. Va iable con ex ual composicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
A.8.2. Va iable con ex ual global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Bibliog a ía 79
xi INTRODUCIÓN
εi
Yi
β0+β1x
0
5
10
15
20
−2 −1 0 1
S a us socio−económico de 40 nenas/os
No a en Ma emá icas de 40 nenas/os
Figu a 1: Diag ama de dispe sión e ec a axus ada po mínimos cad ados (en azul) pa a a no a
en Ma emá icas de 40 nenas/os de 11 anos escollidas/os alea o iamen e on e ao s a us socio-
económico des es. O segmen o e ical e mello ep esen a o esiduo do da o i-ésimo (en iole a).
Pódese da un paso máis e ex ende o modelo linea simple median e a conside ación de máis
dunha a iable explica i a con inua que amén si a pa a explica a a iable espos a Y. Es e
modelo de eg esión denomínase modelo linea múl iple e pode exp esa se como
Y=X′β+ϵ,(2)
onde o e o εsegue a sa is ace as hipó eses de homocedas icidade, no malidade e independencia
supos as no modelo linea simple. De no o po mínimos cad ados pódese es ima o ec o de
pa áme os β, ob endo b
β= (X′X)−1X′Y, que segue unha dis ibución b
β∈Np(β, σ2(X′X)−1)3,
onde pé o núme o de a iables explica i as a conside a .
Finalmen e, o modelo linea xe al non é máis que a xene alización de (2) e ab angue
a conside ación an o de a iables explica i as con inuas como disc e as. Pode a opa se máis
in o mación sob e es es modelos na ob a de Fa away [8].
Ao longo des e aballo a a ase de ex ende es e ipo de modelos a si uacións nas cales a
a iable espos a Yes é medida en di e en es g upos, como no Exemplo 0.1, onde se o necen os
esul ados en Ma emá icas de alumnado de di e en es cen os educa i os e non é es año pensa
que as di e en es escolas eñan un “e ec o” nas no as acadadas polas/os es udan es do cen o.
Ademais, odo o código de emp egado ao longo da o alidade do aballo a opa ase dispoñible
no eposi o io Modelos_Mix os_con_R de Gi Hub e se á de ca ác e en ei amen e ep oducible.
En g an pa e a opa ase amén dispoñible no Anexo A.
3Z= (Z1, ... , Zm)∈Nm(µ, σ2Im)p esen a unha dis ibución no mal es ánda mul i a ian e se cada
unha das súas compoñen es Zj en dis ibución no mal es ánda uni a ian e e son mu uamen e independen es.
Capí ulo 1
ANOVA e ANCOVA
Ao longo des e capí ulo analiza ase o modelo de análise da a ianza, amén coñecido
como modelo ANOVA (ac ónimo de ANalysis O VA iance), que non é máis que un modelo
de eg esión no cal hai unha única a iable explica i a, que ademais é disc e a ou ca egó ica.
Logo inclui anse a iables explica i as disc e as e con inuas asemade pa a cons uí o modelo
de análise da co a ianza ou modelo ANCOVA (segundo e minoloxía inglesa, ANalysis o
COVA iance).
1.1. O modelo ANOVA
O modelo de análise da a ianza ou ANOVA é semellan e ao modelo de eg esión linea (2),
pe o di i e des e dado que conside a unha a iable explica i a disc e a ou ca egó ica.
1.1.1. ANOVA como modelo linea xe al
Supóñase que se en unha a iable con inua Ymedida en Jg upos, is o é, Jmos as inde-
penden es onde cada mos a es á o mada po a iables independen es en e si e con idén ica
dis ibución N(µj, σ2). Denó ase po µjá media da mos a da a iable espos a ela i a ao g upo
j-ésimo, pa a cada j∈ {1, ... , J}. Ademais, o índice ise á emp egado pa a deno a o alo da
a iable espos a Yna i-ésima obse ación pa a o g upo j. Así dispo ase dunha mos a {Yij}
con i= 1, ... , njpa a cada g upo j= 1, ... , J. Denó ase amén po n=PJ
j=1 njao núme o de
obse acións o ais da mos a. Nó ese que po supoñe se odas as a ianzas σ2iguais, o modelo
de análise da a ianza é homocedás ico po de inición.
1
2 1. ANOVA e ANCOVA
O modelo ANOVA pode esc ibi se en ón como un modelo de eg esión do seguin e xei o:
Yij =µj+εij,con i= 1, ... njej= 1, ... , J;(1.1)
onde os εij ∈N(0, σ2)son independen es pa a cada j= 1, ... , J e pa a cada i= 1, ... , nj.
Como xa se in úe en (1.1), o modelo ANOVA é un modelo linea xe al xa que pode se
exp esado en no ación ma icial da o ma Y=Xβ+ϵ, median e as seguin es exp esións:
Y=
Y11
.
.
.
Yn11
.
.
.
.
.
.
Y1J
.
.
.
YnJJ
n×1
,X=
1 0 ··· 0
.
.
.
.
.
.....
.
.
1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
.
.
..
.
.....
.
.
0 1 ··· 0
.
.
..
.
.....
.
.
0 0 ··· 1
.
.
..
.
.....
.
.
0 0 ··· 1
n×J
, β =µ=
µ1
µ2
.
.
.
µJ
J×1
,ϵ=
ε11
.
.
.
εn11
.
.
.
.
.
.
ε1J
.
.
.
εnJJ
n×1
;(1.2)
de onde se deduce que E(Y)=(µ1,(n1)
... , µ1, µ2,(n2)
... , µ2, ... , µJ,(nJ)
... , µJ)e que a ma iz de co a-
ianzas do modelo é V a (Y) = V a (Xβ+ϵ) = V a (ϵ) = σ2In, con Indeno ando a ma iz
iden idade de dimensión n×n.
1.1.2. Es imación dos pa áme os
Os pa áme os a es ima son as medias de cada g upo j= 1, ... , J; é dici , as compoñen es
do ec o µde inido en (1.2).
No ación 1.1.Deno a ase po Y•j=Pnj
i=1 Yij á suma dos alo es da a iable espos a pa a o
g upo j. Es a no ación sus i úe un índice e ec uando a adición de odas as obse acións ob idas
ao eco e ese índice e ixando os es an es. Emp ega ase es a no ación ao longo do aballo.
Nó ese que, des e mesmo xei o, Y•j=1
njPnj
i=1 Yij =Y•j/njdeno a ía a media da mos a dos
da os do g upo j,Y•• =PJ
j=1 Pnj
i=1 Yij deno a ía a suma de odos os alo es da a iable espos a
eY•• =PJ
j=1
nj
nY•jse ía a súa media, así pois, a media na mos axe de odos os da os.
Ao igual que pa a calque a modelo de eg esión linea xe al, nos modelos de eg esión con
e o no mal, os mé odos de mínimos cad ados ou de máxima e osimili ude p opo cionan o
mesmo es imado pa a cada µj, daquela é indi e en e que mé odo se emp egue pa a es ima os
coe icien es do modelo ANOVA.
1.1. O modelo ANOVA 3
Con o me ao c i e io de mínimos cad ados, a exp esión a minimiza é:
Q=
J
X
j=1
nj
X
i=1
(Yij −µj)2=
n1
X
i=1
(Yi1−µ1)2+
n2
X
i=1
(Yi2−µ2)2+··· +
nJ
X
i=1
(YiJ −µJ)2.
Como cada pa áme o só apa ece nun suma o io, pa a minimiza Qpode íase pensa en mini-
miza cada suma o io po sepa ado. Así, deno ando Qj=Pnj
i=1 (Yij −µj)2;
dQj
dµj
=−2
nj
X
i=1
(Yij −µj)=0⇒
nj
X
i=1
Yij =njµj⇒bµj=1
nj
nj
X
i=1
Yij =Y•j.
Des e xei o, o alo es imado pa a a media poboacional de cada g upo esul a á se a media da
mos a de alo es Yij asociados ao g upo j, como se podía in uí .
Pa a e que e ec i amen e os mé odos de máxima e osimili ude e de mínimos cad ados
p opo cionan os mesmos es imado es pa a odos os pa áme os µj, con j= 1, ... , J; bas a con
pe ca a se de que, dado que Yij ∈N(µj, σ2), a unción de e osimili ude esul a se
L(µ1, ... , µJ;σ2) = 1
(2πσ2)n/2·exp
−1
2
J
X
j=1
nj
X
i=1 Yij −µj
σ2
,
e e ec i amen e, maximiza Lcon espec o aos pa áme os µjé equi alen e a minimiza Qou
exp(Q).
Des e xei o, os esiduos do modelo ANOVA, que seguen a se a di e enza en e os alo es
obse ados e os axus ados, esul an se bεij =Yij −b
Yij =Yij −Y•j. Así, os esiduos ep esen an
a des iación dunha obse ación con espec o á media es imada do seu g upo. Unha p opie-
dade impo an e é que os esiduos bεij suman ce o pa a cada g upo j, pos o que Pnj
i=1 bεij =
Pnj
i=1 (Yij −Y•j) = Pnj
i=1 Yij −njY•j= 0 pa a cada j= 1, ... , J.
Exemplo 1.2. Pa a ilus a o modelo ANOVA, segui ase emp egando a base de da os p esen ada
no Exemplo 0.1. Cons ui ase un modelo en que explique a no a acadada en Ma emá icas
( a iable espos a) en unción dunha única a iable explica i a, que ademais sexa disc e a. Unha
si uación in e esan e se ía conside a unha a iable auxilia que pe mi a de e mina a pe enza ou
non do alumnado conside ado ás únicas 7 escolas cuxo 100 % do alumnado pa icipou no es udo
p esen ado en [4], coa inalidade de e i a nesgos de selección. Tales escolas deno a anse po E1,
E2, E3, E4, E5, E6 e E7. A base de da os c eada median e a conside ación de unicamen e es as
se e escolas denomina ase ma es7 e se á a que se emp egue de aquí en dian e. A con inuación
amósase o código elabo ado pa a de ini o modelo, xun o co esumo do mesmo ob ido coa unción
summa y de .
4 1. ANOVA e ANCOVA
ano a_ma es7 <- lm(No aMa es ~Escola -1)
summa y(ano a_ma es7)
##
## Call:
## lm( o mula = No aMa es ~ Escola - 1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -17.6957 -3.2007 0.7324 3.6733 10.1293
##
## Coe icien s:
## Es ima e S d. E o alue P (>| |)
## EscolaE1 18.1116 0.7533 24.04 <2e-16 ***
## EscolaE2 16.9639 1.0904 15.56 <2e-16 ***
## EscolaE3 19.7156 0.7138 27.62 <2e-16 ***
## EscolaE4 12.3102 0.8570 14.37 <2e-16 ***
## EscolaE5 18.4557 0.6619 27.89 <2e-16 ***
## EscolaE6 16.2323 0.7620 21.30 <2e-16 ***
## EscolaE7 14.8637 0.6505 22.85 <2e-16 ***
## ---
## Signi . codes: 0 '***'0.001 '**'0.01 '*'0.05 '.'0.1 ' ' 1
##
## Residual s anda d e o : 4.997 on 300 deg ees o eedom
## Mul iple R-squa ed: 0.9219,Adjus ed R-squa ed: 0.9201
## F-s a is ic: 506.1 on 7 and 300 DF, p- alue: < 2.2e-16
No apa ado conce nen e á es imación dos coe icien es p opo ciónase, xun o a cada escola,
a es imación bµjda media das no as de Ma emá icas acadadas nese mesmo cen o educa i o
“Ej” pa a un j en e 1e7; que como se iu, non é máis que a media da mos a das no as
do co esponden e colexio, Y•j. Po ou a banda, o ni el c í ico asociado a cada unha des as
es imacións non en ningunha u ilidade; pois é o p- alo asociado ao con as e de que ales
es imacións son nulas, o que non en sen ido a ándose de a iables en ei amen e posi i as
(sal o da os illados).
Na Figu a 1.1 mós ase o compo amen o da no a acadada en Ma emá icas pa a as di e en es
escolas conside adas a a és de diag amas de caixas. Ademais, engádese a media da a iable
espos a en cada g upo (liña pun eada den o do diag ama de caixa) e a media global (liña
1.1. O modelo ANOVA 5
descon inua azul). Unha p imei a ollada amosa que as medias (liña pun eada p esen e en cada
caixa) conce nen es á no a en Ma emá icas quizáis di i an en e as di e en es escolas máis do que
debe ían se a causa ose soamen e o aza .
0
5
10
15
20
25
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7
Escolas
No as en Ma emá icas
Figu a 1.1: Diag amas de caixas da no a de Ma emá icas nas 7 escolas con pa icipación absolu a.
A liña ho izon al descon inua ep esen a a media da mos a global, men es que en cada caixa a
aia pun eada é a media da mos a de cada escola.
1.1.3. Análise da a ianza e es F
Dado o modelo (1.1) con medias g upais µjonde j= 1, ... , J; pode íase pensa se es as medias
son odas iguais ou hai algunha que di i e do es o. O caso pa icula de dous g upos, J= 2, non
é máis ca un con as e de compa ación de medias en poboacións no mais, é dici , o ben coñecido
- es 1. Es uda anse máis de alladamen e os casos con J≥3. Pa a con as a medias de máis
de dous g upos de da os, pode íase pensa en ace os con as es po pa es, pe o es a es a exia
pode se pe igosa. Se emos a ios g upos de da os e acemos a ias compa acións; é p obable
que, co empo, a opemos unha di e enza só po aza . En luga dis o, debe íase aplica un es
in eg al, e é aquí onde xo de o denominado es F.
1Dada unha a iable X∈N(µX, σ2
X)é coñecido que X−µX
ScX /√n∈Tn−1, onde ScX é a cuasi a ianza da mos a
X1, ... , Xn, e al pi o e pe mi i á ealiza in e alos de con ianza e con as es de hipó eses pa a a media poboa-
cional µX. Así, conside ando a a iable X−Y∈N(µX−µY, σ2), o pi o e con é ese en X−Y
Sc/√n∈Tn−1; onde
S2
cé a cuasi a ianza da mos a X1−Y1, ... , Xn−Yn, e pe mi e, en pa icula , con as a a di e enza das medias
poboacionais. Es e ipo de con as es coñécense como - es pos o que a dis ibución do pi o e é unha de S uden .
6 1. ANOVA e ANCOVA
OANOVA emp ega un es de hipó eses simples pa a comp oba se as medias de a ios
g upos son iguais; is o é, se µ1=··· =µJ, ou se algunha das medias é dis in a. O con as e a
es uda é o seguin e:
H0:µ1=··· =µJ,
Ha:polo menos unha das medias di i e do es o. (1.3)
Como cada εij en dis ibución no mal, amén Yij ∈N(µj, σ2); dado que Yij é unha unción
linea de εij. Ademais, a independencia dos εij implica a independencia dos Yij.
Nó ese que, á is a das hipó eses do modelo ANOVA e baixo a hipó ese nula H0, es a íase
a dici que a dis ibución da a iable espos a é a mesma nos di e en es g upos conside ados.
Ademais, a a iabilidade o al das obse acións Yij sen e en con a os dis in os g upos (baixo
H0) én dada polas des iacións de cada alo obse ado espec o da media global Yij −Y••. Pola
con a, se emos en con a os g upos (baixo a hipó ese al e na i a Ha), a a iabilidade debida
ao e o én dada polas des iacións de cada alo obse ado espec o da media es imada do seu
espec i o g upo: Yij −Y•j(= bεij). A di e enza en e ambas exp esións coincide coa di e enza
en e a media es imada de cada g upo e a media global, is o é,
(Yij −Y••)−(Yij −Y•j) = Y•j−Y••.
Así, pódese descompoñe a a iabilidade o al da a iable espos a en dúas compoñen es:
Yij −Y•• = (Y•j−Y••)+(Yij −Y•j),
e en consecuencia, e ec uando o cad ado da exp esión an e io e íase que
J
X
j=1
nj
X
i=1
(Yij −Y••)2=
J
X
j=1
nj
X
i=1
(Y•j−Y••)2+
J
X
j=1
nj
X
i=1
(Yij −Y•j)2+
+
J
X
j=1
nj
X
i=1
2(Y•j−Y••)(Yij −Y•j).
Ago a ben,
J
X
j=1
nj
X
i=1
2(Y•j−Y••)(Yij −Y•j) = 2
J
X
j=1 (Y•j−Y••)·
nj
X
i=1
(Yij −Y•j)!= 0;
xa que Pnj
i=1 (Yij −Y•j) = Pnj
i=1 Yij −njY•j=Y•j−Y•j= 0, e en ón dedúcese que
J
X
j=1
nj
X
i=1
(Yij −Y••)2
| {z }
a iabilidade o al
=
J
X
j=1
nj(Y•j−Y••)2
| {z }
a iabilidade en e g upos
+
J
X
j=1
nj
X
i=1
(Yij −Y•j)2
| {z }
a iabilidade den o dos g upos
.(1.4)
1.1. O modelo ANOVA 7
O e mo da esque da se e como medida da a iabilidade o al das obse acións Yij e denó ase
po V T. O p imei o e mo na de ei a de (1.4) denó ase po V EG ( a iabilidade en e g upos),
e o segundo po V DG ( a iabilidade den o dos g upos). Des e xei o, (1.4) pode esc ibi se de
o ma equi alen e como V T =V EG +V DG.
Co esponden e a es a descomposición da suma o al de cad ados, amén podemos ob e unha
descomposición dos g aos de libe dade asociados a cada sumando:
V T en n−1g aos de libe dade asociados. Hai en o al nobse acións Yij −Y••, pe o un
g ao de libe dade pé dese po que as des iacións non son independen es no sen ido de que
suman ce o: PJ
j=1 Pnj
i=1 (Yij −Y••) = Y•• −JnjY•• =Y•• −Y•• = 0.
V EG en J−1g aos de libe dade asociados. Hai Jdes iacións da media es imada Y•j−Y•• de
cada g upo j, pe o un g ao de libe dade pé dese igual que na V T, pois PJ
j=1 nj(Y•j−Y••) =
PJ
j=1 njY•j−Y•• PJ
j=1 nj=PJ
j=1 Y•j−nY •• =Y•• −Y•• = 0
V DG en n−Jg aos de libe dade asociados. Bas a conside a a compoñen e de V DG pa a
cada g upo j:Pnj
i=1 (Yij −Y•j)2, que é o equi alen e á suma o al de cad ados conside ando
só o g upo j, polo que en nj−1g aos de libe dade asociados. Así, os g aos de libe dade
asociados a V DG son (n1−1) + (n2−1) + ··· + (nJ−1) = n−J.
Nó ese que
J
X
j=1
nj
X
i=1
(Yij −Y•j)2=
J
X
j=1
(nj−1)(Yij −Y•j)2
nj−1=
J
X
j=1
(nj−1)S2
j;
onde S2
jdeno a a cuasi a ianza de Yno g upo j.
Recompílase es a in o mación na Táboa 1.1, que pos e io men e e ase que é un bosquexo
da e dadei a saída de ao ealiza o con as e (1.3).
G aos libe dade Sumas de cad ados
G upo J−1V EG =PJ
j=1 nj(Y•j−Y••)2
Residuos n−J V DG =PJ
j=1 (nj−1)S2
j
To al n−1V T =PJ
j=1 Pnj
i=1 (Yij −Y••)2
Táboa 1.1: Táboa de descomposición da a iabilidade asociada a un modelo ANOVA.
A análise da a ianza ANOVA cén ase en compa a as medias de cada g upo a a és da
análise da a ianza en e g upos e den o de cada g upo. Es o é, ANOVA conside a simul anea-
men e moi os g upos e e alúa se as súas medias na mos axe di i en máis do que se espe a ía da
8 1. ANOVA e ANCOVA
a iación na u al. Es a a iabilidade é a media cuad á ica en e g upos e que se deno a á po
MEG. Po ou a banda, pa a consegui un alo de e e encia sob e can a a iabilidade debe
espe a se en e as medias da mos a emp égase unha es imación da a ianza den o dos g upos,
o que se chama á e o cuad á ico medio ou media cuad á ica den o dos g upos MDG.
As medias cuad á icas ob éñense di idindo cada suma de cad ados polos seus g aos de libe -
dade asociados:
MEG =V EG
J−1eMDG =V DG
n−J.
Pa a e ec ua o con as e de igualdade en e as medias de odos os g upos simul aneamen e,
emp egamos o es F, cuxo es a ís ico Fadop a á a o ma
F=MEG
MDG =V EG/(J−1)
V DG/(n−J),
que non é máis que o cocien e en e a a iabilidade en e g upos e a a iabilidade den o dos
g upos.
Valo es g andes de Fapo an indicios a a o de Ha, xa que MEG ende á a excede MDG
cando Haé ce a, xa que a a iabilidade en e g upos é maio que a a iabilidade den o de cada
g upo. É dici , e íanse os g upos ”sepa ados“, o cal é un indica i o de que non odas as medias
son iguais. Valo es pequenos de Fapo an indicios a a o de H0, xa que MEG eMDG eñen o
mesmo alo espe ado baixo H0( e [20, pp. 538–542]), is o é, baixo a hipó ese nula de que odas
as medias dos g upos son iguais calque a di e enza en e as medias da mos a débese unicamen e
ao aza . Pa a pode cons uí unha egla de decisión e a exión c í ica des a, necesí ase coñece
a dis ibución do es a ís ico F.
Baixo H0, ense que odas as medias g upais µjson iguais e polo an o odas as espos as
Yij eñen a mesma dis ibución, e como consecuencia da hipó ese de no malidade do modelo
ANOVA, aplicando o Teo ema de Coch an (pódese consul a en [20, pp. 92–93]) e íase que:
Baixo H0,V EG
σ2∈χ2
J−1,V DG
σ2∈χ2
n−J;e son independen es2.
Po an o,
F=MEG
MDG =V EG/(J−1)
V DG/(n−J)=
V EG/σ2
J−1
V DG/σ2
n−J
∈FJ−1,n−J(Baixo H0).
Es o é, se H0é ce a e as condicións do modelo se e i ican, en ón o es a ís ico Fsegue unha
dis ibución F de Snedeco 3con g aos de libe dade J−1en−J. Ademais, a exión c í ica
2Se Z1, ... , Zmson a iables alea o ias no mais es ánda e independen es; en ón X=Z2
1+··· +Z2
m∈χ2
m
segue unha dis ibución chi-cad ado con mg aos de libe dade. É unha dis ibución non nega i a, con media me
a ianza 2m.
3Se X1∈χ2
m1, X2∈χ2
m2e son independen es, en ón F=X1/m1
X2/m2∈Fm1,m2e dise que en dis ibución Fde
Snedeco con m1em2g aos de libe dade.
1.1. O modelo ANOVA 9
do es pa a un ni el de signi icación αse á:
Rexéi ase H0:µ1=··· =µJse F > 1−α;J−1,n−J,(1.5)
onde 1−α;J−1,n−J ep esen a o cuan il de o de 1−αda dis ibución F de Snedeco con J−1e
n−Jg aos de libe dade.
Finalmen e, pa a e como se e ec úan os cálculos do modelo de análise da a ianza pódese
segui a o ganización da áboa ANOVA de , que apa ece e lexada na Táboa 1.2.
G aos libe dade Sumas de cad ados Medias cuad á icas F
G upo J−1V EG =PJ
j=1 nj(Y•j−Y••)2MEG =V EG
J−1
MEG
MDG
Residuos n−J V DG =PJ
j=1 (nj−1)S2
jMDG =V DG
n−J
To al n−1V T =PJ
j=1 Pnj
i=1 (Yij −Y••)2
Táboa 1.2: Táboa de descomposición de a iabilidade asociada a un modelo ANOVA ob ida
g azas ao en o no es a ís ico .
Exemplo 1.3. Aplicando a unción ano a de ao modelo p esen ado no Exemplo 1.2, onde
ecó dese que a a iable espos a é a no a acadada en Ma emá icas e es á medida en 7escolas
di e en es, pódese ob e a áboa de descomposición da a ianza que se amosa na Táboa 1.2.
ano a(lm(No aMa es ~Escola))
## Analysis o Va iance Table
##
## Response: No aMa es
## D Sum Sq Mean Sq F alue P (>F)
## Escola 6 1569.3 261.558 10.475 1.49e-10 ***
## Residuals 300 7490.6 24.969
## ---
## Signi . codes: 0 '***'0.001 '**'0.01 '*'0.05 '.'0.1 ' ' 1
Obsé ase que o alo do es a ís ico asociado ao es Fé de 10.475. A pa i del é sinxelo
calcula o ni el c í ico emp egando (1.5), que esul a se 1.49 ×10−10. Ago a ben, xa que o ni el
c í ico ou p- alo é meno que os ni eis de signi icación habi uais e, en pa icula , moi o meno
que α= 0.001; que se á o ni el de signi icación que se emp egue ao longo de odo o aballo,
séguese que exis en e idencias es a is icamen e signi ica i as a a o da hipó ese al e na i a de
que polo menos algunha media é di e en e das demais, al e como se in uía na Figu a 1.1.
16 2. In odución aos modelos mix os
pa a que un conxun o de da os sexa xe á quico, é dici , que es ea compos o po da os mul ini el,
é que un indi iduo só pode pe ence a un único g upo do ni el 2, así como a un único g upo
de cada un dos ni eis pos e io es. Do mesmo xei o, un g upo do ni el 2só pode pe ence a un
único g upo no ni el 3, así como a un único g upo de cada un dos ni eis pos e io es ao seu; e o
mesmo en que oco e pa a odos os ni eis p esen es no conxun o de da os en conside ación.
Exemplo 2.1. Os da os mul ini el son bas an e ecuen es no eido educa i o, de ei o, no Ca-
pí ulo 1 xa se iu unha es u u a de dous ni eis na que as/os alumnas/os compoñen o ni el 1e
á súa ez es án aniñados en escolas, as cales cons i úen o ni el 2; aínda que amén se poden da
es u u as de máis de dous ni eis, segundo [15], en Educación é común a opa se con es u u as
de 5ni eis (es udan e, clase, escola, dis i o e á ea xeog á ica). No conxun o de da os ma es7 xa
emp egado an e io men e éñense dispoñibles as a iables
no a en Ma emá icas (que se deno a po No aMa es),
s a us socio-económico (que se deno a po S SE),
pe enza a un g upo acial mino i a io (que se deno a po SocialMin) e
sexo da/o alumna/o (que se deno a po Sexo);
ela i as ao alumnado e que se ían polo an o as a iables asociadas ao ni el 1, men es que as
a iables
media dos s a us socio-económico do alumnado de cada escola (que se deno a po MS SE),
núme o de es udan es de cada escola (que se deno a po Tamaño),
ca ác e público ou p i ado de cada escola (que se deno a po Sec o ),
p opo ción de es udan es de cada escola que pa icipan no es udo [4] (que se deno a po
Pa icip),
medida do ambien e disc imina o io de cada escola (que se deno a po AmbDisc im) e
posesión de máis do 40 % das/os ma iculadas/os en cada escola que sexan p oceden es de
g upos aciais mino i a ios (que se deno a po Maio iaMin);
se ían as asociadas ao ni el 2, debido a que es as non a ían en e odas as obse acións que
incumben a unha mesma escola. Ademais, como xa se adian aba ao inal da In odución, as no as
acadadas en Ma emá icas polas/os es udan es p obablemen e es én eno memen e in luenciadas
polas di e en es escolas.
2.2. A necesidade de e en con a os dis in os ni eis 17
Nes a si uación, é impo an e des aca que a no a acadada na ma e ia de Ma emá icas po
dúas/dous alumnas/os de dis in os ins i u os que quizáis nin seque a se coñecen é o almen e
independen e. Ago a ben, is o non oco e con nenas e nenos que acoden dia iamen e á mesma
escola, pos o que e án bas an e en común; dende o seu es ilo de ida a é a o ganización das clases
de Ma emá icas; pode se incluso que lles impa a a ma e ia o mesmo docen e. Po conseguin e, a
asunción de independencia ei a nos modelos clásicos es udados ao longo do G ao non é asumible
nes a si uación; e esul a na u almen e necesa io cons uí no os modelos que eñan en con a a
ca ac e ís ica inhe en e que é a xe a quía do conxun o de da os que se es á a a a .
2.2. A necesidade de e en con a os dis in os ni eis
Cando os indi iduos o man g upos ou clus e s, é ob io pensa que o máis p obable é que
indi iduos clasi icados nun mesmo g upo esul en e un compo amen o máis semellan e que
uns indi iduos calquesque a de g upos di e en es e polo an o con menos in o mación en común.
Tal e como a i ma Golds ein [13], incluso cando os g upos se asignan alea o iamen e (no peo dos
casos) a miúdo ende a habe di e enzas en e es es. Unha asunción ípica na Es a ís ica clásica,
en pa icula no modelo de eg esión dun só ni el p esen ado en (2), é que as obse acións son
independen es e iden icamen e dis ibuídas. Ago a ben, se o conxun o de da os es á o mado po
da os mul ini el e aínda que non se eña en con a o e ec o dos g upos á ho a de cons uí un
modelo de eg esión, en ón a hipó ese de independencia non se e i ica. Un xei o de e en con a os
e ec os g upais se ía incluí no modelo a iables dummy2como a iables explica i as, al e como
se ixo p e iamen e pa a os modelos ANOVA eANCOVA (modelos de e ec os ixos) en (1.1) e
(1.6), espec i amen e; os cales pode ían se ap opiados se o in e ese p incipal ose ace In e encia
sob e p ecisamen e os g upos p esen es na mos a. Así e odo xo den impedimen os cando o
núme o de g upos é g ande, xa que o núme o de pa áme os a es ima med a conside ablemen e
e o modelo de eg esión pode non se o su icien emen e e icien e. Ademais, se o in e esan e non
son p ecisamen e eses g upos, senón que se conside an como unha mos a (alea o ia) dunha
poboación máis g ande e o que se que e é ace In e encia sob e odos os g upos en xe al; po
exemplo, se en luga das 7escolas o ealmen e impo an e é saca conclusións a edo de ódalas
escolas es adounidenses, en ón os modelos de e ec os ixos ANOVA eANCOVA deixan de se
álidos. É aquí onde xo den os modelos mix os ou modelos mul ini el, en pa icula ; os modelos
mix os con a iable espos a con inua que se abo da án nas seguin es seccións. Ademais,
de aquí en dian e, conside a anse unicamen e da os xe á quicos cunha es u u a de dous ni eis,
onde os indi iduos se a opan no ni el 1e es án aniñados en g upos no ni el 2. As obse acións
2As a iables dummy son unhas a iables ic icias que se en pa a indica a posible pe enza dos indi iduos
a cada g upo, omando o alo 1no caso de que un indi iduo pe enza a un de e minado g upo, e o 0en caso
con a io.
18 2. In odución aos modelos mix os
en e ni eis ou g upos dis in os se án independen es, men es que as obse acións den o dun
mesmo g upo esul a án dependen es en e si pos o que pe encen á mesma subpoboación. Po
conseguin e, ala ase de dúas on es de a iación:en e g upos eden o dos g upos ou
in a-g upos.
Pa a o axus e con de modelos mix os emp ega ase o paque e lme4 (ac ónimo de Linea
Mixed-E ec s Models using ’Eigen’ and S4) que pode consul a se en Ba es e al. [3], que é unha
e sión máis mode na do an igo nlme que con iña o es udo de [4] de onde se ex aeu a in o mación
pa a c ea o conxun o de da os ma es7. O paque e lme4 emp ega mé odos de álxeb a linea máis
e icien es (os do paque e Eigen), ademais de se máis ápido compu acionalmen e e emp ega
menos memo ia. Resul a á de especial in e ese a unción lme , que se e pa a axus a modelos
mix os linea es.
No seguin e capí ulo, comeza ase explicando o modelo mix o máis sinxelo (o coñecido como
modelo RANOVA), que non é máis que a ex ensión na u al do modelo ANOVA; e deseguido
engadi anse ao modelo co a iables medidas no ni el 1(Capí ulo 4) e conce nen es ao ni el 2
(Capí ulo 5); asemade i ase ilus ando o compo amen o des es no os mé odos na p ác ica em-
p egando a base de da os ma es7 a p ol de cons uí modelos máis so is icados que pe mi an
explica mello as no as acadadas polo alumnado na ma e ia de Ma emá icas e coñece que pa e
das no as é debida ao p opio alumnado e cal oi debido ao “e ec o” da escola, no cal an im-
plici amen e incluídas as modalidades de ensino, a o mación do p o eso ado, e c. No Anexo A
ep oduci ase pa e do código de emp egado. Lémb ese que a o alidade do código de
a opa ase ademais no eposi o io Modelos_Mix os_con_R de Gi Hub e se á de ca ác e en ei a-
men e ep oducible, an o o ela i o á cons ución dos modelos que se es uda án a con inuación,
como o a inen e a odas as igu as ilus adas ao longo da o alidade des e TFG.
Capí ulo 3
RANOVA
Tal e como se adian aba no capí ulo an e io , as seguin es páxinas adica anse a explica a
na u eza do modelo mix o máis sinxelo de odos, que esul a se a ex ensión na u al do modelo
ANOVA is o no Capí ulo 1. De aquí en dian e, segui ase supoñendo que se dispón dunha mos a
alea o ia de da os mul ini el, Yij, cunha es u u a de dous ni eis, onde o segundo ni el es á
cons i uído po Jg upos e o ni el 1con ó mano njindi iduos de cada g upo j, con j= 1, ... , J.
Xa se epa ou en que exis en ocasións nas que os g upos non eñen un in e és in ínseco, senón
que cons i úen unha mos a (alea o ia) dun conxun o de moi os máis g upos e o que se que e
é ace In e encia sob e odos os g upos. Po exemplo, en can o á base de da os ma es7, o que
ealmen e in e esa non son eses 7colexios, senón oda a poboación de escolas dos Es ados Unidos
de Amé ica. Nes as ci cuns ancias, o ANOVA con e ec os ixos p esen ado en (1.1) deixa de se
ele an e e é necesa io ex endelo a un modelo que inco po e e ec os alea o ios, is o é, un modelo
no cal as medias dos g upos deixen de se cons an es pa a con e e se en a iables alea o ias
que seguen unha dis ibución no mal cuxa media é a media xe al e cuxa a ianza de e mina a
capacidade de in luenza de cada g upo.
3.1. Análise da a ianza con e ec os alea o ios
Nes e con ex o xo de o modelo RANOVA ou modelo de análise da a ianza con e ec os
alea o ios (coñecido na li e a u a anglosaxoa como Random e ec s ANOVA), que non é máis
que o modelo mix o ou mul ini el máis sinxelo de odos e que pode esc ibi se como
Yij =µ+uj+εij,con i= 1, ... njej= 1, ... , J;(3.1)
onde µé a media global, os uj∈N(0, σ2
u)son independen es e iden icamen e dis ibuídos, os
εij ∈N(0, σ2
ε)son independen es, e amén ujeεij son a iables alea o ias independen es en e si
19
20 3. RANOVA
pa a cada j= 1, ... , J ei= 1, ... , nj. Con σ2
ueσ2
εdeno amos as a ianzas en e g upos e den o
dos g upos, espec i amen e.
O modelo (3.1) é simila ao modelo ANOVA p esen ado en (1.1). A maio dis inción é que
no ANOVA as medias dos g upos µjson cons an es, men es que no RANOVA ense que µj=
µ+uj∈N(µ, σ2
u), con j= 1, ... , J, son a iables alea o ias. Po ese mo i o o modelo (3.1) é
chamado modelo de análise da a ianza con e ec os alea o ios. P ecisamen e unha das an axes
dos modelos mix os é a habilidade de combina os da os in oducindo e ec os alea o ios mul ini el.
No RANOVA pénsase a p io i nunha can idade non ixa e sen lími e de g upos, o in e esan e
non son os µ1, ... , µJpa icula es do es udo, senón oda a posible poboación de µj, especialmen e
a media dos µj,µ; e a a iabilidade dos µj, medida po σ2
u. Men es que σ2
ué unha medida di ec a
da a iabilidade dos µj, o e ec o des a a iabilidade sóese medi pola azón
V PC =σ2
u
σ2
u+σ2
ε
= a iabilidade en e g upos
a iabilidade o al ,(3.2)
denominado coe icien e de pa ición da a ianza (coñecido polas siglas en inglés VPC).
Nó ese que es a azón oma alo es en e 0(cando σ2
u= 0, logo µj=µpa a odo j= 1, ... , J e
non hai di e enzas en e g upos, co cal (3.1) non é máis que unha eg esión linea o dina ia) e 1
(cando σ2
ε= 0 ou Yij =Yjpa a odo i, é dici , non hai di e enzas den o de cada g upo). Nó ese
que o denominado de V PC ep esen a a a iabilidade da a iable espos a Y, pois
V a (Yij) = V a (uj+εij) = V a (uj) + V a (εij)+2Co (uj, εij) = σ2
u+σ2
ε,
xa que V a (uj) = σ2
u,V a (εij) = σ2
εe as a iables alea o ias ujeεij son independen es en e si.
Po conseguin e, o modelo RANOVA e i ica a hipó ese de homocedas icidade. En is a des as
p opiedades, a azón VPC mide a p opo ción da a iabilidade o al dos Yij que é explicada pola
a iabilidade dos µj, is o é, a p opo ción o al de a ianza a ibuíble ás di e enzas en e g upos.
Des e xei o, cando o cocien e (3.2) oma alo es p óximos a ce o, o e ec o das di e enzas en e os
g upos na a iabilidade o al é insigni ican e, e cando a azón é maio ou igual a 0.5conside a ase
que unha can idade conside able da a iabilidade o al é explicada polas di e enzas en e g upos.
Po ou a banda, a co a ianza en e dous indi iduos (que se deno a án po iei′) de dis in os
g upos (que se deno a án po jej′) é nula, is o é:
Co (Yij, Yi′j′) = Co (uj+εij, uj′+εi′j′) =
=Co (uj, uj′) + Co (uj, εi′j′) + Co (εij, uj′) + Co (εij, εi′j′)=0,
po causa de ódalas hipó eses de independencia asumidas p e iamen e; men es que pa a dous
indi iduos iei′dun mesmo g upo j, esul a que
Co (Yij, Yi′j) = Co (uj+εij, uj+εi′j) =
=Co (uj, uj) + Co (uj, εi′j) + Co (εij, uj) + Co (εij, εi′j) =
=Co (uj, uj) = σ2
u.
3.2. Es imación dos pa áme os 21
Des e xei o, a co elación en e dous indi iduos dun mesmo g upo esul a se
p=Co (Yij, Yi′j) = Co (Yij, Yi′j)
pV a (Yij)pV a (Yi′j)=σ2
u
σ2
u+σ2
ε
,
a que se denomina á co elación in a-g upos de ni el 2. Ao longo des e aballo, na análise de
da os eais deno a émolo po co elación in a-escola1, ao igual que decide acelo Golds ein en
[13]. Po conseguin e, en modelos con só dous ni eis o VPC coincide co coe icien e de co elación
in a-escola p; que p opo ciona unha medida da homoxeneidade dos inidi iduos den o de cada
g upo. En pa icula , segundo [16], os alo es da co elación in a-escola no eido educa i o soen
es a en e 0.05 e0.20. Finalmen e, nó ese que is o é ce o pa a modelos de dous ni eis e só pa a
es es; é sinxelo da se de con a de que ao engadi ou o ni el ao modelo, po exemplo as clases nas
que es án ubicadas/os as/os es udan es, a co elación pxa non e ía a mesma exp esión, senón
unha no ablemen e máis complexa.
3.2. Es imación dos pa áme os
No modelo de análise da a ianza con e ec os alea o ios, os e os de p imei o e segundo ni el
son a iables alea o ias N(0, σ2
u)eN(0, σ2
ε), espec i amen e; e o seu compo amen o queda
ca ac e izado en ón polas a ianzas σ2
ueσ2
ε. Así, os pa áme os a es ima no RANOVA son
p ecisamen e µ,σ2
ueσ2
ε.
3.2.1. Es imación da media global µ
Considé anse as medias g upais Y•j=µ+uj+ε•j, con j= 1, ... , J. Así,
E(Y•j) = E(µ+uj+ε•j) = µ+E(uj) + E(ε•j) = µ, e
V a (Y•j) = V a (µ+uj+ε•j) = V a (uj+ε•j) =
=V a (uj) + V a (ε•j)+2Co (uj, ε•j) = σ2
u+σ2
ε
nj
;
onde a úl ima igualdade é ce a debido a que as a iables alea o ias ujeεij son independen es
en e si e mais ao eo ema de Fishe 2. Des e xei o, a media da mos a de cada g upo é un es ima-
do innesgado da media global; pe o non é consis en e, no sen ido de que a a ianza nunca se á
nula po moi o que aumen e o núme o de da os do g upo j. Pa a sol en a o p oblema e mello a
1No ámbi o da es a ís ica es e e mo é ecuen emen e coñecido po co elación in a-clase (ou ICC, emp e-
gando a no ación de [9]), pe o is o pode esul a con uso ao emp egalo no eido educa i o.
2Se X= (X1, ... , Xn)é unha mos a alea o ia simple dunha poboación N(µ, σ2), en ón X∈N(µ, σ2/n)e
nV a (X)/σ2∈χ2
n−1. A demos ación do Teo ema de Fishe pódese consul a en [19, p. 66].
22 3. RANOVA
o es imado , deno ando V a (Y•j) = σ2
u+σ2
ε
nj= ∆j, bas a con conside a unha combinación das
medias da mos a,
bµ=
J
X
j=1
∆−1
j
PJ
h=1 ∆−1
h
Y•j;(3.3)
onde ∆−1
jé a “p ecisión” de Y•j. Cando a p ecisión é igual en odos os g upos, o es imado
ob ido non é máis que o p omedio global, is o é,
bµ=∆−1PJ
j=1 Y•j
J∆−1=1
J
J
X
j=1
Y•j=Y•• se ∆−1
j= ∆−1pa a odo j= 1, ... , J.
Pola con a, se algunha p ecisión di i e das ou as; é necesa io ob e un es imado pa a V a (Y•j) =
∆j, e es e depende de σ2
ueσ2
ε; cuxas es imacións se án as seguin es en p ocu a ob e se.
3.2.2. Es imación das compoñen es da a ianza
Analogamen e ao ei o pa a o modelo ANOVA en (1.4), considé ase a seguin e descomposición
da a iabilidade da a iable de in e ese Y:
J
X
j=1
nj
X
i=1
(Yij −Y••)2=
J
X
j=1
nj
X
i=1
(Yij −Y•j)2+
J
X
j=1
nj(Y•j−Y••)2;(3.4)
e seguindo a mesma no ación, (3.4) pode esc ibi se de xei o equi alen e como:
V T
|{z}
a iabilidade o al
=V DG
|{z}
a iabilidade den o dos g upos
+V EG
|{z}
a iabilidade en e g upos
.
Pa a es ima a a ianza de p imei o ni el σ2
ε, considé ase bσ2
ε=V DG
N−J, onde segue a deno a se
N=PJ
j=1 nj. Pa a a a iabilidade en e g upos (ou de segundo ni el), se odos os g upos cons an
do mesmo núme o de obse acións (da os balanceados), en ón podemos conside a S2
u=V EG
n(J−1),
poñendo n=njpa a un j∈ {1, ... , J}calque a. Oco e que E(bσ2
ε) = σ2
ε, men es que E(S2
u) =
σ2
u+σ2
ε
n> σ2
u; en consecuencia, o es imado bσ2
εé innesgado, men es que non o é S2
u. Pa a anula
o nesgo des e úl imo, bas a con conside a bσ2
u=S2
u−
bσ2
ε
n, es ablecendo bσ2
u= 0 no caso de que o
esul ado ose nega i o, en endéndoo como que non hai e ec o de g upos. A demos ación des es
ei os a ópase deseguido e es á baseada nos cálculos que ixo Ku ne pa a o modelo ANOVA con
e ec os ixos, que poden consul a se en [20, pp. 538–542].
P oposición 3.1. Baixo as hipó eses o muladas pa a o modelo RANOVA e dados bσ2
ε=V DG
N−Je
S2
u=V EG
n(J−1), e i ícase que
(i) E(bσ2
ε) = σ2
ε,
3.2. Es imación dos pa áme os 23
(ii) E(S2
u) = σ2
u+σ2
ε
n.
Demos ación.
(i) Deno ando a cuasi a ianza das obse acións nun g upo jpo S2
j, ense que
bσ2
ε=1
N−J
J
X
j=1
nj
X
i=1
(Yij −Y•j)2=1
N−J
J
X
j=1 (nj−1)Pnj
i=1 (Yij −Y•j)2
nj−1=
=1
N−J
J
X
j=1
(nj−1)S2
j,
e emp egando que S2
jé un es imado innesgado da a ianza den o dos g upos (co ola io
inmedia o do Teo ema de Fishe ), séguese que, e ec i amen e;
E(bσ2
ε) = 1
N−J
J
X
j=1
(nj−1) E(S2
j) = 1
N−J
J
X
j=1
(nj−1)σ2
ε=σ2
ε.
(ii) Conside a anse da os balanceados, así pois, nj=npa a odo j. Des e xei o,
S2
u=V EG
n(J−1) =1
J−1
J
X
j=1
(Y•j−Y••)2.
Ago a ben,
Y•j=µ+uj+ε•j,con ε•j=1
njPnj
i=1 εij,e
Y•• =µ+u•+ε••,
logo Y•j−Y•• = (uj−u•) + (ε•j−ε••); e ele ando ao cad ado e sumando po g upos
séguese que
J
X
j=1
(Y•j−Y••)2=
J
X
j=1
(uj−u•)2
| {z }
(a)
+
J
X
j=1
(ε•j−ε••)2
| {z }
(b)
+ 2
J
X
j=1
(uj−u•)(ε•j−ε••)
| {z }
(c)
.
Debido a que a espe anza é un ope ado linea , pa a calcula a espe anza do e mo da
esque da pódese calcula a de odos es es sumandos po sepa ado e logo sumalas.
(a) Analogamen e ao ei o en (i),
J
X
j=1
(uj−u•)2= (J−1)PJ
j=1 (uj−u•)2
J−1= (J−1)S2
uj;
onde S2
ujdeno a a cuasi a ianza dos uje polo an o
E
J
X
j=1
(uj−u•)2
= (J−1) E(S2
uj)=(J−1)σ2
u.
24 3. RANOVA
(b) Bas a da se de con a de que PJ
j=1 (ε•j−ε••)2/(J−1) é unha a ianza na mos a, e
polo an o un es imado innesgado da a ianza da a iable ε•j; pe o ε•jé p ecisamen e
a media de ne os independen es εij; e en ón do Teo ema de Fishe séguese que
V a (ε•j) = V a (εij)
n=σ2
ε
n⇒E
J
X
j=1
(ε•j−ε••)2
=(J−1)σ2
ε
n.
(c) Pola independencia en e si das a iables alea o ias ujeεij e mais a linea idade da
espe anza, pódese esc ibi
E
2
J
X
j=1
(uj−u•)(ε•j−ε••)
= 2
J
X
j=1
E(uj−u•)E(ε•j−ε••).
Ago a ben, xa que E(εij) = 0, en ón E(ε•j) = 0 eE(ε••) = 0; co cal E(ε•j−ε••) = 0
e a espe anza de (c) é nula.
Finalmen e, pódese concluí que e ec i amen e
E(S2
u) = 1
J−1E
J
X
j=1
(Y•j−Y••)2
=σ2
u+σ2
ε
n.
Pa a pode es ablece o es imado da a ianza en e g upos σ2
uinicialmen e p opos o (S2
u)
supúxose que o núme o de obse acións en cada g upo e a o mesmo. En caso con a io, a es ima-
ción de σ2
u eque i á dunha es imación p e ia do e ec o ixo (media global), que á súa ez p ecisa
das es imacións da a ianza. Nes e caso, pa a ob e as es imacións dos pa áme os do RANOVA
é necesa io eco e a p ocedemen os i e a i os.
Cando se es ima un modelo mul ini el median e o mé odo de máxima e osimili ude (ML na
li e a u a inglesa), a dependencia en e os pa áme os (e ec os ixos e compoñen es da a ian-
za) e lec ida p e iamen e pa a o caso pa icula do modelo RANOVA le a implíci o eco e a
p ocedemen os i e a i os; p imei amen e es ímanse os e ec os ixos, po exemplo median e o al-
go i mo EM (espe anza-maximización) que conside a os e ec os alea o ios como al an es, ou ben
emp egando o mé odo de mínimos cad ados xe alizados i e a i o (IGLS, ac ónimo de I e a i e
Gene alised Leas Squa es), sob e os cales se pode a opa máis in o mación en [28, pp. 41–42]
ou en [25, pp. 164–165], espec i amen e. Deseguido, emp éganse as es imacións dos e ec os ixos
ob idas nes a p imei a i e ación pa a es ima as compoñen es da a ianza, e á súa ez es as
es imacións das compoñen es da a ianza emp éganse pa a ob e unhas no as es imacións dos
e ec os ixos na seguin e i e ación. Con inuando des e xei o a é que non haxa cambios signi ica-
i os en e i e acións consecu i as ob e anse as es imacións p ocu adas, an o dos e ec os ixos
3.2. Es imación dos pa áme os 25
como das compoñen es da a ianza. Na Figu a 3.1 amósase un bosquexo do que ai cando se
emp ega o mé odo ML pa a es ima os pa áme os dun modelo mix o.
Pola con a, o mé odo de máxima e osimili ude p oduce es imacións nesgadas dos pa áme-
os alea o ios, pos o que es ima os e ec os ixos en p imei o luga implica que oda a a iabilida-
de da mos a debida a es es sexa igno ada, co cal as compoñen es da a ianza son subes imadas,
inc emen ándose así an o os - alo es como os p- alo es ou ni eis c í icos asociados. Is o é eal-
men e p eocupan e en bases de da os pequenas, en conc e o, cun núme o de g upos educido, xa
que a a iabilidade da mos a dos e ec os ixos ende a se máis g ande; asun o que se a a máis
p o undamen e en [22], onde amén se p opón unha solución; o mé odo de máxima e osimili ude
es inxida, coñecido polas súas siglas en inglés REML.
O mé odo REML, ao con a io que ML, es ima os e ec os ixos e as compoñen es da a ianza
po sepa ado. Ambos p ocedemen os son asin o icamen e equi alen es e igualmen e complexos
no ela i o ao eido da compu ación. Pa a e i a a es imación simul ánea que ealiza ML, REML
non ai máis que es inxi a 0os e ec os ixos nun p imei o momen o, pe mi indo es ima así as
compoñen es da a ianza sepa adamen e. Finalmen e, es ímanse os e ec os ixos emp egando as
es imacións das compoñen es da a ianza ob idas p e iamen e, median e unha modi icación do
mé odo IGLS coñecida po RIGLS (ac ónimo de Res ic ed I e a i e Gene alised Leas Squa es)
e sen emp ega p ocedemen os i e a i os. Toda a eo ía conce nen e ao mé odo RIGLS explícaa
Golds ein en [12]. Na pa e in e io da Figu a 3.1 ilús ase o p ocedemen o que se segue cando
se emp ega o mé odo REML no con ex o dos modelos mul ini el.
E ec os
ixos
Compoñen es
da a ianza
E ec os
ixos
Compoñen es
da a ianza
...
·
EM ou
IGLS
aa
Compoñen es
da a ianza
Compoñen es
da a ianza
... Compoñen es
da a ianza
E ec os
ixos
RIGLS
Figu a 3.1: Compa ación en e os p ocedemen os ML (pa e supe io ) e REML (pa e in e io ).
En de ini i a, po unha banda, al e como a i ma [7] con én busca a sinxeleza dos modelos;
men es que po ou a banda, en can o ao p ocedemen o po máxima e osimili ude, es imando
os e ec os ixos en p imei o luga , ademais de igno a se a a iabilidade da mos a debida a es es,
ampouco se eñen en con a os g aos de libe dade que se pe den es imándoos. É po iso que ao
longo des e documen o se decida aballa co mé odo ML pa a os modelos mix os máis sinxelos
men es que do Capí ulo 4 en dian e, ao engadi e ec os alea o ios nas penden es asociadas a
co a iables ela i as ao ni el 1, asemade os g aos de libe dade comecen a escasea , se p ocu e
emp ega máis o mé odo REML.
32 3. RANOVA
3.3. Con as e sob e os e ec os g upais
Cando o V PC se a opa p óximo a ce o, así pois, σ2
ué case nulo, pa ece habe e idencias de
que ealmen e non hai ningunha di e enza e dadei a en e os dis in os g upos. Pa a con as a
es a a i mación pódese emp ega un con as e de hipó eses a in de comp oba se o e ec o das
di e enzas en e os g upos é nulo ou di i e máis do que se pode ía espe a só po aza . O con as e
a es uda é o seguin e:
H0:non hai di e enzas en e os g upos,
Ha:hai di e enzas en e os g upos. ⇐⇒
H0:σ2
u= 0,
Ha:σ2
u= 0.
(3.5)
Como uj∈N(0, σ2
u), se a hipó ese nula é ce a en ón necesa iamen e odos os ujson nulos.
Logo, o con as e an e io pode pensa se como un con as e en e dous modelos di e en es, que
ademais es án aniñados6;
H0:Yij =µ+εij,
Ha:Yij =µ+uj+εij.
(3.6)
en ambos casos con i= 1, ... njej= 1, ... , J. En can o ao modelo baixo a hipó ese nula, coñécese
habi ualmen e como modelo dun só ni el pa a a media, pos o que amén se pode ía exp esa
como Yi=µ+εicon i= 1, ... , n; é dici , sen e en con a os g upos e e lec indo simplemen e a
des iación de cada da o con espec o á media global. Tales di e enzas en e o alo da a iable
espos a Ye a media global eñen dadas po εi, que non é máis que o e o pa a cada indi iduo
ino modelo; e es es seguen unha dis ibución no mal de media ce o e unha a ianza σ2, is o é,
εi∈N(0, σ2)pa a cada da o i= 1, ... , n. A a ianza σ2simboliza a a iabilidade ao edo da
media; des e xei o, se ose ce o, odos os pun os e ían o mesmo alo . Do mesmo xei o, can o
máis g ande é a a ianza, máis g andes son as des iacións sob e a media.
Na Figu a 3.4 ilús ase a na u eza do modelo dun só ni el pa a a media, en conc e o, pa a
o caso pa icula das se e escolas. É e iden e a di e enza impe an e en e ámbolos dous modelos
do con as e (3.6). Men es que na Figu a 3.2 conce nen e ao RANOVA os esiduos ao ni el
alumnado esul aban se a dis ancia de cada da o á media do seu espec i o g upo; no modelo
baixo a hipó ese nula, ao non epa a no e ec o das escolas, os esiduos (de co neg a) non son
máis que as dis ancias de cada da o á media global µ, al e como se amosa na Figu a 3.4.
6Dous modelos dinse aniñados se o modelo máis complexo se pode cons uí a pa i do máis simple engadindo
un ou máis pa áme os. Po exemplo, considé ense es modelos M1,M2eM3.M1conside a como a iable
explica i a a X1,M2conside a a X1e a X2eM3conside a a X1e a X3.M1eM2es án aniñados, así como
amén M1eM3; pe o non o es án M2eM3.
3.3. Con as e sob e os e ec os g upais 33
ε17,1
ε20,2
ε42,5
ε24,6
Y17,1
Y20,2
Y42,5
Y24,6
µ
0
5
10
15
20
25
No a en Ma emá icas
Escola
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
Figu a 3.4: Modelo dun só ni el pa a a media (global), sen conside a o e ec o das escolas, xun o
con algúns esiduos (de co neg a) e cos seus espec i os da os da co co esponden e á escola.
Ago a ben, xa que ámbolos dous modelos es án aniñados, á ho a de cons uí un es a ís ico
pa a ealiza o con as e (3.5), podemos compa a os dous modelos de (3.6) median e un es
de azón de e osimili udes, is o é, emp egando o es a ís ico
LR =−2 log L1
L2=−2 log L1−(−2 log L2)∈χ2
1,
onde L1é a e osimili ude7pa a o modelo baixo a hipó ese nula en (3.6), igualmen e L2é a
e osimili ude pa a o modelo de análise da a ianza con e ec os alea o ios e “log” e í ese ao
loga i mo na u al. O es a ís ico LR segue unha chi cad ado cun único g ao de libe dade, xa
que o modelo máis complexo soamen e inco po a un pa áme o adicional con espec o ao máis
sinxelo, que p ecisamen e é a a ianza en e g upos σ2
u. A demos ación des e ei o omí ese nes e
aballo pe o pode a opa se en [26, pp. 417–419].
Rexei a a hipó ese nula implica que hai e idencias es a is icamen e signi ica i as a a o
da exis encia de di e enzas en e os dis in os g upos, en cuxo caso un modelo mul ini el se ía
máis axei ado que un modelo que non i ese en con a os g upos. Ago a ben, se cun de e minado
conxun o de da os non exis en e idencias en con a da hipó ese nula e en ón non se pode exei a ,
is o non que e dici que non se deban e en con a os g upos á ho a de axus a un modelo pa a
7Considé ese un ec o alea o io Xcon unción de densidade θ, sendo θ∈Rqun ec o de pa áme os
descoñecido. En ón, dada X1, ... , Xnunha mos a alea o ia simple de X, pódese es ima θemp egando a unción de
e osimili ude; que én dada po L(θ) = Qn
i=1 (xi(θ)) e de onde se ob én o es imado acendo b
θ= m´axθ∈RqL(θ).
34 3. RANOVA
eses da os; é posible que as di e enzas en e os di e en es g upos se e elen soamen e logo de
engadi máis a iables explica i as ao modelo e que pe manezan agochadas ao conside a an só
as di e enzas en e os g upos ela i as á media.
Exemplo 3.3. Realiza ase o con as e sob e os e ec os das dis in as escolas pa a e se e ec-
i amen e a escola á que asis a un/unha es udan e en in luenza sob e a no a que acade en
Ma emá icas. Pa a axus a o modelo dun só ni el pa a a media das no as en Ma emá icas baixo
aH0en (3.6) abonda con conside a un modelo de eg esión pa a a media da escola dos xa is os
na In odución median e a unción lm de :
cma es <- lm(No aMa es ~1,da a = ma es7)
T as o axus e des e modelo, ob ense que a es imación da media global µnon é ou a que a
media dos alo es almacenados na a iable No aMa es, is o é, bµ= 16.823. O alo do es a ís ico
pa a o es de azón de e osimili udes e o p- alo asociado ao con as e calcúlanse deseguido:
LR <- -2*logLik( cma es)[1]-(-2*logLik( ano ama es))[1]
1-pchisq(LR, d =1)
Na Figu a 3.5 ep esén ase a unción de densidade χ2
1que segue o es a ís ico LR, cuxo alo
én dado pola liña e mella e, como se pode ap ecia , deixa unha p obabilidade moi baixa á
súa de ei a (1.96 ×10−9). Así pois, exis en e idencias es a is icamen e signi ica i as a a o da
hipó ese al e na i a de (3.5) de que hai di e enzas en e as dis in as escolas en can o á no a
acadada polas/os súas/seus es udan es na ma e ia de Ma emá icas.
χ1
2
LRobs
1.96e−09
0.00
0.05
0.10
0.15
0 10 20 30 40
Figu a 3.5: Función de densidade dunha chi-cad ado cun g ao de libe dade en la anxa xun o co
alo do es a ís ico do con as e sob e os e ec os das escolas LR (de co e mella) e mais o p- alo
asociado a al con as e.
Capí ulo 4
Modelos mix os con co a iables
ela i as ao p imei o ni el
De xei o análogo ao que se ixo no Capí ulo 1 in oducindo os modelos ANOVA eANCOVA,
conside a ase ago a unha ex ensión do modelo de análise da a ianza con e ec os alea o ios ou
RANOVA engadindo unha ou máis a iables con inuas que es én elacionadas coa a iable es-
pos a Y. Conside a anse nes e capí ulo modelos que inclúan soamen e unha a iable explica i a
ela i a ao p imei o ni el, o cal se á su icien e pa a explica con de alle a na u eza des es. Os
da os des a co a iable deno a anse po Xij, con j= 1, ... , J ei= 1, ... , nj; e o e ec o des a pode
se ou ben ixo (modelo con in e cep o alea o io e penden e ixa) ou ben alea o io (modelo con
in e cep o e penden e alea o ias). A con inuación desc ibi anse es e ipo de modelos.
4.1. Modelo con in e cep o alea o io
Como se iu an e io men e, un modelo de análise da a ianza con e ec os alea o ios pode
esc ibi se como
Yij =µ+uj+εij,con j= 1, ... , J ei= 1, ... , nj.
Pois ben, pa a e en con a a in o mación sob e os indi iduos que p opo ciona unha ce a a iable
Xe conside ando ixo o e ec o des a, bas a con engadila ao modelo RANOVA mul iplicada po
un coe icien e ixo, do xei o:
Yij =β0j+β1Xij +εij,con j= 1, ... , J ei= 1, ... , nj;(4.1)
onde β0j=µ+u0j∈N(µ, σ2
u0)é un in e cep o alea o io que a ía en e os dis in os g upos;
men es que a penden e β1é a mesma pa a odos os g upos. No eido dos modelos mul ini el, a
es e modelo coñéceselle po modelo con in e cep o alea o io (e penden e ixa). De manei a
35
36 4. Modelos mix os con co a iables ela i as ao p imei o ni el
análoga ao p esen ado no Capí ulo 3, µ ep esen a a media global, os u0j∈N(0, σ2
u0)son
independen es e iden icamen e dis ibuídos, os εij ∈N(0, σ2
ε)son independen es, e amén u0j
eεij son a iables alea o ias independen es en e si pa a cada j= 1, ... , J ei= 1, ... , nj.
Des as p opiedades séguese ademais que os in e cep os alea o ios β0json independen es en e si
e independen es dos e os de p imei o ni el.
Como in e p e ación xeomé ica, a ep esen ación g á ica do axus e dun modelo mul ini el
con in e cep o alea o io se ía bas an e simila á mos ada na Figu a 3.2 elabo ada pa a o RA-
NOVA, só que ago a an o a ec a de eg esión axus ada pa a odos os da os sen e en con a
os g upos (a media global) como as ec as de eg esión axus adas pa a os dis in os g upos e án
odas unha penden e β1; como consecuencia de conside a o e ec o ixo da co a iable X. É dici ,
as liñas da o ma b
Yij =bµ+bu0j+b
β1Xij, con j= 1, ... , J;con o ma án polo an o un conxun o de
ec as pa alelas. Na Figu a 4.1 ilús anse es es ei os, amosando a ec a de eg esión xe al xun o
coas ec as es imadas pa a os colexios E3, E4, E5 e E7.
Recó dese que o modelo de análise da co a ianza con e ec os ixos ou ANCOVA, explicado
na Sección 1.2, én dado po
Yij =µ+τj+γXij +εij,con j= 1, ... , J ei= 1, ... , nj;
e, polo an o, ixado un g upo, non é máis ca unha ec a de eg esión con in e cep o (µ+τj)
e penden e γ(a mesma pa a odos os g upos). Es e modelo é bas an e simila ao modelo con
in e cep o alea o io que se es á a conside a pe o con in e cep os ixos en luga de alea o ios. Po
an o, aínda que se cons uíu o modelo con in e cep o alea o io como unha ex ensión na u al do
RANOVA, amén se pode ía elabo a a pa i do modelo de análise da co a ianza con e ec os
ixos ou ANCOVA. Des e xei o, o modelo con in e cep o alea o io non é máis ca un modelo
ANCOVA (sen in e acción) con e ec os alea o ios, é dici , un RANCOVA1sen in e acción.
O modelo con in e cep o alea o io e penden e ixa e i ica a hipó ese de homocedas icidade,
xa que
V a (Yij|X=Xij) = V a (µ+u0j+β1Xij +εij|X=Xij) = V a (u0j+εij) =
=V a (u0j) + V a (εij)+2Co (u0j, εij) = σ2
u0+σ2
ε,
po se as a iables alea o ias u0jeεij independen es en e si. Ademais, a co a ianza en e
1Non é común o emp ego des a denominación na li e a u a sob e os modelos mul ini el, só se emp ega nes e
caso pa icula pa a cla i ica que o modelo con in e cep o alea o io non é máis ca un ANCOVA con e ec os
alea o ios (Random e ec s ANCOVA).
4.1. Modelo con in e cep o alea o io 37
obse acións de dis in os g upos semp e é nula2:
Co (Yij, Yi′j′|Xij, Xi′j′) = Co (µ+u0j+β1Xij +εij, µ +u0j′+β1Xi′j′+εi′j′|Xij, Xi′j′) =
=Co (u0j+εij, u0j′+εi′j′) = Co (u0j, u0j′) + Co (u0j, εi′j′)+
+Co (εij, u0j′) + Co (εij, εi′j′)=0,
po se as a iables alea o ias u0jeεij independen es sepa adamen e. Po ou a banda, en e
obse acións (iei′) dun mesmo g upo j esul a se
Co (Yij, Yi′j|Xij, Xi′j) = Co (µ+u0j+β1Xij +εij, µ +u0j+β1Xi′j+εi′j|Xij, Xi′j) =
=Co (u0j+εij, u0j+εi′j) = Co (u0j, u0j) + Co (u0j, εi′j)+
+Co (εij, u0j) + Co (εij, εi′j) = V a (u0j) = σ2
u0.
Exemplo 4.1. Nas seguin es liñas, ex ende ase o modelo RANOVA cons uído p e iamen e me-
dian e a in odución dunha a iable explica i a conce nen e ao ni el 1do alumnado, o s a us
socio-económico (que se én deno ando po S SE). Xa se iu na Sección 1.2 ela i a á cons u-
ción do modelo ANCOVA que o e ec o do S SE nas no as acadadas po un/unha alumna/o e a
signi ica i o. Na Figu a 4.1 ep esén ase o axus e do modelo ob ido coa seguin e sin axe en :
ma esmm1 <- lme (No aMa es ~S SE +(1|Escola), REML =FALSE)
A penden e b
β1= 1.397 é e ec i amen e a mesma pa a odas as escolas, men es que o in e -
cep o é di e en e pa a cada colexio; o que ocasiona ec as pa alelas. A media global es ímase po
bµ= 16.156, que non é máis que o in e cep o da ec a neg a asociada á escola “media” (bu0j= 0),
en endéndoo como a no a es imada cando S SE = 0. Así, pa a ob e o in e cep o asociado á
escola E3, po exemplo, non hai máis que suma lle a bµa p edición do e ec o alea o io pa a al
colexio bu3ob ido median e a unción ane de ; esul ando 16.156 + 3.037 = 19.193, alo
que p edí a ec a descon inua azul cando S SE = 0.
Po ou a banda, as es imacións da a ianza dos coe icien es alea o ios esul an se bσ2
u0=
4.845 ebσ2
ε= 24.168. Repa ando nas disimili udes des e modelo e do RANOVA ad í ese que a
adición do S SE educiu a a ianza a ni el de alumnado e mais a a ianza o al, o cal e a espe ado
po que S SE é unha a iable conce nen e ao ni el das/os es udan es. A a ianza a ni el escola ,
pola con a, inc emen ouse lixei amen e. Is o é debido a que o s a us socio-económico non se
dis ibúe de o ma moi egula en e as escolas. Aínda que en odos os cen os hai alumnas e
alumnos máis des a o ecidas/os e máis bene iciadas/os, non odos os colexios se ubican en luga es
2Denó ase Co (Yij, Yi′j′|Xij , Xi′j′)po comodidade o que ealmen e son co a ianzas condicionais:
Co (Yij, Yi′j′|X=Xij , X =Xi′j′), e o mesmo acon ece con odos os e mos sucesi os.
38 4. Modelos mix os con co a iables ela i as ao p imei o ni el
ε4,3
ε32,4
ε4,5
ε51,7
Y4,3
Y32,4
Y4,5
Y51,7
β1
u3
u4
u5
u7
0
5
10
15
20
25
−1 0 1
S a us socio−económico
No a en Ma emá icas
Escola
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
Figu a 4.1: Ilus ación do modelo mix o con in e cep o alea o io e penden e ixa pa a a no a de
Ma emá icas nas 7escolas con pa icipación unánime, xun o coa ec a de eg esión pa a a escola
media, E3, E4, E5, E7 e mais algúns esiduos conce nen es a ambos ni eis (alumnado e escolas).
coas mesmas ca ac e ís icas sociais ou económicas nin ampouco son ecuen ados polo mesmo
ipo de alumnado. Pode a opa se máis in o mación a edo des e enómeno que oco e sob e as
a ianzas ao engadi a iables explica i as de ni el 1aos modelos nos apun amen os do cu so
LEMMA impa ido polo Cen o de Modelos Mul ini el da Uni e sidade de B is ol [30]. A Figu a
4.1 é un cla o exemplo des e enómeno, xa que os pun os de de e minadas co es enden a si ua se
máis ca a a pa e esque da do g á ico men es que ou os se espallan máis ca a a de ei a, a é
os alo es máis al os do S SE. Tal é o caso, po exemplo, das escolas E4 e E5. O alumnado do
cen o educa i o E4 (de co osa) en, en p omedio, un s a us socio-económico cla amen e meno
que o da escola E5 (de co e de). De ei o, a media do S SE pa a o colexio E4 esul a se 0.367,
men es que pa a o cen o E5 é 0.759. Ou a on e de a iación en e escolas pode e se amén na
Figu a 4.1, pos o que as ec as co espon es a cen os educa i os con maio in e cep o (liñas da
pa e supe io ), enden a e máis alumnas/os con S SE maio es que 0.5; men es que as escolas
con in e cep os máis pequenos enden a e máis alumnas/os cun meno s a us socio-económico.
Logo de e en con a os e ec os do S SE, a p opo ción o al de a ianza a ibuíble ás di e enzas
en e as dis in as escolas se ía:
V PC =bσ2
u0
bσ2
u0+bσ2
ε
=4.845
4.845 + 24.168 = 0.167 = 16.7 %,
on e ao 15.84 % sen conside a o e ec o do S SE. Tal inc emen o é debido ao ac ecen amen o
4.1. Modelo con in e cep o alea o io 39
da a ianza a ni el dos cen os educa i os.
Finalmen e, nó ese que no caso de se a co a iable Xunha a iable dico ómica, µse ía a
media o al de Ypa a os indi iduos con x= 0,µ+u0jse ía a media pa a os indi iduos con
x= 0 no g upo j, e a “penden e” β1se ía a di e enza na media que posúen os da os con x= 1
ela i a á dos da os con x= 0 (en calque g upo). Ilús ase a con inuación es a si uación.
Exemplo 4.2. Co p opósi o de e que oco e ao conside a unha a iable explica i a dico ó-
mica e de mello a o modelo cons uído no Exemplo 4.1, engádeselle a es e o e ec o ixo asociado
á a iable SocialMin, que lémb ese indicaba se a/o es udan e é memb o dun g upo acial mino-
i a io ou non. Codi ica ase o alo “Non” po 0e o “Si” po 1(cando a/o meno pe ence a un
g upo acial mino i a io). Así, o modelo a conside a é o seguin e,
No aMa esij =µ+β1S SEij +β2SocialMinij
| {z }
e ec os ixos
+uj
|{z}
e ec os alea o ios
+εij.
A con inuación, amósase un esumo do modelo axus ado.
ma esmm2 <- lme (No aMa es ~S SE +SocialMin +(1|Escola), REML =FALSE)
summa y(ma esmm2)
## Linea mixed model i by maximum likelihood ['lme Mod']
## Fo mula: No aMa es ~ S SE + SocialMin + (1 | Escola)
##
## AIC BIC logLik de iance d . esid
## 1861.4 1880.0 -925.7 1851.4 302
##
## Scaled esiduals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -3.8713 -0.6260 0.1161 0.7342 2.1362
##
## Random e ec s:
## G oups Name Va iance S d.De .
## Escola (In e cep ) 4.35 2.086
## Residual 23.17 4.814
## Numbe o obs: 307, g oups: Escola, 7
##
## Fixed e ec s:
## Es ima e S d. E o alue
## (In e cep ) 16.9501 0.8817 19.223
40 4. Modelos mix os con co a iables ela i as ao p imei o ni el
## S SE 0.9937 0.4509 2.204
## SocialMinSi -2.7527 0.7455 -3.692
##
## Co ela ion o Fixed E ec s:
## (In ) S SE
## S SE -0.240
## SocialMinSi -0.244 0.241
Pa a un/unha mesma/o es udan e, ac ecen a o S SE exac amen e nun pun o supo ía un
inc emen o na no a de b
β1= 0.99 pun os; independen emen e de se a/o alumna/o p ocede dun
g upo acial mino i a io ou non. De xei o semellan e, pa a es udan es co mesmo S SE; o simple
ei o de pe ence a un g upo acial mino i a io (SocialMin = 1) au oma icamen e augu a unha
mingua na no a acadada de |b
β2|= 2.75 pun os. Po ou a banda, a in e p e ación do in e cep o
ixo bµ= 16.95 debe ía se a do p ognós ico pa a un/unha alumno/a calque a cun s a us socio-
económico igual a 0, non p oceden e dun g upo acial mino i a io e sen conside a o e ec o da
escola á que acode. Ademais, odos es es coe icien es esul an se signi ica i os segundo o c i e io
de [27], xa que os - alo es esul an odos maio es que 1.96 en alo absolu o.
Na Figu a 4.2 ep esén anse de co neg a as ec as de eg esión xe ais pa a a escola media
(bu0j= 0), unha ela i a aos da os sob e alumnado mino i a io e ou a di e en e pa a o non
mino i a io. Pos o que b
β2=−2.753 <0, a liña ela i a ás/aos meno es p oceden es de g upos
aciais mino i a ios é a que se a opa po debaixo; e o mesmo oco e pa a cada pa de liñas
de eg esión axus adas ela i o a un de e minado cen o, en pa icula , pa a os pa es de liñas
asociadas ás escolas E4 e E5; que son as dúas que a modo de exemplo se ep esen an na g á ica.
4.2. Modelo con in e cep o e penden e alea o ios
Ex ende ase ago a o modelo con in e cep o alea o io is o p e iamen e median e a inco po-
ación de e ec os alea o ios na penden e asociada á a iable explica i a X, o que consis i á en
o mula un modelo linea en cada g upo j= 1, ... , J e ademais pode ep esen a se como
Yij =β0j+β1jXij +εij,con j= 1, ... , J ei= 1, ... , nj;(4.2)
onde β0j=γ00 +u0jeβ1j=γ10 +u1json a iables alea o ias independen es sepa adamen e (e
independen es dos e os), con dis ibución no mal bi a ian e;
β0j
β1j!∈N γ00
γ10!,Σu= σ2
u0σu01
σu01 σ2
u1!!,
4.2. Modelo con in e cep o e penden e alea o ios 41
ε33,4
ε26,5
Y33,4
Y26,5
β1
β1
β2
β2
β2
u4
u5
u4
u5
0
5
10
15
20
25
−1 0 1
S a us socio−económico
No a en Ma emá icas
Escola
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
Racial
mino i−
a io
Non
Si
Figu a 4.2: Ilus ación do modelo mix o con in e cep o alea o io pa a a no a de Ma emá icas
nas 7escolas conside ando como a iables explica i as S SE eSocialMin, xun o coas ec as de
eg esión pa a a escola media, E4, E5 e mais algúns esiduos conce nen es a ambos ni eis.
onde γ00 eγ10 son o in e cep o medio e a penden e media, espec i amen e; σ2
u0é a a ianza
do in e cep o, σ2
u1é a a ianza da penden e e σu01 é a co a ianza en e in e cep o e penden e.
Segui anse a supo as mesmas hipó eses sob e a independencia que a a ago a; as a iables alea-
o ias u0j,u1jeεij son odas independen es e os e ec os alea o ios do in e cep o e da penden e
son independen es dos e os de p imei o ni el. A di e enza eside en que ago a hai a iables non
independen es en e si, pos o que den o de cada g upo pode exis i co elación en e os e ec os
alea o ios do in e cep o e da penden e.
Analogamen e ao símil do modelo con in e cep o alea o io e un supos o RANCOVA sen
in e acción, pode íase aludi a es e modelo como un RANCOVA con in e acción, ago a con
e ec os alea o ios an o no in e cep o como na penden e. P ecisamen e po a ia o in e cep o e
a penden e en e os dis in os g upos é polo que (4.2) se denomina modelo con in e cep o e
penden e alea o ios.
Ao igual que acon ecía no Exemplo 4.1 coa adición dos e ec os ixos dunha a iable conce -
nen e ao ni el 1, a in odución de e ec os alea o ios nunha a iable a ni el de indi iduo educi á
a a ianza nese ni el (σ2
ε, a ianza den o dos g upos); men es que a a ianza en e g upos (σ2
u0
eσ2
u1) pode man e se e mesmo aumen a .
Conside ando que as on es de a iabilidade que in e eñen no modelo se poden es u u a en
48 5. Modelos mix os con co a iables ela i as ao segundo ni el
A a iable explica i a de ni el 2pode engadi se a un modelo mul ini el exac amen e do
mesmo xei o que unha a iable explica i a de ni el 1. Así, se Wjé a a iable con ex ual e Xij é
a a iable asociada ao ni el 1; o modelo con in e cep o alea o io (4.1) con é ese en
Yij =β0j+β1Xij +β2Wj+εij,con j= 1, ... , J ei= 1, ... , nj;(5.1)
onde de no o β0j=γ00 +u0j∈N(γ00, σ2
u0)eεij ∈N(0, σ2
ε), e ademais es as a iables alea o ias
son independen es an o po sepa ado como en e si mesmas, pa a cada j= 1, ... , J ei= 1, ... , nj.
5.1. Va iables con ex uais composicionais
No caso pa icula de que a a iable con ex ual sexa a media dunha a iable Xdo p imei o
ni el, en ón a a iable composicional non é ou a que Wj=X•jpa a cada j= 1, ... , J. Así, (5.1)
eesc íbese do seguin e xei o,
Yij =β0j+β1Xij +β2X•j+εij,con j= 1, ... , J ei= 1, ... , nj;(5.2)
onde β1é o e ec o de den o dos g upos de X,β1+β2é o e ec o en e g upos e β2é o e ec o
con ex ual, é dici , o e ec o das medias g upais de X(X•j) sob e Yque non se mani es aba
conside ando só os e ec os máis elemen ais. Co obxec i o de que o e ec o en e g upos β1+β2
sexa un coe icien e máis do modelo, a p ol de que median e a implemen ación in o má ica se
es ime di ec amen e, o modelo (5.2) pode exp esa se equi alen emen e como
Yij =β∗
0j+β∗
1(Xij −X•j) + β∗
2X•j+εij =
=γ00 +γ10(Xij −X•j) + δX•j
| {z }
e ec os ixos
+u0j
|{z}
e ec os alea o ios
+εij;(5.3)
pa a cada j= 1, ... , J ei= 1, ... , nj; sen máis que ace β∗
0j=β0j=γ00 +u0j,β∗
1=β1=γ10
eβ∗
2=β1+β2. O e ec o con ex ual é ecuen e deno alo po δ=β1+β2. Is o amén se
pode pensa conside ando e ec os alea o ios na penden e, sen máis que e en con a o e mo
β∗
1j=β1j=γ10 +u1jen luga de β∗
1. Realmen e, o que se ai é conside a como a iables
explica i as as di e enzas en e as obse acións e as medias dos seus g upos (Xij −X•j), no que na
li e a u a conce nen e aos modelos mul ini el se soe denomina un modelo de C onbach, pos o
que a idea de cen a a a iable de p imei o ni el an es de in oducila no modelo co p opósi o
de dis ingui o e ec o en e g upos e o e ec o den o dos g upos oi inicialmen e p opos a polo
expe o en Psicoloxía da Educación homónimo ao modelo; segundo a i man Hox e al. en [18].
Xa que an o o modelo p esen ado en (5.2) como o modelo de C onbach (5.3) son equi alen es,
ao longo des e TFG a ase uso do p imei o, que é o que pe mi e unha sin axe máis sinxela e
e icien e da unción lme de . En consecuencia, a es imación do e ec o en e g upos (b
β1+b
β2)
habe á que calculala po sepa ado.
5.1. Va iables con ex uais composicionais 49
Exemplo 5.1. Sob e a mesma base de da os coa que se iña aballando (ma es7), no Exemplo
4.3 conside ábase o modelo que explicaba a no a en Ma emá icas en unción do s a us socio-
económico ( a iable que se én deno ando po S SE) con e ec os alea o ios, e mais do e ec o ixo
conce nen e á pe enza a un g upo acial mino i a io ( a iable ca egó ica dada po SocialMin).
Ago a engadi áselle ao mesmo a a iable composicional MS SE, que non é máis que a media dos
s a us socio-económico das/os es udan es pa a cada escola e que polo an o e i ica MS SEj=
S SE•jpa a cada j= 1, ... , J. Xa que o seu alo é o mesmo pa a odas/os as/os meno es dun
mesmo cen o educa i o, a a iable MS SE é unha a iable con ex ual, e po medi o s a us socio-
económico p omedio dos colexios séguese que é ademais unha a iable composicional2. O modelo
cons uído i á dado pola exp esión
No aMa esij =γ00 +γ10S SEij +β2SocialMinij +β3MS SEj
| {z }
e ec os ixos
+u0j+u1jS SEij
| {z }
e ec os alea o ios
+εij;(5.4)
de no o pa a odo j= 1, ... , J ei= 1, ... , nj. Así, a única di e enza coa exp esión do p e io
modelo con in e cep o e penden e alea o ios (4.3) es udado no Exemplo 4.3 é a adición do e mo
β3MS SEj, co cal a di e enza coa Figu a 4.3 do modelo (4.3) consis i á pu amen e nos in e cep os
das dis in as ec as. T ansc ibindo es a ó mula na sin axe eque ida pola unción lme de ,
ob ense o seguin e axus e do modelo (5.4):
ma esmm4 <- lme (No aMa es ~S SE +SocialMin +MS SE +(1+S SE |Escola),
REML =TRUE)
summa y(ma esmm4)
## Linea mixed model i by REML ['lme Mod']
## Fo mula: No aMa es ~ S SE + SocialMin + MS SE + (1 + S SE | Escola)
##
## REML c i e ion a con e gence: 1843.9
##
## Scaled esiduals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -3.8761 -0.6031 0.1107 0.7389 2.1732
##
## Random e ec s:
## G oups Name Va iance S d.De . Co
2Algúns au o es non conco dan en que as a iables composicionais sexan un caso pa icula das con ex uais, e
a an es as dúas si uacións conxun amen e sen ace ningún ipo de dis inción (como [28]). Nes e aballo, pola
con a, de éndese es a clasi icación; ao igual que deciden acelo moi os ou os au o es salien ábeis na li e a u a dos
modelos mul ini el (como [18], [10] ou [21]). Á ho a de analiza modelos mix os non é impo an e que clasi icación
se es é a emp ega , é soamen e unha cues ión concep ual; escla ece a que ni el pe ence unha ce a a iable.
50 5. Modelos mix os con co a iables ela i as ao segundo ni el
## Escola (In e cep ) 6.69176 2.5868
## S SE 0.05674 0.2382 -1.00
## Residual 23.30565 4.8276
## Numbe o obs: 307, g oups: Escola, 7
##
## Fixed e ec s:
## Es ima e S d. E o alue
## (In e cep ) 17.0893 1.6662 10.256
## S SE 1.0275 0.4670 2.200
## SocialMinSi -2.7128 0.7537 -3.599
## MS SE -0.4411 3.3888 -0.130
##
## Co ela ion o Fixed E ec s:
## (In ) S SE SclMnS
## S SE -0.124
## SocialMinSi -0.102 0.241
## MS SE -0.773 -0.150 -0.037
## op imize (nlop w ap) con e gence code: 0 (OK)
## bounda y (singula ) i : see help('isSingula ')
O coe icien e ixo asociado á a iable MS SE es ímase po b
β3=−0.441, co cal un neno ou nena,
p oceden e dun g upo acial mino i a io ou non e cun s a us socio-económico ixado de an emán;
ao inc emen a se nun pun o o p omedio dos s a us socio-económico das/os demais alumnas/os
da súa escola, espé ase que expe imen e unha diminución na súa no a de Ma emá icas de case
medio pun o. En de ini i a, se un memb o do alumnado se queda po de ás dos seus compañei os
e compañei as; ben socialmen e ou ben economicamen e, non só ica á inamo ible no eido da
Educación men es o es o pe ecciona as súas no as, senón que incluso su i á unha mingua nos
seus esul ados; en pa icula , na ma e ia de Ma emá icas.
Na Figu a 5.1 ilús ase a na u eza do modelo (5.4). Como xa se adian aba, é moi semellan e á
Figu a 4.3; a di e encia eside en ei amen e nos in e cep os asociados ás dis in as escolas. Men es
que no Exemplo 4.3 as es imacións dos e ec os alea o ios do in e cep o bu0jcon j= 1, ... , J se
in e p e aban como a des iación do in e cep o pa a a escola j-ésima con espec o ao in e cep o
medio (o da ec a de co neg a, en endéndoo como o in e cep o habi ual cando S SE = 0);
nes e con ex o é p eciso e en con a a es imación do e ec o ixo asociado á a iable con ex ual
composicional MS SE á ho a de es uda os in e cep os dos dis in os colexios, pos o que pa a ob e
o in e cep o dunha escola j amén habe á que suma lle ago a a bu0jo e mo b
β3MS SEj=b
β3S SE•j.
Na Figu a 5.1 amén se ep esen a (de co osa e pun eada) a modo de exemplo a liña cons i uída
5.1. Va iables con ex uais composicionais 51
polas p edicións das no as en Ma emá icas pa a as/os alumnas/os da escola E4 p oceden es dun
g upo acial mino i a io, é dici , con SocialMin = 1. Xun ando o di o an e io men e co que se ai
no Capí ulo 4, o in e cep o des a ec a (en endéndoo de no o cando S SE = 0) calcúlase sumando
ao in e cep o da escola media o e mo bu0j+b
β3S SE•j+b
β2, polo que o in e cep o conce nen e á
liña dunha escola calque a se á |b
β2|= 2.71 unidades meno polo simple ei o de conside a só o
alumnado p oceden e dun g upo acial mino i a io.
ε7,3
ε26,4
Y7,3
Y26,4
u
03
+β
3
×S SE
• 3
u
04
+β
3
×S SE
• 4
γ10
γ10 +u14
γ10 +u14
γ
10
+u
13
β2
0
5
10
15
20
25
−1 0 1
S a us socio−económico
No a en Ma emá icas
Escola
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
Racial
mino i−
a io
Non
Si
Figu a 5.1: Ilus ación do modelo mix o con in e cep o e penden e alea o ios pa a a no a de
Ma emá icas nas 7escolas conside ando penden e ixa asociada á a iable ca egó ica SocialMin;
así como o e ec o da a iable composicional MS SE, xun o coa ec a de eg esión pa a a escola
“media” cando SocialMin = 0 e pa a as escolas E3 e E4.
Po ou a banda, emp egando o c i e io xa explicado de [27]; como o - alo asociado á
es imación do coe icien e β3é de -0.13 (moi o meno que 1.96 en alo absolu o), séguese que
al coe icien e non esul a signi ica i o. Máis o malmen e, emp egando un es de azón de
e osimili udes onde a hipó ese nula é o modelo (4.3) e a al e na i a é o ac ual (5.4); ob ense
un ni el c í ico de 0.04, maio que o ni el de signi icación α= 0.001 que se iña emp egando
a a o momen o. Ademais, segundo [27, p. 295] ou [9, p. 175] hai moi os indicios a a o de que
es e p- alo é demasiado pequeno, é dici , de que se subes imou e ealmen e é maio de 0.043.
En consecuencia, como o ni el c í ico é maio que o ni el de signi icación conside ado, non e ía
senso exei a a hipó ese nula, is o é, o p omedio dos s a us socio-económico do alumnado dunha
3Pa a ob e p- alo es asociados aos es s de azón de e osimili udes máis p ecisos pode emp ega se o deno-
minado p ocedemen o boo s ap pa amé ico, sob e o cal se pode a opa máis in o mación en [27, pp. 294–301].
52 5. Modelos mix os con co a iables ela i as ao segundo ni el
escola non in lúe de xei o signi ica i o na no a dun/dunha es udan e calque a. Conseguin emen e,
a es imación das a ianzas amén aumen a con espec o ás ob idas no modelo (4.3) axus ado no
Exemplo 4.3 (excep o a conce nen e á penden e alea o ia asociada á a iable S SE,bσu1= 0.057).
5.2. Va iables con ex uais globais
O seguin e paso na u al no inc emen o da complexidade do modelo (5.1) é pe mi i que a
penden e asociada a X a íe en e os di e en es g upos ela i os ao segundo ni el; co cal o modelo
con in e cep o e penden e alea o ios ó nase ago a en
Yij =β0j+β1jXij +β2Wj+εij,con j= 1, ... , J ei= 1, ... , nj;(5.5)
onde se segui án a supo as mesmas hipó eses sob e a independencia que a é ago a, é di-
ci , de no o εij ∈N(0, σ2
ε)son independen es e ademais β0j=γ00 +u0j∈N(γ00, σ2
u0)e
β1j=γ10 +u1j∈N(γ10, σ2
u1), con j= 1, ... , J, son a iables alea o ias independen es sepa-
adamen e (e independen es dos e os). Así, den o de cada g upo pode exis i co elación en e
os e ec os alea o ios do in e cep o e da penden e, sendo σu01 a súa co a ianza. De aquí en dian e,
o coe icien e ixo asociado á a iable global Wesc ibi ase amén β2=γ01. Nó ese que o modelo
(5.5) pode esc ibi se como:
Yij =γ00 +γ10Xij +γ01Wj
| {z }
e ec os ixos
+u0j+u1jXij
| {z }
e ec os alea o ios
+εij.
Exemplo 5.2. Pa indo do modelo (4.3) axus ado na Sección 4.2, xa que o modelo axus ado
p e iamen e e que lémb ese incluía como co a iable a a iable con ex ual composicional MS SE
non esul ou se signi ica i o; engadi ánselle ago a a iables con ex uais de ipo global a p ol de
cons uí un no o modelo que axus e as no as en Ma emá icas de xei o máis e icien e. Na base de
da os ma es7 disponse de 5 a iables globais; aínda que as a iables Sec o (ca ác e público ou
p i ado da escola) e Pa icip (p opo ción de es udan es da escola que pa icipan no es udo) non
esul an ú iles, pos o que as 7escolas que se es án a e en conside ación son odas ca ólicas e
i e on unha pa icipación unánime no es udo [4]. Pódense emp ega pa a axus a o no o modelo,
polo an o, as a iables Tamaño,AmbDisc im eMaio iaMin; que lémb ese e lec ían o núme o de
es udan es, unha medida do ambien e disc imina o io e se a can idade das/os ma iculadas/os
memb os dun g upo acial mino i a io supe a o 40 % do o al da escola, espec i amen e.
Nó ese que a a iable Maio iaMin, al e como se desc ibe, ben pode ía a a se dunha a iable
composicional do mesmo es ilo que a do Exemplo 5.1. Is o é debido a que Maio iaMin pode ía
cons uí se pa a as se e escolas da base de da os ma es7 simplemen e calculando p opo cións
sob e a a iable de p imei o ni el SocialMin (que indicaba se un/unha es udan e e a memb o
dun g upo acial mino i a io). Pola con a, is o só pode ace se no caso pa icula das escolas E1,
5.2. Va iables con ex uais globais 53
E2, ... , E7 debido a que i e on unha pa icipación unánime no es udo p esen ado en [4]; mais
con odos os ou os cen os educa i os p esen es na base de da os o ixinal is o non é posible,
pos o que non se en in o mación ace ca de odas/os as/os es udan es; indicio de que al a iable
se ex aeu nun p imei o momen o dunha on e ex e na ao es udo académico desc i o en [4]. Polo
an o, nes e aballo conside a ase que Maio iaMin é unha a iable con ex ual global. De no o
salién ase que á ho a de axus a un modelo mul ini el, a clasi icación que se emp egue non en
impo ancia algunha, polo que se pola con a Maio iaMin se conside ase como unha a iable
composicional; as conclusións que se acada ían non a ia ían no máis mínimo coas ob idas a
con inuación. Deseguido esumi anse as conclusións ob idas g azas ao en o no es a ís ico . O
código emp egado pode a opa se no Anexo A.8.2.
Po unha banda, conside ando o e ec o ixo do Tamaño ao engadilo ao modelo (4.3) ob ense
que a es imación do coe icien e asociado a es e esul a se case nulo. Ademais, as a ealización
dun es de azón de e osimili udes comp óbase que non esul a se signi ica i o. Conclúese
en ón que o amaño dunha escola non in lúe de xei o signi ica i o na no a acadada po un/unha
es udan e na ma e ia de Ma emá icas. Unha explicación a di o esul ado pode ía se a dada po
[14] en elación ao amaño das clases. Ao con a io do que se soe pensa , que as clases sexan
máis nume osas non semp e implica un meno endemen o académico. Is o oco e an só cando
o núme o de es udan es con malas no as nesa mesma clase supe a un ce o umb al; e no caso
pa icula dos 7cen os de ma es7, as po cen axes de alumnas/os con no as meno es que 5pun os
(po exemplo) son, espec i amen e:
## Escola
## E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7
## 0.00 4.76 0.00 8.82 0.00 0.00 6.78
Ningunha po cen axe supe a o umb al do 10 % (po exemplo), is o pode ía se a xus i icación
de que o amaño das escolas non esul e signi ica i o.
Po ou a banda, engadindo ago a o e ec o da a iable global AmbDisc im ao modelo (4.3),
al e como e a de espe a a es imación do coe icien e esul a nega i a; is o é, o aumen o do am-
bien e disc imina o io nunha ce a escola en e ec os pe niciosos sob e as no as das/os súas/seus
es udan es. Pola con a, no amen e es e coe icien e ampouco esul a signi ica i o.
A a iable que es a po engadi ao modelo (4.3) é Maio iaMin, a iable dico ómica que
se codi ica po 1pa a as escolas con máis do 40 % do alumnado memb o dun g upo acial
mino i a io, e po 0no caso con a io. No Exemplo 4.2 iuse que o simple ei o de pe ence a un
g upo acial mino i a io augu aba unha mingua impo an e na no a de Ma emá icas. Pola con a,
ao axus a un no o modelo endo en con a a a iable Maio iaMin, pa a as escolas con máis do
40 % do alumnado p oceden e dun g upo acial mino i a io augú ase un inc emen o do in e cep o
54 5. Modelos mix os con co a iables ela i as ao segundo ni el
de bγ01 = 1.175 pun os na no a de Ma emá icas (en endéndoo cando S SE = 0). Is o non goza
de senso ningún e pode debe se á es u u a dos da os; pos o que só a escola E2 (a de meno
amaño) e i ica que Maio iaMin = 1, e es es da os pode ían esul a insu icien es pa a ex ae
conclusións axei adas. De ei o, engadi a a iable Maio iaMin esul a máis signi ica i o que a
anexión das dúas an e io es; aínda que non o su icien e, pois o es de azón de e osimili udes
en e o modelo conside ando Maio iaMin e o p e io (4.3) o nece un p- alo de 0.094; maio que
o ni el de signi icación α= 0.001 conside ado nes e aballo; e ademais lémb ese que segundo
[27] ou [9], o p- alo de 0.094 oi subes imado e o eal aínda pode ía se aínda máis g ande.
5.3. In e acción en e ni eis
A ondando aínda máis no e eo dos modelos mul ini el, pode íase pe mi i que o e ec o
dunha co a iable dependa do alo dou a a iable explica i a. No caso pa icula de que unha
a iable es ea asociada ao ni el 1e a ou a ao ni el 2is o denomínase in e acción en e ni eis.
Des e xei o, pa indo do p e io modelo (5.5) con in e cep o e penden e alea o ios no que se
in oduce in o mación sob e algunha ca ac e ís ica do g upo a a és dunha a iable de segundo
ni el; e conside ando in e acción en e ni eis, es ase a cons uí un modelo cuxas o mulacións
xe á quica e combinada son, pa a odo i= 1, ... , nje pa a odo j= 1, ... , J:
(i) Fo mulación xe á quica:
Ni el 1 : Yij =β0j+β1jXij +εij.
Ni el 2 :
β0j=γ00 +γ01Wj+u0j,con u0j∈N(0, σ2
u0),
β1j=γ10 +γ11Wj+u1j,con u1j∈N(0, σ2
u1).
(ii) Fo mulación conxun a: Yij =γ00 +γ10Xij +γ01Wj+γ11WjXij
| {z }
e ec os ixos
+u0j+u1jXij
| {z }
e ec os alea o ios
+εij.
De no o se supón que os e os son independen es dos e ec os alea o ios do in e cep o e penden e,
pe o es es úl imos poden es a co elados. Séguense impoñendo amén as hipó eses de no mali-
dade sob e os e os de ambos ni eis. Nó ese que a pa e alea o ia coincide coa do modelo con
in e cep o e penden e alea o ios (4.2), sen conside a a a iable de segundo ni el W. A p incipal
ca ac e ís ica des e modelo e asemade a di e enza co modelo sen in e acción eside na inse ción
do e mo WjXij, que se pode en ende como a in e acción en e a iables de ambos ni eis; sendo
γ11 o coe icien e de al in e acción.
Finalmen e, no caso de se a co a iable Wunha a iable dico ómica, a in e p e ación dos
coe icien es é semellan e á ei a no Exemplo 4.2 pa a SocialMin.
Capí ulo 6
Conclusións
Ao longo des e aballo iuse que os modelos de eg esión clásicos, como o modelo de eg esión
linea ou os modelos de análise da a ianza e co a ianza non son su icien es cando se es á a
aballa con da os aniñados xe a quicamen e, os cales son moi ecuen es no eido da Educación, a
Medicina ou as Ciencias Medioambien ais. Cando os indi iduos o man g upos, é ob io pensa que
os indi iduos clasi icados nun mesmo g upo ende án a e un compo amen o máis semellan e
que uns indi iduos calesque a de g upos di e en es e polo an o con menos in o mación en común.
Ademais, habi ualmen e o in e esan e non son os g upos p esen es no conxun o de da os, senón
que se p e ende aplica écnicas da In e encia Es a ís ica sob e unha poboación máis g ande de
g upos. É aquí onde xo den os denominados modelos mix os, modelos mul ini el ou modelos
de e ec os alea o ios. En pa icula , nes e aballo a á onse os modelos mix os linea es con
espos a con inua e púxose de mani es o a súa u ilidade pa a es uda bases de da os cunha
es u u a xe á quica de dous ni eis, onde os indi iduos se a opan no p imei o ni el e es án
aniñados en g upos no segundo ni el, median e a inco po ación de e ec os alea o ios.
Cabe salien a que os modelos mix os linea es is os nes e aballo pode ían amplia se a
o mas máis complexas, como os modelos mix os linea es xe alizados (deno ados habi ualmen-
e como GLMM ), que xo den cando a a iable espos a Yposee ce as es icións, como po
exemplo, que se a e dunha a iable de econ o. Es es modelos son a con inuación na u al dos
modelos mix os linea es, e oda a in o mación conce nen e aos modelos GLMM poden consul a se
na ex ensa ob a de Demidenko [6].
Ou a posible ex ensión dos modelos mix os linea es se ía asumi que en cada g upo non se
en unha ec a, senón un modelo polinómico, po exemplo. Des e xei o, da íase máis lexibilidade
pa a modela o compo amen o da a iable espos a en cada g upo de in e ese.
Ao longo des e aballo ilus ouse a u ilidade dos modelos mix os linea es con espos a con-
inua no eido da Educación median e a base de da os ma es7 c eada pa a es a ocasión e mais
55
56 6. Conclusións
a e amen a es a ís ica . Lémb ese que o código desen ol o ao longo des e aballo es á
dispoñible no eposi o io Modelos_Mix os_con_R de Gi Hub e é de ca ác e en ei amen e e-
p oducible. Is o se iu pa a es uda que ca ac e ís icas e si uacións in lúen na no a de Ma e-
má icas dun/dunha alumno/a calque a, asemade se cons uíu un modelo mix o pa a a a de
p edeci as no as das/os mesmas/os. Ob í ose que a escola á que acode un/unha alumno/a in lúe
eno memen e na no a acadada na ma e ia de Ma emá icas po es e/a, así como a si uación socio-
económica da súa amilia. Ademais, es udouse como in lúe a in eg idade social das/os es udan es
na no a dende un pun o de is a acial; ob endo que as/os alumnas/os p oceden es dun g upo
acial mino i a io acadan en p omedio unha no a signi ica i amen e meno que as/os ou as/os
es udan es en xe al. Po ou a banda, amén se oca on aspec os conce nen es á polí ica no eido
da Educación. Ao con a io do que se soe c e , an o o amaño das escolas como o núme o de
alumnas/os po clase non in lúen na no a das/os es udan es. Is o só oco e cando a po cen axe
de meno es de baixo endemen o na mesma clase ou na mesma escola supe a ce o umb al. É
po is o que os di e en es gobe nos do Mundo non debe ían in e i os seus bens en diminuí o
amaño dos cen os educa i os ou o a io de alumnas/os po clase, senón en mello a a calidade
da Educación que se o ece nas/os mesmas/os.
Anexo A
Código de R
Nes e Anexo ep oduci ase pa e do código de emp egado ao longo de odo o aballo.
A súa in eg idade pode consul a se no eposi o io Modelos_Mix os_con_R de Gi Hub, an o
o ela i o á cons ución dos di e sos modelos que se es uda on como o conce nen e a odas as
igu as ilus adas, odas p og amadas emp egando o paque e ggplo 2. A sin axe emp egada á
ho a de edac a o código é a de endida po Hadley Wickham en [31]. Tamén me ecen especial
ecoñecemen o [32] e [5]; pos o que moi as das seguin es liñas de código puide on elabo a se
g azas ás ideas p opo cionadas nes as ob as. Po úl imo, o código disponse seguindo o o ma o
que emp ega o paque e kni , o cal amén se emp egou pa a xe a es e documen o e sob e o cal
se pode a opa máis in o mación na ob a o ixinal do au o do paque e Yihui [33]. Todos es es
lib os son de código abe o e a ópanse dispoñibles en Gi Hub.
A.1. C eación da base de da os ma es
pkgs <- c('lme4','nlme','lm es ','ggplo 2','ca ','dply ','RColo B ewe ',
' i idis','g ools','pa chwo k','kni ','gg hemes','la ice','la ex2exp')
ins all.packages(se di (pkgs, ins alled.packages()[,"Package"]),
dependencies =TRUE)
lib a y(lme4); lib a y(nlme); lib a y(lm es ); lib a y(ggplo 2); lib a y(ca )
lib a y(dply ); lib a y(RColo B ewe ); lib a y( i idis); lib a y(g ools)
lib a y(pa chwo k); lib a y(kni ); lib a y(gg hemes); lib a y(la ice)
lib a y(la ex2exp)
ma es <- me ge(Ma hAchie e, Ma hAchSchool, by ="School")
57
64 A. Código de R
coe s_anc1 <- anco a1$coe icien s #es imacións ANCOVA sen in e acción
da k_2 <- b ewe .pal(n=7,name ="Da k2")#pale a de co es
ang <- da a. ame(i=nume ic(7), =nume ic(7))
o (k in 1:leng h(le els(Escola))){
ang[k ,] <- ange(S SE[Escola == le els(Escola)[k]])
}#Función pa a os angos das ec as
ec a <- unc ion(x=0,g upo =1){
i (!g upo %in% 1:7){
s op("Tal g upo non exis e.")
}
i (g upo == 1){
as.nume ic(coe s_anc1[1]) +as.nume ic(coe s_anc1[2]) *x
}
else{
as.nume ic(coe s_anc1[1]) +as.nume ic(coe s_anc1[g upo +1]) +
as.nume ic(coe s_anco a1[2]) *x
}
}#Función pa a as ecuacións das ec as
anco a_si <- ggplo (ma es7, aes(x= S SE, y= No aMa es, colo = Escola)) +
geom_poin () +
labs(x="S a us socio-económico",y="No as en Ma emá icas",
colo ="Escola")+
coo d_ca esian(ylim =c(-.5,25) ) +
scale_colo _b ewe (pale e ="Da k2")+
geom_segmen (x= ang[1,1], xend = ang[1,2], y= ec a( ang[1,1]), yend =
ec a( ang[1,2]), col = da k_2[1], lwd =1.25)+
geom_segmen (x= ang[2,1], xend = ang[2,2], y= ec a( ang[2,1], 2), yend =
ec a( ang[2,2], 2), col = da k_2[2], lwd =1.25)+
geom_segmen (x= ang[3,1], xend = ang[3,2], y= ec a( ang[3,1], 3), yend =
ec a( ang[3,2], 3), col = da k_2[3], lwd =1.25)+
geom_segmen (x= ang[4,1], xend = ang[4,2], y= ec a( ang[4,1], 4), yend =
ec a( ang[4,2], 4), col = da k_2[4], lwd =1.25)+
geom_segmen (x= ang[5,1], xend = ang[5,2], y= ec a( ang[5,1], 5), yend =
ec a( ang[5,2], 5), col = da k_2[5], lwd =1.25)+
geom_segmen (x= ang[6,1], xend = ang[6,2], y= ec a( ang[6,1], 6), yend =
A.6. RANOVA 65
ec a( ang[6,2], 6), col = da k_2[6], lwd =1.25)+
geom_segmen (x= ang[7,1], xend = ang[7,2], y= ec a( ang[7,1], 7), yend =
ec a( ang[7,2], 7), col = da k_2[7], lwd =1.25)+
heme(
legend.posi ion ="none",
axis. i le.x =elemen _ ex (size =16),
axis. ex .x =elemen _ ex (size =14),
axis. i le.y =elemen _ ex (size =16),
axis. ex .y =elemen _ ex (size =14))
anco a_ci <- ggplo (ma es7, aes(x= S SE, y= No aMa es, colo = Escola)) +
geom_poin () +
labs(x="S a us socio-económico",colo ="Escola")+
coo d_ca esian(ylim =c(-.5,25) ) +
scale_colo _b ewe (pale e ="Da k2")+
geom_smoo h(me hod ="lm",se =FALSE,lwd =1.25)+
heme(
legend. i le =elemen _ ex (size =16),
legend. ex =elemen _ ex (size =14),
axis. i le.x =elemen _ ex (size =16),
axis. ex .x =elemen _ ex (size =14),
axis. i le.y =elemen _blank(),
axis. ex .y =elemen _ ex (size =14))
anco a_si +anco a_ci #sin axe álida g azas ao paque e de R pa chwo k
A.6. RANOVA
ano ama es <- lme (No aMa es ~(1|Escola), da a = ma es7, REML =FALSE)
summa y( ano ama es)
sigma2_eps_ an =summa y( ano ama es)$sigma^2
sigma2_u_ an =as.da a. ame(summa y( ano ama es)$ a co )[1,4]
VT_ an =sigma2_u_ an +sigma2_eps_ an
VPC_ an =sigma2_u_ an /VT_ an
66 A. Código de R
A.6.1. VARCOMP e con as e sob e os e ec os das escolas
cma es <- lm(No aMa es ~1,da a = ma es7)
summa y( cma es)
#Con as e sob e o e ec o da escola
mu_ <- cma es$coe [[1]] #es imación media global (a da mos a)
LR <- -2*logLik( cma es)[1]-(-2*logLik( ano ama es))[1]
1-pchisq(LR, d =1)#p- alo
A.6.2. Figu a 3.5
x<- seq(0,45,leng h =1000)
y<- dchisq(x, d =1)
d <- da a. ame(x,y)
ggplo (d , aes(x=x,y= y)) +
geom_line(colo ="o ange",size =1.25)+
xlab(" ")+
coo d_ca esian(ylim =c(0,.15), clip ="o ")+
geom_hline(yin e cep =0,col="g een2")+
geom_ line(xin e cep =0,col="g een2")+
geom_segmen (x= LR, y=-0.004,xend = LR, yend =-.0115,col=" oma o3",
line ype ="solid",size =1.5)+
anno a e(" ex ",x=6,y=.1,pa se =TRUE,label =exp ession(chi[1]^2),
col ="o ange",size =17)+
anno a e(" ex ",x= LR, y=-0.017,pa se =TRUE,label =exp ession(LR[obs]),
col =" oma o3",size =10)+
anno a e(" ex ",x=LR+6,y=.007,pa se =TRUE,label =
exp ession(1.96e-09), col ="ligh salmon",size =8)+
heme_classic() +
heme(
axis. i le.x =elemen _ ex (size =10),
axis. ex .x =elemen _ ex (size =17),
axis. i le.y =elemen _blank(),
axis. ex .y =elemen _ ex (size =17))
A.6.3. Conxun o de da os u0d
A.6. RANOVA 67
u0 <- ane ( ano ama es, pos Va =TRUE)
u0se <- sq (a (u0[[1]], "pos Va ")[1, , ])
escolaiden i <- ownames(u0[[1]])
u0d <- cbind(escolaiden i , u0[[1]], u0se)
colnames(u0d ) <- c("escolaiden i ","u0","u0se")
u0d <- u0d [o de (u0d $u0), ]
u0d <- cbind(u0d , c(1:dim(u0d )[1]))
colnames(u0d )[4]<- "u0pos"
o (k in 1:n ow(u0d )){
nume o <- as.nume ic(s spli (u0d $escolaiden i [k], spli ="")[[1]][2])
u0d $escolaiden i [k] <- nume o
}
u0d <- u0d [o de (u0d $escolaiden i ), ] # eo denación
es loc <- summa y( ano ama es)$coe [1]+u0d $u0
u0d $es loc <- es loc
u0d $escolaiden i <- pas e("E",1:7,sep ="")
nai e_ es <- mu_local -summa y( ano ama es)$coe [1]
u0d $nai e_ es <- nai e_ es
sh ink <- nume ic(7)
o (i in 1:leng h(le els(ma es7$Escola))){
sh ink[i] <- u0[[1]][i, 1]/nai e_ es[i]
}
u0d $sh inkage <- sh ink
kable(u0d , o ma ="pipe",digi s =3, ow.names =FALSE)
A.6.4. Figu a 3.3: G á ico de ei uga
ggplo (u0d , aes(x= u0pos, y= u0)) +
geom_segmen (x= u0d $u0pos, y= u0d $u0 -1.96 *u0d $u0se, xend = u0d $u0pos,
yend = u0d $u0 +1.96 *u0d $u0se, size =1,col ="da kcyan")+
geom_poin (size =3,col =" oma o3")+
xlab("")+
ylab("Residuos a ni el de Escola")+
scale_x_con inuous(b eaks =1:7)+
geom_hline(yin e cep =0,size =1)+
anno a e(" ex ",x= u0d $u0pos +0.3,y= u0d $u0, pa se =TRUE,label =
68 A. Código de R
pas e("E",1:7,sep =""), col =" oma o3",size =7)+
heme(
axis. i le.x =elemen _ ex (size =19),
axis. ex .x =elemen _ ex (size =17),
axis. i le.y =elemen _ ex (size =19),
axis. ex .y =elemen _ ex (size =17))
A.6.5. Figu a 3.2
O código de ela i o á Figu a 3.4 conce nen e ao modelo dun só ni el pa a a media é
análogo ao dispos o deseguido.
ma es7$Es udan e <- 1:n ow(ma es7)
a ach(ma es7)
eps_ an <- esiduals( ano ama es)
ggplo (ma es7, aes(x= Es udan e, y= No aMa es, colo = Escola)) +
geom_poin (size =1.25)+
coo d_ca esian(xlim =c(0,350), ylim =c(1,25)) +
xlab("Inden i icado de es udan e")+
ylab("No a en Ma emá icas")+
scale_colo _b ewe (pale e ="Da k2")+
#Media global
geom_segmen (x=-7,y=summa y( ano ama es)$coe [1], xend =317,
yend =summa y( ano ama es)$coe [1], size =1.35,col =1)+
#Medias locais
geom_segmen (x=-7,y= es loc[3], xend =294,yend = es loc[3], lwd =1,
line ype =" wodash",colo = da k_2[3]) +
geom_segmen (x=-7,y= es loc[4], xend =294,yend = es loc[4], lwd =1,
line ype =" wodash",colo = da k_2[4]) +
geom_segmen (x=0,y= es loc[5], xend =294,yend = es loc[5], lwd =1,
line ype =" wodash",colo = da k_2[5]) +
geom_segmen (x=0,y= es loc[7], xend =294,yend = es loc[7], lwd =1,
line ype =" wodash",colo = da k_2[7]) +
#F echas
geom_segmen (x= Es udan e[72], y= No aMa es[72], xend = Es udan e[72],
yend = No aMa es[72]-eps_ an[72], colo =1,a ow =a ow(),
A.6. RANOVA 69
size =1.15)+
geom_segmen (x= Es udan e[140], y= No aMa es[140], xend = Es udan e[140],
yend = No aMa es[140]-eps_ an[140], colo =1,a ow =a ow(),
size =1.15)+
geom_segmen (x= Es udan e[185], y= No aMa es[185], xend = Es udan e[185],
yend = No aMa es[185]-eps_ an[185], colo =1,a ow =a ow(),
size =1.15)+
geom_segmen (x= Es udan e[264], y= No aMa es[264], xend = Es udan e[264],
yend = No aMa es[264]-eps_ an[264], colo =1,a ow =a ow(),
size =1.15)+
#E os
anno a e(" ex ",x= Es udan e[72]+20,y= (No aMa es[72]+es loc[3])/2,
pa se =TRUE,label =exp ession(wideha (epsilon)[7][","][3]),
col =1,size =7)+
anno a e(" ex ",x= Es udan e[140]-23,y= (No aMa es[140]+es loc[4])/2,
pa se =TRUE,label =exp ession(wideha (epsilon)[26][","][4]),
col =1,size =7)+
anno a e(" ex ",x= Es udan e[185]+24.5,y= (No aMa es[185]+es loc[5])/2
-.1,pa se =TRUE,label =exp ession(wideha (epsilon)[37][","][5]),
col =1,size =7)+
anno a e(" ex ",x= Es udan e[264]-23,y= (No aMa es[264]+es loc[7])/2
-.5,pa se =TRUE,label =exp ession(wideha (epsilon)[16][","][7]),
col =1,size =7)+
#Obse acións
geom_poin (aes(x= Es udan e[72], y= No aMa es[72]), col = da k_2[3],
size =5)+
geom_poin (aes(x= Es udan e[140], y= No aMa es[140]), col = da k_2[4],
size =5)+
geom_poin (aes(x= Es udan e[185], y= No aMa es[185]), col = da k_2[5],
size =5)+
geom_poin (aes(x= Es udan e[264], y= No aMa es[264]), col = da k_2[7],
size =5)+
anno a e(" ex ",x= Es udan e[72]-18,y= No aMa es[72]-.55,pa se =
TRUE,label =exp ession(Y[7][","][3]), col = da k_2[3], size =6)+
anno a e(" ex ",x= Es udan e[140]-12,y= No aMa es[140]-.65,pa se =
TRUE,label =exp ession(Y[26][","][4]), col = da k_2[4], size =6)+
anno a e(" ex ",x= Es udan e[185]-12,y= No aMa es[185]-.65,pa se =
70 A. Código de R
TRUE,label =exp ession(Y[37][","][5]), col = da k_2[5], size =6)+
anno a e(" ex ",x= Es udan e[264]-12,y= No aMa es[264]-.65,pa se =
TRUE,label =exp ession(Y[16][","][7]), col = da k_2[7], size =6)+
#Media global símbolo
anno a e(" ex ",x=329,y=summa y( ano ama es)$coe [1], pa se =TRUE,
label =exp ession(wideha (mu)), size =7)+
#Medias locais símbolos
anno a e(" ex ",x=330,y= es loc[3]+.25,pa se =TRUE,label =
exp ession(pas e(wideha (mu) +wideha (u)[3], "=",wideha (mu)[3])),
size =6,col = da k_2[3]) +
anno a e(" ex ",x=330,y= es loc[4], pa se =TRUE,label =
exp ession(pas e(wideha (mu) +wideha (u)[4], "=",wideha (mu)[4])),
size =6,col = da k_2[4]) +
anno a e(" ex ",x=330,y= es loc[5]-.1,pa se =TRUE,label =
exp ession(pas e(wideha (mu) +wideha (u)[5], "=",wideha (mu)[5])),
size =6,col = da k_2[5]) +
anno a e(" ex ",x=330,y= es loc[7], pa se =TRUE,label =
exp ession(pas e(wideha (mu) +wideha (u)[7], "=",wideha (mu)[7])),
size =6,col = da k_2[7]) +
#Residuos a ni el de escola u^go o_{0j}
geom_segmen (x=-7,y=summa y( ano ama es)$coe [1], xend =-7,yend =
es loc[3], colo = da k_2[3], a ow =a ow(leng h =uni (0.2,"inches")),
line ype ="solid",size =.9)+
geom_segmen (x=-7,y=summa y( ano ama es)$coe [1], xend =-7,yend =
es loc[4], colo = da k_2[4], a ow =a ow(leng h =uni (0.2,"inches")),
line ype ="solid",size =.9)+
geom_segmen (x=20,y=summa y( ano ama es)$coe [1], xend =20,yend =
es loc[5], colo = da k_2[5], a ow =a ow(leng h =uni (0.15,"inches")),
line ype ="solid",size =.75)+
geom_segmen (x=20,y=summa y( ano ama es)$coe [1], xend =20,yend =
es loc[7], colo = da k_2[7], a ow =a ow(leng h =uni (0.15,"inches")),
line ype ="solid",size =.75)+
#Símbolos esiduos a ni el de escola u^go o_{0j}
anno a e(" ex ",x=5,y= (summa y( ano ama es)$coe [1]+es loc[3]) /2
-.3,pa se =TRUE,label =exp ession(wideha (u)[3]), col = da k_2[3],
size =6.5)+
anno a e(" ex ",x=5,y= (summa y( ano ama es)$coe [1]+es loc[4]) /2,
A.7. Modelos mix os con co a iables ela i as ao ni el 171
pa se =TRUE,label =exp ession(wideha (u)[4]), col = da k_2[4],
size =6.5)+
anno a e(" ex ",x=36,y= (summa y( ano ama es)$coe [1]+es loc[5]) /2,
pa se =TRUE,label =exp ession(wideha (u)[5]), col = da k_2[5],
size =6.5)+
anno a e(" ex ",x=36,y= (summa y( ano ama es)$coe [1]+es loc[7]) /2,
pa se =TRUE,label =exp ession(wideha (u)[7]), col = da k_2[7],
size =6.5)+
heme(
legend. i le =elemen _ ex (size =18),
legend. ex =elemen _ ex (size =16),
axis. i le.x =elemen _blank(),
axis. ex .x =elemen _blank(),
axis. i le.y =elemen _ ex (size =18),
axis. ex .y =elemen _ ex (size =16))
A.7. Modelos mix os con co a iables ela i as ao ni el 1
A.7.1. Modelo con in e cep o alea o io e penden e ixa
ma esmm1 <- lme (No aMa es ~S SE +(1|Escola), da a = ma es7, REML =FALSE)
summa y(ma esmm1)
coe smm1 <- summa y(ma esmm1)$coe
sigma2_eps_mm1 <- summa y(ma esmm1)$sigma^2
sigma2_u_mm1 <- as.da a. ame(summa y(ma esmm1)$ a co )[1,4]
VT_mm1 <- sigma2_u_mm1 +sigma2_eps_mm1
VPC_mm1 <- sigma2_u_mm1 /VT_mm1
#Cálculo dos e ec os alea o ios e dos e os (ni el 1)
u0_mm1 <- ane (ma esmm1, pos Va =TRUE)
uj_mm1 <- u0_mm1[[1]][,1]
u0se_mm1 <- sq (a (u0_mm1[[1]], "pos Va ")[1, , ])
eps_mm1 <- esiduals(ma esmm1)
A.7.2. Modelo con in e cep o alea o io e penden e ixa con SocialMin
72 A. Código de R
ma esmm2 <- lme (No aMa es ~S SE +SocialMin +(1|Escola), da a = ma es7,
REML =FALSE)
summa y(ma esmm2)
coe smm2 <- summa y(ma esmm2)$coe
sigma2_eps_mm2 <- summa y(ma esmm2)$sigma^2
sigma2_u0_mm2 <- as.da a. ame(summa y(ma esmm2)$ a co )[1,4]
VT_mm2 <- sigma2_u0_mm2 +sigma2_eps_mm2
VPC_mm2 <- (sigma2_u0_mm2) /VT_mm2
#Cálculo dos e ec os alea o ios e dos e os (ni el 1)
u0_mm2 <- ane (ma esmm2, pos Va =TRUE)
uj_mm2 <- u0_mm2[[1]][,1]
u0se_mm2 <- sq (a (u0_mm2[[1]], "pos Va ")[1, , ])
eps_mm2 <- esiduals(ma esmm2)
A.7.3. Modelo con in e cep o e penden e alea o ios e mais a iable ca egó ica
ma esmm3 <- lme (No aMa es ~S SE +SocialMin +(1+S SE |Escola),
REML =TRUE)
summa y(ma esmm3)
coe smm3 <- summa y(ma esmm3)$coe
sigma2_eps_mm3 <- summa y(ma esmm3)$sigma^2
sigma2_u0_mm3 <- as.da a. ame(summa y(ma esmm3)$ a co )[1,4]
sigma2_u1_mm3 <- as.da a. ame(summa y(ma esmm3)$ a co )[2,4]
sigma_u01_mm3 <- as.da a. ame(summa y(ma esmm3)$ a co )[3,4]
VT_mm3 <- sigma2_u0_mm3 +sigma2_u1_mm3 +sigma2_eps_mm3
VPC_mm3 <- (sigma2_u0_mm3 +sigma2_u1_mm3) /VT_mm3
#Cálculo dos e ec os alea o ios e dos e os (ni el 1)
u0_mm3 <- ane (ma esmm3, pos Va =TRUE)
u0j_mm3 <- u0_mm3[[1]][,1]
u1j_mm3 <- u0_mm3[[1]][,2]
eps_mm3 <- esiduals(ma esmm3)
A.7.4. Figu a 4.3
O código de ela i o á Figu a 4.1 conce nen e ao modelo mix o con in e cep o alea o io e
penden e ixa ma esmm1 (cons uído en A.7.1), e mais o código ela i o á Figu a 4.2 conce nen e
A.7. Modelos mix os con co a iables ela i as ao ni el 173
ao modelo mix o ma esmm2 (cons uído en A.7.2) son análogos ao código dispos o deseguido.
ec amm3 <- unc ion(x=0,escola =NULL,sm =0){
i (!sm %in% 0:1){
s op("Só hai dúas posibilidades pa a sm, non (0) ou si (1).")
}
i (!is.null(escola)){
i (!escola %in% 1:7){
s op("Tal escola non exis e, só do 1 ao 7.")
}
}
i (is.null(escola)){
i (sm == 0){
coe smm3[1]+coe smm3[2]*x
}
else{
coe smm3[1]+coe smm3[3]+coe smm3[2]*x
}
}
else{
i (sm == 0){
coe smm3[1]+u0j_mm3[escola] +(coe smm3[2]+u1j_mm3[escola]) *x
}
else{
coe smm3[1]+coe smm3[3]+u0j_mm3[escola] +
(coe smm3[2]+u1j_mm3[escola]) *x
}
}
}
ggplo (ma es7, aes(x= S SE, y= No aMa es, colo = Escola, shape = SocialMin)) +
geom_poin (size =1.25)+
coo d_ca esian(xlim =c( ange(S SE)[1], ange(S SE)[2]), ylim =c(-.5,25))+
xlab("S a us socio-económico")+
ylab("No a en Ma emá icas")+
labs(shape ="Racial nmino i- n a io")+
scale_colo _b ewe (pale e ="Da k2")+
80 BIBLIOGRAFÍA
[13] Golds ein, H.: Mul ile el s a is ical models. John Wiley & Sons (2011).
[14] Golds ein, H., Sc, B.: Models o eali y: New app oaches o he unde s anding o educa ional
p ocesses. Uni e si y o London, Ins i u e o Educa ion (1998).
[15] G illi, L., Rampichini, C.: A hand ul o c i ical choices in mul ile el modelling. BEIO, Bole ín
de Es adís ica e In es igación Ope a i a 34(1), 7–24 (2018).
[16] Hedges, L.V., Hedbe g, E.C.: In aclass co ela ion alues o planning g oup- andomized
ials in educa ion. Educa ional E alua ion and Policy Analysis 29(1), 60–87 (2007).
[17] Holm, S.: A simple sequen ially ejec i e mul iple es p ocedu e. Scandina ian jou nal
o s a is ics pp. 65–70 (1979).
[18] Hox, J.J., Moe beek, M., Van de Schoo , R.: Mul ile el analysis: Techniques and applica-
ions. Rou ledge (2017).
[19] Iba ola, R.V., Pé ez, A.G.: P incipios de in e encia es adís ica. UNED, Uni e sidad Nacio-
nal de Educación a Dis ancia (2006).
[20] Ku ne , M.H., Nach sheim, C.J., Ne e , J., Li, W., e al.: Applied linea s a is ical models.
McG aw-Hill New Yo k (2005).
[21] Leyland, A.H., G oenewegen, P.P.: Mul ile el modelling o public heal h and heal h se ices
esea ch: heal h in con ex . Sp inge Na u e (2020).
[22] McNeish, D.: Small sample me hods o mul ile el modeling: A colloquial elucida ion o
REML and he Kenwa d-Roge co ec ion. Mul i a ia e Beha io al Resea ch 52(5), 661–
670 (2017).
[23] Pe o , V.V., E nes o, M.P.: Teo ía de la p obabilidad. 519.2 PET. Di ac (2008).
[24] Pinhei o, J., Ba es, D., DebRoy, S., Sa ka , D., Team, R.C.: Linea and nonlinea mixed
e ec s models. R package e sion 3(57), 1–89 (2007). URL h ps://c an. -p ojec .o g/
web/packages/nlme/nlme.pd .
[25] Rabe-Heske h, S., Sk ondal, A.: Mul ile el and longi udinal modeling using S a a. STATA
p ess (2008).
[26] Rao, C.R.: Linea s a is ical in e ence and i s applica ions, ol. 2. Wiley New Yo k (1973).
[27] Roback, P., Legle , J.: Beyond mul iple linea eg ession: applied gene alized linea models
and mul ile el models in R. Chapman and Hall/CRC (2021). URL h ps://bookdown.
o g/ oback/bookdown-BeyondMLR/.
BIBLIOGRAFÍA 81
[28] Sco , M.A., Simono , J.S., Ma x, B.D.: The SAGE handbook o mul ile el modeling. Sage
(2013).
[29] Snijde s, T.A., Boske , R.J.: Mul ile el analysis: An in oduc ion o basic and ad anced
mul ile el modeling. sage (2011).
[30] S eele, F.: Module 5: In oduc ion o Mul ile el modelling concep s. LEMMA
(Lea ning En i onmen o Mul ile el Me hodology and Applica ions), Cen e o Mul ile el
Modelling, Uni e si y o B is ol (2008).
[31] Wickham, H.: Ad anced R. CRC p ess (2019). URL h ps://ad - .hadley.nz/.
[32] Wickham, H., G olemund, G.: R o da a science: impo , idy, ans o m, isualize, and
model da a. .Reilly Media, Inc. (2016). URL h ps:// 4ds.had.co.nz/.
[33] Xie, Y.: Dynamic Documen s wi h R and kni . Chapman and Hall/CRC (2017). URL
h ps://yihui.o g/kni /.
[34] Zuu , A.F., Ieno, E.N., Walke , N.J., Sa elie , A.A., Smi h, G.M., e al.: Mixed e ec s
models and ex ensions in ecology wi h R, ol. 574. Sp inge (2009).
