Estudo do problema de deformación dunha placa elástica rectangular usando o operador bilaplaciano

T aballo Fin de G ao
Es udo do p oblema de de o mación
dunha placa elás ica ec angula
usando o ope ado bilaplaciano
Ma ía del Ca men Mosque a Vázquez
2019/2020
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
GRAO DE MATEMÁTICAS
T aballo Fin de G ao
Es udo do p oblema de de o mación
dunha placa elás ica ec angula
usando o ope ado bilaplaciano
Ma ía del Ca men Mosque a Vázquez
2019/2020
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO DE COMPOSTELA
Dedicado a:
Meus pais e a ós po apoia me du an e es es anos.
José An onio Ál a ez Dios e Ma ía del Ca men Muñiz Cas iñei a
polo es o zo e axuda pa a ealiza es e aballo.

T aballo p opos o
Á ea de Coñecemen o: Ma emá ica Aplicada
Tí ulo: Es udo do p oblema de de o mación dunha placa
elás ica ec angula usando o ope ado bilaplaciano
B e e desc ición do con ido
Es uda ase o ope ado bilaplaciano pa a desc ibi un modelo de de o -
mación dunha placa cunhas de e minadas condicións de bo de. Dende
un pun o de is a p ác ico, abo da ase a esolución de di o p oblema
emp egando o mé odo de di e enzas ni as.
Recomendacións
Dominio da eo ía clásica de de i ación numé ica, o mé odo de di e en-
zas ni as pa a esol e ecuacións di e enciais en de i adas pa ciais,
e unha linguaxe de p og amación (Ma Lab).
Ou as obse acións
III
Índice xe al
Resumo VII
1. Ecuacións 3D da elas icidade lineal 5
1.1. Modeladodop oblema.............................. 5
1.2. Ecuacións de equilib io . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Ecuacións cons i u i as dos ma e iais elás icos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4. Ecuacións da elas icidade non lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Ecuacións da elas icidade lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Modelo de placa en exión 11
2.1. P incipio dos aballos i uais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Relacións cons i u i as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3. Hipó eses de Ki chho-Lo e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Es udo do p oblema disc e o 21
3.1. Cons ución dunha malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Disc e ización do ope ado bilaplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3. Cons ución da ma iz
Lh
............................ 29
4. Exemplos numé icos 37
4.1. Exemplo analí ico de comp obación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2. Exemplosdeplacas................................ 41
A. P og amas emp egados 45
Bibliog a ía 53
V

Capí ulo 1
Ob ención das ecuacións
idimensionais da elas icidade lineal
1.1. Modelado do p oblema
O desp azamen o e a ensión dun co po elás ico en espos a a unha de e minada ca ga son
p edecibles como a solución dun sis ema de ecuacións en de i adas pa ciais. O an edi o
sis ema de i a de leis ísicas en o ma de dous conxun os de ecuacións: as ecuacións de
equilib io e as ecuacións cons i u i as.
As ecuacións da elas icidade lineal ob éñense a pa i das ecuacións da elas icidade non
lineal, p escindindo dos e mos non lineais no enso de de o macións, como emos a con-
inuación. A ob ención das ecuacións de equilib io e as ecuacións cons i u i as dadas nes e
capí ulo p e ende se unha b e e in oducción ás mesmas, pa a unha mello comp ensión
da memo ia, non sendo a súa o mulación un obxec i o da mesma.
1.2. Ecuacións de equilib io
Nes a sección, comezamos es udando o desp azamen o e a ensión do co po elás ico en
espos a ás o zas aplicadas. Conside amos un co po que ocupa a clausu a dun dominio
Ω⊂R3
, sob e o que non ac úan o zas e ao que chamamos
congu ación de e e encia do
co po
. Calque a ou a congu ación do co po que poida oma ao aplica lle de e minadas
o zas queda es ablecida median e unha de o mación, denida po unha aplicación
φ
:
Ω→R3
que conse a a o ien ación (é dici , de
∇φ(x)>0
,
∀x∈Ω
) e inxec i a no abe o
Ω
. Á
imaxe
φ(Ω)
chama émoslle
congu ación de o mada do co po
denida pola de o mación
φ
.
5
6
CAPÍTULO 1. ECUACIÓNS 3D DA ELASTICIDADE LINEAL
Deno amos a imaxe po
φ
de calque a subconxun o
A⊂Ω
median e
φ(A) = ˜
A
. A di e en-
za en e a congu ación de o mada e a congu ación de e e encia do co po denomínase
desp azamen o
, que én dado polo campo ec o ial
u:= φ−I.
(1.1)
O obxec i o des a sección é de e mina a maio can idade de in o mación posible sob e a
de o mación do co po, o cal se a opa en equilib io es á ico baixo a acción das o zas apli-
cadas. As o zas aplicadas nunha congu ación de o mada ep esén anse polas densidades
˜
:
˜
Ω→R3
( o za olúmica),
˜g
:
˜
Γ1→R3
( o za supe cial),
onde
Γ1
é un subconxun o da on ei a
Γ
. Aplicando o axioma undamen al debido a Eule
e Cauchy ( e Ma da e [8]), pos úlase que o equilib io do co po coas o zas aplicadas se
eic e na exis encia dunha o za que ac úa na on ei a de calque a dominio
˜
A⊂˜
Ω
, que
depende só do pun o
˜x
e do ec o no mal ao co po no di o pun o, que deno amos po
n(˜x)
.
Como consecuencia, exis e un campo enso ial
˜
T:˜
Ω→M3×3
, al que
−
di
˜
T(˜x) = ˜
(˜x),∀˜x∈˜
Ω,
(1.2)
˜
T(˜x)˜n(˜x) = ˜g(˜x),∀˜x∈˜
Γ1,
(1.3)
˜
T(˜x)∈S3×3,∀˜x∈˜
Ω.
(1.4)
A es as ecuacións denomínaselles
ecuacións de equilib io
da congu ación de o mada. As
di as ecuacións poden e o mula se na congu ación de e e encia (coñecida) median e un
cambio de a iable. Pa a es e n denimos o p imei o enso de ensións de Piola-Ki chho
dado po
T(x)
:=
˜
T(φ(x))
co
∇φ(x),∀x∈Ω.
(1.5)
Tendo en con a a iden idade
(∇φ(x))−1T(x)=(∇φ(x))−1(
de
(∇φ(x)) ˜
T(φ(x)))(∇φ(x))− ,
é inmedia o e ica endo en con a (1.4) que o segundo enso de ensións de Piola-
Ki chho denido po
Σ(x) := (∇φ(x))−1T(x)
,
∀x∈Ω
(1.6)
é simé ico. Ademais, e i ícanse as seguin es ecuacións de equilib io na congu ación de
e e encia:
−
di
T(x) = (x),∀x∈Ω,
(1.7)
1.3. ECUACIÓNS CONSTITUTIVAS DOS MATERIAIS ELÁSTICOS
7
T(x)n(x) = g(x),∀x∈Γ1,
(1.8)
Σ(x)∈S3×3,∀x∈Ω,
(1.9)
onde
(x) = ˜
(φ(x))
,
g(x) = ˜g(φ(x))
.
1.3. Ecuacións cons i u i as dos ma e iais elás icos
O enso de ensións depende da de o mación inducida polas o zas aplicadas ao co po.
Es a dependencia eíc ese nas ecuacións cons i u i as do ma e ial. De (1.1) dedúcese que
φ(x) = x+u(x)
,
∀x= (x1, x2, x3)∈Ω,
(1.10)
polo an o,
(∂jφi) = (δij)+(∂jui), i, j = 1,2,3,
ou, esc i o ma icialmen e,
∇φ=I+∇u.
(1.11)
Calculemos ago a can o se de o ma o segmen o
[x, x +dx]
median e a de o mación
φ
,
supoñéndoa sucien emen e egula .
Denimos unha pa ame ización do segmen o de o mado como:
[0,1] →[x, x +dx]→R3
;s( ) = x+ dx ;φ(s( )) := ˜s( )
de modo que a lonxi ude do segmen o de o mado é:
lφ=Z1
0
||˜s0( )||d .
Po ou a pa e,
˜s( )=(φ1(s( )), φ2(s( )), φ3(s( )))
, en ón
˜s0( ) = ∇φ(s( ))s0( ) = ∇φ



dx1
dx2
dx3



,
8
CAPÍTULO 1. ECUACIÓNS 3D DA ELASTICIDADE LINEAL
de onde se deduce
||˜s( )|| = (˜s0( )) ·˜s0( ))1
2= ((˜s0( )) ˜s0( ))1
2= ((dx1dx2dx3)(∇φ(s( ))) ∇φ(s( )) 



dx1
dx2
dx3



)1
2.
Chamando
C= (∇φ) ∇φ
ao denominado
enso mé ico
ense
lφ=Z1
0
((dx1dx2dx3)C(s( )) 



dx1
dx2
dx3



)1
2d ,
polo que, a lonxi ude da b a depende á do enso mé ico
C
. Ademais, endo en con a
(1.11), ob emos
C= (I+∇u) (I+∇u)=(I+ (∇u) )(I+∇u) = I+∇u+ (∇u) + (∇u) ∇u.
Denindo o
enso de de o macións de G een-S Venan
E
=1
2(∇u+ (∇u) + (∇u) ∇u),
(1.12)
e i ícase que
C=I+ 2
E
.
(1.13)
Po ou a pa e, de ínese o
enso de de o macións de G een-S Venan linealizado
como
e(u) = 1
2(∇u(x)+(∇u(x)) ).
(1.14)
Finalmen e, dedúcese a pa i do eo ema de Ri lin-E icksen que a ecuación cons i u i a
pa a un ma e ial elás ico de Sain Venan -Ki chho é ( e Des uynde [3]):
Σ(x) = λ(
(
E
(x))I+ 2µ
E
(x)
,
∀x∈Ω,
(1.15)
sendo
λ
e
µ
as
cons an es de Lamé
do ma e ial. A ecuación cons i u i a (1.15) é in e ible
no sen ido de que
E
pódese exp esa como unción de
Σ
da seguin e o ma
E
(x) = 1 + ν
EΣ(x)−ν
E(
(Σ(x))I
,
∀x∈Ω,
sendo
ν
o
coecien e de Poisson
e
E
o
módulo de Young
, os cales e ican as desigualdades
E > 0
e
0< ν < 1
2
. Podemos exp esalos en e mos das cons an es de Lamé da seguin e
o ma
ν=λ
2(λ+µ)
,
E=µ(3λ+ 2µ)
λ+µ.
(1.16)
1.4. ECUACIÓNS DA ELASTICIDADE NON LINEAL
9
Tamén podemos exp esa os coecien es
λ
e
µ
en unción do módulo de Young e o coecien e
de Poisson.
A pa i da exp esión de
E
,
E=µ3λ+ 2µ
λ+µ=µλ
λ+µ+ 2.
Ago a emp egamos a exp esión (1.16) de
ν
e ob emos,
E=µ(2ν+ 2) = 2µ(ν+ 1).
Despexando
µ
, chegamos a:
µ=E
2(ν+ 1).
(1.17)
Despexando
λ
na exp esión (1.16) de
ν
e emp egando (1.17) ob emos a exp esión
λ=Eν
(1 + ν)(1 −2ν).
1.4. Ecuacións da elas icidade non lineal
Combinando as ecuacións de equilib io coas ecuacións cons i u i as do ma e ial de Sain
Venan -Ki chho, conclúese que a de o mación o ixinada no co po como espos a á p e-
senza das o zas aplicadas sa is ai o p oblema de on ei a non lineal:
−
di
T(x) = (x),∀x∈Ω,
(1.18)
φ(x) = x, x ∈Γ0,
(1.19)
T(x)n(x) = g(x),∀x∈Γ1,
(1.20)
Σ(x) = λ(
(E(x))I+ 2µE(x)
,
∀x∈Ω,
(1.21)
sendo
Γ0:= ∂Ω Γ1.
1.5. Ecuacións da elas icidade lineal
Es as ecuacións ob éñense a pa i das ecuacións non lineais da elas icidade baixo a hipó ese
de pequenas de o macións, é dici ,
φ(x) = x+u(x)
con
|∇u(x)|  1
,
∀x∈Ω.

10
CAPÍTULO 1. ECUACIÓNS 3D DA ELASTICIDADE LINEAL
Un caso pa icula impo an e des as ecuacións o múlase cando o co po es á ei o dun
ma e ial elás ico
isó opo
1
e
homoxéneo
2
. Tendo en con a o enso de de o macións lineali-
zado dado en (1.14) e a ecuación cons i u i a dun ma e ial de S Venan -Ki chho (1.15),
a pa e lineal do enso
T(x)
queda
T(x) = ∇φ(x)Σ(x) = ∇φ(x)(λ(
(e(x))I+ 2µe(x)) =
= (I+∇u(x))(λ(
(e(x))I+ 2µe(x)) =
=λ(
(e(x))I+ 2µe(x) + O(|∇u(x)|) =: σ(x) + O(|∇u(x)|).
(1.22)
Finalmen e, as ecuacións da elas icidade lineal pa a un ma e ial homoxéneo e isó opo
eñen dadas po
−
di
σ(x) = (x),∀x∈Ω,
u(x)=0,∀x∈Γ0,
σ(x)n(x) = g(x),∀x∈Γ1,
(1.23)
onde
σ(x) = λ(
(e(x))I+ 2µe(x)
sendo
e(x) = 1
2((∇u(x)) +∇u(x)).
1
O compo amen o elás ico do co po non depende da di ección conside ada.
2
Ten as mesmas p opiedades en odos os pun os.
Capí ulo 2
Modelo de placa en exión
Nes e capí ulo conside amos como e e encia un sis ema o ono mal. Supoñemos que
ω
é
un abe o de
R2
que se si úa no plano
x3= 0
, e que co esponde á sección media da placa.
Sexa
Ωε=ω×(−ε, ε)
un sólido que omamos como congu ación de e e encia, sendo a
súa on ei a la e al
Γε
0=∂ω ×(−ε, ε)
que conside amos empo ada.
Supoñemos que non ac úan o zas supe ciais e as o zas olúmicas eñen dadas po
=
( i)
con
i= 1,2,3
.
Reco damos a denición do enso de de o macións de G een-S Venan linealizado ( e
1.14)
eij(u) = 1
2(∂iuj+∂jui), i, j = 1,2,3.
Denimos o espazo das de o macións admisibles:
Vε= = ( i)∈[H1(Ωε)]3; i= 0
sob e
Γε
0, i = 1,2,3.
11
12
CAPÍTULO 2. MODELO DE PLACA EN FLEXIÓN
2.1. P incipio dos aballos i uais
Deno ando po
σ= (σij)
o enso de ensións
(σij =σji)
, en ón di o enso sa is ai o
p incipio dos aballos i uais ( e Des uynde [3]):
ZΩε
σijeij( ) = ZΩε
i i
,
∀ ∈Vε,
(2.1)
onde se adop a o con enio de que os índices la inos se oman de 1 a 3 e os g egos de 1
a 2, ademais de que os índices epe idos súmanse, así
σijeij( ) = σ11e11( ) + σ22e22( ) +
σ33e33( )+2σ12e12( )+2σ13e13( )+2σ23e23( )
. Nó ese que emp egando a ó mula de
G een ( e B ezis [1]) e omando
∈[C∞
c(Ω)ε]3
en (2.1), chégase ás seguin es ecuacións
de equilib io local:
∂iσij + j= 0
en
Ω, j = 1,2,3.
(2.2)
2.2. Relacións cons i u i as
Cando o ma e ial do co po é homoxéneo e isó opo, o modelo de elas icidade lineal p o-
po ciona as seguin es elacións cons i u i as en e ensións e de o macións:
σij =E
1 + νeij(u) + ν
1−2νepp(u)δij ,
(2.3)
onde
E
é o módulo de Young e
ν
o coecien e de Poisson.
A elación (2.3) pódese in e i pa a ob e :
eij(u) = 1 + ν
Eσij −ν
Eσppδij .
(2.4)
Tendo en con a (2.1), denimos o p oblema de elas icidade idimensional da seguin e
o ma:
(
A opa
uε∈Vε
al que:
a(uε, ) = l( )
,
∀ ∈Vε,
(2.5)
onde
a(·,·)
é a o ma bilineal denida po
a(u, ) = ZΩε
E
1 + ν{eij(u)eij( ) + ν
1−2νepp(u)eqq( )},
(2.6)
e
l(·)
é a o ma lineal denida po
l( ) = ZΩε
i i.
(2.7)
2.2. RELACIÓNS CONSTITUTIVAS
13
Emp egando o Teo ema de Lax-Milg am
1
( e B ezis [1]), pódese p oba que (2.5) en
solución única.
Conside amos o espacio de ensións:
Σε={τ= (τij)∈L2(Ωε)9
,
τij =τji},
do ado da no ma:
kτkΣε=

3
X
i,j=1
kτijk2
L2

1
2
.
Se
uε
é a solución de (2.5), asociámoslle o enso de ensións:
σε
ij =E
1 + ν{eij(uε) + ν
1−2νepp(uε)δij }.
En ón (2.5) é equi alen e á o mulación mix a de Hellinge -Reissne :





















A opa
(σε, uε)∈Σε×Vε
al que
ZΩε
(1 + ν
Eσε
ijτij −ν
Eσε
ppτqq)−ZΩε
τijeij(uε)=0
,
∀τ∈Σε,
ZΩε
σε
ijeij( ) = ZΩε
i i
,
∀ ∈Vε.
(2.8)
1
Sexa
Vε
un espazo de Hilbe e
a:Vε×Vε→R
unha o ma bilineal con inua e coe ci i a, en ón pa a
oda
l:Vε→R
lineal e con inua, exis e un único
∈Vε
al que
a(u, ) = l( )
, pa a odo
∈Vε
.

Capí ulo 3
Es udo do p oblema disc e o
Pa a simplica a no ación poñemos nes e capí ulo,
x1=x
e
x2=y
; así deno a ase po
ux
e
uy
as de i adas pa ciais espec o de
x
e
y
, espec i amen e; analogamen e, as de segunda
o de
uxx
,
uxy
,
uyx
e
uyy
, e así sucesi amen e. Po ou a pa e eco damos a denición do
ope ado bilaplaciano da unción egula
u
no pun o
(a, b)
,
∆2u(a, b) = uxxxx(a, b)+2uxxyy(a, b) + uyyyy(a, b).
(3.1)
3.1. Cons ución dunha malla
A pa i de ago a conside amos soamen e o caso dunha placa ec angula . Sexa
ω=
(0, Lx)×(0, Ly)
o dominio co esponden e á sección media da placa. Conside amos unha
malla uni o me con
N+ 2
pun os na di ección
x
e
M+ 2
pun os na di ección
y
de modo
que as lonxi udes in e nodais son
hx=Lx
N+1
e
hy=Ly
M+1
espec i amen e. Supoñemos que
se e ica que
hx=hy=h
, así podemos deni a malla como
ωh={(hi, hj),1⩽i⩽N, 1⩽j⩽M}.
21
22
CAPÍTULO 3. ESTUDO DO PROBLEMA DISCRETO
Figu a 3.1: Malla uni o me
ωh
e conxun o on ei a
∂ωh
.
Emp egando es a no ación, un pun o do in e io do conxun o
(i, j)
en po coo denadas
(hi, hj)
pa a
i= 1...N, j = 1...M
e un pun o da on ei a pe ence ao conxun o
∂ωh={(0, hj),(Lx, hj),0⩽j⩽M+ 1}[{(hi, 0),(hi, Ly),0⩽i⩽N+ 1}.
En
∂ωh
a solución é coñecida; en ón pa a e unha solución do p oblema é sucien e con
calcula a solución nos pun os de
ωh
.
3.2. DISCRETIZACIÓN DO OPERADOR BILAPLACIANO
23
3.2. Disc e ización do ope ado bilaplaciano
Pa a a disc e ización do ope ado bilaplaciano emp ega emos un desen ol emen o de Tay-
lo de o de 6 pa a unha unción no pun o
(i, j)
, coa malla que xa cons uímos.
Figu a 3.2: Esquema de ece pun os.
O desen ol emen o de Taylo de o de 6 p opo ciónanos un esquema de ece pun os. Pa a
a disc e ización emp egamos o seguin e esul ado.
Teo ema 3.1.
Sexa
S
un ec ángulo abe o que con eña a
P1, ... , P13
pun os do esquema
ep esen ado na Figu a 3.2 con
P7= (a, b)
, e sexa
:S→R
unha unción de clase 6 en
S
. En ón exis en
c1, ... , c13 ∈R
ales que:
13
X
i=1
ci (Pi) = h4( xxxx(a, b)+2 xxyy(a, b) + yyyy(a, b)) + O(h6).
(3.2)
Demos ación.
Esc ibimos p imei o o desen ol emen o de Taylo de o de 6 pa a unha
24
CAPÍTULO 3. ESTUDO DO PROBLEMA DISCRETO
unción
de dúas a iables a edo de
(a, b)
a aliado no pun o
(a+h, b +k)
,
(a+h, b +k) = (a, b) + h x(a, b) + k y(a, b)+
+1
2!(h2 xx(a, b)+2hk xy(a, b) + k2 yy(a, b))
+1
3!(h3 xxx(a, b)+3h2k xxy(a, b)+3hk2 xyy(a, b) + k3 yyy(a, b))
+1
4!(h4 xxxx(a, b)+4h3k xxxy(a, b)+6h2k2 xxyy(a, b)+4hk3 xyyy(a, b)+
+k4 yyyy(a, b)) + 1
5!(h5 xxxxx(a, b)+5h4k xxxxy(a, b)+
+ 10h3k2 xxxyy(a, b) + 10h2k3 xxyyy(a, b)+5hk4 xyyyy(a, b)+
+k5 yyyyy(a, b)) + O(hαk6−α),
sendo
α
índice de suma,
α= 0,1, ... , 6
no e mo do es o.
Ago a aplicamos a exp esión an e io a cada un dos pun os do esquema an e io men e
denido de 13 pun os:
(P1) = (a, b)−2h y(a, b) + (−2h)2
2! yy(a, b) + (−2h)3
3! yyy(a, b) + (−2h)4
4! yyyy(a, b)+
+(−2h)5
5! yyyyy(a, b) + O(h6),
(P2) = (a, b)−h( x(a, b) + y(a, b))+
+(−h)2
2! ( xx(a, b)+2 xy(a, b) + yy(a, b))+
+(−h)3
3! ( xxx(a, b)+3 xxy(a, b)+3 xyy(a, b) + yyy(a, b))+
+(−h)4
4! ( xxxx(a, b)+4 xxxy(a, b)+6 xxyy(a, b)+4 xyyy(a, b) + yyyy(a, b))+
+(−h)5
5! ( xxxxx(a, b)+5 xxxxy(a, b) + 10 xxxyy(a, b) + 10 xxyyy(a, b)+
+ 5 xyyyy(a, b) + yyyyy(a, b)) + O(h6),
(P3) = (a, b)−h y(a, b) + (−h)2
2! yy(a, b) + (−h)3
3! yyy(a, b) + (−h)4
4! yyyy(a, b)+
+(−h)5
5! yyyyy(a, b) + O(h6),
3.2. DISCRETIZACIÓN DO OPERADOR BILAPLACIANO
25
(P4) = (a, b) + h( x(a, b)− y(a, b))+
+h2
2! ( xx(a, b)−2 xy(a, b) + yy(a, b))+
+h3
3! ( xxx(a, b)−3 xxy(a, b)+3 xyy(a, b)− yyy(a, b))+
+h4
4! ( xxxx(a, b)−4 xxxy(a, b)+6 xxyy(a, b)−4 xyyy(a, b) + yyyy(a, b))+
+h5
5! ( xxxxx(a, b)−5 xxxxy(a, b) + 10 xxxyy(a, b)−10 xxyyy(a, b)+
+ 5 xyyyy(a, b)− yyyyy(a, b)) + O(h6),
(P5) = (a, b)−2h x(a, b) + (−2h)2
2! xx(a, b) + (−2h)3
3! xxx(a, b) + (−2h)4
4! xxxx(a, b)+
+(−2h)5
5! xxxxx(a, b) + O(h6),
(P6) = (a, b)−h x(a, b) + (−h)2
2! xx(a, b) + (−h)3
3! xxx(a, b) + (−h)4
4! xxxx(a, b)+
+(−h)5
5! xxxxx(a, b) + O(h6),
(P7) = (a, b)
,
(P8) = (a, b) + h x(a, b) + h2
2! xx(a, b) + h3
3! xxx(a, b) + h4
4! xxxx(a, b) + h5
5! xxxxx(a, b)+
+O(h6),
(P9) = (a, b)+2h x(a, b) + (2h)2
2! xx(a, b) + (2h)3
3! xxx(a, b) + (2h)4
4! xxxx(a, b)+
+(2h)5
5! xxxxx(a, b) + O(h6),
(P10) = (a, b)−h( x(a, b)− y(a, b))+
+h2
2! ( xx(a, b)−2 xy(a, b) + yy(a, b))+
+h3
3! (− xxx(a, b)+3 xxy(a, b)−3 xyy(a, b) + yyy(a, b))+
+h4
4! ( xxxx(a, b)−4 xxxy(a, b)+6 xxyy(a, b)−4 xyyy(a, b) + yyyy(a, b))+
+h5
5! (− xxxxx(a, b)+5 xxxxy(a, b)−10 xxxyy(a, b) + 10 xxyyy(a, b)−5 xyyyy(a, b)+
+ yyyyy(a, b)) + O(h6),
(P11) = (a, b) + h y(a, b) + h2
2! yy(a, b) + h3
3! yyy(a, b) + h4
4! yyyy(a, b) + h5
5! yyyyy(a, b)+
+O(h6),

26
CAPÍTULO 3. ESTUDO DO PROBLEMA DISCRETO
(P12) = (a, b) + h( x(a, b) + y(a, b))+
+h2
2! ( xx(a, b)+2 xy(a, b) + yy(a, b))+
+h3
3! ( xxx(a, b)+3 xxy(a, b)+3 xyy(a, b) + yyy(a, b))+
+h4
4! ( xxxx(a, b)+4 xxxy(a, b)+6 xxyy(a, b)+4 xyyy(a, b) + yyyy(a, b))+
+h5
5! ( xxxxx(a, b)+5 xxxxy(a, b) + 10 xxxyy(a, b) + 10 xxyyy(a, b)+5 xyyyy(a, b)+
+ yyyyy(a, b)) + O(h6),
(P13) = (a, b)+2h y(a, b) + (2h)2
2! yy(a, b) + (2h)3
3! yyy(a, b) + (2h)4
4! yyyy(a, b)+
+(2h)5
5! yyyyy(a, b) + O(h6).
Tendo en con a as exp esións pa a
(Pi)
,
i= 1 ... 13
an e io es, ob emos un sis ema de
ecuacións lineais sendo
ci
,
i= 1 ... 13
as incógni as. Iden icamos en ambos memb os da
exp esión (3.2) os coecien es das de i adas que apa ecen a a o de 4:

































1
↓2
↓3
↓4
↓5
↓6
↓7
↓8
↓9
↓1
↓0 1
↓1 1
↓2 1
↓3
→1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x→0−h0h−2h−h0h2h−h0h0
y→ −2h−h−h−h0 0 0 0 0 h h h 2h
xx →0h2
20h2
22h2h2
20h2
22h2h2
20h2
20
xy →0h20−h20 0 0 0 0 −h20h20
yy →2h2h2
2
h2
2
h2
20 0 0 0 0 h2
2
h2
2
h2
22h2
xxx →0−h3
60h3
6
−4h3
3
−h3
60h3
6
4h3
3
−h3
60h3
60
xxy →0−h3
20−h3
20 0 0 0 0 h3
20h3
20
xyy →0−h3
20h3
20 0 0 0 0 −h3
20h3
20
yyy →−4h3
3
−h3
6
−h3
6
−h3
60 0 0 0 0 h3
6
h3
6
h3
6
4h3
3
xxxx →0h4
24 0h4
24
2h4
3
h4
24 0h4
24
2h4
3
h4
24 0h4
24 0
xxxy →0h4
60−h4
60 0 0 0 0 −h4
60h4
60
xxyy →0h4
40h4
40 0 0 0 0 h4
40h4
40
xyyy →0h4
60−h4
60 0 0 0 0 −h4
60h4
60
yyyy →2h4
3
h4
24
h4
24
h4
24 0 0 0 0 0 h4
24
h4
24
h4
24
2h4
3





























































c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
c10
c11
c12
c13




























=

































0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
h4
0
2h4
0
h4

































Xa que as las 5, 12 e 14 da ma iz ampliada do sis ema son linealmen e dependen es,
podemos p escindi delas quedando un sis ema de ecuacións lineal con 13 ecuacións e 13
3.2. DISCRETIZACIÓN DO OPERADOR BILAPLACIANO
27
incógni as. Simplicando
h
coas súas co esponden es po encias, podemos esc ibi :






























1
↓2
↓3
↓4
↓5
↓6
↓7
↓8
↓9
↓1
↓0 1
↓1 1
↓2 1
↓3
→1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x→0−1 0 1 −2−1 0 1 2 −1 0 1 0
y→ −2−1−1−1 0 0 0 0 0 1 1 1 2
xx →01
201
221
201
221
201
20
xy →010−1 0 0 0 0 0 −1 0 1 0
yy →21
2
1
2
1
20 0 0 0 0 1
2
1
2
1
22
xxx →0−1
601
6
−4
3
−1
601
6
4
3
−1
601
60
xxy →0−1
20−1
20 0 0 0 0 1
201
20
xyy →0−1
201
20 0 0 0 0 −1
201
20
yyy →−4
3
−1
6
−1
6
−1
60 0 0 0 0 1
6
1
6
1
6
4
3
xxxx →01
24 01
24
2
3
1
24 01
24
2
3
1
24 01
24 0
xxyy →01
401
40 0 0 0 0 1
401
40
yyyy →2
3
1
24
1
24
1
24 0 0 0 0 0 1
24
1
24
1
24
2
3



























































c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
c9
c10
c11
c12
c13





























=





























0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
1





























O sis ema an e io é compa ible de e minado xa que o de e minan e da ma iz asociada é
1
3
e polo an o dis in o de
0
. Así ob emos os alo es seguin es das cons an es:
c1= 1
c2= 2
c3=−8
c4= 2
c5= 1
c6=−8
c7= 20
c8=−8
c9= 1
c10 = 2
c11 =−8
c12 = 2
c13 = 1
28
CAPÍTULO 3. ESTUDO DO PROBLEMA DISCRETO
Comp obamos que se anulan os é mos co esponden es ás de i adas de o de 5 endo en
con a as cons an es que calculamos an e io men e.
Coecien es de
xxxxx
:
c5
(−5h)5
5! +c6
(−h)5
5! +c8
h5
5! +c9
(2h)5
5! +c4
h5
5! +c10
(−h)5
5! +c12
h5
5! =h5
5! (−25c5−c6+
c8+ 25c9−c2+c4−c10 +c12) = 0
Coecien es de
xxxxy
:
c2
5h5
5! −c4
5h5
5! +c10
5h5
5! +c12
5h5
5! =5h5
5! (−c2−c4+c10 +c12)=0
Coecien es de
xxxyy
:
c2
−10h5
5! +c4
10h5
5! −c10
−10h5
5! +c12
10h5
5! =10h5
5! (−c2+c4−c10 +c12)=0
Coecien es de
xxyyy
:
c2
−10h5
5! +c4
10h5
5! −c10
−10h5
5! +c12
10h5
5! =10h5
5! (−c2+c4−c10 +c12)=0
Coecien es de
xyyyy
:
c2
−5h5
5! +c4
5h5
5! +c10
−5h5
5! +c12
5h5
5! =5h5
5! (−c2+c4−c10 +c12)=0
Coecien es de
yyyyy
:
c5
(−2h)5
5! +c6
(−h)5
5! +c8
h5
5! +c9
(2h)5
5! +c4
(−h)5
5! +c10
(−h)5
5! +c12
h5
5! =h5
5! (−25c5−
c6+c8+ 25c9−c2+c4−c10 +c12)=0
Pa a oda unción
u
denimos
Uij =u(hi, hj), i = 1, ... N, j = 1, ... M,
sendo
(hi, hj), i = 1, ...N, j = 1, ...M
pun os da malla
ωh
. Ademais do ámolos da o de
seguin e:
˜u= [U11, U21, ... UN1, U12, ... , UN2, ... ... , UNM ] .
Coa de andi a no ación
Uij
é a
k
-ésima compoñen e de
˜u
, con
k=i+ (j−1)N
. Analoga-
men e e e ímonos a calque a compoñen e do ec o de
RN M
con doble índice
(i, j)
ou con
3.3. CONSTRUCIÓN DA MATRIZ
LH
29
índice
k=i+ (j−1)N
indis in amen e. Denimios o ope ado lineal
Lh:RN M →RN M
como:
(Lh˜u)k=1
h4(20Ui,j −8(Ui−1,j +Ui+1,j +Ui,j−1+Ui,j+1)+
+ 2(Ui−1,j−1+Ui−1,j+1 +Ui+1,j−1+Ui+1,j+1)+
+ (Ui−2,j +Ui+2,j +Ui,j−2+Ui,j+2),
(3.3)
cuxa ma iz asociada deno amos amén po
Lh
se non houbese isco de con usión. Cons uí-
mos a di a ma iz na seguin e sección e e emos que a ma iz esul an e é pen adiagonal
po bloques g azas á o den dos nodos elixida an e io men e. Emp egando (3.3) e (3.2)
ob emos que
(Lh˜u)k= ∆2u(hi, hj) + O(h2),
pa a oda unción
u∈C6(ω)
. En ón a disc e ización é consis en e de o de dúas, é dici ,
que o ope ado disc e o ap oxima ao con inuo nos pun os da malla coa o de an e io ( e
Lui [7]).
3.3. Cons ución da ma iz
Lh
Figu a 3.3: Malla
ωh
xun o cos nodos c icios.
No noso p oblema xa coñecemos a solución nos pun os da on ei a así como a súa de i ada
no mal nos mesmos, en ón abonda con esol e o p oblema pa a os pun os do in e io do

Capí ulo 4
Exemplos numé icos
4.1. Exemplo analí ico de comp obación
Nes e capí ulo empezamos comp obando, median e un exemplo cuxa solución coñecemos
de an emán, a bondade dos cálculos ealizados nos capí ulos an e io es. Es o pe mi i anos
e ica se es á ben ap oximado o p oblema (2.23) e amén se a o de de con e xencia é a
espe ada.
Conside amos
ω= (0,1) ×(0,1)
e a unción
u(x, y) =
sen
2(πx)
sen
2(πy),
(4.1)
sendo o seu bilaplaciano,
∆2u(x, y) = 8 π4(3
sen
2(πx)
sen
2(πy) +
cos
2(πx)
cos
2(πy)
−2
cos
2(πx)
sen
2(πy)−2
cos
2(πy)
sen
2(πx)).
Pa a que a unción (4.1) sexa solución do p oblema (2.23) debemos oma ,
F3=2
3
ε3E
1−ν2∆2u(x, y).
Po simplicidade, nes e p imei o exemplo supoñemos que a cons an e que mul iplica ao
bilaplaciano é a unidade, é dici ,
2
3
ε3E
1−ν2= 1.
Reco demos que pa a esol e o p oblema
eó ico impuxemos as condicións de que an o a unción como a súa de i ada se anulan
sob e
∂ω
.
Pa a esol e de o ma numé ica o p oblema conside amos a malla que cons uímos no
capí ulo an e io , coa no ación
( h)k=F3(ih, jh)
con
k=i+ (j−1)N, i = 1, ... , N, j =
1, ... , M
, e esol emos o sis ema pa a ob e unha solución ap oximada
uh
.
37
38
CAPÍTULO 4. EXEMPLOS NUMÉRICOS
Pa a comp oba a con e xencia do mé odo, emos a elación en e algúns alo es de
N
e
M
e o e o come ido na ap oximación. Es e alo calculámolo median e a no ma euclídea
e a disc e a de
L2
, eco damos a denición des a úl ima:
|x|h=h|x|2.
Na seguin e áboa mos amos a no ma euclídea e a no ma
L2
disc e a do e o come ido
eh=uh−u
sendo
u
a solución exac a de (1.7) e
uh
a solución ap oximada. O e o ela i o coa no ma
euclídea se ía:
e ,2=|eh|2
|u|2
pa a os di e en es alo es de
M
e
N
, ob emos así a seguin e áboa,
4.1. EXEMPLO ANALÍTICO DE COMPROBACIÓN
39
N M h
|eh|2|eh|he ,2
5 5 0.1667 0.4558 0.0759 0.2026
10 10 0.0909 0.2312 0.0210 0.0560
20 20 0.0476 0.1185 0.0056 0.0150
40 40 0.0244 0.0603 0.0015 0.0039
80 80 0.0123 0.0304 0.0004 0.0010
160 160 0.0062 0.0153 0.0001 0.0003
Táboa 4.1: E os pa a o exemplo numé ico.
Na Figu a (4.1) ep esen amos
|eh|2
on e a
h
ob éndose unha ec a de penden e 1, o
cal indica que o mé odo é con e xen e de o de 1 coa no ma euclídea. Na Figu a (4.2)
ep esen amos a no ma
L2
disc e a do e o on e a
h
en escala lineal. Na Figu a (4.3)
ep esen amos o mesmo en escala log-log. A penden e da ec a na Figu a (4.3) é 2, polo que
se con ma que o mé odo é con e xen e de o de 2 na no ma
L2
disc e a, ( e Lui [7], p.32).
Figu a 4.1: No ma euclídea do e o on e
h
.
40
CAPÍTULO 4. EXEMPLOS NUMÉRICOS
Figu a 4.2: No ma
L2
disc e a do e o on e
h
.
Figu a 4.3: No ma
L2
disc e a do e o on e
h
en escala log-log.
4.2. EXEMPLOS DE PLACAS
41
4.2. Exemplos de placas
A con inuación emos que oco e cunha placa de silicio ao aplica lle dis in os ipos de
o zas: unha o za cons an e en oda a placa, unha o za a edo do cen o da placa e nula
no es o, e po úl imo unha o za nega i a a edo do cen o da placa e posi i a no es o.
Tomamos unha placa cad ada de
10−3
m de lado. Vemos ago a cales son as cons an es ísi-
cas do ma e ial
1
: o módulo de Young
E= 1,3×1011
Pa, o coecien e de Poisson
µ= 0,25
,
o semiespeso
ε= 0,5×10−6
m e, po úl imo, omamos
N=M= 40
.
Conside amos ago a un p imei o exemplo de o za: oma emos
F3=−1000
Pa, cons an e
en oda a placa. Na Figu a (4.4) mos amos a solución numé ica co esponden e. Obse a-
mos que a placa exiona a a un desp azamen o máximo meno que
10−4
m. Obse amos
amén que a condición de empo amen o se espe a nos bo des.
Figu a 4.4: Solución co esponden e á o za cons an e en oda a placa.
Conside amos ago a unha o za cons an e a edo do cen o da placa,
F3=−1000
Pa, e
nula no es o ( e Figu a 4.5).
1
Pa=Pascal, m=me o.

42
CAPÍTULO 4. EXEMPLOS NUMÉRICOS
Figu a 4.5: Fo za a edo do cen o da placa.
Na Figu a 4.6 emos a co esponden e solución do p oblema ao aplica lle a o za an e io .
Obse amos que a placa exiona a a un desp azamen o máximo meno que
4×10−6
m,
in e io ao caso an e io .
Figu a 4.6: Solución
uh
a edo do cen o da placa.
Po úl imo conside amos unha o za que oma a edo do cen o da placa un alo nega i o
4.2. EXEMPLOS DE PLACAS
43
F3=−3000
Pa e un alo posi i o no es o
F3= 100
Pa ( e Figu a 4.7).
Na Figu a 4.8 mós ase a solución co esponden e a es a o za. No emos que apa ece un
e ec o de alabeado causado pola in e acción de o zas de di e en e sen ido.
Figu a 4.7: Fo za nega i a a edo do cen o da placa e posi i a no es o.
Figu a 4.8: Solución co esponden e á o za nega i a a edo do cen o da placa e posi i a
no es o.
Apéndice A
P og amas emp egados
Os p og amas que seguen o on modicados a pa i es dos códigos p opo cionados en Joly
[6].
P og amas pa a o exemplo de alidación
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%% An In oduc ion o Scien i ic Compu ing %%%%%%%
%%%%%%% I. Danaila, P. Joly, S. M. Kabe & M. Pos el %%%%%%%
%%%%%%% Sp inge , 2005 %%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%% Modi icado po Ma ía del Ca men Mosque a Vázquez %%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
%% Ma lab Solu ion o exe cise 1 - p ojec 7
%% ELAS: elas ic de o ma ion o a hin pla e
%% Solu ion o he pla e p oblem (linea equa ion)
%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
clea all; close all;
%
% 1) Cons uc ion o he linea sys em
%
% numbe o poin s
nx=80;ny=80;
45

Bibliog a ía
[1] B ezis, H.,
Func ional Analysis, Sobole Spaces and Pa ial Die en ial Equa ions
, 1s
ed., Sp inge , New Yo k, 2011.
[2] Cia le , P.G. e Des uynde , Ph.,
A Jus ica ion o he Two-Dimensional Linea Pla e
Model, Pa 1: De i a ion o he Two-Dimensional Model om he Th ee-Dimensional
Model
, ICES REPORT 77-09, The Uni e si y o Texas a Aus in, 1977
[3] Des uyde , Ph.,
Ma hema ical analysis o hin pla e models
, 1s ed., Sp inge , Be lin,
1996.
[4] E ans, L.C.,
Pa ial Die en ial Equa ions
, 2nd ed, Ame ican Ma hema ical Soc.,
Be keley, 2010.
[5] He nandez-Ci e, M. A. e Pas o González, J. A.,
Un cu so de geome ía di e encial
,
47, Consejo Supe io de In es igaciones Cien ícas, Mad id, 2010.
[6] Danaila, I., Joly, P., Kabe , S.M., Pos el, M.,
An In oduc ion o Scien ic Compu ing:
Twel e Compu a ional P ojec s Sol ed wi h MATLAB
, Sp inge , New Yo k, 2007.
[7] Lui, S. H.,
Nume ical Analysis o Pa ial Die en ial Equa ions
, 1s ed., Wiley, Ho-
boken, New Je sey, 2011.
[8] C. Ma da e, Mé hodes ma héma iques en élas ici é,
h ps://www.ljll.ma h.upmc.
/Ma hModel/enseignemen /polycopies/ma da e.pd
.
53