Publicacions
Ma emá iques,
Vol
36
(1992),
789-806
.
A
bs ac
COHOMOLOGIAS
ELIPTICAS
(Un
ensayo
in oduc o io)
GUILLERMO
N1011
.ENO
A
la
memo7-ia
de
un
amigo
:
Pene
Menal
Le
a
and
,Ci
be
any
anglos
hen
he
known
o mula
sena
+
/j)
=
son
n
:
cos
p
J-
cos
a
son
/3
becomes
unde
he subs i u ion
x

=
son
a,
y
=
son
,0,
son
(a
-l-
Q)
=
x

1
-
y2
- -
y

l
-
x
2
=
:
F(x,
y)
.
This
acldi ion
o mula
is
an
example
o
a
"1
"
o mal g oup
Law"
which
showup
in
many
con ex s
in
Mode n
Ma hema ics
.
In
Algeb aic
Topology
sui able
Cohomology
heo ies
induce
a
Fo mal
G oup
Laws,
he
Ellip ic
Cohomologies
a e he
o es
who
ealize
he
Eule
acldi ion
o mula
(1778)
:
F(x,
y)
=
:
(x

R(y)
y

R(x)/1
-
ex'y
2
)
.
Fo
R(z)
=
1
-
26x
2
+
ez
4
he
abo e
case
co esponds
o
e
=
0, 6
=
2
.
In
his
su ey
pape
we
de ine
his
Cohomology
heo ies
and
es-
ablish
i s
ela ionship
wi h Global
analysis
(A iyah-Singe
The-
o em)
and
Modula
ho os ollowing
ideas
o
Landwebe ,
Hi ze-
b uch
e
al
.
"En e
las
disciplinas
in elec uales,
la
Ma emá-
ica
ocupa
una
posición
única
.
Desde
muchos
pun os de
is a
es
un
a e,
pe o
ambién
es
el
lenguaje
de
las
ciencias
.
A
pesa
de
que
g an
pa e
de
la
Ma emá ica
p o iene
de
uen es
ex-
e mks,
mucha
de
su
c ea i idad
es á
mo i ada
in e namen e
." 1
.
M
.
SINGER
.
"Po
la
glo ia
del
espí i u
humano"
.
G
.
T
.
JA-
COBI
Una
de
las
ca ac e ís icas
undamen ales
de
la
in es igación
en
Ma-
emá ica
(básica)
hoy
día,
es
la
in e elación
y
aslapamien o
de
sus
di e en es
amas
;
és as
se en elaza a
a
eces
de
la
mane amás
inespe ada
790

G
.
MORENO
y poco
e iden e
pa a
da
luga
a
nue as
eo ías,
desde
las
cuales
los
p oblemas
de
in es igación
iejos
oman
un nue o
en oque
y
dan
luga
a
nue os
p oblemas
con
nue as
soluciones
.
Es e
es
el
caso
del
ema
que
nos ocupa,
"Cohomologías
Elíp icas",
que
se
pod ía
desc ibi
como
la
in e sección
de
a ias
impo an es
amas,
cada
una
con
su
p oblemá ica
especí ica,
a
sabe
:
Topología
Algeb aica,
Teo ía
de
los
Núme os
(La Teo ía
de
las
cu as
elíp icas),
Análisis
Global
(El
índice
de
A iyah-Singe )
y
Física
Teó ica
(El
modelo
sigma no
lineal)
.
En
es e a ículo
in oduc o io
a a emos
de
es ablece
los
di e en es
ing edien es necesa ios
pa a
la
de inición
de
dichas
eo ías
p ocu ando
ob ene
los
an eceden es
necesa ios
pa a
pode
comp ende
las
in e ela-
ciones
de
las
que
hablábamos
;
la
idea
undamen al
de
la
exposición
es
hace
esal a
una
cons an e
en
la
in es igación
ma emá ica que
consis e
en
no a
que
en
muchas
ocasiones
dos
p oblemas
(o
más)
nos
lle an
a
la
necesidad
de
esol e
un
mismo
p oblema
numé ico,
es
deci ,
se
educen
a
es udia
un
mismo
o malismo
.
Eso no
quie e
deci
en
p ime a
ins an-
cia
que
los
p oblemas
sean
el
mismo
o de
la
misma
na u aleza,
empe o
en
ocasiones
nos
hace
adi ina
causas
o
con ex os
es uc u ales
de
los
dos
p oblemas
pa a que
el
modo
en
que
se
p esen an
y
la
na u aleza
de
las
soluciones
de uno
engan
que
e
con
la
del
o o
.
En
nues o
caso
dichos
p oblemas
son
el
es udio
de
la
Cohomologías
gene alizadas
complejo-o ien ables
en
Topología
Algeb aica
.,
el
es udio
de
las
cu as
elíp icas
llamados
Cuá icas
de Jacobi
y
el
es udio
de
cie os
in a ian es
bajo
cobo dismo de
a iedades
llamados
géne os
(donde
la
signa u a
es
el
p incipal
ejemplo)
.
Es os
es
emas
nos
lle an
a un
mismo
o malismo,
a
sabe ,
el
es udio
de
cie os
"Loga i mos
de
Leyes
o males de
G upo", que
son
los
que
se
pueden
esc ibi
como
in eg ales
elíp icas
co espondien es
a
las
unciones
seno gene alizado de Jacobi
.
En
la
Sección
1
da emos
un
epaso
de
dicho
lenguaje o mal
;
en
la
Sección
2
es udia emos
cie as
cu as
elíp icas,
las
cuá icas
de
Jacobi,
desde
un pun o de
is a
o mal
;
en
la
Sección
3
es udia emos
el
o ma-
lismo
ligado
a
una
eo ía
de
cohomología
(Complejo
o ien able)
;
en
la
Sección
4 de ini nos las
cohomologías
elíp icas
ecogiendo
los
da os
de
las
Secciones
2
.y
3
.
En
la
Sección
5
e isa emos
la
noción
de
loga i mo
o mal,
en
la
Sección
6
e emos
lo
que
se
en iende
po géne o
elíp ico
que
es
;
po
deci lo
de
alguna
mane a,
la
o a
ca a de
la
moneda
espec o
a Coho-
mologías
Elíp icas
.
En
la
Sección
7
discu i emos
la
elación
en e
cie o
géne o
elíp ico
y
el
índice
de
A iyah-Singe
del
ope ado
de
Di ac
.
En
la
Sección
8
a a emos
de
mo i a
el
es udio
de
la
elación
de
los
emas
expues os
COHOMOLOGíAS
ELÍPTICAS

79
1
con
la
p oblemá ica
de
la
eo ía
de
supe
cue das,
e i iendo
al
lec o
a
o as
uen es
más
comple as,
dado
nues o
ca ác e
de
u is as
en
el
ema
.
Es e
a ículo
su gió
de
plá icas
y
con e encias
impa idas
en
la
sección
de
Ma emá icas
de
la
Uni e sidad
Au ónoma
de
Ba celona
en
Bella e a,
en
los
depa amen os
de
Ma emá icas
del
CINVESTAV
y
UAM-Iz apa-
lapa,
en
el
Ins i u o
de
Ma emá icas
de
la
U
.N
.A.M
.
y
en
el
CIMAT
en
Guanajua o
.
A
odos
los
colegas
de
es as
ins i uciones
que
pa icipa on
ag adecemos
sus
comen a ios,
muy
en
especial
aL
.
As ey
y
a
X
.
Gómez-
Mon
.
"Pe o
nos
p egun a nos
:
¿El
c ecimien o
del
conocimien o
ma emá ico
ha á
e en ualmen e
imposible
pa a
un
solo
in es igado
en ende
odas
las
pa es
de dicho conocimien o?
En
espues a
pe mí aseme
señala
cómo
in e na-
men e,
po
la
misma
na u aleza
de
las
cien-
cias
ma emá icas,
cualquie
p og eso
eal
lle a
den o de
sí el
descub imien o de
he amien-
as
más
incisi as
y
mé odos
simples
los
cuales
al
mismo
iempo
acili an
la
comp ensión
de
las
eo ías
p e ias
y
eliminan
los
an e io es
de-
sa ollos
inás
escab osos
.
Po
la
adquisición
ele
es as
he amien as
más
p ecisas
y
mé odos
simples,
el
in es igado
po
sí
mismo
ob iene
éxi o
o ien ándose
en
las
di e en es
amas
de
las
ma emá icas
.
En
ninguna
o a
ciencia
es
posible
hace
es o
en
el
mismo
g ado"
.
DAVID
I-IILBERT
(1900)
1
.
Repaso
sob e
Ley
de
G upo
Fo mal
De inamos
a
1V1
como
un
anillo
(g aduado)
con
1 y
a x
ina
inde e mi-
nada
(de
g ado
-2)
AI[[x]]
deno a
el
anillo
de
se ies
o males
en
x
con
coe icien es
en
1V1,
un
elemen o
ípico es
de
la
o ma
,
.>o
a
i
x
i
aá
E
11~1
.
_2
i
.
M[[x,
y]] deno a
el
anillo
de
se ies
o males en
dos
a iables
x
e
y
(de
g ado
-2
ambas) con
coe icien es
en
M
.
Un
elemen o
ípico es
de
la
o ma
F
(x,
y)
=
1
:ai.jx'y~

con
a?7
E
M_2(i+
.7)
.
¡,j>0
79
2

G
.
MORENO
De inición
.
Una
ley
de
g upo
o lilal
sob e
M
es
un
elemen o
F(x,
y)E
M[[x,
y]],
es o
es,
una
se ie
o mal
que
cumple
las
siguien es
p opiedades
:
1)
F(x,
0)
=
x,
F(0,
y)
=
y
(Iden idad)
2)
F(x,
y)
=
F(y,
x)
(Conmu a i idad)
3)
F(F(x,
y),
z)
=
F(x,
F(y,
z))
(Asocia i idad)
4)
Exis e
i(x)
E
M[[x]]
al
que
F(x,
i(x))
=
0
(La
exis encia
de
un
in e so)
.
Se
puede
e i ica
" ácilmen e
que
las
p opiedades
de ini o ias
son
las
es
p ime as,
ya
que
4)
se
puede
de i a
de
ellas
.
Obse amos
ambién
que
2)
nos
dice
que
ai
.7
=
aji

pa a oda
i,
j
>
0
.
Ejemplos
.

(a)
F(x,
y)
=
x
+
y
"La
ley
adi i a"
es deci
que
ao1
=
a
j
o
=
1
y
ai7
=
0
en
odos
los
o os casos
.
Sepuede
deci
inmedia amen e
que
i(x)
=
-x
.
(b)

F(x,y)
=
x
+
y
+
xy
=
(1
+
x)(1
+
y)
-
1
-es
deci
aoj
=
ajo
=
1
y
al,
=
1
ai7
=
0
en
odos
los
o os
casos,
es a
ley
de
g upo
o mal
es
conocida
como
"mul iplica i a"
es
ácil
deduci
ambién
que
i(x)

1
+
x
-
1
n>1
El
eo ema
p incipal
de
la
eo ía
de
g upos
o males
al
menos
en
lo
que
a
nues a
discusión concie ne
es
:
Teo ema
de Laza d
.
Exis e
un
anillo
L
g aduado
conmu a i o
y
con
1
y
una
ley
de
g upo
o mal
F
u
(x,
y)
sob e
L
al
que
pa a
odo
o o anillo
M
y
se ie
o mal
F(x,
y)
sob e
él,
exis e
O
:
L
->
M
homomo ismo
de
anillos
g aduadoscon
la
p opiedad
de
que
si
Fu
(x,
y)
=
i,j>o
i,j>o
Ciixiyi,

Cij
E
L,

en onces
(Ci
j)
x
,
Y
J
.
Es e
eo ema
se
puede
esumi
diciendo
:
dada
una
ley
de
g upo
o mal
sob e
M
a
és a
le
co esponde
(un
único)
homomo ismo
de
anillos
de
L
a
M
.
Tal
.
anillo
uni e sal
se
puede
cons ui
:
L
=
71
[ i,
2,
...
]
donde
el
g ado
de
i
es
+2(i
+J)
+
2
.
Pa a
una
comple a
e sión
de
es a
sección
ecomendamos
el
lib o
de
M
.
Hazewinkel,
ea
[H]
en
la
bibliog a ía
.
COHOMOLOGíAS
13LlPTICAS

79
3
2
.
G upos
o males
y
unciones
elíp icas
Tomemos
e
y
8
como
pa áme os
y
de inamos
R(x)
=
1
-
28x
2
+
Ex4
un
polinomio
de
cua o
g ado,
y
con
él
de inamos
d
g(x)
=
loxR(' )
Es a
g(x)
es
conocida
como
una
in eg al
elíp ica
de Jacobi ( ea [Ha]
en
la
bibliog a ía)
.
Pa a
cie as
sus i uciones
de
los
pa áme os
6
y
E
es a
g(x)
nos
es
conocida
:
=
a csen
x
.
=
a csenh
x
.
=
a csenl
x
la
unción
in e sa
del
seno
lemniscá ico
.
Si0<
~<
lyE=k
2
y8=
k221,g(x)= x

d-

=
O
(
1-
T
2
)(1+
k2T2
)
a csen
Jx
;
es a
es
la
unción
in e sa
de
lo
que
se
conoce
coleo
el
seno de
Jacobi
que
in e iene
cen almen e
en
el
p oblema
del
péndulo
ma emá-
ico
.
El
nomb e
de
elíp ico,
como
es
bien
sabido,
p o iene
de
que
el
in en a
calcula
la
longi ud
de un segmen o
de
elipse
nos
conduce
i emediable-
men e
al
cálculo
.
d
e
in eg ales
de
es e ipo,
que
no
se
pueden
e alua
con
unciones
elemen ales
.
Nues os
es
p ime os ejemplos
p o ienen
del
caso
ci cula ,
hipe bólico
y
lemniscá ico
( ea
[Ma] en
la
bibliog a ía,
páginas
96
en
adelan e)
._
De
la
igonome ía
elemen al
sabemos
que
pa a
ángulos
dados
a
y
0
la ley
de
adi i idad del
seno
es
sen(a
+,3)
=
sen
a
cos
Q
+
cos
n
sen,3
.
Si
hacemos
la
sus i ución
x
=
sen
a

y
=
sen
l
y
eco damos
que
cos
e
p
=
1
-
sen2
~3
y
simila inen e
pa a
a,
podemos
e
que
sen(a
+
/
0)
=
x

1
-
-y
2
+
y

1
-
-x
2
-
x

R
.(y)
+
y

R(x)
pa a
E
=
0 y
6
=
2
en
la
ó mula
de
a iba
.
Cla amen e
F(x,
y)
=
x

R(y)
+
y

R(x)
es
una
ley
de
g upo
o mal,
e i ique
que cumple
las
es
p opiedades
mencionadas
.
Si
E
=
0
y
6
=
á
g(x)
=
o
d
T T
Si
E
=
0
y
6
=
-
á
g(x)
=
o
+
T
Si
E
=
-1
y 6
=
0
g(x)
--
o
d
T T

79
4

G
.
MORENO
La
ley
de
adi i idad
pa a g
-1
(x),
es
el
caso gene al
de
la
an e io ,
y
es
la
ley
de
g upo
o mal
FEll
(x,
y)
=
x

R(y)
+
y

R(x)
1
-
ex2y2
que
es
conocida
como
la
ley
de
adi i idad
de
Eule
y da a
de
1768
.
(Vea
[Ma]
pa a
una
demos ación, especialmen e
el
Capí ulo
IV)
.
Dado
un
polinomio
P(x)
de
g ado
3 ó
4,
a
la
cu a
que
de ine
la
ecuación
y
2
=
P(x)
es
conocida
como
una
cu a
elíp ica
;
o
écnicamen e
una
cu a
algeb aica
de
géne o
1
;
a
la
in eg al g
(x)
=
o

P
(T)
se
le
conoce
como
in eg al
elíp ica
asociada
a
la
cu a
y
2
=
P(x) y a
la
unción
g
-1
(x)
como
la
unción
elíp ica
asociada,
a
la
cu a
.
Exis e
una
eo ía
gene al
pa a
asociación
de
una
ley
de
g upo
o mal
a
una
cu a
elíp ica
dada
;
lo
que
noso os
hicimos
a iba
ue
en ende
el
caso
pa icula
y
2
=
1-
26x
2
+
ex
4
=
R(x)
conocida
como
la
cuá ica
de
Jacobi
.
(Vea
el
lib o
de
Sil e man
[Si]
en
la
bibliog a ía,
especialmen e
el
Capí ulo
IV)
.
Acla amos
que en oda
la
discusión
de
es a sección
hemos
conside ado
unciones
a
alo es
eales
de inidas
sob e
R, pe o
pa a
e i a
posibles
p oblemas
écnicos
podemos
pensa las
de inidas
y con
alo es
en
C,
los
núme os
complejos
.
3
.
Ley
de
g upo
o mal
y
opología
algeb aica
.
Sea
E*(
)
una
eo ía
de
cohomología
mul iplica i a
con
anillo
espec o
E
y
coe icien es
7
*
(E)
y
CP°°
=
limCP`
el
espacio p oyec i o
complejo
in ini o
.
De inición
.
La
eo ía
de
cohomología
E*(
)
es
complejo
o ien able
si
E*(CPw)
=
7 *(E)[[x]]
un
anillo
de
se ies
o males
sob e
el
anillo
g aduado
7
*
(E)
con x
una
inde e minada
de
dimensión
-2
.
Ejemplos
.
(1)
Si
E
- (
)-H*
(
;
7L),
en onces
enemos
la
cohomología
o dina ia
H*(CP°°
;
Z)
=
7L
[x]
C
71[[x]]
.
(2)
Si
E*(
)
=
K*()
la
K- eo ía
compleja,
en onces
K*(CP°°)
_
7L[[x]]
donde x
=

-1
y

es el
haz de
Hop
canónico
sob e
CPI
.
(3)
Si
E*(
)
=
MU*
(
)
es
el
cobo dismo
complejo,
en onces
en-
d emos
E*(CP°°)
=7 *(MU)[[x]]
.
(4)
E*(
)
=
KO*(
)
la
K- eo ía
.
eal
no
es
complejo
o ien able
.
(Ve
[Sw,
Capí ulos
17
y
18]
en
la
bibliog a ía)
.
COHOMOLOGíAS
HLíP
TICAS

79
5
Como
H*
(CP°°
;
Z)
es
lib e
de
o sión
en onces
E*(CP'
x
CP°°)
=
E*(CP
-
)
®
E*(CP
-
)
=7

(E)[[xi,x2]]
.
7
.lE)
Si
~®y
deno a
el
p oduc o
enso ial
de
haces
lineales
sob e
CP°°
x
CP',
en onces
exis e
y
:
CP
°°
x
CP°°
-->
CP',
el
mapeo
clasi ican e,
el
cual
induce
una
mul iplicación
sal o
homo opía
en
CP'
.
Al e na i amen e,
p puede
se
de inida
como
la
mul iplicación
de
lazos
en
CP
-=
K(7L,
2)
=
QK(7
;
3)
Suponiendo que
E*(
)
es
complejo-o ien able,
end emos
que
p*
:
E*(CP')
->
E*(CP'
x
CP')
de ine
un homo ismo
de
anillos
de
se ies
o males
p,*
:
i
.
(E)
[[x]]
->
7
F*
(E)
[[XI, x2]]-
Luego
p*
(x)
=
Fc(xl,x2)
es
la
ley
de
g upo
o mal
asociada
a
E*()
.
Ejemplos
.
(a)
Si
E*
(
)
=
H*
(
;
7L),
en onces
no
es
di ícil
e
que
Fila
(x
1,
x2)
_
x
l
+
x2
ea
ejemplo
(a)
de
la
Sección
1
.
(b) Si
E*(
)=K*(
)en onces
K*(CP
1
xCP1)
=7L[[xl,x2]],
donde
x
l
=
~
-
1
yx2
=
l
-
1,
deno ando ~ y
y
dos
copias del
haz
canónico
de
líneas
de
Hop , en onces
FK(x1,
x2)
=
(x1
+
1
)(x2
+
1)
-
1
=
XI
+
x2
+
xlx2
Vea
ejemplo
(b)
de
la
Sección
1
.
El
eo ema
undamen al
sob e
la
elación
en e
eo ías
de
cohomologías
complejo
o ien ables
y
leyes
de
g upo
o mal
es
:
Teo ema
de
Quillen
.
El
anillo
de
Laza d
L
es
isomo o
al
anillo
de
cobo dismo
complejo
7
*
(MU)
y
la
ley
uni e sal
de
g upo
o mal
sob e
L
es
Fu(xl, x2)
=
FAIU(xi,
x2),
la
ley
de
g upo
o mal
asociada a
MU*(
)
.
Pa a
una
demos ación
de
es e
esul ado,
ea
el
lib o
de
J
.
F
.
Adams
[Ad] en
la
bibliog a ía
.
En
nues a
in e p e ación
del
eo ema de Laza d
en
la
Sección
1
habíamos
señalado
que
L
.y
F
(x,
y)
como
obje os
uni e -
sales
en
cie o
con ex o
i
.e
.,
es os
"dominaban"
a
oda
pa eja
M,
F(x,
y)
.
796

G
.
MORENO
De
aquí
que
el
eo ema
de
Quillen
nos
dice
que
odas
las
eo ías
de
co-
homología
complejo
o ien ables
es án
dominados
po
MU*(
)
y
conse-
cuen emen e
po
"encima"
de
MU*(
)
no hay
eo ías
complejo
o ien a-
bles
;
a ando
de
se
más
p ecisos,
conside emos
el
diag ama
7
* (
)-
;. .
.-MU*(
)
-
'
..
.K
*
(
)-H
*
(
;
Z)
;
donde
7 *(
)
deno a
la
cohomología
es able
y
las
lechas
la
ac o ización
del
mapeo
("edge")
a is a
en
la
sucesión
espec al
de
A iya,h-Hi zeb uch,
en onces
las
eo ías
de
cohomología
a
la
de echa
de
MU*
(
)
son
complejo
o ien ables
y a
la
izquie da
de
MU*
( )
no
admi en
el
o malismo
de
las
leyes
de
g upo
o mal
.
Es o
quizá
señale
al
lec o
lo
inaccesible
que
es
el
calcula
la
cohomo-
opía
de
cualquie
espacio
o en
o as
palab as
cuan o
más
a
la
izquie da
es emos
en
el
diag ama
más
di ícil
es
el
calcula
pe o
más
in o mación
se
ob iene
y
cuan o
más
a
la
de echa
es
menos
di ícil
calcula
pe o
meno
es
la
in o mación
que
se
ob iene
.
(Pa a
es a sección
ecomendamos
la
lec u a
de
[Ad,
Sección
2])
.
4
.
Cohomologías
elíp icas
De
acue do
con
la
Sección
3
oda
eo ía
de
cohomología
complejo
o ien-
able iene
una
ley
de
g upo
o mal
asociada,
bien
nos
pudie amos
p e-
gun a
:
¿Dada
una
ley
de g upo
o mal
sob e
cie os coe icien es
ap opi-
ados
exis e
una
eo ía
de
cohomología
complejo
o ien able
con
esos coe-
icien es
y
con
dicha
ley
de
g upo
o mal
asociada?
No
se
conoce
una
espues a
comple a
a
es a
p egun a,
pe o
pa a
casos
pa icula es
se
puede
ob ene
una
espues a a i ma i a
;
no ablemen e
se
iene
.
Teo ema
(Landwebe -S ong,

1985)
.

Pa a

FE11(x,
y)

_
-
¿EX
yEí
')
1
-

,
la
ley
de
g upo
o mal
asociada a
la
cuá ica
de
Jacobi
ex
y
2
=
R(x)
en
la
Sección
2,
exis e
una
eo ía
de
cohomología
complejo-
o ien able
que
deno amos
po
E11*(
)
;
llamada
la
cohomología
elíp ica
.
(Vea
los
a ículos
de
Landwebe
en
[La]
.
5
.
El
loga i mo
de
una
ley
de
g upo
o mal
Poco
dijimos
ace ca de
cohomologías
elíp icas
en
la
Sección
4
más
allá
de su
de inición
.
Pa a
eso
necesi amos
más
he amien as
eó icas
.
De inición
.
Sea
F(x,
y)
una
ley
de g upo
o mal
sob e
M
un
anillo
(como
a iba)
la
di e encial
o mal
asociada
a
F(x,
y)
es
Ejemplos
.
(a)
F(x,
y)
=
x
+
y
en onces
F
=
1,
así
W(T)
=
d
.
(b)
Si
F(x,y)
=
x
+
y
+
xy
en onces
=
=
1
+
y

W(T)
=
1+7'
.
(c)
F(x,y)
=
FF11(x,
y)
_

x
a
y)+y~~(
. )
en onces
al
,
=

R(y)
+
áx
G(x,
y)
donde
G(x,
y) es cie a
unción
que
depende de
. y
(¡ e i-
íquelo!)
.
así
es
que
Wcl1(T)
=
R(T)
2
1
dT
.
La
o ma
di e encial
W
(T)
es
de
pa icula
impo ancia,
dado
que
deja
in a ian e
a
F(x,
y)
es o
es,
W(F(T,
S))
=
W(T),
.y
cumple ambién
que
W(0)
=
dT
.
Además,
W
(T)
es
la,
única
con
las
dos
p opiedades
desc i as
.
(Vea
[Si,
Capí ulo
IV,
Sección
4,
páginas
1
.19
y
120])
.
De inición
.
El
loga i mo
o mal
de
F(x,y)
es
:
La
exponencial
o mal
de
F(x,
y)
es la
se ie
de
po encias
in e sa
a
109F(T)
y
se
deno a
exp
(T), es
deci ,
Ejemplos
.
W(T)
-
C
OF
(X
,
y) (0
T)~
-1
d
E
M[[T]]d
.
(a)
Si
F
(x,
y)
=
x
+y,
en onces
log
F
(T)
=
T
=
exp(T)
.
(b)
Si

F(x,
y)

=

.x
+
.y
+
.xy,

log
F
(T)

=

(1
+
T)
-1
dT

=
1T
"
00
,
,y
luego
exp(T)
=
1
:
l_
.
En
é minos
de
la
no-
n-1

,1=1
ación
del cálculo, log
1
,(T)
=
log(1
+
T) y expF
(T)
=
e
T
-
1
.
(c)
Pa a
FEl,(x,
y),
enemos
logF11(T)
=
.~
M
7F11
(T)
=
R(T)
21
dT
=

dT

=
9( )
.
R
(T)
Es a
úl ima
es la
in eg al
elíp ica
es udiada
en
la,
Sección
2
y
exp(T)
=
9
-1
(T)
la
unción
seno gene alizada
.
Aho a
bien,
no emos
que
(1-2zT+
1
,2
)
-1
=
E
P,
1
(z)T`
es la
unción
gene ado a
(le
los
"polino nios
de
n>0
Legend e"
P,,(z),
los
cuales
es án
dados
po
la
ó mula
Po(z)
=
1,

P,
z
(z)
=
COHOMOLOGíAS
ELÍPTICAS

79
7
109F(T)
=
J
W(T)d
E
M
®
Q[[T]]
.
log
(exp
F
(T))
=
eXPF(logF(T))
=
1
.

(2n
-
2 )!

,L_2,
.
(-1)

2'E !(n
-
)!
(n,
-
2 )!
z
804

G
.
MORENO
A
lo
que
el
mismo
Wi en
esponde
:
El
ope ado
en
cues ión
es
el
que
co esponde
a
"la
supe ca ga
del
modelo sigma no
lineal
supe -
simé ico"
en
la
Mecánica
Cuán ica
( ea
[G
.S
.W
.,
Vol
.
1
;
páginas
160-161])
.
Wi en
concluye
en
el
a ículo
ci ado
:
"Las
Cohomologías
Elíp icas
es án
des inadas
a,
ilumina
la
mis e iosa
gene alización
de
la
geome ía
(Riemaniana)
o dina ia
y
la
opología
que
ep esen a
la
eo ía
de Cue das
.
Unas
Teo ías
de
Cohomología
Elíp ica
p opiamen e
desa -
olladas
se i án
pa a
a
e i
alguna
luz
sob e
lo
que
la
eo ía
de
cue das
ealmen e
signi ica"
.
Uno
de
los
p oblemas
cen ales
pa a
dicha
gene alización
es
que
el
Análisis
Ma emá ico
que hay
de ás
del
lado
izquie do
en
la
igualdad
ipo
A iyah
Singe
no
es
un
análisis
ma emá ico
sob e
ina
a iedad
M
de
dimensión
ini a
(Análisis
global
"Clásico")
sino
que
se
end ía
que
hace sob e
"el
g upo
de
lazos
de
una
a iedad'',
lo
que
esul a
se
una
a iedad
de
dimensión
in ini a
( ea [P-SI)
.
Es e
análisis
no
es á
del
odo
desa ollado
.
(Vea
el
a ículo
de
Segal
[Se]
en
las
e e encias
sob e
es e
pun o)
.
Conclusión
.
Podemos
esumi nues a
discusión
en
el
siguien e
diag ama
:
COHOMOLOGíAS
GENERALIZADAS

ÍNDICE
DEOPERADORES
COMPLEJO-ORIENTABLES

ELIPTICOS
EN
VARIEDADES
LEYES
DE
GRUPOS
FORMALES

GÉNEROS
Loga i mo
de
una
Ley
de
G upo
Fo mal

~>

Loga i mo
de un
Géne o
Si
nos
es ingi nos
al
caso
elíp ico
podemos
ce a
el
diag ama
.
en
su
pa e
in e io
(en
doble
lecha)
y
ansi a
de una
columna
a
la
o a
.
Bibliog a ía
[Ad]
J
.
F
.
ADAMS,
"S able
homo opy
and
gene alized
homology,"
Uni-
e si y
o
Chicago
P ess
;
1974
.
[A-S]
M
.
ATIYAH
AND
I
.
M
.
SINGER,
The
index
o
ellip ic
ope a o s
III,
Annals
o
Ma h
.
87
(1968),
546-604
.
[C
-
H
-
S]
S
.
CHERN,
F
.
HIRZEBRUCH
AND
J
.
P
.
SERRE,
On
he
index
o
a
ibe ed
mani old,
P oc
.
Ame
.
Ma h
.
Soc
.
8
(1957)
.
[F-U]
D
.
S
.
FREED
AND
K
.
K
.
UHLENBECK,
"I zs an ons
and
ou -mani olds,"
M
.S
.RA
.
Publica ions
1,
Sp inge
Ve lag,
1984
.

COHOMOLOGÍAS
ELÍPTICAS

80
5
[C-S-W]
M
.
B
.
CREEN,
J
.
H
.
SWINVARZ
ANDE
.
WITTEN,
"Sz1pe -
s ing
Theo y,"
Camb idge
Monog aphs
en
Ma he na ical
Physics,
1987
.
[H]
M
.
HAZEWINKEL,
''Fonmal
g oups
and
applica ions,"
Acade nic
P ess
.
1978
.
[Ha]
H
.
HANCOCK,
'`Ellip ic
in eg als,"
Do e
Publica ions,
1958
.
[Hi]
F
.
HIRZEBRUCI-I,
"Topological
me hods
in
Algeb aic
Geome y,"
Sp inge -Ve lag,
1966
.
[Ku]
R,
.
S
.
KULKARNI,
"Index
Theo ems
o
A iyah-Bo -Pa odi
and
cu a u e
in a ian s,"
Se nina e
de
Ma héma iques
Supe ieu es,
Les
p esses
de
L'Uni e si é
de
Mon eal,
1975
.
[La]
P
.
S
.
LANDWEBER,
"Ellip ic
cu es
and
modula
o ms
in
Alge-
b aic
Topology,"
P oceedings,
P ince on,
Lec u e
No es
in
Ma h
.,
Sp inge -Ve lag
1326
;
1986
.
[Mi-S ]
I
.
MILNOR
AND
J
.
STASHEF
;
"Cha ac e is ic
classes,"
Annals
o
Ma h
.
S udies
Numbe
76,
P ince on
Uni e si y
P ess,
1974
.
[Ala]
A
.
1
.
MARI<USEVICI-1,
"Cu as
y
unciones
ma a illosas,"
Cole-
cción
de
Ma e ná icas
Popula es,
Ed
.
MIR
.
[Mo]
C
.
MORENO,
The
Hu ewicz
ho no no phism
and
he
Rie n-
man-Roch-Hi zeb uch
heo e a,
P ep in
CINVESTAV
53
(1989)
.
[Och]
S
.
OCl'IANINE,
Su
les
gene es
mul iplica i s
dé inis
pa des
in-
eg ales
ellip iques,
Topology
26
(1987),
143-151
.
[P-SI
A
.
PI ESSLEY,
G
.
SEDAL,
"Loop
g oups,"
Ox o d
Uni e si y
P ess,
1988
.
[Se]
C
.
SEDAL,
"Ellip ic
coho nology,"
Sé ninai e
Bou baki
1987-1988
695,
Fé ie ,
1988
.
[Se ]
J
.
P
.
SERRÉ,
"Cou s
d'a -i la ne ique,"
P esses
Uni e si ai es
de
F anco,
Pa is,
1970
.
[Si] I
.
M
.
SINGER,
Di e en ial
geo ne y,
ibe
bundles
and
physical
heo ies,
Physics
Today
Ala ch
(1982),
41-42
.
[Sil]
J
.
H
.
SILVERMAN,
'`The
a i hme ic
o
ellip ic
cu es,"
G adua e
Tex s
in
Ma h
.
106,
Sp inge -Ve lag
;
1986
.
[S ]
R
.
STONG,
"No es
on
cobo dism
heo y,"
P ince on
Uni e si y
P ess,
1968
.
[Sw]
R
.
M
.
SWITZER,
"Algeb aic
Topology
:
Homo opy
and
Ilo nolojgy,"
Sp inge -Ve lag,
1975
.
[Tau]
C
.
H
.
TAUBES,
S
ac ions
and
ellip ic
gene a,
Comm
.
i
n
A a h
.
Physics
(1988)
.
80
6
G
.
MORENO
[T ]
F
.
TREVES,
"Basic
linea
pa ial
di e en ial
equa ions,"
Aca-
demic
P ess,
1975
.
[Wi]
E
.
WITTEN,
Ellip ic
gene a
and
quan um
ield
heo y,
Comm
.
i
n
Ma h
.
Physics
109
(1981),
525-536
.
Depa amen o
de
Ma emá icas
CINVESTAV,
Apdo
.
Pos al 14-740
07000
MÉXICO
D
.F
.
Rebu
el
17 de
Juny
de 1991