Cohomologias elípticas (un ensayo introductorio)

Publicacions Ma emá iques, Vol 36 (1992), 789-806 . A bs ac COHOMOLOGIAS ELIPTICAS (Un ensayo in oduc o io) GUILLERMO N1011 .ENO A la memo7-ia de un amigo : Pene Menal Le a and ,Ci be any anglos hen he known o mula sena + /j) = son n : cos p J- cos a son /3 becomes unde he subs i u ion x  = son a, y = son ,0, son (a -l- Q) = x  1 - y2 - - y  l - x 2 = : F(x, y) . This acldi ion o mula is an example o a "1 " o mal g oup Law" which showup in many con ex s in Mode n Ma hema ics . In Algeb aic Topology sui able Cohomology heo ies induce a Fo mal G oup Laws, he Ellip ic Cohomologies a e he o es who ealize he Eule acldi ion o mula (1778) : F(x, y) = : (x  R(y) y  R(x)/1 - ex'y 2 ) . Fo R(z) = 1 - 26x 2 + ez 4 he abo e case co esponds o e = 0, 6 = 2 . In his su ey pape we de ine his Cohomology heo ies and es- ablish i s ela ionship wi h Global analysis (A iyah-Singe The- o em) and Modula ho os ollowing ideas o Landwebe , Hi ze- b uch e al . "En e las disciplinas in elec uales, la Ma emá- ica ocupa una posición única . Desde muchos pun os de is a es un a e, pe o ambién es el lenguaje de las ciencias . A pesa de que g an pa e de la Ma emá ica p o iene de uen es ex- e mks, mucha de su c ea i idad es á mo i ada in e namen e ." 1 . M . SINGER . "Po la glo ia del espí i u humano" . G . T . JA- COBI Una de las ca ac e ís icas undamen ales de la in es igación en Ma- emá ica (básica) hoy día, es la in e elación y aslapamien o de sus di e en es amas ; és as se en elaza a a eces de la mane amás inespe ada 790  G . MORENO y poco e iden e pa a da luga a nue as eo ías, desde las cuales los p oblemas de in es igación iejos oman un nue o en oque y dan luga a nue os p oblemas con nue as soluciones . Es e es el caso del ema que nos ocupa, "Cohomologías Elíp icas", que se pod ía desc ibi como la in e sección de a ias impo an es amas, cada una con su p oblemá ica especí ica, a sabe : Topología Algeb aica, Teo ía de los Núme os (La Teo ía de las cu as elíp icas), Análisis Global (El índice de A iyah-Singe ) y Física Teó ica (El modelo sigma no lineal) . En es e a ículo in oduc o io a a emos de es ablece los di e en es ing edien es necesa ios pa a la de inición de dichas eo ías p ocu ando ob ene los an eceden es necesa ios pa a pode comp ende las in e ela- ciones de las que hablábamos ; la idea undamen al de la exposición es hace esal a una cons an e en la in es igación ma emá ica que consis e en no a que en muchas ocasiones dos p oblemas (o más) nos lle an a la necesidad de esol e un mismo p oblema numé ico, es deci , se educen a es udia un mismo o malismo . Eso no quie e deci en p ime a ins an- cia que los p oblemas sean el mismo o de la misma na u aleza, empe o en ocasiones nos hace adi ina causas o con ex os es uc u ales de los dos p oblemas pa a que el modo en que se p esen an y la na u aleza de las soluciones de uno engan que e con la del o o . En nues o caso dichos p oblemas son el es udio de la Cohomologías gene alizadas complejo-o ien ables en Topología Algeb aica ., el es udio de las cu as elíp icas llamados Cuá icas de Jacobi y el es udio de cie os in a ian es bajo cobo dismo de a iedades llamados géne os (donde la signa u a es el p incipal ejemplo) . Es os es emas nos lle an a un mismo o malismo, a sabe , el es udio de cie os "Loga i mos de Leyes o males de G upo", que son los que se pueden esc ibi como in eg ales elíp icas co espondien es a las unciones seno gene alizado de Jacobi . En la Sección 1 da emos un epaso de dicho lenguaje o mal ; en la Sección 2 es udia emos cie as cu as elíp icas, las cuá icas de Jacobi, desde un pun o de is a o mal ; en la Sección 3 es udia emos el o ma- lismo ligado a una eo ía de cohomología (Complejo o ien able) ; en la Sección 4 de ini nos las cohomologías elíp icas ecogiendo los da os de las Secciones 2 .y 3 . En la Sección 5 e isa emos la noción de loga i mo o mal, en la Sección 6 e emos lo que se en iende po géne o elíp ico que es ; po deci lo de alguna mane a, la o a ca a de la moneda espec o a Coho- mologías Elíp icas . En la Sección 7 discu i emos la elación en e cie o géne o elíp ico y el índice de A iyah-Singe del ope ado de Di ac . En la Sección 8 a a emos de mo i a el es udio de la elación de los emas expues os COHOMOLOGíAS ELÍPTICAS  79 1 con la p oblemá ica de la eo ía de supe cue das, e i iendo al lec o a o as uen es más comple as, dado nues o ca ác e de u is as en el ema . Es e a ículo su gió de plá icas y con e encias impa idas en la sección de Ma emá icas de la Uni e sidad Au ónoma de Ba celona en Bella e a, en los depa amen os de Ma emá icas del CINVESTAV y UAM-Iz apa- lapa, en el Ins i u o de Ma emá icas de la U .N .A.M . y en el CIMAT en Guanajua o . A odos los colegas de es as ins i uciones que pa icipa on ag adecemos sus comen a ios, muy en especial aL . As ey y a X . Gómez- Mon . "Pe o nos p egun a nos : ¿El c ecimien o del conocimien o ma emá ico ha á e en ualmen e imposible pa a un solo in es igado en ende odas las pa es de dicho conocimien o? En espues a pe mí aseme señala cómo in e na- men e, po la misma na u aleza de las cien- cias ma emá icas, cualquie p og eso eal lle a den o de sí el descub imien o de he amien- as más incisi as y mé odos simples los cuales al mismo iempo acili an la comp ensión de las eo ías p e ias y eliminan los an e io es de- sa ollos inás escab osos . Po la adquisición ele es as he amien as más p ecisas y mé odos simples, el in es igado po sí mismo ob iene éxi o o ien ándose en las di e en es amas de las ma emá icas . En ninguna o a ciencia es posible hace es o en el mismo g ado" . DAVID I-IILBERT (1900) 1 . Repaso sob e Ley de G upo Fo mal De inamos a 1V1 como un anillo (g aduado) con 1 y a x ina inde e mi- nada (de g ado -2) AI[[x]] deno a el anillo de se ies o males en x con coe icien es en 1V1, un elemen o ípico es de la o ma , .>o a i x i aá E 11~1 . _2 i . M[[x, y]] deno a el anillo de se ies o males en dos a iables x e y (de g ado -2 ambas) con coe icien es en M . Un elemen o ípico es de la o ma F (x, y) = 1 :ai.jx'y~  con a?7 E M_2(i+ .7) . ¡,j>0 79 2  G . MORENO De inición . Una ley de g upo o lilal sob e M es un elemen o F(x, y)E M[[x, y]], es o es, una se ie o mal que cumple las siguien es p opiedades : 1) F(x, 0) = x, F(0, y) = y (Iden idad) 2) F(x, y) = F(y, x) (Conmu a i idad) 3) F(F(x, y), z) = F(x, F(y, z)) (Asocia i idad) 4) Exis e i(x) E M[[x]] al que F(x, i(x)) = 0 (La exis encia de un in e so) . Se puede e i ica " ácilmen e que las p opiedades de ini o ias son las es p ime as, ya que 4) se puede de i a de ellas . Obse amos ambién que 2) nos dice que ai .7 = aji  pa a oda i, j > 0 . Ejemplos .  (a) F(x, y) = x + y "La ley adi i a" es deci que ao1 = a j o = 1 y ai7 = 0 en odos los o os casos . Sepuede deci inmedia amen e que i(x) = -x . (b)  F(x,y) = x + y + xy = (1 + x)(1 + y) - 1 -es deci aoj = ajo = 1 y al, = 1 ai7 = 0 en odos los o os casos, es a ley de g upo o mal es conocida como "mul iplica i a" es ácil deduci ambién que i(x)  1 + x - 1 n>1 El eo ema p incipal de la eo ía de g upos o males al menos en lo que a nues a discusión concie ne es : Teo ema de Laza d . Exis e un anillo L g aduado conmu a i o y con 1 y una ley de g upo o mal F u (x, y) sob e L al que pa a odo o o anillo M y se ie o mal F(x, y) sob e él, exis e O : L -> M homomo ismo de anillos g aduadoscon la p opiedad de que si Fu (x, y) = i,j>o i,j>o Ciixiyi,  Cij E L,  en onces (Ci j) x , Y J . Es e eo ema se puede esumi diciendo : dada una ley de g upo o mal sob e M a és a le co esponde (un único) homomo ismo de anillos de L a M . Tal . anillo uni e sal se puede cons ui : L = 71 [ i, 2, ... ] donde el g ado de i es +2(i +J) + 2 . Pa a una comple a e sión de es a sección ecomendamos el lib o de M . Hazewinkel, ea [H] en la bibliog a ía . COHOMOLOGíAS 13LlPTICAS  79 3 2 . G upos o males y unciones elíp icas Tomemos e y 8 como pa áme os y de inamos R(x) = 1 - 28x 2 + Ex4 un polinomio de cua o g ado, y con él de inamos d g(x) = loxR(' ) Es a g(x) es conocida como una in eg al elíp ica de Jacobi ( ea [Ha] en la bibliog a ía) . Pa a cie as sus i uciones de los pa áme os 6 y E es a g(x) nos es conocida : = a csen x . = a csenh x . = a csenl x la unción in e sa del seno lemniscá ico . Si0< ~< lyE=k 2 y8= k221,g(x)= x  d-  = O ( 1- T 2 )(1+ k2T2 ) a csen Jx ; es a es la unción in e sa de lo que se conoce coleo el seno de Jacobi que in e iene cen almen e en el p oblema del péndulo ma emá- ico . El nomb e de elíp ico, como es bien sabido, p o iene de que el in en a calcula la longi ud de un segmen o de elipse nos conduce i emediable- men e al cálculo . d e in eg ales de es e ipo, que no se pueden e alua con unciones elemen ales . Nues os es p ime os ejemplos p o ienen del caso ci cula , hipe bólico y lemniscá ico ( ea [Ma] en la bibliog a ía, páginas 96 en adelan e) ._ De la igonome ía elemen al sabemos que pa a ángulos dados a y 0 la ley de adi i idad del seno es sen(a +,3) = sen a cos Q + cos n sen,3 . Si hacemos la sus i ución x = sen a  y = sen l y eco damos que cos e p = 1 - sen2 ~3 y simila inen e pa a a, podemos e que sen(a + / 0) = x  1 - -y 2 + y  1 - -x 2 - x  R .(y) + y  R(x) pa a E = 0 y 6 = 2 en la ó mula de a iba . Cla amen e F(x, y) = x  R(y) + y  R(x) es una ley de g upo o mal, e i ique que cumple las es p opiedades mencionadas . Si E = 0 y 6 = á g(x) = o d T T Si E = 0 y 6 = - á g(x) = o + T Si E = -1 y 6 = 0 g(x) -- o d T T 79 4  G . MORENO La ley de adi i idad pa a g -1 (x), es el caso gene al de la an e io , y es la ley de g upo o mal FEll (x, y) = x  R(y) + y  R(x) 1 - ex2y2 que es conocida como la ley de adi i idad de Eule y da a de 1768 . (Vea [Ma] pa a una demos ación, especialmen e el Capí ulo IV) . Dado un polinomio P(x) de g ado 3 ó 4, a la cu a que de ine la ecuación y 2 = P(x) es conocida como una cu a elíp ica ; o écnicamen e una cu a algeb aica de géne o 1 ; a la in eg al g (x) = o  P (T) se le conoce como in eg al elíp ica asociada a la cu a y 2 = P(x) y a la unción g -1 (x) como la unción elíp ica asociada, a la cu a . Exis e una eo ía gene al pa a asociación de una ley de g upo o mal a una cu a elíp ica dada ; lo que noso os hicimos a iba ue en ende el caso pa icula y 2 = 1- 26x 2 + ex 4 = R(x) conocida como la cuá ica de Jacobi . (Vea el lib o de Sil e man [Si] en la bibliog a ía, especialmen e el Capí ulo IV) . Acla amos que en oda la discusión de es a sección hemos conside ado unciones a alo es eales de inidas sob e R, pe o pa a e i a posibles p oblemas écnicos podemos pensa las de inidas y con alo es en C, los núme os complejos . 3 . Ley de g upo o mal y opología algeb aica . Sea E*( ) una eo ía de cohomología mul iplica i a con anillo espec o E y coe icien es 7 * (E) y CP°° = limCP` el espacio p oyec i o complejo in ini o . De inición . La eo ía de cohomología E*( ) es complejo o ien able si E*(CPw) = 7 *(E)[[x]] un anillo de se ies o males sob e el anillo g aduado 7 * (E) con x una inde e minada de dimensión -2 . Ejemplos . (1) Si E - ( )-H* ( ; 7L), en onces enemos la cohomología o dina ia H*(CP°° ; Z) = 7L [x] C 71[[x]] . (2) Si E*( ) = K*() la K- eo ía compleja, en onces K*(CP°°) _ 7L[[x]] donde x =  -1 y  es el haz de Hop canónico sob e CPI . (3) Si E*( ) = MU* ( ) es el cobo dismo complejo, en onces en- d emos E*(CP°°) =7 *(MU)[[x]] . (4) E*( ) = KO*( ) la K- eo ía . eal no es complejo o ien able . (Ve [Sw, Capí ulos 17 y 18] en la bibliog a ía) . COHOMOLOGíAS HLíP TICAS  79 5 Como H* (CP°° ; Z) es lib e de o sión en onces E*(CP' x CP°°) = E*(CP - ) ® E*(CP - ) =7  (E)[[xi,x2]] . 7 .lE) Si ~®y deno a el p oduc o enso ial de haces lineales sob e CP°° x CP', en onces exis e y : CP °° x CP°° --> CP', el mapeo clasi ican e, el cual induce una mul iplicación sal o homo opía en CP' . Al e na i amen e, p puede se de inida como la mul iplicación de lazos en CP -= K(7L, 2) = QK(7 ; 3) Suponiendo que E*( ) es complejo-o ien able, end emos que p* : E*(CP') -> E*(CP' x CP') de ine un homo ismo de anillos de se ies o males p,* : i . (E) [[x]] -> 7 F* (E) [[XI, x2]]- Luego p* (x) = Fc(xl,x2) es la ley de g upo o mal asociada a E*() . Ejemplos . (a) Si E* ( ) = H* ( ; 7L), en onces no es di ícil e que Fila (x 1, x2) _ x l + x2 ea ejemplo (a) de la Sección 1 . (b) Si E*( )=K*( )en onces K*(CP 1 xCP1) =7L[[xl,x2]], donde x l = ~ - 1 yx2 = l - 1, deno ando ~ y y dos copias del haz canónico de líneas de Hop , en onces FK(x1, x2) = (x1 + 1 )(x2 + 1) - 1 = XI + x2 + xlx2 Vea ejemplo (b) de la Sección 1 . El eo ema undamen al sob e la elación en e eo ías de cohomologías complejo o ien ables y leyes de g upo o mal es : Teo ema de Quillen . El anillo de Laza d L es isomo o al anillo de cobo dismo complejo 7 * (MU) y la ley uni e sal de g upo o mal sob e L es Fu(xl, x2) = FAIU(xi, x2), la ley de g upo o mal asociada a MU*( ) . Pa a una demos ación de es e esul ado, ea el lib o de J . F . Adams [Ad] en la bibliog a ía . En nues a in e p e ación del eo ema de Laza d en la Sección 1 habíamos señalado que L .y F (x, y) como obje os uni e - sales en cie o con ex o i .e ., es os "dominaban" a oda pa eja M, F(x, y) . 796  G . MORENO De aquí que el eo ema de Quillen nos dice que odas las eo ías de co- homología complejo o ien ables es án dominados po MU*( ) y conse- cuen emen e po "encima" de MU*( ) no hay eo ías complejo o ien a- bles ; a ando de se más p ecisos, conside emos el diag ama 7 * ( )- ;. . .-MU*( ) - ' .. .K * ( )-H * ( ; Z) ; donde 7 *( ) deno a la cohomología es able y las lechas la ac o ización del mapeo ("edge") a is a en la sucesión espec al de A iya,h-Hi zeb uch, en onces las eo ías de cohomología a la de echa de MU* ( ) son complejo o ien ables y a la izquie da de MU* ( ) no admi en el o malismo de las leyes de g upo o mal . Es o quizá señale al lec o lo inaccesible que es el calcula la cohomo- opía de cualquie espacio o en o as palab as cuan o más a la izquie da es emos en el diag ama más di ícil es el calcula pe o más in o mación se ob iene y cuan o más a la de echa es menos di ícil calcula pe o meno es la in o mación que se ob iene . (Pa a es a sección ecomendamos la lec u a de [Ad, Sección 2]) . 4 . Cohomologías elíp icas De acue do con la Sección 3 oda eo ía de cohomología complejo o ien- able iene una ley de g upo o mal asociada, bien nos pudie amos p e- gun a : ¿Dada una ley de g upo o mal sob e cie os coe icien es ap opi- ados exis e una eo ía de cohomología complejo o ien able con esos coe- icien es y con dicha ley de g upo o mal asociada? No se conoce una espues a comple a a es a p egun a, pe o pa a casos pa icula es se puede ob ene una espues a a i ma i a ; no ablemen e se iene . Teo ema (Landwebe -S ong,  1985) .  Pa a  FE11(x, y)  _ - ¿EX yEí ') 1 -  , la ley de g upo o mal asociada a la cuá ica de Jacobi ex y 2 = R(x) en la Sección 2, exis e una eo ía de cohomología complejo- o ien able que deno amos po E11*( ) ; llamada la cohomología elíp ica . (Vea los a ículos de Landwebe en [La] . 5 . El loga i mo de una ley de g upo o mal Poco dijimos ace ca de cohomologías elíp icas en la Sección 4 más allá de su de inición . Pa a eso necesi amos más he amien as eó icas . De inición . Sea F(x, y) una ley de g upo o mal sob e M un anillo (como a iba) la di e encial o mal asociada a F(x, y) es Ejemplos . (a) F(x, y) = x + y en onces F = 1, así W(T) = d . (b) Si F(x,y) = x + y + xy en onces = = 1 + y  W(T) = 1+7' . (c) F(x,y) = FF11(x, y) _  x a y)+y~~( . ) en onces al , =  R(y) + áx G(x, y) donde G(x, y) es cie a unción que depende de . y (¡ e i- íquelo!) . así es que Wcl1(T) = R(T) 2 1 dT . La o ma di e encial W (T) es de pa icula impo ancia, dado que deja in a ian e a F(x, y) es o es, W(F(T, S)) = W(T), .y cumple ambién que W(0) = dT . Además, W (T) es la, única con las dos p opiedades desc i as . (Vea [Si, Capí ulo IV, Sección 4, páginas 1 .19 y 120]) . De inición . El loga i mo o mal de F(x,y) es : La exponencial o mal de F(x, y) es la se ie de po encias in e sa a 109F(T) y se deno a exp (T), es deci , Ejemplos . W(T) - C OF (X , y) (0 T)~ -1 d E M[[T]]d . (a) Si F (x, y) = x +y, en onces log F (T) = T = exp(T) . (b) Si  F(x, y)  =  .x + .y + .xy,  log F (T)  =  (1 + T) -1 dT  = 1T " 00 , ,y luego exp(T) = 1 : l_ . En é minos de la no- n-1  ,1=1 ación del cálculo, log 1 ,(T) = log(1 + T) y expF (T) = e T - 1 . (c) Pa a FEl,(x, y), enemos logF11(T) = .~ M 7F11 (T) = R(T) 21 dT =  dT  = 9( ) . R (T) Es a úl ima es la in eg al elíp ica es udiada en la, Sección 2 y exp(T) = 9 -1 (T) la unción seno gene alizada . Aho a bien, no emos que (1-2zT+ 1 ,2 ) -1 = E P, 1 (z)T` es la unción gene ado a (le los "polino nios de n>0 Legend e" P,,(z), los cuales es án dados po la ó mula Po(z) = 1,  P, z (z) = COHOMOLOGíAS ELÍPTICAS  79 7 109F(T) = J W(T)d E M ® Q[[T]] . log (exp F (T)) = eXPF(logF(T)) = 1 .  (2n - 2 )!  ,L_2, . (-1)  2'E !(n - )! (n, - 2 )! z 804  G . MORENO A lo que el mismo Wi en esponde : El ope ado en cues ión es el que co esponde a "la supe ca ga del modelo sigma no lineal supe - simé ico" en la Mecánica Cuán ica ( ea [G .S .W ., Vol . 1 ; páginas 160-161]) . Wi en concluye en el a ículo ci ado : "Las Cohomologías Elíp icas es án des inadas a, ilumina la mis e iosa gene alización de la geome ía (Riemaniana) o dina ia y la opología que ep esen a la eo ía de Cue das . Unas Teo ías de Cohomología Elíp ica p opiamen e desa - olladas se i án pa a a e i alguna luz sob e lo que la eo ía de cue das ealmen e signi ica" . Uno de los p oblemas cen ales pa a dicha gene alización es que el Análisis Ma emá ico que hay de ás del lado izquie do en la igualdad ipo A iyah Singe no es un análisis ma emá ico sob e ina a iedad M de dimensión ini a (Análisis global "Clásico") sino que se end ía que hace sob e "el g upo de lazos de una a iedad'', lo que esul a se una a iedad de dimensión in ini a ( ea [P-SI) . Es e análisis no es á del odo desa ollado . (Vea el a ículo de Segal [Se] en las e e encias sob e es e pun o) . Conclusión . Podemos esumi nues a discusión en el siguien e diag ama : COHOMOLOGíAS GENERALIZADAS  ÍNDICE DEOPERADORES COMPLEJO-ORIENTABLES  ELIPTICOS EN VARIEDADES LEYES DE GRUPOS FORMALES  GÉNEROS Loga i mo de una Ley de G upo Fo mal  ~>  Loga i mo de un Géne o Si nos es ingi nos al caso elíp ico podemos ce a el diag ama . en su pa e in e io (en doble lecha) y ansi a de una columna a la o a . Bibliog a ía [Ad] J . F . ADAMS, "S able homo opy and gene alized homology," Uni- e si y o Chicago P ess ; 1974 . [A-S] M . ATIYAH AND I . M . SINGER, The index o ellip ic ope a o s III, Annals o Ma h . 87 (1968), 546-604 . [C - H - S] S . CHERN, F . HIRZEBRUCH AND J . P . SERRE, On he index o a ibe ed mani old, P oc . Ame . Ma h . Soc . 8 (1957) . [F-U] D . S . FREED AND K . K . UHLENBECK, "I zs an ons and ou -mani olds," M .S .RA . Publica ions 1, Sp inge Ve lag, 1984 . 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