Publicacions
Ma emá iques,
Vol
36
(1992),
319-349
.
A
bs ac
UNE
ESTIMATION
DES
COEFFICIENTS
TANGENTS
D'UN
COURANT
POSITIF
FERME
DANS
UN
DOMAINE
DE
C3
PH
.
CHARPENTIER
AND
Y
.
DUPAIN
In
his
pape ,
we
s udy
he beha iou
nea
he
bounda y
o
he
complex
angen
coe icien s
o
a
closed posi i e
cu en
in
a
bounded
domain
o
C
3
wi h C°°
bounda y
.
Assuming
ha
he
cu en
sa is ies
he
Blaschke
condi ion,
we
gi e
a
condi ion
on he
complex
angen
coe icien s
which
is
be e
han he
one
which
can be p o ed
using
he
pseudo-dis ance in oduced
by
A
.
Nagel,
E
.
S ein
and
S
.
Wainge
(in
analogy wi h
he
case
o
domains
in
(C
2
)
.
Mo eo e ,
when
he
domain
is
supposed
o be pseudocon ex,
we
show
how
ou
condi ion
is
ela ed
o
D
.
Ca lin's
mul i ype
.
I
.
In oduc ion
Soi
9
un
domaine
bo né
de
C'
á
on ié e
de
classe C°°, e
soi
pE
Coo(Cn)
une
onc ion
dé inissan e
de
9
.
Soi
0
=
~
e?j
dzi
A
dzj un
(1,1)-cou an
posi i
e mé
(Le
.
dB
=
0)
dans
2
sa is aisan
á
la
condi ion
de
Blaschke,
c'es -á-di e
el
que
Bii
<+
0O
.
Il
es
classique
que
sous
ce e
hypo hése,
les
coe icien s
angen s de
0,
c'es -á-di e
les
coe icien s
de
la
o me
OADpAbp,
sa is on
á
une
condi ion
meilleu e
connue
sous
le
nom
de
condi ion
de Mallia in
:
p écisémen ,
on
a
10
A
áp
A
ápi
<
C
(
-
0e1,
sz

sz
320

PH
.
CHARPENTIER,
Y
.
DUPAIN
oú
C
ne
dépend
que
9,
e
10
A
ap
A
api
désigne
la
somme
des
modules
des
coe icien s
de
la
o me
.
Ce e
condi ion
n'es
op imale
que
dans
le
cas
des
domaines
s ic e-
men
pseudocon exes
(c
.
.
[2]),
e
des condi ions
meilleu es
on
é é
données
dans
deux
si ua ions
dis inc es
.
Tou
d'abo d
dans
le
cas
des
el-
lipso ides
complexes,
il
es
mon é
dans
[1]
que
les
coe icien s
de
BAapAap
sa is on
une
condi ion
s ic emen
meilleu e
lo sque
1'ellipsoMe
n'es
pas
la
boule
.
D'un
au e
có é,
dans
[2]
on
é udie
le
cas des
domaines
de
C2
.
On
y démon e
que
Pon
a
une
condi ion
de
la
o me
(3)

L10A
9ppAapl
<
bp)IBI,
oú
la
onc ion
S
es
liée
á
la
pseudo-dis ance
in odui e
pa
A
.
Nagel,
E
.
S ein
e
S
.
Wainge
dans
[5]
e
[6],
c'es -á-di e
essen iellemen
au
ype
de
Kohn
des
poin s
du
domaine
.
En
pa iculie ,
si
9
es
de ype
in¡
non
s ic emen
pseudocon exe,
la
condi ion
ob enue
es
neilleu e
que
la
condi ion
de
Mallia in
.
De
plus,
le
a ail
pos é ieu
de
D
.C
.
Chang,
A
.
Nagel,
e
E
.
S ein
[4]
a
mon é
que
ce e
condi ion
é ai
la
bonne
.
Il
es acile
de
oi
que
ce e
condi ion
es e
alable
dans
un
domaine
quelconque
de
C'
.
Mais
1'exemple
des
ellipsoides
complexes
mon e
qu'alo s
elle
n'es
plus
op imale
lo sque
n
>_
3
.
Dans
ce
a ail,
nous nous
plagons
dans
C
3
,
e
nous
ob enons
une
condi ion
su
les
coe icien s
angen s
du
cou an
qui
es
meilleu e
que
la
condi ion
p écéden e
.
Pou
é e
un
peu
plus
p écis,
soi
zo
un
poin
de
la on ié e
de 9,
e
soi
B=
(L1,
L2)
une
base
de
1'espace
des
(1,
0)-
champs
angen s
complexes
au
oisinage
de
zo
de
so e
que,
si
N
es
le
champ
no mal á p
(¡
.e
.
Np
-
1
au
oisinage
de
la
on ié e
de
S2),
(N, L1,
L
2
)
es
une
base
des
champs
holomo phes
au
oisinage
de
zo,
e
soi (ap,
W1,
w2)
la
base
duale
de
(1,0)- o mes
.
Nous
con uisons
alo s
deux
onc ions
Sl
e
S2
dans
un
oisinage
V
de
zo
elles
que
I01 aPAbPAw
2
Aw21
+
19AOPAnPAw1
AW,I
<
(
-
P)
lo¡,
ng
si
ng
S2
la
cons an e
C
ne
dépendan
que
de
9,
V
e
B
.
Les
onc ions
S
l
e
S2,
don
les
dé ini ions
p écises
son
données
au
pa ag aphe
sui an ,
son
in é ieu es
á
la
onc ion
S
de
1'inégali é
(3), e
ne
son
plus
en
ai
liées
uniquemen
au
ype
de
Kohn
des poin s
du
domaine
9
.
Un
peu
plus
p écisémen ,
au
pa ag aphe
V,
nous
compa ons
leu s
o d es
de
c oissance
au bo d
de
9
au
mul i ype
in odui
pa
D
.
Ca lin
dans
[3]
.
Disons
simplemen
¡c¡
que
lo sque
Pon
choisi
pou
B
la
base
de_
COURANTS
POSITIFS
FERMES
ET
MULTITYPE

.

321
champs
associée
au
mul i ype
de
zo,
le
compo emen
adial
de S,
e
S2
peu
se
compa e au
mul i ypc
(1,
A2, A3)
de
zo
(celui-ci
é an
supposé
in¡)
:
SI
es
équi alen
á(_p)1-2/A2
e
S2
es
in é ieu
á
(-p)1-2/A3
.
Il
.
No a ions
e
énoncé
du
Théo bme
Soien
9
un
domaine
bo né
de
C3
á
bo d
C'
e p
une
onc ion
dé inissan e
de
9
(Le
.
Vp
7~
0
au
oisinage
de
¡99)
.
Soi
N
le
(1,
0)
champ
no mal
á
p
dans
un
oisinage
de
¿99
c'es -á-di e
el
que
Np
=-
1
au
oisinage
de
02
(Le
.
4
N
=
1
,
7P12
OP
a
oz
¡
az
i
Soi zo
un
poin
de
¿9P
ixé
une
ois
pou
ou es
.

Soi
B =
(L
i
,
L2)
une
base de
champs
angen s
á
p
(Le
.
Lip
=- 0)
dans
un
oisinage
de
ZO-
SOi
(OP,W1,W2)
la
base
de
(1,
0)- o mes,
duale
de
la
base
de
champs
(N,
L
1,
L2)
-
Soien
m
e
M
deux
éels,
m
en ie ,
2
<
m
<
M
.
Rep enan
les
no a ions
in odui es
pa
D
.
Ca lin
dans
[31,
la
base
8
é an
ixée,
considé ons
la
amille
de
lis es
sui an e
:
W(B)
=
{,C
i3
=
-
=
(L1
,
L
2
.
. . . . .
L
k)
;
k
>
2,
L'
E
{Ll, Li, L2,
L2})
Vi}
.
Pou
chaque
£
EE
W(B),
nous
considé ons
les
pa am~ es
sui an s
:
11(,C)
=11
=
ca d{i
el
que
L'
E
{L,,L,}},
12
( -)
=
12
=
ca d{i
el
que
L'
E
{L2,
L2}},
de
so e
que
l -l
=
k
=
11
+
12-
m
e
M
é an
ixés,
dé inissons
main enan
des
sous-ensembles
de
W(B)
:
W(L2,
8,
M,
M)
=
W

L
E
W(13)
;
11
+
12
<
m
m
Wo
(L
1,
m)
=
WO
=
{IC
E
W
;
12
=
0}
;
W1
(L
3
,
M)
=
WI
=
{ -
E
W
;
11
+
12
<
M}
;
W2
(L2,13,
m,
M)
=
W2
=
{IC
E
W
;
12
>
1}
;
W3
(L2,
B,
M,
M)
=
W3
=
{ -
E
W
;
11
>
1}
;
W4(L2,
M,
M)
=
W4

£
e
W
;
11
=
0,
12
<
m
m
322
,

PH
.
CHARPENTIER,
Y
.
DUPAIN
Pou
G
E
W,
nous
dé inissons,
sui an
D
.
Ca lin,
CL2,I3

,,(G)
=
c,
pa
1
.1
+~=1
.
Dans
ou e
la
sui e,
Pensemble
de
lis es
W4
joue a
un
óle és pa i-
culie
.
A in de
end e
plus
lisible
ce e
_pa icula i é,
ous
les
élémen s
de
W4,
e
seulemen
eux,
se on
no és
G
au
lieu
de
C,
e
le
pa amé e
co espondan
se a
no é
12
.
Pou
dé ini
les
poids
a ec és
aux
coe icien s
du
cou an ,
il
nous
au
enco e
p écise
une
no a ion
:
-
Pou
L
=
(L
1
, .
.
. ,
L
k
)
E
W
(B),
on
no e
si
k
>
2,
e ,
C(8p)
=
8p([L
1
,
L
2
]) si
k
=
2
.
-
Pou
L
=
(L
.
. . . .
.
L
_
k
)
E
W4
e
pou
une
onc ion
C°
_
°
dans
un
oisinage
de
zo,
on
no e
L( )
=
L
l
...
L
k-2
( ),
si
k
>
2,
e ,
,
C( )
=
si
k=2
.
-
En in,
nous
no ons
7
L2
,
c
~
=
7
le
coe icien
de
L
1
dans
le
décomposi-
ion
de
[L2,
L2]
su
la
base
(3mN,
L1,L1, L2,
L2)
.
Dé inissons
main enan
des
poids
associés
á
la
base
13
=
(L1,
L2)
:
e ,
e ,
L(ap)
=
L'
...
L
k-2
(ap([L
k-1
1
L
k
]))
S( 3,m)
=
1
:
IL(aP)I
2
(
-
P)
1 2
+
(-P)1
LEW
1
S(L
2 ,13,
m,
M)
=
S
°
+
S
2
+
S
4
+
S
4o
+
(_P)1_
V
,
oú
1'on
a
no é
succesi emen
so=
1
:
I
LEWo
s
2
=
IL(aP)I~(-P)1-2,
LEW2
s
4
=
_~
IL(~ )I12
(-P)
1
'2,
LEW
Q
S43=

l12+12
IL(aP)I'I'2
+'2
(-P)1
'1'2+'2
LEW4
LE
W3
Rema quons
que,
si
M
<_
2m,
W4
es
ide
e
S(L2,13,
m,
M)
se
édui
á
S
°
+
S
2
+
(-P)
1-2/M
.
COURANTS
POSITIFS
FERMESET
MULTITYPE

32
3
Nous
dé inissons
main enan
le
poids
S(L2,13,
M)
pa
:
S(L2,13,
M)
=
in
{S(13,
M),
S(L2,13,
m,
M),
1
<
m
<
M}
.
En
échangean
les
óles
de
L1
e
L2,
on
dé ini
de
la
méme
manié e
le
poids
S(L1,13,
M)
=
in
{S( 3,
M),
S(L1,
3,
m,
M),
1
<
m
<
M}
.
Rappelons
en in
que,
si
0
es
un
(1,
1)-cou an
posi i
dans
9,
alo s
pou

ou es

(l,
0)- o mes

á

coe icien s

con inus

dans

52,

al

e
a2,
0
n
ia1
n
ál
n
ia2
n
á2
es
une
mesu e
posi i e
dans
9
.

De
plus,
le
cou an
iB
n
al
A
á1
es
posi i
.
Nous
pou ons
main enan
énonce
le
héo éme
:
Théo éme
.
Soi
52
un
domaine
bo né
de
C3
á
bo d C°°,
e soi
p
une
onc ion
dé inissan e
de
9
(i
.e
.
Vp
=~
0
au
oisinage
de
ag)
.
Soien
zo
un
poin
de
852,
e
13
=
(L1,
L2) une
base
de
(1,
0)
chames
complexes
angen s
á
p
au
oisinage
de zo
(¡
.e
.
Li
(p)
-
0)
.
Pou
ou
éel
M
>_
2,
il
exis e
un
éel
>
0
e
une
cons an e
C
>
0
dépendan
de
9,
de
la
base
B, de
M
e
de
els
que
:
Pou
ou
cou an
posi i
e mé
0
dans
9
de
bideg é
(1, l),
l'inégali é
sui an e
es
é ilée
:
10AapAápAW2nw21
+
onB(z
o
, )

S(L1,
B,
M)
+
//'

10Aáphápnwlncil1
<C

(_P)X81,
JS2nB(zo, )

S
(L2,
B,
M)

L
oiu,
(áp,
w1,
w2)
es
la
base de
(1,0)- o mes
duale
de
la
base
(N,
L
l ,
L
2
),
N
é an
le
chame
no mal
á
p
(i
.
e
.
Np
-
1
au
oisinage
de
02)
.
Rema que
1
:
une
au e
éc i u e
des
poids
.
Nous
a ons
di
dans
1'in odúc ion
que
le
héo éme
ci-dessus
amélio e
le
ésul a
que
1'on
peu
ob éni ,
de
agon
analogue
au
cas
de
C
2
,
en
u ilisan
la
pseudo-dis an e
in odui e
dans
[5]
e
[6]
.
Rappelons
ou
d'abo d
celui-ci
.
A ec
les
no a ions
in odui es
p écédemmen ,
posons,
pou
b
>
0,
RN (b)

2<~c~<N
{~
~L(aP)~
~

,
S

324

PI-1
.
Ch1ARPENTIER,
Y
.
DUPAIN
oú,
1G1
=
k
désigne
la
lo lgueu
de
la
lis e
G
.
Le
ésul a
lié
á
la
pseudo-
dis ance
de
[5]
e
[6]
s'éc i
:
[

6(z)
())]
2
10AápAapl
<C
Jo
(-P)IBI,
S2nB(zo, )
oú,
b(z) désigne
la
dis ance
de
z á
aQ
.
Exp imons
1'inégali é
du héo éme de
manié e
analogue
.
Pou
cela
posons
successi emen
e ,
R,
1
,~
,
M
(b)
<
C
(-P)IBI
.
n
=
in
GE
W
o
Rm
'
M(b)
GEW2
R
3
n,M
(b)
GEW
4
i
i
i
i
2
+i
2
RM
in
GEW
GEW3

G(
b
R,,,,m(L2,
B)
(b)
=

in

{Rm,m(b), b
1
~
M
}
,
1<i<4
Rm(L2,
8
)(b)
=

sup

{Rm,n (b),Rm(b)}
2<m<M
De
la
mcme
manié e,
dé inissons
Rm(L1,13)(b),
en
échangean
les
óles
de
L1
e
L2
.
Le héo éme
es
alo s
équi alen
á
1'inégali é
sui an e
:
[
RN (L
1
, 3
b
2
nnB(zo, )

b(z)((z))]

10
A
0p
A
9p
A
w2
A
w2
I+
+

[RM(L
2(z)(b(z))]2
I6
A
áp
A
ap
A
w1
AW1I
<
S2nB(zo, )

-
E
es
clai
que
le
ésul a
que
nous
mon ons dans
ce
a ail
es
meilleu
que
celui
qui
ai
in e eni
la
pseudo-dis ance
de
[5]
e
[6]
.
Nous
e ons
au
de nie
pa ag aphe
que,
en
géné al,
il
es
s ic emen meilleu
.
COURANTS
POSITIFS
FERMES
ET
MULTITYPE

32
5
Rema que
2
.
Il
es
na u el
de
se
demande
quel
ésul a
on
peu
ob eni
pou
les
coe ñcien s
d'un
cou an
posi i
e mé
de
bideg é
(2,2)
.
En
ai ,
il
es
assez
acile
de
se
con aínc e
que
dans
ce
cas,
1'inégali é
[R
~(()
))
]
2
Ie
A
áp
A
ápl
--
C

(
-
0
0
1
gnB(zo, ) Z
es
sa is ai e
e
que
c'es
la
condi ion
na u elle
.
Dans
ou e
la
sui e,
le
symbole
A
;5
B
signi ie a
qu'il
exis e
une
con-
s an e
ne dépendan
que
de
p, ,
M
e
de
la
base
13
el
que
A
<
CB
.
Rema quons
que
m'
>
m
en ame
S(13,
m')
z5
S(13,
m)
.

Pa
sui e,
e
pa
aison
de
symé ie,
le
héo éme
se
édui
á
mon e
1'inégali é
sui an e
:
III
.
Schema
de
la
démons a ion
_
10A8pA8pAw2Aw21+loABpADpAwiAWi1
+
-

QnB(zo, )

S(13,
m)
(*)

+

JBABpADpAw1Awi1
Ñ
InnB(zo, )

S(L2,
B,7
n,
M)
L(-P)101
.
Pou
simpli ie
les
no a ions,
dans
la
sui e
nous
no e ons
Si
=
S(B,
m)
e
S
2
=
S(L
2
,13,
m,
M)
.
Comme
dans
[2],
la
démons a ion
de
ce e
1'applica ion
de
la
o mule
de S okes
aux
o mes
BA8p
A
w
i
A
GJ
(-P)
Si
inégali é
es
basée
su
Pou
ce
ai e,
il
es
nécéssai e
d'une
pa
que
le
cou an
9
soi égulie ,
e ,
d'au e
pa ,
que
les
onc ions
poids
S
; soien
globalemen
dé inies
.
Nous
suppose ons
done
ou
d'abo d
que
8
es
une
o me
á
coe icien s
C°°
posi i e
e
e mée,
e
démon e ons
le
ésul a
sous
ce e
hypo hése
.
Le
cas
géné al
s'en
dédui a
aisémen a ec
une
égula isa ion
.
Dans
le
p emie
sous-pa ag aphe
de
la
pa ie
IV,
nous
globalisons
les
poids
en
les
modi ian
á
I'ex é ieu
d'une boule
cen ée
en x
o
.
Nous
326

PH
.
CHARPENTIER,
Y
.
DUPAIN
ob enons
ainsi
de
nou eaux
poids
61
e
C52
e
donnons une
o mula ion
équi alen e
(**)
de
(*)
a ec
ces
nou eaux
poids
.
En
appliquan
la
o mule
de
S okes,
les
dé i ées
no males
e
angen es
des
poids appa aissen
.
Le deuxiéme
sous-pa ag aphe,
long
e
echnique,
es
consac é
á
é abli
di e ses ela ions
e
es ima ions
en e
les
poids
67
i
e
leu s dé i ées,
en
pa iculie
des
inégali és
du
ype
(-p)IL^I
Z
<
62+1/n,
(-p)
IN6j
1
;
:S
(p)Oj
e
(-p)I
,
,I
2
e1
/n
<
62/n
.
C'es
dans
le
oisiéme
sous-pa ag aphe
que,
ap és
a oi
appliqué
la
o mule
de
S okes,
nous
démon ons
la
o mule
(**)
.
Nous
majo ons
I
l
+
12
pa
une
somme
d'in ég ales
E
Ik
que nous
majo ons
ensui e
k
sépa émen
en
u ilisan
les
es ima ions
é ablies
au
sous-pa ag aphe
p é-
céden ,
1'inégali é
de
Cauchy-Schwa z
e
la
condi ion
de
Mallia in
(2)
.
Nous
mon ons
que
Ik
<_
ckI+C
s
(
-
p)
10
1,
le
coe cien
ck
dépendan
d'un pa amé e
.
Pou
conclu e,
il
su i
de
mon e
que
1'on
peu
choisi
le
pa amé e
de
elle
so e
que
E
ck
<
l
.
k
Rema que
su
la
composi ion
des
sommes
671
e
62
cons u-
i es
au
sous-pa ag aphe
sui an
.
Pou
651
nous
a ons
simplemen
p is
le
poids co espondan
á
la
pseu-
dodis ance
de
A
.
Nagel,
E
.
S ein
e
S
.
Wainge ,
e
nous
a ons
essayé
de
end e
67
2
aussi
pe i
que
possible
.
En
oublian
ou e
ques ion
ela i e
á
la localisa ion
( onc ions
?p
e
Xi),
la
composi ion
de
672
peu
s'explique ,
pa
une
analyse
apide
de
la
p eu e
qui
sui ,
de
la
manié e
sui an e
.
Tou
d'abo d, on
ema que
que
on
doi
a oi
652
~
Iáp([L2,L2])I
(p oposi-
ion
l
;
cela p o ien
des
e mes
considé és
en b
4
dans
la
majo a ion
(7)
du
sous-pa ag aphe
3)
.
Ensui e,
on
s'appe goi
que
65
2
doi ,
dans
un
ce ain
sens,
é e
s able
pa
dé i a ions
dans
les
di ec ions
N
e
L2
(c'es
ce
que
disen
p écisémen
la
p oposi ion
3
e
le
(iii)
de
la
p opo-
si ion
4
;
ce e
s abili ée
se
á
con óle
les
e mes
considé és
en
dl
e
d2
dans
la
majo a ion
(9)
du
sous-pa ag aphe
3)
.
Cela
implique
que
672
doi con eni
la
pa ie
co espondan
á
11
=
0 de
672
.
Pa
ailleu s,
il
se
p odui
un
phénoméne
d'échange
en e
671
e
672
lo sque
on
dé i e
la
o me
wl
A
wl
.
C'es
ce
phénoméne
qui
implique
1'in oduc ion
du
coe icien
-y
de L1
dans
la
décomposi ion
du
c oche
[L2,
L2] su
la
base
(N,
Ñ,
L1,
L1,
L2,
L2),
1'échange
é an
alo s
con ólé
pa
la
p oposi ion
2
(p écisémen ,
ceci
p o ien
des
e mes
c3
dans
la
majo a ion
(8)
du
sous-pa ag aphe
3)
.
Alo s,
en
combínan
le
phénoméne
d'échange
e la
s abili ée
pa
appo
aúx
dé i a ions,
en
L2,
on
oi
acilemen
que
672
doi con eni
les
sommmsc2
e
672 3
.
A
ce
ni eau,
si
on
dé i e
un
des
e -
mes
de
67
2
dans
la
di ec ion
L2,
il
n'appa ai
pas
d'exp ession
d'un ype
nou eau
.
Mais
comme
il
au
a é e
la
somme
62
áun
ce ain
o d e,
il
COURANTS
POSIT S
FERMGS
CT
MUTITYP

32
7
a i e
que
des
dé i ées
en
L
2
de
ce ains
e mes
de
62,
ainsi
cons ui ,
ne
soien
pas
da es
652
.
Comme
la
p oposi ion
4
doi
é e
sa is ai e,
il
au
alo s
ajou e
des
e mes
á
652
.
C'es
ainsi
qu'appa aissen
652
e
le
es e
de
652
a ec,
en
pa iculie ,
Pexposan
n-
2é
dans
la
puissance
de
(-p)
pou
les
e mes
de
652
.
IV
.
Démons a ion
de
la
o mule
(*)
1
.
Globalisa ion
e
modi ica ion
des
poids
Si e
S2
.
Les
chames
Li
e
les
o mes
wi
n'é an
dé inis
que
localemen
dans
un
oisinage
de
zo,
a in
de
pou oi
applique
la
o mule
de S okes
au
domaine
9
ou
en ie ,
nous
éliminons
ce
que
se
passe
á
1'ex é ieu
d'une
boule
B(zo,
)
en
mul iplian
pa
une
onc ion
0
posi i e,
C°°
dans
C
3
,
de
suppo
inclus
dans
B(zo,
)
e
iden iquemen
égale
á
1
dans
la
boule
B(zo,
2 /3)
(
es choisi
de
elle
so e
que
les
chames
L
i
soien
dé inis
dans
B(zo,
) e
que
Ipl
<
1
dans
ce e
boule)
.
Si
on
applique
la
o mule
de S okes
aux
o mes
il
appa ai
des
in ég ales
de
la
o me
a0(-P)
e
A
aP
A
wi
Awi
Lnl3(z
o
, )

S
7
Ces
in ég ales
se on
majo ées
i ialemen ,
ce
que
ne
peu
se
ai e
que
si
S
;
?
1
lo sque
áo
:,A
0, e
ce n'es
pas
á
p io i
le
cas
.
Nous
allons
donc
modi ie
les
onc ions
S
;
en
in oduisan
deux
nou elles
onc ions
X
e
X2
posi i es,
C°°
dans
C
3
,
elles
que
X1
+
X2
-
1,
XI
-
1
dans
B(zo,
/2)
e
X2
-
1
dans
C
3
B(zo,
2 /3)
.
La
base
13,
,
les
onc ions
0,
X
e
X2
é an
ixées,
nous
pou ons
main-
enan
dé ini
de
nou elles onc ions
671
e
672
de
la,
manie e
sui an e
:
Pou
G
=
(L
1
, . .
.,
L
k
),
k >
2,
posons
G(áp)
=
L
...
L
k-2
(XiaP([L
k-
,
L
k
l
))~
C(X2)
=
Ll
. .
.Lk-2(X2),
e ,
de
plus,
si
,y
es
le
coe iicien
de
L
dans
la
décomposi ion
de
[L2,
L2]
dans
la
base
(N,
Ñ,
L ,L ,L2)
L2),
pou
G
E
Wn,
£(7)
=L
. . .
L
k-2
(X,7),
334

PI-l
.
CIIARPENTIER,
Y
.
DUPAIN
Démons a ion
de
la,
p oposi ion
4
:
Pa
dé ini ion,
les
onc ions
65
1
e
62
son
des
sommes
de
e mes
de
la
o me
IIC(^/)j
a
l£(aP)I
6 (
-
P)
c
e
I£(7)~al£(X2)jb(-P)°
.
Nous
mon e ons
donc
que,
pou
chacun
des
e mes
X
composan
la
somme
651
e
chacun
des
e mes
Y
composan
la
somme
65
2
,
on
a
(
-
P)
I
L1
X12

Ci
+1/n
,
(
-
P)
I
L2X
12

C2+1/,
e
(-p)
I
L2Yj2<32+
1/n
.
Pou
cela,
nous
u ilise ons,
sui an
la
o me
de
X
ou
de
Y,
le
lemme
2
ou
le
lemme
3
.
Les
majo an s
ob enus
son
de
la
o me
(somme
de
ois
e mes)
2
+
1
/n
.
Le
p emie
de
ces
e mes
es
X
ou
Y
lui
méme
(donc
<_
Ci)
e ,
dans
les
ois
p emie s
cas,
le
de nie
es
une
puissance
de
(-p)
in e enan
dans
C
i
(donc
<_
Ci)
.
Nous
mon e ons
que, sui an
les
cas,
les
e mes
manquan s
son ,
soi
une composan e
de
Ci,
soi
majo és
pa
une
puissance
adéqua e
de
(-p)
.
P emie
cas
.
ou
X
=
I~C(ap)I2n/k(-P)n(1-2/k),
X'
=
IC(X2)I2n/k(-P)n(1-2/k),
pou
G
E
W1
.
Soi
L
=
L1 ou L2
.
Appliquons
le
le n ne
2
a ec
;
les
pa amé es
a=/3=2/k,
A=B=2/(k+1)
e
N=- n
.
Il ien
(-P)ILXI
2
<
(X
+
IL£(ap)I
~(-P)n(1
~)
+
(-P
)n(1-
,)12_

+ñ
Examinons
le
second
e me
de
la
pa en llése
.
Si
k
<
m
-
1,
(L,
G)
E
W1
e
ce
e me
es
un
des
e mes
composan
la
somme
61
.
Si
k
-
m
-
1,
il
es
majo é,
á
une
cons an e
p és,
pa
(-p)n(1-2/,
.`)
.
La
démons a ion
pou
X'
es
s ic emen
la
méme
que
celle
pou
X
en
emplagan
C(¿9p)
pa
£(X2)
.
Ceci
aché e
la
p eu e
de
(i)
e
(ii)
.
Nous
dé non ons
nain enan
(iii)
.
Deuxiéme
cas
.
Y=
IG(ap)I
2
n/
12
(_p)
n(1-2/
c
)
ouY'
=
I¿(X2)I2n/l2
(-P)n(1-2/c)
pou
G
E
W2
.
Appliquons
le
lemme
2
a ec
L
=
L2
e
a ec
les
pa amé es
a
=z
,
(

)
A
=
2
B
=
?
(
m-¡
1
)
e
N
=
M
.
Il
ien
e
-
12

m,

12+1

12+1

m
(-P)IL2YI2<(Y+IL2G(ap)ITi+'1z+i(
11

2
))+(-P)'~(1_Uj)2+,

COURANTS
POSITII'S
FERMES
ET
MULTITYPE

335
Examinons
le
second
e mo
de
la
pa en hése
.
Si
12
<
M(

)
-
1,
(L2,
G)
E
W2
e
c((L2,
G))
_

1
2+1
~,
M_ 1

e ce
e mo
es
une
;
composan e
de
62
.
Si
12
>
M(
mM
11
)
-
1,
il
es
majo é,
á
une
cons an e
p és
pa
(-P)n(1-2/M)
.
ou
La
démons a ion
pou Y'
es
s ic emen
la
méme
que
celle
pou
Y
.
UOlsR-me
cas
.
Y=
IIC(X2)I (-P)n(1
+,
.,
a)
pou
G
E
Wo
.
Appliquons
le
lemme
2
a ec
L=
L2
e
a ec
les
pa a né es
a
=
¿
,
,Q
=

+
2
-
1
-,
A=
2,
B
=
2(~
2('
-")
e
N
=Men ema q
uan
que
1
M

as
.- as,
-á+1
=11e

-P=-M
.Il ien
2+
;~
(
-
P)IL2YI
2
(Y
+IL2G(ap)I
2
~(-P)
n
(~
-2
(

))+(-P)*
.,(1-

)~
Examinons
le
deuxiéme
e mo
de
la
pa en hése
.
Si
11
<
m(1
-
M)
alo s
(L2,
G)E W2,
12«L2,£»
=
1,
c((L2,
G))
e ce
e mo
es
une
composan e
de
C
2
.
Si
11 >_
m(1
-
M),
il
es
majo é,
á
une
cons an e
p és,
pa
(-p)n(1-2/M)
La
démons a ion pou
Y'
es
s ic emen
la
mé ase
que
pou
Y
.
_

zas

n

1
_
_?

_
Qua iéme
cas
.
Y
=
I
G(-y)
112
(-P)

`2^'
), pou
G
E
W,,
Appliquons
le
lemme
2
a ec
L
=
L2
e a ec
;
les
pa a né es
cx
=
~
z,
-
c2
°
A=
~
2+I'
B
=
1 Z+1)n~
e
N
=
M
.
Il
ien
(-P)IL2Y1
2
;
!5
(Y+1L21E(_Y)I`2+1(-P)n(i
(12+1),n)+(-P)n(1
x )1
Examinons
le
deuxiéme e mo
de
la
pa en hése
.
Si
12
<
M
-
1,
(L2,
L)
E
Wn
e ce
e mo
es
une composan e
de
62
.
Si
l2
>
M
-
1,
il
es
majo é,
á une
cons an e
p éS,
pa
(-P»-(1-21M)
.
Cinquiéme
cas
.
ou
Y

(-P)'

1112+12
)
336

Pll
.
CIIARPENTIER,
Y
.
DUPAIN
_
zn ,

zn

z
Y'
=
¡
, ( -
Y)
1
1112+`2

(X2)

1
1
1
2
+`2
(-P)
1112+12
pou GEW4e £EW3
Posons
D
=
1,12
+
12,
D'
=
11
(1
2
+
1)
+
12,
e
appliquons
ce e
ois-
ei le
le nme
3 a ec
L=
L2
e
a ec
les
pa amé es
oz
=
211,

_
2
,
D

-
D
A
=
~
,
B
=
ó,
,
A'
=
D"
e
B`
=
D+
1
.
Il
ien
(-P)
I
L2YI2

{Y
+
¡,
('Y)1
z

I
L2G(aP)
1'5-+-,
(-p)
(1

-+i
)+
+
IL2G(7)I2o
I£
(aP)I-D2"

2
7
(-P)'°(1--D7
)l
2+
Examinons
ou
d'abo d
le
deuxiéme
e mo de
la
pa en liése
.
Si
12
+
1
<
M(nM
),
(L
2
,
G)
E
W3
e ce
e me
es
une
des
composan es
de
67.2
.
Supposons
done
12
+
1
>_
M(
m
n
a
1
,
)
e
posons
D"
=
D
+
1
.
Dans
ce
cas,
ce
e me
es
majo é,
á
une
cons an e
p és,
pa
U =
IG(,,)I2n1,/D"(_p)n(1-2/D")
.
O ,
dans
62
appa ai
le
e me
T
=
I~E(
-
Y)I
2n
/
i2
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COURANTS
POSITI S
ERMGS
ET
MUUTITYPIE
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337
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