Une estimation des coefficients tangents d'un courant positif ferme dans un domaine de C3

Publicacions Ma emá iques, Vol 36 (1992), 319-349 . A bs ac UNE ESTIMATION DES COEFFICIENTS TANGENTS D'UN COURANT POSITIF FERME DANS UN DOMAINE DE C3 PH . CHARPENTIER AND Y . DUPAIN In his pape , we s udy he beha iou nea he bounda y o he complex angen coe icien s o a closed posi i e cu en in a bounded domain o C 3 wi h C°° bounda y . Assuming ha he cu en sa is ies he Blaschke condi ion, we gi e a condi ion on he complex angen coe icien s which is be e han he one which can be p o ed using he pseudo-dis ance in oduced by A . Nagel, E . S ein and S . Wainge (in analogy wi h he case o domains in (C 2 ) . Mo eo e , when he domain is supposed o be pseudocon ex, we show how ou condi ion is ela ed o D . Ca lin's mul i ype . I . In oduc ion Soi 9 un domaine bo né de C' á on ié e de classe C°°, e soi pE Coo(Cn) une onc ion dé inissan e de 9 . Soi 0 = ~ e?j dzi A dzj un (1,1)-cou an posi i e mé (Le . dB = 0) dans 2 sa is aisan á la condi ion de Blaschke, c'es -á-di e el que Bii <+ 0O . Il es classique que sous ce e hypo hése, les coe icien s angen s de 0, c'es -á-di e les coe icien s de la o me OADpAbp, sa is on á une condi ion meilleu e connue sous le nom de condi ion de Mallia in : p écisémen , on a 10 A áp A ápi < C ( - 0e1, sz  sz 320  PH . CHARPENTIER, Y . DUPAIN oú C ne dépend que 9, e 10 A ap A api désigne la somme des modules des coe icien s de la o me . Ce e condi ion n'es op imale que dans le cas des domaines s ic e- men pseudocon exes (c . . [2]), e des condi ions meilleu es on é é données dans deux si ua ions dis inc es . Tou d'abo d dans le cas des el- lipso ides complexes, il es mon é dans [1] que les coe icien s de BAapAap sa is on une condi ion s ic emen meilleu e lo sque 1'ellipsoMe n'es pas la boule . D'un au e có é, dans [2] on é udie le cas des domaines de C2 . On y démon e que Pon a une condi ion de la o me (3)  L10A 9ppAapl < bp)IBI, oú la onc ion S es liée á la pseudo-dis ance in odui e pa A . Nagel, E . S ein e S . Wainge dans [5] e [6], c'es -á-di e essen iellemen au ype de Kohn des poin s du domaine . En pa iculie , si 9 es de ype in¡ non s ic emen pseudocon exe, la condi ion ob enue es neilleu e que la condi ion de Mallia in . De plus, le a ail pos é ieu de D .C . Chang, A . Nagel, e E . S ein [4] a mon é que ce e condi ion é ai la bonne . Il es acile de oi que ce e condi ion es e alable dans un domaine quelconque de C' . Mais 1'exemple des ellipsoides complexes mon e qu'alo s elle n'es plus op imale lo sque n >_ 3 . Dans ce a ail, nous nous plagons dans C 3 , e nous ob enons une condi ion su les coe icien s angen s du cou an qui es meilleu e que la condi ion p écéden e . Pou é e un peu plus p écis, soi zo un poin de la on ié e de 9, e soi B= (L1, L2) une base de 1'espace des (1, 0)- champs angen s complexes au oisinage de zo de so e que, si N es le champ no mal á p (¡ .e . Np - 1 au oisinage de la on ié e de S2), (N, L1, L 2 ) es une base des champs holomo phes au oisinage de zo, e soi (ap, W1, w2) la base duale de (1,0)- o mes . Nous con uisons alo s deux onc ions Sl e S2 dans un oisinage V de zo elles que I01 aPAbPAw 2 Aw21 + 19AOPAnPAw1 AW,I < ( - P) lo¡, ng si ng S2 la cons an e C ne dépendan que de 9, V e B . Les onc ions S l e S2, don les dé ini ions p écises son données au pa ag aphe sui an , son in é ieu es á la onc ion S de 1'inégali é (3), e ne son plus en ai liées uniquemen au ype de Kohn des poin s du domaine 9 . Un peu plus p écisémen , au pa ag aphe V, nous compa ons leu s o d es de c oissance au bo d de 9 au mul i ype in odui pa D . Ca lin dans [3] . Disons simplemen ¡c¡ que lo sque Pon choisi pou B la base de_ COURANTS POSITIFS FERMES ET MULTITYPE  .  321 champs associée au mul i ype de zo, le compo emen adial de S, e S2 peu se compa e au mul i ypc (1, A2, A3) de zo (celui-ci é an supposé in¡) : SI es équi alen á(_p)1-2/A2 e S2 es in é ieu á (-p)1-2/A3 . Il . No a ions e énoncé du Théo bme Soien 9 un domaine bo né de C3 á bo d C' e p une onc ion dé inissan e de 9 (Le . Vp 7~ 0 au oisinage de ¡99) . Soi N le (1, 0) champ no mal á p dans un oisinage de ¿99 c'es -á-di e el que Np =- 1 au oisinage de 02 (Le . 4 N = 1 , 7P12 OP a oz ¡ az i Soi zo un poin de ¿9P ixé une ois pou ou es .  Soi B = (L i , L2) une base de champs angen s á p (Le . Lip =- 0) dans un oisinage de ZO- SOi (OP,W1,W2) la base de (1, 0)- o mes, duale de la base de champs (N, L 1, L2) - Soien m e M deux éels, m en ie , 2 < m < M . Rep enan les no a ions in odui es pa D . Ca lin dans [31, la base 8 é an ixée, considé ons la amille de lis es sui an e : W(B) = {,C i3 = - = (L1 , L 2 . . . . . . L k) ; k > 2, L' E {Ll, Li, L2, L2}) Vi} . Pou chaque £ EE W(B), nous considé ons les pa am~ es sui an s : 11(,C) =11 = ca d{i el que L' E {L,,L,}}, 12 ( -) = 12 = ca d{i el que L' E {L2, L2}}, de so e que l -l = k = 11 + 12- m e M é an ixés, dé inissons main enan des sous-ensembles de W(B) : W(L2, 8, M, M) = W  L E W(13) ; 11 + 12 < m m Wo (L 1, m) = WO = {IC E W ; 12 = 0} ; W1 (L 3 , M) = WI = { - E W ; 11 + 12 < M} ; W2 (L2,13, m, M) = W2 = {IC E W ; 12 > 1} ; W3 (L2, B, M, M) = W3 = { - E W ; 11 > 1} ; W4(L2, M, M) = W4  £ e W ; 11 = 0, 12 < m m 322 ,  PH . CHARPENTIER, Y . DUPAIN Pou G E W, nous dé inissons, sui an D . Ca lin, CL2,I3  ,,(G) = c, pa 1 .1 +~=1 . Dans ou e la sui e, Pensemble de lis es W4 joue a un óle és pa i- culie . A in de end e plus lisible ce e _pa icula i é, ous les élémen s de W4, e seulemen eux, se on no és G au lieu de C, e le pa amé e co espondan se a no é 12 . Pou dé ini les poids a ec és aux coe icien s du cou an , il nous au enco e p écise une no a ion : - Pou L = (L 1 , . . . , L k ) E W (B), on no e si k > 2, e , C(8p) = 8p([L 1 , L 2 ]) si k = 2 . - Pou L = (L . . . . . . L _ k ) E W4 e pou une onc ion C° _ ° dans un oisinage de zo, on no e L( ) = L l ... L k-2 ( ), si k > 2, e , , C( ) = si k=2 . - En in, nous no ons 7 L2 , c ~ = 7 le coe icien de L 1 dans le décomposi- ion de [L2, L2] su la base (3mN, L1,L1, L2, L2) . Dé inissons main enan des poids associés á la base 13 = (L1, L2) : e , e , L(ap) = L' ... L k-2 (ap([L k-1 1 L k ])) S( 3,m) = 1 : IL(aP)I 2 ( - P) 1 2 + (-P)1 LEW 1 S(L 2 ,13, m, M) = S ° + S 2 + S 4 + S 4o + (_P)1_ V , oú 1'on a no é succesi emen so= 1 : I LEWo s 2 = IL(aP)I~(-P)1-2, LEW2 s 4 = _~ IL(~ )I12 (-P) 1 '2, LEW Q S43=  l12+12 IL(aP)I'I'2 +'2 (-P)1 '1'2+'2 LEW4 LE W3 Rema quons que, si M <_ 2m, W4 es ide e S(L2,13, m, M) se édui á S ° + S 2 + (-P) 1-2/M . COURANTS POSITIFS FERMESET MULTITYPE  32 3 Nous dé inissons main enan le poids S(L2,13, M) pa : S(L2,13, M) = in {S(13, M), S(L2,13, m, M), 1 < m < M} . En échangean les óles de L1 e L2, on dé ini de la méme manié e le poids S(L1,13, M) = in {S( 3, M), S(L1, 3, m, M), 1 < m < M} . Rappelons en in que, si 0 es un (1, 1)-cou an posi i dans 9, alo s pou  ou es  (l, 0)- o mes  á  coe icien s  con inus  dans  52,  al  e a2, 0 n ia1 n ál n ia2 n á2 es une mesu e posi i e dans 9 .  De plus, le cou an iB n al A á1 es posi i . Nous pou ons main enan énonce le héo éme : Théo éme . Soi 52 un domaine bo né de C3 á bo d C°°, e soi p une onc ion dé inissan e de 9 (i .e . Vp =~ 0 au oisinage de ag) . Soien zo un poin de 852, e 13 = (L1, L2) une base de (1, 0) chames complexes angen s á p au oisinage de zo (¡ .e . Li (p) - 0) . Pou ou éel M >_ 2, il exis e un éel > 0 e une cons an e C > 0 dépendan de 9, de la base B, de M e de els que : Pou ou cou an posi i e mé 0 dans 9 de bideg é (1, l), l'inégali é sui an e es é ilée : 10AapAápAW2nw21 + onB(z o , )  S(L1, B, M) + //'  10Aáphápnwlncil1 <C  (_P)X81, JS2nB(zo, )  S (L2, B, M)  L oiu, (áp, w1, w2) es la base de (1,0)- o mes duale de la base (N, L l , L 2 ), N é an le chame no mal á p (i . e . Np - 1 au oisinage de 02) . Rema que 1 : une au e éc i u e des poids . Nous a ons di dans 1'in odúc ion que le héo éme ci-dessus amélio e le ésul a que 1'on peu ob éni , de agon analogue au cas de C 2 , en u ilisan la pseudo-dis an e in odui e dans [5] e [6] . Rappelons ou d'abo d celui-ci . A ec les no a ions in odui es p écédemmen , posons, pou b > 0, RN (b)  2<~c~<N {~ ~L(aP)~ ~  , S 324  PI-1 . Ch1ARPENTIER, Y . DUPAIN oú, 1G1 = k désigne la lo lgueu de la lis e G . Le ésul a lié á la pseudo- dis ance de [5] e [6] s'éc i : [  6(z) ())] 2 10AápAapl <C Jo (-P)IBI, S2nB(zo, ) oú, b(z) désigne la dis ance de z á aQ . Exp imons 1'inégali é du héo éme de manié e analogue . Pou cela posons successi emen e , R, 1 ,~ , M (b) < C (-P)IBI . n = in GE W o Rm ' M(b) GEW2 R 3 n,M (b) GEW 4 i i i i 2 +i 2 RM in GEW GEW3  G( b R,,,,m(L2, B) (b) =  in  {Rm,m(b), b 1 ~ M } , 1<i<4 Rm(L2, 8 )(b) =  sup  {Rm,n (b),Rm(b)} 2<m<M De la mcme manié e, dé inissons Rm(L1,13)(b), en échangean les óles de L1 e L2 . Le héo éme es alo s équi alen á 1'inégali é sui an e : [ RN (L 1 , 3 b 2 nnB(zo, )  b(z)((z))]  10 A 0p A 9p A w2 A w2 I+ +  [RM(L 2(z)(b(z))]2 I6 A áp A ap A w1 AW1I < S2nB(zo, )  - E es clai que le ésul a que nous mon ons dans ce a ail es meilleu que celui qui ai in e eni la pseudo-dis ance de [5] e [6] . Nous e ons au de nie pa ag aphe que, en géné al, il es s ic emen meilleu . COURANTS POSITIFS FERMES ET MULTITYPE  32 5 Rema que 2 . Il es na u el de se demande quel ésul a on peu ob eni pou les coe ñcien s d'un cou an posi i e mé de bideg é (2,2) . En ai , il es assez acile de se con aínc e que dans ce cas, 1'inégali é [R ~(() )) ] 2 Ie A áp A ápl -- C  ( - 0 0 1 gnB(zo, ) Z es sa is ai e e que c'es la condi ion na u elle . Dans ou e la sui e, le symbole A ;5 B signi ie a qu'il exis e une con- s an e ne dépendan que de p, , M e de la base 13 el que A < CB . Rema quons que m' > m en ame S(13, m') z5 S(13, m) .  Pa sui e, e pa aison de symé ie, le héo éme se édui á mon e 1'inégali é sui an e : III . Schema de la démons a ion _ 10A8pA8pAw2Aw21+loABpADpAwiAWi1 + -  QnB(zo, )  S(13, m) (*)  +  JBABpADpAw1Awi1 Ñ InnB(zo, )  S(L2, B,7 n, M) L(-P)101 . Pou simpli ie les no a ions, dans la sui e nous no e ons Si = S(B, m) e S 2 = S(L 2 ,13, m, M) . Comme dans [2], la démons a ion de ce e 1'applica ion de la o mule de S okes aux o mes BA8p A w i A GJ (-P) Si inégali é es basée su Pou ce ai e, il es nécéssai e d'une pa que le cou an 9 soi égulie , e , d'au e pa , que les onc ions poids S ; soien globalemen dé inies . Nous suppose ons done ou d'abo d que 8 es une o me á coe icien s C°° posi i e e e mée, e démon e ons le ésul a sous ce e hypo hése . Le cas géné al s'en dédui a aisémen a ec une égula isa ion . Dans le p emie sous-pa ag aphe de la pa ie IV, nous globalisons les poids en les modi ian á I'ex é ieu d'une boule cen ée en x o . Nous 326  PH . CHARPENTIER, Y . DUPAIN ob enons ainsi de nou eaux poids 61 e C52 e donnons une o mula ion équi alen e (**) de (*) a ec ces nou eaux poids . En appliquan la o mule de S okes, les dé i ées no males e angen es des poids appa aissen . Le deuxiéme sous-pa ag aphe, long e echnique, es consac é á é abli di e ses ela ions e es ima ions en e les poids 67 i e leu s dé i ées, en pa iculie des inégali és du ype (-p)IL^I Z < 62+1/n, (-p) IN6j 1 ; :S (p)Oj e (-p)I , ,I 2 e1 /n < 62/n . C'es dans le oisiéme sous-pa ag aphe que, ap és a oi appliqué la o mule de S okes, nous démon ons la o mule (**) . Nous majo ons I l + 12 pa une somme d'in ég ales E Ik que nous majo ons ensui e k sépa émen en u ilisan les es ima ions é ablies au sous-pa ag aphe p é- céden , 1'inégali é de Cauchy-Schwa z e la condi ion de Mallia in (2) . Nous mon ons que Ik <_ ckI+C s ( - p) 10 1, le coe cien ck dépendan d'un pa amé e . Pou conclu e, il su i de mon e que 1'on peu choisi le pa amé e de elle so e que E ck < l . k Rema que su la composi ion des sommes 671 e 62 cons u- i es au sous-pa ag aphe sui an . Pou 651 nous a ons simplemen p is le poids co espondan á la pseu- dodis ance de A . Nagel, E . S ein e S . Wainge , e nous a ons essayé de end e 67 2 aussi pe i que possible . En oublian ou e ques ion ela i e á la localisa ion ( onc ions ?p e Xi), la composi ion de 672 peu s'explique , pa une analyse apide de la p eu e qui sui , de la manié e sui an e . Tou d'abo d, on ema que que on doi a oi 652 ~ Iáp([L2,L2])I (p oposi- ion l ; cela p o ien des e mes considé és en b 4 dans la majo a ion (7) du sous-pa ag aphe 3) . Ensui e, on s'appe goi que 65 2 doi , dans un ce ain sens, é e s able pa dé i a ions dans les di ec ions N e L2 (c'es ce que disen p écisémen la p oposi ion 3 e le (iii) de la p opo- si ion 4 ; ce e s abili ée se á con óle les e mes considé és en dl e d2 dans la majo a ion (9) du sous-pa ag aphe 3) . Cela implique que 672 doi con eni la pa ie co espondan á 11 = 0 de 672 . Pa ailleu s, il se p odui un phénoméne d'échange en e 671 e 672 lo sque on dé i e la o me wl A wl . C'es ce phénoméne qui implique 1'in oduc ion du coe icien -y de L1 dans la décomposi ion du c oche [L2, L2] su la base (N, Ñ, L1, L1, L2, L2), 1'échange é an alo s con ólé pa la p oposi ion 2 (p écisémen , ceci p o ien des e mes c3 dans la majo a ion (8) du sous-pa ag aphe 3) . Alo s, en combínan le phénoméne d'échange e la s abili ée pa appo aúx dé i a ions, en L2, on oi acilemen que 672 doi con eni les sommmsc2 e 672 3 . A ce ni eau, si on dé i e un des e - mes de 67 2 dans la di ec ion L2, il n'appa ai pas d'exp ession d'un ype nou eau . Mais comme il au a é e la somme 62 áun ce ain o d e, il COURANTS POSIT S FERMGS CT MUTITYP  32 7 a i e que des dé i ées en L 2 de ce ains e mes de 62, ainsi cons ui , ne soien pas da es 652 . Comme la p oposi ion 4 doi é e sa is ai e, il au alo s ajou e des e mes á 652 . C'es ainsi qu'appa aissen 652 e le es e de 652 a ec, en pa iculie , Pexposan n- 2é dans la puissance de (-p) pou les e mes de 652 . IV . Démons a ion de la o mule (*) 1 . Globalisa ion e modi ica ion des poids Si e S2 . Les chames Li e les o mes wi n'é an dé inis que localemen dans un oisinage de zo, a in de pou oi applique la o mule de S okes au domaine 9 ou en ie , nous éliminons ce que se passe á 1'ex é ieu d'une boule B(zo, ) en mul iplian pa une onc ion 0 posi i e, C°° dans C 3 , de suppo inclus dans B(zo, ) e iden iquemen égale á 1 dans la boule B(zo, 2 /3) ( es choisi de elle so e que les chames L i soien dé inis dans B(zo, ) e que Ipl < 1 dans ce e boule) . Si on applique la o mule de S okes aux o mes il appa ai des in ég ales de la o me a0(-P) e A aP A wi Awi Lnl3(z o , )  S 7 Ces in ég ales se on majo ées i ialemen , ce que ne peu se ai e que si S ; ? 1 lo sque áo :,A 0, e ce n'es pas á p io i le cas . Nous allons donc modi ie les onc ions S ; en in oduisan deux nou elles onc ions X e X2 posi i es, C°° dans C 3 , elles que X1 + X2 - 1, XI - 1 dans B(zo, /2) e X2 - 1 dans C 3 B(zo, 2 /3) . La base 13, , les onc ions 0, X e X2 é an ixées, nous pou ons main- enan dé ini de nou elles onc ions 671 e 672 de la, manie e sui an e : Pou G = (L 1 , . . ., L k ), k > 2, posons G(áp) = L ... L k-2 (XiaP([L k- , L k l ))~ C(X2) = Ll . . .Lk-2(X2), e , de plus, si ,y es le coe iicien de L dans la décomposi ion de [L2, L2] dans la base (N, Ñ, L ,L ,L2) L2), pou G E Wn, £(7) =L . . . L k-2 (X,7), 334  PI-l . CIIARPENTIER, Y . DUPAIN Démons a ion de la, p oposi ion 4 : Pa dé ini ion, les onc ions 65 1 e 62 son des sommes de e mes de la o me IIC(^/)j a l£(aP)I 6 ( - P) c e I£(7)~al£(X2)jb(-P)° . Nous mon e ons donc que, pou chacun des e mes X composan la somme 651 e chacun des e mes Y composan la somme 65 2 , on a ( - P) I L1 X12  Ci +1/n , ( - P) I L2X 12  C2+1/, e (-p) I L2Yj2<32+ 1/n . Pou cela, nous u ilise ons, sui an la o me de X ou de Y, le lemme 2 ou le lemme 3 . Les majo an s ob enus son de la o me (somme de ois e mes) 2 + 1 /n . Le p emie de ces e mes es X ou Y lui méme (donc <_ Ci) e , dans les ois p emie s cas, le de nie es une puissance de (-p) in e enan dans C i (donc <_ Ci) . Nous mon e ons que, sui an les cas, les e mes manquan s son , soi une composan e de Ci, soi majo és pa une puissance adéqua e de (-p) . P emie cas . ou X = I~C(ap)I2n/k(-P)n(1-2/k), X' = IC(X2)I2n/k(-P)n(1-2/k), pou G E W1 . Soi L = L1 ou L2 . Appliquons le le n ne 2 a ec ; les pa amé es a=/3=2/k, A=B=2/(k+1) e N=- n . Il ien (-P)ILXI 2 < (X + IL£(ap)I ~(-P)n(1 ~) + (-P )n(1- ,)12_  +ñ Examinons le second e me de la pa en llése . Si k < m - 1, (L, G) E W1 e ce e me es un des e mes composan la somme 61 . Si k - m - 1, il es majo é, á une cons an e p és, pa (-p)n(1-2/, .`) . La démons a ion pou X' es s ic emen la méme que celle pou X en emplagan C(¿9p) pa £(X2) . Ceci aché e la p eu e de (i) e (ii) . Nous dé non ons nain enan (iii) . Deuxiéme cas . Y= IG(ap)I 2 n/ 12 (_p) n(1-2/ c ) ouY' = I¿(X2)I2n/l2 (-P)n(1-2/c) pou G E W2 . Appliquons le lemme 2 a ec L = L2 e a ec les pa amé es a =z , (  ) A = 2 B = ? ( m-¡ 1 ) e N = M . Il ien e - 12  m,  12+1  12+1  m (-P)IL2YI2<(Y+IL2G(ap)ITi+'1z+i( 11  2 ))+(-P)'~(1_Uj)2+, COURANTS POSITII'S FERMES ET MULTITYPE  335 Examinons le second e mo de la pa en hése . Si 12 < M(  ) - 1, (L2, G) E W2 e c((L2, G)) _  1 2+1 ~, M_ 1  e ce e mo es une ; composan e de 62 . Si 12 > M( mM 11 ) - 1, il es majo é, á une cons an e p és pa (-P)n(1-2/M) . ou La démons a ion pou Y' es s ic emen la méme que celle pou Y . UOlsR-me cas . Y= IIC(X2)I (-P)n(1 +, ., a) pou G E Wo . Appliquons le lemme 2 a ec L= L2 e a ec les pa a né es a = ¿ , ,Q =  + 2 - 1 -, A= 2, B = 2(~ 2(' -") e N =Men ema q uan que 1 M  as .- as, -á+1 =11e  -P=-M .Il ien 2+ ;~ ( - P)IL2YI 2 (Y +IL2G(ap)I 2 ~(-P) n (~ -2 (  ))+(-P)* .,(1-  )~ Examinons le deuxiéme e mo de la pa en hése . Si 11 < m(1 - M) alo s (L2, G)E W2, 12«L2,£» = 1, c((L2, G)) e ce e mo es une composan e de C 2 . Si 11 >_ m(1 - M), il es majo é, á une cons an e p és, pa (-p)n(1-2/M) La démons a ion pou Y' es s ic emen la mé ase que pou Y . _  zas  n  1 _ _?  _ Qua iéme cas . Y = I G(-y) 112 (-P)  `2^' ), pou G E W,, Appliquons le lemme 2 a ec L = L2 e a ec ; les pa a né es cx = ~ z, - c2 ° A= ~ 2+I' B = 1 Z+1)n~ e N = M . Il ien (-P)IL2Y1 2 ; !5 (Y+1L21E(_Y)I`2+1(-P)n(i (12+1),n)+(-P)n(1 x )1 Examinons le deuxiéme e mo de la pa en hése . Si 12 < M - 1, (L2, L) E Wn e ce e mo es une composan e de 62 . Si l2 > M - 1, il es majo é, á une cons an e p éS, pa (-P»-(1-21M) . Cinquiéme cas . ou Y  (-P)'  1112+12 ) 336  Pll . CIIARPENTIER, Y . DUPAIN _ zn ,  zn  z Y' = ¡ , ( - Y) 1 1112+`2  (X2)  1 1 1 2 +`2 (-P) 1112+12 pou GEW4e £EW3 Posons D = 1,12 + 12, D' = 11 (1 2 + 1) + 12, e appliquons ce e ois- ei le le nme 3 a ec L= L2 e a ec les pa amé es oz = 211,  _ 2 , D  - D A = ~ , B = ó, , A' = D" e B` = D+ 1 . Il ien (-P) I L2YI2  {Y + ¡, ('Y)1 z  I L2G(aP) 1'5-+-, (-p) (1  -+i )+ + IL2G(7)I2o I£ (aP)I-D2"  2 7 (-P)'°(1--D7 )l 2+ Examinons ou d'abo d le deuxiéme e mo de la pa en liése . Si 12 + 1 < M(nM ), (L 2 , G) E W3 e ce e me es une des composan es de 67.2 . Supposons done 12 + 1 >_ M( m n a 1 , ) e posons D" = D + 1 . Dans ce cas, ce e me es majo é, á une cons an e p és, pa U = IG(,,)I2n1,/D"(_p)n(1-2/D") . O , dans 62 appa ai le e me T = I~E( - Y)I 2n / i2 (_p) n ( 1-2 / 2m ) . Compa ons done U á T U = T% 4 " (-p) O , 62 > (-P)"(1-2/M) e , pa sui e, ( D" -2+ 2~ -i21, ) U G 07 22 quan i é qui es in é ieu e á 67 2 ca (M-2)1 21 1 +M(D"-2+ 211 -1 2 11 = m =MD" - 2(1211+M( 11  > ( M - 2)D" m  - . d'ap és 1'hypo hése ai e su 1 2 . Le deuxié ne e me es done oujou s majo é, á une cons an e p és, pa G 2 . Examinons main_ enan le oisiéme e me de la pa en hése . Si 12 G M - 1 , (L2, G) E Wn e ce e me es une des composan es de 672 . Supposons done l2 Il es alo s najo é, á üne cons an e p és, pa U= IG(ap)I2n/D'(_p)n(1-2/D') . Nous sommes obligés main enan de sépa e deux cas sui an les aleu s de 12(G) = 12 . COURANTS POSITI S ERMGS ET MUUTITYPIE  337 Tou d'abo d, si 12 > 0, alo s G E W2 e , dans 62 appa ai le e me a ec c = ~ . Compa ons U h T T = IG(aP)) (-P)~,(1 ~) +  ) - C7,I2p'_lz_z U=TD O , 62 > (-p)n(1-2/M), e pa sui e Compa ons U á T D'M-2 l2+ l lm U< 62  D (M-2) quan i é qui es in é ieu e á C 2 ca l2 + 1 > -M . .~ implique D' > 12 + M l ) . Supposons main enan 12 = 0 . Alo s G E W o e , dans la somme composan C2, appa ai le e me Comme 62 > (-P)zl(1-2/M) e comnle l2 > ~ -1 inlplique l2- ~+ M > 0, on a M(12+1)-2* U < C2 ( 2+MM-2) quan i é qui es in é ieu e á 62 ca  <_ 12 + 1 . La démons a ion pou Y' se ai de agon iden ique en emplagan C(Op) pa C(X2) . 3 . Fin de la démons a ion de la o mule (**) . Nous supposons ou d'abo d que 0 es á coe icien s C°" dans S2 . Comme nous Pa ons déjá di , nous allons applique la o mule de S okes su 9 ce qui e a appa ai e des dé i ées (les onc ions C i . Le con óle des dé i ées no males ob enu dans la p oposi ion 3 nous amé le á considé e le domaine 52' = S2 Q2 E , oú 52,, = {P < -77},' e 0 < e < 1 se a ixé ulé ieu emen . Pou démon e la o mule (**), il nous au majo e 1'in ég ale ¡ 2 Bn(gpAúPA(w1nw1+w2nw2) I= 1 + I . i 2 BnáPAúP/ w,nw1 338 Soi cp EC , (C 3 ), 0 <_ cp < 1, elle quc ep - 1 dans S2 9 E , Supp(cp) C S e 1OWI < C/E . Appliquons la o mule de S okes á la o me epw oú Z20 n áp n (w1 n W1 + wz n w2) + (-P b i 20 n Up n w1 n w1 C7i/n  )  C 2/n Puisque ii /n > (-p) 1-1 / M , w es nulle su (99 e il ien Comme CA Z >_ En-zn/ i dans 9, on a Iwl <_ ~( - p)IB) dans ce ou e , e le sc ;cond menlb e d< ; . (4) es ma,jo é c ;n module ; pa En %c i an S2 = (S2 S2 E )US2 E dans les in ég ales de I, (4) e Supp(cp) C n' mon en que I es majo ée pa n I<~ k=1 oú les Ik son donnés pa : ~ine" ~ ~P) (aV, n B n áp n (w 1 nw 1 + w z n w z ) I+ 1 Is = ~  0(_P) le n 8p n 8(w1 n Ci1 + wz n (Dz) I+ ~,  C 1 / + O(-P) IB n 8p n 8(w1 n w 1) I, h= + ~1P) 18~ n B n 8p nw zn¿V2 z C ~ 1 P ) IBnBc~pn(w 1 n w, +wz nwz)I+ 1 + C ( 1/ P ) IBnBbpnw1 nWZI, z C 2 /n PI-I . CHARPCNTII :I , Y . DUPAIN 19 cp8w =- o (9w n w . C ' Ez J~(-P)IBI- Ik + 2 ~ ( - P) 1PI, E n 1 , ~1+1/n I a C1 n B n áp n (w1 n w1 + W2 n wz) I+ 1 1  " (-P) j a62 n8náp n w1 n w11 . 7L  C-5 1+1/n 2 COURANTS POSITI s i'GRMGS T MUí :1' ypl~  339 Nous allons done majo e sépa émen chacune de ces in ég ales . é an iden iquemen nulle á 1'ex é ieu de B(zo, ), il su i de considé e comme domaine d'in ég a ion Q' n B(zo, ) ce qui nous pe me d'u ilise les p op ié és de C I e 6 2 é ablies au pa ag aphe p écéden . a) Majo a ion de II : Pa dé ini ion de 0, Do - 0 su B(zo, 2 /3), e , d'ap és la p oposi ion 1, 00 =~ 0 implique C1 >_ 1 e 62 >_ 1 . h es done majo ée, áune cons an e ne dépendan que de la base 8 choisie, de e de 0 pa b) Majo a ionde 12 : II ; :S o (-p)IBI . Dé eloppons ááp su la base de o mes associée á (N, LI, L2) 2  2 ááp=aápnáp+~biwi náp+~ciapAW¡+dwl nw2+ew2 AWI -I  i-I + ap ([LI , Lj])wI n w, + ap ([ L2, L2]) w2 nW2 . Les e mes en wi nw ;, i :~ j, ne donnan aucune con ibu ion á 12, considé ons les au es . bI) Con ibu ion du e me aapnáp : Ci/ n é an supé ieu á (-p), I(-p)aOADpAipAwj nw ;I Ci/n  < CIe A apA apl , oú C es une cons an e ne dépendan que de 13 e . La con ibu ion ces e mes a 12 es done majo ée pa C (-p) 101 g áce i la condi ion Mallia in (2) . b2) Con ibu ion des e mes biwi A áp : Les e mes blwl A ap e b2w2 Aap in e iennen dans 0 A áap A (w1 n (Di + w2 n W2) e b2w2 n áp in e ien dans 0 A ááp AwI A ¿Di . 11 nous au done majo e . ( I P) (Ib,0Aw2nw2AWIAepl+Ib29AWIAWIAw2Aúpl), I de de 340 e , e PII . CHARPENTIER, Y . DUPAIN ~sz  ~(I /P) Ib 2 B A wl  wl  w2  8pi . 2 O , puisque 0 es un cou an posi i , ¡0 A wj A wj es aussi posi i , e 1'inégali é de Cauchy-Schwa z donne, pou ou e cons an e KI > 0 IB Aw 2 Aw 2 Aw 1 Aapl C 1 /n 1 IBAw2Aw2AepAapl +K1IOAw2Aw2Aw1Awli, Kl  C 2/ n le A wl A wl A w2 A 8pl 1 IOAwjAcwiAapAápl +K1J9Aw1AwlAw2Aw2l . K l C2/n En u ilisan le ai que C? / ~` > (-p) C1 /n , .nous oyons que la con ibu- ion de ces e mes á 12 es in é ieu e á C{ 1 ~~ I0A8pAapA(w1AW1+w2AW2)I Kl .  6 l/ 1 n  + 1 + I0AapAOpAw1Aw11  +KI J 0(-P)lel }, 2 oú la cons an e C ne dépend que des bi e (le , c'es -á-di e du choix de la base 13 e de . bs) Con ibu ion des e mes ciapALJj : Ces e mes se ai en exac emen de la méme manié e que les . p écé- den s . b4) Con ibu ion des e mes áp([Li,L1])w1 Awl e 0p([L2, L2])w2 Aw 2 : D'ap és la p oposi ion 1, Ci /n ?(9p([L1,L1])I + láp([L2,L2])I, e (32/n ? lap([L2,L2]) I . La con ibu ion de ces e mes es donc lajo ée pa C ./', (-P) I0I . Majo a ion inale de 12 : En eg oupan ous ces e mes, nous ob enons e) Majo a ion de 13 : Comme dans le deuxiéme cas, dé eloppons C9(wi AWi) su la base de o mes associée á (N, L I, L2) a(wiA(GJi) = awiAwi-wiAC9(Di = EajapAWjAWi+ j  j,k COURANTS POSITI S PERMES ET MULTITYPE  341 ,W i AapAw j + I2 ; KII+(K,+1)s (-081 . e , seulemen pou 1'indice i = 1 dans djwiAapAwj+ewiAapAap+y ijwiAWjAWj . Les e mes oú appa ai ap donnen une con ibu ion nulle . cl) Con ibu ion des e mes ajap Awj A (Di e cjwi Aap Awj : é an supé ieu á (-p), j(-p)aj0AapAapAwj ACJil e , Comme dans le cas bl), en u ilisan la condi ion de Mallia in (2), la con ibu ion de ces e mes á 1'in ég ale 13 es majo ée pa C p (-p)181 . La con ibu ion des e mes du second ype se inajo e de la méme manié e . c2) Con ibu ion des e mes bj,kwj Awk AWi : Ces e mes in e iennen pou les indices i = 1 e i = 2 da es B A apA á(wj Awl + w2 A w2) C~i/ n 10ABpAa(W Aw )~ CH I/n 2 < CIB AapA apl, bj,kWj AWk AWi+ 342  Pl-i . CIIARPENTIER, Y . DUPAIN Il au done dans le p emie cas considé e w1 nWl n w2 e w2 n W2 n w1 e , da is le second, seulemen wl n Wl n w2 . Nous de ons done majo e Ib129nápnwlnwlnw21Ib2 enápnw2nw2nwil C~/ n, Ci/ n, Ib120 n áp A wl n wl n w21 ce qui donne le méme ésul a que dans le cas b2) ci-dessus . c3) Con ibu ion des e mes a2jwi Awj n(Dj : Ces e mes appa aissen pou les indices i = 1 e i = 2 dans la o me ela i o á C 1 e conduisen 11 majo e les né le e mes (aux coe ñcien s a¡j p cs) que dans les cas c2) e b2) ci-dessus . Pa con e, dans la o me ela i e á 62 in e enn (pou i = 1) la o me a12w1 n w2 n w2 . La majo a ion de ce e mo nécessi e un ai emen di é en : con ai emen aux au es cas, 1'applica ion de 1'inégali é de Cauchy-Schwa z ai appa ai e 8 n áp n Dp n w2 A ¿V2 a ec le poids 62 2/n au lieu de 61 2/n e il au ai e in e eni une ela ion lian 61, 62 e a12 (Jusqu'á p ésen , la seule p op ié é des coe cien s u ilisée é ai qu'ils son uni o me nen bo nés dans B(zo, ) pa une cons an e ne dépendan que de la base B e de ) . Nous allons done u ilise la aleu p écise de 012 : Lemme 4 . Le coe jicien - a12 es égal au conjugué du coe icien , y de L 1 dans la décomposi ion de [L2, L2] su la base (N, N, L1, L1 ) L2, L2) Dé nons a ion : En e e , - a12w1 nw2 n(D2 p o ien du dé eloppemen de w1 n ¿9¡D l . , e done - a12 =d ;) 1(L2, L2) . Pa sui e - 012 = L2(Wl(L2)) - L2(wl(L2)) - Wl ([L2, L2]) =- wl ([L2, L2]), ce qui inon e que [L2, L2]  =  a12L1 + bL l  nodulo (L2, L2, N, N), e comme le : conjugué de- ; [L2, L2] es égal i son opposé, le lemme en ésul e . Nous somnles done amenés á majo e 1yOAápAwlnw2nw21 il ien done : e On a COURANTS POSITI6S PERMES ET MULTITYI'G  343 0 é an posi i , u ilisons 1'inégali é de Cauchy-Schwa co lme en b2) : pou ou e cons an e K > 0, 150ADpAw 1 A w2 A w 2 1 1 1712 1BAapAbpAw2Aw21 K  2/7L  + KIB n w1 n w1 V 2 O , nous a ons u a la p oposi ion 2 que 1 10AOpAOPAw2Aw21 ¡ 1 Majo a ion i lale de 13 : En eg oupa l les di é en es majo a ions nous ob eno ls : (8)  13 <  zI + (K2 + 1)  (-P)IH1 . d) Majo a ionde h : N C~ 141 010AapAúpA(wlnjl+w2nw2)1( C1+1(/n )1 14 2 = J  010 A ap A D7P A w1A w1I (-P 1+1/n  ) I 91  61+1/~~, z z1 ( - P) C ,2 1 /n C 2  1 150 A Op A wl n w2 n w21 s ,  i 1 /n s h< n 1YIñ, j=1 L C 010 A áp Aw 1 A w 2 A W21  ~1+1 ¡ n 1) , 1 144 = 010AepAw 1 A w 1 Aw 21( - P)I L z( c1 ) 1 6 1+1/n ' 1 n w2 n w2 I .