Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
30
n4
2- 3
Des
.
1986
CONEXION
POR
CAMINOS
Y
DIMENSION
Joan
Ta és
i
F eixene
IYTFODUCCIOB
En
[31 y [41
se de inen, espec i amen e,
las
dimensiones
(X)
y
K(X)
.
La
p ime a
iene
de e minada
po las
componen es
conexas
del
espacio
X,
mien as
que
la
segunda
es á dada en
unción
de
sus
cuasi
componen es
.

Asimismo,
en
[5) se
es ablece
la
unción
de
dimensión
M(X),
de inida
po las
componen es
M-conexas
del
espacio
dado
( e
[51)
.
El
p opósi o
de
es e
abajo
es
de ini
una
nue a
dimensión
que
enga
en
cuen a
la
conexión
po
caminos
del
espacio,
con
p opiedades
semejan es
a
las
de
las
dimensiones
ya
ci adas
.
Designa emos
es a
nue a
dimensión
como p(X)
.
El
es udio
de es e
nue o
in a ian e opológico
se
hace en
el §1
:
Además
de la
de inición,
se
dan
algunas
de
sus
p opiedadesesenciales,
como
el
eo ema
de
la
in a iancia
po
homeomo ismos,
el
eo ema
del
subespacio
y el
del
p oduc oca esiano
.
Los
espacioscuya
p-dimensión
es
igual
a
ce o
quedan
ca ac e izados
po
se
no
acíos
y
ene
las
componen es
conexas
po
caminos
o madas
po
conjun os
de un
solo
pun o
.
Se
ob iene ambién
una ca ac e ización
de
la
y-dimensión
en
unción
de
las
componen es
conexas
po
caminos
pa a
espacios
ales
que
odo
elemen o
del
mismo
posee
un
en o no
conexo
po
caminos
.
En
el
§2
queda
de inida
la
dimensión
M"(X),
comple amen e
análoga
a la
unción
X(X)
de
(5),
con
la
di e encia
de
que los
X-
sepa ado es
u ilizados
en es e caso
deben
se
conjun os
ce ados
.
El 53
es á
dedicado
al
es udio
de
las
elaciones
exis en es
en e
las
dis in as
dimensiones
ya
enunciadas,
as¡
como
con
las
dimensionesinduc i as
clásicas
ind(X)
e
Ind(X),
y la
dimensión
po
ecub imien os
dim(X)
.
La
coincidencia
de
odasellas
se da
en
espacios
me izables,
localmen e
compac os
y
localmen e
conexos
po
caminos
.
Es a
p opiedad
pe mi e
enuncia
el
eo ema
undamen al
de la
dimensión
pa a
p(X) y
XI(X),
según
el
cual,
la
dimensión
del
espacio
euclideo
R-
es
igual
a
n,
pa a
odo núme o
en e o
n;l
.
En es e a3
ob enemos
ambién
una
e sión
del
eo ema
de la
suma pa a
las
dimensiones
p(X)
y
X'(X)
.
Dados
un
espacio opológico
X y
dos
elemen os
dis in os
x e y
del
mismo,
di emos
que
un
subconjun o
ce ado
L
de
X
es un
c-sepa ado
de X
en e
x
e
y si
X L
no
es
conexo
po
caminos
y
los
pun os
x
e
y
pe enecen
a
componen es
conexas
po
caminos
de
X L dis in as
.
1
.1
DEFIDICION
.
Si
X
es
un
espacio
opológico,
de inimos
la
p-dimensión
de
X
como
un
núme oen e o
p(X)d-1
al
que
:
a)
'
MM=-1
si
y
sólo
si
X=0
.
b)
Si IXI=1,
u(X)=0
.
c)
Pa a
espacios
X
ales
que
1X!12
y
núme os
en e os
n>'0,
es
,u(X)<n si
y
sólo
si
pa a odo
pa
de
elemen os
dis in os
x e
y
de
X
exis e
un
c-sepa ado
L
de
X
en e
ellos
al
que
p(L)Fn-1
.
d) Si
p(X)6n
y
no es
cie o
que
u(X),n-1,
di emos
que u(X)=n
.
e) Si
pa e odo
n3-1
es
u
(X»n,

se dice
que
p
(X)=w
.
51
.
LA
DHIEIISI019
N(%)
1
.2
PROPOSICIOH
.
Dado
un
espacio
opológico
X,
p(X)=0
si
y
sólo
si
X
es
un
conjun o
no
acío
y
sus
componen es
conexas
po
caminos
con ienen
un
único
elemen o
.
Demos ación
.-
Supongamos
que
p(X)=0
.
En
i ud
de
1
.1,
Xs0
y
además,
si
X
con iene
dos elemen osdis in os
x e
y,
és ospe enecen
a
componen es
conexas
po
caminos
de
X
dis in as,
pues
el
conjun o acío
es un
c-sepa ado
de
X
en e ellos
.
Po
lo
an o,
cualquie
componen e
conexa
po
caminos
de X
es á
o mada
po
un solo
elemen o
.
Recíp ocamen e,
si X es
un
conjun o
no
.
acío
y
sus
componen es
conexas
po
caminos
son-los
pun os,
el
conjun o
0
es
un
c-sepa ado
de
X
en e
odo pa ,de
elemen osdis in os
del
mismo
.
Es
deci ,
p(X)=0
.#
1
.3
TEOREXA
.
(In a iancia
po
homeomo ismos)
.
Si
los
espacios
X
e Y
son
homeomo os,
u(X)=N(Y)
.
Demos ación
.-
P oba emos
el
eo ema
po
inducción
espec o
a
u(X)
:
Si
u(X)=0,
las
componen es
conexas
po
caminos
de
J
son los
conjun osuni a ios
;
si Y es
homeomo o
a
X,
sus
componen es
conexas
po
caminos
se án
ambién
los
conjun os
de un solo
pun o,
y así
p(Y)=0
.
Conside emos
p obado
el
eo ema
pa a
espacios
cuya u-dimensión
es
meno
que
n (nll)
.
Sean
X
un
espacio
al
que
p(X)=n
y
:
X
--~
Y
un
homeomo ismo
.
Si
x'
e
y'
son elemen osdis in os
de
Y,
.
de mane a
que
x'= (x)
,
y'= (y),
como
p(X)=n,
exis e
un
c-sepa ado
L de X
en e
x e y
al que
p(L)£n-1
.
El
subconjun o
L'= (L)
es un
c-sepa ado
de
Y
en e
x'
e
y'
al
que
p(L'
)£n-1,
po
la
hipó esis
de
inducción
;
luego,
p(Y)£n
.
Pues o
que
p(X)=n,
exis en
pa es
de
elemen osdis in os
en
X y
un
c-sepa ado
del
espacio
en e
ellos
cuya
u-dimensión
es
igual
a
n-1
.
La
imagen
po
de es e
c-sepa ado
de X
es
ambién
un
c-sepa ado
de Y
en e
las
imágenes
de
los
elemen os
conside ados
y
cuya
u
-dimensión
es
igual
a n-1
.
En
consecuencia,
p(Y)=n
.#
1
.4
TEOREXA
.
(Teo ema
del
subespacio)
.
Pa a odo
subespacio
A de
un
es-
pacio
opológico
X
es
u(A),p(X)
.
Demos ación
.-
Aplica emos
inducción
comple a
espec o
a
p(X)
:
Si
p(X)=O,
las
componen es
conexas
po
caminos
de X
son
los
pun os
;
si
A
es á
con enido
en
X
es
A=0,
o
bien
sus
componen es
conexas
po
caminos
son conjun osuni a ios
.
Luego,
p(A)=0
.
Si
suponemoscie o
el
eo ema
pa a
espacios
con
u-dimensión
me-
no que
n
(n>>l),
sea
X
un
espacio
al que
p(X)=n
.
Pa a
x
:y en
A,
exis e
un
c-sepa ado
L de
X
en e ellos
con
u(L)£n-1
.

El
conjun o
L
n
A
es un
c-sepa ado
de
A
en e
x e
y,
y
como

LnA
c
L,
po
la
hipó esis
de
inducción
es
p(1,
n
A)£u(L)£n-1
.
En
consecuencia,
u(A)£n
.#
Como
` emos,
la
p-dimensión
iene
dada en
elación
con
la
conexión
po
caminos
del
espacio
conside ado
.
Es a
elación
queda
pues a
:
de
mani ies o
en
la
p oposición
siguien e,

que
exp esa

la p
dimensión
del
espacio
o al
en
unción
de
la de
sus
componen es
conexas
po
caminos
:
1
.5
PROPOSICIOII
.
Sí
X
es
.
un
espacio
opológico-
no
acío
al
que
odo
elemen o
del
mismo iene
un
en o no
conexapo
caminos
y
(C,)
;
.,
.
es
la
amilia
de
las
componen es
conexas
po
caminos
de
X,
se
iene
:
"

u(X)=sup
(N
(C,
)
11
e1)
Demos ación
.-
Po
el
eo ema
1
.4,
pa a odo
¡el
es
u(C,)lp(X),
po
lo
que
sup<p(C,)IiEI)(p(X)
.
P obemos aho a
la
desigualdady(X)(sup<p(Cá)IiEI)
:
Llama emos
k=sup<(C,)I1eI)
;
dados x,YEX
dis in os,
si
pe enecen
a
componen es
conexas
po
caminos
di e en es,
el
conjun o
acío
es un
c-sepa ado
del
espacio
en e
dichos
pun os
;
si x e y
son
elemen os
de la
misma
compo-
nen e
conexa
po
caminos
C, de
X,
como p(C,)ík, exis e un
c-sepa ado
L, de
C,
en e
ellos
al
que
p(L,)(k-1
.
eniendo
en
cuen a
que
C,
es un
conjun o
ce ado
en
X, L,
es un
c-sepa ado
de
X
en e
x e
y,
po
lo
que
p(X)1k
.#
1
.6
PROPOSICIOII
.
Si
(X
.),,,
es
una
amilia
de
espacios
opológicos,
es
p( X,)=0
si
y
sólo
si
pa a cada
ícI
es
u(X,)=0
.
,
.,
'

Es a úl ima
'p oposición
es
consecuencia
de
que
las
componen es
conexas
po
caminos
de
TTX
.
son
los conjun os
de
un solo
pun o
si
y
solo
si lo
son
las
componen es
conexas
po
caminos
de
X,,
pa a cada
¡el
.
1
.7 TEORET1A
.~(Teo ema
del
p oduc o
ca esiano)
.
Si
X
e
Y
son
espacios
opológicos
no
acíos,
.p(XxY)<p(X)+N(Y)
.
Demos ación
.-
Llamemos
m=p(X)+p(Y)
;
p oba emos
el
eo ema
po
inducción
espec o
a m
:
Si m=0,
es
p(X)=p(Y)=0
y
aho a,
el
eo ema
es
consecuencia
de
1
.6
.
Si el
eo ema
es
cie o
pa a
alo es
m<k
<kil),
sean
X e Y
espa-
cios
ales
que
p(X)+p(Y)=k
.
Si <x,y) y
(x'
,y')
son elemen os
dis in os
de
XxY,
supongamos
que
es
xmx'
(análogamen e
pa a
yxy')
.
Exis e
en on-
ces
un
c-sepa ado
.L de
X
en e
x y
x'
con
p(L)£p(X)-1
.
El
conjun o
LxY
es un
c-sepa ado
de
XxY
en e
(x,y) y
(x',y')
de
mane a que
:
p(L)+p(Y)£p(X)+p(Y)-1=k-1
Po
la
hipó esis
de
inducción,
enemos,
p(LxY)£p(L)+p(Y)£k-1,
po
lo
que
p(XxY)(k
.#
1
.8
COROLARIO
.
Pa a
oda
amilia
ini a
de
espacios
(X
:l =1,2,
.

n) es
p
(XI
XX_
,
x
. .
.
xx

)1,p
(X? )
+p
(X2)
+
. .
.
+
p
(X,,)
1
.9
PROPOSICIOB
.
Si
:
X--i
Y
es
una
aplicación
inyec i a
y
con inua
en e
dos
espacios
opológicos
y
p<Y)=0,
en onces
p(X)=0
.
Demos ación
.- Si
p(Y)=0,
las
componen es
conexas
po
caminos
de
Y
son los
conjun os
de
un solo
pun o
.
Como
es
una
aplicación
inyec i-
a,
las
componen es
conexas
po
caminos
de
X
se án
ambién
conjun os
de
un
solo
elemen o
.
Es
deci ,
p(X)=0
.#
1
.10
PROPOSICIOR
.
Si
:
X

o
Y
es
una
aplicación
biyec a
y
con inua
en e
dos
espacio
opológicos,
p(X)
:p(Y)
.
Demos ación
.-
Aplica emos
inducción
espec o
a p(Y)
:
Si
p(Y)=0,
en i ud
de
1
.9,
p(X)=0
y la
p oposición
es
cie a
en es e caso
.
Supongamos
cie o
el
enunciado
pa a
espacios
con
p-dimensión
me-
no
que
n

(ni
l)

y
sea
Y
al

que

p(Y)=n
.

Si
xsx'

en
X,

ambién
es
(x)x
(x'
)

en

Y,

po

lo
que

exis i á

un
c-sepa ado

L'

de

Y

en e

(x)

y
(x')
con
p(L')£n-l
.
Aho a,
L=
-
'(L')
es un
c-sepa ado
de X
en e
x y
x',
y
po
la
hipó esis
de
inducción
se
e i ica
que
pW(pW)(n-1
.
Po '
lo
an o,
p(X)£n
.#
1
.11
COROLARIO
.
Si
X
es
un
conjun o
no
acío
y
T
y
T'
son
opologías
de
X
ales
que
Te
T',
se
cumple
que
p(X,T')
:p(X,T)
.
La
desigualdad
del
co ola io
1
.11
puede
se
es ic a,
como
puede
comp oba se
en
el
ejemplo
siguien e
:
1
.12
EJEMPLO
.
En
el
conjun o
R
de
los
núme os
eales
conside a emos
la
oplogía
usual
T~
y
la
opología
T
cuya
base
es
la
amilia
:
B={[a,b)
1
a,bER
;
a<b
)

E iden emen e,

T_ c T y
además,

p(R,T)=0
y
p(R,T_)=1

( e 3 .10)
.
52
.

LA
DIIIERSIOR
II*
(X)
En
(5)
se
de inen
los
espacios
M-conexos
como
aquellos
en
los
que
pa a odo
pa
de
elemen os
del
mismo
exis e
un
con inuo
K del
espacio
que
con iene
dichos
pun os
.
Asimismo,
se
de inen
las componen-
es
M-conexas
de
un
espacio
como
sus
conjun os
31-conexos
maximales
.
Si
X
es un
espacio
opológico
y x
e
y
dos elemen osdis in os
de
dicho
espacio,
di emos
que
un
subconjun o
L
de
X
es un
X-sepa ado
de X
en e
x e
y
si
L
es
ce ado
en
X,
X L
no
es
M-conexo
y
los elemen os
x
e
y
pe enecen
a
componen es
M-conexas
de
X L dis in as
.
De
mane a
análoga
a
(5J
de inimos
la
dimensión
X'(X)
como
:
2
.1

DEFIDICIOD
.

Si

X
es

un

espacio

opológico,

X'
(X)

es

un

núme o
en e o
mayo
o
igual
que
-1
que
e i ica
:
a)
11*
(X)=-1
si
y
5ó1 a si

X=0
.
b)
Si
IXI=1,
X»(X)=O
.
c)
Pa a
espacios
X
ales
que
¡Xl?2
y
núme os
en e os
n>0,
M'(X)
:
£n si
y
sólo
si
pa a
odo
pa
de
elemen os
dis in os
x,yeX
exis e
un
X-
sepa ado
L
de
X
en e
ellos
al
que
X`(L)Sn-1
.
Igual
que
en
1
.1
se
de ine
X°(X)=n
y X
"
(X)=m
.
Igual
que
pa a
la
dimensión
p(X),
se
ob ienen
con
acilidad
los
esul adossiguien es
:
2
.2
PROPOSICIOH
.

Si
X
es
un
espacio
opológico,

X'
(X)=0
si y
sólo
si
las
componen es
X-conexas
de
X
son los
pun os
.
2
.3
TEOREMA
.
(In a iancia
po
homeomo ismos)
:
Si
los
espacios
X
e F
son
honeono os,
N''(X)=1T
(Y)
.
2
.4
TEOREMA
.
(Teo ema
del
subespacio)
.
Pa a
odo
subespacio
A
de un
es-
pacio opológico
X
es
I (A)69`M
.
2
.5
PROPOSICION
.
Si X es un
espacio
no
acío
al
que
odo
elemen o
del
mismo
iene
un
en o no
X-conexo
y
<C
.)_,
son
las
componen es
K-conexas
de
X,
se
iene
:
X'(X
)=
sup
KI(C')
1
¡El
)
Pues o
que
odo
X-sepa ado
de X
es
un
c-sepa ado
de
es e
espa-
cio,
podemos
asegu a
:
2
.6
PROPOSICION
.
Pa a odo
espacio
X
se e i ica
que
p(X)FX'(X)
.
La
desigualdad
de 2
.6
puede
se
es ic a
:
2
.7
EJEXPLO
.
Si X
es un
conjun o
in ini o
nume able
con
la
opología
T
de
los
complemen a ios
de
los
conjun os
ini os,
(X,
T)
es un
espacio
conexo
y
compac o,
po
lo
que
M'(X))0,
mien as
que
las
componen es
co-
nexas
po
caminos
de
(X,T)
son los
pun os,
y
así,
p(X)=0
.
g3
.
LAS
DIMENSIONES
p(X)
Y
I["(X)
Y
OTRAS
FUNCIONES
DE
DIIIENSION
En 13) y [4) se
de inen,
espec i amen e,
las
dimensiones
(X)
y
K(X)
.
La
p ime a
de
ellas
iene
de inida
en
unción
de
sepa ado es
de
conjun os,
mien as
que
la
segundá
lo es á en
unción
de
sepa ado es
en e
pa es
de
pun os
dis in os
.
De
acue do
con
[4),
pa a odo
espacio
X
es
(X)FK(X)
.
Si X
es un
espacio
T_
:,
odo
sepa ado
de
X
con ieneun
sepa ado
ce ado,
y
eniendo
en cuen a
que
si
L
es
un
sepa ado
del
espacio
X
ambién
es
un
M-sepa ado
del mismo,
podemosa i ma
:
3
.1
PROPOSICION
.
Si
X
es un
espacio
Tes
:
p(X)£X'(X)£ (X)£K(X)£ind(X)
3
.2
COROLARIO
.
Pa a odo
espacio
Ta
:
,u
(X)
£K'
(X)
£
(X)
£X
(X)
£ind
(X)
SInd(X)
En
i ud
de (1),
1
.4
.5,
enemos
:
3
.3
PROPOSICIOII,
Si
X
es
un
espacio
localmen e
compac o,
son
equi alen-
es
:
1nd(X)=0

K(X)=0

(X)=0

Al
(X)=0
3
.4
COROLARIO
.
Si
X
es
localmen e
compac o
y
T_
y
odo
elemen o
de
X
iene
un
en o no
conexo
po
caminos,
son
equi alen es
:
ind
(X)=0

K(X)=0

(X)=0

X'
(X)=0

u(X)=0
3 .5
LEMA
.
Si
X
es un
espacio
localmen e
conexo
po
caminos,
odo
c-se-
pa ado
de
X
es un
sepa ado
de
dicha
espacio
.
Demos ación
.- Si L
es
un
c-sepa ado
de
X,
como
X L
es un
con-
jun o
abie o,
ambién
es
localmen e
conexo
po
caminos
.
Luego,
las
componen es
conexas
de
X L
coinciden
con sus
componen es
conexas
po
caminos
.
Así, L
es
un
sepa ado
del
espacio
X
.#
Como
consecuencia
del
lema
3
.5,
podemos
enuncia
la
siguien e
:
3
.6
PROPOSICIOII
.
Pa a odo
espacio
opológico
X,
localmen e
conexopo
caminos,
K(X)<p(X)
.
3
.7
COROLARIO
.
Si
X
es
un
espacio
T3
localmen e
conexopo
caminos
:
p
(X)=l71(x)=
(X)
=K
(X)
.
Teniendoen cuen a
2
.6
y 2
.7-de
[
.3J
y3.6y3.7
de«es e
abajo,
se
ob iene
:
3
.8
PROPOSICIOH
.
Si
.
X
es
un
espacio
compac o,
T
.-
y
localmen e
conexo
po
caminos
:
dlm
(X)=p
(X)=17
"
'
(X)=
(X)=K
(X)
<i
nd
(X)
<
Ind
(X)
3.9
TEOREMA
.
(Teo ema
de
coincidencia)
.
Si
X
es
un
espacio
me izable,
localmen ecompac o
y
localmen e
conexopo
caminos
:
dim(X)=p
(X)-=11"(X)=
(X)=K(X)=ind
(X)=Ind
(X)
Pues oque
el
espacio
euclídeo
R-
e i ica odas
las
hipó esis
de 3
.9,
podemos
asegu a
:
3
.10
TEOREXA
.
(Teo ema
undamen al
de
la
dimensión)
.
Fa a
odo
núme o
en e o
ni1 es
:
p
(R'
-,
) =
XI
(R1
-
1) =n
Asimismo, po
la
p oposición
2
.9 de
137
:
3
.11
PROPOSICIOH
.
Si X
es
un
espaciolocalmen e
me izable,
localmen e
compac o,
Tz
y
localmen e
conexopo
caminos
:
p
(X)=X'
(X)=
(X)=K(X)=ind
(X)
La
p oposición
3 .11
nos
pe mi e
enuncia
una
e sión
del
eo ema
de la
suma
:
3 .12
TEOREMA
.
(Teo ema
de
la
suma)
.
Sea
X
un
espacio
localmen e
compac o
y
Tz-
al
que
:
donde
F,
es
ce ado
en
X
pa a
i=1,2,
.
.
.,
localmen e
conexo
po
caminos
y
localmen e
me izable,
con u(F
.),Iln
( e--
;p
.
X'(F,)ln)
.
En
es as
condi-
cí
ones,

p
(X)
,<n

( esp
.

X'
-
(X),n)
.
Demos ación
.-
Po
3
.11,
ind(F
.)(n
(i=1,2,
. .
.)
y
aho a
( e
111),
ind(X) n
.
Luego, po
3
.1,
u(X)5?1'(X)In
.#