Conexión por caminos y dimensión

Pub . Ma . UAB Vol . 30 n4 2- 3 Des . 1986 CONEXION POR CAMINOS Y DIMENSION Joan Ta és i F eixene IYTFODUCCIOB En [31 y [41 se de inen, espec i amen e, las dimensiones (X) y K(X) . La p ime a iene de e minada po las componen es conexas del espacio X, mien as que la segunda es á dada en unción de sus cuasi componen es .  Asimismo, en [5) se es ablece la unción de dimensión M(X), de inida po las componen es M-conexas del espacio dado ( e [51) . El p opósi o de es e abajo es de ini una nue a dimensión que enga en cuen a la conexión po caminos del espacio, con p opiedades semejan es a las de las dimensiones ya ci adas . Designa emos es a nue a dimensión como p(X) . El es udio de es e nue o in a ian e opológico se hace en el §1 : Además de la de inición, se dan algunas de sus p opiedadesesenciales, como el eo ema de la in a iancia po homeomo ismos, el eo ema del subespacio y el del p oduc oca esiano . Los espacioscuya p-dimensión es igual a ce o quedan ca ac e izados po se no acíos y ene las componen es conexas po caminos o madas po conjun os de un solo pun o . Se ob iene ambién una ca ac e ización de la y-dimensión en unción de las componen es conexas po caminos pa a espacios ales que odo elemen o del mismo posee un en o no conexo po caminos . En el §2 queda de inida la dimensión M"(X), comple amen e análoga a la unción X(X) de (5), con la di e encia de que los X- sepa ado es u ilizados en es e caso deben se conjun os ce ados . El 53 es á dedicado al es udio de las elaciones exis en es en e las dis in as dimensiones ya enunciadas, as¡ como con las dimensionesinduc i as clásicas ind(X) e Ind(X), y la dimensión po ecub imien os dim(X) . La coincidencia de odasellas se da en espacios me izables, localmen e compac os y localmen e conexos po caminos . Es a p opiedad pe mi e enuncia el eo ema undamen al de la dimensión pa a p(X) y XI(X), según el cual, la dimensión del espacio euclideo R- es igual a n, pa a odo núme o en e o n;l . En es e a3 ob enemos ambién una e sión del eo ema de la suma pa a las dimensiones p(X) y X'(X) . Dados un espacio opológico X y dos elemen os dis in os x e y del mismo, di emos que un subconjun o ce ado L de X es un c-sepa ado de X en e x e y si X L no es conexo po caminos y los pun os x e y pe enecen a componen es conexas po caminos de X L dis in as . 1 .1 DEFIDICION . Si X es un espacio opológico, de inimos la p-dimensión de X como un núme oen e o p(X)d-1 al que : a) ' MM=-1 si y sólo si X=0 . b) Si IXI=1, u(X)=0 . c) Pa a espacios X ales que 1X!12 y núme os en e os n>'0, es ,u(X)<n si y sólo si pa a odo pa de elemen os dis in os x e y de X exis e un c-sepa ado L de X en e ellos al que p(L)Fn-1 . d) Si p(X)6n y no es cie o que u(X),n-1, di emos que u(X)=n . e) Si pa e odo n3-1 es u (X»n,  se dice que p (X)=w . 51 . LA DHIEIISI019 N(%) 1 .2 PROPOSICIOH . Dado un espacio opológico X, p(X)=0 si y sólo si X es un conjun o no acío y sus componen es conexas po caminos con ienen un único elemen o . Demos ación .- Supongamos que p(X)=0 . En i ud de 1 .1, Xs0 y además, si X con iene dos elemen osdis in os x e y, és ospe enecen a componen es conexas po caminos de X dis in as, pues el conjun o acío es un c-sepa ado de X en e ellos . Po lo an o, cualquie componen e conexa po caminos de X es á o mada po un solo elemen o . Recíp ocamen e, si X es un conjun o no . acío y sus componen es conexas po caminos son-los pun os, el conjun o 0 es un c-sepa ado de X en e odo pa ,de elemen osdis in os del mismo . Es deci , p(X)=0 .# 1 .3 TEOREXA . (In a iancia po homeomo ismos) . Si los espacios X e Y son homeomo os, u(X)=N(Y) . Demos ación .- P oba emos el eo ema po inducción espec o a u(X) : Si u(X)=0, las componen es conexas po caminos de J son los conjun osuni a ios ; si Y es homeomo o a X, sus componen es conexas po caminos se án ambién los conjun os de un solo pun o, y así p(Y)=0 . Conside emos p obado el eo ema pa a espacios cuya u-dimensión es meno que n (nll) . Sean X un espacio al que p(X)=n y : X --~ Y un homeomo ismo . Si x' e y' son elemen osdis in os de Y, . de mane a que x'= (x) , y'= (y), como p(X)=n, exis e un c-sepa ado L de X en e x e y al que p(L)£n-1 . El subconjun o L'= (L) es un c-sepa ado de Y en e x' e y' al que p(L' )£n-1, po la hipó esis de inducción ; luego, p(Y)£n . Pues o que p(X)=n, exis en pa es de elemen osdis in os en X y un c-sepa ado del espacio en e ellos cuya u-dimensión es igual a n-1 . La imagen po de es e c-sepa ado de X es ambién un c-sepa ado de Y en e las imágenes de los elemen os conside ados y cuya u -dimensión es igual a n-1 . En consecuencia, p(Y)=n .# 1 .4 TEOREXA . (Teo ema del subespacio) . Pa a odo subespacio A de un es- pacio opológico X es u(A),p(X) . Demos ación .- Aplica emos inducción comple a espec o a p(X) : Si p(X)=O, las componen es conexas po caminos de X son los pun os ; si A es á con enido en X es A=0, o bien sus componen es conexas po caminos son conjun osuni a ios . Luego, p(A)=0 . Si suponemoscie o el eo ema pa a espacios con u-dimensión me- no que n (n>>l), sea X un espacio al que p(X)=n . Pa a x :y en A, exis e un c-sepa ado L de X en e ellos con u(L)£n-1 .  El conjun o L n A es un c-sepa ado de A en e x e y, y como  LnA c L, po la hipó esis de inducción es p(1, n A)£u(L)£n-1 . En consecuencia, u(A)£n .# Como ` emos, la p-dimensión iene dada en elación con la conexión po caminos del espacio conside ado . Es a elación queda pues a : de mani ies o en la p oposición siguien e,  que exp esa  la p dimensión del espacio o al en unción de la de sus componen es conexas po caminos : 1 .5 PROPOSICIOII . Sí X es . un espacio opológico- no acío al que odo elemen o del mismo iene un en o no conexapo caminos y (C,) ; ., . es la amilia de las componen es conexas po caminos de X, se iene : "  u(X)=sup (N (C, ) 11 e1) Demos ación .- Po el eo ema 1 .4, pa a odo ¡el es u(C,)lp(X), po lo que sup<p(C,)IiEI)(p(X) . P obemos aho a la desigualdady(X)(sup<p(Cá)IiEI) : Llama emos k=sup<(C,)I1eI) ; dados x,YEX dis in os, si pe enecen a componen es conexas po caminos di e en es, el conjun o acío es un c-sepa ado del espacio en e dichos pun os ; si x e y son elemen os de la misma compo- nen e conexa po caminos C, de X, como p(C,)ík, exis e un c-sepa ado L, de C, en e ellos al que p(L,)(k-1 . eniendo en cuen a que C, es un conjun o ce ado en X, L, es un c-sepa ado de X en e x e y, po lo que p(X)1k .# 1 .6 PROPOSICIOII . Si (X .),,, es una amilia de espacios opológicos, es p( X,)=0 si y sólo si pa a cada ícI es u(X,)=0 . , ., '  Es a úl ima 'p oposición es consecuencia de que las componen es conexas po caminos de TTX . son los conjun os de un solo pun o si y solo si lo son las componen es conexas po caminos de X,, pa a cada ¡el . 1 .7 TEORET1A .~(Teo ema del p oduc o ca esiano) . Si X e Y son espacios opológicos no acíos, .p(XxY)<p(X)+N(Y) . Demos ación .- Llamemos m=p(X)+p(Y) ; p oba emos el eo ema po inducción espec o a m : Si m=0, es p(X)=p(Y)=0 y aho a, el eo ema es consecuencia de 1 .6 . Si el eo ema es cie o pa a alo es m<k <kil), sean X e Y espa- cios ales que p(X)+p(Y)=k . Si <x,y) y (x' ,y') son elemen os dis in os de XxY, supongamos que es xmx' (análogamen e pa a yxy') . Exis e en on- ces un c-sepa ado .L de X en e x y x' con p(L)£p(X)-1 . El conjun o LxY es un c-sepa ado de XxY en e (x,y) y (x',y') de mane a que : p(L)+p(Y)£p(X)+p(Y)-1=k-1 Po la hipó esis de inducción, enemos, p(LxY)£p(L)+p(Y)£k-1, po lo que p(XxY)(k .# 1 .8 COROLARIO . Pa a oda amilia ini a de espacios (X :l =1,2, .  n) es p (XI XX_ , x . . . xx  )1,p (X? ) +p (X2) + . . . + p (X,,) 1 .9 PROPOSICIOB . Si : X--i Y es una aplicación inyec i a y con inua en e dos espacios opológicos y p<Y)=0, en onces p(X)=0 . Demos ación .- Si p(Y)=0, las componen es conexas po caminos de Y son los conjun os de un solo pun o . Como es una aplicación inyec i- a, las componen es conexas po caminos de X se án ambién conjun os de un solo elemen o . Es deci , p(X)=0 .# 1 .10 PROPOSICIOR . Si : X  o Y es una aplicación biyec a y con inua en e dos espacio opológicos, p(X) :p(Y) . Demos ación .- Aplica emos inducción espec o a p(Y) : Si p(Y)=0, en i ud de 1 .9, p(X)=0 y la p oposición es cie a en es e caso . Supongamos cie o el enunciado pa a espacios con p-dimensión me- no que n  (ni l)  y sea Y al  que  p(Y)=n .  Si xsx'  en X,  ambién es (x)x (x' )  en  Y,  po  lo que  exis i á  un c-sepa ado  L'  de  Y  en e  (x)  y (x') con p(L')£n-l . Aho a, L= - '(L') es un c-sepa ado de X en e x y x', y po la hipó esis de inducción se e i ica que pW(pW)(n-1 . Po ' lo an o, p(X)£n .# 1 .11 COROLARIO . Si X es un conjun o no acío y T y T' son opologías de X ales que Te T', se cumple que p(X,T') :p(X,T) . La desigualdad del co ola io 1 .11 puede se es ic a, como puede comp oba se en el ejemplo siguien e : 1 .12 EJEMPLO . En el conjun o R de los núme os eales conside a emos la oplogía usual T~ y la opología T cuya base es la amilia : B={[a,b) 1 a,bER ; a<b ) E iden emen e,  T_ c T y además,  p(R,T)=0 y p(R,T_)=1  ( e 3 .10) . 52 .  LA DIIIERSIOR II* (X) En (5) se de inen los espacios M-conexos como aquellos en los que pa a odo pa de elemen os del mismo exis e un con inuo K del espacio que con iene dichos pun os . Asimismo, se de inen las componen- es M-conexas de un espacio como sus conjun os 31-conexos maximales . Si X es un espacio opológico y x e y dos elemen osdis in os de dicho espacio, di emos que un subconjun o L de X es un X-sepa ado de X en e x e y si L es ce ado en X, X L no es M-conexo y los elemen os x e y pe enecen a componen es M-conexas de X L dis in as . De mane a análoga a (5J de inimos la dimensión X'(X) como : 2 .1  DEFIDICIOD .  Si  X es  un  espacio  opológico,  X' (X)  es  un  núme o en e o mayo o igual que -1 que e i ica : a) 11* (X)=-1 si y 5ó1 a si  X=0 . b) Si IXI=1, X»(X)=O . c) Pa a espacios X ales que ¡Xl?2 y núme os en e os n>0, M'(X) : £n si y sólo si pa a odo pa de elemen os dis in os x,yeX exis e un X- sepa ado L de X en e ellos al que X`(L)Sn-1 . Igual que en 1 .1 se de ine X°(X)=n y X " (X)=m . Igual que pa a la dimensión p(X), se ob ienen con acilidad los esul adossiguien es : 2 .2 PROPOSICIOH .  Si X es un espacio opológico,  X' (X)=0 si y sólo si las componen es X-conexas de X son los pun os . 2 .3 TEOREMA . (In a iancia po homeomo ismos) : Si los espacios X e F son honeono os, N''(X)=1T (Y) . 2 .4 TEOREMA . (Teo ema del subespacio) . Pa a odo subespacio A de un es- pacio opológico X es I (A)69`M . 2 .5 PROPOSICION . Si X es un espacio no acío al que odo elemen o del mismo iene un en o no X-conexo y <C .)_, son las componen es K-conexas de X, se iene : X'(X )= sup KI(C') 1 ¡El ) Pues o que odo X-sepa ado de X es un c-sepa ado de es e espa- cio, podemos asegu a : 2 .6 PROPOSICION . Pa a odo espacio X se e i ica que p(X)FX'(X) . La desigualdad de 2 .6 puede se es ic a : 2 .7 EJEXPLO . Si X es un conjun o in ini o nume able con la opología T de los complemen a ios de los conjun os ini os, (X, T) es un espacio conexo y compac o, po lo que M'(X))0, mien as que las componen es co- nexas po caminos de (X,T) son los pun os, y así, p(X)=0 . g3 . LAS DIMENSIONES p(X) Y I["(X) Y OTRAS FUNCIONES DE DIIIENSION En 13) y [4) se de inen, espec i amen e, las dimensiones (X) y K(X) . La p ime a de ellas iene de inida en unción de sepa ado es de conjun os, mien as que la segundá lo es á en unción de sepa ado es en e pa es de pun os dis in os . De acue do con [4), pa a odo espacio X es (X)FK(X) . Si X es un espacio T_ :, odo sepa ado de X con ieneun sepa ado ce ado, y eniendo en cuen a que si L es un sepa ado del espacio X ambién es un M-sepa ado del mismo, podemosa i ma : 3 .1 PROPOSICION . Si X es un espacio Tes : p(X)£X'(X)£ (X)£K(X)£ind(X) 3 .2 COROLARIO . Pa a odo espacio Ta : ,u (X) £K' (X) £ (X) £X (X) £ind (X) SInd(X) En i ud de (1), 1 .4 .5, enemos : 3 .3 PROPOSICIOII, Si X es un espacio localmen e compac o, son equi alen- es : 1nd(X)=0  K(X)=0  (X)=0  Al (X)=0 3 .4 COROLARIO . Si X es localmen e compac o y T_ y odo elemen o de X iene un en o no conexo po caminos, son equi alen es : ind (X)=0  K(X)=0  (X)=0  X' (X)=0  u(X)=0 3 .5 LEMA . Si X es un espacio localmen e conexo po caminos, odo c-se- pa ado de X es un sepa ado de dicha espacio . Demos ación .- Si L es un c-sepa ado de X, como X L es un con- jun o abie o, ambién es localmen e conexo po caminos . Luego, las componen es conexas de X L coinciden con sus componen es conexas po caminos . Así, L es un sepa ado del espacio X .# Como consecuencia del lema 3 .5, podemos enuncia la siguien e : 3 .6 PROPOSICIOII . Pa a odo espacio opológico X, localmen e conexopo caminos, K(X)<p(X) . 3 .7 COROLARIO . Si X es un espacio T3 localmen e conexopo caminos : p (X)=l71(x)= (X) =K (X) . Teniendoen cuen a 2 .6 y 2 .7-de [ .3J y3.6y3.7 de«es e abajo, se ob iene : 3 .8 PROPOSICIOH . Si . X es un espacio compac o, T .- y localmen e conexo po caminos : dlm (X)=p (X)=17 " ' (X)= (X)=K (X) <i nd (X) < Ind (X) 3.9 TEOREMA . (Teo ema de coincidencia) . Si X es un espacio me izable, localmen ecompac o y localmen e conexopo caminos : dim(X)=p (X)-=11"(X)= (X)=K(X)=ind (X)=Ind (X) Pues oque el espacio euclídeo R- e i ica odas las hipó esis de 3 .9, podemos asegu a : 3 .10 TEOREXA . (Teo ema undamen al de la dimensión) . Fa a odo núme o en e o ni1 es : p (R' -, ) = XI (R1 - 1) =n Asimismo, po la p oposición 2 .9 de 137 : 3 .11 PROPOSICIOH . Si X es un espaciolocalmen e me izable, localmen e compac o, Tz y localmen e conexopo caminos : p (X)=X' (X)= (X)=K(X)=ind (X) La p oposición 3 .11 nos pe mi e enuncia una e sión del eo ema de la suma : 3 .12 TEOREMA . (Teo ema de la suma) . Sea X un espacio localmen e compac o y Tz- al que : donde F, es ce ado en X pa a i=1,2, . . ., localmen e conexo po caminos y localmen e me izable, con u(F .),Iln ( e-- ;p . X'(F,)ln) . En es as condi- cí ones,  p (X) ,<n  ( esp .  X' - (X),n) . Demos ación .- Po 3 .11, ind(F .)(n (i=1,2, . . .) y aho a ( e 111), ind(X) n . Luego, po 3 .1, u(X)5?1'(X)In .#