Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
28
Ns
2-3
Se
.
1984
In oduc ion
FEUILLETAGES
DE
K-CONTACT
SUR
LES
VARIETES
COMPACTESDE
DIMENSION
3
Gilbe
Monna
Soi
V
une
a ié é
de
dimension
2n+1,
su
laquelle
es
dé inie
une
o me
de
con ac
a
.
Nous
désigne ons
pa
Ya le
sys éme
dyna-
mique
de
ce e
o me
de
con ac
(c'es -á-di e
1'unique
champ
de
ec eu s
sans singula i é,
global,
su
V
el
que iY
a
=
1
e
a
i
Y
da=O)
.
a
Les
ajec oi es
de Ya
dé inissen
un
euille age
de
dimension
1
de
V,
appelé
euille age
de
con ac
.
La
no ion
de
o me
de K-con-
ac
a
é é
in odui edans
(8]
( oi
aussi
[1])
.
On
di qu'une
o me
de
con ac
a
es
une
o me
de
K-con ac
s'il
exis e
une m&-
ique
iemannienne
g
elle
que
la
dé i ée
de
Lie
°~yag
de
g
pa
appo
á Y
a
soi
nulle,
c'es -á-d
i e
que le
sys éme
dynamique
Y
a
de
a
dé ini
un
lo
d'isomé ies
.
L'impo ancede
ces
s uc-
u es
de
con ac
pa iculié es
a
no ammen
é é
signaléedans
[21,
spécialemen
en
dimension
3
.
Si
a
es une
o me
de
K-con ac ,le
euille age
dé inipa
Y
a
se a
appelé
euille age
de
K-con ac
.
Nous
mon ons
ici que
la
condi ion
de
K-con ac
es
équi alen e
á
1'exis ence
d'unemé ique
ans e sein a ian e
pou
le
euil-
le age de con ac ,
ou,
ce
qui
e ien
au
mime,
á
ce
que
ce
euil-
le age soi
ans e salemen
iemannien
(á bundle
lib e
me ic
au
sens
de
[7]
) .
Nous
donnons
ensui e
quelques
p op ié és
géné ales
des
euille a-
ges
de
con ac ,
e ,
á
1'aide
de
la
classi ica ion
des
euille ages
ans e salemen
iemanniens
su
les
a ié és
compac es
de dimen-
sion
3
donnée
pa

[3]
,
nous
é ablissons
no e ésul a
p incipal
Les
euille ages
de
K-con ac
su
les
a ié és
compac es
de
dimen-
sion
3
son
les
ib a ions
de
Sei e
pou
lesquelles
il
n'exis e
pas
de
euille age
supplémen ai e
in a ian
.
Dans
une
no e
(C
.R
.A.S
.
T298,
sé ie
1
N°12,
1984,
"Fo mes
de
con ac
in a ian es
su les
3- a ié és")
1'au eu
a
déjá
u ilisé
ces
euille ages,
donnan
ce e
ois leu
appo
a ec
les
euille agesdé inis
pa
une
o me
de
con ac
égulié e
.
Di é en iable
signi ie
C
°°
,
ou es
les
a ié ésdi é en ielles
considé ées
son
compac es
connexes
e
sans bo d
.
L'au eu eme cie
le
e e ee
pou
ses
ema ques
e
pou
a oi
a -
i é
son
a en ion
su
le
a ail
de
MM
.Nicolau
e
A
.Re en os
"On
some
geome icalp ope ies
o
Sei e
bundles"
5_l
.
82
1 -
FEUILLETAGES
DE
K-CONTACT
ET
FEUILLETAGES
TRANSVERSALEMENT
RIEMANNIENS
.
Soi
V
une
a ié é
su
laquelle
es
dé inie
une
o me
de
K-con ac
a,
don nous
désigne ons
le
sys éme
dynamique
nan
Y
Il
exis edone
une
mé ique
iemannienne
g
su
V,
elle
que
Xy
g
=0
a
Pou ou
x
de
V,
on
no e

la
euille
passan
pa
x
du
x
euille age
de
con ac `,
dé inipa
a
,
e on
désigne
pa
TxV/T
x
g
1'espace
ec o iel
des
ec eu s ans e ses
au euil-
le age
.
Si X
es
un
chame
de
ec eu s
su
V,
on
no e a
X
le
chame
de
ec eu s ans e se
co espondan
.
X
e
Y
é an
deux
chames
de
ec eu s,
on pose
g(X,Y)
=
g(-X+a(X)Ya
, .
-Y+a(Y)Ya)
.
Vé i ions
ou
d'abo d
que
g
es
bien
dé inie
.
X' =
X
aY
a
Y'
=
Y
Uy
a
C'es -á-di e
g(1
,
y
,
=
g(-X
,
+a(X'
)Ya
,
La
bilinéa i é
e la
symé ie
de
g
é an
é iden es,
e-
ma quons
que
g(X,X)
=
0
en aine
g(-X+a(X)Ya,
-X+a(X)Y
a
)
=
0
,
c'es -á-di e
X
=
a(X)Y,
,
e
done
X
=
0
.
Done
g
es une
mé ique
iemannienne
su
1'espace
des champs
de
ec eu s ans e ses
.
-10Y
aa
=
0,
doncdy
a
g
=
0,
e
le
euille age
jí~es
ans-
e salemen
iemannien
.
Rema quons
que
la
dé ini ion
de
g
es
á
app oche
de
la
o mule
de
[1]
qui pe me
de
mon e
1'exis ence
de
mé iques
adap ées
á
une
o me
de
con ac
(c'es -á-di e
elles
que
le
noyau
de
la
o me
de
con ac
soi
o hogonal
au
sys éme
dynamique)
.
Tou
euille age
de
K-con ac
es
done
ans e salemen
iemannien
.
Récip oquemen
P oposi ion
1
Si
le
euille age
de
con ac
9~es
ans e salemen
ieman-
nien,
517es
un
euille age
de
K-con ac
.
Démons a ion
Y'+a(Y')Ya)
=g(
-
X-aya
+
a(X+xy
a
)y
a
,
-Y-PYa
+ cc(Y+PY
(x
)Y
a
)
=
g(-X
+
a(X)Y
a
,
-Y+aL(Y)Y
a
) .
Soi
g
une
mé ique
iemannienne
ans e se
in a ian e,
e
X
e
Y
deux
champs
de
ec eu s
locaux
su
V
.
On pose
g(X,Y)
=
g(X,Y)
+
a(X)a(Y)
.
On a
:
jy g
=
0,
done
g
=
0
.
a

a
g
es
bilinéai e
symé ique,
de
plus
g(X,X)
=0
équi au
á
g(X,X)+
(a(X))
Z
=
0
.
C'es -á-di e
g(X,X)=
0
en aine
X
=
0
,
done
X
alo s
ñ =
0,
done
X
=
0
.
g
es
done
une
mé ique
in a ian e
ge
de
K-con ac
.
II
-
PROPRIETES
GENERALES
DES
FEUILLETAGES
DE
CONTACT
Nous
donnons
dans
ce
pa ag aphe ois
p op ié és
des
euille-
ages
de con ac ,
qui
nous
pe me on
d'é abli
au
pa ag aphe
sui-
an
que
ce ains
euille ages
ans e salemen
iemanniens
ne son
pas
de
con ac
.
V
es
oujou s
une
a ié é
de
dimension
2n+1,
a
es une
o me
de
con ac
su
V
.
On
appelle
o me
basique
une
o me
di é en ielle
S
(de
deg é
p)
su
V
elle
que
:
i
Y
S
=
0 e i
Y
ds
= 0
.
a

a
On
no e a
Hb(V,9
)
le
piéme
espace de
cohomologie
basique
pa
appo
au
euille age
~
.
P oposi ion
2
Démons a ion
g
(X,X)
=
0
a(X)

=
0
XYa
e a(X)
=
0
en aine
pa
Y
a
,e
!S~
es
un euille a-
Une
condi ion
nécessai e
pou
qu'un euille age
!9~
de
dimension
1
su
V
soi un
euille age
de
con ac
es que
H~n(V,
!3~)
soi
non
nul
.
(da
)
n
es une
2- o me
basique
e mée,
done
1(da)
n
]
es
un
élémen
2n

~
de Hb
(V,`1")
.
.
Si
[(da)']
=0,
done
s'il
exis e
une
2n- o me
su
V,
a'
basique
elle
que
da'
=
(da
)
n
,
considé ons
la
(2n+1)- o me
su
V
d (a
n
a')

=
da
n

a'

+ a nda'
=
c ^da'
puisque
da
n
a'
es une
(2n+1)- o me
basique,done
es
nulle
.
On
a
done
:

d (a
n
a')

=
a
^(da)
n
,
ce qui
es
impossible,
puisque
a^(da)
n
es
une
o me
olumesu
une
a ié é
compac e
e
sans bo d
.
Nous
donnonsmain enan
un
ésul a
déjá
connu
(sous-jacen
dans
[81
)
qui igu e
dans
[41
oú
il
es
démon é
pa
des
a gumen s
assez
complexes
.
Nous
en
donnons
une
démons a ion
di ec e
.
Zl ?posi
ion
3
Tou
euille age
de
con ac
es
géodésible
.
Démons a ion
Soi
g
une
mé ique
iemanni"enne
elle
que
g(X,Y
a
)
=
C (X),
pou ou
champ
de
ec eu s
X
.
On sai
que
ce e
p op ié é
es
aie
pou
ou e
mé ique
adap ée,done pou
ou e o me
de
con
ac
il
exis e
de
elles
mé iques
.
Soi
4 la
connexion
de
Le i-Ce i a
associée
á
la mé ique
g
.
On
a
2g(D
Y
Ya
,Z)
a
=
ág(Y
a
,Z) +
ág(
á,
Z)-Zg(Ya,
á)
+
g(
[y
a
,Ya
1,Z)

+
g((Z,Yj
,Y
a
)
+
g(Y
a
,[Z,
á1
)
.
_
(°1Y
CL
)(Z)
a
=0
.
Ceci pou
ou
champ
de
ec eu s
Z,
done
DY
á
=
0
.
a
Rappelons
en in
le
c i é e
de Reeb
[6]
Si
9 es
un
euille age
de con ac ,
il
n'exis e
pas
de
sous-
a ié é
compac e
ans e se
á

III
-
FEU_LLETAGES
DE
K-30NTACT
SUR
LES
VARIETES
COMPACTES
DE
OIMENSION
3
.
86
Théo éme
Les
seuls
euille ages
de
K-con ac su
les
a ié és
compac es
de
dimension
3
son
les
euille ages
dé inis
pa une ib a ion
de
Sei e
elle
qu'il n'exis e
pas
de
euille age supplémen ai e
in a ian
.
Démons a ion
D'ap és
[31
les
euille ages
ans e salemen
ieman-
niens
su
les
a ié és
compac es
de
dimension
3
son ,
á
con-
jugaison
p és
1)
Les
euille ages
linéai es
su
T
3 .
2)
Les
euille ages
p op es
du o e
hype bolique
.
3)
Les
ib a ionsde
Sei e
.
4)
Ce ains
euille ages
á
deux
euilles
compac es
de $
3
ou
d'un
espace
len iculai e
.
5)
Les
suspensions
dans
$1
x
.$2
des
o a ions
i a ionnel-
les
de
$
2 .
Dans
les cas
1
e
5 le
euille age
adme
une
sec ion,
qui
es
une
sous- a ié é
ans e se
compac e,
il
ne peu donc é e
de
con ac ,
d'ap és
le
c i é e
de Reeb
.
Dans
le
cas
2, il
es
é abli
dans
(3]
que H
2
( ,~)
= 0,
donc
d'ap és
la
p oposi ion
2,
ces
euille ages
ne
son
pas
de
con ac
.
Pou
le
cas
4,
il
es
é abli
dans
[4]
que ces
euille ages
ne
son
pas
géodésibles,donc
d'ap és
la
p oposi ion
3,
ils
ne peu-
en é e de
con ac
.
Il
ne
es e
donc
que les
ib a ions
de Sei e ,
qui
son
les
seuls
euille ages
ans e salemen iemanniens
á
pou oi
é e
de
con ac
.
Un
el
euille age
es
un
euille age
de
con ac
si
e
seulemen
si il
n'adme
pas
de
euille age
supplémen ai e
in-
a ian
(ou
ce
qui
e ien
au mime de
euille age
supplémen ai e
iemannien),d'ap és
(5i
.
Cela aché e
la
démons a ion
du
héo éme
.
Co ollai e
mension
3
compac e
es
á
euilles
compac es
.
Bibliog aphie
Tou
euille age iemannien
de
con ac
su
une
a ié é
de
di-
N
.NICOLAUe
A
.REVENTOS
On
some
p ope ies
o
Sei e
bundles
Is aél
Jou nal
o
Ma hema ics
.
A
pa ai e
.
[6]
G
.REEB

Su
ce aines
p op ié és
opologiques
des
ajec oi es
des
sys émes
dynamiques
.
Mémoi es
de
l'Académie
Royale
de
Belgique
Se icescien i ique
.
2-27
.
1952
.
[7]
B
.REINHART

Folia ed
Mani olds
wi h bundle like
me ics
.
[8]
S
.SASAKI

Almos
con ac
Mani olds
.
Lec u e
no es
in
he
Tohoku
Uni e si y
.
Vol
.l
.
1965
.
Vol
.2
.
1967
.
Vol
.3
.
1968
.
Rebu
el
9
d'abAíl
del
1984
CENTRE
UNIVERSITAIRED'AVIGNON
Dépa emen
de
Ma héma iques
33,
ue
LouisPas eu
84000
-
A ignon
FRANCE
Annalso
Ma hema ics
.
Vol
.69
N 0
1
.
1959
.
pp
.119-131
.
[1]
D
.E
.BLAIR
Con ac
mani olds
in
Riemanniangeome y
Lec u e
No es
in
Ma hema ics
n°509
Sp inge Ve lag
1976
[2]
D
.E
.BLAIR
On
he
space
o
Riemannian
me ics
on su -
aces
and
con ac
mani olds
.
Lec u e
No es
in
Ma hema ics
n°798
.
Sp inge
Ve lag
1979
.
[31
Y
.CARRIBRE
Flo s
Riemanniens
e
euille ages
géodésibles
de
codimension
1
.
Thése,
Uni e si é
de
Lille, 1981
.
[4j
H
.GLUCK
Dynamical
beha io
o geodesic ields
.
Lec u e
No es
in
Ma hema ics
n°819
Sp inge Ve lag
1980
.