Feuilletages de k-contact sur les varietes compactes de dimension 3

Pub . Ma . UAB Vol . 28 Ns 2-3 Se . 1984 In oduc ion FEUILLETAGES DE K-CONTACT SUR LES VARIETES COMPACTESDE DIMENSION 3 Gilbe Monna Soi V une a ié é de dimension 2n+1, su laquelle es dé inie une o me de con ac a . Nous désigne ons pa Ya le sys éme dyna- mique de ce e o me de con ac (c'es -á-di e 1'unique champ de ec eu s sans singula i é, global, su V el que iY a = 1 e a i Y da=O) . a Les ajec oi es de Ya dé inissen un euille age de dimension 1 de V, appelé euille age de con ac . La no ion de o me de K-con- ac a é é in odui edans (8] ( oi aussi [1]) . On di qu'une o me de con ac a es une o me de K-con ac s'il exis e une m&- ique iemannienne g elle que la dé i ée de Lie °~yag de g pa appo á Y a soi nulle, c'es -á-d i e que le sys éme dynamique Y a de a dé ini un lo d'isomé ies . L'impo ancede ces s uc- u es de con ac pa iculié es a no ammen é é signaléedans [21, spécialemen en dimension 3 . Si a es une o me de K-con ac ,le euille age dé inipa Y a se a appelé euille age de K-con ac . Nous mon ons ici que la condi ion de K-con ac es équi alen e á 1'exis ence d'unemé ique ans e sein a ian e pou le euil- le age de con ac , ou, ce qui e ien au mime, á ce que ce euil- le age soi ans e salemen iemannien (á bundle lib e me ic au sens de [7] ) . Nous donnons ensui e quelques p op ié és géné ales des euille a- ges de con ac , e , á 1'aide de la classi ica ion des euille ages ans e salemen iemanniens su les a ié és compac es de dimen- sion 3 donnée pa  [3] , nous é ablissons no e ésul a p incipal Les euille ages de K-con ac su les a ié és compac es de dimen- sion 3 son les ib a ions de Sei e pou lesquelles il n'exis e pas de euille age supplémen ai e in a ian . Dans une no e (C .R .A.S . T298, sé ie 1 N°12, 1984, "Fo mes de con ac in a ian es su les 3- a ié és") 1'au eu a déjá u ilisé ces euille ages, donnan ce e ois leu appo a ec les euille agesdé inis pa une o me de con ac égulié e . Di é en iable signi ie C °° , ou es les a ié ésdi é en ielles considé ées son compac es connexes e sans bo d . L'au eu eme cie le e e ee pou ses ema ques e pou a oi a - i é son a en ion su le a ail de MM .Nicolau e A .Re en os "On some geome icalp ope ies o Sei e bundles" 5_l . 82 1 - FEUILLETAGES DE K-CONTACT ET FEUILLETAGES TRANSVERSALEMENT RIEMANNIENS . Soi V une a ié é su laquelle es dé inie une o me de K-con ac a, don nous désigne ons le sys éme dynamique nan Y Il exis edone une mé ique iemannienne g su V, elle que Xy g =0 a Pou ou x de V, on no e  la euille passan pa x du x euille age de con ac `, dé inipa a , e on désigne pa TxV/T x g 1'espace ec o iel des ec eu s ans e ses au euil- le age . Si X es un chame de ec eu s su V, on no e a X le chame de ec eu s ans e se co espondan . X e Y é an deux chames de ec eu s, on pose g(X,Y) = g(-X+a(X)Ya , . -Y+a(Y)Ya) . Vé i ions ou d'abo d que g es bien dé inie . X' = X aY a Y' = Y Uy a C'es -á-di e g(1 , y , = g(-X , +a(X' )Ya , La bilinéa i é e la symé ie de g é an é iden es, e- ma quons que g(X,X) = 0 en aine g(-X+a(X)Ya, -X+a(X)Y a ) = 0 , c'es -á-di e X = a(X)Y, , e done X = 0 . Done g es une mé ique iemannienne su 1'espace des champs de ec eu s ans e ses . -10Y aa = 0, doncdy a g = 0, e le euille age jí~es ans- e salemen iemannien . Rema quons que la dé ini ion de g es á app oche de la o mule de [1] qui pe me de mon e 1'exis ence de mé iques adap ées á une o me de con ac (c'es -á-di e elles que le noyau de la o me de con ac soi o hogonal au sys éme dynamique) . Tou euille age de K-con ac es done ans e salemen iemannien . Récip oquemen P oposi ion 1 Si le euille age de con ac 9~es ans e salemen ieman- nien, 517es un euille age de K-con ac . Démons a ion Y'+a(Y')Ya) =g( - X-aya + a(X+xy a )y a , -Y-PYa + cc(Y+PY (x )Y a ) = g(-X + a(X)Y a , -Y+aL(Y)Y a ) . Soi g une mé ique iemannienne ans e se in a ian e, e X e Y deux champs de ec eu s locaux su V . On pose g(X,Y) = g(X,Y) + a(X)a(Y) . On a : jy g = 0, done g = 0 . a  a g es bilinéai e symé ique, de plus g(X,X) =0 équi au á g(X,X)+ (a(X)) Z = 0 . C'es -á-di e g(X,X)= 0 en aine X = 0 , done X alo s ñ = 0, done X = 0 . g es done une mé ique in a ian e ge de K-con ac . II - PROPRIETES GENERALES DES FEUILLETAGES DE CONTACT Nous donnons dans ce pa ag aphe ois p op ié és des euille- ages de con ac , qui nous pe me on d'é abli au pa ag aphe sui- an que ce ains euille ages ans e salemen iemanniens ne son pas de con ac . V es oujou s une a ié é de dimension 2n+1, a es une o me de con ac su V . On appelle o me basique une o me di é en ielle S (de deg é p) su V elle que : i Y S = 0 e i Y ds = 0 . a  a On no e a Hb(V,9 ) le piéme espace de cohomologie basique pa appo au euille age ~ . P oposi ion 2 Démons a ion g (X,X) = 0 a(X)  = 0 XYa e a(X) = 0 en aine pa Y a ,e !S~ es un euille a- Une condi ion nécessai e pou qu'un euille age !9~ de dimension 1 su V soi un euille age de con ac es que H~n(V, !3~) soi non nul . (da ) n es une 2- o me basique e mée, done 1(da) n ] es un élémen 2n  ~ de Hb (V,`1") . . Si [(da)'] =0, done s'il exis e une 2n- o me su V, a' basique elle que da' = (da ) n , considé ons la (2n+1)- o me su V d (a n a')  = da n  a'  + a nda' = c ^da' puisque da n a' es une (2n+1)- o me basique,done es nulle . On a done :  d (a n a')  = a ^(da) n , ce qui es impossible, puisque a^(da) n es une o me olumesu une a ié é compac e e sans bo d . Nous donnonsmain enan un ésul a déjá connu (sous-jacen dans [81 ) qui igu e dans [41 oú il es démon é pa des a gumen s assez complexes . Nous en donnons une démons a ion di ec e . Zl ?posi ion 3 Tou euille age de con ac es géodésible . Démons a ion Soi g une mé ique iemanni"enne elle que g(X,Y a ) = C (X), pou ou champ de ec eu s X . On sai que ce e p op ié é es aie pou ou e mé ique adap ée,done pou ou e o me de con ac il exis e de elles mé iques . Soi 4 la connexion de Le i-Ce i a associée á la mé ique g . On a 2g(D Y Ya ,Z) a = ág(Y a ,Z) + ág( á, Z)-Zg(Ya, á) + g( [y a ,Ya 1,Z)  + g((Z,Yj ,Y a ) + g(Y a ,[Z, á1 ) . _ (°1Y CL )(Z) a =0 . Ceci pou ou champ de ec eu s Z, done DY á = 0 . a Rappelons en in le c i é e de Reeb [6] Si 9 es un euille age de con ac , il n'exis e pas de sous- a ié é compac e ans e se á III - FEU_LLETAGES DE K-30NTACT SUR LES VARIETES COMPACTES DE OIMENSION 3 . 86 Théo éme Les seuls euille ages de K-con ac su les a ié és compac es de dimension 3 son les euille ages dé inis pa une ib a ion de Sei e elle qu'il n'exis e pas de euille age supplémen ai e in a ian . Démons a ion D'ap és [31 les euille ages ans e salemen ieman- niens su les a ié és compac es de dimension 3 son , á con- jugaison p és 1) Les euille ages linéai es su T 3 . 2) Les euille ages p op es du o e hype bolique . 3) Les ib a ionsde Sei e . 4) Ce ains euille ages á deux euilles compac es de $ 3 ou d'un espace len iculai e . 5) Les suspensions dans $1 x .$2 des o a ions i a ionnel- les de $ 2 . Dans les cas 1 e 5 le euille age adme une sec ion, qui es une sous- a ié é ans e se compac e, il ne peu donc é e de con ac , d'ap és le c i é e de Reeb . Dans le cas 2, il es é abli dans (3] que H 2 ( ,~) = 0, donc d'ap és la p oposi ion 2, ces euille ages ne son pas de con ac . Pou le cas 4, il es é abli dans [4] que ces euille ages ne son pas géodésibles,donc d'ap és la p oposi ion 3, ils ne peu- en é e de con ac . Il ne es e donc que les ib a ions de Sei e , qui son les seuls euille ages ans e salemen iemanniens á pou oi é e de con ac . Un el euille age es un euille age de con ac si e seulemen si il n'adme pas de euille age supplémen ai e in- a ian (ou ce qui e ien au mime de euille age supplémen ai e iemannien),d'ap és (5i . Cela aché e la démons a ion du héo éme . Co ollai e mension 3 compac e es á euilles compac es . Bibliog aphie Tou euille age iemannien de con ac su une a ié é de di- N .NICOLAUe A .REVENTOS On some p ope ies o Sei e bundles Is aél Jou nal o Ma hema ics . A pa ai e . [6] G .REEB  Su ce aines p op ié és opologiques des ajec oi es des sys émes dynamiques . Mémoi es de l'Académie Royale de Belgique Se icescien i ique . 2-27 . 1952 . [7] B .REINHART  Folia ed Mani olds wi h bundle like me ics . [8] S .SASAKI  Almos con ac Mani olds . Lec u e no es in he Tohoku Uni e si y . Vol .l . 1965 . Vol .2 . 1967 . Vol .3 . 1968 . Rebu el 9 d'abAíl del 1984 CENTRE UNIVERSITAIRED'AVIGNON Dépa emen de Ma héma iques 33, ue LouisPas eu 84000 - A ignon FRANCE Annalso Ma hema ics . Vol .69 N 0 1 . 1959 . pp .119-131 . [1] D .E .BLAIR Con ac mani olds in Riemanniangeome y Lec u e No es in Ma hema ics n°509 Sp inge Ve lag 1976 [2] D .E .BLAIR On he space o Riemannian me ics on su - aces and con ac mani olds . Lec u e No es in Ma hema ics n°798 . Sp inge Ve lag 1979 . [31 Y .CARRIBRE Flo s Riemanniens e euille ages géodésibles de codimension 1 . Thése, Uni e si é de Lille, 1981 . [4j H .GLUCK Dynamical beha io o geodesic ields . Lec u e No es in Ma hema ics n°819 Sp inge Ve lag 1980 .