Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
27 N4
2
Juny
1983
GENERALITZACIONS
PER
AUTOMORFOS
DELS
GRUPS
NILPOTENTS
Pila Ma ínSal ado
ABSTRACT
:
I
is
known
ha
a
g oup
Ao
au omo phisms
o G s abilizes a se ies o
G,
1
= Go
e
G
1
1
.
.
.a
G
=
G,
i
[G
i
,A]
_<
Gi-1
,
1<<i<
.
This sen ence
gene alizes
one
o
he
cha ac e iza ions
o
nilpo en
g oups
.
Analogously,
we
in oduce
o he
ge-
ne aliza ions
o he
nilpo en
g oups
( he
A-nilpo en
g oups
and
he
A-Sylow g oups)
and we s udy he
ela ionship
among
all
hem
.
En
aques
eball
in oduYm
i
elacionem
en e
si
di e ses
de i-
nicions
que
gene ali zen
les
següen s
conegudes
ca ac e i zacions
dels
g ups
nilpo en s
ini s
:
G
es abili za
una
sé ie
se a
;
qualse ol
sub
g up
maximal
de
G
és
no mal
en
G
;
qualse ol
subg up
de
Sylow
de
G
és
no mal
en
G
;
[G,G
]
<
O(G)
.
Pe
G
deno a em
semp e
un
g up
ini
i
pe
A un
subg up
del
g up
d'au omo ismes
de G
.
1
.

0e ini
.c¿ó

(
.

[
31,
paq
.

178)
Siga
1
= G0
q
G
1
o
. .
.4
G
=
G
.una
sé ie
de
G
.
Di em
que
A
es a-
bili za
la
sé iedonada
si
A
no mali za
cada
Gi
i
si
[G
i
,A]

<_
G
i-1'
1<i<
.
Si
A
=
In (G)
ob enim
la
p ime aca ac e i zació
dels
nilpo en s
.
Obse e's
que
si
A és
el
g up
d'au omo ismes
in e ns
indui s
pel
sub-
g up
de
Fi ing,
F(G),
alesho es
A
es abili za
una
sé ie
de
G
i
F(G)
és el
majo
subg up
no mal
de
G
amb
aques a
p opie a
.
2
.
Qe i'jc,¿ó
Un
g up
G
és
A-nilpo en
si
o
maximal
de
G
és
A-in a ian
.
Pe
aA=
In (G)
hi
ob enim
els
nilpo en s
i,
pe
aA =
Au (G),
els
supe nilpo en s
(
.
[6J)
.
Si
A
és el
g up
d'au omo ismes
in e ns
indui s
pel
subg up
A(G)
(A(G)
és la
in e secció
de
o s
els
maximals
no
no mals
de
G),
alesho es
G
és
A-nilpo en
i
á(G)
és
el
majo
sub-
g up
de
G
amb
aques a
p opie a
.
3
.

DePn,i
ci
ó
Un
g up
G
és
A-Sylow
si
pe
a
cada
p ime
p
di iso
de
IGI
exis-
eixun
p-subg up
de
Sylow
de
G
que
és
A-in a ian
.
Si
In (G)
<A,
alesho es
G
és
A-Sylow
si,
i
sols
si, G
és
nil-
po en
.

Si
GoA
són
esolubles
i

(1
G1
,1
A1)
= 1,

alesho es
G
és
A-Sylow
.
Si
A
és un
subg up
de
Au (G) lliu e
de
pun s
ixes,
alesho es
G
és
A-Sylow
(
.
[3],
pags
.
224
.
335')
"
Si
A
és
el
g up
d'au omo ismes
in-
e ns
indui s
pe
1'hipe cen e
Z_(G),
alesho es
G
és
A-Sylow
i
Z_(G)
és
el
majo
dels
subg ups
no mals,
H,
de
G
pe
als
que
G
és
H-Sylow
.
Si
In (G)
<_
NAu (G)(A),
alesho es
G
és
A-Sylow
si,
i
sols
si,
o
sub-
g up
de
Sylow
de
G
és
A-in a ian
;
pe
an ,
de
[1]
deduim
que, si
In (G)
<
NAu (G)(A)
alesho es
G
és
A-Sylow
si, i
sols
si,
[G,A]
<
Z_(G)
.
4
.

P opo
i
.i
.ciá
Si A
es abili za
una
sé ie
de
G,

alesho es

[G,A]

<

A
(G)
.
Demos ació
:
Pe
$A (G)
en enem
la
in e secció
de
o s
els
A-subg ups
maximals
de
G
( eu e
[7])
.
Siga
M
un
A-subg up
maximal
de G
;
com que
A
es abili za
una
sé ie
de
G,

alesho es

[G,A,A,
. .
.
.
A]-
=
.
1

<-M
.

Pel
le
ma
(1
.4)
de
[2],
'
M
_<
M[G,A]
<
G,
és
a
di ,
M
=
M[G,A]

i
[G,A]
_<
M
.
Pe
an ,

[G,A]

<

$
A
(G)
.
4
.
1

Co
oL
.
.
aa¡
Si
G
és
un
g up-
ca ac e ís icamen
simple
i A
á
Au (G),
ales-
ho es
A
es abili za
una
sé ie
de G
si,
i
sols
si,
A =
1
.
Demos ació
:
Immedia a
a
pa i
del
co ol
.la i
(2 .2) de [7]
i
de la
p oposició
4
.
4
.
2

Coco¡
.
daa
i
.
Si
A
es abili za
una
sé ie
de
G,
els
A-subg ups
maximals
de
G
són
maximals
.
Demos ació
:
Siga
M
un
A-subg upmaximal
de
G i M'
un
maximal
al que
M
<
M'
.
Com que
[M',A]
<
[G,A]
<
M
<
M',
alesho es
M' és
A-subg up
i
M
=
M'
.
5
"

Paopo~di
.ci
.ó
[G,A]
<
O(G)
si,
i
sols
si,
G
és
A-nilpo en
i
A
es abili za
una
sé ie
de
G
.
Demos ació
:

Si
[G,A]
_<
$(G)
i
M
és un
subg up
maximal
de
G,
com que
[M,A]
<
[G,A]
_<
m(G)
_<
M,
es
e i ica
que
M
és
A-in a ian ,
és
a
di ,
que
G
és
A-nilpo en
.
A
més, de
[8],
eo ema
3
.1,
es
dedueix
que
A
.
es abili za
una
sé ie
de
G
.
In e samen ,
si
G
és
A-nilpo en ,
alesho es
OA
(G)
=
O(G)
i,
pe
la
p oposició
4,
[G,A]
<_
O(G)
.
5
.
1
Coiwi
.
2£m¡
[G,A(G)]
<
m(G)
i
á(G) és el
majo
subg up
de
G
amb
aques a
p o-
pie a
.
5
.2
CowL
.
.La4,i
Si A
<
In (G),
alesho es
[G,A]
<
O(G)
si,
i
sols
si,
G
és
A-nil-
po en
.
Obse e's
que
1'a i mació
e a en
el
Co ol
.la i
5
.1
és
equi a-
len
a
di que
e(G)/O(G)
=
Z(G/O(G))
(
.
[4],
pag
.
276)
.
6
.
Teoaeaa
Si
A
i
G
són
abelians
i
[G,A]
<
OA(G),
alesho es
A
es abili za
una
sé ie
de G i
el
p oduc e
semidi ec e
de
G
pe
A,
G*,
és
A-nilpo en
.
Demos ació
:
Com que
G
és un
subg up
no mal
abeliá
de
G*,
en
esul a
que
0
G*
(G)
<
O(G*)
.
D'al a
banda,
m
G*
(G)
=
n(M
/
M
és
G*-in a ian
maximal
de G}
=
()(M
/
M
és
GA-in a ian
maximal
de
G)
=
n(M
/
M
és
A-in a ian
maximal
de
G)
=OA
(G)
.
Pe
an ,
OA(G)
_<
O(G*)
i,
com que
A
és
abeliá,
enim
[G*,A]
_
[G,A]
<
OA(G)
_<
O(G*)
.
En
conseqüéncia,
G*
és
A-nilpo en
i
A
es abili za
una
sé ie
de
G*,
pe
la
qual cosa
ambé
n'es abili za
una
de
G
.
7
.
_
Lona
Siga
G
un
p-g up
.
G
és
A-nilpo en
si,
i
sols
si,
A
indueix
so-
b e
G/m(G)
un
g upd'au omo ismes
escala s
.
.
Demos ació
:
Es
análoga
a
la
del
Teo ema
3
de
[6]
.
8
.
Teoa
.®na
Si
G
és un
p-g up
A-nilpo en ,alesho es
[G,A]
_<
O(G),
o
bé
[G,A]
=
G
.
Demos ació
:

Si
A/C
A
(G/$(G))
=
1,
alesho es
con a i,
A /
CA(G/O(G)),
alesho es
(A/C
A
(G/V
En
e ec e,

siga
a
un
elemen
de
Z/pZ,
a4
l,,
al
cala
del
Z/pZ-espai
ec o ial
G/O(G)
de ini
g up
A/C
A
(G/O(G))
.

Siga
BC
Z/pZ
al que

(a-1
llei
ex e na
de
1'espai
ec o ial
G/m(G)
.
Pe
i ica
:
x
=
1ox
=
((a-1)B)ox
=
(a-1)o(Box)
=
=

(Bux)-1(Box)
. .
. .
a
.?
.(Box)

=

(Box)
-1
a
(B-x)

e
[G,A]
<
m(G)
.
Si,
pel
G))
,
G/m(G)]
=
G/m(G)
.
que
1'au omo isme
es-
pe
a, a
,
pe anya
al
B
=
1
.
Deno em
pe
o
la
a
o
x
E
G/O(G)
es
e-
(Box)
....
a
.
.l~
.(Box)

=
[A/C
A
(G/m(G))

,

G/m(G)]
.
En
els
casos
que, en la
hipó esi
del
eo ema,
inguem
p =
2

o
A
<
In (G),
semp e
es
compli á
[G,A]
<
O(G)
.
9
.
Teonema
Si
G
és un
g up
A-nilpo en ,alesho es
A
és
supe esoluble
i
[G,A]
_<
p(G)
.
Si, a
més, e(G)
=
Z
.(G),
alesho es
G
és
un
g up
A-Sylow
.
Demos ació
:

Siga
X =
{M
_<
G
/
M
és
maximal)
i
siga
A(X)
=
{a6
Au (G)
/
M
a
= M
YM
E
X}
.
Com que
A
<
A(X),
enim
que
A
és
supe esoluble
( eu
e
(4],
eo ema
3 .4)
.
D'al a
banda,
si
en
(2.2
.a)
de
[4]
p enem
com
a a
el
conjun
X,
es
e i ica
que
C
.(X)
cen ali za
el
g up
quocien '
NG(X)/CG(X),
és
a
di ,
[G,A]
_<
p(G)
.
n
Si,
a
més, á(G)
= Z.
(G),
o s
els
elemen s
de
A
són
au omo ismes
hipe cen als,
la
qual cosa
que
o s
els
subg ups
de
Sylow
de
G
són
A-in a ian s
( eu e
en
conseqüéncia,
G
és
A-Sylow
.
10
.
Con
~eaexe
~
En
unció
de
di e seshipó esis
sob e
A,
es udiem
a
con inuació
la
elació
en e
els
qua eenuncia s
següen s
:
(1) A
es abili za
una
sé ie
de
G
.
(2)
G és
A-nilpo en
.
(3)
[G,A]
_<
O(G)
.
(4) G
és
A-Sylow
.
a)
Si
A
=
In (G),
alesho es
(4)k

3(3)é

o(2),*
b)
Si
A
és el
g upd'au omo ismes
in e nsinduY s
pe
un
g up
no mal
H
de
G,
alesho es
En
e ec e
:
i)

(4)
--D(3)
.
Ca
si
G
és
A-Sylow,

alesho es
.H
<
Z_(G)
1
6(G),
(4)

(3)<
-)(2)

(1)
implica
[1])
i,
sub-
i,
pe
an ,
[G,H]
=
[G,A]
<
O(G)
.
ii)
(3)(

i(2)
pel
Co ol
.la i
5
.2
.
iii)

(2)
-)(1)
.
Ca
si
G
és
A-nilpo en ,
alesho es
H <
A(G)

<
_<
F(G)
i,
en
conseqüéncia,
A es abili zauna
sé ie
de
G
.
i )

(3)
-/-)(4)
.

Es
su icien
p end e
un
g up
G
on
Z_(G)

<
e(G),
pe
exemple
el
g up
diéd ic
D9 =
<x,y
/ x9
=
y
2 =
1,
y -1
xy
=
.
x
-1
>
.
Siga
A
el
g upd'au omo ismes
in e nsindui s
pe 4(D
9
)
=
<x
3
>
.
Com
que [D9,A]
_
[D9
,p(D
9
)]
_<
m(D
9
),
es
compleix
(3)
pecó
D
9
no és
A-Sylow
ca
¿(D9)
Z_(D9)
=
1
.
)
(1)-/-~(2)
.
Es
su icien
p end e
un
g up
G
on A(G)
<
F(G),
pe
exemple
D9
.
Siga
A el
g up
d'au omo ismes
in e nsindui s
pe
F(D
9
) ;
com
que
A(D
9
)
=
<x
3
><
F(D
9 ) =
<x>,
es
segueix
que
A
es abili
za
una
sé ie
de
D
Q
pecó
D9
no és
A-nilpo en
.
c)
Siga
A
el
g up
d'au omo ismes
in e nsinduY s
pe
un subg up
qualse ol
H
de
G
.
Alesho es,
(3)(---!(2)
En
e ec e
:
i)
(3)H(2),
(2)

>(1),
(1)-$
>(2),
(3)-y~- (4)
i
(1)-,y(4)
.
Pe
la
ma eixa
aó que
en
1'apa a
b)
.
ii)

(4)
x)(3)
.

En
e ec e,

siga
G
=
E4

i
siga
H
=
<(1,2)>
.

Com
que
el
2-subg up
de
Sylow
P 2
=[<(1,Q,2,3)>]<(1,3),(2,4)>
és
A-in a ian
i
el
3-subg up
de
Sylow
P
3 =
<(1,2,3)>
és
A-in a ian ,
G
és
A-Sylow
;
pecó
no
es
compleix
(3)
ca
(G,A]
=
[G,H]
¡
O(G)
=
1
.
iii)
(4)- -)(1)
.
En
e ec e,
si
aga em
el
ma eix
exemple
an e io ,
G
és A-Sylow
pecó
A
no
es abili zacap
sé ie
de
G
.
d)
Siga
A
un
g up
qualse ol
de
Au (G)
.
Alesho es,
(4)
.
#
o-
^
(1)
En
e ec e,
i)

(3)----*(2)
i
(3)
-
:
(1)
.
Pe
la
p oposició
5
.
ii)
(2)-í
- (3)
.
En
e ec e,
siga
G
=
C
3
;
aques
g up
és
supe nil-
po en pecó
[C
3
,Au (C
3
)]
=
C
3
-1
m(C
3 )
.
iii)
(2)
-}-
(1)
cá ,
pe
exemple,
C 3
és
supe nilpo en
pecó

Au (C
3
)
no
es abili za
una
sé ie
de
C
3
.
i )
(1)-}-+(3)
ca
si
G
=
<a,b
/a4
=1,
b
2=
a2
,
b
-lab
=
b-1>
i
A
=

<a>

,

essen
a

1'au omo isme
de
G
al que
a
a
=
á
1

i
b
a
=
ab,
alesho es
A
es abili za
la
sé ie
1 a
Z(G)
o
<a>
cG,
pe o
(G,A]
=<a>
i
<a>
no
es á
con ingu
en
O(G)
.
Els
al escasos
es
aonen
com
en
l'apa a
c)
.
En
pa icula ,
pe
a
A =
Au (G) els
g ups
abelians
no
cíclics
e i iquen
(4)
pe o
no
e i iquen
(2)
.
REFERENCIES
[11

Adney,J
.E
.
and
Deskins,W
.E
.
On
Au omo phismsand
Subg oups
o Fini e G oups
II
.
A ch
.
de
Ma h
.,
Vol
.
XVIII
(1967)
.
[21

Blessenoh1,D
.
und
Laue,H
.
Vo zeichen on
Au omo phismen
endliche
G uppenund
Beispiele
no male
Fi ingklassen
.
Ma h
.
Z
.,
148,
119-126
(1976)
.
[3)

Go ens ein,D
.
Fini e
G oups
.
Ha pe -Row,
New
Yo k
(1968)
.
[4]

Huppe ,B
.
Endliche
G uppen
I
.
Sp inge -Ve lag,
Be lin(1979)
.
[5]

Laue,H
.
Ke ne
on
Pe mu a ionsda s ellungende
Au omo phismeng uppe
eine
endlichen
G uppe
.
A ch
.
Ma h
.
Vol
.
XXVII,
463-472
(1976)
.
[6]

Mack
Hil1,W
.
F a ini
Subg oups
and
Supe nilpo en
G oups
.
Is ael,
J
.
o
Ma h
.
Vol
.
26,
n°-
1
(1977)
.
[7]

Ma ín
Sal ado ,P
.
Sob e
los
subg upos
F a ini
ela i os
a
au omo os
y
las
elacionesen eellos
.
VIII Jo n
.
Ma
.
Luso-Esp
.,
Vol
.I
.,
143-151,
Coimb a
(1981)
.
[8]

Schmid,P
.
Nilpo en e
G uppen
un
i
d
S abili á sg uppen,
Ma h
.
Ann
.
202,57-59
(1973)
.
Rebu
el
.
27
d'abh
.í
.e
de
1982
Pila
Ma ín
Sal ado
Depa amen
d'Algeb a
i
Fonamen s
Facul a
de
Ma emá iques
Uni e si a
de
Valéncia
Bu jasso
(Valéncia)
ESPANYA