Generalitzacions per automorfos dels grups nilpotents

Pub . Ma . UAB Vol . 27 N4 2 Juny 1983 GENERALITZACIONS PER AUTOMORFOS DELS GRUPS NILPOTENTS Pila Ma ínSal ado ABSTRACT : I is known ha a g oup Ao au omo phisms o G s abilizes a se ies o G, 1 = Go e G 1 1 . . .a G = G, i [G i ,A] _< Gi-1 , 1<<i< . This sen ence gene alizes one o he cha ac e iza ions o nilpo en g oups . Analogously, we in oduce o he ge- ne aliza ions o he nilpo en g oups ( he A-nilpo en g oups and he A-Sylow g oups) and we s udy he ela ionship among all hem . En aques eball in oduYm i elacionem en e si di e ses de i- nicions que gene ali zen les següen s conegudes ca ac e i zacions dels g ups nilpo en s ini s : G es abili za una sé ie se a ; qualse ol sub g up maximal de G és no mal en G ; qualse ol subg up de Sylow de G és no mal en G ; [G,G ] < O(G) . Pe G deno a em semp e un g up ini i pe A un subg up del g up d'au omo ismes de G . 1 .  0e ini .c¿ó  ( .  [ 31, paq .  178) Siga 1 = G0 q G 1 o . . .4 G = G .una sé ie de G . Di em que A es a- bili za la sé iedonada si A no mali za cada Gi i si [G i ,A]  <_ G i-1' 1<i< . Si A = In (G) ob enim la p ime aca ac e i zació dels nilpo en s . Obse e's que si A és el g up d'au omo ismes in e ns indui s pel sub- g up de Fi ing, F(G), alesho es A es abili za una sé ie de G i F(G) és el majo subg up no mal de G amb aques a p opie a . 2 . Qe i'jc,¿ó Un g up G és A-nilpo en si o maximal de G és A-in a ian . Pe aA= In (G) hi ob enim els nilpo en s i, pe aA = Au (G), els supe nilpo en s ( . [6J) . Si A és el g up d'au omo ismes in e ns indui s pel subg up A(G) (A(G) és la in e secció de o s els maximals no no mals de G), alesho es G és A-nilpo en i á(G) és el majo sub- g up de G amb aques a p opie a . 3 .  DePn,i ci ó Un g up G és A-Sylow si pe a cada p ime p di iso de IGI exis- eixun p-subg up de Sylow de G que és A-in a ian . Si In (G) <A, alesho es G és A-Sylow si, i sols si, G és nil- po en .  Si GoA són esolubles i  (1 G1 ,1 A1) = 1,  alesho es G és A-Sylow . Si A és un subg up de Au (G) lliu e de pun s ixes, alesho es G és A-Sylow ( . [3], pags . 224 . 335') " Si A és el g up d'au omo ismes in- e ns indui s pe 1'hipe cen e Z_(G), alesho es G és A-Sylow i Z_(G) és el majo dels subg ups no mals, H, de G pe als que G és H-Sylow . Si In (G) <_ NAu (G)(A), alesho es G és A-Sylow si, i sols si, o sub- g up de Sylow de G és A-in a ian ; pe an , de [1] deduim que, si In (G) < NAu (G)(A) alesho es G és A-Sylow si, i sols si, [G,A] < Z_(G) . 4 .  P opo i .i .ciá Si A es abili za una sé ie de G,  alesho es  [G,A]  <  A (G) . Demos ació : Pe $A (G) en enem la in e secció de o s els A-subg ups maximals de G ( eu e [7]) . Siga M un A-subg up maximal de G ; com que A es abili za una sé ie de G,  alesho es  [G,A,A, . . . . A]- = . 1  <-M .  Pel le ma (1 .4) de [2], ' M _< M[G,A] < G, és a di , M = M[G,A]  i [G,A] _< M . Pe an ,  [G,A]  <  $ A (G) . 4 . 1  Co oL . . aa¡ Si G és un g up- ca ac e ís icamen simple i A á Au (G), ales- ho es A es abili za una sé ie de G si, i sols si, A = 1 . Demos ació : Immedia a a pa i del co ol .la i (2 .2) de [7] i de la p oposició 4 . 4 . 2  Coco¡ . daa i . Si A es abili za una sé ie de G, els A-subg ups maximals de G són maximals . Demos ació : Siga M un A-subg upmaximal de G i M' un maximal al que M < M' . Com que [M',A] < [G,A] < M < M', alesho es M' és A-subg up i M = M' . 5 "  Paopo~di .ci .ó [G,A] < O(G) si, i sols si, G és A-nilpo en i A es abili za una sé ie de G . Demos ació :  Si [G,A] _< $(G) i M és un subg up maximal de G, com que [M,A] < [G,A] _< m(G) _< M, es e i ica que M és A-in a ian , és a di , que G és A-nilpo en . A més, de [8], eo ema 3 .1, es dedueix que A . es abili za una sé ie de G . In e samen , si G és A-nilpo en , alesho es OA (G) = O(G) i, pe la p oposició 4, [G,A] <_ O(G) . 5 . 1 Coiwi . 2£m¡ [G,A(G)] < m(G) i á(G) és el majo subg up de G amb aques a p o- pie a . 5 .2 CowL . .La4,i Si A < In (G), alesho es [G,A] < O(G) si, i sols si, G és A-nil- po en . Obse e's que 1'a i mació e a en el Co ol .la i 5 .1 és equi a- len a di que e(G)/O(G) = Z(G/O(G)) ( . [4], pag . 276) . 6 . Teoaeaa Si A i G són abelians i [G,A] < OA(G), alesho es A es abili za una sé ie de G i el p oduc e semidi ec e de G pe A, G*, és A-nilpo en . Demos ació : Com que G és un subg up no mal abeliá de G*, en esul a que 0 G* (G) < O(G*) . D'al a banda, m G* (G) = n(M / M és G*-in a ian maximal de G} = ()(M / M és GA-in a ian maximal de G) = n(M / M és A-in a ian maximal de G) =OA (G) . Pe an , OA(G) _< O(G*) i, com que A és abeliá, enim [G*,A] _ [G,A] < OA(G) _< O(G*) . En conseqüéncia, G* és A-nilpo en i A es abili za una sé ie de G*, pe la qual cosa ambé n'es abili za una de G . 7 . _ Lona Siga G un p-g up . G és A-nilpo en si, i sols si, A indueix so- b e G/m(G) un g upd'au omo ismes escala s . . Demos ació : Es análoga a la del Teo ema 3 de [6] . 8 . Teoa .®na Si G és un p-g up A-nilpo en ,alesho es [G,A] _< O(G), o bé [G,A] = G . Demos ació :  Si A/C A (G/$(G)) = 1, alesho es con a i, A / CA(G/O(G)), alesho es (A/C A (G/V En e ec e,  siga a un elemen de Z/pZ, a4 l,, al cala del Z/pZ-espai ec o ial G/O(G) de ini g up A/C A (G/O(G)) .  Siga BC Z/pZ al que  (a-1 llei ex e na de 1'espai ec o ial G/m(G) . Pe i ica : x = 1ox = ((a-1)B)ox = (a-1)o(Box) = =  (Bux)-1(Box) . . . . a .? .(Box)  =  (Box) -1 a (B-x)  e [G,A] < m(G) . Si, pel G)) , G/m(G)] = G/m(G) . que 1'au omo isme es- pe a, a , pe anya al B = 1 . Deno em pe o la a o x E G/O(G) es e- (Box) .... a . .l~ .(Box)  = [A/C A (G/m(G))  ,  G/m(G)] . En els casos que, en la hipó esi del eo ema, inguem p = 2  o A < In (G), semp e es compli á [G,A] < O(G) . 9 . Teonema Si G és un g up A-nilpo en ,alesho es A és supe esoluble i [G,A] _< p(G) . Si, a més, e(G) = Z .(G), alesho es G és un g up A-Sylow . Demos ació :  Siga X = {M _< G / M és maximal) i siga A(X) = {a6 Au (G) / M a = M YM E X} . Com que A < A(X), enim que A és supe esoluble ( eu e (4], eo ema 3 .4) . D'al a banda, si en (2.2 .a) de [4] p enem com a a el conjun X, es e i ica que C .(X) cen ali za el g up quocien ' NG(X)/CG(X), és a di , [G,A] _< p(G) . n Si, a més, á(G) = Z. (G), o s els elemen s de A són au omo ismes hipe cen als, la qual cosa que o s els subg ups de Sylow de G són A-in a ian s ( eu e en conseqüéncia, G és A-Sylow . 10 . Con ~eaexe ~ En unció de di e seshipó esis sob e A, es udiem a con inuació la elació en e els qua eenuncia s següen s : (1) A es abili za una sé ie de G . (2) G és A-nilpo en . (3) [G,A] _< O(G) . (4) G és A-Sylow . a) Si A = In (G), alesho es (4)k  3(3)é  o(2),* b) Si A és el g upd'au omo ismes in e nsinduY s pe un g up no mal H de G, alesho es En e ec e : i)  (4) --D(3) . Ca si G és A-Sylow,  alesho es .H < Z_(G) 1 6(G), (4)  (3)< -)(2)  (1) implica [1]) i, sub- i, pe an , [G,H] = [G,A] < O(G) . ii) (3)(  i(2) pel Co ol .la i 5 .2 . iii)  (2) -)(1) . Ca si G és A-nilpo en , alesho es H < A(G)  < _< F(G) i, en conseqüéncia, A es abili zauna sé ie de G . i )  (3) -/-)(4) .  Es su icien p end e un g up G on Z_(G)  < e(G), pe exemple el g up diéd ic D9 = <x,y / x9 = y 2 = 1, y -1 xy = . x -1 > . Siga A el g upd'au omo ismes in e nsindui s pe 4(D 9 ) = <x 3 > . Com que [D9,A] _ [D9 ,p(D 9 )] _< m(D 9 ), es compleix (3) pecó D 9 no és A-Sylow ca ¿(D9) Z_(D9) = 1 . ) (1)-/-~(2) . Es su icien p end e un g up G on A(G) < F(G), pe exemple D9 . Siga A el g up d'au omo ismes in e nsindui s pe F(D 9 ) ; com que A(D 9 ) = <x 3 >< F(D 9 ) = <x>, es segueix que A es abili za una sé ie de D Q pecó D9 no és A-nilpo en . c) Siga A el g up d'au omo ismes in e nsinduY s pe un subg up qualse ol H de G . Alesho es, (3)(---!(2) En e ec e : i) (3)H(2), (2)  >(1), (1)-$ >(2), (3)-y~- (4) i (1)-,y(4) . Pe la ma eixa aó que en 1'apa a b) . ii)  (4) x)(3) .  En e ec e,  siga G = E4  i siga H = <(1,2)> .  Com que el 2-subg up de Sylow P 2 =[<(1,Q,2,3)>]<(1,3),(2,4)> és A-in a ian i el 3-subg up de Sylow P 3 = <(1,2,3)> és A-in a ian , G és A-Sylow ; pecó no es compleix (3) ca (G,A] = [G,H] ¡ O(G) = 1 . iii) (4)- -)(1) . En e ec e, si aga em el ma eix exemple an e io , G és A-Sylow pecó A no es abili zacap sé ie de G . d) Siga A un g up qualse ol de Au (G) . Alesho es, (4) . # o- ^ (1) En e ec e, i)  (3)----*(2) i (3) - : (1) . Pe la p oposició 5 . ii) (2)-í - (3) . En e ec e, siga G = C 3 ; aques g up és supe nil- po en pecó [C 3 ,Au (C 3 )] = C 3 -1 m(C 3 ) . iii) (2) -}- (1) cá , pe exemple, C 3 és supe nilpo en pecó Au (C 3 ) no es abili za una sé ie de C 3 . i ) (1)-}-+(3) ca si G = <a,b /a4 =1, b 2= a2 , b -lab = b-1> i A =  <a>  ,  essen a  1'au omo isme de G al que a a = á 1  i b a = ab, alesho es A es abili za la sé ie 1 a Z(G) o <a> cG, pe o (G,A] =<a> i <a> no es á con ingu en O(G) . Els al escasos es aonen com en l'apa a c) . En pa icula , pe a A = Au (G) els g ups abelians no cíclics e i iquen (4) pe o no e i iquen (2) . REFERENCIES [11  Adney,J .E . and Deskins,W .E . On Au omo phismsand Subg oups o Fini e G oups II . A ch . de Ma h ., Vol . XVIII (1967) . [21  Blessenoh1,D . und Laue,H . Vo zeichen on Au omo phismen endliche G uppenund Beispiele no male Fi ingklassen . Ma h . Z ., 148, 119-126 (1976) . [3)  Go ens ein,D . Fini e G oups . Ha pe -Row, New Yo k (1968) . [4]  Huppe ,B . Endliche G uppen I . Sp inge -Ve lag, Be lin(1979) . [5]  Laue,H . Ke ne on Pe mu a ionsda s ellungende Au omo phismeng uppe eine endlichen G uppe . A ch . Ma h . Vol . XXVII, 463-472 (1976) . [6]  Mack Hil1,W . F a ini Subg oups and Supe nilpo en G oups . Is ael, J . o Ma h . Vol . 26, n°- 1 (1977) . [7]  Ma ín Sal ado ,P . Sob e los subg upos F a ini ela i os a au omo os y las elacionesen eellos . VIII Jo n . Ma . Luso-Esp ., Vol .I ., 143-151, Coimb a (1981) . [8]  Schmid,P . Nilpo en e G uppen un i d S abili á sg uppen, Ma h . Ann . 202,57-59 (1973) . Rebu el . 27 d'abh .í .e de 1982 Pila Ma ín Sal ado Depa amen d'Algeb a i Fonamen s Facul a de Ma emá iques Uni e si a de Valéncia Bu jasso (Valéncia) ESPANYA