Pub
.
Ma
.
UAB
Vol
.
27
Ne
2
Juny
1983
ALGEBRA
DE
LAS FUNCIONES
HOLOMORFAS
SOBRE
EL
DISCO
PROLONGABLES
POR
CONTI-
NUIDAD
JUNTO
CON SUS DERIVADAS
EN
UN
PUNTO
SEGUN
COMPACTOS
NO
TANGENCIALES
Joaquín
Ma
O ega
A ambu u
Abs ac
:
We
cha ac e ize
he
closed
ideals
o
he
locally
con ex
algeb a
o
analy ic
unc ions
in
he
uni disc
whosede i a i es
ha e
a
non angen-
ial
limi
in
a
poin
o
he
bounda y
.
A
heo em
abou
spec al
syn hesis
in his
algeb a
is
also p o ed
.
This
pape
comple es
he
p e ious
wo k
(4)
o
he
au ho
.
In oducción
:
Sea
D
el
disco
unidad
Iz1
<1
.
Conside emos
K
el
compac
o limi ado
po las
dos
angen es
azadas
desde

z=
-1

a
la
ci cun e en
cia

Iz1=
<1

jun o
con
el
a co en

Iz1=

limi ado
po
las
mismas
y a
dis ancia
mayo
de

z=
-1

.

Sea
po
o a
pa e

Da
,

0<
a,<1

la
imagen de
D

po
la
aplicación

w
=
(z
+1)
a -
1

(de e mínacíón
p incipal
de la misma,
es deci ,
con
la imagen
D
a
con enida
en D)
.
Conside emos
el
álgeb a
A
de
las
unciones
holomo as
en
D
y
que
se
ex-
ienden
po
con inuidad
así
como
odas
sus
de i adas
a

z=
-1

según
los
compac os
K
.
Coincide
con
la
ob enida
sus i uyendo
los
K
po
los
com-
pac os
Da
.
También
coincide
con
el
álgeb a
de
las
unciones
que
admi en
desa olloasín ó ico
en

z
= -1

según
los
compac os

K

(2)
.
El
álgeb a
A
se
puedeiden i ica
con
lim
A
-
(K
)
donde
A~(K
)
es el
álgeb a
de
las
unciones
holomo as
en
K
y
p olongables
po
con inuidad
jun o
con sus
de i adas
a
K
(análogamen e
con
D
a
) .
A
iene
en onces
es uc u a
de
álgeb a
m
.l .c
.
de
F éche
y
su
opología
es
la de
la
con e -
gencía
uni o me
de
las
unciones
y
sus
de i adas
sob e
las
K
(o
D
a
) .
El
espec o
del
álgeb a
puede iden i ica se
con
D
U
{p}'
con
su
opología
na u al
.
Es
conocida
(1)
la
desc ipción
en é minos
de
unciones
holomo as,
o
mejo
en
é minos
de
gé menes
de
unciones
holomo as
en
el

,
del
dual
opoló-
00
gico de

A
.
Así
si

TcA'

y
es
p olongable
a
un
elemen o

Te E
A
(K
)'

se
de ine
la
unción
indica iz

iT (M
)
=Te
(
W
l
z )
,
de inida
en

C
K
.
Puede
e
cupe a se
T a
pa i de
i
T
po
medio
de
la
igualdad
T(p)
=
21
i
~ iT
(W)
p(W)
dW
;
donde

.e
.

es
una
cu a
simple ce ada,
di e e_n
ciable
a
ozos,
con enida
en

C
K

y
que
odea
a

K
;
p

polinomio
(que
son densos
en
A)
.
El
p opósi o
de es e
abajo
es
da
un
eo ema
de
es uc u a
de
odos
los
ideales
de
A
y
como
consecuencia
p oba
un
eo ema
de
sín esis
espec al
pa a
los
mismos
.
Se
obse a
que,
a
di e encia
de
lo
que
ocu e
con
el
álge-
b a
de
las unciones
holomo as
en
D
que
se
p olongan
po
con inuidad
jun
o
con sus
de i adas
según
discos
angen es
a D
(4)
,
en el
p esen e
eo e
ma
de
es uc u a
no apa ecen
los
ac o es
si
.ngula es
in e io es
.
Veamos
en
p ime
luga
como la
ac o ización
de
las
es icciones
de
los ele
men os
de A
a
cada
D
a
da
una
ac o izacióncanónica
en
que
no
apa ecen
ac o es
singula es
.
Teo ema
1
:
Sea

0

una
ep esen ación
con o me
de

D

en un
dominio

D
C
D
que
es el
dominio
in e io limi ado
po
una
cu a
de
Jo dan ec i icable
.
Sea

~

ex endido
po
con inuidad
a

D

y si

P
={z
;
IzI=1)

supongamos
que
D
n


y

o-
'
(D n
)

ienen
medida
ce o
en P
,
En onces
si es
del
álge
b a del
disco
y
unción
ex e io ,
se
e i ica
que
°
~
es
ambién
ex e io
en D
.
En
e ec o,
es
su icien e
p oba
qué
:
ío
se
iene
:
logl (O(o))I
=
Tenemos
en onces
que
calcula
:
y
e i ica
que,
pues oque
e
l
+
O( z)
e
i -
O( z)
I
`
1
2,
~

log1 (O(e¡u))Idu
Aho a
bien,
pa a casi odo
u6
se
e i ica
~(e
lu
)ED y
po se
ex e-
ni
iu
logi («e
¡u
))
I
=
Zl
Re

el +
O(eíu)
logl (ei )ld
-7

e

-
O(e

)
n
7T
i iu
4n
2
J_

du
1

Re
ei
+
~(eiu)
logl (ei )ld
n

-n

e

-
O(e

)
i íu
pues o
que
pa a
odo


y c
.p .
u

Re
ei +
O(e
iu
)
'o
,
podemos
aplica
el
eo ema
de Fubini ya
que
1

Re_

el
+O(eiu)
du
=
Re ei
+m(o)
2I
e
i
-O(e
iu
)
ei
-$(o)
pa a odo


con

e
l
g
n
,
es deci ,
c
.p
.
.

;
pues
es
su icien e
aplica
el
eo ema
de
la
media
a
las
unciones
:
ei
+
0( z)
ei
-
« z)
<
1
pa a

I
z
I
<
1

,< 1
podemos
pasa
al limi e bajo el
signoin eg al
.
Calculandoen onces
:
pues
es
ex e io
en
D
,
hemos
e minado
.
Obsé ese
que
la
condición
del
eo emadepende
del
dominio
D
icula
ep esen ación
con o me
.
Co ola io
1
:
Sean
D
1
=
D
2
dominiosaco ados
limi adospo
cu as de
Jo dan
ec i icables
P
1
,
2
.
Sean
~
1,
~2
ep esen aciones
con o mes'de
Den
D
1
y
en

DZ
espec i amen e
.
Sea

:D2
-
C

con inua
con

°
~2

ex e io
y
supongamos
que

D
1
n
2

y

-1
(D
1
(1
2 )

sean de
medida
ce o en

2

y
en

espec i amen e
;
en onces

°
~
1
es
ex e io
.
En
e ec o,
bas a conside a
el
e ema
1
aplicado
a

°
02

y
al
dominio
D=
X21
.
0
1
(D)
=
021(D
1
)

que
e i ica
que

D
(1
= ¢2
1
(D
1
l
2
)

es
de medi
da

0

en el
bo de
de

P

y

~
1
`
.o2(D
l
P)
_~
1
1
(D
1
1
2
)

lo
es en

.
De
hechohemos
iden i icado
median e
~2
D
con
D
2
.
Co ola io
2
:
Sea
=
(
o
)cA
=
lim
A
(D
a
)
.
Si
a
es
ex e io pa a un
.1
Da
.
i

,
lo
es

a2

pa a cada

Da
z
C
:D,
1.
Análogo
enunciado
pa a
los

K
"
.
También
puede
pasa se
de
un K
a
un
e¿
si
K
~
D
a
y la
in e sec-
in e sec-
ción de
sus
on e as
es
{-1}
.
Teo ema
2
:
Sea

0
<S
<
o¿<
1

y
conside emos
una
unción
singula
en

D
a
c_o
-1+z
espondien e
ae1+z
,
X>,0
en D
espec o
a la
ep esen ación
con o
-2+(w+1)1
/a
1/a
me

w
=

(z
+
1)
a
-
1

;

es
deci

(w)

=
e

(w+1)

.

En oncesla
unción
.
~Q
es
ex e io
.
En
e ec ó,
hemos
de
e i ica
.
que
la
unción
en D
-2+(z+1)S/a

2
a

(Z+1)s
/a

a

-
~
(Z+1)s/a
Se
iene
que
logI g
(
0X
)
I
=
-2a
.
Calculemos
aho a

-í-7

Re

i

y d
.
(e
+1)
n
i
Re
ei
+
0
(0)
logi (e
i
)Id
=
logl («
O))I
-TT
e-
«0)
Y
= eX
"
e

(z+1)

,

0
<y<
1
,
es
ex e io
.
y
g(z)
=
((z+1)
-1)
= e

= e
"
e

=
2
no de
la
pa
cos
y
-
obse emos
que -2a
Re

1

=
-2
1-
Y
"
a

2

que
es
in eg able
.
(e
i
+
1)
y

cosy

2
Llamemos
P
E
al a co
ob enidosup imiendo
de
P el
a co
con enido
en el
disco
de cen o
z
= -1 y
adio
E y
po
y
E
el
a co
del
cí culo
cen ado
en
-1 y
adio
E
que
es á
con enido
en D
.
Podemos
calcula
po
esí-
duos
:
-2X

dz = 27 i(-2a)
~FE
u
Y
E

(z+1)Yz
Po
o a
pa e
la in eg al
sob e

y
E

cuando

E
-
0

iende
hacia
ce o
ya
que
-2a(z+1)
;
0
uni o memen e
en
y
E
.
De
aquí
que
nues a
in eg al
(z+1)Yz
z- 1
queda
í
(

Re

-2
~

d =
2U(-2a)
como
que íamos
p oba
.
JT

(ei
+
1)
Y
Teo ema
3
:

Sea

O
:D
-
"
D
a
c
D

la
ep esen acíón

w=
O(z)
=(z+l) a -
1

y
sea
(z)
un
p oduc o
de
Blaskeco espondien e
a
un conjun o
Q1
de
ce os
{a
n
}

pe enecien es
a

D
.
En onces

o
o

da
una
ac o ización
en

D

en
un
p oduc o
de
Blaske
po una
unción
ex e io
.
an
_z
~a
n
~
En
e ec o,
sea
(z)
=

R
CL
nF-
Q1

1
_C nz

an
-
O(z)
=

R

_n

n

y
sean
a

pa a
a
ED
.
Llamemos
el
n
EQ
1

1-a
n
o
(z)

cc
n

n

n

n

a
Q2
=Q
1
n
D
a
y
conside emos
el
co espondien e
p oduc ode Blaske
:
g(z)

=

II

On
z

1O
n
i
an
EQ2
1-Snz
sn
Hemos
de
p oba
que
o
O(z)/g(z)
es
ex e io
.
Se
a a
de
e i ica
que
log~
( (0))
I
=
l
~~ logl
($(e
i )
)
g(0)
2~
g(e
i
)
Calculemos,en onces,
es a úl ima ín eg al
:
d

Obsé ese
que
.
Aho a
bien
:
1
27
Se
iene
10
a
ñ
O(e
i
)
<1
c
.p
.
.
así
como
que
:
1-a
0(e
i
)
Es
su icien e
comp oba
que
:
a
ñ
$(ei )

I
Sn-ei
_
<1
1-5 O(e
i
)I
/11-S
ei
n

n
B
-ei
n
1-S ei
n
l

T

I
a
n
-
O( el )
/R
n- el
d =
lim_
2n

log
I

i

i

d
=
~i

n

1-e
-
¿
n
0( e

)

1-
1n
e
a
n_
~(0)
/0
. - 0
lim
log
+1

I
1
an
o(0)

1-I
n
0~
donde
es a
úl ima
igualdad
se
deduce
del
eo ema
de
la
media
.
Pa a
los
sumandos
en
que

U
n
F-Q
1
-Q
2

y
an
d D
a
los
a gumen os
se
epi en
y la
a
n
-
0(0)
in eg alqueda
log

-
1-
an
o
(0)
Pa a
el
cago
en
que
a
.

pe e-nezca
á
la
_ on e a
de
1)_
.
como en
1
.og
cggng
n

u
an e io es

2,
l
n

log
l
l
-
an
«e
l
)
I
d
=
log
il
-
anE0)
II
J
.
log1a
n
-~(e
i
)Id
=
logia
n
-«0)I
pa a
1
~TF
2n

log
I0(e
i o
)
-
~(ei )
I
d =
logla
n
-
~(0)
I

+
0(e
i
)-
~(0)
+
1

log
I
1
27

1-
;

-
~(ei

d
)
(

log
( 1
-
(z+l)
a
-1
)
dz
=
0
J
e U
ye

a
u
z
Veamos
que
es a
úl ima
in eg al
es
nula
.
Sea
e
el a co de
ex e io
al
disco
de
cen o
e
s o
y
adio
e
.
Comple emos
P
e
con
un a co
y
e
del
cí_
culo de cen o
es o y
adio
e
y
con enido
en D
.
Po
o a
pa e
el
limi e de
la
in eg alsob e

y
E
cuando
.
E
-->0

es
ce o ya
que
IEe
i
+
ei o-eí oIk
logl
1 -
(
ei
+e
s o
+l)
a
-
1I
S
an
ek(logl
(es o
+
1)a-
(ei o+
1+
Eel ),I
I
+
I
log1
a
n
iI
E
k
log
KE
+E
k
lim
l
a
¡-o
nF-0
Obsé ese
que
es e
a gumen o
puede
epe i se
pa a
0
cualquie a
que sea
p o-
longable
a
una
unción
holomo a
en
un
en o no
de
cada

Sn

con

0'(R
n
)
# 0
.
El
eo ema
3
puede
en onces
da se
sus i uyendo
Da
po
un
D
al
que
_
i
(D
n
D)
sea
de
medida
ce o
en
V
pa a
que
a
n
_
O(ei )
1-
-
n
~ (e
í
)
sea
.meno
que
1
c.p
.
.
y
que
la
unción
~
se
p olongue
a
una
unción
holomo a
en
un
en o no
de cada
Sn
como
an eshemos conside ado
.
Teo ema
4
:
Sea

=
(
a
)EA
=
lim
A
(Da
)

.
La
ac o ización
de cada

a
es
de
la
o map oduc o
de
Blaske
po una
unción
ex e io
.
En e ec o
sea EA
y
a
al
que
a
.~a
enga
como
único
posible
ce o en
Iz1=
1

el

z
= -1
.
Es
conocido
(lema
6
de
(3))
que
en la
ac o ización
canó
pica de

a
o
Da
la
pa e
singula iene
una
medida
asociada
con
sopo e
con
1+z
enido
en
los
ce os
de

a
o

es
deci ,
es
del
ipo

e

l+z

A
>,
0

.
Apli
cando
aho a
el
co ola io
2,
eo ema
2 y
eo ema
3
se
end á
que s~
~S pa a
(~<
a

iene
una
ac o ización
canónica
en
que
no
apa ece
ningún ac o
singu
la
.
Es e
azonamien o
puede
aplica se
pa a
cada

S

con

0
<
0<
1
.
Es amos
ya
en
condiciones
de
es ablece
el
eo ema
de
es uc u a
de
los
idea-
les
ce ados
de
A
.
Pa a
eA
deno amos
Z
n ( )
=
{zeD
U {l}
:
(z)
.
. .
=
n
(z)

= 0}

.

Si

I

es un
ideal
.
de

A

,

Zn(I)= él
Z
n
( )

;
Z~(I)
_
(1
Z
n
(I)
.
Llamemos
I(Z(I))
al
conjun o
de
los
F-A
ales
que
pa a
cada

n =

,

Zn( )
=,
Z
n
(I)

.
Teo ema
5
:
Sea

I

un
ideal
ce ado
de

A
.
Se e i ica

I=
I(Z(I))
.
En
e ec o,
si

I
o
=
I(Z(I))

enemos

I
e
I o
y
llamemos

J=
{ cA
;
I
o
e
I}
J es un
ideal
ce ado
de
A
que
con iene
a
I
.
Po
o a
pa e
se
cumple
que
Z
O
(J)
e
Z
w
(I)
.
En
e ec o,
si
a
pe enecie a
a

Zn
(I)

pe o
no a
a
Z11+1(I)
exis i ía
a
con
aEZ
n
( )
Z
n+1
( )
;
g(z) =
(z)
-+1
E A

y si
(z-a)
hel
o
y

h(z)
= (z-a) n+1
H(z)

con

H(z)EA

se
iene

gh
= lIEI
,
luego

geJ
y

g(a)
~
0
.
Tend emos
en onces
que
o
bien

Z
o
(1)
_ 0

en cuyo caso

J
=
A
y
po
an o

I=
I
o
o
bien

Z
O
(J)
=
Z~(I)
=
{-1}
.
Conside emos
es e
úl imo
caso
.
P ecisamosaho a
del
siguien e
lema
:
Lema
:
Exis en
unciones
ex e io es

F
k
F-A~(D)

k= 1,2,
.
. .

ales
que
Z'(F
k
)
=Z
'
(F
k
)
=
{-1}
y
al que
si
heA
con
Z
w
(h)
= {-1}
en onces
{F
k
h} ---
"
h

en

A
Puededa se
una demos ación
análoga
a
la
del
lema
4
de
(4)
que
a
su
ez
se
deduce
del
eo ema
3
.3 de
(5)
.
El
eo emaqueda á
p obado
si
demos amos
que
los
F
k
pe enecen
a J
;
pues
en
es e caso
si

hel
o
,
F
kh
-
h

y si

Fk
hF-I

end emos
que

hEI

y
hab emos
e minado
.
Pa a
e
que
las F
k
pe enecen
a J
bas a
e que
son
inciden es
a
las
TeJ
L
e
A'
Sea

TEJ
1
e
A'

supongamos
sea
con inua espec o
a
la
con e gencia
uni o me
de
las
unciones
y
de i adas
has a
el
o den
n-simo
sob e

K
.
Es
conocido
que
sob e
los
polinomios

T(p)
=
2~i
I~
i
T
(w)
p(w)
dw

donde
Q
es
una
cu a
con enida
en ~K
,
di e encíabie
a
ozos
y
que
odea

K
.
Tomando
K
e
K
e
D
a
puede
oma se
como
cu a
.2
la

unión
de un a co
del
bo de
1
de D
a
ex e io
a
un
disco
de
cen o
-1 y
adio
E
jun o
con
un a co de
la
ci cun e encia
cen ada
en
-1
y
adio
E
ex e io
a
D
a
.
Aho a
bien si

eA

con

Z
00
( )

(z)
=
(z+1)
n+2
g(z)
con

g(z)cA
Po
o o lado
g(z) =
lim
p
n
(z)
en
A
,
p
n
polinomios
en
z
y
end emos
Se
a a
en oncesde
e que
T(pn(z)(z+1)n+2)
=
2n
i
,,,

iT(w)pn(w)(w+1)n+zd,
aD
a
De
la
aco ación
(1)
de
i
T
(w)
p
n
(w)(w+1)
n+2
puede
pasa se
al lími e
bajo
el
signo
in eg al
y
end emos
que
la
exp esión
:
T( )
=
2i

i
T
(w) (w)dw
es
álida
pa a
eA con
Z~( )
= {-1}
Ja a
(

iT
(w)F
k
(w)dw
=0
a
D~
Aho a
bien
la
an e io
in eg al
es
igual
a
:
1T(«ei )
)Fk(«e
))'O'(ei )
.
iel d
pa a

«z)
=
(z+1)
a -
1

,
luego

¢'(z)
=
a(z+1)a-i

.
Obsé ese que
la
unción

iT(«
ei
))Fk
(
O
(
eí ))
.
O
,
(e i
)
-
ie
i
ex endida
po
con inuidad
dando
el
alo

0

en

z
=-1

es
una
unción
con inua
en
Conside emos
el
subespacío
de

H
2
de
los
elemen os
del
ipo

p(z)
"
o0
pa-
a
eJ
,
p
polinomio
en
z
.
Es un
subespacío
in a ían e
de
H
2
po
el
p oduc o
po
z
.
Su
adhe encia
en
H
2
es
po
el
eo ema
de
Beu ling
S
,H2
con
S
in e io
.
Aho a
bien
po se
Z°(J)=
{-1} y
los
elemen os
°
o
con

eJ

no
ene
ac o es
singula es
se
sigue
que

S
=
1

y,
po
an o,
exis en
n
EJ
,
p n
(z)
polinomios
en
z
ales
que
:
I~P
n
(z)
'
no
O(Z)
-
111
2
---
;
0
Po
o a pa e,
las
unciones

p n
o-
~
1

son
con inuas
en

Da
y
holomo as
en
su
in e io ,
luego
exis e
( eo ema de
Me gelyan
po
ejemplo)
una
suce-
sión de
polinomios
q
n
ales
que
:
o
lo
que
es equi alen e
De aquí
que
:
e
Sup

1
q
n
(w)
-
P
n
°

1
(w)
1
<

n
ies
a
,

11
n1l
.,,Da
Sup
1g
no
O(z)
- P n
(z)1
'
1I n011
ooD-a0
ze
llg
n
'
0'
no 0
-
1
112
<
I1g
n
o
~'
n
°
0-Pn'
n
°
X11
2
+
IIPn'
n°
~-
1
11
2
ClIg
n
o0'
n
°
0
- P
n'
n
o~I1
oo,
15
+
11P
n
-
n
°
~
-1
11
2
-+0
Tend emos
en onces
que
:
iT(«
ei ))Fk(O(ei ))

~, (e i
) ,
i
-ei d
=
n
n
-
lím
1__
1T(0(ei ))Fk(0(ei ))
-
0
_

(e
i
) ,
i
,
ei
'
gn(~(ei ))
'
n
(o(e
i
))d
=
lim

i T
(z)F
k
(z)g
n (z)
n
(z)dz
n

ó
Da
pe o

qn
.
n
.
F
keJ

y
po
an o
la
in eg al
es

0
ce o como
que íamos
p oba
.
con

e
--,
n

0
y
el lími e
ambién
se á