Algebra de las funciones holomorfas sobre el disco prolongables por continuidad junto con sus derivadas en un punto segun compactos no tangenciales

Pub . Ma . UAB Vol . 27 Ne 2 Juny 1983 ALGEBRA DE LAS FUNCIONES HOLOMORFAS SOBRE EL DISCO PROLONGABLES POR CONTI- NUIDAD JUNTO CON SUS DERIVADAS EN UN PUNTO SEGUN COMPACTOS NO TANGENCIALES Joaquín Ma O ega A ambu u Abs ac : We cha ac e ize he closed ideals o he locally con ex algeb a o analy ic unc ions in he uni disc whosede i a i es ha e a non angen- ial limi in a poin o he bounda y . A heo em abou spec al syn hesis in his algeb a is also p o ed . This pape comple es he p e ious wo k (4) o he au ho . In oducción : Sea D el disco unidad Iz1 <1 . Conside emos K el compac o limi ado po las dos angen es azadas desde  z= -1  a la ci cun e en cia  Iz1= <1  jun o con el a co en  Iz1=  limi ado po las mismas y a dis ancia mayo de  z= -1  .  Sea po o a pa e  Da ,  0< a,<1  la imagen de D  po la aplicación  w = (z +1) a - 1  (de e mínacíón p incipal de la misma, es deci , con la imagen D a con enida en D) . Conside emos el álgeb a A de las unciones holomo as en D y que se ex- ienden po con inuidad así como odas sus de i adas a  z= -1  según los compac os K . Coincide con la ob enida sus i uyendo los K po los com- pac os Da . También coincide con el álgeb a de las unciones que admi en desa olloasín ó ico en  z = -1  según los compac os  K  (2) . El álgeb a A se puedeiden i ica con lim A - (K ) donde A~(K ) es el álgeb a de las unciones holomo as en K y p olongables po con inuidad jun o con sus de i adas a K (análogamen e con D a ) . A iene en onces es uc u a de álgeb a m .l .c . de F éche y su opología es la de la con e - gencía uni o me de las unciones y sus de i adas sob e las K (o D a ) . El espec o del álgeb a puede iden i ica se con D U {p}' con su opología na u al . Es conocida (1) la desc ipción en é minos de unciones holomo as, o mejo en é minos de gé menes de unciones holomo as en el  , del dual opoló- 00 gico de  A . Así si  TcA'  y es p olongable a un elemen o  Te E A (K )'  se de ine la unción indica iz  iT (M ) =Te ( W l z ) , de inida en  C K . Puede e cupe a se T a pa i de i T po medio de la igualdad T(p) = 21 i ~ iT (W) p(W) dW ; donde  .e .  es una cu a simple ce ada, di e e_n ciable a ozos, con enida en  C K  y que odea a  K ; p  polinomio (que son densos en A) . El p opósi o de es e abajo es da un eo ema de es uc u a de odos los ideales de A y como consecuencia p oba un eo ema de sín esis espec al pa a los mismos . Se obse a que, a di e encia de lo que ocu e con el álge- b a de las unciones holomo as en D que se p olongan po con inuidad jun o con sus de i adas según discos angen es a D (4) , en el p esen e eo e ma de es uc u a no apa ecen los ac o es si .ngula es in e io es . Veamos en p ime luga como la ac o ización de las es icciones de los ele men os de A a cada D a da una ac o izacióncanónica en que no apa ecen ac o es singula es . Teo ema 1 : Sea  0  una ep esen ación con o me de  D  en un dominio  D C D que es el dominio in e io limi ado po una cu a de Jo dan ec i icable . Sea  ~  ex endido po con inuidad a  D  y si  P ={z ; IzI=1)  supongamos que D n   y  o- ' (D n )  ienen medida ce o en P , En onces si es del álge b a del disco y unción ex e io , se e i ica que ° ~ es ambién ex e io en D . En e ec o, es su icien e p oba qué : ío se iene : logl (O(o))I = Tenemos en onces que calcula : y e i ica que, pues oque e l + O( z) e i - O( z) I ` 1 2, ~  log1 (O(e¡u))Idu Aho a bien, pa a casi odo u6 se e i ica ~(e lu )ED y po se ex e- ni iu logi («e ¡u )) I = Zl Re  el + O(eíu) logl (ei )ld -7  e  - O(e  ) n 7T i iu 4n 2 J_  du 1  Re ei + ~(eiu) logl (ei )ld n  -n  e  - O(e  ) i íu pues o que pa a odo   y c .p . u  Re ei + O(e iu ) 'o , podemos aplica el eo ema de Fubini ya que 1  Re_  el +O(eiu) du = Re ei +m(o) 2I e i -O(e iu ) ei -$(o) pa a odo   con  e l g n , es deci , c .p . .  ; pues es su icien e aplica el eo ema de la media a las unciones : ei + 0( z) ei - « z) < 1 pa a  I z I < 1  ,< 1 podemos pasa al limi e bajo el signoin eg al . Calculandoen onces : pues es ex e io en D , hemos e minado . Obsé ese que la condición del eo emadepende del dominio D icula ep esen ación con o me . Co ola io 1 : Sean D 1 = D 2 dominiosaco ados limi adospo cu as de Jo dan ec i icables P 1 , 2 . Sean ~ 1, ~2 ep esen aciones con o mes'de Den D 1 y en  DZ espec i amen e . Sea  :D2 - C  con inua con  ° ~2  ex e io y supongamos que  D 1 n 2  y  -1 (D 1 (1 2 )  sean de medida ce o en  2  y en  espec i amen e ; en onces  ° ~ 1 es ex e io . En e ec o, bas a conside a el e ema 1 aplicado a  ° 02  y al dominio D= X21 . 0 1 (D) = 021(D 1 )  que e i ica que  D (1 = ¢2 1 (D 1 l 2 )  es de medi da  0  en el bo de de  P  y  ~ 1 ` .o2(D l P) _~ 1 1 (D 1 1 2 )  lo es en  . De hechohemos iden i icado median e ~2 D con D 2 . Co ola io 2 : Sea = ( o )cA = lim A (D a ) . Si a es ex e io pa a un .1 Da . i  , lo es  a2  pa a cada  Da z C :D, 1. Análogo enunciado pa a los  K " . También puede pasa se de un K a un e¿ si K ~ D a y la in e sec- in e sec- ción de sus on e as es {-1} . Teo ema 2 : Sea  0 <S < o¿< 1  y conside emos una unción singula en  D a c_o -1+z espondien e ae1+z , X>,0 en D espec o a la ep esen ación con o -2+(w+1)1 /a 1/a me  w =  (z + 1) a - 1  ;  es deci  (w)  = e  (w+1)  .  En oncesla unción . ~Q es ex e io . En e ec ó, hemos de e i ica . que la unción en D -2+(z+1)S/a  2 a  (Z+1)s /a  a  - ~ (Z+1)s/a Se iene que logI g ( 0X ) I = -2a . Calculemos aho a  -í-7  Re  i  y d . (e +1) n i Re ei + 0 (0) logi (e i )Id = logl (« O))I -TT e- «0) Y = eX " e  (z+1)  ,  0 <y< 1 , es ex e io . y g(z) = ((z+1) -1) = e  = e " e  = 2 no de la pa cos y - obse emos que -2a Re  1  = -2 1- Y " a  2  que es in eg able . (e i + 1) y  cosy  2 Llamemos P E al a co ob enidosup imiendo de P el a co con enido en el disco de cen o z = -1 y adio E y po y E el a co del cí culo cen ado en -1 y adio E que es á con enido en D . Podemos calcula po esí- duos : -2X  dz = 27 i(-2a) ~FE u Y E  (z+1)Yz Po o a pa e la in eg al sob e  y E  cuando  E - 0  iende hacia ce o ya que -2a(z+1) ; 0 uni o memen e en y E . De aquí que nues a in eg al (z+1)Yz z- 1 queda í (  Re  -2 ~  d = 2U(-2a) como que íamos p oba . JT  (ei + 1) Y Teo ema 3 :  Sea  O :D - " D a c D  la ep esen acíón  w= O(z) =(z+l) a - 1  y sea (z) un p oduc o de Blaskeco espondien e a un conjun o Q1 de ce os {a n }  pe enecien es a  D . En onces  o o  da una ac o ización en  D  en un p oduc o de Blaske po una unción ex e io . an _z ~a n ~ En e ec o, sea (z) =  R CL nF- Q1  1 _C nz  an - O(z) =  R  _n  n  y sean a  pa a a ED . Llamemos el n EQ 1  1-a n o (z)  cc n  n  n  n  a Q2 =Q 1 n D a y conside emos el co espondien e p oduc ode Blaske : g(z)  =  II  On z  1O n i an EQ2 1-Snz sn Hemos de p oba que o O(z)/g(z) es ex e io . Se a a de e i ica que log~ ( (0)) I = l ~~ logl ($(e i ) ) g(0) 2~ g(e i ) Calculemos,en onces, es a úl ima ín eg al : d Obsé ese que . Aho a bien : 1 27 Se iene 10 a ñ O(e i ) <1 c .p . . así como que : 1-a 0(e i ) Es su icien e comp oba que : a ñ $(ei )  I Sn-ei _ <1 1-5 O(e i )I /11-S ei n  n B -ei n 1-S ei n l  T  I a n - O( el ) /R n- el d = lim_ 2n  log I  i  i  d = ~i  n  1-e - ¿ n 0( e  )  1- 1n e a n_ ~(0) /0 . - 0 lim log +1  I 1 an o(0)  1-I n 0~ donde es a úl ima igualdad se deduce del eo ema de la media . Pa a los sumandos en que  U n F-Q 1 -Q 2  y an d D a los a gumen os se epi en y la a n - 0(0) in eg alqueda log  - 1- an o (0) Pa a el cago en que a .  pe e-nezca á la _ on e a de 1)_ . como en 1 .og cggng n  u an e io es  2, l n  log l l - an «e l ) I d = log il - anE0) II J . log1a n -~(e i )Id = logia n -«0)I pa a 1 ~TF 2n  log I0(e i o ) - ~(ei ) I d = logla n - ~(0) I  + 0(e i )- ~(0) + 1  log I 1 27  1- ;  - ~(ei  d ) (  log ( 1 - (z+l) a -1 ) dz = 0 J e U ye  a u z Veamos que es a úl ima in eg al es nula . Sea e el a co de ex e io al disco de cen o e s o y adio e . Comple emos P e con un a co y e del cí_ culo de cen o es o y adio e y con enido en D . Po o a pa e el limi e de la in eg alsob e  y E cuando . E -->0  es ce o ya que IEe i + ei o-eí oIk logl 1 - ( ei +e s o +l) a - 1I S an ek(logl (es o + 1)a- (ei o+ 1+ Eel ),I I + I log1 a n iI E k log KE +E k lim l a ¡-o nF-0 Obsé ese que es e a gumen o puede epe i se pa a 0 cualquie a que sea p o- longable a una unción holomo a en un en o no de cada  Sn  con  0'(R n ) # 0 . El eo ema 3 puede en onces da se sus i uyendo Da po un D al que _ i (D n D) sea de medida ce o en V pa a que a n _ O(ei ) 1- - n ~ (e í ) sea .meno que 1 c.p . . y que la unción ~ se p olongue a una unción holomo a en un en o no de cada Sn como an eshemos conside ado . Teo ema 4 : Sea  = ( a )EA = lim A (Da )  . La ac o ización de cada  a es de la o map oduc o de Blaske po una unción ex e io . En e ec o sea EA y a al que a .~a enga como único posible ce o en Iz1= 1  el  z = -1 . Es conocido (lema 6 de (3)) que en la ac o ización canó pica de  a o Da la pa e singula iene una medida asociada con sopo e con 1+z enido en los ce os de  a o  es deci , es del ipo  e  l+z  A >, 0  . Apli cando aho a el co ola io 2, eo ema 2 y eo ema 3 se end á que s~ ~S pa a (~< a  iene una ac o ización canónica en que no apa ece ningún ac o singu la . Es e azonamien o puede aplica se pa a cada  S  con  0 < 0< 1 . Es amos ya en condiciones de es ablece el eo ema de es uc u a de los idea- les ce ados de A . Pa a eA deno amos Z n ( ) = {zeD U {l} : (z) . . . = n (z)  = 0}  .  Si  I  es un ideal . de  A  ,  Zn(I)= él Z n ( )  ; Z~(I) _ (1 Z n (I) . Llamemos I(Z(I)) al conjun o de los F-A ales que pa a cada  n =  ,  Zn( ) =, Z n (I)  . Teo ema 5 : Sea  I  un ideal ce ado de  A . Se e i ica  I= I(Z(I)) . En e ec o, si  I o = I(Z(I))  enemos  I e I o y llamemos  J= { cA ; I o e I} J es un ideal ce ado de A que con iene a I . Po o a pa e se cumple que Z O (J) e Z w (I) . En e ec o, si a pe enecie a a  Zn (I)  pe o no a a Z11+1(I) exis i ía a con aEZ n ( ) Z n+1 ( ) ; g(z) = (z) -+1 E A  y si (z-a) hel o y  h(z) = (z-a) n+1 H(z)  con  H(z)EA  se iene  gh = lIEI , luego  geJ y  g(a) ~ 0 . Tend emos en onces que o bien  Z o (1) _ 0  en cuyo caso  J = A y po an o  I= I o o bien  Z O (J) = Z~(I) = {-1} . Conside emos es e úl imo caso . P ecisamosaho a del siguien e lema : Lema : Exis en unciones ex e io es  F k F-A~(D)  k= 1,2, . . .  ales que Z'(F k ) =Z ' (F k ) = {-1} y al que si heA con Z w (h) = {-1} en onces {F k h} --- " h  en  A Puededa se una demos ación análoga a la del lema 4 de (4) que a su ez se deduce del eo ema 3 .3 de (5) . El eo emaqueda á p obado si demos amos que los F k pe enecen a J ; pues en es e caso si  hel o , F kh - h  y si  Fk hF-I  end emos que  hEI  y hab emos e minado . Pa a e que las F k pe enecen a J bas a e que son inciden es a las TeJ L e A' Sea  TEJ 1 e A'  supongamos sea con inua espec o a la con e gencia uni o me de las unciones y de i adas has a el o den n-simo sob e  K . Es conocido que sob e los polinomios  T(p) = 2~i I~ i T (w) p(w) dw  donde Q es una cu a con enida en ~K , di e encíabie a ozos y que odea  K . Tomando K e K e D a puede oma se como cu a .2 la  unión de un a co del bo de 1 de D a ex e io a un disco de cen o -1 y adio E jun o con un a co de la ci cun e encia cen ada en -1 y adio E ex e io a D a . Aho a bien si  eA  con  Z 00 ( )  (z) = (z+1) n+2 g(z) con  g(z)cA Po o o lado g(z) = lim p n (z) en A , p n polinomios en z y end emos Se a a en oncesde e que T(pn(z)(z+1)n+2) = 2n i ,,,  iT(w)pn(w)(w+1)n+zd, aD a De la aco ación (1) de i T (w) p n (w)(w+1) n+2 puede pasa se al lími e bajo el signo in eg al y end emos que la exp esión : T( ) = 2i  i T (w) (w)dw es álida pa a eA con Z~( ) = {-1} Ja a (  iT (w)F k (w)dw =0 a D~ Aho a bien la an e io in eg al es igual a : 1T(«ei ) )Fk(«e ))'O'(ei ) . iel d pa a  «z) = (z+1) a - 1  , luego  ¢'(z) = a(z+1)a-i  . Obsé ese que la unción  iT(« ei ))Fk ( O ( eí )) . O , (e i ) - ie i ex endida po con inuidad dando el alo  0  en  z =-1  es una unción con inua en Conside emos el subespacío de  H 2 de los elemen os del ipo  p(z) " o0 pa- a eJ , p polinomio en z . Es un subespacío in a ían e de H 2 po el p oduc o po z . Su adhe encia en H 2 es po el eo ema de Beu ling S ,H2 con S in e io . Aho a bien po se Z°(J)= {-1} y los elemen os ° o con  eJ  no ene ac o es singula es se sigue que  S = 1  y, po an o, exis en n EJ , p n (z) polinomios en z ales que : I~P n (z) ' no O(Z) - 111 2 --- ; 0 Po o a pa e, las unciones  p n o- ~ 1  son con inuas en  Da y holomo as en su in e io , luego exis e ( eo ema de Me gelyan po ejemplo) una suce- sión de polinomios q n ales que : o lo que es equi alen e De aquí que : e Sup  1 q n (w) - P n °  1 (w) 1 <  n ies a ,  11 n1l .,,Da Sup 1g no O(z) - P n (z)1 ' 1I n011 ooD-a0 ze llg n ' 0' no 0 - 1 112 < I1g n o ~' n ° 0-Pn' n ° X11 2 + IIPn' n° ~- 1 11 2 ClIg n o0' n ° 0 - P n' n o~I1 oo, 15 + 11P n - n ° ~ -1 11 2 -+0 Tend emos en onces que : iT(« ei ))Fk(O(ei ))  ~, (e i ) , i -ei d = n n - lím 1__ 1T(0(ei ))Fk(0(ei )) - 0 _  (e i ) , i , ei ' gn(~(ei )) ' n (o(e i ))d = lim  i T (z)F k (z)g n (z) n (z)dz n  ó Da pe o  qn . n . F keJ  y po an o la in eg al es  0 ce o como que íamos p oba . con  e --, n  0 y el lími e ambién se á