Pub
.
Ma
.
UAB
N°22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
VERSION
FINITAMENTE
ADITIVA
DE
ALGUNOS
RESULTADOS
CLASICOS
PARA
PROBABILIDADES
T
-ADITIVAS
MiguelMa ín
Díaz
Dp o
.
d
e
Es adís ica
Uni e sidad
de
Valladolid
Summa y
:
In hispape
some well
known
esul s
o
G-addi i e
p obabili ies
a e
showed
o
ini ely
addi i e
p obabili ies
.
An
adequa e
gene aliza ion
o
he
classical
cons u ion
p(A
x
B)=
=
p
l
(A)
.

p2
(B)

is
used
.
In oduccion
E
=
E
l
x E
2
x
. .
.x
E
i
.(
E
i
es
un
conjun o
cualquie a
)
x....
C
.n

=

(

A
/
A
=

(

B

x
E
n+1

x E
n+2

x

. . . .
;BC
E
l
x

.
...

En
.
Suponemos
de inida
en
E
la
opologia
p oduc o
de
las
opologias
disc e as
.

A
C
E
es
abie o
si
la
pe enencia
a

A

de
e implica
la
exis encia
de
n(e)
de
modo
que
cualquie
o o
elemen o
de
E
que
enga
en
común
con

e
las
n(e)
p ime as
coo denadas
ambién
pe enece
.
a
A
.
Deno a emos
po
n
la
clase
o mada
po
0 y
odos
los
subconjun os
de
E
que
son
a
la
ez
abie osy
ce ados
.
Se
demues a
(
e
.
1
pp
14
)
quelos
elemen os
de
n
son
odos
los
conjun os
que
quedan
de e minados
po
un
iempode
espe a
i-
ni o
.
Di emos
que

I
C
E
es
ca
la
pe enencia
a
I
cie
de
e
en
un
núme o
la
clase
o mada
po
0 y
odos
los
conjun os
asín 6 icos
.
T%
y
son
álgeb as
.
Denomina emos
po
C>(
el
álgeb a
engend ada
po
la
sucesión

C'
n
.
E iden emen e

o
C
77
asin 6 ico
si
la
pe enencia
a
I
de
eimpl_i
de
cualquie
elemen ode
E
que
se
di e en-
ini o
de
coo denadas
.
Deno a emos
po
Io
P oposición
1
A

e
77

I

e

A
I

=

_~

A

=

ó

I

=
En e ec o
;

si

(
ej
e
.,

. .
.
.

e
l
,

...
.

)

E A

y

(

eí
e2

.
. .

e'
.
.
.
)e
I
exis e
n
(e)
che
modo
que
(
ele
¿
...
.
en(e)en(e)+1

e
Al
.
P oposición
2
.
I
e
J

I
9¿
0

A,A'e
A

Al
C
A'
>

ACA-
.En
e ec o
;
A -
A'e
%%
.
Po
an o
(
A
-
A')
I

q
(si
A
-
A"=
En oncesA
-
A'
~ 0 =

Al

A'
con a
la
hipó esis
)
P oposición
3
.
A e
77

A
yé
0

I, I"
e

Al
C
I'
>
I
C
I'
se
demues a
como
la
p oposición
an e io
.
Teo ema
1
Sean
:
Q,[
y
p
semiálgeb a
de
subconjun os
de
un
mismo
conjun oy
a-
les
que
AB
= A'B'=>

A =
A'
B =
B'

(

A'A'
e
cl

B'B'
e/3

)
p y q p obabilidades
ini amen e
adi i assob e
al
y
(3
espec i
amen e
.
Se
e i ica
:

_
a)
la
ciase
Ó
=
(
D/D =
AB

A
eÑ
B e
(a
)
es
una
semiálgeb a
.
b)
la
aplicación
p
(D) =
p(A)
.
q
(B)
es á
biende inida
y
es
una
p obabilidad
ini amen e
adi i a
que
p olongap y q
.
Además
p
es
una
p obabilidad
(
es
deci
es
G»-adi i a
)
si
lo
son
p y q
.
Demos ación
.
a)
es
inmedia o
b)
En i udde
la
hipó esis
p
es ábien
de inida
y p olongap y q
.
Sea
:

AB
= A
1
B
1 +

....

+ AnBn
A
;A
ne
Ck

B

,

Bn e
En
el
caso
pa icula
:
B
i
son
disjun os
dos
a
dos,
enemos
ABB
i
=A
i
B
i
pa a

i
=

1

2
.
.
.
.

n

y
es

AB
=
AB,

. . . .

AB
n
.
De es a
igualdad
se
de i ainmedia amen e
la
adi i idad
ini a
.
El caso
gene al
se
educea
es e
conside ando
en
AB,
A
i
B
i
pa i-
ciones
del
ipo
an e io
ob enides
a
pa i de
in e secciones
de
dos
ó
más
conjun os
de
(
B
1 B2
...
Bn
)
.
No
de allamos
el
p ocedimien o
.
La
G'-adi i idad
de
p
cuando
lo
son
p y q
se
demues a
po
un
p ocedimien oanálogo
.
Un.caso
pa icula
de
aplicación
del
eo ema
es la
clásica
cons-
ucción
de
p obabilidades
en
E
l
x E
2
cuando
L
:
1
y
h2
so
.
indepen-
dien es
.
Co ola io
.
Si
p
es
una
p obabilidad
ini amen e
adi i a
sob e
%7y
q
una
p obabilidad
ini amen e
adi i a
sob e
ey,
la
ó mula
p (Al) =
p
(A)
.
q
(I)
de ine
una
p obabilidad
ini amen e
adi i a
sob e
el
álgeb a
Y
engend ada
po
]]
y
~
.
Es
una
consecuenciainmedia a
de
las
p oposiciones
1
y
2
del
Teo_
ema
an e io y
de
un
conocido
esul ado
que
pe mi e
p olonga
oda
p obabilidad
ini amen e
adi i a
desde
una
semiálgeb a
has-
a
el
álgeb a
engend ada
po
ella
.
Teo ema
2
.
Sean
:
p
una
p obabilidad
ini amen e
adi i a
sob e
17
y
~
C

alque
A,
B e-
'
AB
=0

=>

A
=

0

6

B =
Exis e
una
p obabilidad
ini amen e
adi i a
p
que
p olongap y
al
que
p
(I)
=
1
si
I
e3
4
Sea
U
un
ul a il o
que
p olonga
~'
.

La
aplicación
q
:
q
(II)
=
1
si
H e
U,
q(H)
=
0
si
H
e
U
es
una
p obabilidad ini amen e
adi _i
a
sob e
í9(E)
.
Aho a
la
demos ación
esul acomo
una
aplica--
ci6n
del
Teo ema
an e io
a
p y a
la
es icción
de
q a
C
C
I
De inición
1
.
Dada
una
p obabilidad ini amen e
adi i a,
p,
sob e
p

C< _
U
6ñ
9
una
sucesión
xn
de
aplicaciones
eales
en
E
es(e<
p)
egula
si
xn
es,
pa a
Vn
,
O(
-medibleY
:
1<
0

y5
7
0
>9
N/n
1
~<
ní
<<

.
. .

<n
k
~<

nk
=~

p

(U

Ix
n
-
xn
.
7=l
7
7I
De inición
2
.
Dadéunap obabilidad
ini amen e
adi i a,
p
sob e
(~P(E),
una
sucesión
x
n
de
aplicaciones
eales
en
R
es
casi
se-
gu o
p- egula
si
p [
e/x
n
(ejes
egula
Se
demues a
sin
di icul ad
que
si
p
es
una
p olongación
de p,
o-
da
sucesión
(d
p)
egula
es
casi segu o
p- egula
.
El
ecip oco
no
es
cie o
.
De inición
3
.
p
es
una
p olongación egula
de
p
si
oda
sucesión
(ck
p)
egula
de
.a
.
aco adasy adap adasa
G
»
n
es
casi
segu o
p- egula
.
Teo ema
3
.
Toda
p obabilidad
ini amen e
adi i a
de inida
sob e
77
admi e
una
p olongación
egula
.
Demos aci6n
.
Sea
p
una
p obabilidad
ini amen e
adi i a
sob e
77
Sea

la
clase
de odos
los
subconjun os
de
E
que
ienen
la
p o
piedad
de
se
el
conjun o
de
egula idad
de alguna
sucesión
p- egu-
la
de
a iables
alea o ias
simples
y
adap adas
a
C
n
.
Si
AB
son
elemen os
no
acíos
de

y
1

es

AB
~ 0
.
En e ec o,
sea
:
A=(e/x
n
(e)
es
egula )
B=(e/z
n
(e)
es
egula )
siendo
x z
sucesiones
p- egula es
adap adas,
e c
. . . .
n
n
Sea

~,

el
álgeb a
engend ada
po
(x
1
-
x
n

z1
.
.z
n
)

y pn
la
es ic
n
ci
'
6n de
p a
dicha
álgeb a
.
p

es
una
p obabilidad
y
en
i udde un
conocido
esul ado( e
.2)
n
Exis e
una
p obabilidadp
sob e
G»(

n
)
que
p olonga
p
n
.
Aho a
se
iene
p
(A)=p (B)=1
.
En onces
AB es
no
acío
y
exis e
p,
p olongación
de
p,
al
que
oda
sucesión
(ai
p)
- egula
de
a ia-
bles simples
y adap adas
es
p- egula
.
Pa a
gene aliza
al
caso
de
a iables
aco adasxn
bas a
oma
z
nsimples
ales
que
p
(

e/S
n
(e)/n
es
con e gen e
a
E(x
1
))=
1
con
S
n
lx
n

-

z
n1
<

En

lim

E
n

=

o
Co ola io
.
Si
x
es
una
sucesión
que
e i ica
las
hipó esis
dei
Teo ema
y
es
una
aplicación
con inua
de
R
en
R'
( ox
n
)
es
(O{p)-
egula
.
Bas a
u iliza
una
p olongación
egula de
p
.
Teo ema
4
.
Sea
p
una
p obabilidad
ini amen e
adi i a
sob e
T%
Eixs e
una
p olongación
ini amen e
adi i a
de p,
p,
alque
Si
xn
es
una
sucesiónde
.a
.
aco adas,
adap adas
a

G
n
,
indepen-
dien es,
e
igualmen e
dis ibuidas,
se
e i ica
x1
+
.
.
.

+x
n
.
Demos aci6n
De iniendo

~1
=
(A/
exis eXn
,
simples,
independien es
e c
.

ales
c7
que
A =
(e/lim
Sn
/n
=
E(x
1
) .
Se
demues a
po
un
p ocedimien o
aná-
logo
al
del
Teo ema
an e io
que
AB
es
no
acío
y
se
aplica
el
Teo-
ema
2
.
Po
es e
p ocedimien o
se
puede
demos a
que
exis e
una
p olonga-
ci6n
que
sa is ace,
a
la
ez,
las
condiciones
exigidas
en
los
eo-
emas
an e io es
así
comoo as
que
se
cumplen
en
esul ados
clási-
cos
pa a
p obabilidades
U
-
-adi i as
.
Desdeluego ales
p opiedades
han
de
es a
elacionadas
con
sucesos
asin ó icos
.
En
los
esul ados
demos ados
no
apa ece
la
necesidad
de
u iliza
T
,
siendo
su icien e
la
clase
«
.
El
in e ésde
p olonga
a pa i
de
77 es
la
siguien e
:
Si
p
n
es
una
es a egia
en el
sen ido
de inido
en
e
.
1
.,
exis en
ex ensiones
in e esan es
de
P
n
a
Tj
y a
clases
más
amplias( e
.1,3)
En onces
las
p opiedades
en Í
de ales
p olongaciones
son
compa i-
bles
conlas
p olongaciones
aquí
ob enidas
.
BIBLIOGRAFIA
.
1 .-
LESTERE
.DUBINS
.
LEONARD
J
.SAVAGE
.-How
o
gamble
in
you
mus
.
2 .-
J
.NEVEU
.-
Bases
ma ema ique
du
Clacul
des
P obabili es
.
3
.-
ROGER
A
.PURVES
and
IaILLIAM
D
.SUDDERTIi
.-
TecnicalRepo
N°220