Versión finitamente aditiva de algunos resultados clásicos para probabilidades σ-aditivas

Pub . Ma . UAB N°22 No . 1980 Ac es VII JMHL VERSION FINITAMENTE ADITIVA DE ALGUNOS RESULTADOS CLASICOS PARA PROBABILIDADES T -ADITIVAS MiguelMa ín Díaz Dp o . d e Es adís ica Uni e sidad de Valladolid Summa y : In hispape some well known esul s o G-addi i e p obabili ies a e showed o ini ely addi i e p obabili ies . An adequa e gene aliza ion o he classical cons u ion p(A x B)= = p l (A) .  p2 (B)  is used . In oduccion E = E l x E 2 x . . .x E i .( E i es un conjun o cualquie a ) x.... C .n  =  (  A / A =  (  B  x E n+1  x E n+2  x  . . . . ;BC E l x  . ...  En . Suponemos de inida en E la opologia p oduc o de las opologias disc e as .  A C E es abie o si la pe enencia a  A  de e implica la exis encia de n(e) de modo que cualquie o o elemen o de E que enga en común con  e las n(e) p ime as coo denadas ambién pe enece . a A . Deno a emos po n la clase o mada po 0 y odos los subconjun os de E que son a la ez abie osy ce ados . Se demues a ( e . 1 pp 14 ) quelos elemen os de n son odos los conjun os que quedan de e minados po un iempode espe a i- ni o . Di emos que  I C E es ca la pe enencia a I cie de e en un núme o la clase o mada po 0 y odos los conjun os asín 6 icos . T% y son álgeb as . Denomina emos po C>( el álgeb a engend ada po la sucesión  C' n . E iden emen e  o C 77 asin 6 ico si la pe enencia a I de eimpl_i de cualquie elemen ode E que se di e en- ini o de coo denadas . Deno a emos po Io P oposición 1 A  e 77  I  e  A I  =  _~  A  =  ó  I  = En e ec o ;  si  ( ej e .,  . . . .  e l ,  ... .  )  E A  y  (  eí e2  . . .  e' . . . )e I exis e n (e) che modo que ( ele ¿ ... . en(e)en(e)+1  e Al . P oposición 2 . I e J  I 9¿ 0  A,A'e A  Al C A' >  ACA- .En e ec o ; A - A'e %% . Po an o ( A - A') I  q (si A - A"= En oncesA - A' ~ 0 =  Al  A' con a la hipó esis ) P oposición 3 . A e 77  A yé 0  I, I" e  Al C I' > I C I' se demues a como la p oposición an e io . Teo ema 1 Sean : Q,[ y p semiálgeb a de subconjun os de un mismo conjun oy a- les que AB = A'B'=>  A = A' B = B'  (  A'A' e cl  B'B' e/3  ) p y q p obabilidades ini amen e adi i assob e al y (3 espec i amen e . Se e i ica :  _ a) la ciase Ó = ( D/D = AB  A eÑ B e (a ) es una semiálgeb a . b) la aplicación p (D) = p(A) . q (B) es á biende inida y es una p obabilidad ini amen e adi i a que p olongap y q . Además p es una p obabilidad ( es deci es G»-adi i a ) si lo son p y q . Demos ación . a) es inmedia o b) En i udde la hipó esis p es ábien de inida y p olongap y q . Sea :  AB = A 1 B 1 +  ....  + AnBn A ;A ne Ck  B  ,  Bn e En el caso pa icula : B i son disjun os dos a dos, enemos ABB i =A i B i pa a  i =  1  2 . . . .  n  y es  AB = AB,  . . . .  AB n . De es a igualdad se de i ainmedia amen e la adi i idad ini a . El caso gene al se educea es e conside ando en AB, A i B i pa i- ciones del ipo an e io ob enides a pa i de in e secciones de dos ó más conjun os de ( B 1 B2 ... Bn ) . No de allamos el p ocedimien o . La G'-adi i idad de p cuando lo son p y q se demues a po un p ocedimien oanálogo . Un.caso pa icula de aplicación del eo ema es la clásica cons- ucción de p obabilidades en E l x E 2 cuando L : 1 y h2 so . indepen- dien es . Co ola io . Si p es una p obabilidad ini amen e adi i a sob e %7y q una p obabilidad ini amen e adi i a sob e ey, la ó mula p (Al) = p (A) . q (I) de ine una p obabilidad ini amen e adi i a sob e el álgeb a Y engend ada po ]] y ~ . Es una consecuenciainmedia a de las p oposiciones 1 y 2 del Teo_ ema an e io y de un conocido esul ado que pe mi e p olonga oda p obabilidad ini amen e adi i a desde una semiálgeb a has- a el álgeb a engend ada po ella . Teo ema 2 . Sean : p una p obabilidad ini amen e adi i a sob e 17 y ~ C  alque A, B e- ' AB =0  =>  A =  0  6  B = Exis e una p obabilidad ini amen e adi i a p que p olongap y al que p (I) = 1 si I e3 4 Sea U un ul a il o que p olonga ~' .  La aplicación q : q (II) = 1 si H e U, q(H) = 0 si H e U es una p obabilidad ini amen e adi _i a sob e í9(E) . Aho a la demos ación esul acomo una aplica-- ci6n del Teo ema an e io a p y a la es icción de q a C C I De inición 1 . Dada una p obabilidad ini amen e adi i a, p, sob e p  C< _ U 6ñ 9 una sucesión xn de aplicaciones eales en E es(e< p) egula si xn es, pa a Vn , O( -medibleY : 1< 0  y5 7 0 >9 N/n 1 ~< ní <<  . . .  <n k ~<  nk =~  p  (U  Ix n - xn . 7=l 7 7I De inición 2 . Dadéunap obabilidad ini amen e adi i a, p sob e (~P(E), una sucesión x n de aplicaciones eales en R es casi se- gu o p- egula si p [ e/x n (ejes egula Se demues a sin di icul ad que si p es una p olongación de p, o- da sucesión (d p) egula es casi segu o p- egula . El ecip oco no es cie o . De inición 3 . p es una p olongación egula de p si oda sucesión (ck p) egula de .a . aco adasy adap adasa G » n es casi segu o p- egula . Teo ema 3 . Toda p obabilidad ini amen e adi i a de inida sob e 77 admi e una p olongación egula . Demos aci6n . Sea p una p obabilidad ini amen e adi i a sob e 77 Sea  la clase de odos los subconjun os de E que ienen la p o piedad de se el conjun o de egula idad de alguna sucesión p- egu- la de a iables alea o ias simples y adap adas a C n . Si AB son elemen os no acíos de  y 1  es  AB ~ 0 . En e ec o, sea : A=(e/x n (e) es egula ) B=(e/z n (e) es egula ) siendo x z sucesiones p- egula es adap adas, e c . . . . n n Sea  ~,  el álgeb a engend ada po (x 1 - x n  z1 . .z n )  y pn la es ic n ci ' 6n de p a dicha álgeb a . p  es una p obabilidad y en i udde un conocido esul ado( e .2) n Exis e una p obabilidadp sob e G»(  n ) que p olonga p n . Aho a se iene p (A)=p (B)=1 . En onces AB es no acío y exis e p, p olongación de p, al que oda sucesión (ai p) - egula de a ia- bles simples y adap adas es p- egula . Pa a gene aliza al caso de a iables aco adasxn bas a oma z nsimples ales que p (  e/S n (e)/n es con e gen e a E(x 1 ))= 1 con S n lx n  -  z n1 <  En  lim  E n  =  o Co ola io . Si x es una sucesión que e i ica las hipó esis dei Teo ema y es una aplicación con inua de R en R' ( ox n ) es (O{p)- egula . Bas a u iliza una p olongación egula de p . Teo ema 4 . Sea p una p obabilidad ini amen e adi i a sob e T% Eixs e una p olongación ini amen e adi i a de p, p, alque Si xn es una sucesiónde .a . aco adas, adap adas a  G n , indepen- dien es, e igualmen e dis ibuidas, se e i ica x1 + . . .  +x n . Demos aci6n De iniendo  ~1 = (A/ exis eXn , simples, independien es e c .  ales c7 que A = (e/lim Sn /n = E(x 1 ) . Se demues a po un p ocedimien o aná- logo al del Teo ema an e io que AB es no acío y se aplica el Teo- ema 2 . Po es e p ocedimien o se puede demos a que exis e una p olonga- ci6n que sa is ace, a la ez, las condiciones exigidas en los eo- emas an e io es así comoo as que se cumplen en esul ados clási- cos pa a p obabilidades U - -adi i as . Desdeluego ales p opiedades han de es a elacionadas con sucesos asin ó icos . En los esul ados demos ados no apa ece la necesidad de u iliza T , siendo su icien e la clase « . El in e ésde p olonga a pa i de 77 es la siguien e : Si p n es una es a egia en el sen ido de inido en e . 1 ., exis en ex ensiones in e esan es de P n a Tj y a clases más amplias( e .1,3) En onces las p opiedades en Í de ales p olongaciones son compa i- bles conlas p olongaciones aquí ob enidas . BIBLIOGRAFIA . 1 .- LESTERE .DUBINS . LEONARD J .SAVAGE .-How o gamble in you mus . 2 .- J .NEVEU .- Bases ma ema ique du Clacul des P obabili es . 3 .- ROGER A .PURVES and IaILLIAM D .SUDDERTIi .- TecnicalRepo N°220