Pub
.
Ma
.
UAB
N°
22
No
.
1980
Ac es
VII
JMHL
UNA
NOTA
SOBRE
LA
TOPOLOGIA
Y
EL
FLUJO
EN
EL
PROBLEMA
RESTRIN-
GIDO
DE
.
3
CUERPOS
An oni
Benseny
Dp
.
Equacions
Funcionals
Uni e si a
de
Ba celona
Abs ac
We
s udy
he
opology
o
he unbounded egion
o
he
in a ian mani olds
wi h
ixed
alues
o
he
Jacobi
cons an
C
o
he
wo-body
p oblem,
when
C>3
.
We
desc ibe
he
hamil onian
low on his
mani olds
.
Tao
mainconsequences
ha ebeen
gi en
:
(i)
a
cla i yina
esul
abou
he
cu es
o
ze o
eloci y
;
(ii)
using
he
ac ha
he
ci cula ,plana
and
es ic ed
h ee-body
p o-
blem
is a
li le
pe u ba ion
o
he
wo-body
p oblem,
when
m
o
C-1 is
su -
icien ly
small, we
p o e
he
s abili y
o
he
i s
kind
o
pe iodic
o bi s
.
§1
.
In oducción
.
El
espacio
de
ases
del
p oblema
es ingido
de
3
cue pos,
plano
y
ci cu-
la
en el
sis ema
de
e e encia
sinódico
es

W
=
(R
2
-
{(m,0),(m-1,0)})xR2,
con
la
es uc u a
simpléc ica
s anda d
;
su
hamil oniano,
en
coo denadas
pola es
sob e
W,
iene
la
o ma
:
H( ,e,P ,P

2
2 2
e
)

_

(P
+
P
e
/ u)/2
-
P
e
-
V( ,e),
donde
V( ,e)=(1-m)/ 1
+
m/
2
,
siendo
1=
2
-2m cose+m
2
,
2=
2
-2(1-m) cose+(1-m)
2
,
me[0,1/2)
.
(Se
han
no malizado
las
masas
de
los p ima ios
y
hecho
cambios
de
escala
en
el
iempo
y
en
el
espacio
de
o ma
que
la
suma
de
sus
masas,
así
como
su
elocidad
angula
y
dis ancia
ela i a
sean
1)
.
Haciendo
m=0, se
ob iene
el
espacio
de
ases
oniano
del
p oblema
de
2
cue pos
.
H0
( ,e,P
,P
e
)
_
(P
+
Pe/ 2)/2
_
que
es
in eg alee
:
E _ (pT +
p9/
2
)/2
-
1/
(ene gía
sidé ea)
y
K=pe
(momen oangula )
son
2
in eg ales
p ime as
en
in olución
.
Se
obse a
que
C
= 2p
e
+
2V( ,e)
-
p
-
p6/ 2
W
O
p
e
yel
hamil-
es
una
in eg al
p ime a
de
ambos
p oblemas
(de
aquí,
el
in e és
de su es udio)
.
C
ep esen a
el
doble
de
la
ene gía
sin6dicacambiada
de
signo
y
se
denomina
cons an e
de
Jacobi
.
En el
p oblema
de 2
cue pos,
C =
2(K-E)
.
Se
de inen
las
a iedades
in a ian es
del
p oblema
de
2
cue pos
po
:
I
EK
=

{( ,O .P
.PO)EW

1

(P + P2
/
2
)/2

-

1/
= E,

P
42
.
Es udio opol6gico
de
las
a iedades
in a ian
es
.
El
es udio
e e en e
a
las
a iedades
I
EK
ue
hecho
po
Smale
(1970) y
se
encuen ade allado
en
{1}
.
En
es a
sección
se
p esen a
un
es udio
opo-
lógico-analí ico
de
las
a iedades
I
C
del
p oblema
de
2
cue pos
que
con inua
siendo
álido pa a
las
pequeñas
pe u bacionesanalí icas
de
és e,ci adas
en
la
sección
5
.
De {S},
I
C
es
conexa,
cuando
C<,3
y
iene
dos
componen es
conexas
en
caso
con a io
.
En
lo
sucesi o,
a a emos
sélo
con
alo es
de
C>3
y
con
la
compo-
nen e
ex e io
de la
a iedad
I
C
que
no a emospo
ICx
=
1Cx
x S
1
.
I

es
.
simé ica
espec o
al
.
plano
P :{p
=0}
;

la
pa e supe io
a
dicho
C
plano puede
dc iniio
. . .

po
la
llnci_ñn
"
p
( ,p
0
)

_

(2p
0
-
C
+
2/

-
p6/
2
)1
/2
,
de inida
en
el
con}un o
de
pun os
( ,p
0
)
que
hacen
posi i o
el
adicando
.
2
Se
obse a
que
es a
unción
p esen a
un
máximo
sob e
la
pa ábola
=p0
ICx
es á
o mada
po
:
a)

ó bi a
ci cula
:

C
=

{( = C
=KG,
p
=0,
PO
=K
C
)}
x
S
1
=

x
5
1 ,
16
= K
IC =
{( ,0,p
,P0
)ew
I
(2p
0
- C
-
p ) 2
+ 2
-
p6
=
0}
.
Las
ecuaciones
del
lujo
son
:
}
y
= P
.
A
=
p /
2
-
1;
p
= p
0
/
3
- 1/
2
,
P
0
=
0
.
b)
ó bi as
elíp icas
:
=
{( ,P ,PO)*I(2P0-C-P ) 2+2 -p0=0,
P
o
e(K
C
,Kp)}
x
S
1
=
F
x
S
1 ,
c)
ó bi as
pa abólicas
:
P =
{( ,p ,p0)Ip2 2+2 -p6=0,
p
O
=K
P}x S
1
=
P x S
1
,
d)
ó bi as
hipe bólicas
:
H
=
{( ,P
,P
o
)I(2P
0
-
C
-
P
)
2
+2
-
p6
=0, P
0
>K
P}
x
S
1
-
H
x S
1
.
(KC es
el
ce o
mayo
de
g(p
0
)=2p
0
+
1/P
2
- C y
K
P
=
C/2
.)
co a
al
plano
P en 2
amas
:
R2
,3
=

{( ,p
0
)I =
2I3
(P0
)=(1+(1-p
2 (2P
0
-C))
1
/2)/(C-2p0)
.
P
6
(KC,KP)}
;
P
co a
en el
pun o
( =K
2
/2, p
O
=K
P
)
y
R,en
la
ama
Rz,
que
es
con inuación
de
la
R
2
,
ya
que
la
ama
R
3
ha
llegado
al
in ini o
:
Rz
=
{( ,p0)I = 2(P0)'P0>KP}
.
En
las
coo denadas
(s-
-
/p
p p
)
se
obse a
que
la
p oyección
6
6
ICx
sob e
planos
p
6
=
c e
.
es
un
homeomo ismo
con
la
imagen,
dicha
.
homeomo a
a
un
semidisco
abie o
oliado
como
indica
la
igu a,
de
o ma
que
C,
E,
P
y H
se
co esponden
con
el
pun o
cen al, la egión de
cu as
ce adas,
la
p ime a
cu a
no
ce ada
y
la
egión
es an e
de
cu as
no
ce adas,
espec i amen e
.
De
donde
:
Teo ema
1
.
ICx es
homeomo a
a
un o o sólido
abie o
po
o os
y,
después,
po cilind osque
se
co esponden
po
el
mo
con
las
egiones
E
y
PUH,
espec i amen e
.
E3
.
Cu as
de
elocidad
ce o
ex e io es
.
Las
cu as
de
elocidad
ce o,que
de e minan
las
egiones
pe mi idas
del
espacio
de
con igu ación
ijada
la
cons an e
de
Jacobi
C,
ienen
dadas
po
=0,

6=0
que
implican,
usando
las
ecuaciones
del
mo imien o,
p =0,
p
0=
2
y
2
+2/
= C
.
Las cu as
de
elocidad
ce o
ex e io es
co esponden
a
la
solu-
ción
mayo
de
dicha
ecuación
;
co esponden
ambién
con
el
pun o
de la
ama
R
2
UR2 con
mínima
.
De
donde
:
Teo ema
2
.
Las
cu as
de
elocidad
ce o
ex e io es
indican
el
alo
c i-
ico de
p
e
,
p
*
,
a
pa i
del
cual
la
p oyección
de IC
x
ñ(pé
pg},sip8>pA,
so-
b e planos
p
6
=c e
.
deja de
se inyec i a
.
Es as
cu as
pe enecen
a
E,
si
C<32
1/3
;
a
P
,
si
C=32
1/3
;
aH
,
en
caso
con a io
.
§4
.
Análisis
del
lujo
en
E
.
Siguiendo
{2},
pueden
usa se
las
a iables
de
acción-angulo
siguien es
en
E
:
¢
1
=
a c
cos
((1+2E )(1+2EK2)1/2)-(-2E)1/2(-2E 2-2 +K2)1/2

~2
=
B
:
I
1
=

(-2E)-1/2-K,

I 2
=K
;
dichas
a iables
dan
un
compo amien o
muy
simple
del
lujo
hamil oniano
:
I
1
=
0,

~
1
= w
1
(1
1
,12
)
=
-(11+I2)-3
1
2
=

0
.

~
2
= w
2
(1
11 1
2
)

=
-(11+I2)-3-1
.
de
imagen
es
oliado,
p ime o,
homeomo is-
Po an o,
usando{
2}
:
Teo ema
3
.
En
E-
el
lujo
hamil oniano
es
casi-pe iódico
de
ecuencias
(-2E)
-1/2
y

(-2E)
-1/2

1/2
-1
.
Si (-2E)

es
acional,
dicho
lujo
es
pe iódico
;
en
caso
con a io,
e gódico
.
§5
.
El
p oblema
es ingido
de
3
cue pos
plano
y
ci cula
como
pe u baci
ón
del
de
2
cue pos
.
Esc ibiendo
H = H0
+
AH,
donde
áH
=
1/
-
(1-m)/
1
-
m/
2
,
se
pueden
ene
desa ollosasin ó icos
en
po encias
de
m, C-1
y
d
(dis anciaen e
p ima ios)
cuando
m-0,
C
-1
-0
ó
d->0,
de
AH
.
El
desa ollo
en
m
es
di ec o
.
a
hace
el
desa ollo
en
po encias
de
C-1
,
debe
hace se,p ime o, espec o
ob-
los
Pa-
a
y
después,
usa aco aciones
in e io es
de
dadas
po
las
cu as
de
elocidad
ce o
ex e io es
;
con iene,en onces,
usa el
cambio
de escala
= 'C
1/2
pa a
si ua
las
cu as
de
elocidad
ce o
a
dis ancia ini adel o igen
.
El
es udio
con
d
pequeño
se
educe,
escalando
a iables,
a
P oposición
.
Podemosconside a
un
p oblema
uno con
d=1
y C
g ande
.
es ingido
de
3
cue pos,
pla
no
y
ci cula
como
una
pequeña
pe u bación
del
de
2
cue pos
cuando
m, C-1 o d
sean
su icien emen epequeños
.
§6
.
Aplicación
del
eo ema
del
wis
de
Mose
a
pequeñas
pe u baciones
del
p oblema
de
2
cue pos
.
=
2 (C-2p0)-3/2
.
C,0
0
)

--,(Peea(p
)
0
donde
a(p
0
)
Dicha
aplicación
es
un
wis
ya
que
a'(p
0
)>0
a iables
conjugadas,
conse a
medida
;
es amos,
po
an o,
en
las
condiciones
del
eo ema
del
wis
de
Mose
( éase{
4})
que nos
asegu a
la
exis encia
de
cu as
in a ian es
en
la
hipe supe icie
con
C
cons an e
pa a
alo es
de p0
p óximos
a
K
P
.
Tenemos,
po
consiguien e
:
Teo ema
4
.
En
los
p oblemas
es ingidos
de
3
cue pos
planos
y
ci cula es
con
m, C-1
o
d
su icien emen epequeños
se
asegu a
la
es abilidad
de
las
ó bi-
as
pe iódicas
de
p ime a
especie
.
en
E,
ijando
C,
puedo
sup imi
Usando
las
a iables
de
acción-ángulo
o o
g ado
de
libe ad
del
sis ema
con
el
uso
de
la
aplicación
de
Poinca é
sob e
una
sección
ans e sal
al o o
sólidoque
ep esen a
la
egión
elíp-
ica
al
que
la
imagen
de
un
pun o
de
la
sección
es el
nue o
co e
de
la
ó -
bi a-del
lujo
que
pasa
po
és e
con
la
misma
sección
.
Si
co amos
po
planos
~
1
=c e
.
ob enemosuna
aplicación
de
la
o ma
:
en
E
y
como
que
p0
y
0
son
Bibliog a ía
{1}
Ab aham,R
.,Ma sden,J
.
:Fonda ionso Mechanics,
2
a
edici6n,
Benjamin
(1978)
.
(2}
A nol'd,V
.,A ez,A
. :
E godic
p oblems
o
classical
mechanics,
Benjamin
(1968)
.
{3}
Llib e,J
.,Sim6,C
.
:
Oscilla o y
solu ions
in he
plana
es ic ed h ee-body
p oblem,
Ann
.
Ma h
.
248,
153-184
(1980)
.
{4}
Siegel,C
.L
.,Mose ,J
.K
.
:
Lec u es
on
Celes ial
Mechanics,
Sp inge
(1971)
.
{5}
Szebehely,V
. :
Theo y
o
O bi s,
Academic
P ess
(1967)
.