Una nota sobre la topología y el flujo en el problema restringido de 3 cuerpos

Pub . Ma . UAB N° 22 No . 1980 Ac es VII JMHL UNA NOTA SOBRE LA TOPOLOGIA Y EL FLUJO EN EL PROBLEMA RESTRIN- GIDO DE . 3 CUERPOS An oni Benseny Dp . Equacions Funcionals Uni e si a de Ba celona Abs ac We s udy he opology o he unbounded egion o he in a ian mani olds wi h ixed alues o he Jacobi cons an C o he wo-body p oblem, when C>3 . We desc ibe he hamil onian low on his mani olds . Tao mainconsequences ha ebeen gi en : (i) a cla i yina esul abou he cu es o ze o eloci y ; (ii) using he ac ha he ci cula ,plana and es ic ed h ee-body p o- blem is a li le pe u ba ion o he wo-body p oblem, when m o C-1 is su - icien ly small, we p o e he s abili y o he i s kind o pe iodic o bi s . §1 . In oducción . El espacio de ases del p oblema es ingido de 3 cue pos, plano y ci cu- la en el sis ema de e e encia sinódico es  W = (R 2 - {(m,0),(m-1,0)})xR2, con la es uc u a simpléc ica s anda d ; su hamil oniano, en coo denadas pola es sob e W, iene la o ma : H( ,e,P ,P  2 2 2 e )  _  (P + P e / u)/2 - P e - V( ,e), donde V( ,e)=(1-m)/ 1 + m/ 2 , siendo 1= 2 -2m cose+m 2 , 2= 2 -2(1-m) cose+(1-m) 2 , me[0,1/2) . (Se han no malizado las masas de los p ima ios y hecho cambios de escala en el iempo y en el espacio de o ma que la suma de sus masas, así como su elocidad angula y dis ancia ela i a sean 1) . Haciendo m=0, se ob iene el espacio de ases oniano del p oblema de 2 cue pos . H0 ( ,e,P ,P e ) _ (P + Pe/ 2)/2 _ que es in eg alee : E _ (pT + p9/ 2 )/2 - 1/ (ene gía sidé ea) y K=pe (momen oangula ) son 2 in eg ales p ime as en in olución . Se obse a que C = 2p e + 2V( ,e) - p - p6/ 2 W O p e yel hamil- es una in eg al p ime a de ambos p oblemas (de aquí, el in e és de su es udio) . C ep esen a el doble de la ene gía sin6dicacambiada de signo y se denomina cons an e de Jacobi . En el p oblema de 2 cue pos, C = 2(K-E) . Se de inen las a iedades in a ian es del p oblema de 2 cue pos po : I EK =  {( ,O .P .PO)EW  1  (P + P2 / 2 )/2  -  1/ = E,  P 42 . Es udio opol6gico de las a iedades in a ian es . El es udio e e en e a las a iedades I EK ue hecho po Smale (1970) y se encuen ade allado en {1} . En es a sección se p esen a un es udio opo- lógico-analí ico de las a iedades I C del p oblema de 2 cue pos que con inua siendo álido pa a las pequeñas pe u bacionesanalí icas de és e,ci adas en la sección 5 . De {S}, I C es conexa, cuando C<,3 y iene dos componen es conexas en caso con a io . En lo sucesi o, a a emos sélo con alo es de C>3 y con la compo- nen e ex e io de la a iedad I C que no a emospo ICx = 1Cx x S 1 . I  es . simé ica espec o al . plano P :{p =0} ;  la pa e supe io a dicho C plano puede dc iniio . . .  po la llnci_ñn " p ( ,p 0 )  _  (2p 0 - C + 2/  - p6/ 2 )1 /2 , de inida en el con}un o de pun os ( ,p 0 ) que hacen posi i o el adicando . 2 Se obse a que es a unción p esen a un máximo sob e la pa ábola =p0 ICx es á o mada po : a)  ó bi a ci cula :  C =  {( = C =KG, p =0, PO =K C )} x S 1 =  x 5 1 , 16 = K IC = {( ,0,p ,P0 )ew I (2p 0 - C - p ) 2 + 2 - p6 = 0} . Las ecuaciones del lujo son : } y = P . A = p / 2 - 1; p = p 0 / 3 - 1/ 2 , P 0 = 0 . b) ó bi as elíp icas : = {( ,P ,PO)*I(2P0-C-P ) 2+2 -p0=0, P o e(K C ,Kp)} x S 1 = F x S 1 , c) ó bi as pa abólicas : P = {( ,p ,p0)Ip2 2+2 -p6=0, p O =K P}x S 1 = P x S 1 , d) ó bi as hipe bólicas : H = {( ,P ,P o )I(2P 0 - C - P ) 2 +2 - p6 =0, P 0 >K P} x S 1 - H x S 1 . (KC es el ce o mayo de g(p 0 )=2p 0 + 1/P 2 - C y K P = C/2 .) co a al plano P en 2 amas : R2 ,3 =  {( ,p 0 )I = 2I3 (P0 )=(1+(1-p 2 (2P 0 -C)) 1 /2)/(C-2p0) . P 6 (KC,KP)} ; P co a en el pun o ( =K 2 /2, p O =K P ) y R,en la ama Rz, que es con inuación de la R 2 , ya que la ama R 3 ha llegado al in ini o : Rz = {( ,p0)I = 2(P0)'P0>KP} . En las coo denadas (s- - /p p p ) se obse a que la p oyección 6 6 ICx sob e planos p 6 = c e . es un homeomo ismo con la imagen, dicha . homeomo a a un semidisco abie o oliado como indica la igu a, de o ma que C, E, P y H se co esponden con el pun o cen al, la egión de cu as ce adas, la p ime a cu a no ce ada y la egión es an e de cu as no ce adas, espec i amen e . De donde : Teo ema 1 . ICx es homeomo a a un o o sólido abie o po o os y, después, po cilind osque se co esponden po el mo con las egiones E y PUH, espec i amen e . E3 . Cu as de elocidad ce o ex e io es . Las cu as de elocidad ce o,que de e minan las egiones pe mi idas del espacio de con igu ación ijada la cons an e de Jacobi C, ienen dadas po =0,  6=0 que implican, usando las ecuaciones del mo imien o, p =0, p 0= 2 y 2 +2/ = C . Las cu as de elocidad ce o ex e io es co esponden a la solu- ción mayo de dicha ecuación ; co esponden ambién con el pun o de la ama R 2 UR2 con mínima . De donde : Teo ema 2 . Las cu as de elocidad ce o ex e io es indican el alo c i- ico de p e , p * , a pa i del cual la p oyección de IC x ñ(pé pg},sip8>pA, so- b e planos p 6 =c e . deja de se inyec i a . Es as cu as pe enecen a E, si C<32 1/3 ; a P , si C=32 1/3 ; aH , en caso con a io . §4 . Análisis del lujo en E . Siguiendo {2}, pueden usa se las a iables de acción-angulo siguien es en E : ¢ 1 = a c cos ((1+2E )(1+2EK2)1/2)-(-2E)1/2(-2E 2-2 +K2)1/2  ~2 = B : I 1 =  (-2E)-1/2-K,  I 2 =K ; dichas a iables dan un compo amien o muy simple del lujo hamil oniano : I 1 = 0,  ~ 1 = w 1 (1 1 ,12 ) = -(11+I2)-3 1 2 =  0 .  ~ 2 = w 2 (1 11 1 2 )  = -(11+I2)-3-1 . de imagen es oliado, p ime o, homeomo is- Po an o, usando{ 2} : Teo ema 3 . En E- el lujo hamil oniano es casi-pe iódico de ecuencias (-2E) -1/2 y  (-2E) -1/2  1/2 -1 . Si (-2E)  es acional, dicho lujo es pe iódico ; en caso con a io, e gódico . §5 . El p oblema es ingido de 3 cue pos plano y ci cula como pe u baci ón del de 2 cue pos . Esc ibiendo H = H0 + AH, donde áH = 1/ - (1-m)/ 1 - m/ 2 , se pueden ene desa ollosasin ó icos en po encias de m, C-1 y d (dis anciaen e p ima ios) cuando m-0, C -1 -0 ó d->0, de AH . El desa ollo en m es di ec o . a hace el desa ollo en po encias de C-1 , debe hace se,p ime o, espec o ob- los Pa- a y después, usa aco aciones in e io es de dadas po las cu as de elocidad ce o ex e io es ; con iene,en onces, usa el cambio de escala = 'C 1/2 pa a si ua las cu as de elocidad ce o a dis ancia ini adel o igen . El es udio con d pequeño se educe, escalando a iables, a P oposición . Podemosconside a un p oblema uno con d=1 y C g ande . es ingido de 3 cue pos, pla no y ci cula como una pequeña pe u bación del de 2 cue pos cuando m, C-1 o d sean su icien emen epequeños . §6 . Aplicación del eo ema del wis de Mose a pequeñas pe u baciones del p oblema de 2 cue pos . = 2 (C-2p0)-3/2 . C,0 0 )  --,(Peea(p ) 0 donde a(p 0 ) Dicha aplicación es un wis ya que a'(p 0 )>0 a iables conjugadas, conse a medida ; es amos, po an o, en las condiciones del eo ema del wis de Mose ( éase{ 4}) que nos asegu a la exis encia de cu as in a ian es en la hipe supe icie con C cons an e pa a alo es de p0 p óximos a K P . Tenemos, po consiguien e : Teo ema 4 . En los p oblemas es ingidos de 3 cue pos planos y ci cula es con m, C-1 o d su icien emen epequeños se asegu a la es abilidad de las ó bi- as pe iódicas de p ime a especie . en E, ijando C, puedo sup imi Usando las a iables de acción-ángulo o o g ado de libe ad del sis ema con el uso de la aplicación de Poinca é sob e una sección ans e sal al o o sólidoque ep esen a la egión elíp- ica al que la imagen de un pun o de la sección es el nue o co e de la ó - bi a-del lujo que pasa po és e con la misma sección . Si co amos po planos ~ 1 =c e . ob enemosuna aplicación de la o ma : en E y como que p0 y 0 son Bibliog a ía {1} Ab aham,R .,Ma sden,J . :Fonda ionso Mechanics, 2 a edici6n, Benjamin (1978) . (2} A nol'd,V .,A ez,A . : E godic p oblems o classical mechanics, Benjamin (1968) . {3} Llib e,J .,Sim6,C . : Oscilla o y solu ions in he plana es ic ed h ee-body p oblem, Ann . Ma h . 248, 153-184 (1980) . {4} Siegel,C .L .,Mose ,J .K . : Lec u es on Celes ial Mechanics, Sp inge (1971) . {5} Szebehely,V . : Theo y o O bi s, Academic P ess (1967) .