Pub
.
Ma
.
UAB
N°21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
ESPACIOS
Lp
CON
NORMA MIXTA
Miguel Angel T iana San os
E
.T
.S
.
Ingenie os Indus iales
.
Za agoza
Abs ac
. :
In his pape we
s udy
he LP'
q
-5p1ces
in oduced
by
Benedek
and
Panzone
in
(1)
.
We
p o e ha
L
'
is
a
-no med,
c$TIle e
space
o
ype
,
whe e
=min(l,p,q)
.
We
in e p e
he
L
p
'
-Ipaces
like he
comple ion
o
he
enso
p oduc
space
L.®
bwi h
a
de e mina ed
me ic
and we ob ain he dual
space
o
L
'q
(01p,gk-)
.
1
.-Los
Espacios
Lpl'"
'pn
de
Benedek-Panzone
.-
Sean
(Xi'S,,/Mi
)
con
l±5isn,
n
espacios de
medida
posi i a
<Y- ini a
y
comple a
y P=(p
l
-
.,pn
)
una
n- upla,
con
l~ip
i
~o°
.
Una
unción n
:i
i
X
i

-
C
(x
l
,. .
,x
n
)--
(x
l
, . .
,x
n)

n

n
medible
en el
espacio p oduc o
(X,S,1-+)=(

Xi,i-1Si)
se
dice que
pe enece
a LP
(X)
si el
núme o
ob enido
después
de
oma sucesi-
amen e
la
no ma
p
l
en
xl
,
la
no ma
p2
en
x
2
,
.
.,
la
no ma p
n
en
xn
,

y
en
es e
o den,
es
ini o
.
A dicho
núme o
se
le
deno a
po
II li
pb
Il uP11
.
.,pn
.
Conside emos
áho a el
caso OzPL
00
(es o
es
Ozp
i
!
É
;
-~
donde
1=¿
¡1
5
!n),
y
sea
=min
.
(p
i
)
con ¿l
;
se
de ine
ÍI
-
II
P
de la
misma
o
l~i~iz
ma que
pa a
exponen es
mayo es
que
1
.
También
podemos de ini
de o ma
análoga
el
espacio
LP
con

(II
'
II
P
)
.
que en
es e
caso
se á
-no mado,
A
pa i
de
aquí nos
cen a emos
en el
es udio
del
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de
dos
exponen es
p,q,
y
supond emos
que
( :
:,A,%`)
,

(Y,0
,0)
son
dos
espacios
de
medida
posi i a
0- ini a
y
comple a,
y conside a e-
mos
L
p,q
(Xxy)
.
Pa a
el
siguien e
Teo ema
supond emos
quelos
espacios
(X,-4,ja),
(Y,Q,O)
son
no
i iales,
es o
es,
que
exis en
suce-
siones
(An
)
neÑ

y
(B
n
)
néÑ
G

de
conjun osmedibles
disjun os
ales
que
M(A
j
)qÉ0
y
0(B
j
)y£0
pa a odo
jéN
.
Teo ema
1.-
L
p,
q
con
O
¿
p,q
!!°°
y
=min(p,q)¿
l,
es un
espacio
-no mado,comple o
de
ipo
.
2 .-
L
p
'
q
como
P oduc o
Tenso ial
.-
Conside emos
el
espacioLP
(X)wLq(Y)
(Oe-p,q!~=°c)
p oduc o
enso ial
de
los
espaciosLp
(X)
y
L
q
'(Y)
.
Que emos
hace
una
iden i icación
en e
L
p
(X)®L
q
(Y)
y
un subespacio
de
L
p,q
(Xxy)
;
pa aello
de inimos
la
aplicación

Lp
(X)®L
q
(Y)
--L
p,q
(XxY)
n

n
de
la
siguien e
o ma

(

iogi)
Z1
i'gi
donde
i
"
g
i
(x
.Y) = i
(x)g
i
(Y)
.
Se
puedecomp oba
que
~
es
una
aplicación
lineal
.
Pa a
demos a
que
es
inyec i anecesi a emosalgunos
esul ados
;
Si
WEL
P
(X)OL
q
(Y)
se
cumple
que
:
a)

íÍ
(W)
=
11~(,,%)1)p,q

(1`
-
p,g
L
oo
)

donde

íÍ

es
la
no ma enso-
ial
((3),
p
.221)
:

(W)=sup
{~(u® )
(w)¡
;
ue(L
p
)
~,
,(Lq)
~,11uU,
l l)
:5l}
b)

Iip,q~ a
(w)

(0
¿p,
q
`-
a°,

=min
(1,
p,
q))
.

donde
«
es
la
-no ma
en
Lp
®L
q
((4),
p
.199)
:
n

n
o (W)=in
{
~
li i
.
gi0
pq
;
W

Z1
i®giJ
c)
o(q(W)_~1
P~q
(Ozq!l,gLpz00)
.
Teo ema
2
.-
El
espacio
Lp
(X)®L
q
(Y)
con
O«zp,g4w
,
es
denso
en
L
p,q
(XxY)
median e
la
iden i icación

.
De inimosLp
(X)®
Lq
(Y)
como
la
compleccibn
del
espacio
Lp
(X)0L
q
(Y)
con
la
-no ma

O(
.
una
gene alización
de
la
desigualdad
de
Minkowski
:
258
Co ola io
.1
.-
Si
Ozq
:!!l
yqc
p
,,
w<>O,
en oncesLp
(
X)®
gLq(Y)=
Lp
,
q(Xxy),
omando
la
q-no ma enso ial

d
q
.
Como
aplicación
de
las
p opiedades
an e io es
se
ob iene
Teo ema
3.-
Sean
q`
-P
-¿OO,

O
. ,
~q!!Él,
una
unción
medible
en
(XxY,
A®V3
,?g0
)
en onces
:
(

(
J
.
I
1`p
dJ

)
p/q

d/,,,
)
q/p_,
(
i )
P
d ,
)
q/p
dy
3
.-
D ualidad
en e
EspaciosLp
'
q -
El
dual
de
Lp
'
q
cuando
los
dos
exponen es
p,q
son
mayo es
o
iguales
que
1
es
conocido
«1)-p
.304)
.
Po
lo
an o
es udia e-
mos
el
casoen
que uno
o
losdos
exponen es
sea
meno
que
1
.
Pa aello
eco da emos
que
:
"Si
es
una
unción
medible
y A
un
á omo
en onces
es
cons an ea
.e
.
en
A"
((2)
p
.819)
.
Po
.
no ación
llama emos
(A)
al
alo
de
dicha
cons an e
.
Supongamos
que

(X,A,~x),

(Y,
a
,
d
)

son
dos
espacios
de
me
dida,

(Ai
)
iEI
,

(Bj)jéiS-(B
colecciones
de
ep esen an es
de
las
clases
de
á omos
de
"
y
l)
espec i amen e,con
~(A
i
)=1,
P
(B
.
)
=1,

A=_
U
A
i
y
B=
U
B
.
,

en onces
:
ieI jCJ
Teo ema
4 .-
Si
O£p,q'1,
el dual
opolbgico
de
L
p
'
q
(XxY)
es
isomé icamen e
isomo o
a
1°
'(IxJ)
median e
la
iden i ica-
ción dada
po
U
:
1
<,O
(Ixj)

(Lp'q(XxY))~
el=(
ol
ij
)
~
Ud
(i,j)EIxJ
donde
U
a
( )=
7-
-

(A
i
xB
j
)
(i,j)EIxJ
En
pa icula ,
si
~
b 0
son
no a ómicas
Teo ema5
.-
Si
Ozq
,l11pZ oo

y
p'=p/(p-1),el dual
opológi-
co de
Lp
'
q
(XxY)
es
isomé icamen e
isomo o
a
L
P,
'
00
(Xxi)
me-
dian e
la
iden i icación
dada
po
U
:
L
pl
'
00
(Xxi)

-
~
(Lp'q(XxY))!
iii
donde
U9
( )=
7

j
g
j
d -

pa a
cada
éL
p
'
q
(XxY),
siendo
j
jEJ
la
unción
de
Lp
(X)
inducida
po
la es icción
de
a
XxB
j
.
En
pa icula
si
l)
no
a ómica
(L
p
'q)
I
=0
.
pa a cada
éL
p
'
q
(XxY)
.
(Lp'q(Xxy))'=O
.
Se
ob iene
un
esul adoanálogo
pa a
el
caso
O2'pz-l
:
.,
Iq<
oo
.
NOTA
:
Es os esul ados
son
un
esumen
de
mi Tesina
de
Licencia-
u a
(5)
di igida
po
el P o eso
J
.L
.
Rubio
de
F ancia
al
cual
quie oexp esa
mi
ag adecimien o
po
su
aliosa
ayuda
.
REFERENCIAS
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A
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spaces
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no mamix a"
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Memo ia
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Licencia u a
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Dp o
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Teo ía
de
Funciones
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Uni e sidad
de
Za agoza
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