Espacios Lp con norma mixta

Pub . Ma . UAB N°21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL ESPACIOS Lp CON NORMA MIXTA Miguel Angel T iana San os E .T .S . Ingenie os Indus iales . Za agoza Abs ac . : In his pape we s udy he LP' q -5p1ces in oduced by Benedek and Panzone in (1) . We p o e ha L ' is a -no med, c$TIle e space o ype , whe e =min(l,p,q) . We in e p e he L p ' -Ipaces like he comple ion o he enso p oduc space L.® bwi h a de e mina ed me ic and we ob ain he dual space o L 'q (01p,gk-) . 1 .-Los Espacios Lpl'" 'pn de Benedek-Panzone .- Sean (Xi'S,,/Mi ) con l±5isn, n espacios de medida posi i a <Y- ini a y comple a y P=(p l - .,pn ) una n- upla, con l~ip i ~o° . Una unción n :i i X i  - C (x l ,. . ,x n )-- (x l , . . ,x n)  n  n medible en el espacio p oduc o (X,S,1-+)=(  Xi,i-1Si) se dice que pe enece a LP (X) si el núme o ob enido después de oma sucesi- amen e la no ma p l en xl , la no ma p2 en x 2 , . ., la no ma p n en xn ,  y en es e o den, es ini o . A dicho núme o se le deno a po II li pb Il uP11 . .,pn . Conside emos áho a el caso OzPL 00 (es o es Ozp i ! É ; -~ donde 1=¿ ¡1 5 !n), y sea =min . (p i ) con ¿l ; se de ine ÍI - II P de la misma o l~i~iz ma que pa a exponen es mayo es que 1 . También podemos de ini de o ma análoga el espacio LP con  (II ' II P ) . que en es e caso se á -no mado, A pa i de aquí nos cen a emos en el es udio del caso de dos exponen es p,q, y supond emos que ( : :,A,%`) ,  (Y,0 ,0) son dos espacios de medida posi i a 0- ini a y comple a, y conside a e- mos L p,q (Xxy) . Pa a el siguien e Teo ema supond emos quelos espacios (X,-4,ja), (Y,Q,O) son no i iales, es o es, que exis en suce- siones (An ) neÑ  y (B n ) néÑ G  de conjun osmedibles disjun os ales que M(A j )qÉ0 y 0(B j )y£0 pa a odo jéN . Teo ema 1.- L p, q con O ¿ p,q !!°° y =min(p,q)¿ l, es un espacio -no mado,comple o de ipo . 2 .- L p ' q como P oduc o Tenso ial .- Conside emos el espacioLP (X)wLq(Y) (Oe-p,q!~=°c) p oduc o enso ial de los espaciosLp (X) y L q '(Y) . Que emos hace una iden i icación en e L p (X)®L q (Y) y un subespacio de L p,q (Xxy) ; pa aello de inimos la aplicación  Lp (X)®L q (Y) --L p,q (XxY) n  n de la siguien e o ma  (  iogi) Z1 i'gi donde i " g i (x .Y) = i (x)g i (Y) . Se puedecomp oba que ~ es una aplicación lineal . Pa a demos a que es inyec i anecesi a emosalgunos esul ados ; Si WEL P (X)OL q (Y) se cumple que : a)  íÍ (W) = 11~(,,%)1)p,q  (1` - p,g L oo )  donde  íÍ  es la no ma enso- ial ((3), p .221) :  (W)=sup {~(u® ) (w)¡ ; ue(L p ) ~, ,(Lq) ~,11uU, l l) :5l} b)  Iip,q~ a (w)  (0 ¿p, q `- a°,  =min (1, p, q)) .  donde « es la -no ma en Lp ®L q ((4), p .199) : n  n o (W)=in { ~ li i . gi0 pq ; W  Z1 i®giJ c) o(q(W)_~1 P~q (Ozq!l,gLpz00) . Teo ema 2 .- El espacio Lp (X)®L q (Y) con O«zp,g4w , es denso en L p,q (XxY) median e la iden i icación  . De inimosLp (X)® Lq (Y) como la compleccibn del espacio Lp (X)0L q (Y) con la -no ma  O( . una gene alización de la desigualdad de Minkowski : 258 Co ola io .1 .- Si Ozq :!!l yqc p ,, w<>O, en oncesLp ( X)® gLq(Y)= Lp , q(Xxy), omando la q-no ma enso ial  d q . Como aplicación de las p opiedades an e io es se ob iene Teo ema 3.- Sean q` -P -¿OO,  O . , ~q!!Él, una unción medible en (XxY, A®V3 ,?g0 ) en onces : (  ( J . I 1`p dJ  ) p/q  d/,,, ) q/p_, ( i ) P d , ) q/p dy 3 .- D ualidad en e EspaciosLp ' q - El dual de Lp ' q cuando los dos exponen es p,q son mayo es o iguales que 1 es conocido «1)-p .304) . Po lo an o es udia e- mos el casoen que uno o losdos exponen es sea meno que 1 . Pa aello eco da emos que : "Si es una unción medible y A un á omo en onces es cons an ea .e . en A" ((2) p .819) . Po . no ación llama emos (A) al alo de dicha cons an e . Supongamos que  (X,A,~x),  (Y, a , d )  son dos espacios de me dida,  (Ai ) iEI ,  (Bj)jéiS-(B colecciones de ep esen an es de las clases de á omos de " y l) espec i amen e,con ~(A i )=1, P (B . ) =1,  A=_ U A i y B= U B . ,  en onces : ieI jCJ Teo ema 4 .- Si O£p,q'1, el dual opolbgico de L p ' q (XxY) es isomé icamen e isomo o a 1° '(IxJ) median e la iden i ica- ción dada po U : 1 <,O (Ixj)  (Lp'q(XxY))~ el=( ol ij ) ~ Ud (i,j)EIxJ donde U a ( )= 7- -  (A i xB j ) (i,j)EIxJ En pa icula , si ~ b 0 son no a ómicas Teo ema5 .- Si Ozq ,l11pZ oo  y p'=p/(p-1),el dual opológi- co de Lp ' q (XxY) es isomé icamen e isomo o a L P, ' 00 (Xxi) me- dian e la iden i icación dada po U : L pl ' 00 (Xxi)  - ~ (Lp'q(XxY))! iii donde U9 ( )= 7  j g j d -  pa a cada éL p ' q (XxY), siendo j jEJ la unción de Lp (X) inducida po la es icción de a XxB j . En pa icula si l) no a ómica (L p 'q) I =0 . pa a cada éL p ' q (XxY) . (Lp'q(Xxy))'=O . Se ob iene un esul adoanálogo pa a el caso O2'pz-l : ., Iq< oo . NOTA : Es os esul ados son un esumen de mi Tesina de Licencia- u a (5) di igida po el P o eso J .L . Rubio de F ancia al cual quie oexp esa mi ag adecimien o po su aliosa ayuda . REFERENCIAS Benedek, A . ; .Panzone, R . : "The spaces LP wi h mixed no m" . Duke . Ma h . J . 28 (1961), 301-324 . (2) Day, M .M . : "The spaces Lp wi h O/-p¿l" . Bull . A .M .S . 46 (1940), 816-823 . (3) Dies el, J . ; Uhl, J .R . : "Vec o measu es" . A .M .S . P o i- dence . (4) G amsch, B . : "In eg a ion und Holomo phe Funk ionen in lokalbesch ank en Raume" . Ma h . Annalen ., 162 (1965), 190-210 . (5) T iana, M .A . : "Espacios L P con no mamix a" . Memo ia de Licencia u a . Dp o . Teo ía de Funciones . Uni e sidad de Za agoza .