Pub
.
Ma
.
UAB
N°
21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
EXTENSION
DE
OPERADORES
DE
Lp EN Lq AL CASO
VECTORIAL
F
.J
.
Ruiz
Blasco,
J
.L
.
To ea
He nández
Dp o
.
d
e
Teo ia
de
Funciones
Uni e sidad
de Za agoza
Abs ac
:
In
hispape we s udy
he
p oblem
o
ex ending
an
ope a o
T
:
Lp
Lq
o
he
ec o ial
case
.
We
conside
he
Vp
clas1ses
in oduced
by
R
.
S
.
Phi
l
-
lips
[21
gi ing
a
c
B
ce ain
answe
o
he
p oblem
.
We
apply hese
esul s
o
some
ope a o s
o
Fou ie
Analysis
.
0
.
Dados
dos
espacios
de
medida
(X,u)
,
(Y, )
y
un
ope ado
T
:
Lp
(X,p)
-->
Lq
(Y, )
lineal
y con inuo
(1
!!~
p,q
~
-)
no
siemp e
es
posible
ex ende lo
a
un
ope ado
lineal
y con inuo
T
:
LB(X,VI)
LB(Y, )
,
donde
B
es
de
Banach,
de
o ma
que
T(2
:
bi~ei)
=lb
i
T(`Pi
)
,
2
:
b
i
l
ie B
o Lp
(X,u)
.
Ejemplosde es o
son
:
i)
La
ans o mada
de Fou ie
D~
:
L
2
(T)
1
que
no
es á
aco ada
si
y£
2
[3]
.
ii)
La
unciónconjugada
T
:
Lp1
(T)
>
Lp
1(T)
,
[1]
En
es e
abajo
damos
una
espues a
a i ma i a
a
dicho
p oblema
manejando
los
espacios
VB(X,u)
in oducidos
po
Phillips
[21
L
2
(Z)
1
1
.
El
p incipal esul ado
de
es e
apa ado
es
el
siguien e
:
1.1
.
Teo ema
.-
Dadoun
ope ado
lineal
y
con inuo
T
:
LP
(X)
~>
L
q
(Y)
(1
4
p,q
< ~)
se ex iende
con
la
misma
no ma
a
un
ope ado
T
:VB(X)
-~
VB(Y)
al
que
T(7_b
i
`
P
i
)
_
biT(Ti)
biIoi
e B
o
Lp(X)
24
3
Demos ación
.-
Dado
F
e
VB(X)
,
bas a
de ini
TF
=
Fo T
*
.
Pa a
q
9¿
1
,
el
eo ema
se
sigue
de
Teo ema
4 .1
.
en
[21
.
Pa a
q =
1
,
se
demues a
p e iamen e
que
TF
(que
en
p incipio
s61o
sabemos
que
es un
ope ado
de
Lm
-p
B)
es
e ec i a
men e
un
elemen o
de
V
1
(Y)
yse
p ocede
comoen
q
7É
1
.
Obse aciones
.-
Hemos
demos ado
en
[41
que
(LB(X
),II
.IIW)
=
V~
B
(X)
donde
V~
B
(X)
es
el
subespaciode
VB(X)
(1
'
-
p
<
~)
cuyoope ado
asociado
po
(1
.3)
es
com-
pac o
.
El
eo ema
1 .1
es
álido
cambiando
los
espacios
Vp
po
los
espacios
VC,B
.
Además,
en
es ecaso,
la
ex ensión
es
úni-
ca
.
Po
azonamien os
habi uales
de
densidad
se
llega
ambién
al
esul ado
2.1
pa a Vp,B
,
pe o
sin
ob ene
de
exp esión
ex-
plíci a
del
ope ado
.
( e
[41)
.
2
.
Aplicaciones
2.1
.
T ans o mada
de
Fou ie
.
La
ex ensión
median e
1.1
-
del
/N
A
,
. . .
ope ado
ans o mada
de
Fou ié
T
:
L'
ku)
L`,(1)
1
'
11
p
d5
2
donde
G
es
g upo
localmen e
compac o
abelianoy
P
su
dual
.
Nos
da
una
ex ensión
a
N
Vp
,B
(G)
-~
Vp
:
B
(P)
que
e i ica
la
desigualdad
de
Hausdo -Youngy
el
eo ema
de
Plancha el
.
El
casono
compac-
o es de
especial
impo ancia
pues
pe mi e
de ini
la
ans
o mada
dé
Fou ie
pa a
unciones
de
LB
con
p
>1
.
2
.2
.
Mul iplicado es
.
Si
T
es
un
mul iplicado
T
:
J(G)
->
L
P (G)
al
que
(T )~
=
m
m
e
L~(P)
pa a
e
Lp
¡1L
2
n
en onces
T
:
Vp
,B
2G)
---->
VP~B(G)
ñ
se
e i ica
(T~
=mF
,
F e
VP,
B
(G)n
V
c,B
(G)
,
donde
m
F
es
el
ele-
men o
de Vc,B cuyo
ope ado U asociado
po
Teo ema
4 .1
en
[2]
iene
la
o ma
U
pe)
=
J
T
md
F
24
4
Comocasos
pa icula es
enemos
:
i)
La unción
conjugada
ex endida
es
aco ada
de
Vp~
B
(T)
en
Vp
,B
(T)
con
1 <
p
<
,
ii)
Los
ope ado es
'Sn
ex endidos
po
1 .1
de
las
sumas
pa ciales
S
n
de
la
se ie
de
Fou ie
es á
uni o memen e
aco-
ados
de
VP
,B
(T)
en
VP
'B
(T)
(1
<
p
<
~)
Es
ácil
comp oba
que
S
n
F
e
LB(T)
,
F
e
VP
~
B
(T)
y
que
donde
Bibl
iog a í
a
_
n
SnF(x)
_
~
F(K)e1KX
x
e
T
,
-n
F
(K)
=
)
e-1K(
.)dF
(Nó ese
que
VB
'
(Z)
es
un
espacio
de sucesiones
( e
[2]
)
y
quepo
ello
iene
sen ido
habla
de
F(K)
,
K e
Z)
.
Como
consecuencia
de
(ii)
se
iene
que
:
1ISn - 11W1P
0
,
e
LB(T)
(1 <
p
<
Es
deci ,
hay
con e gencia
débilde
las
sumas
pa ciales
de
se iede
Fou ie
de
una
unción
de
LB(T)
a
la
unción
si
1 <
p
<
-
[lI
S
.
BOCHNER
and
A
.E
.
TAYLOR
:
Linea
unc ionels
on
ce ain
spaces
o
abs ac ly- alued
unc ions
.
Annals
o
Ma h
.
(2)
39 (1938)
,
913-944
.
12]
R
.S
.
PHILLIPS
:
On linea
ans o ma ions
.
T ans
.
Ame
.
Ma h
.
Soc
.
48
(1940),
516-541
.
[3]
J
.L
.
RUBIO
DE
FRANCIA
:
Análisis
de
Fou ie de
unciones
ec o iales
.
Sem
.
An
.
de
Fou ie
y E
.D
.P
.,
Sego ia
(1978)
[4]
F
.J
.
RUIZ-J
.L
.
TORREA
:
T ans o mada
de
Fou ie
de
un-
ciones
ec o iales
.
Re is a
de la
Academia
de
Ciencias
.
Mad id
.
(po
apa ece )
.
la
