Extensión de operadores de Lp en Lq al caso vectorial

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL EXTENSION DE OPERADORES DE Lp EN Lq AL CASO VECTORIAL F .J . Ruiz Blasco, J .L . To ea He nández Dp o . d e Teo ia de Funciones Uni e sidad de Za agoza Abs ac : In hispape we s udy he p oblem o ex ending an ope a o T : Lp  Lq o he ec o ial case . We conside he  Vp  clas1ses in oduced by R . S . Phi l - lips [21 gi ing a  c B ce ain answe o he p oblem . We apply hese esul s o some ope a o s o Fou ie Analysis . 0 . Dados dos espacios de medida (X,u) , (Y, ) y un ope ado T : Lp (X,p) --> Lq (Y, ) lineal y con inuo (1 !!~ p,q ~ -) no siemp e es posible ex ende lo a un ope ado lineal y con inuo T : LB(X,VI)  LB(Y, ) , donde B es de Banach, de o ma que T(2 : bi~ei)  =lb i T(`Pi )  ,  2 : b i l ie B  o Lp (X,u)  . Ejemplosde es o son : i) La ans o mada de Fou ie D~ : L 2 (T) 1 que no es á aco ada si y£ 2  [3] . ii) La unciónconjugada T : Lp1 (T) > Lp 1(T) , [1] En es e abajo damos una espues a a i ma i a a dicho p oblema manejando los espacios VB(X,u) in oducidos po Phillips [21 L 2 (Z) 1 1 . El p incipal esul ado de es e apa ado es el siguien e : 1.1 . Teo ema .- Dadoun ope ado lineal y con inuo T : LP (X) ~> L q (Y)  (1 4 p,q < ~) se ex iende con la misma no ma a un ope ado T :VB(X) -~ VB(Y) al que T(7_b i ` P i ) _ biT(Ti)  biIoi e B o Lp(X) 24 3 Demos ación .-  Dado  F e VB(X)  , bas a de ini  TF = Fo T * . Pa a q 9¿ 1 , el eo ema se sigue de Teo ema 4 .1 . en [21 . Pa a q = 1 , se demues a p e iamen e que TF (que en p incipio s61o sabemos que es un ope ado de Lm -p B) es e ec i a men e un elemen o de  V 1 (Y)  yse p ocede comoen  q 7É 1 . Obse aciones .- Hemos demos ado en [41 que (LB(X ),II .IIW) = V~ B (X) donde V~ B (X) es el subespaciode VB(X)  (1 ' - p < ~) cuyoope ado asociado po  (1 .3)  es com- pac o . El eo ema 1 .1 es álido cambiando los espacios Vp po los espacios VC,B . Además, en es ecaso, la ex ensión es úni- ca . Po azonamien os habi uales de densidad se llega ambién al esul ado 2.1 pa a Vp,B , pe o sin ob ene de exp esión ex- plíci a del ope ado . ( e [41) . 2 . Aplicaciones 2.1 . T ans o mada de Fou ie . La ex ensión median e 1.1 - del /N  A , . . . ope ado ans o mada de Fou ié T : L' ku)  L`,(1) 1 ' 11 p d5 2 donde G es g upo localmen e compac o abelianoy P su dual . Nos da una ex ensión a N Vp ,B (G)  -~ Vp : B (P)  que e i ica la desigualdad de Hausdo -Youngy el eo ema de Plancha el . El casono compac- o es de especial impo ancia pues pe mi e de ini la ans o mada dé Fou ie pa a unciones de LB con p >1 . 2 .2 . Mul iplicado es . Si T es un mul iplicado T : J(G) -> L P (G) al que (T )~ = m  m e L~(P) pa a e Lp ¡1L 2 n en onces T : Vp ,B 2G)  ----> VP~B(G)  ñ se e i ica (T~  =mF ,  F e VP, B (G)n V c,B (G) , donde  m  F  es el ele- men o de Vc,B cuyo ope ado U asociado po Teo ema 4 .1 en [2]  iene la o ma  U pe)  =  J T md F 24 4 Comocasos pa icula es enemos : i) La unción conjugada ex endida es aco ada de Vp~ B (T) en Vp ,B (T) con 1 < p <  , ii) Los ope ado es 'Sn ex endidos po 1 .1 de las sumas pa ciales S n de la se ie de Fou ie es á uni o memen e aco- ados de VP ,B (T) en VP 'B (T) (1 < p < ~) Es ácil comp oba que S n F e LB(T) , F e VP ~ B (T) y que donde Bibl iog a í a _  n SnF(x) _ ~ F(K)e1KX  x e T , -n F (K)  =  ) e-1K( .)dF (Nó ese que VB ' (Z) es un espacio de sucesiones ( e [2] ) y quepo ello iene sen ido habla de F(K) , K e Z) . Como consecuencia de  (ii) se iene que : 1ISn - 11W1P  0 , e LB(T)  (1 < p < Es deci , hay con e gencia débilde las sumas pa ciales de se iede Fou ie de una unción de LB(T) a la unción si 1 < p <  - [lI S . BOCHNER and A .E . TAYLOR : Linea unc ionels on ce ain spaces o abs ac ly- alued unc ions . Annals o Ma h . (2) 39 (1938) , 913-944 . 12] R .S . PHILLIPS : On linea ans o ma ions . T ans . Ame . Ma h . Soc . 48 (1940), 516-541 . [3] J .L . RUBIO DE FRANCIA : Análisis de Fou ie de unciones ec o iales . Sem . An . de Fou ie y E .D .P ., Sego ia (1978) [4] F .J . RUIZ-J .L . TORREA : T ans o mada de Fou ie de un- ciones ec o iales . Re is a de la Academia de Ciencias . Mad id . (po apa ece ) . la