Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
CONVERGENCIA
DE
SERIESDE
FOURIER
DE
INFINITAS
VARIABLES
José
L
.
Rubio
de F ancia
Facul ad
de
Ciencias
Uni e sidad
de Za agoza
Abs ac
:
Gi en
a
unc ion
in
he
in ini e-dimensional
o us
(de io ed
T
-
), ec angula
sums
o
i s
Fou ie
se ies
S
R
a e
p ope ly
de ined,and
we
s udy
he
Eoin wise
and
no m
con e gence
as
R
inc eases
o
Z~=(T
)^
In
he
mixedno m
spaces
LP(TW)
,P=(pk)1
,con e gence
i9
no m
holds
i Elp
-21<-

Poin w¡se
con e gence
in
L

ails
in
gene al,bul
he e
a e
posi i e
esul s
unde
some
es ic ions
on
he
Fou ie
coe icien s
.
N
°
Clasi icaci6n
A
.M
.S
.
42
1
.-
In oducción
Sea
T
el
o o
unidimensional
iden i icado
de
modo
na u al
con
el
in e alo
[0,1)
.
Designamos
po
Tw
el
g upo
compac o
p oduc o
de
una
in inidadnume able
de
copias
de
T
.
El
g upo
dual
Z
m
es á
o mado
po
sucesiones
ini amen e
no nulas
de
núme oses e os
.
Cada
ñ
=

(n
l
,n
2
,"
"
n
k'
.
.
.)

e
Z'

ac úacomo
ca á e
en

T"'

de
o ma
ob ia
nulos
de

(nk
) .
<x,ñ)
=
exp(2, i
ñ-x)
=
exp(2Tíi

n
kxk
)

(x
e
T
w
)
(
.[8])
.
Deno amos
IñI=
supln
k
¡
,
#(n)
=
n° de
elemen os
no
Fijada
una
sucesión
(e
n
)
de núme os
posi i os
con
e
n
-->0
de inimos
en
Z-
los
" ec ángulos"
R

=

{n

:

ink
l<

e
k
}
6

R

=

{ñ

:

Ink
1<
6

ek
}


0

<

6

<

-
Es
ob io
os
cuya
que
{¿R}
es
una
amilia
c ecien e
de
subconjun os
in¡
unión
es
odo
Z
-
.
Se a ade
es udia
de
la
unción
e L
1(T
w
)
El
Análisis
de
Fou ie
en
e éspuedejus i ica se
de un
16gica
del
Análisis
de
Fou ie
aciones
que
no dependan
de
la
(exp(2nix
k
) :
k=1,2,
. .
.}
es un
independien es
uni o memen edis ibuidas
en
la
ci cun e encia
2
.-Con e gencia
en
No ma
238
n
(n)

exp(2 i
ñ
.x)
unidadcompleja
(i .e
.
una
e sión
complexi icada
de
las
uncio-
nes
de
Rademache ),cuya
comple aci6n
na u alen
L
2
es el
sis-
ema
igonomé ico
sob e
T
w
po
lo
que
esul an
se
las se-
ies
de
Fou ie
de
in ini as a ables
el
análogocomplejo
de
las
se ies
de
Walsh
.
Las
se ies
de
Fou ie
en Tm
ienen
ambién
conexión
con
las
se ies
de
Di icle
(
.[2])
y
con
la
Teo íade
la
P edicción
(
.[6])
.
Los
esul ados
p esen ados
aquí
son
con-
secuenciabas an e
sencilla
de
écnicas
usadas
en
dimensión
i-
ni a,y
solo
p e enden
se i
de
mo i ación
pa a
un
es udio
más
p o undo
.
El
análogo
del
eo ema
de
M
.Riesz
:
es
álido
pa a
p=2
según
L
2
es
i ial,en
búsqueda
de
esul ados
de inimos
los
espacios
con e gen
en
algúnsen ido
a
(&--->-)
.
T
w
ha
sido
poco a ado
.
Su
in-
lado
po
cons i ui
una
ex ensión
n-dimensional,pe o
ob eniendo
aco-
dimensi6n
n
.
Po
o o
lado
,
sis ema
de
a iables
alea o ias
11S
¿R
ll
p

~=

Cp

111p
solo
es
ácilp oba
.
Como
el
eo ema
en
posi i os
menos
ob ios
Lp(Tw)
=
Lpl,p2'
.
.
.,pk,
. .
.(Tx
Tx
. .
.xTx
.
.
.)
(con
p =
(Pl'P2,
. .
.,pk"
")
,
ll='pkl~°°)
de
mane aanáloga
espacios
de
no mamix a
de
Benedek-Panzone
al limi e
.
TEOREMA
l
:a)
Los
ope ado es

(S
éÍR
)
en
LI(T
w
)(
equi alen emen e
lim
da
e Lp
)
si
y
solo
si E
Ip
k
-21<-
b) Si 7
(2-pk)
=
-exis e
pk
< 2
al
que
cuando

6
-->
-

(S
¿R )
son
uni o memen e
11
S

¿R

-

il
P

=

0
a
los
(
.[l])con
un
paso
una
unción
e
Lp
en
medida
.
es
di e
gen
e
si
las
sumas
aco ados
pa a
ca
La
aco ación
uni o me
de

(S
~)

equi ale
a
la
exis encia
de
un
ope ado
aco ado
S
asociado
al
mul iplicado
X
,con
=
=
{ñ
e Z
°°
:
n
k
>O}
.
La
p ime a
pa e
se
ob iene
exp esando
la
no ma
de
S

comop oduc ode
las
no mas
de
las
ans o madas
p
de
Hilbe
en
Lk
(T)
(
.[7])
.
La
segunda
pa e
se
deduce
del
mismo
a gumen o
jun o
conuna
e siónadecuada
del
eo ema
de
S ein
(
.[9])
3
.-Con e gencia
Pun ual
Po
Teo
.l(b)
io
.cabe
espe a esul ados
posi i os
de con-
e gencia
a
.e
.
si e
Lp
(TW
)
con
p<2
.
Nos
limi a emos
a
es _u
dia
la
con e gencia
pun ualpa a unciones
de
L
2
.
TEOR
EMA
2
:
Exis e
e L
2
(Tw)
alque
En
is a
de
es e
esul ado
nega i o,buscamos
conjun os
A
en
Z

ales
que
haya
con e gencia
casi
po
odo
pa a
las
un-
ciones
del
espacio
TEOREMA
3
:
Conside emos
los
subconjun os
de
A
(m)

_

{
ñ=
(n
k
)

:

I
ñl
=supl
nkl
}
k<=m
B
(m)

=
{
ñ=
(n
k
)

:
#
(ñ)

11-
~
m}
Pa a
oda
e
LA(m)
y
pa a oda
e
LB(m)
se
e i ica
lim
S 6R
(x)
=
(x)
a
.e
.
En
ambos
casos
se
a a
de
ob ene
la
aco ación
I*~

II
(Sup
I
S
6R
l
)11
2
~ C
II 11
2
En el
caso
de
A(m)
es o
se
consigue
con
una
adap ación
del
mé o
do de
Fe e man
(o
de
Te zadze)
en
dos
a iables
(
.[5]
) .
Pa a
B(m)
hayque
usa inducciónsob e
m
con
un
cie o
a gumen o
combina o io,comenzando
po
p oba lo
pa a
B(1)
.
Las
unciones
de
LB(1)
son
del
ipo
(x)

_
11=
k!!=
sup

1
S óR
(x)

_

+m

a
.
e
.
d
L
2
A
(T'
)

_
{
eL
2

:

(ñ)

= 0

(d

A)
)
(
e
LA)
(en
11-112)

,
con

k
eL
2
(T)
y
[*]
se
ob iene
a
pa i
de
la
aco ación
del ope ado
maximal
en una a iable
(
.[3]
)
y de a gumen os
de
independencia
análo-
gos a
los
de
la
desigualdad
de
Kolmogo o
pa a
la
ley ue e
de
los
g andes
núme os
.
4
.-
P oblemas
Abie os
Casi
odo
el
Análisis
de
Fou ie
en

T
O3

es
un
p oblema
abie o,pe o
quie o
expeci ica
los siguien es
:
A)
Desa olla
una eo ía
de
Li lewood-Paley
en

T
w

o
(casi
equi alen emen e) da
e siones
no
i iales
de
los
mul iplica-
do es de
Ma cinkiewicz-Ho mande
.
B)
Adap a
a T
w
las
di e sas de iniciones
de
espacios
HP
es udiando
su
descomposición
a 6anica,dualidad,e c
.
C)
Ob ene mé odos
de
sumabilidad
a
.e
.
aplicables
a
unciones
de
LpW')
con
p
<
2
(Los
únicos
p ocesos
de
sumabilidad
conocidos
son los que
esul-
an del
abajo
de
Edwa ds
y
Hewi
[4]
álidos pa a
L
1
pe o
excesi amen
e
elemen ales
y
poco
sa is ac o ios
po
eque i
dos
pasos
al
lími e
con-
secu i os)
.'
. ~ '
D)
Si

p
k
>
1-
pe o
pk-4
1
,
el
espacio

Lp no
es á
con enido
en
ningún
*
espacio
de
O licz
es ic amen e
meno
que
Ll
.
Con
la
iden i icación
2
w
=
[0,1)
pueden de ini se los
espacios
Lp([0,1))
espec o
de
la
medida
de
Lebesgue,es udiando
en
ellos
la
aco ación
de
cie os
ope ado es
elaciona-
dos con
se ies
de
Fou ie
o dina ias
o
(lo
que
pa ece
más
na u al)
con
se-
ies
de
Walsh
.
Re e encias
:
[1]
A
.BEPEDEK,R
.
PANZONE
:The
spaces Lp
wi h
mixed
no m
.
Duke Ma h
.
J
.
28
(1961),301-324
.
[2]
H
.
BOHR
:
Ube
die Bedeu ung de
Po enz eihen
unendlich
iele
Va iabeln
in
de
Theo ie
de
Di ichle schen
Reihen
.
Nach
.
Akad
.
Wiss
.
Go ingen
Ma h
.-Physik,Kl
.
1913
,
441-448

'
[3]
L
.
CARLESON
:
On
con e gence
and g ow h
o
pa ial
sums o
Fou ie
se ies
.
Ac a
Ma h
.
116
(1966)
,
135-157
.
[4]
R
.E
.
EDV~
E
.
HEWITT
:
Poin wíse
limi s
o
sequences
o
con olu ion
ope a o s
.
Ac a Ma h
.
113
(1965)
,
181-218
.
C
.
FEFFERMAN
:On
he
con e gence
o
mul iple
Fou ie
se ies
.
Bull
.
A
.M
.
S
.
77
(1971)
,
744-745
H
.
HELSON,D
.
LOWDENSLAGER
:
P edic ion
heo yand
Fou ie
se ies
in
se e
-
al
a iables
.
Ac a
Ma h
.
99 (1958)
,
165-202
.
S
.
PICHORIDFS
:
On
he
bes
alues
o
he
cons an s
in
he
heo ems
o
M
.
Riesz,Zygmund
and
Kolmogo o
.
S udia
Ma h
.
44 (1972)
,
165-179
.
[8]
W
.
RUDIN
:
Fou ie
Analysis
on
G oups
.
In e science,New
Yo k
1962
[9]
E
.M
.
STEIN
:Singula In eg als
and
.
. . . .
P ince on
Uni
.
P ess
,
1970