Convergencia de series de Fourier de infinitas variables

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL CONVERGENCIA DE SERIESDE FOURIER DE INFINITAS VARIABLES José L . Rubio de F ancia Facul ad de Ciencias Uni e sidad de Za agoza Abs ac : Gi en a unc ion in he in ini e-dimensional o us (de io ed T - ), ec angula sums o i s Fou ie se ies S R a e p ope ly de ined,and we s udy he Eoin wise and no m con e gence as R inc eases o Z~=(T )^ In he mixedno m spaces LP(TW) ,P=(pk)1 ,con e gence i9 no m holds i Elp -21<-  Poin w¡se con e gence in L  ails in gene al,bul he e a e posi i e esul s unde some es ic ions on he Fou ie coe icien s . N ° Clasi icaci6n A .M .S . 42 1 .- In oducción Sea T el o o unidimensional iden i icado de modo na u al con el in e alo [0,1) . Designamos po Tw el g upo compac o p oduc o de una in inidadnume able de copias de T . El g upo dual Z m es á o mado po sucesiones ini amen e no nulas de núme oses e os . Cada ñ =  (n l ,n 2 ," " n k' . . .)  e Z'  ac úacomo ca á e en  T"'  de o ma ob ia nulos de  (nk ) . <x,ñ) = exp(2, i ñ-x) = exp(2Tíi  n kxk )  (x e T w ) ( .[8]) . Deno amos IñI= supln k ¡ , #(n) = n° de elemen os no Fijada una sucesión (e n ) de núme os posi i os con e n -->0 de inimos en Z- los " ec ángulos" R  =  {n  :  ink l<  e k } 6  R  =  {ñ  :  Ink 1< 6  ek }   0  <  6  <  - Es ob io os cuya que {¿R} es una amilia c ecien e de subconjun os in¡ unión es odo Z - . Se a ade es udia de la unción e L 1(T w ) El Análisis de Fou ie en e éspuedejus i ica se de un 16gica del Análisis de Fou ie aciones que no dependan de la (exp(2nix k ) : k=1,2, . . .} es un independien es uni o memen edis ibuidas en la ci cun e encia 2 .-Con e gencia en No ma 238 n (n)  exp(2 i ñ .x) unidadcompleja (i .e . una e sión complexi icada de las uncio- nes de Rademache ),cuya comple aci6n na u alen L 2 es el sis- ema igonomé ico sob e T w po lo que esul an se las se- ies de Fou ie de in ini as a ables el análogocomplejo de las se ies de Walsh . Las se ies de Fou ie en Tm ienen ambién conexión con las se ies de Di icle ( .[2]) y con la Teo íade la P edicción ( .[6]) . Los esul ados p esen ados aquí son con- secuenciabas an e sencilla de écnicas usadas en dimensión i- ni a,y solo p e enden se i de mo i ación pa a un es udio más p o undo . El análogo del eo ema de M .Riesz : es álido pa a p=2 según L 2 es i ial,en búsqueda de esul ados de inimos los espacios con e gen en algúnsen ido a (&--->-) . T w ha sido poco a ado . Su in- lado po cons i ui una ex ensión n-dimensional,pe o ob eniendo aco- dimensi6n n . Po o o lado , sis ema de a iables alea o ias 11S ¿R ll p  ~=  Cp  111p solo es ácilp oba . Como el eo ema en posi i os menos ob ios Lp(Tw) = Lpl,p2' . . .,pk, . . .(Tx Tx . . .xTx . . .) (con p = (Pl'P2, . . .,pk" ") , ll='pkl~°°) de mane aanáloga espacios de no mamix a de Benedek-Panzone al limi e . TEOREMA l :a) Los ope ado es  (S éÍR ) en LI(T w )( equi alen emen e lim da e Lp ) si y solo si E Ip k -21<- b) Si 7 (2-pk) = -exis e pk < 2 al que cuando  6 --> -  (S ¿R ) son uni o memen e 11 S  ¿R  -  il P  =  0 a los ( .[l])con un paso una unción e Lp en medida . es di e gen e si las sumas aco ados pa a ca La aco ación uni o me de  (S ~)  equi ale a la exis encia de un ope ado aco ado S asociado al mul iplicado X ,con = = {ñ e Z °° : n k >O} . La p ime a pa e se ob iene exp esando la no ma de S  comop oduc ode las no mas de las ans o madas p de Hilbe en Lk (T) ( .[7]) . La segunda pa e se deduce del mismo a gumen o jun o conuna e siónadecuada del eo ema de S ein ( .[9]) 3 .-Con e gencia Pun ual Po Teo .l(b) io .cabe espe a esul ados posi i os de con- e gencia a .e . si e Lp (TW ) con p<2 . Nos limi a emos a es _u dia la con e gencia pun ualpa a unciones de L 2 . TEOR EMA 2 : Exis e e L 2 (Tw) alque En is a de es e esul ado nega i o,buscamos conjun os A en Z  ales que haya con e gencia casi po odo pa a las un- ciones del espacio TEOREMA 3 : Conside emos los subconjun os de A (m)  _  { ñ= (n k )  :  I ñl =supl nkl } k<=m B (m)  = { ñ= (n k )  : # (ñ)  11- ~ m} Pa a oda e LA(m) y pa a oda e LB(m) se e i ica lim S 6R (x) = (x) a .e . En ambos casos se a a de ob ene la aco ación I*~  II (Sup I S 6R l )11 2 ~ C II 11 2 En el caso de A(m) es o se consigue con una adap ación del mé o do de Fe e man (o de Te zadze) en dos a iables ( .[5] ) . Pa a B(m) hayque usa inducciónsob e m con un cie o a gumen o combina o io,comenzando po p oba lo pa a B(1) . Las unciones de LB(1) son del ipo (x)  _ 11= k!!= sup  1 S óR (x)  _  +m  a . e . d L 2 A (T' )  _ { eL 2  :  (ñ)  = 0  (d  A) ) ( e LA) (en 11-112)  , con  k eL 2 (T) y [*] se ob iene a pa i de la aco ación del ope ado maximal en una a iable ( .[3] ) y de a gumen os de independencia análo- gos a los de la desigualdad de Kolmogo o pa a la ley ue e de los g andes núme os . 4 .- P oblemas Abie os Casi odo el Análisis de Fou ie en  T O3  es un p oblema abie o,pe o quie o expeci ica los siguien es : A) Desa olla una eo ía de Li lewood-Paley en  T w  o (casi equi alen emen e) da e siones no i iales de los mul iplica- do es de Ma cinkiewicz-Ho mande . B) Adap a a T w las di e sas de iniciones de espacios HP es udiando su descomposición a 6anica,dualidad,e c . C) Ob ene mé odos de sumabilidad a .e . aplicables a unciones de LpW') con p < 2 (Los únicos p ocesos de sumabilidad conocidos son los que esul- an del abajo de Edwa ds y Hewi [4] álidos pa a L 1 pe o excesi amen e elemen ales y poco sa is ac o ios po eque i dos pasos al lími e con- secu i os) .' . ~ ' D) Si  p k > 1- pe o pk-4 1 , el espacio  Lp no es á con enido en ningún * espacio de O licz es ic amen e meno que Ll . Con la iden i icación 2 w = [0,1) pueden de ini se los espacios Lp([0,1)) espec o de la medida de Lebesgue,es udiando en ellos la aco ación de cie os ope ado es elaciona- dos con se ies de Fou ie o dina ias o (lo que pa ece más na u al) con se- ies de Walsh . Re e encias : [1] A .BEPEDEK,R . PANZONE :The spaces Lp wi h mixed no m . Duke Ma h . J . 28 (1961),301-324 . [2] H . BOHR : Ube die Bedeu ung de Po enz eihen unendlich iele Va iabeln in de Theo ie de Di ichle schen Reihen . Nach . Akad . Wiss . Go ingen Ma h .-Physik,Kl . 1913 , 441-448  ' [3] L . CARLESON : On con e gence and g ow h o pa ial sums o Fou ie se ies . Ac a Ma h . 116 (1966) , 135-157 . [4] R .E . EDV~ E . HEWITT : Poin wíse limi s o sequences o con olu ion ope a o s . Ac a Ma h . 113 (1965) , 181-218 . C . FEFFERMAN :On he con e gence o mul iple Fou ie se ies . Bull . A .M . S . 77 (1971) , 744-745 H . HELSON,D . LOWDENSLAGER : P edic ion heo yand Fou ie se ies in se e - al a iables . Ac a Ma h . 99 (1958) , 165-202 . S . PICHORIDFS : On he bes alues o he cons an s in he heo ems o M . Riesz,Zygmund and Kolmogo o . S udia Ma h . 44 (1972) , 165-179 . [8] W . RUDIN : Fou ie Analysis on G oups . In e science,New Yo k 1962 [9] E .M . STEIN :Singula In eg als and . . . . . P ince on Uni . P ess , 1970