Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
DIFERENCIAS
DE
FUNCIONES
DE
PRYM
José
Ga ay
de
Pablo
Dp o
.
d
e
Teo ía
de
Funciones
Uni e sidad
de
Za agoza
Resumen
:Se
es udia
el
compo amien o
de unciones
que
se
ob ie-
nen
como
di e encias
de
dos
uncionesde
P ym,obse andouna
g an
analogía
con
las
unciones
exponenciales
.Es as
unciones
jueganun papel
in e esan e
en
cie osp oblemas
sob e
dieléc-
icos
.En
es e
abajo
se
ob ienen esul adospa a
cie os
casos
pa icula es,quedando
pendien e
hace un es udio
más
gene al
.
Sea
la
unción
F(z)=P(b,z)-P(a,z),(0<
a<
b<+-),donde
las
unciones
del
segundomiemb o
son
las
co espondien es
de
P ym, ambién
llamadas
unciones
gamma
incomple as
.
La
ep esen ación
in eg alde
F
es
F(z)=
J
h
e
-
z-1
d
y
po
consiguien e
(ZI

Re
F(z)=

J
s
e
-
X-1
cos(y
log
)

d
(3)

Im
F(z)=

5
e-
X-1
sen(y
log
)

d
unciones
De la
misma
ep esen ación
in eg al
se
deduce
que
F
es
en-
e a,y
6
bien
obse ando
(2)
y
(3)
6
ambién
como
consecuencia
del
p incipio
de la
e lexión
de
Schwa z
esul aF(z)=F(z)
po
lo
cual
nos
limi a emos
a
es udia
F
en
el
semiplanosupe io
.
Ve emos
con
de alle
el
caso
1<
a<
b,señalando
que
pa a
el
caso
a<
b<,1
'
un
es udio
pa alelo
da
esul ados
análogos
.
Teo ema
1
.Si
F(z)
:,~0
esul a
F(
n)
(z),É0
YneN
.
Demos aci6n
:Si
F=U+iV,de i ando
en
(2)
se
deduce
S
-U
=
~
q
e
-
x-1

(log
)
n
cos(y
log
)
d
o
c"
y
en
consecuencia
si
U(z)¢0
se
iene
-
U
(2)9,0
VneN
.Análoga
elaciónexis een e
V
y
sus
de i adas
.
Aho a
bas a
que
F
n)
=
7
U
+
i
~
~V
Teo ema
2
.-Vc
>
O,exis e
x
0
eR
alque
!F(x+iy)I<
E
Vx<
x
0
,8yeR
.
Demos ación
:Bas a
obse a
que
en
las
in eg ales
(2)
y
(3)
el
ac o
x-1
con e ge
a
0 y
los
o os ac o eses ánaco ados
uni o memen e
espec ode
y.#
.
En lo
que
sigue
ha emosa =

y
2(logb-log
a)
A={
zeC,
0
c
Im

z < a),
Teo ema
3
.-Sea
K
un compac oen
(O,a
)
.Y
M>
O,exis ex
0
eR
alque

IF
(x+iy)I >
M

Kx
>x0,8yeK
.
Demos ación
:Sean
d
=a
-
max
K,
e
<
5
log
b-log
a
log
b+log
a
Si
aho a
A
eK,
a-E
<
y<
a
+E
,
a!~= ~
-
b, esul a
que
y
log
a ia
den ode un
in e alo
de longi ud
meno
queu/2
.Po lo a
an o
. . . .
. . .
al
menos
de
las
.
. .
un
c
iones
sen_ os,-sen
h -
cos
se
T_ 1,an-
.
iene
es ic amen emayo
que
un cie o
posi i o
.En onces
exis-
e
j
>
O, al
que
IF(x+iy»>M,Vx>

,Vye(a-
E
XTE)
.
Aho a
bas a
aplica
la
compacidad
de
K.#
.
Teo ema
4
.-F
no
se
anula
en
A
.
Demos ación
:Se
azonaen o ma
análoga
a
la
demos ación
del
eo emaan e io , s udiando
el
in e alo
de
a iación
de
y
log
.#
.
Co ola io
.-F
es con o me
en
A
.
Demgs ación
:Es
consecuencia
de
los
eo emas
1
y
4.#
.
Teo ema
5
.-Sea
h
un núme o
na u al
meno
que
log
b
log
b-log
a
En onces
F
ans o ma
la
banda
7
(h-1)

<
Im

z
<

T

h
2
log
a

2
log
b
en un
subconjun o
del
j-ésimo
cuad an e,donde
j=h(4)
.
188
Demos a ión
:En
p ime
luga
nó ese
que
la
banda
es
no
a-
cíapo
la
desigualdad
del
eninciado
.De
la
misma
desigualdad
se
deduce
que
cuando
e
y
a íanen
sus
co espondien es
in e a-
los,se
iene
y
en
consecuencia
sen(y
log )=
cos(y
log
)=
Tí
(h-1
)
(
y

log

~
n
2h
0.
>0
si
j=1,2
<~
0
si
j=3,4
>0
si
j=1,4
<0
si
j=2,3
y
como
los
o os
ac o esde
los
in eg andos
de
(2)
y
(3)
son
posi i os, esul a
la
a i mación
del
eo ema
.#
.
Teo ema
6
.-En
las
condiciones
del
eo ema
an e io
y
si
ade-
más
h>
l,exis e
una
cu a
analí ica
P
con enida
en
la
banda
B
:
n
(h-1)

<
Im
z <

7
(h-1)
21og
b

21og
a
alque
a)La
p oyección
Z-->Re
z
de
P
sob e
R
b)
F
(I')

s á
con enida
esj-1
y
j
.
c)F(B)
es á
con enida
pa e
de la
banda
B
supe io
d)F(B)
es á
con enidaen(j-1)-ésimo
pa e
de
la
banda
B
in e io
a P
.
Demos aci6n
:Lo
ha emos
pa a
el
casopa icula
de
h=2,sien-
es
biyec i a
.
en el
semieje
que
sepa a
los
cuad an-
en
el
j-ésimo
cuad an e,donde
B
es la
a
P
.
yc
37T
21og
a

21og
b
cuad an e
siendo
B"
la
do
los
demás
casos
de
a amien o
análogo
.
Fijamosx
en
R y
conside amos
la
unción
G(y)=Im
F(x+iy)
.
Se
iene

5
G'(y)=-

1

e
-
x-1

log

sen(y
log
)

d
Po
azonamien os
de igualna u aleza
que
los
an e io es
cuando
esul a
G'(y)c
0
y
po
consiguien e

G
es
es ic amen e
dec ec
cien e
.Obse ando
aho a
los
alo es
de
G
en
los
ex emos
de es e
in e alo
y
en
los
del
enunciado
del
eo ema
se
sigue
que
exis-
18
9
e un g(x) en el
in e alo
19
0
21og
b
'
21og
a
alque
Im
F(x+iw)
es
mayo ,igual
o
meno
que
ce osegún
que
w
sea
espec i amen e
meno ,igual
o
mayo
que
g(x)
.
Finalmen e
es
una
cu a
analí ica
po se
la
imagen
po
F
-1 de
una
semi ec a
.#
.
En
is a
de
los
esul ados
que
p eseden
apa ece
en el
plano
.
complejo
una
sucesión ini a
de
bandas
al
que
la
imagende
cada
Bn
es á
con enida
en
el
n-ésimocuad an e
.No a emos
con
I
-n
la
cu a
que
sepa a
Bn yB
n+1'
Teo ema7
.-Sea
3

2
Dn-
U
B
n+k
U
~
U

n+k
k=0 k=0
En onces
F
es
una
biyecci6n
en e
D
n
y-
C-i
n-1
,R
¢
Demos aci6n
:La
inyec i idad
se
p ueba
u ilizando
la
siguien
e
p opiedad
de
las
unciones
analí icas
:
"Sea
una
unción
analí ica
sob e-
una
egión
con exa, al
.
que
la
pa e ealde
la
de i ada
es
posi i a
.En onces
es
in-
yec i a
."
En
nues á
caso
hay
que
conside a
como
egión
con exa
las
bandas
que
apa ecen
en
los
enunciados
de
los
eo emas
5
y
6,y
como
unción
las
uncionesF,-F,iF6
-iF
se
.
gún
los
casos
.
La
sup ayec i idad
es
consecuencia
de
los
eo emas
2
y
3
y
del
co ola io
del
eo ema
4.#
.