Diferencias de funciones de Prym

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL DIFERENCIAS DE FUNCIONES DE PRYM José Ga ay de Pablo Dp o . d e Teo ía de Funciones Uni e sidad de Za agoza Resumen :Se es udia el compo amien o de unciones que se ob ie- nen como di e encias de dos uncionesde P ym,obse andouna g an analogía con las unciones exponenciales .Es as unciones jueganun papel in e esan e en cie osp oblemas sob e dieléc- icos .En es e abajo se ob ienen esul adospa a cie os casos pa icula es,quedando pendien e hace un es udio más gene al . Sea la unción F(z)=P(b,z)-P(a,z),(0< a< b<+-),donde las unciones del segundomiemb o son las co espondien es de P ym, ambién llamadas unciones gamma incomple as . La ep esen ación in eg alde F es F(z)= J h e - z-1 d y po consiguien e (ZI  Re F(z)=  J s e - X-1 cos(y log )  d (3)  Im F(z)=  5 e- X-1 sen(y log )  d unciones De la misma ep esen ación in eg al se deduce que F es en- e a,y 6 bien obse ando (2) y (3) 6 ambién como consecuencia del p incipio de la e lexión de Schwa z esul aF(z)=F(z) po lo cual nos limi a emos a es udia F en el semiplanosupe io . Ve emos con de alle el caso 1< a< b,señalando que pa a el caso a< b<,1 ' un es udio pa alelo da esul ados análogos . Teo ema 1 .Si F(z) :,~0 esul a F( n) (z),É0 YneN . Demos aci6n :Si F=U+iV,de i ando en (2) se deduce S -U = ~ q e - x-1  (log ) n cos(y log ) d o c" y en consecuencia si U(z)¢0 se iene - U (2)9,0 VneN .Análoga elaciónexis een e V y sus de i adas . Aho a bas a que F n) = 7 U + i ~ ~V Teo ema 2 .-Vc > O,exis e x 0 eR alque !F(x+iy)I< E Vx< x 0 ,8yeR . Demos ación :Bas a obse a que en las in eg ales (2) y (3) el ac o x-1 con e ge a 0 y los o os ac o eses ánaco ados uni o memen e espec ode y.# . En lo que sigue ha emosa =  y 2(logb-log a) A={ zeC, 0 c Im  z < a), Teo ema 3 .-Sea K un compac oen (O,a ) .Y M> O,exis ex 0 eR alque  IF (x+iy)I > M  Kx >x0,8yeK . Demos ación :Sean d =a - max K, e < 5 log b-log a log b+log a Si aho a A eK, a-E < y< a +E , a!~= ~ - b, esul a que y log a ia den ode un in e alo de longi ud meno queu/2 .Po lo a an o . . . . . . . al menos de las . . . un c iones sen_ os,-sen h - cos se T_ 1,an- . iene es ic amen emayo que un cie o posi i o .En onces exis- e j > O, al que IF(x+iy»>M,Vx>  ,Vye(a- E XTE) . Aho a bas a aplica la compacidad de K.# . Teo ema 4 .-F no se anula en A . Demos ación :Se azonaen o ma análoga a la demos ación del eo emaan e io , s udiando el in e alo de a iación de y log .# . Co ola io .-F es con o me en A . Demgs ación :Es consecuencia de los eo emas 1 y 4.# . Teo ema 5 .-Sea h un núme o na u al meno que log b log b-log a En onces F ans o ma la banda 7 (h-1)  < Im  z <  T  h 2 log a  2 log b en un subconjun o del j-ésimo cuad an e,donde j=h(4) . 188 Demos a ión :En p ime luga nó ese que la banda es no a- cíapo la desigualdad del eninciado .De la misma desigualdad se deduce que cuando e y a íanen sus co espondien es in e a- los,se iene y en consecuencia sen(y log )= cos(y log )= Tí (h-1 ) ( y  log  ~ n 2h 0. >0 si j=1,2 <~ 0 si j=3,4 >0 si j=1,4 <0 si j=2,3 y como los o os ac o esde los in eg andos de (2) y (3) son posi i os, esul a la a i mación del eo ema .# . Teo ema 6 .-En las condiciones del eo ema an e io y si ade- más h> l,exis e una cu a analí ica P con enida en la banda B : n (h-1)  < Im z <  7 (h-1) 21og b  21og a alque a)La p oyección Z-->Re z de P sob e R b) F (I')  s á con enida esj-1 y j . c)F(B) es á con enida pa e de la banda B supe io d)F(B) es á con enidaen(j-1)-ésimo pa e de la banda B in e io a P . Demos aci6n :Lo ha emos pa a el casopa icula de h=2,sien- es biyec i a . en el semieje que sepa a los cuad an- en el j-ésimo cuad an e,donde B es la a P . yc 37T 21og a  21og b cuad an e siendo B" la do los demás casos de a amien o análogo . Fijamosx en R y conside amos la unción G(y)=Im F(x+iy) . Se iene  5 G'(y)=-  1  e - x-1  log  sen(y log )  d Po azonamien os de igualna u aleza que los an e io es cuando esul a G'(y)c 0 y po consiguien e  G es es ic amen e dec ec cien e .Obse ando aho a los alo es de G en los ex emos de es e in e alo y en los del enunciado del eo ema se sigue que exis- 18 9 e un g(x) en el in e alo 19 0 21og b ' 21og a alque Im F(x+iw) es mayo ,igual o meno que ce osegún que w sea espec i amen e meno ,igual o mayo que g(x) . Finalmen e es una cu a analí ica po se la imagen po F -1 de una semi ec a .# . En is a de los esul ados que p eseden apa ece en el plano . complejo una sucesión ini a de bandas al que la imagende cada Bn es á con enida en el n-ésimocuad an e .No a emos con I -n la cu a que sepa a Bn yB n+1' Teo ema7 .-Sea 3  2 Dn- U B n+k U ~ U  n+k k=0 k=0 En onces F es una biyecci6n en e D n y- C-i n-1 ,R ¢ Demos aci6n :La inyec i idad se p ueba u ilizando la siguien e p opiedad de las unciones analí icas : "Sea una unción analí ica sob e- una egión con exa, al . que la pa e ealde la de i ada es posi i a .En onces es in- yec i a ." En nues á caso hay que conside a como egión con exa las bandas que apa ecen en los enunciados de los eo emas 5 y 6,y como unción las uncionesF,-F,iF6 -iF se . gún los casos . La sup ayec i idad es consecuencia de los eo emas 2 y 3 y del co ola io del eo ema 4.# .