Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
ALGUNOSPROBLEMAS
DEL
ANALISIS
ARMONICO
An onio
Có doba
Dp o
.
de
Teo íade
.Funciones
Uni e sidad
Au ónoma
de
Mad id
Abs ac
.-
Se e al esul s
desc ibing
in
3R
n
,
n>2,
a e
p esen ed,
namely
An
in oduc ion
o
hese
p oblems
X- ays
di ac ion
and heunce aini y
p incipie
o
Quan um
Mechanic
.
[Al
LA
TRANSFORMACION
DE
FOURIER
Uno
de
los
hechos
más
espec acula es
de
la
Ma emá ica
Con empo ánea
cada
ez
más
impo an e,
que
la
ans o mación
de
Fou ie
desempeña
ísica
adecuadas
,
di e sas
como
las
ecuaciones
di e enciales,
eo ía
de
en e
o as
.
Dicha
ans o mación
es á
de inida,
pa a
medio
de
la
ó mula
(C)
_~
ne-2uix
.~ (x)dx
.
Una
po ción
impo an e
del
Análisis
Ma emá ico
mode no
es udio
de
dicha
in eg al
y
de
las
elaciones
de su
ans o mada
.
A
con inuación
amos
a
enuncia
algunas
cas
de
la
maquina ia
de la
ans o mación
de
Fou ie
.
(a)
Fó mula
de
in e sión
y'Teo ema
de
Pldnche el
,-
Pa a
Zas
enemos
que
:
[I]
(x)= Fn
e2,Tix
.~
(Ld~
[II]
n
.
I (x)1zdx
=
.

l (~)12
d1
o,
más
gene almen e
:
R
n
he
beha io
o
he
Fou ie
ans o m
es ic ion
heo ems
and
mul iplie s
esul s
.
i
s
in ended
conec ing
hem
wi h
he
heo y
o
nume os
y
unciones
Un
espacio
.
d
e
unciones
adecuadas
(pa a
quienes
las
ó mulas
ido)
es,
po
ejemplo,el
espacio
de
Schwa z
S(IR
n
)_
-_{
e C
w
(R
n
)
I

sup

IX'
DS
(x)

Ya
,
Be

N
n
} .
x
es
en
elacionado
e
Z
papel,
á eas
an
ma emá ica,
po
con
eZ
Zas
es á
en e
las
p opiedades
de
las
piezas
bási-
y
de
y
unciones
adecuadas
I
Rn
(x)_g(Íx
dx= ,?n
(~)g(~)d~
TI
ienen
sen-
17
7
Cla amen e
la
ó mula
IIII
nos
pe mi e
ex ende
la
ans o mación
de
Fou ie
como
un
ope ado
uni a io
del
espacio
L
2
(p
n
L,
(b)
_Compo amien o
con
espec o
a
la
de i
a
ción
,-
Pa a
n
~(R
)
y
odo
muZ i-índice
q e
Ai
n
se
e i ica
que
Es
deci ,
la
ans o mación
de
Fou ie
con ie e
a
mo
la
de i ación,en
o a
mucho
más
sencilla
como es
la
(c)
Compo amien o
con
espec o
a
las
anñ ma
cidnés
ciones
y
dila aciones
.
(i) Si
de inimos
la
asZacion
Ta
(x)
=
(x+a),
esul a
(ii)
Si P
es
una
o ación
al ededo del
o igen
enemos

P(~)
=
(P(~))
"
(iii)
Dado
6>0 conside amos
la
dila ación
s(x)
=
(8x),
en onces
s(~)
=6-n
(ó-1
.
)
(d)
Una
ó mula
.-

La
unción
~(x)
c
e-TT~x1
2
coincide
con
Podemos
combina
Zco
iden idades
(d)
y
(iii)
de (c)
pa a
ó mulas

i
e
-nd1x
i
2
(1)
=d
-n
/
2
que
exp esan
una
p ime a e sión
de la
dualidad
en e
y
en el
sen ido
siguien e
:
Si
" i e"-enuna
bola
de
diáme o d-su
ans o mada " i e"
en
la"bola
dual",
de
diáme o
d
1 ,
e cé e a
.
LB]
EL
PRINCIPIO
DE
INCERTIDUMBRE
Una
de
las
mane as
posibles
de
p ecisa
la
obse ación p eceden e
puede
se
la
d
esigualdad
de
Héisembe g
:
Supongamos
que
es
una
unción
de
cuad ado
in-
eg able
y
sean
x
.,
C

dos
pun os
a bi a ios
de
IR
n
,
enemos
que,
IRnIix-x
11
2
1
(x)
12dx]1'2

.1
lRnl1~-

~ (~)

Zd~`112> Cn
~I
~
I
2
donde
C
n
>0
es
una cons an e
que
sólo
depende
de
la
dimensión
.
podemos
oma

C1
=
4
~
17 8
oda
unción
del
espacio
una
ope ación complicada,co-
mul iplicación
.
.
déZ
n
:
aslaciones,
o a-
que
T
a
(E)=e
21 i1
.a
(E)
.
que
su
ans o mada

i
=o
ob ene
la
amilia
de
En
pa icula
La
demos ación
es
an
co a
que
podemos p esen a la
en
un
momen o
.
Conside-
emos
el
caso
sencillo,
pe o
ípico,
en el
que
n=2,
x
a
=j
°
=
0
y
J?
--I?
es
una
acnción
eal
.
Po
un
a gumen o
de
densidad
bas a
con p oba
la
desigualdad
pa a
unciones
lisas
.
Tenemos
que
j

¡

1/2
J
m

2


i

-

(1

2 (X)

~
1'2
.
(~
~I (1)
12
d~l
1

(x) dx
= -

2x
(x)

(x)dx
<
2

x

(x)
dx
<

4

( x2 (X)
1
2
dx
~
1/2
.
.
[ j2j
(1)
1
2
d~~ 1/2
.
Es a
sencilla
demos ación
se
debe
a
H
.
Weyl
.
Una
caiaac e ís ica
impo an e
de
ella
eside
en
la
u ilización
de la
ans o mada
de
Fbu lie
como
ins umen o
ma emá ico
adecuado pa a
modela
la
mecánica
cuán ica
.
Me ece
la
pena
que nos
de engamos
un
poco
en es e pun o,
conside ando
el
o malismo
de
la
mecánica
de
una
pa ícula
unidimensional
:
(1)
Un
es ado de
la
pa ícula
es
una
unción
Te
L
Z(R),
llamada
la
unción
de
ondas
o
ampli ud
de
p obabilidad
.
La
in e p e ación
se
basa
en la
*
hipó esis
de
que
la
p obabilidad
de
encon a
a la
pa ícula
en el
in e alo
I
C1?
iene
dada
po
í
IT(x)Izdx
;
na u almen e
la
p obabilidad
o al
debe
se
igual
á
1,
es

deci

I

I I
T
I12
=
-1-
(2)
Un
obse able
es un
ope ado
simé ico
T
.
La
media
de
T
en el
es a-
do
T e
D(T)
iene
dada
po
la
in eg al
u(T)=
V(x)
TT(x)dx
.
Dos
obse ables
muy
impo an es,
la
posición
y el
momen o,
es án
asocia-
dos,a
los
ope ado es
siguien e
Py(x)
=x
.
Y'
,

D(P)
=
{T
I
T
e
Lz,

xTeL
2
}
MT(x)
=(2T i)
-1DT(x), D(M)
={Y'IT
e
L
2
,
T' e
L2}
.
En
pa icula ,
si
calculamos
el
alo medio
de
M
n =
M
°
...°
M
en
el
es ado
T,
esul a
que
p(0)
=
¡,n
I~(1)1z
d~
po
el
eo ema
de
Planche el
.
Resul a
po
lo
an o
na u ál
conside a
a
j
19'0)1
1
d~
como
la
p obabi-
lidad
de
que
el
momen o
de la
pa ícula
se
encuen e si uado
en el
ín e -
a
loICF
.
La
in e p e ación
de
la
desigualdad
de
Heise»be g
es
aho a
muy
sencilla
:
Si
sabemos,
con
un
e o
pequeño,
que
la
pa ícula
es á en
pun o
x
° ,
la
in eg al
(

(x-x
)z
IT(x)I
2
dx
)1
12
debe
se muy
pequeña
y,
po
lo
an o,
cualquie a
1/2
11
que
sea
el
pun o

C°,

la
in eg al

(j

I
Z-1
2

Iy (C)I
2
dE)

debe
se muy
g an-
de
(ya
que
el
p oduc o
de
las
dos
es
_>
(4n)
-1
,
es
deci
que
el
e o
come i
do
al
medi
el
momen o
es
muy
g ande,
e c
.e c
.
[
C
]D
I
FRACC
I
ON

DE

RAYOS

X
En e
los
p oblemas
más
di íciles
de la
Química
se
encuen a
el de
descub i
la
es uc u a
espacial
de
moléculas
complicadas
yuno
de
los
mé odos
más
po-
de osos
que
ienen
a
su
alcance
los
químicos
pa a
esol e lo, es á
basado
en
las
p opiedades
de
di acción
de
ayos
X
a
a és de
c is ales
.
Desg aciadamen
e no
disponemos
de iempo
ni
espacio
pa a
conside a
con
más
de alle
el
mode-
lo
ísico
y
nos con en a emos
con
esboza
las
ma emá icas
:
Sea
p(x)
la
unción
de
densidad
elec ónica
del
c is al,
p>0, y
supongamos
que
en
el
expe imen o
se
-
u iliza
una
adiación
inciden e
en
o ma
de un
haz
pa alelo
de
ayos
monoc omá
-
17
9
icos
.
_Sea
P
un
pun o
cuya
d
is ancia
al
c is al
es
muy g ande
en
compa ación
_con
_el
amaño
_del
c is al
.
En
es as ci cuns ancias
la
adiación
di ac ada
que
llega
aP,
que
podemos supone
que
lo
ha sido
po
el
mismo
ángulo po
odas
las
pa ículas
del
c is al,
desc i a
po
la
unción
de
ondas
di ac ada
4'(y)
.
La
e
lación
en e
y
y p
iene
dada
po
la
ó mula
de
Fou ie
(cuando
las
no malizacio
nes adecuadas han
sido
omadas
en
cuen a)
:
18
0
9'(y)
=e
ix
.
yp(x)dx
.
sólo
el
alo
absolu o
de
T
es
conocido
po
expe imen os
En
la
p ác ica
an
pues o
que
la
ase
de
una
unción
de
ondas
se
pie de,
po
lo gene al, en
las
medidas
.
EL
PROBLEMA
DE LA
FASE
consis e
en
encon a
p
conociendo
el
compo -
amien o
asin ó ico
de
Ipl
.
En un caso
especial
muy
impo an e,
s¢
la
densidad
p
es á
concen ada
sob e
una
cu a
de
cu a u a
y
o sión
po-
si i a,
la
espues a
es
a i ma i a
.
Es e
esul ado
es á
elacionado
con
el
descub imien o
de
la
es uc u alelicoidal
del DNA
.
[D]
TEOREMAS
DE
RESTRICCION
A
con inuación
amos
a
conside a
el
esul ado siguien e
de
C
.
Fe e man,
E
.
S ein
y A
.
ZÍgmund
:
D

`J
S
1
l
(

)I
q~(~) 1/q
<A
p,q
Il
II

Lp(1~2)
Siemp e
que
e
J
(R
Z
),

1
.
<
p
<

-
q
>

3
,
`1
-
1
1 .-
V

.
Es e esul ado
es el
p o o ipo
de
"Teo emas
de
es icción"
po
la
azón
siguien e
:
La
desigualdad
"a
p io i"
an e io
implica
que
'
:LPT
2 )
--
.Lq(S
1 )
iene
una ex ensión
única
aco ada
.
En
p incipio
,
e
Lp(14z)
p
>1,
sólo
es á de inida
en casi odo
pun o
(es
deci ,
sal o
conjun os
de
medida
ce o)
y,
sin
emba go, el
eo ema
de
es icción pe mi e
habla
de
/S
1
como
un
ción de
Lq(S
1
)
.
Teo ema
.-
Conside emos
en
Fi
n
,
n_>2,
una
cu a
de
clase
C
k
,
k>n,
de
ecuación
y
.

L0,
1,
-->
R
n
y
supongamos
que
pa a
odo
pun o
e
[0,21
el
conjun o
de
ec o es
{y
(k)
( )}

es linealmen e
independien e
.
En onces
exis e
_
k=1,2,
.
.
.,n

y
p
~
q
<- al
que
II
lIL2
+
.2n
q
(P)

CP, q
II
II
L
p
(
~n
)
pa a
oda
e
;1
lR
n
)
y
1

n
24-2n-2-
C
1
>
n(n
.1)

1
-?

(Es e
eo ema
de E
.
P es imi
ha sido
ecien emen e ex en-
q
_
2

p
dido
po A
.
Ruíz
al caso de
cu as
ales
que,
pa a
odo
,
exis e
N_>n
al que
{y
(k)
( )}

gene al
el
espacio
IR
n
)
.
Idea
de
la
démos ación
.-
Conside emos
el caso
ípico siguien e
y( )=( , 2, 3),
0< <1
,
n=3,
Obse emos
que,
en
es e
caso,
1<<13
y
p'>
.1
2
(>6)
.
La
p ime a
idea
consis e
en
usa
un
a gumen o
de
dualidad
(desigualdad
de
01-
de ,
eo ema
de
Hausdo -Young
. .
.)
pa a
con e i
el
eo ema
de
es icción
en
o o
de
ex ensión
(es
deci ,de
di acción
de
ayos
X
siguiendo
con
nues o
lenguaje
an e io )
.
Sea
( )
una
unción
lisa
y
da
la
ans o mada
de
Fou ie
de la
dis ibu-
ción
da
.¿Qué
podemos
a i ma
ace ca
del
amañode dc?
.
Con
un
6>0
pequeño
conside emos
un
colla
de
Y
dado
po
.

~E
.~
~~(~)
,
donde
~
j
es la
un-
ción
ca ac e ís ica
de
un
ec ángulo
adap ad
.o
a
la
cu a
en e2
pun o
C
j =
=(j6,
j
262
,
j
3
6
3)
(es
deci
un
ec ángulo
cen ado
en E11
.
y
con
dimensiones
:
6-en
la
di ección
angencial,
62
-en
la no mal
y6
3
-en
la
bino mal)
.
F
6
(1)
=6

Z

(~
j
)
~j
(Z)
.

P
Y
..
j=1
Si
hemos
sido
cuidadosos
en
la
elección
del
colla
es
ácil
e que
F6(~)dC
---i
da
en el
sen ido
de
las
dis ibuciones
.
Nues o
esul adose ía
en onces
una
consecuencia
inmedia a
de
la
siguien
e
desigualdad
:
-8
~~

¡q'6)1/q1
6

II
Ea
Pj
IIp
,
<
C
(
EIaj
donde
1/p+1/p'=1,
1/q+1/q'
=
1

son
los
exponen es
dualesde
los
conside a-
dos
en el
eo ema
.
Si
enemos
en
cuen a
que
p'>6
y
de inimos
s
po
medio
de
la
ó mula
3,+1
=1
3 1

p
s
I
iz
a
ja
ka
,
~j ~k
~ll
P'/3

dCI
p'
.
3

<
CI iza
ja
kal
~j
;
:V~k
:
:V~Z(x)IsdxI1/s
.l/3
<
<
C(
Elajakall'J
I~j*~k
:
:~l(x)Isdx)s
3
siendo
la
úl ima
desigualdad
de
bida
a
que
el
solapamien o
de
los
conjun os
sop(~
j
:ap
k
'P
l
)
es
ini o,uni o -
memen e
en
6
.
Hecho
que
puedep oba se
po
un
sencillo
a gumen ogeomé i-
co
que
depende,
c ucialmen e,
de
que
la
o sióny
cu a u a
de
y
son
posi i-
as
.
Po
lo
an o
nues o
p oblema
queda
educido
a
calcula
:
(i)II~j*~k*~l
IL
(ü)
u{
sop(~j*~k

~l)}
.
Teniendo
en
cuen a
que
el
ec o
angen e
conside ado
en
el
pun o
~
.
ie-
J
ne
dado
po
6(4,2¿j,36
2
j
2
),
es
ácil
e que
U{
sop(~j*~k`~l)}
<
(j±1)
2
,
(k±1
)2(1±])2
I
donde
la
sumaes áex endida
a
odas
las
posibles
elecciones
de
signo
en
cada
uno
de
los
é minos
.
Es
deci
u
{
sop(~k*~kx~l)}
<C66(l,j-k1+1)(Ik-Z1+11(IZ-jI+11

Obse emos
aho a
que

coincide
con
hJ4k'4111
pa e
de
sop{~
j
*~
k
;
;~l }
.
Es
deci
d18+j*'Pk4l(x)dx
>
gll
j
*~k

~1
I1~
.u{sop(~j*~k*~l)}
y,
Ilw
;*~
k
*~
l
ll-
<
C
educido
a
calcula
6
12
(Ij-k
l+1)
(Ik-11+1)(11-á
l+1)
lajls
la
kls
4a,18
I(Ij-k1+1)(Ij-11+1)(11-kl+2
Is-1
(
n_1
I l
g
da)
1/q
<
C
Il
II
L
p
ú
n
)?
El
mejo

esul ado
conocido
-
en
eG e
sen ido
ce
debe
. .
.
P
.
Tomab-
:
Teo ema
.- Si
1
<
p
<
2(n
+13

,
n >
1,
exis eC
p
<-
alque
(
Jsn-1

I (e)I2
dc(e)
)
1/2
<
C
P
Il
II
p
.
en
más
de
la
no ena
po
an o
:
quedando
nues o
p oblema
Cálculo
que
puede
lle a se
a
cabo
po
los
mé odo
usuales
de
in eg ación
acciona ia
e
in e polación
.
Es e
esul ado
es
el
mejo
posible
en
el caso
n
=2,
pe opa a
n>
3
es
un
p oblema
abie odecidi
si se
puede
o
no
mejo a
el
exponen e
p
.
O aex ensión
muy
impo an e
del
S ein-Zygmund
consis e
en
man ene
la
codimensión
plo,
la
siguien ep egun aes á
po
decidi
,
en el
¿Pa a
qué
pa ejas
de
exponen es
p,q
exis e
la
desigualdad
a p io i
siguien e
las
es icciones
sob e
eo ema
de
Fe e man-
igual
a
uno
.
Po
ejem
caso
n
>3
:
Es os
esul ados
ienenaplicaciones
al
p oblema
de
sumabilidad
es é ica
de
se ies
de
Fou ie
.
El
eo ema
de
Tomas
ha
sidoex endido
po
o os
au o es,
Có doba-S ein
y
S ickha z,
a
o as
supe icies
comoel
cono
en
R
n
,
u ilizando
el
mé odo
de
in e polacióncompleja
de
E
.M
.
S ein
.
Resul-
ados
que
ienen
aplicaciones
al
es udio
de
cie as
ecuaciones,
del
ipo
de
la
de
Klein-Go don,y
que,
jun o
con
los
enómenos
enconc ados
en eo-
ía
de
di e enciación
de
in eg ales
(conjun osde
Kakeyay
Nikodym),
pa-
ecen
apun a
hacia
una
eo íade
la
medida
más
ina
que
la
de
Lebesgue
.