Algunos problemas del análisis armónico

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL ALGUNOSPROBLEMAS DEL ANALISIS ARMONICO An onio Có doba Dp o . de Teo íade .Funciones Uni e sidad Au ónoma de Mad id Abs ac .- Se e al esul s desc ibing in 3R n , n>2, a e p esen ed, namely An in oduc ion o hese p oblems X- ays di ac ion and heunce aini y p incipie o Quan um Mechanic . [Al LA TRANSFORMACION DE FOURIER Uno de los hechos más espec acula es de la Ma emá ica Con empo ánea cada ez más impo an e, que la ans o mación de Fou ie desempeña ísica adecuadas , di e sas como las ecuaciones di e enciales, eo ía de en e o as . Dicha ans o mación es á de inida, pa a medio de la ó mula (C) _~ ne-2uix .~ (x)dx . Una po ción impo an e del Análisis Ma emá ico mode no es udio de dicha in eg al y de las elaciones de su ans o mada . A con inuación amos a enuncia algunas cas de la maquina ia de la ans o mación de Fou ie . (a) Fó mula de in e sión y'Teo ema de Pldnche el ,- Pa a Zas enemos que : [I] (x)= Fn e2,Tix .~ (Ld~ [II] n . I (x)1zdx = .  l (~)12 d1 o, más gene almen e : R n he beha io o he Fou ie ans o m es ic ion heo ems and mul iplie s esul s . i s in ended conec ing hem wi h he heo y o nume os y unciones Un espacio . d e unciones adecuadas (pa a quienes las ó mulas ido) es, po ejemplo,el espacio de Schwa z S(IR n )_ -_{ e C w (R n ) I  sup  IX' DS (x)  Ya , Be  N n } . x es en elacionado e Z papel, á eas an ma emá ica, po con eZ Zas es á en e las p opiedades de las piezas bási- y de y unciones adecuadas I Rn (x)_g(Íx dx= ,?n (~)g(~)d~ TI ienen sen- 17 7 Cla amen e la ó mula IIII nos pe mi e ex ende la ans o mación de Fou ie como un ope ado uni a io del espacio L 2 (p n L, (b) _Compo amien o con espec o a la de i a ción ,- Pa a n ~(R ) y odo muZ i-índice q e Ai n se e i ica que Es deci , la ans o mación de Fou ie con ie e a mo la de i ación,en o a mucho más sencilla como es la (c) Compo amien o con espec o a las anñ ma cidnés ciones y dila aciones . (i) Si de inimos la asZacion Ta (x) = (x+a), esul a (ii) Si P es una o ación al ededo del o igen enemos  P(~) = (P(~)) " (iii) Dado 6>0 conside amos la dila ación s(x) = (8x), en onces s(~) =6-n (ó-1 . ) (d) Una ó mula .-  La unción ~(x) c e-TT~x1 2 coincide con Podemos combina Zco iden idades (d) y (iii) de (c) pa a ó mulas  i e -nd1x i 2 (1) =d -n / 2 que exp esan una p ime a e sión de la dualidad en e y en el sen ido siguien e : Si " i e"-enuna bola de diáme o d-su ans o mada " i e" en la"bola dual", de diáme o d 1 , e cé e a . LB] EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE Una de las mane as posibles de p ecisa la obse ación p eceden e puede se la d esigualdad de Héisembe g : Supongamos que es una unción de cuad ado in- eg able y sean x ., C  dos pun os a bi a ios de IR n , enemos que, IRnIix-x 11 2 1 (x) 12dx]1'2  .1 lRnl1~-  ~ (~)  Zd~`112> Cn ~I ~ I 2 donde C n >0 es una cons an e que sólo depende de la dimensión . podemos oma  C1 = 4 ~ 17 8 oda unción del espacio una ope ación complicada,co- mul iplicación . . déZ n : aslaciones, o a- que T a (E)=e 21 i1 .a (E) . que su ans o mada  i =o ob ene la amilia de En pa icula La demos ación es an co a que podemos p esen a la en un momen o . Conside- emos el caso sencillo, pe o ípico, en el que n=2, x a =j ° = 0 y J? --I? es una acnción eal . Po un a gumen o de densidad bas a con p oba la desigualdad pa a unciones lisas . Tenemos que j  ¡  1/2 J m  2   i  -  (1  2 (X)  ~ 1'2 . (~ ~I (1) 12 d~l 1  (x) dx = -  2x (x)  (x)dx < 2  x  (x) dx <  4  ( x2 (X) 1 2 dx ~ 1/2 . . [ j2j (1) 1 2 d~~ 1/2 . Es a sencilla demos ación se debe a H . Weyl . Una caiaac e ís ica impo an e de ella eside en la u ilización de la ans o mada de Fbu lie como ins umen o ma emá ico adecuado pa a modela la mecánica cuán ica . Me ece la pena que nos de engamos un poco en es e pun o, conside ando el o malismo de la mecánica de una pa ícula unidimensional : (1) Un es ado de la pa ícula es una unción Te L Z(R), llamada la unción de ondas o ampli ud de p obabilidad . La in e p e ación se basa en la * hipó esis de que la p obabilidad de encon a a la pa ícula en el in e alo I C1? iene dada po í IT(x)Izdx ; na u almen e la p obabilidad o al debe se igual á 1, es  deci  I  I I T I12 = -1- (2) Un obse able es un ope ado simé ico T . La media de T en el es a- do T e D(T) iene dada po la in eg al u(T)= V(x) TT(x)dx . Dos obse ables muy impo an es, la posición y el momen o, es án asocia- dos,a los ope ado es siguien e Py(x) =x . Y' ,  D(P) = {T I T e Lz,  xTeL 2 } MT(x) =(2T i) -1DT(x), D(M) ={Y'IT e L 2 , T' e L2} . En pa icula , si calculamos el alo medio de M n = M ° ...° M en el es ado T, esul a que p(0) = ¡,n I~(1)1z d~ po el eo ema de Planche el . Resul a po lo an o na u ál conside a a j 19'0)1 1 d~ como la p obabi- lidad de que el momen o de la pa ícula se encuen e si uado en el ín e - a loICF . La in e p e ación de la desigualdad de Heise»be g es aho a muy sencilla : Si sabemos, con un e o pequeño, que la pa ícula es á en pun o x ° , la in eg al (  (x-x )z IT(x)I 2 dx )1 12 debe se muy pequeña y, po lo an o, cualquie a 1/2 11 que sea el pun o  C°,  la in eg al  (j  I Z-1 2  Iy (C)I 2 dE)  debe se muy g an- de (ya que el p oduc o de las dos es _> (4n) -1 , es deci que el e o come i do al medi el momen o es muy g ande, e c .e c . [ C ]D I FRACC I ON  DE  RAYOS  X En e los p oblemas más di íciles de la Química se encuen a el de descub i la es uc u a espacial de moléculas complicadas yuno de los mé odos más po- de osos que ienen a su alcance los químicos pa a esol e lo, es á basado en las p opiedades de di acción de ayos X a a és de c is ales . Desg aciadamen e no disponemos de iempo ni espacio pa a conside a con más de alle el mode- lo ísico y nos con en a emos con esboza las ma emá icas : Sea p(x) la unción de densidad elec ónica del c is al, p>0, y supongamos que en el expe imen o se - u iliza una adiación inciden e en o ma de un haz pa alelo de ayos monoc omá - 17 9 icos . _Sea P un pun o cuya d is ancia al c is al es muy g ande en compa ación _con _el amaño _del c is al . En es as ci cuns ancias la adiación di ac ada que llega aP, que podemos supone que lo ha sido po el mismo ángulo po odas las pa ículas del c is al, desc i a po la unción de ondas di ac ada 4'(y) . La e lación en e y y p iene dada po la ó mula de Fou ie (cuando las no malizacio nes adecuadas han sido omadas en cuen a) : 18 0 9'(y) =e ix . yp(x)dx . sólo el alo absolu o de T es conocido po expe imen os En la p ác ica an pues o que la ase de una unción de ondas se pie de, po lo gene al, en las medidas . EL PROBLEMA DE LA FASE consis e en encon a p conociendo el compo - amien o asin ó ico de Ipl . En un caso especial muy impo an e, s¢ la densidad p es á concen ada sob e una cu a de cu a u a y o sión po- si i a, la espues a es a i ma i a . Es e esul ado es á elacionado con el descub imien o de la es uc u alelicoidal del DNA . [D] TEOREMAS DE RESTRICCION A con inuación amos a conside a el esul ado siguien e de C . Fe e man, E . S ein y A . ZÍgmund : D  `J S 1 l (  )I q~(~) 1/q <A p,q Il II  Lp(1~2) Siemp e que e J (R Z ),  1 . < p <  - q >  3 , `1 - 1 1 .- V  . Es e esul ado es el p o o ipo de "Teo emas de es icción" po la azón siguien e : La desigualdad "a p io i" an e io implica que ' :LPT 2 ) -- .Lq(S 1 ) iene una ex ensión única aco ada . En p incipio , e Lp(14z) p >1, sólo es á de inida en casi odo pun o (es deci , sal o conjun os de medida ce o) y, sin emba go, el eo ema de es icción pe mi e habla de /S 1 como un ción de Lq(S 1 ) . Teo ema .- Conside emos en Fi n , n_>2, una cu a de clase C k , k>n, de ecuación y .  L0, 1, --> R n y supongamos que pa a odo pun o e [0,21 el conjun o de ec o es {y (k) ( )}  es linealmen e independien e . En onces exis e _ k=1,2, . . .,n  y p ~ q <- al que II lIL2 + .2n q (P)  CP, q II II L p ( ~n ) pa a oda e ;1 lR n ) y 1  n 24-2n-2- C 1 > n(n .1)  1 -?  (Es e eo ema de E . P es imi ha sido ecien emen e ex en- q _ 2  p dido po A . Ruíz al caso de cu as ales que, pa a odo , exis e N_>n al que {y (k) ( )}  gene al el espacio IR n ) . Idea de la démos ación .- Conside emos el caso ípico siguien e y( )=( , 2, 3), 0< <1 , n=3, Obse emos que, en es e caso, 1<<13 y p'> .1 2 (>6) . La p ime a idea consis e en usa un a gumen o de dualidad (desigualdad de 01- de , eo ema de Hausdo -Young . . .) pa a con e i el eo ema de es icción en o o de ex ensión (es deci ,de di acción de ayos X siguiendo con nues o lenguaje an e io ) . Sea ( ) una unción lisa y da la ans o mada de Fou ie de la dis ibu- ción da .¿Qué podemos a i ma ace ca del amañode dc? . Con un 6>0 pequeño conside emos un colla de Y dado po .  ~E .~ ~~(~) , donde ~ j es la un- ción ca ac e ís ica de un ec ángulo adap ad .o a la cu a en e2 pun o C j = =(j6, j 262 , j 3 6 3) (es deci un ec ángulo cen ado en E11 . y con dimensiones : 6-en la di ección angencial, 62 -en la no mal y6 3 -en la bino mal) . F 6 (1) =6  Z  (~ j ) ~j (Z) .  P Y .. j=1 Si hemos sido cuidadosos en la elección del colla es ácil e que F6(~)dC ---i da en el sen ido de las dis ibuciones . Nues o esul adose ía en onces una consecuencia inmedia a de la siguien e desigualdad : -8 ~~  ¡q'6)1/q1 6  II Ea Pj IIp , < C ( EIaj donde 1/p+1/p'=1, 1/q+1/q' = 1  son los exponen es dualesde los conside a- dos en el eo ema . Si enemos en cuen a que p'>6 y de inimos s po medio de la ó mula 3,+1 =1 3 1  p s I iz a ja ka , ~j ~k ~ll P'/3  dCI p' . 3  < CI iza ja kal ~j ; :V~k : :V~Z(x)IsdxI1/s .l/3 < < C( Elajakall'J I~j*~k : :~l(x)Isdx)s 3 siendo la úl ima desigualdad de bida a que el solapamien o de los conjun os sop(~ j :ap k 'P l ) es ini o,uni o - memen e en 6 . Hecho que puedep oba se po un sencillo a gumen ogeomé i- co que depende, c ucialmen e, de que la o sióny cu a u a de y son posi i- as . Po lo an o nues o p oblema queda educido a calcula : (i)II~j*~k*~l IL (ü) u{ sop(~j*~k  ~l)} . Teniendo en cuen a que el ec o angen e conside ado en el pun o ~ . ie- J ne dado po 6(4,2¿j,36 2 j 2 ), es ácil e que U{ sop(~j*~k`~l)} < (j±1) 2 , (k±1 )2(1±])2 I donde la sumaes áex endida a odas las posibles elecciones de signo en cada uno de los é minos . Es deci u { sop(~k*~kx~l)} <C66(l,j-k1+1)(Ik-Z1+11(IZ-jI+11 Obse emos aho a que  coincide con hJ4k'4111 pa e de sop{~ j *~ k ; ;~l } . Es deci d18+j*'Pk4l(x)dx > gll j *~k  ~1 I1~ .u{sop(~j*~k*~l)} y, Ilw ;*~ k *~ l ll- < C educido a calcula 6 12 (Ij-k l+1) (Ik-11+1)(11-á l+1) lajls la kls 4a,18 I(Ij-k1+1)(Ij-11+1)(11-kl+2 Is-1 ( n_1 I l g da) 1/q < C Il II L p ú n )? El mejo  esul ado conocido - en eG e sen ido ce debe . . . P . Tomab- : Teo ema .- Si 1 < p < 2(n +13  , n > 1, exis eC p <- alque ( Jsn-1  I (e)I2 dc(e) ) 1/2 < C P Il II p . en más de la no ena po an o : quedando nues o p oblema Cálculo que puede lle a se a cabo po los mé odo usuales de in eg ación acciona ia e in e polación . Es e esul ado es el mejo posible en el caso n =2, pe opa a n> 3 es un p oblema abie odecidi si se puede o no mejo a el exponen e p . O aex ensión muy impo an e del S ein-Zygmund consis e en man ene la codimensión plo, la siguien ep egun aes á po decidi , en el ¿Pa a qué pa ejas de exponen es p,q exis e la desigualdad a p io i siguien e las es icciones sob e eo ema de Fe e man- igual a uno . Po ejem caso n >3 : Es os esul ados ienenaplicaciones al p oblema de sumabilidad es é ica de se ies de Fou ie . El eo ema de Tomas ha sidoex endido po o os au o es, Có doba-S ein y S ickha z, a o as supe icies comoel cono en R n , u ilizando el mé odo de in e polacióncompleja de E .M . S ein . Resul- ados que ienen aplicaciones al es udio de cie as ecuaciones, del ipo de la de Klein-Go don,y que, jun o con los enómenos enconc ados en eo- ía de di e enciación de in eg ales (conjun osde Kakeyay Nikodym), pa- ecen apun a hacia una eo íade la medida más ina que la de Lebesgue .