Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMLN
FORMULAS
DE SUMACION
PARA
POLINOMIOSORTOGONALES
SOBRE
LEMNIS-
CATAS
.
Manuel
Al a o
Ga cía,
F ancisco
Ma cellán
Español
Dp o
.
de-Teo lá
de
Funciones
ETSI
Indus iales
Uni e sidad
de
Za agoza
Abs ac
:
We
ob ain
wo
summa ion
o mulas
o
o hogonal
polyno
mials
P
(z)}
dn
he
lemnisca es
L
o
de
ee
h
.
We
deduce
o
hem
some
congequences
abou
he
beha io
o
P
n
(z)
in
he
in e io ,
in
he
ex e io
and
on
he
cu e
L
.
El
obje o
de es e
abajo
es
ob ene
ó mulasde
sumaci6n
pa a
polinomioso ogonales
sob e
lemnisca asde
g ado
h,
es
deci ,
cu asde inidas
po
la ec
.uaci6n

¡A(z)~

=
R,
donde
A
(z)
es un
polinomio
complejo
de
g ado
hyR
es un núme o eal
po
si i o
.
Fó mulas
de es e ipo
se
han
ob enido
pa a
la
cu a
Iz2
-
11
=
1
(lemnisca a
de
Be nouilli)
en
[31
y
pa a
A(z)
de
a_i
ces
simples
en
[gJ
.

Es udia emos
aquí
el
caso
gene al
en
que
A(Z)
posee aíces
cualesquie a
.

De
las
ó mulas
de
sumaci6nde
deduci án
di e sos
esul ados
ace ca
del
compo amien o
de
los
polinomios
(PO)
en el
in e io ,en
el
ex e io
o
sob e
la
lemnis
ca a
(L)
.
Conside emos
la
descomposición

IIn
=
ARn-h
(D
(A11
n-h)
-L

(10
donde
II
n =
{polinomios
de
g ado
!!
n}
y
AII
n-h
=
{polinomiosde
la
o ma A(z)P(z)
con
P(z)
e
11
n
_h
}
.

En
(AII
n-h
)
.L
conocemos
dos
ba
ses

(

~
n
(z,j)

7

j=0,
. .
.
.
h-1

)

y

(

V)
n
(z,j)

:

j=0,
. . . .
h-1

)

in-
oducidas
espec i amen e
en
[2J
y
[7]
.
Como
el
n-núcleo
Kn
(z,y)
P
h
(y)
.
Ph
(z)
e
II
n
es udiando
su
descomposición
según
(1)
se
0
13
7
llega
a

(S-I)
:
_
2
_n
^

h-1
[R

A(y)A(zQ
.-
1
1K
n
-h(z,Y)

_

P
j
(Y)
'
R'
(z)

-

,
c
j

n
(~
y~i"
n
(z
.j)
n
~+1

j
i=0
ó mula
de
sumacibn,
gene alización
de
la
S-1
ob enidapa aPO
se
b e
la
ci cun e encia
unidad
en
[1]
( e
ambién
[6]
y
[10])
.
O a i made
ob ene
una
ó mula
de
sumacibn
consis e
en es
udia di ec amen e
la
descomposición
según
(1)
del
polinomio
[A(y)A(z)
-
R
2
]K
n
-h(z,Y)
.

Haciendo
uso
de
las
o mulas
de ecu-
encia
(
e
[8]
y
[9]
)
y
as
ope aciones
adecuadas
se
dedu-
ce
(S-II)
n-h
LR
2
A
(y)A(z)

-
1]K
n-h
(z'Y)

=
Z

AP
j
(y)
ÁP
j
(z)
n-2h+1
h-1
-

c¡k
-h
~
n-h
cy'ly
~~
n-
h
(z,k)
i,k=0
gene alización
de la
ó mula
S-2
de
x_11
.
NOTAS
.
1 .-
(S-I)
y
(S-II)
pueden
deduci se
di ec amen e
una
de
o a
median e
un
cálculo
sencillo,
haciendo
uso
de
las
ó mu-
las
de
ecu encia
.
2.- Si
en
(S-I)
hacemos
y =
z
queda
:
n
jR

2JA(z)
12

-

1
jK
n
-h(z
,
z)

_

1P
j
(z
.)
12

-

H
n
(z)

(2)
.n-h+l
donde
Hn
(z)
es
la
o ma
cuad á ica
de inida
posi i a
:
_h-1
c
(n
~
n
,z
,
i)

~
n
(z
.j)
i,j=0
De
es a
exp esión
se
sigue
que
:
n
z
es
ex e io a L
<===>

1Pj(z),2
>
Hn(z)
n-h+l
z
es in e io
a L
<===>

<
Hn(z)
z

e

L

<===>

e

11

11

=

Hn
(z)
.
En
pa icula
si
z
es ex e io
a L
se
iene
que
K
n
(z,z)
>
H
n
(z)
y
si
z
es
in e io
a
L
se
e i ica
que
H
n
(z)
>
lpn(z)l2
13
8
3 .-
De la
no a
an- e io
se
deduce
:
a)

Si

z

es

in e io
aL

IPn(Z)1

1
1 1
Tn
I 1
2
11%'12

donde

%

Y
1n
ep esen an,
espec i amen e
los
ec o es
(~
n
(y'j))
.
(0n(z'J))
"
b)
Si
z
es
in e io
a
L

^

n_
I
P
n
(z)
I
<
~
.
1/oii
I~
n
(z~i)
.
Si en
i=0
(n
pa icula
hacemos

z
= a
j
,
aíz
de
A(z),
esul a

jPn(aj)I
2<c(n
4
.-
Si
z0
es
aíz
de
los
h
,
polingmios
consecu i os
P
j
(z)
con
j=n-h+l,
.
...
n

en onces

z0
es
in e io
a L 6
es
pun o
sin-
.
gula
de la
o ma
Hn
(z),
en
cuyocaso
z0 e
L
.

Recíp ocamen e
;
si
z0
es
pun osingula de
Hn
(z)
en onces
z0
es
ex e io
°
a L
6
es
aíz
de
los
polinomios
P
j
(z)
con
j=n-h+l,
. . . .
n
y
en
es e
caso,
z
u
e L
.
5 .-
A
pa i de
(2)
se
sigue
que
:
z
ex e io
a
L
z
in e io
a
L
.3
:1
I

()I
2
_
k
¡In(z)1
2
_
BIBLIOGRAFIA
IPn-h(z)I2
>
H
n
(
z
)
-
IPn-h(z)I2
<
H
n
(
z
)
-
H
n-1
(z)
Hn
_1(z)
.
ALFARO,M
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pa amé ica
de
polinomios
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so
b e
la
ci cun e encia
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