Fórmulas de sumación para polinomios ortogonales sobre lemniscatas

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMLN FORMULAS DE SUMACION PARA POLINOMIOSORTOGONALES SOBRE LEMNIS- CATAS . Manuel Al a o Ga cía, F ancisco Ma cellán Español Dp o . de-Teo lá de Funciones ETSI Indus iales Uni e sidad de Za agoza Abs ac : We ob ain wo summa ion o mulas o o hogonal polyno mials P (z)} dn he lemnisca es L o de ee h . We deduce o hem some congequences abou he beha io o P n (z) in he in e io , in he ex e io and on he cu e L . El obje o de es e abajo es ob ene ó mulasde sumaci6n pa a polinomioso ogonales sob e lemnisca asde g ado h, es deci , cu asde inidas po la ec .uaci6n  ¡A(z)~  = R, donde A (z) es un polinomio complejo de g ado hyR es un núme o eal po si i o . Fó mulas de es e ipo se han ob enido pa a la cu a Iz2 - 11 = 1 (lemnisca a de Be nouilli) en [31 y pa a A(z) de a_i ces simples en [gJ .  Es udia emos aquí el caso gene al en que A(Z) posee aíces cualesquie a .  De las ó mulas de sumaci6nde deduci án di e sos esul ados ace ca del compo amien o de los polinomios (PO) en el in e io ,en el ex e io o sob e la lemnis ca a (L) . Conside emos la descomposición  IIn = ARn-h (D (A11 n-h) -L  (10 donde II n = {polinomios de g ado !! n} y AII n-h = {polinomiosde la o ma A(z)P(z) con P(z) e 11 n _h } .  En (AII n-h ) .L conocemos dos ba ses  (  ~ n (z,j)  7  j=0, . . . . h-1  )  y  (  V) n (z,j)  :  j=0, . . . . h-1  )  in- oducidas espec i amen e en [2J y [7] . Como el n-núcleo Kn (z,y) P h (y) . Ph (z) e II n es udiando su descomposición según (1) se 0 13 7 llega a  (S-I) : _ 2 _n ^  h-1 [R  A(y)A(zQ .- 1 1K n -h(z,Y)  _  P j (Y) ' R' (z)  -  , c j  n (~ y~i" n (z .j) n ~+1  j i=0 ó mula de sumacibn, gene alización de la S-1 ob enidapa aPO se b e la ci cun e encia unidad en [1] ( e ambién [6] y [10]) . O a i made ob ene una ó mula de sumacibn consis e en es udia di ec amen e la descomposición según (1) del polinomio [A(y)A(z) - R 2 ]K n -h(z,Y) .  Haciendo uso de las o mulas de ecu- encia ( e [8] y [9] ) y as ope aciones adecuadas se dedu- ce (S-II) n-h LR 2 A (y)A(z)  - 1]K n-h (z'Y)  = Z  AP j (y) ÁP j (z) n-2h+1 h-1 -  c¡k -h ~ n-h cy'ly ~~ n- h (z,k) i,k=0 gene alización de la ó mula S-2 de x_11 . NOTAS . 1 .- (S-I) y (S-II) pueden deduci se di ec amen e una de o a median e un cálculo sencillo, haciendo uso de las ó mu- las de ecu encia . 2.- Si en (S-I) hacemos y = z queda : n jR  2JA(z) 12  -  1 jK n -h(z , z)  _  1P j (z .) 12  -  H n (z)  (2) .n-h+l donde Hn (z) es la o ma cuad á ica de inida posi i a : _h-1 c (n ~ n ,z , i)  ~ n (z .j) i,j=0 De es a exp esión se sigue que : n z es ex e io a L <===>  1Pj(z),2 > Hn(z) n-h+l z es in e io a L <===>  < Hn(z) z  e  L  <===>  e  11  11  =  Hn (z) . En pa icula si z es ex e io a L se iene que K n (z,z) > H n (z) y si z es in e io a L se e i ica que H n (z) > lpn(z)l2 13 8 3 .- De la no a an- e io se deduce : a)  Si  z  es  in e io aL  IPn(Z)1  1 1 1 Tn I 1 2 11%'12  donde  %  Y 1n ep esen an, espec i amen e los ec o es (~ n (y'j)) . (0n(z'J)) " b) Si z es in e io a L  ^  n_ I P n (z) I < ~ . 1/oii I~ n (z~i) . Si en i=0 (n pa icula hacemos  z = a j , aíz de A(z), esul a  jPn(aj)I 2<c(n 4 .- Si z0 es aíz de los h , polingmios consecu i os P j (z) con j=n-h+l, . ... n  en onces  z0 es in e io a L 6 es pun o sin- . gula de la o ma Hn (z), en cuyocaso z0 e L .  Recíp ocamen e ; si z0 es pun osingula de Hn (z) en onces z0 es ex e io ° a L 6 es aíz de los polinomios P j (z) con j=n-h+l, . . . . n y en es e caso, z u e L . 5 .- A pa i de (2) se sigue que : z ex e io a L z in e io a L .3 :1 I  ()I 2 _ k ¡In(z)1 2 _ BIBLIOGRAFIA IPn-h(z)I2 > H n ( z ) - IPn-h(z)I2 < H n ( z ) - H n-1 (z) Hn _1(z) . ALFARO,M . "Teo ía pa amé ica de polinomios o ogonales so b e la ci cun e encia u%idad" Re .Acad .Ci .Za agoza (2) 29 (1974) 5-79 . [2] ALFARO,M . P4ARCELLAN,F . "Exp esionesde in e polaciónpa a Po sob e cassinianas" . Comunicación a las V Jo nadas Ma . Luso-Españolas . A ei o,1978 . ATENCIA,E . "PO ela i os a la lemnisca a de Be nouilli" (Tesis doc o al) Za agoza, 1974 . [4]  FREUD,G . O hogonalpolynomials .  Pe gamon P ess, 1971 [5]  MARCELLAN,F . "PO sob e cassinianas" (Tesis doc o al) Za- agoza,1976 . L6] GERONIMUS,YA .L . O hogonalpolynomials in he uni ci cle Consul an s Bu eau, 1961 . [7]  MARCELLAN,F . "Es udio de una basede (AIIn-hj1 " Ac as de IV Jo n .Ma .Hisp.-Luaas .p .97-110 . Za agoza,1980 . L8]  MARCELLAN,F . "Una no a sob e elaciones de ecu encia pa a PO sob e cassinianas" Comunicación al ICM . Hel- sinki,1978 . MARCELLAN,F . "Exp esiones de ecu encia pa a PO sob eca ssinianas" Comunicación a V Jb n .Ma .Luso-Españolas A ei o,1978 . F10I SZEGO,G . O hogonal polynomials . Coll .Pub . n° 23 AMS .1966