Pub
.
Ma
.
UAB
No 21
Oc
.
1980
Ac os
VII
JMHL
GRUPOS
CICLICOS
DE
AUTOMORFISMOS
DE
SUPERFICIES
DE
RIEMANN
COM-
PACTAS
Y
NO
ORIENTABLES
O
Emilio
Bujalance
Dp o
.
de
Geome ía
y
Topología
Uni e sidad
Complu ense
de
Mad id
Abs a
.c
:
In
his
wo k
we will ind
he
minimun
genuso
a
ccmpac
non

o ien able
Riemann
Su a
.ce,
ha inga
.
gi e
.
cyclic
g oup
o
.
au omo phisms
.
Po
his
we
ca ac e izo
he
p ope
N
.E
.C
.
g oups
o
which
he é
is
a
non-o ien able
Su ace-
Ke nelbomomo phism
.
In
he
las pa
o
his
pape
we gi e
a
bou id
depending
o
:
he
genus,
o he
o de
o
he
cyclic
g oups
o
au omo phisms
o
ccmpac
Klein
Su aces
wi hou
bou da y,
and
cyclicg oups
o
au omo ph
.isms
ea
.ching
he
bound
a
. e
cb ained
.
1
.
In oducción
Una
.
Supe icie
de
Riem¿ n ¡
compac a
y
no
o ien able
es
una
Súpe icié
de
Klein
cci ~pac a,
o
o ien i5
.
.ble
y
si _
bo de
En
es e
abajo
amos
a
encon a
el
mí imo
géné o
de
és as
Süpé icies
que
ienen
un
de e minado
g upo
cíclico
de
au omo ismos
.
El
p oblema
co espondien e
en
el
caso
de
Su-
pe icies
de
Riemann
compac as
y
o ien ables
ha sido
esuel o
po
Na ey
en
(2)
.
En
(§2) se
dan
.
algunos
esul ados
sob e
los
g upos
de
au omo ismos
de
Supe icies
de
Riema uz
compac asy
no
o ien-
ables
.
En
(53) se
ca ac e izan
los
g upos
N
.E .C
.
p opios,
pa a
.
los
que
exis e
un
homomo ismo
en
un
g upo
cíclicocuyo
nucleo
es
el g upode
una
Supe icie
no
o ien able
.
En
(94)
se
esuel e
el
p oblema
.
del
mínimo
géne o
.
Y
po
úl imo
en (15)
89
se da
.
una
co asupe io
en
unción
del
géne o
pa - el
o den
de
los
g upos
cíclicos
de
au omo ismos
de
Supe icies
de
Klein
compac as
y
si -
bo de,
y
se
ob ienen
g upos
de
au omo ismos
que
la
alcanzan,
en el
caso
de
Supe icies
de
Klein
ccmxia.c a
.s
y
con
bo de,
es aco aha sido
ob enida
po May
en
(3)
.
2
.
S ipe icies
de
Rieman
n
com1)a
c
as
y
no
.
o ien ables
J
Un
g upo
c is alog á ico
no
Euclideo,
g upo
N
.E .C
.,
es
un
subg upo
disc e o[
-
del
g upo
G
de
isome ías
del
plano
o
Euclideo,
incluyendo
lasque
in ie en
la
o ien ación
.
F
es
un
g upo
N
.E .C
.
p opio
si no
es
un
g upo
Fuchsiano,
y
se
deno-
a
po
el
g upo
Fuchsiano
n
G~
Un
g upo
N
.E .C
.

(-
g
es el
g upo
de
una
Supe icie
no
c ie -
able,
si
g
ienela
siguien e
signa u a
:

(g
;
4-
;
J-]
;
~-?
),
y
un
g upo
N
.E .C
.
p
es el
g upo
de
una
Supe icie
o
o ien a-
ble
si
p
iene
la
siguien e
signa u a
:
(p
;-
;[
]
;~
-
1
)
Da
.d
o
p,
enemos
que
el
espacio
de
ó bi as
D/
p
(donde
D
es
C*)
esuna
Supe icie
no
o ien able
de
géne op
.
La
p oyección
canónicaR
:D---
>D/(
-p
induce
una
es uc u a
bia
.n
a.lí-
ica
en D/
p,
que
es ablece
en D/
p
una
es uc u a
.
d
e
Supe i=
cie
de
Rieman
.n
compac a
y
no
o ien able,
de
géne op
.
Como
consecuencia
de
los
esul ados
dados
po
Singe man
en
(4)
se
es ablece
el
siguien e
eo ema
.
C2
.1)
Teo ema
Si
G
es
un
g upo
ini o,
G
es
el
g upo
de
au omo ismos
de
una
Supe icie
de
Riemann
compac a
y
no
o ien able
de géne o
p
:
1
3
.
..
3
.
Homomo ismos
cuyos
núcleos
so ,
g uposde
Supe icies
no
o ien ables
.
(3
.1)
De inición
Un
homomo ismo
6
de un
g upo
N
.E .C
.
en
un
g upo ini-
o
H
es
un
homomo ismo
cuyo
nuclec
es
el
g upo
de
una
Supe -
icie
no
o ien able,
si
Ke
A
es
el
g upo
de
una
Supe icie
y
0((
+
)
= G
.
90
(3
.2)
-
Teo ema
Sea
un
g upo
N
.E
.C
.
p opio
de
signa u a
(E
;
4-
;
[ml
. .
.m-zl
;
~
(-)(-
.)
.
.
.k
. .
.(-)})
y
sea
Z/(n),
n
pa
.
En onces
exis e
un
homomo ismo
cuyo
u-
cleo
es
el
g upo
de
una
Supe icie
no
o ien able
e
: -->Z/(n)
si
y
sólo
si
i)
mi n

dieI
I
=
11,
. .
.,Y~
(
n
ii)

si
g=0

k=l,

exis e
,
HcI
al
que
m
.c .d
.¡(-
mi,ieH)
1
(3
.3)
Teo em
a
Sea
un
g upo
N
.E .C
.
p opio
de
signa u a
.
(g
;-
;[mi
...
m
7
;
;

)
y
sea
Z/(n),
n
pa
.
En onces
exis e
n
homomo ismo
cuyo
nu-
I
clec
es el
g upo
de
una
Supe icie
no
o ien able
e
: -->"Z/(n)
si
y
sólo
si

i)

mi n
~isl

I
=¡1,2,
. .
.,Z}
ii)
si
k=0,

~
mi
=
2
y además
:
a)

si
g=1

3
Hoz
al
que
m
.c
.d
.C(
mi)
i
.H'

1
b)
si
g=2
y
.
-'
n

-
4(n),
3
HcI
y
3pi,q,p, E
iE
I

mi
lI-'- '--n
y
gl2p=
2
L
al
que

npi

-

1(
~
.
n
)
i
q
g
1(n)
icH
mi

2
i=l
mi
Z
3
.4)
T
eo em
a
.
Sea
un
g upo
N
.E
.C
.
p opio
de
signa u a
(g;-
;[m,
.
.
.m
z])
y
sea
Z/(n),
n
impa
.
En onces
exis e
un
homomo ismo
cuyo
nucleo
es el g upo
de
una
Supe icie
.o
o ien able
9
: -->
Z/(n)
si
y

sólo

si

i)

mi n

V
ic-I

I

={1,
.
.
.Z~
n
=
ii)

si
g=1

3
H<-I
al
que
m
.c .d
"

1
((
m
;)IEH)
4
Géne
o
mínimo
(4
.1)
Teo ema
Si N=q,
q
p imo,
el
mínimogéne o
p
de
una
Supe icie
de
Riema an
compac a
y
no
o ien able
con
el g upo
de
au omo ismos
isomo oa
Z/(n)es
:

si

q=2

p=3
si
q~2
p=q
9
1
(4
.2)
-
Teo ema
Si
N =
210,~
. .
.g a
o
a
Z/(N)
es
p =
21
.
N - N - N
do
.d
e
2zg
1
.Z
. .
.lg
a
,
y
gl
. .
.qa
p imos
.
El
mínimogéne op
de u
.a
Su.pe ici
.e
de
Riem
.a n
compac a
y
no
o ien able
co
.
el
g upo
de
au omc ismos
isomo o
a
Z/(N)
es
=
p

2
i .
N - N
2
ql
Teo
ema
Si
N =
q1
.
.
.q
.,
dcnde
ql
<q
2
<
. .
<qdy
gl'q2,
..
.qa
p imosy
ql

2,
el
mínimogéne o
p
de
una
.
Supe icie
de
Riemann
com=
pac a
y
no
o ien able,
con
el
g upode
au
. omo ismos
isomo -
ql
q2
X4
.4)
Teo em
a
Si N=2 ,
siendo
ol, el
mínimogéne op
de
una
Supe i-
cie
de
Riema in
compac a
y
no
o ien able,
con
el
g upo
de
au-
omo ismos
isomo oa
Z/(N)
es
p = 1 1 2
(4
.5)
Teo
ema
.
2
p imo,
y
Al,
el
mínimogéne o_p
de
u
:a
Supe icie
de
Riemann
compac ay
no
o ie a
.ble
con
el
g upo
de
au omo ismcs
isomo oa
Z/(N)
es
p = 1
4-
N
-
E
ql
mo ismcs
Si
'N=qi
,

siendo
6
.
Co aSupe io

s
~
a
.
el o
den
de
_
los
g upos
cícli
cos
de
au o-
Una
Supe icie
de
K7ein
compac a
y
sin
.
bo de,
o
es
u
.a
;
Supe icie
de Riema in
compac a
y
no
o ien able,
o
es
compac-
a
y
o ien able
.
2
En
las
Supe icies
de
Riemann
compac as
y
o ien ables
áe
géne o
g,
el
máximo
o den
de
los
g uposcíclicos
de
au o-
no ismos
es
2(2g11),
e
(5),
y
es e
o denpuede
.
alcanza se
.,
En
las
Supe icies
de
Riemann
compac as
y
no
o ien ables,
de
géne o
p,
los
eo emas
del
(55)
pe mi en
es ablece
una
io a
pa a
el
máximo
o den
de
los
g uposcíclicos
de
au omo -
ismcs,
que
es
6(p-2),
y
es e
o den
siemp e
puede
alcanza se
.
92
Re e encias
(1)
ALLING,N
.L
.
and
GREENLEAF,N
.
Founda ions
o
he
heo y
o
Klein
Su aces
.
Lec u es
No es
219
(1
.971)
(2)
HARWEY,W
.J
.
Cyclic
g oups
o
au omo phisms
o
compac
RiemannSu ace
.
Qua
.
J
.
Ma
h
.
.Ox o d
(2)
17
(1
.966)
(3)
MAY,C
.L
.
Cyclic
au omo phism
g oups
o
compac
bo de ed
Klei
.
Su aces
.
Hous on
J
.
Ma h
.
3 (1
.977)
(4)
SINGERMAN,D
.
Au omo phisms
o
compac
non-o ien able
Riemann
Su aces,
Glasgow
.
J
.
Ma h
.
(1
.971)
(5)
WIMAN,A
.
Vebe
die
hype llip ischan
Cu en
und
diejenigen-
on
Geschlech e
p=
.3,
welche
ein
deuligen ans o ma ion
in sich
zulassen
.
BihanKongl
S enska
Ve ens
Kaps-Akademiens
Haudlinge
(S ockolm
1
.895-6)