Grupos cíclicos de automorfismos de superficies de Riemann compactas y no orientables

Pub . Ma . UAB No 21 Oc . 1980 Ac os VII JMHL GRUPOS CICLICOS DE AUTOMORFISMOS DE SUPERFICIES DE RIEMANN COM- PACTAS Y NO ORIENTABLES O Emilio Bujalance Dp o . de Geome ía y Topología Uni e sidad Complu ense de Mad id Abs a .c : In his wo k we will ind he minimun genuso a ccmpac non  o ien able Riemann Su a .ce, ha inga . gi e . cyclic g oup o . au omo phisms . Po his we ca ac e izo he p ope N .E .C . g oups o which he é is a non-o ien able Su ace- Ke nelbomomo phism . In he las pa o his pape we gi e a bou id depending o : he genus, o he o de o he cyclic g oups o au omo phisms o ccmpac Klein Su aces wi hou bou da y, and cyclicg oups o au omo ph .isms ea .ching he bound a . e cb ained . 1 . In oducción Una . Supe icie de Riem¿ n ¡ compac a y no o ien able es una Súpe icié de Klein cci ~pac a, o o ien i5 . .ble y si _ bo de En es e abajo amos a encon a el mí imo géné o de és as Süpé icies que ienen un de e minado g upo cíclico de au omo ismos . El p oblema co espondien e en el caso de Su- pe icies de Riemann compac as y o ien ables ha sido esuel o po Na ey en (2) . En (§2) se dan . algunos esul ados sob e los g upos de au omo ismos de Supe icies de Riema uz compac asy no o ien- ables . En (53) se ca ac e izan los g upos N .E .C . p opios, pa a . los que exis e un homomo ismo en un g upo cíclicocuyo nucleo es el g upode una Supe icie no o ien able . En (94) se esuel e el p oblema . del mínimo géne o . Y po úl imo en (15) 89 se da . una co asupe io en unción del géne o pa - el o den de los g upos cíclicos de au omo ismos de Supe icies de Klein compac as y si - bo de, y se ob ienen g upos de au omo ismos que la alcanzan, en el caso de Supe icies de Klein ccmxia.c a .s y con bo de, es aco aha sido ob enida po May en (3) . 2 . S ipe icies de Rieman n com1)a c as y no . o ien ables J Un g upo c is alog á ico no Euclideo, g upo N .E .C ., es un subg upo disc e o[ - del g upo G de isome ías del plano o Euclideo, incluyendo lasque in ie en la o ien ación . F es un g upo N .E .C . p opio si no es un g upo Fuchsiano, y se deno- a po el g upo Fuchsiano n G~ Un g upo N .E .C .  (- g es el g upo de una Supe icie no c ie - able, si g ienela siguien e signa u a :  (g ; 4- ; J-] ; ~-? ), y un g upo N .E .C . p es el g upo de una Supe icie o o ien a- ble si p iene la siguien e signa u a : (p ;- ;[ ] ;~ - 1 ) Da .d o p, enemos que el espacio de ó bi as D/ p (donde D es C*) esuna Supe icie no o ien able de géne op . La p oyección canónicaR :D--- >D/( -p induce una es uc u a bia .n a.lí- ica en D/ p, que es ablece en D/ p una es uc u a . d e Supe i= cie de Rieman .n compac a y no o ien able, de géne op . Como consecuencia de los esul ados dados po Singe man en (4) se es ablece el siguien e eo ema . C2 .1) Teo ema Si G es un g upo ini o, G es el g upo de au omo ismos de una Supe icie de Riemann compac a y no o ien able de géne o p : 1 3 . .. 3 . Homomo ismos cuyos núcleos so , g uposde Supe icies no o ien ables . (3 .1) De inición Un homomo ismo 6 de un g upo N .E .C . en un g upo ini- o H es un homomo ismo cuyo nuclec es el g upo de una Supe - icie no o ien able, si Ke A es el g upo de una Supe icie y 0(( + ) = G . 90 (3 .2) - Teo ema Sea un g upo N .E .C . p opio de signa u a (E ; 4- ; [ml . . .m-zl ; ~ (-)(- .) . . .k . . .(-)}) y sea Z/(n), n pa . En onces exis e un homomo ismo cuyo u- cleo es el g upo de una Supe icie no o ien able e : -->Z/(n) si y sólo si i) mi n  dieI I = 11, . . .,Y~ ( n ii)  si g=0  k=l,  exis e , HcI al que m .c .d .¡(- mi,ieH) 1 (3 .3) Teo em a Sea un g upo N .E .C . p opio de signa u a . (g ;- ;[mi ... m 7 ; ;  ) y sea Z/(n), n pa . En onces exis e n homomo ismo cuyo nu- I clec es el g upo de una Supe icie no o ien able e : -->"Z/(n) si y sólo si  i)  mi n ~isl  I =¡1,2, . . .,Z} ii) si k=0,  ~ mi = 2 y además : a)  si g=1  3 Hoz al que m .c .d .C( mi) i .H'  1 b) si g=2 y . -' n  - 4(n), 3 HcI y 3pi,q,p, E iE I  mi lI-'- '--n y gl2p= 2 L al que  npi  -  1( ~ . n ) i q g 1(n) icH mi  2 i=l mi Z 3 .4) T eo em a . Sea un g upo N .E .C . p opio de signa u a (g;- ;[m, . . .m z]) y sea Z/(n), n impa . En onces exis e un homomo ismo cuyo nucleo es el g upo de una Supe icie .o o ien able 9 : --> Z/(n) si y  sólo  si  i)  mi n  V ic-I  I  ={1, . . .Z~ n = ii)  si g=1  3 H<-I al que m .c .d "  1 (( m ;)IEH) 4 Géne o mínimo (4 .1) Teo ema Si N=q, q p imo, el mínimogéne o p de una Supe icie de Riema an compac a y no o ien able con el g upo de au omo ismos isomo oa Z/(n)es :  si  q=2  p=3 si q~2 p=q 9 1 (4 .2) - Teo ema Si N = 210,~ . . .g a o a Z/(N) es p = 21 . N - N - N do .d e 2zg 1 .Z . . .lg a , y gl . . .qa p imos . El mínimogéne op de u .a Su.pe ici .e de Riem .a n compac a y no o ien able co . el g upo de au omc ismos isomo o a Z/(N) es = p  2 i . N - N 2 ql Teo ema Si N = q1 . . .q ., dcnde ql <q 2 < . . <qdy gl'q2, .. .qa p imosy ql  2, el mínimogéne o p de una . Supe icie de Riemann com= pac a y no o ien able, con el g upode au . omo ismos isomo - ql q2 X4 .4) Teo em a Si N=2 , siendo ol, el mínimogéne op de una Supe i- cie de Riema in compac a y no o ien able, con el g upo de au- omo ismos isomo oa Z/(N) es p = 1 1 2 (4 .5) Teo ema . 2 p imo, y Al, el mínimogéne o_p de u :a Supe icie de Riemann compac ay no o ie a .ble con el g upo de au omo ismcs isomo oa Z/(N) es p = 1 4- N - E ql mo ismcs Si 'N=qi ,  siendo 6 . Co aSupe io  s ~ a . el o den de _ los g upos cícli cos de au o- Una Supe icie de K7ein compac a y sin . bo de, o es u .a ; Supe icie de Riema in compac a y no o ien able, o es compac- a y o ien able . 2 En las Supe icies de Riemann compac as y o ien ables áe géne o g, el máximo o den de los g uposcíclicos de au o- no ismos es 2(2g11), e (5), y es e o denpuede . alcanza se ., En las Supe icies de Riemann compac as y no o ien ables, de géne o p, los eo emas del (55) pe mi en es ablece una io a pa a el máximo o den de los g uposcíclicos de au omo - ismcs, que es 6(p-2), y es e o den siemp e puede alcanza se . 92 Re e encias (1) ALLING,N .L . and GREENLEAF,N . Founda ions o he heo y o Klein Su aces . Lec u es No es 219 (1 .971) (2) HARWEY,W .J . Cyclic g oups o au omo phisms o compac RiemannSu ace . Qua . J . Ma h . .Ox o d (2) 17 (1 .966) (3) MAY,C .L . Cyclic au omo phism g oups o compac bo de ed Klei . Su aces . Hous on J . Ma h . 3 (1 .977) (4) SINGERMAN,D . Au omo phisms o compac non-o ien able Riemann Su aces, Glasgow . J . Ma h . (1 .971) (5) WIMAN,A . Vebe die hype llip ischan Cu en und diejenigen- on Geschlech e p= .3, welche ein deuligen ans o ma ion in sich zulassen . BihanKongl S enska Ve ens Kaps-Akademiens Haudlinge (S ockolm 1 .895-6)