Pub
.
Ma
.
UAB
N° 21
Oc
.
1980
Ac es
VII
JMHL
CONEXIONES
DE
ORDEN
k
Manuel
de
León
Rod iguez
Dp o
.
de
Geome ía
y Topología
Uni e sidad
de
San iago
de
Compos ela
ABSTRACT
A
connec ion
o
o de
k
on
a
mani old
M
is a
di e en ia-
ble
ec o
1- o
-
m
on
T
k
M
sa is ying
J
1
T=
J
1 ,
FJ k=
-J
k
.
Unde
somehipo hesis,
a
de i a ion
law
_9
in
he
,
:(T
k
M)-module
X
(T
k
M)
induces
on
M a
connec ion
P
o
o de
k
.
We
ob ain
he
ela ionship
be ween
geodesics
o
0
and
pa hs
o
.
Finally,we
de ine
he
p olonga ions
o
a
connec ion
on
M
o a
connec ions
k
o o de
k
.
§1 .-
P elimina es
.
COMUNICACION
Sea
M
una
a iedad
di e enciable
n-dimensional
pa acompac-
a
.
Deno amos
po
Y
(M) el
álgeb a
de
las
unciones
con
alo es
eales
en
M,
y
po
)É(M)
el
j(M)-módulo
de
los
campos
de
ec _o
es
en
M
.
El ib ado angen e
de
o den
k,
T
k
M, de
M
es
la
a íe
dad
de
(k+1)n-dimensional
de
los
k-je s
en
OCR
de
aplicaciones
di e enciables
:
R
-
M
.
T
k
M
posee
ina
es uc u a
ib ada
-
na u al
sob e
M
con
p oyección
canónica
uk
.

T
1
M
no es
másque
-
el
ib ado
angen e
TM de
M
.
T
k
M
se á
TkM sin
la
sección
nula,
yV
T k
(T
k
M)
el
ib ado ec o ial
sob e
TkM
cons i uido
po
aque-
llos
ec o es
de TT
k
M
que
se
p oyec an
en
0
po
nk
.
Sea
(U,x
l
)
un en o nocoo denado
de
M
;

deno amos
po
(y(O)i,
y
Mi

,
y
(k)¡)
el
sis ema
de
coo denadas
inducidas
en
i k
1
(U)
.
Sean
J
1
,J
Z
-,J
k
los
endomo ismoscanónicos
de
TkM
;
espec o
a
las
coo denadas
inducidas,
se
exp esanlocalmen e
po
00
.
00]
0
0
.
0 0
I 0
.
0 0
J
2'
§2
.-
Conexiones
de
o den
k
.
ik=
-Jk
po
las
homo ecias
posi i as
.
56
00
.00

00
.00
0 0
.
0 0

1 0
.
0 0
'
k'
I 0
.
0
0'
0 I
.
0
01
Ck=

(0,

y(
1
),

2y(
2
),
.
...
ky
(k)
)
y
Si es
h(1),
la
conexión
se
dice
homogénea
.
.
h=
2
- .
(I+P)
,

=
2
(I- )
0 0
.
1
0
Sea
Ck el
campo
canónico
de
Tk
M
;
en
un
pun o
de
coo dena-
das

(y(0),

y(
1
),
.
...
y(k»
se

exp esa

po
Ck
gene a
el
g upo
1-pa amé ico
de
las
homo ecias
posi i-
as
de
T
k
M
;,po an o,
la
homogeneidad
de
unciones
y
o mas
se
ca ac e iza
como
sigue
:
Una
unción
en
T
k
M,
C'
en
TkM
( esp
.
una
p- o maescala
w,
una
1= o ma
ec o ial
L)
es
homo
génea
de
a ado
(h( ))
si
"
( esp
.
-?C
w=
w,
[C
k
,L]=
( -1)L)
.
k
De inición
.-
Una
conexión
en
M
de o den
k
es
una
1- o ma
ec o ial
en
TkM, C
°°
en
T
k
M,
al que
Una
conexión
P
en
M
de
o den
k
de ine
una
es uc u a
ca-
si-p oduc o
en
T
kM
.
Así,
exis en
dos
p oyec o es
asociados
cano
nicamen e
a
P
Si P es
h(1),
los
subespaciosho izon ales
son
in a ian es
Si
es
una
conexión
en
M
de
o den
k,
se
exp esalocalmen-
e
po
la
ma iz
:
V
.(jka)'=
I

0
0
-2 (1)
-I
o
-2
(2)

0-I
0
0
0
De inición
.-
Una
cu a
a
en
M
se
dice
un
camino
de
si
la
p olongación
k-ésima
de
a a TkM,
jka
es
ho izon al,
i
.e
.
0
.
Si
es
homogénea,
sus
caminos
se
denominangeodésicas
.
Los
caminos
de
una
conexión
sa is acen
el
sis emade ecuaciones
di e enciales
:
ce
egula
(LDR)
si
+1
_1

d

xj

+
(
)'J

dx
;
d
+1

d
§3
.-
Leyes_
de
de
i ación
en
,%E(T
k
M)
.
De inición
.-
Una
ley
de
de i ación
(LD)
V
en
k
(TkM)
se
di
1>
J
k
=o
2)
La
aplicación
0
:
V
nk
(T
k
M)
-
'
Vnk(TkM)
x
-'
~
(x)=
VxCk
es
un
isomo ismo
.
=

0

,

=1,2,
....
k
.
Si
además,
m=
Id,
V se
dice
p oyec able
(LDP)
.
no
es
más que
la
es icción
de
~
:
T(TkM)

'
Vnk(TkM)
de inida
po
~(x)=
Vx Ck
,

a V
nk
(T
k
M)
.
P oposición
.-
Si
es
unaLDR
en
j
(T
k
M),
en onces
=
I-2~
-
1am
es
una
conexión
en
M
de
o den
k,
que
se
dice
la
co-
nexióninducida
po
V
.
Si
es
una
LDP,
la
conexión
inducida
,
se
dice
la
p oyección
de
V
.
La
elación
en e
las
geodésicas
de
y
los
caminos_
;
de
se
es ablece
en
el
siguien e
eo ema
:
Teo ema
.-
(1)
Sea
V
una LDP
en
_* (T
k
M)
y
su
p oyección
.
En onces,
si
j
k
a
es
una
geodésica
de V, a es
un
camino
de
.
(2)
Supongamos
además
O =
0
.
En onces
si
a
es un
camino
de
,
jka
es
una
geodésica
de
0
.
§4
.-
P olongación
de
conexiones
.
Sea
P
una
conexión
de
o den
1
en
M
;
si
P
es
lineal
(es
de-
ci ,
homogénea
y de
clase
cl
en la
sección
nula)
induce
una
LD en
>,(M)
( e
G i one
[2])
.
Sea
0*
la
p olongación
.
d
e
0 a
9E
(TkM)
en el
sen ido
de
Yano-Ishiha a
[3]
.
P oposición
.-
7*
es
una
LDR
en
#(TkM)
.
Po
lo
an o,
0*
induce
en
M
una
conexión
de
o den
k, k
,
la
cual
se
di á
la
p o
-
longaciónk-ésima
de
.
.Teniendo
en
cuen a
las
exp esiones
loca
les
de k
se
.
demues a
que
k
es
homogénea
.
Además
y
k
ienen
las
mismas
geodésicas
.
BIBLIOGRAFIA
.-
[1]

DE
LEON,

M
.,

Connec ions

and

-s uc u es

on
T
2
M
.

( o
appea
)
.
[2]
GRIFONE,
J
.,_S ub u e
p esque- angen e
e connexions,,
I
e
II,'Ann
.
Ins
.
,
Fou ie
(G enoble)22,
1,
(1972),
287-334
;
ibidem,
32,
3
(1972),
291-338
.
[3]
YANO,
K
.,
and
ISHIHARA,
S
.,
Tangen
and
co angen
bund
les,
Ma cel
.
Dekke ,
New
Yo k,
(1973)
.