Conexiones de orden K

Pub . Ma . UAB N° 21 Oc . 1980 Ac es VII JMHL CONEXIONES DE ORDEN k Manuel de León Rod iguez Dp o . de Geome ía y Topología Uni e sidad de San iago de Compos ela ABSTRACT A connec ion o o de k on a mani old M is a di e en ia- ble ec o 1- o - m on T k M sa is ying J 1 T= J 1 , FJ k= -J k . Unde somehipo hesis, a de i a ion law _9 in he , :(T k M)-module X (T k M) induces on M a connec ion P o o de k . We ob ain he ela ionship be ween geodesics o 0 and pa hs o . Finally,we de ine he p olonga ions o a connec ion on M o a connec ions k o o de k . §1 .- P elimina es . COMUNICACION Sea M una a iedad di e enciable n-dimensional pa acompac- a . Deno amos po Y (M) el álgeb a de las unciones con alo es eales en M, y po )É(M) el j(M)-módulo de los campos de ec _o es en M . El ib ado angen e de o den k, T k M, de M es la a íe dad de (k+1)n-dimensional de los k-je s en OCR de aplicaciones di e enciables : R - M . T k M posee ina es uc u a ib ada - na u al sob e M con p oyección canónica uk .  T 1 M no es másque - el ib ado angen e TM de M . T k M se á TkM sin la sección nula, yV T k (T k M) el ib ado ec o ial sob e TkM cons i uido po aque- llos ec o es de TT k M que se p oyec an en 0 po nk . Sea (U,x l ) un en o nocoo denado de M ;  deno amos po (y(O)i, y Mi  , y (k)¡) el sis ema de coo denadas inducidas en i k 1 (U) . Sean J 1 ,J Z -,J k los endomo ismoscanónicos de TkM ; espec o a las coo denadas inducidas, se exp esanlocalmen e po 00 . 00] 0 0 . 0 0 I 0 . 0 0 J 2' §2 .- Conexiones de o den k . ik= -Jk po las homo ecias posi i as . 56 00 .00  00 .00 0 0 . 0 0  1 0 . 0 0 ' k' I 0 . 0 0' 0 I . 0 01 Ck=  (0,  y( 1 ),  2y( 2 ), . ... ky (k) ) y Si es h(1), la conexión se dice homogénea . . h= 2 - . (I+P) ,  = 2 (I- ) 0 0 . 1 0 Sea Ck el campo canónico de Tk M ; en un pun o de coo dena- das  (y(0),  y( 1 ), . ... y(k» se  exp esa  po Ck gene a el g upo 1-pa amé ico de las homo ecias posi i- as de T k M ;,po an o, la homogeneidad de unciones y o mas se ca ac e iza como sigue : Una unción en T k M, C' en TkM ( esp . una p- o maescala w, una 1= o ma ec o ial L) es homo génea de a ado (h( )) si " ( esp . -?C w= w, [C k ,L]= ( -1)L) . k De inición .- Una conexión en M de o den k es una 1- o ma ec o ial en TkM, C °° en T k M, al que Una conexión P en M de o den k de ine una es uc u a ca- si-p oduc o en T kM . Así, exis en dos p oyec o es asociados cano nicamen e a P Si P es h(1), los subespaciosho izon ales son in a ian es Si es una conexión en M de o den k, se exp esalocalmen- e po la ma iz : V .(jka)'= I  0 0 -2 (1) -I o -2 (2)  0-I 0 0 0 De inición .- Una cu a a en M se dice un camino de si la p olongación k-ésima de a a TkM, jka es ho izon al, i .e . 0 . Si es homogénea, sus caminos se denominangeodésicas . Los caminos de una conexión sa is acen el sis emade ecuaciones di e enciales : ce egula (LDR) si +1 _1  d  xj  + ( )'J  dx ; d +1  d §3 .- Leyes_ de de i ación en ,%E(T k M) . De inición .- Una ley de de i ación (LD) V en k (TkM) se di 1> J k =o 2) La aplicación 0 : V nk (T k M) - ' Vnk(TkM) x -' ~ (x)= VxCk es un isomo ismo . =  0  ,  =1,2, .... k . Si además, m= Id, V se dice p oyec able (LDP) . no es más que la es icción de ~ : T(TkM)  ' Vnk(TkM) de inida po ~(x)= Vx Ck ,  a V nk (T k M) . P oposición .- Si es unaLDR en j (T k M), en onces = I-2~ - 1am es una conexión en M de o den k, que se dice la co- nexióninducida po V . Si es una LDP, la conexión inducida , se dice la p oyección de V . La elación en e las geodésicas de y los caminos_ ; de se es ablece en el siguien e eo ema : Teo ema .- (1) Sea V una LDP en _* (T k M) y su p oyección . En onces, si j k a es una geodésica de V, a es un camino de . (2) Supongamos además O = 0 . En onces si a es un camino de , jka es una geodésica de 0 . §4 .- P olongación de conexiones . Sea P una conexión de o den 1 en M ; si P es lineal (es de- ci , homogénea y de clase cl en la sección nula) induce una LD en >,(M) ( e G i one [2]) . Sea 0* la p olongación . d e 0 a 9E (TkM) en el sen ido de Yano-Ishiha a [3] . P oposición .- 7* es una LDR en #(TkM) . Po lo an o, 0* induce en M una conexión de o den k, k , la cual se di á la p o - longaciónk-ésima de . .Teniendo en cuen a las exp esiones loca les de k se . demues a que k es homogénea . Además y k ienen las mismas geodésicas . BIBLIOGRAFIA .- [1]  DE LEON,  M .,  Connec ions  and  -s uc u es  on T 2 M .  ( o appea ) . [2] GRIFONE, J .,_S ub u e p esque- angen e e connexions,, I e II,'Ann . Ins . , Fou ie (G enoble)22, 1, (1972), 287-334 ; ibidem, 32, 3 (1972), 291-338 . [3] YANO, K ., and ISHIHARA, S ., Tangen and co angen bund les, Ma cel . Dekke , New Yo k, (1973) .